analiza si sinteza circuitelor cap2
TRANSCRIPT
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
1/26
42
CIRCUITELOR LINIARE
2.1. Introducere
are ca obiectiv principal suficiente
(sau de sistem) pot fi clasificate n:a) b)
n curent.
0
0
( )( ) ; ,( )
mk
k
kk kn
kk
k
a s
P sF s a bQ s
b s
=
=
= =
(1)
Sinteza circuitelor
se numesc schemecanonice.
Cons din figura 1, acesta )(sZ ,respectiv )(sY .
Figura 1.Uniport pasiv.
Uniport
RLC
i(t)
u(t) Z(s)
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
2/26
43
pentru ca )(sZ sau )(sY
( )Z s
ka kb
( ) pentruZ s s (2)
alimentat de tensiunea:
( ) cos( ) cu 0tu t U e t = + > (3)
; ;j jU U e I I e s j = = = + (4)
t
( ) { }stu t e Ue= (5)
i invariant n timp, permite
( )i t :
( ) { } cos( )st ti t e Ie I e t = = + (6)
t
[ ]
{ }
2
2
2( ) ( ) 2 ( )
( ) ( ) ( ) cos( )cos( )
1 cos(2 ) cos( )
21
2
t
t
j t j t j
p t u t i t U I e t t
U I e t
U I e e e e e
+ +
= = + + =
= + + + =
= +
(7)
t va fi:
{ }
{ }
2( ) ( ) 2 ( )
2( ) ( ) 2 ( )
1( )
2
1
2
t tj j j
t
tj j j
W p d e e e e e d
U I e e e e e d
+ +
+ +
= = + =
= +
(8)
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
3/26
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
4/26
45
RLC
umirea de realizabilitate Brune sau test Brune
( )Z s clasei .
O (prescurtat p.r.) ( )F s s j = +
1. ( )F s 0> ;
2. ( )F ;
3. { }( ) 0 pentru { } 0e F s e s = . (18)
( )Z s ( )F s este o P4 I
sunt
Din punct de vedere practic este dificil de verificat caracterul pozitiv-real al unei
testului Brune II din (17) s j = + { }j .
determina
Cteva
P1: 1( )F s 2 1( ) 1/ ( )F s F s= .
1( )F s
2 ( )F s . Astfel:
I. 1 2( ) pentru ( ) pentruF s s F s s .
II. 1 1 1 1( ) ( , ) ( , ) cu ( , ) 0 pentru 0F s U jV U = +
{ } 12 2 21 1 1 1
1 ( , ) ( ) 0 pentru 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )
Ue F s eU jV U V
= = + +
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
5/26
46
P1: ( )Y s .
P2: .
1( )F s , 2( )F s 1 2( ) ( ) ( )F s F s F s = +
P3: ( )F s ( )w s ( ( ))F w s - . I. ( ) pentru , ( ) pentru ( ( )) pentruF s s w s s F w s s .
II. ( )F s { ( )} 0e F s pentru { } 0e s .
{ }( ) 0 pentru { } 0e F w e w (19)
( )w s
{ }( ) 0 pentru { } 0e w s e s (20)
( ){ }( ) 0 pentru { } 0e F w s e s (21)
( )w s
P4: ( SPD), iar polii de
. SPD
Fie 1s un pol n SPD, de multiplicitate p ( )F s
1s
1 11
11 1
( ) ......... ( )( ) ( )
p prp p
k k kF s F s
s ss s s s
= + + + +
(22)
unde ( )rF s 1s (pe un contur ).
1s (n jurul lui 1s ) se poate reprezenta ( )F s numaiprin primul termen din dezvoltarea (22), acesta fiind un infinit de ordin superior:
1
( )( )
ps p
kF s
s s
(23)
Utiliznd coordonate polare, se poate scrie:
1 cu 0js = [0,2 ) (24)
( )
( )
jp p j p
s p jp p
k e k
F s ee
= = (25)
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
6/26
47
{ }( ) cos( )p
s p
ke F s p
= (26)
Cnd s parcurge conturul , argumentul ( )p ia valori n domeniul [ , 2 ]p , 2p cos( )p
2p { }( ) se F s ar fi negativ la 0 ( )> , ceea ce ( )F s
Fie 1s pentru ( )F s 0
1 , ,2 2 2 2
s
(27)
Argumentul ( )p p cos( )p ( 1)p= 0= atunci:
, cos( - ) cos( ) 02 2
p
= (28)
Deci ( )F s poate avea poli simpli pe axa { }j :
01 1 1 0
jk k e k = = > (29)
P5: .Proprietatea P5 P1 P4 1( )F s
2 1( ) 1/ ( )F s F s=
sale sunt polii lui 1( )F s SPD, iar cele de pe { }j vor fi
1( )F s are un pol 1 1s j= reziduul lui 1( )F s n acest pol, 1k , este:
1
1 1 1
( ); ( ) 0 ; 0
( )s j
P sk Q j k
Q s
=
= = > (30)
2( )F s se poate scrie:
1 11
22
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10
( )( )s j s js j
dF s Q s P s P s Q s Q s
ds P s k P s = ==
= = = > (31)
Deci derivata lui F2(s 1s j=
P6: ( )F s . polinom Hurwitz
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
7/26
48
a) 2 2( ) ( ) pentru zerourile de pe {j }i i is j s j s + = + ;
b) ( ) cu 0 pentru zerourile de pe {- }k ks + > ;
c) 2 2 2 p( ) ( ) 2 cu 0,p p p p p p ps j s j s s + + + = + + + > pentru zerourile din SPS
d) s pentru zeroul din origine. (32)
1. ;2.
:- -
Polinoamele Hurwitz pot fi de trei tipuri:
- Hurwitz n sens larg - strict Hurwitz SPS;- Hurwitz degenerat
testul
Hurwitz
P7: forma (1), :
1
1
1
m n
n m m n
m n
= +
= =
(33)
P4 P5 m n ( )F s ar avea pol dublu la s , ceea ce { }j nu pot fi dectsimple.
P8. ,
1( )F s si 2 ( )F s , astfel nct:
a) 1( )F s ;
b) 2( )F s .
1 2( ) ( ) ( )F s F s F s= + (34)
1 2 21
2( )
Mok k sF s k ss s
=
= + ++
(35)
0; 0; 0ok k k
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
8/26
49
{ }j 0s= , respectiv s , iar ceiM
s j = .
1( )F s 2 ( )F s
ia 1( )F s SPD, inclusiv pe axa { }j
{ } { }1 2 21
2 ( )( ) ( )
( )
Mok k je F s e e e k jj j
=
+ = + + +
+ + + (36)
{ }2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 2 21
2 ( )( )
( ) 4
M
o
ke F s k k
=
+ + = + +
+ + + (37)
0 , ,k k k
{ }1( ) 0 pentru { } 0e F s e s = (38)
1( )F s
mult, fiecare termen al lui 1( )F s
2 ( )F s
a) { } { } { }2 2( ) ( ) ( ) 0o
e F s e F j e F j
=
= = deoarece { }1( ) 0e F j = (39)
pe axa { }j 1( )F s
b) 2 ( )F s SPD { }j .
0 2 ( )F s SPD
{ } { } { }2 2 20 0 0( ) ( ) ( ) 0e F s e F s e F s > = > (40)
2( )F s s
P9: P8 ( )F s 2( )F s
2 ( )F s nu are poli pe { }j
( )F s
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
9/26
50
1.
2.
)(sF
1. )(sF ;
2. )(sF ;
3. Polii lui F(s)
pozitive;
4. { }( ) 0 pentrue F j . (41)
)(
1 sF , respectiv )(
2 sF din descompunerea (34), ca la proprietatea P8
)(sF P2. n
a) realen tot semiplanul drept, ci numai pe axa }{ j .b) denumirea de A, B, C
LC, RC RL
LC pozitiv-reale ( )Z s
{ }( ) 0e Z j = (42)
LC
LC
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
10/26
51
( )Z s .
P1: ( )LCF s 1/ ( )LCF s .
{ }1
( ) 0 0( )
LcLC
e F j eF j
= =
(43)
P2: 1( )F s 2 ( )F s , 1 2( ) ( ) ( )F s F s F s= +
P3: ( )LCF s i ( )LCw s ( ( ))LC LCF w s este de
.
P4: :
2 21
2( )
cu: 0 ; 0 ; 0
Mo
LC
o
k k sF s k ss s
k k k
=
= + ++
(44)
P8 ( )F s
{ } { }2( ) 0 ( ) 0e F j e F j = = (45)
2 ( )F s SPD { }j
2 ( )F s K=
0K= ( )F s 2 ( ) 0F s = . Drept urmare
( )F s se reduce doar la 1( )F s
P5: ( )F s n forma (44) P2
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
11/26
52
P6: ( )s j= Evalund ( )LCF s din (44) pe axa jse poate scrie:
( ) ( )LC LCF j jX = (46)
2 21
2cu : ( )
Mo
LC
k kX k
=
= + +
(47)
2 2
2 2 2 21
( ) 2 ( )
( )
MLC odX k k kd
=
+= + +
(48)
( )LCX
0 ; ; = =
expresia (47).
P7: ( pz-uri) :
2 2 2 2 2 2 2 201 02 0 0, 1
2 2 2 2 2 21 2
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
n nLC
xnx x
s s s sF s H
s s s s
++ + + += + + +
(49)
01 1 0 0 0, 1cu : 0 ; 0 x i xi n xn nH +> < < < < < < < < <
( )LCF s { }j
P1 1/ ( )LCF s ( )LCF s { }j . Evalund
( )LCF s
( )LCX n-ar respecta
proprietatea P6. Constanta H ( )LCF s n polul de la infinit.
a)Factorul s ( )LCF s
01 0 = , factorul s
b)
P8: (49) . ( )LCF s de
reziduurile ik
reziduuluin polul xis j= :2 2 2 2 2 201 0, 1 0, 1
2 2 2 21
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (2 ) ( )xi
xi xi xii ni xi LC s j
xi xi xi xn xixk s j F s H j j
+ +=
= =
(50)
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
12/26
53
i i 0ik > .
P9: , :
22
0
2 12 1 2 2 1
1
( ) ( )( ) sau ( ) cu: ( ) ;( ) ( )
( ) si 0 ; 0
n kLC LC k
k
nk
k k k -
k
M s N sF s F s M s a sN s M s
N s b s a b
=
=
= = =
= > >
(51)
P10: (pol sau zero) la 0s= s . P7.
P4 P5, respectiv P7 P8
Testul 1
( )F s :
1. ( )F s ;
2. ( )F s { }j , ;
3. { }( ) 0e F j = sau, n mod echivalent, ( )F s . (52)
Testul II
( )F s :
1. ( )F s s ;
2. ( )F s are pz-urile numai pe{ }j ;
3. ( )F s are n origine un pol sau zero( ( )F s );
4. Constanta de multiplicare(H) . (53)
LC
a) , metode Foster.
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
13/26
54
b) metode Cauer.
Metoda Foster I ( )Z s serie. Prelucrnd dezvoltarea lui ( )Z s
2 2 21 1
2 1( )
2 2
n No ok k s k Z s k s k ss ss s
k k s
= =
= + + = + ++
+ (54)
2 2
2 2
o
( ) ( )( )cu : ( ) ; ; 2
s os s
s Z sZ sk sZ s k k
s s
=
=
+= = = (55)
Metoda Foster II ( )Y s
2 2 21 1
2 1( )
2 2
n no ok k s k Y s k s k ss ss s
k k s
= =
= + + = + ++
+ (56)
Metoda Cauer I ( )Z s sau( )Y s ( )Z s are pol la infinit, se poate scrie:
(1)1 1 2 2
1
2( ) ( ) cu ( )
nok k sZ s k s Z s Z ss s
=
= + = ++
(57)
Cum pentru s 1( ) 0Z s 1( )Y s ( )Z s din (57) devine:
(1) (1)
(2)1 2
1 1( )
( ) ( )Z s k s k s
Y s k s Y s
= + = ++
(58)
( )i ik e = ,
1 12 3 2
2
32
1 1 11( )
1
1n
n
Z s e s e se s e s e s
e s
e se s
= + = + + + ++
+ +
(59)
polinoamelor ( )M s ( )N s
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
14/26
55
cel mai mare:
2
2 1
( )
( )
n
ns
aM sk
sN s b
= = (60)
Metoda Cauer II ( )Z s sau( )Y s ( )Z s are poln origine, se poate scrie:
(1)0
1 1 2 21
2( ) ( ) cu Z ( )
nk k sZ s Z s s k s
s s
=
= + = ++
(61)
Deoarece 1( )Z s are un zero n 0s= 1( )Y s are un pol n 0s=
(1) (1)0 0
(2)1 0
2
1 1( )
( )( )
k kZ s
s Y s s kY s
s
= + = +
+
(62)
( )i ik f = ,
1
2
3
2
1( )
1
1
n
fZ s
fsfs
fs
s
= ++
+ +
(63)
Constantele ,k ke f
( )M s ( )N s din origine pentru ( )Z s , ( )Y s de gradul cel mai mic:
01
( ) oo sa
k sZ s b== = (64)
1. ( )M s ( )N s ;
2. ( )Z s sau ( )Y s ( )Z s sau ( )Y s
P1 P2
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
15/26
56
, foarte paragraful 2.2.5 nu sunt disponibile.
3.
canonice.4. LC ( )Z s
( )Y s LC 5.
Notnd cu 0 0R
s ( )kZ s sunt:
( ) ; ( ) ( ) ; ( )
n o
nn n ns s
o o
Z sss Z s Z s z s
R = = = = (65)
expresiile valorilor normate ale elementelor decircuit ( , ,k k kl c r , ,k k kL C R ). Astfel, pentru o
kL
( )( ) ; ( ) ; ( ) n o kk n n o k n n
o o
Z s LZ s sL Z s s L z s s
R R
= = = = (66)
lk
o kk
o
Ll
R
= (67)
( )n n kz s s l= (68)
kR , respectiv a unui condensator kC
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
16/26
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
17/26
58
1.Fie P1(s) = M1(s) + N1(s
2 22 1 2 21(s) ( ) ( ) ( ) ( )P s P s M s N s= + = + (73)
cu polinoamele:2 2 2 2
2 1 2 11 1( ) ( ) (s) ; ( ) ( ) ( )M s s M N s s N s = + = +
P2(s) este un polinom Hurwitz degenerat. Testul Hurwitz al polinomului P1(s 1(s) = M1(s) / N1(s 1(s P1(s 0ke > . Pentru polinomul P2(s
2(s) = M2(s) / N2(s) se va termina prematur,
deoareceM2(s N2(s) au divizorul comun 2 21s + , iar testul Hurwitz nu este altceva dect
algoritmul lui Euclid aplicat pentru aflarea celui mai mare divizor comun al polinoamelor
M2(s N2(s 2(s 1(s).
2. s j = este un zero pentru P(s
M(s N(s):
( ) 0 ( ) 0P j M j = = ( ) 0N j = (74)
{ }j ale polinomului P(s) vor apare ca factori n cel mai maredivizor comun al polinoamelorM(s N(s
3. Testul Hurwitzal polinomului P(s ( ) ( ) / ( ) sau ( ) ( ) / ( )s M s N s s N s M s = = N} >grad {M}. kl P(s)
estepolinom strict Hurwitz;
P(s) nu esteHurwitz.
k
l
polinomul este Hurwitz n senslarg.
4. Testul Hurwitz H(s) = P(s) / Q(s) are polinomul Q(s) strict H(s SPS strict stabil Q(s) este Hurwitzn sens larg, sistemul este stabil n sens larg.
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
18/26
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
19/26
60
Z(s
Z(s Z(s ( )RCZ s
Testul 1 ( )RCZ s
( )RCZ s :
1. Z(s)
2. Z(s) { } ; polii sunt
3. 0 unde lim ( )s
h h Z s
= (80)
P4. ( )RC
Z s :
01 02 0 0, 1
1 2
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
n nRC
x x xn
s s s sZ s H
s s s s
++ + + +=+ + +
(81)
cu:
01 1 02 2 0 0, 10 si 0 x x n xn nH +> < < < < < < < < (82)
( )LCZ s
2 20 0 0 ; 0i xi xii = > = > (83)
Z(s Z(s Z(s ( )RCZ s
Testul 2 ( )RCZ s
Z(s) este de tip ( )RCZ s :
1.Z(s) ;
2.Z(s) { } ;
3. ;
4. . (84)
P5. (9.88) RCZ, provenind
P6. Z(s)= P(s) / Q(s m = grad {P}, n = grad {Q}, dintre grade:
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
20/26
61
a)m = n h
b) m = n 0h=
( )RCZ s nu poate avea pol la infinit.
RCY. Metode de testare
RC
1 1( ) ; Z ( )
( ) ( )LC
LC RC
Z s sY s Y s
= = (85)
21( ) ( )LC RCY s Y ss
= (86)
( ) ( )RC LCY s s Y s= (87)
Y(s YLC(s RCY ( )RCY s ). Spre deosebire
( )LCY s ( )LCZ s RCY
RCZ.
RCY
P1. 1( )Y s 2 ( )Y s suma 1 2( ) ( ) ( )Y s Y s Y s= + este de asemenea RCY;P2. ( )Y s ( )w s RCY, ( ( ))Y w s RCZ;P3. RCYse poate descompune n forma:
1
( )n
RC o
h sY s h h s
s
=
= + ++
(88)
( )LCY s RCY, provenind din termenul omolog al ( )LCY s
( )Y s s
1
( ) nRC oY s h hhs s s
=
= + ++
(89)
( )Y s ( )RCY s
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
21/26
62
( )RCY s
( )Y s este de tip ( )RCY s :
1. ( )Y s ;
2. ( ) / Y s s { } , ;
3. 0 unde lim ( ) / s
h h Y s s
= (90)
P4. s = ( )RCY s sunt negative. Fie
( )RCY s
1
( )n
RC o
hY s h h s
s
=
= + ++
(91)
h h din (91):
( ) ; ( ) ( )RC RC ss
sh Y s h s Y s
s
==
+= = + (92)
0h h = < (93)
( )RCY s pentru s = s , , respectivo oh h h
h anume:
1
(0)n
o o RC
RC
s
hh h Y
Yh h
s
=
= + =
= =
(94)
( )RCY s , ea
n s = RCY.
P5. ( )RCY s :
01 02 0 0, 1
1 2
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
n nRC
x x xn
s s s sY s H
s s s
++ + + +=+ + +
(95)
cu:
01 1 0 0, 10 si 0 x n xn nH +> < < < < < <
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
22/26
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
23/26
64
Metoda Foster II ( ) /Y s s sa formei (88) pentru ( )Y s :
1 1
1( )
1
n n
o o
h sY s h h s h h s
s h h s
= =
= + + = + ++
+
(99)
elementarRC
Metoda Cauer I
( )RCZ s sau ( )RCY s
( )LCZ s sau ( )LCY s
( )LC
Z s
aceasta devine:
1
2
3
42
1 1( ) ( )
1
1
1
RC LC
n
Z s Z s es e s
e
e se s+
= = ++
++
(100)
cturi de forma 1 3 2 1, ,..., ne e e forma 2 4 2, , ..., ne s e s e s
( )RCY s are pol la n timp
ce ( )RCZ s nu are pol la .
Metoda Cauer II
( )RCZ s sau ( )RCY s
( )LCZ s sau ( )LCY s
( )LCZ s avea pol n origine, respectiv ( )LCY s ( )LCZ s
ia forma:
1
23
42
1 1( ) ( )
1
1
1
RC LC
n
fZ s Z s
ss ff
sf
f+
= = ++
++
(101)
Cturile sunt de forma /if s
if
RCZ RCYnupoate avea un astfel de pol.
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
24/26
65
RLZ RLY
RL LCaplicnd o ( )RLZ s ( )LCZ s
Transformarea unui uniportRLntr-un uniportLCse poate realizan trei etape: 1/k iR isL ale uniportuluiRL
(1/ ) ( )RLk Z s .
k iL
schimbarea variabilei s n variabila ks (1/ ) ( )RLk Z ks .
3. Se facenlocuirea k = s 2(1/ ) ( )RLs Z s . Acest
uniport final este un uniport LC cu 1/i iC R=
(1) (2) (3) 21 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )RL RL RL RL LCZ s Z s Z ks Z s Z s
k k s = (105)
RLLC
21( ) ( )LC RLZ s Z ss
= (106)
( ) ( )RL LCZ s s Z s= (107)
( ), ( )LC RLY s Y s
1( ) ( )RL LCY s Y s
s= (108)
2( ) ( )LCY s sY s= (109)
( )LCZ s ( )LCY s
importante:
( )RLZ s ( )RCY s ;
( )RLY s ( )RCZ s .
RC
metode indirecte.
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
25/26
66
Metodele indirecte ( )LCZ s pe baza
LC condensatoarelor iC 1/i iR C= .
Metodele directe
( )RLZ s ( )RCY s ( )RLZ s
{ } ( )RCY s , unde
Y(s)/s de ( ) /RLZ s s .
( )Z s ( ), ( ), ( )LC RC RLZ s Z s Z s ,
( )RLCZ s ( )RLCZ s sau ( )RLCY s ncepe
totdeauna cupreambulul Foster { }j ( )Z s ( )Y s ( )Z s are poli pe{ }j P8
1( ) ( ) ( )AZ s Z s Z s= + (110)
unde ( )AZ s ( )LCZ s
1( )Z s SPD { }j 1( )Z s nu mai are poli pe axa
1( )Y s
1 2( ) ( ) ( )BY s Y s Y s= + (111)
( )Z s care nu mai are nici poli, nici zerouri
pe axa { }j 1( )Z s ) care nu mai are poli pe axa 2( )Z s
de ( )Z s
( )Z s
1( ) ( )
1( )
1( )
( )
A
B
C
Z s Z s
Y s
Z sZ s
= ++
+ +
(112)
( ), ( )A BZ s Y s LC, de tip Foster sau Cauer.
-
8/12/2019 Analiza si sinteza circuitelor Cap2
26/26
( ) ( )RCZ s Z s = sau ( ) ( )RLZ s Z s =
ntruct pentru ( )Z s RC, respectiv
RL ( )Z s ( )RLCZ s
RLC, cum ar fi: metoda Brune, metoda Darlington, metoda
1. Mateescu Ad.,
2. Mateescu Ad., Dumitriu N., Stanciu L., semnalelor, Editura Teora, 2001.