1

J. Pawelec, K. Grzesiak

ANALIZA SPEKTRALNA II RZĘDU: ALGORYTM FAM

Streszczenie

Scharakteryzowano krótko historię i znaczenie przekształceń sygnałów z dziedziny czasu,

w jakiej są obserwowane do dziedziny częstotliwości, w której są wykorzystywane.

Opisano numeryczną metodę analizy II rzędu, zwaną inaczej cyklostacjonarnością (SCD).

Metoda ta pozwala wykryć słabe sygnały uboczne, np. symptomy uszkodzeń maszyn lub

informacje celowo lub przypadkowo ukryte głęboko w szumach

1 WPROWADZENIE

Powszechnie stosowanym narzędziem badania drgań jest transformata Fourier’a,

wynaleziona jeszcze w XIX wieku przez Jean’a B. Fouriera w toku jego badań procesów

cieplnych. Nieco ponad sto lat później amerykańscy uczeni z IBM i Princeton University –

Cooley i Tukey - wynaleźli szybką odmianę tej transformaty, tzw. FFT. Pozwala ona

wykryć i ogólnie scharakteryzować drgania okresowe występujące pod przykryciem

niewielkiego szumu. Widmo mocy S(ω) wyznacza się wtedy poprzez funkcję

autokorelacji: ∫= ∞∞−

− ττω ωτ deRS j)()( , gdzie ∫ += ∞∞− τττ dtxtxR )()()( . Jeśli przykładowo autokorelacja

R(τ) ma postać wykładniczą R(τ)=ae-bτ , to widmo wyraża się funkcją: )/(2)( 22 baabS +=ω ,

gdzie a,b – parametry rozkładu, rys.1.

Rys. 1 Funkcja autokorelacji R i widmo F szumu stac jonarnego dolno-pasmowego

Przekształcenie powyższe jest bardzo przydatne, np. dla oceny wpływu różnych zakłóceń

na odbiór w zadanym paśmie częstotliwości. W wielu obszarach fizyki i techniki taka

analiza jest jednak niewystarczająca. Bardziej dokładna i zarazem ogólna jest analiza II

2

rzędu dająca obraz w polu dwu częstotliwości, tj. normalnej ω i tzw. cyklicznej α. Twórcą

analizy II rzędu jest Williama A. Gardner z Uniwersytetu Berkeley [1,2]. Wprowadził on

pojęcie okresowej funkcji autokorelacji. Jest nią np. pogoda w skali roku, która zmienia się

z czasem τ, ale podlega także sezonowej okresowości α. Mamy zatem tjeRR παα ττ 2)()( −= ,

gdzie α - częstotliwość cykliczna. Tę nową funkcję wyznacza się z reguły numerycznie

według następującego algorytmu

0*])2/([])2/([)( )2/(2)2/(2 ≠+−=∑∑ +−−

τ α

τπατπαα τττ tjtj etxetxR (1)

Tabela 1 Poczet twórców analizy spektralnej: Fourie r, Cooley, Tukey, Gardner, Varkonyj-Koczy

Mnożenie wektora sygnału x(t) przez tje πα2 oznacza fizycznie jego obrót o kąt 2παt.

Zatem równanie (1) wyra ża korelacj ę czyli podwójn ą sumę iloczynów dwu postaci tego

samego sygnału harmonicznego x(t) i x’ ’(t), u których cz ęstotliwo ści są w takt mno żenia

i sumowania x(t)x’(t) , odpowiednio, zwi ększane i pomniejszane o ±α, a momenty

probkowania - przesuwane o ±τ/2. W rezultacie Rα(τ) ≠ 0 oznacza istnienie okresowo ści

II rzędu (cyklostacjonarno ści), czyli widma dwuwymiarowego S α(f), gdzie f ↔1/τ.

2 PROSTE EKSPERYMENTY

Czym w istocie jest widmo II rzędu? Jest to widmo dwuwymiarowe, odpowiadające

korelacji sygnału zarówno w czasie, jak i w częstotliwości. Na jednej osi określona jest

zmienność mocy sygnału względem τ przy stałym α, a na drugiej odwrotnie. Dla

przybliżenia rozważanych pojęć uruchomimy prosty program:

for al=1:16,

for t=1:32,

R(al,t)=cos(pi*(1-(al-1)/32)*(t-1)/32)*cos(pi*(1+(al-1)/32)*(32-t)/32); (1a)

end

end;

3

Oblicza on funkcję cyklo-korelacji R(a,t) zgodnie z równ. (1) dla sygnału złożonego z

iloczynu dwu kosinusów. Odstępstwo od realiów jest tu – wbrew pozorom - nie tak duże,

jako że np. popularny sygnał BPSK (binary phase shift keying) też się składa z kosinusów,

tyle że występujących z losowym znakiem ±. Powoduje to większe rozmycie widma, ale

zarazem zaciemnia dyskusję.

Wynik programu, czyli cyklostacjonarna funkcja autokorelacji R(alfa, tau) jest dana na

rys.2. Jednocześnie na rys.3 przedstawiono przekroje widma II rzędu wzdłuż oraz wszerz

bryły korelacji

05

1015

2025

3035

0

5

10

15

20

-1

-0.5

0

0.5

tau

CYKLOKORELACJA 2 KOSINUSÓW PRZESUWANYCH W CZASIE tau i CZÊSTOTLIWOŒCI alfa

alfa

cykl

okor

elac

ja

Rys. 2 Funkcja autokorelacji Rα(τ) dla prostego sygnału harmonicznego cos[pi*(1-α/2)τ]cos(pi*(1+ α/2)(T-τ)]

Jak widzimy, sama bryła przypomina prostopadłościan z wyprofilowanym dachem na

kształt sinusoidy: dla α=0 sinusoida jest niska z dominacją wartości ujemnych (kolor

niebieski). Dla α=1/2 sinusoida jest wysoka i dominują w niej wartości dodatnie (kolor żółty

i pomarańcz). Można zatem oczekiwać, że widmo fourierowskie dla przodu dachu (wzdłuż

τ) będzie mieć niewielkie wartości, a dla tyłu - znacznie większe. Wystąpi również

przesunięcie fazowe między przodem, a tyłem.

Przewidywania te w pełni potwierdzają wyniki, rys.3 - a,b,c. Na rys.3a amplituda widma

jest ujemna i niewielka, natomiast na rys.3c – znacznie większa i dodatnia (porównaj

skale). Dwie harmoniczne odpowiadają przyjętej w algorytmie FFT zasadzie symetrii

ukośnej (wartość urojona ujemna w pierwszej połowie wykresu staje się dodatnia w drugiej

połowie, wartości rzeczywiste się nie zmieniają, numeracja harmonicznych biegnie od 0 do

2N). Zwraca uwagę monochromatyczność (wysoka czystość sinusoidalna) prążków widma

4

0 5 10 15 20 25 30-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8WIDMO CYKLICZNE 2 KOSINUSÓW PRZESUWANYCH W CZASIE tau i CZÊSTOTLIWOŒCI f

0 5 10 15 20 25 30-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5WIDMO CYKLICZNE 2 KOSINUSÓW PRZESUWANYCH W CZASIE tau i CZÊSTOTLIWOŒCI f

0 5 10 15 20 25 30 35-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10WIDMO CYKLICZNE 2 KOSINUSÓW PRZESUWANYCH W CZASIE tau i CZÊSTOTLIWOŒCI f

Rys. 3 Przekrojowe widma fu nkcji Rα(τ), rys.2, wzdłu ż zmiennej τ dla α=0, 8 i 16

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5WIDMO CYKLICZNE 2 KOSINUSÓW PRZESUWANYCH W CZASIE tau i CZÊSTOTLIWOŒCI f

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5WIDMO CYKLICZNE 2 KOSINUSÓW PRZESUWANYCH W CZASIE tau i CZÊSTOTLIWOŒCI f

0 2 4 6 8 10 12 14 16-3

-2

-1

0

1

2

3WIDMO CYKLICZNE 2 KOSINUSÓW PRZESUWANYCH W CZASIE tau i CZÊSTOTLIWOŒCI f

Rys. 4 Przekrojowe widma funkcji Rα(τ), rys.2, wzdłu ż zmiennej α dla τ=0, 16 i 32

Nie można tego samego powiedzieć o widmie wszerz bryły korelacji: widzimy tu całe

spektrum widma, co wynika ze skręcenia (skoliozy) dachu. Jego przekrój poprzeczny nie

jest już czystą sinusoidą: pewne fragmenty są niższe, inne wyższe, stąd wiele prążków.

Pozostałe cechy się powtarzają, jak zmienność fazy i amplitudy (mocy).

3 IDEA REALIZACJI FIZYCZNEJ

Powyższa uproszczona analiza służy jedynie do ilustracji zjawisk. Ich przebieg w

rzeczywistości jest o wiele bardziej złożony. Dla uzyskania widma cyklostacjonarnego

należy bowiem uwzględnić szereg czynników dodatkowych. Po pierwsze, skończoną

gęstość próbkowania i jej konsekwencje, po drugie – oddziaływanie wzajemne próbek w

obu partiach widma. Kłaniają się tu takie pojęcia, jak allising, estymacja, filtracja itd. Przez

ćwierć wieku dziesiątki, jeśli nie setki autorów mocowało się z tym problemem. W efekcie

zaproponowano kilka technik numerycznych, z których Fast Fourier Accumulation Method

(FAM) wydaje się najbardziej perspektywiczna i przystępna. Jej ideę ilustruje rys.5.

5

Z toru pośredniej częstotliwości odbiornika pobieramy próbki sygnału zgodnie z zasadą

Shannona (dwa razy szybciej, niż największa częstotliwość sygnału). Tworzymy z nich

dwa strumienie: jeden przesunięty w fazie w przód, drugi – wstecz (czyni to operator exp).

Strumienie te przesuwamy dalej w czasie drogą filtracji dolno- i górno-pasmowej (filtracja,

to splot, czyli sukcesywne wzajemne przesuwanie i sumowanie iloczynów sygnału i

odpowiedzi impulsowej filtru). Dalej następuje – zgodnie z równ.(1) - mnożenie sprzężone

strumieni dające w efekcie rzeczywiste wartości widma mocy w polu dwu współrzędnych,

α i f (odpowiednik τ).

f-α

f

f

f+ α Rys. 5 Idea wyznaczania widma II rz ędu drog ą zmian fazy i momentu pobierania próbek

4 METODA FAM

4.1. Założenia

Funkcja gęstości korelacji widmowej, zwana widmem cyklicznym (Spectral-Correlation

Density) określona jest za pomocą wzoru [1]:

)2

()2

(1

lim)( *2 ααττπαα −+=∫=∞→

∞

∞−

− fXfXT

deRfS TTT

fjxx (2)

gdzie α jest częstotliwością cykliczną, natomiast

dueuxfX fujT

T

Tπ2

2/

2/

)()( −

−∫∆ (3)

jest transformatą Fouriera sygnału )(ux .

W praktyce sygnały badane są w skończonym przedziale czasu. W wyniku tego SCD nie

może być obliczona dokładnie, a możemy jedynie wyznaczyć jej estymatę. Metody

stosowane w technice estymacji funkcji SCD wykorzystują jedną z dwóch technik.

Pierwsza z nich to wygładzanie w dziedzinie czasu (time smoothing), natomiast druga to

6

wygładzanie w dziedzinie częstotliwości (frequency smoothing). Za bardziej korzystną

uważana jest estymacja opartą o wygładzanie w dziedzinie czasu. Dla sygnału, którego

czas obserwacji wynosi t∆ , widmo cykliczne może być estymowane zgodnie z wzorem:

∫

∆+

∆−

∆ ∆=≈

2

2

),(1

),()(

tt

tt

xtxTx dufuSt

ftSfSWTW

αα (4)

gdzie t∆ jest czasem obserwacji, a WT długością okna FFT, natomiast

)2

,()2

,(1

),( * αα −+= fuXfuXT

fuSWWWT TT

Wx (5)

∫+

−

−=2

2

2)(),(

W

W

W

Tt

Tt

fujT dueuxfuX π (6)

Idee estymacji SCD metodą wygładzania w dziedzinie czasu można przestawić graficznie,

jak na poniższym rysunku.

a) b)

Rys. 6 Estymacja widma cyklicznego metod ą wygładzania w dziedzinie czasu:

a) sposób wyznaczanie FFT w czasie obserwacji t∆ , b) uśrednianie wyników w dziedzinie czasu

Jak zostało to przestawione na rys. 6 realizowane są krótkie transformacje FFT na

odcinkach sygnału x(t) o czasie trwania WT w całym okresie obserwacji t∆ . Elementy

widma generowane przez każdą z FFT mają rozdzielczość WT

f1=∆ . Na rysunku L określa

t

t∆

FFT

)(tx

WT

L

),( fuXWT

t

X X X

0f 0f 0f

0α 0α 0α

),( 1 ftXWT ),( 2 ftX

WT ),( ftX pTW

t

f f

f

)(tx

7

tzw. współczynnik zachodzenia między transformatami FFT. Wartość L nie powinna być

większa niż 4WT

L ≤ w celu uniknięcia zjawisk przecieku i aliasingu.

Dla każdej krótkiej sekwencji FFT o czasie trwania WT dokonuje się obliczania krótko-

czasowej korelacji widma drogą mnożenia produktów. Wynik każdego przemnożenia

odpowiada pewnej częstotliwości środkowej 0f , będącej średnią arytmetyczną

przemnażanych częstotliwości oraz odległości między przemnażanymi elementami widma

0α . Można zauważyć (rys. 6b), że dziedzina „u” zostaje zastąpiona dziedziną czasu

pttt ...., 21 . Wartości 0f i 0α dla wszystkich FFT są uśredniane w okresie obserwacji t∆ . Im

dłuższy czas obserwacji, tym dokładniejszą jest estymata, a rozdzielczość w dziedzinie

częstotliwości cyklicznej jest proporcjonalna do t∆

=∆ 1α .

Podstawowym warunkiem poprawnej estymaty widma cyklicznego jest tzw. warunek

niepewności Gardner’a określony wzorem 1>>∆⋅∆ ft , który określa, że czas obserwacji

mysi być dużo większy od czasu okna WT zastosowanego do obliczenia poszczególnego

FFT. Biorąc pod uwagę fakt, że t∆

≈∆ 1α wynik estymacji dla danego 0f i 0α reprezentuje

bardzo mały obszar na płaszczyźnie widma cyklicznego. Zapełnienie całego obszaru

widma cyklicznego wymaga więc bardzo wielu mnożeń elementów widma, stąd też bardzo

duża złożoność algorytmu.

4.2. Estymacja widma

Najbardziej oszczędnym ze względu na złożoność obliczeniową algorytmem

wykorzystującym uśrednianie w dziedzinie czasu jest algorytm FAM (Fast Fourier

Accumulation Method). W dziedzinie dyskretnej estymata SCD jest opisana wzorem:

∑−

=

−

+=1

0

*' 2

,2

,11

),( '''

N

nNNx knXknX

NNknS

NN

γγγ (7)

, gdzie ∑−

=

−

∆1

0

2'

' ][][),(N

n

N

knj

NenxnwknX

π

(8)

natomiast w[n] określa zastosowane okno (np. Hamminga). Zmienne f i

α reprezentowane są przez k i γ . Rysunek 7 przedstawia schemat blokowy algorytmu

FAM.

8

WE

okno W

'N punktowe

FFT

X

P punktowe

FFT

X

X

WY

)(nx

'

2

N

knj

eπ−

)2

,(*'

γ−knXN

'

2

N

knj

eπ−

)2

,('

γ+knXN

Rys. 7 Schemat blokowy metody FAM

Algorytm składa się z trzech głównych etapów:

- przetwarzanie wstępne (podział danych na bloki 'N przy wykorzystaniu okna czasowego)

- obliczanie pierwszej transformaty FFT wraz z korektą fazy

- obliczanie wartości korelacji dla danych wartości k i γ oraz uśrednianie w czasie.

Analizując równania SCD dla czasu ciągłego opisanego w poprzednim rozdziale i

dyskretnego obecnie, możemy wyznaczyć następujące zależności.

Tabela 2. Porównanie estymat SCD metod ą uśredniania w dziedzinie czasu ci ągłego i dyskretnego

Nazwa Postać dla sygnału ciągłego Postać dla sygnału dyskretnego

SCD txT ftSW ∆),(α Nx knS

N

),('

γ

Rozmiar FFT WT c

Czas obserwacji t∆ N Czas t n

Częstotliwość chwilowa f k

Częstotliwość cykliczna α γ

Warunek niepewności Gardner’a 1>>

∆∆=αf

M 1'

>>=N

NM

Parametr N określa całkowitą liczbę próbek analizowanego sygnału, natomiast 'N ilość

próbek poddawanych transformacji FFT. Metoda FAM polega na wykonywaniu szeregu

kroków, począwszy od formatowania danych, a skończywszy na odwzorowaniu na

płaszczyznę widma cyklicznego obliczonych estymat SCD.

9

4.3. Algorytm FAM

4.1.1 Formatowanie

a) b)

t

N

'N

)(tx

Rys. 8 Formatowanie danych a) sygnał o długo ści N próbek b) blok danych o wymiarach PN ×'

Przesuwając się oknem o szerokości 'N z krokiem L zapisujemy wartości sygnału x(n) (w

postaci N próbek) tworząc blok danych o wymiarach PN ×' , gdzie L

NP ≈ .

Wartość P jest odwrotnie proporcjonalna do wartości kroku L i liczby próbek N. Dla

zachowania prawa Nyquista oraz zapobieżeniu powstawania przecieku cyklicznego

wartość L powinna spełniać kryterium 4

'NL ≤ . Zastosowanie okna (np. okno Hamminga,

rys.8b) ogranicza wartość listków bocznych.

4.1.2 Pierwsze FFT

- 1 50- 1 00

- 5 00

5 01 00

1 50

12345678

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

czestotliwosc [kH

z]

F F T

P

'NP

Rys. 9. Obliczenie pierwszego FFT

Dla każdej z P sekwencji o długości 'N wykonywana jest transformata Fouriera.

Widmo FFT jest symetryczne względem częstotliwości zerowej (f=0). Prążki widma

12

34

56

78

20406080100120

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

PNumer probki

War

tosc

pro

bki

'NP

10

uzyskujemy więc dla wartości )('N

fkf s

k = , dla 22

'' NNk ⋅⋅⋅−= . Rozmiar bloku danych nie

ulega zmianie i nadal wynosi PN ×' .

4.1.3 Korekcja fazy

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1

2

3

4

5

6

7

8

- 1 0 0 0

- 5 0 0

0

5 0 0

1 0 0 0

n u m e r p r ó b k iP

faza

'NP

Rys. 10. Warto ści korekcji fazy

W celu zapewnienia koherencji (zgodności) faz, która została zaburzona przez

przesuwając się oknem o długości 'N z krokiem o długości L (punkt 1) wykonuje się

korekcję fazy dla każdej z P realizacji FFT o długości 'N . Korekcja ta wykonywana jest

na każdej z gałęzi wg schematu przedstawionego na Rys. 7. Przesunięcie w dziedzinie

czasu (L próbek odpowiada przesunięciu w dziedzinie czasu o wartość

sx f

Lt = (gdzie sf - częstotliwość próbkowania). Zgodnie z twierdzeniem o przesunięciu

w dziedzinie czasu dla sygnału x(t) dla którego istnieje transformata Fouriera )( ωjF ,

transformata sygnału przesuniętego w czasie )]([ xttxF − jest równa )( ωω jFe xtj− . Czyli

widmo amplitudowe )( ωjF nie pozostaje zmienione, jedynie widmo fazowe )(' ωϕ jest

zależne od xtω (składnika liniowo zależnego od częstotliwości).

11

4.1.4 Przemnażanie elementów widma

50

100

1 50

200

2 50

1

2

3

4

5

6

7

80

5

10

Num e r p rób k iP

- 150

- 1 00

- 50

0

5 0

10 0

150

1

2

3

4

5

6

7

8

0

5

10

15

20

25

cze s tot liw o sc [kH z ]

F F T

P

- 150

- 1 00

- 50

0

5 0

10 0

150

1

2

3

4

5

6

7

8

0

5

10

15

20

25

cze s tot liw o sc [kH z ]

F F T

P

)( mfX )( lfX

'' NN ⋅

P )( ,lmfX

Rys. 11 Przemna żanie elementów widma

Dla każdej z P sekwencji FFT o długości 'N wykonywana jest operacja przemnażania.

Przyjmijmy oznaczenie prążka z gałęzi górnej (Rys. 7) jako )( mfX , a dolnej )( lfX .

Indeksy m i l przyjmują wartości (22

'' NN ⋅⋅⋅− )

Wykonując operację mnożenia dla każdej wartości m i l uzyskujemy blok danych o

wymiarach PN ×2')( zawierający wartości )()()( , lmlm fXfXfX ⋅=

4.1.5 Wygładzanie w dziedzinie czasu – uśrednianie

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

2 0

4 0

6 0

8 0

N u m e r p r ó b k iP

P

'' NN ⋅

Rys. 12 Uśrednianie warto ści w czasie

Ponieważ wartości uzyskane w poprzedniej operacji są zespolone, do uśredniania w

dziedzinie czasu wykorzystuje się transformatę Fouriera. Uśrednianie w czasie

oznacza, że 2')(N operacji FFT wykonywanych jest na P wartościach )( ,lmfX . Blok

danych nadal ma wymiar PN ×2')( .

12

4.1.6 Odwzorowanie

a) b)

-2,0

-3/2, 1

-1,2

-1/2, 3

-3/2,-1

-1,0

-1/2,1

0,2

-1,-2

-1/2,-1

0,0

½, 1

-1/2,-3

0,-2

1/2,1

1, 0

f

α

2− 1− 0− 1

mX

2− 1− 0− 1

lX

)( , lmfX

Rys. 13 Operacja odwzorowania: a) Sposób odwzorowan ia warto ści f i α na płaszczyzn ę widma

cyklicznego dla 'N =4 oraz b) sposób obliczania f i α dla tego przypadku

Ostatnim krokiem jest odwzorowanie uzyskanych wartości na płaszczyznę widma

cyklicznego. Częstotliwość chwilowa f jest średnią arytmetyczną częstotliwości

elementów widma mf i lf , natomiast α odległością między tymi częstotliwościami. Związku

z tym możemy napisać:2

lm fff

+= , a lm ff −=α . Prosty przykład wypełnienia

płaszczyzny widma cyklicznego przedstawia rys. 13 a i b. Zakładamy tutaj, że 'N =4. Z

tego wynika, że wykonaliśmy 4 punktowe FFT. W wyniku przemnożenia elementów widma

o częstotliwości mf i lf otrzymaliśmy wartość )( , lmfX . Załóżmy, że obliczamy wartość

dla 2−=m oraz 2−=l . Wtedy wartość )( 2,2 −−fX wpisujemy do komórki (-2, 0) - co

odpowiada częstotliwości chwilowej 22

)2(2 −=−+−=f i częstotliwości cyklicznej

0))2(2( =−−−=α . W celu uproszczenia zagadnienia posłużyliśmy się tutaj tylko

indeksami m i l , ale oczywiście możemy to przełożyć na dokładne wartości częstotliwości

uwzględniając częstotliwość próbkowania sf , parametr P i długość sekwencji 'N :

+=+='22 N

flmfff slm

+−=∆⋅+−=N

p

N

lmfpff slm '

)()( αα , gdzie

21

2

PPp ⋅⋅⋅

+−=

13

5. WYZNACZANIE PARAMETRÓW WIDMA CYKLICZNEGO

5.1. Określenie cz ęstotliwo ści no śnej sygnału

Zalety analizy sygnałów za pomocą widma cyklicznego najlepiej dowieść na najprostszym

przypadku, gdy badanym sygnałem jest sygnał sinusoidalny o częstotliwości 64kHz

poddany działaniu kanału z addytywnym białym szumem Gaussowskim.

Widmo SCD takiego sygnału wygląda jak na zamieszczonym poniżej rysunku.

64kHz

α

f

α

f Rys. 14 Widmo SCD sygnału sinusoidalnego

Uzyskujemy cztery prążki, przy czym tylko dwa są określone dla częstotliwości cyklicznej

0≠α . Jeżeli analizę ograniczymy dla wartości częstotliwości chwilowej 0≠f i

częstotliwości cyklicznej 0=α , to otrzymamy widmo gęstości mocy PSD (Power Spectrum

Density). Na wskutek szumów będzie ono zniekształcane. Tak więc analiza sygnału przy

dużym poziomie szumów ograniczać się będzie do obszaru dla którego 0≠α . Szum biały

nie jest skorelowany z sygnałem i w związku z tym w tym obszarze nie powinien

występować. Dokonajmy więc zaszumienia sygnału (SNR=-20dB).

Rys. 15 Widmo SCD sygnału sinusoidalnego 64kHz dla SNR=-20dB. Ilo ść próbek N=256, 'N = 128, częstotliwo ść próbkowania fs=256000.

14

Zbyt krótka sekwencja analizowanego sygnału (rys.15) nie pozwala na wyznaczenie

częstotliwości nośnej sygnału. Zwiększając ilość próbek do N=16384 poziom szumu dla

0≠α zostaje znacząco obniżony. Tym samym jesteśmy wstanie dokonać detekcji

sygnału.

a) b)

zaszumione widmo gęstości mocy PSD ( 0=α , 0≠f )

α

f

α

zaszumione widmo gęstości mocy PSD

64kHz

Rys. 16 Widmo SCD sygnału sinusoidalnego 64kHz dla SNR=-20dB. Ilo ść próbek N=16384, 'N = 128, częstotliwo ść próbkowania fs=256000; a) widok we współrz ędnych f i α , b) widok wzdłu ż α .

5.2. Określanie parametrów sygnałów zmodulowanych

Widmo SCD można posłużyć do określenia parametrów sygnałów zmodulowanych [4]. W

celach demonstracyjnych posłużmy się sygnałem BPSK o częstotliwości nośnej 64kHz i

prędkości transmisji 8kbps. W dziedzinie czasu sygnał BPSK występuje jako przebieg

sinusoidalny o stałej częstotliwości i amplitudzie (stała energia) z dwoma różnymi fazami.

Gdy dokonujemy obserwacji sygnału na analizatorze widma można zauważyć, że

obwiednia sygnału BPSK jest funkcja ciągła (sinx)/x z wartościami zerowymi w punktach

będących wielokrotnościami prędkości transmisji Rb (rys.17a).

a) b)

Rys. 17. Widmo sygnału BPSK: a) posta ć dla czystego sygnału, b) dla sygnału w szumach 10 dB

- 1 0 0 - 5 0 0 5 0 1 0 00

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1

f [ k H z ]

W i d m o

15

Efektywna szerokość pasma sygnału BPSK jest w przybliżeniu równa podwójnej wartości

prędkości transmisji sygnału danych w paśmie podstawowym. W momencie gdy prędkość

transmisji zmniejsza się widmo zawęża się i w ostateczności swym kształtem przypomina

przebieg sinusoidalny. Jeżeli sygnał BPSK poddamy działaniu kanału AWGN (rys.17b), to

określenie prędkości transmisji i częstotliwości nośnej staje się bardzo problematyczne. W

tym przypadku możemy posłużyć się widmem SCD.

a) b)

64kHz

α

ff

α

Rb

α

64kHz

Rys. 18 Widmo SCD sygnału BPSK a) widok uwzgl ędniaj ący współrz ędne f i α

b) widok wzdłu ż współrz ędnej α .

Tak więc, dzięki zastosowaniu analizy widmowej drugiego rzędu (rys.18b) jesteśmy w

stanie dokładnie określić częstotliwość nośną sygnału BPSK oraz prędkość transmisji.

5.3. Sygnatury sygnałów zmodulowanych

SCD jako cecha dystynktywna dla sygnałów zmodulowanych jest wykorzystywana w

monitorowaniu widma. Dzięki temu, że analiza widmowa drugiego rzędu pozwala

stwierdzić obecność sygnału zmodulowanego pomimo zaszumienia i interferencji to tzw.

detektor cyklostacjonarny znajduje zastosowanie w radiu kognitywnym [4].

a) b) c)

Rys. 19 Widmo SCD dla typowych modulacji a) DSB-SC, b) QPSK, c) MSK

16

Są w tym zakresie pewne ograniczenia, bo detektor cyklostacjonarny nie pozwala np.

rozróżnić między sobą wszystkich modulacji (np. wyższego rzędu kluczowaniu fazy i

kwadraturowej modulacji amplitudy)[5]. Jednak w sensingu widma detektor SCD jest

obecnie uznany za element nieodzowny.

Tabela 3 Zło żono ść obliczeniowa algorytmu FAM

Operacja Złożoność obliczeniowa Przykład 'N =128, P=8 Formatowanie P 'N (8x128) 1024

NP punktowe FFT P( 'N /2)log2'N 3584

Przemnażanie elementów widma P 'N 2 131072

Korekcja fazy P 'N 1024

Uśrednianie (P punktowe FFT) 'N 2 (P/2)log2P 196608

6. PODSUMOWANIE

Dano podstawy teoretyczne, interpretację fizyczną oraz narzędzie otrzymywania widma

cyklostacjonarnego, zwanego inaczej SCD lub widmem II rzędu. Przytoczono przykłady

analiz różnych sygnałów pod kątem ich identyfikacji i/lub detekcji w szumach. Z

naukowego punktu widzenia metoda SCD jest ciekawa, choć jednocześnie złożona

pojęciowo i aparaturowo. Jest to wszakże jedna z nielicznych metod pozwalająca zejść z

czułością detekcji sygnałów poniżej szumów. Według niektórych źródeł daje ona zysk w

stosunku do metody energetycznej sięgający 20 dB.

SPIS LITERATURY

[1] William A. Gardner “Exploitation of spectral Redundacy in cyclostationary signals” Singnal Processing magazine, vol. 8, str. 14-36.

[2] William A. Gardner, Antonio Napolitano, Luigi Paura “Cyclostationarity: Half a century of research” Signal Processing, vol. 86(4), str. 639-697, 2006

[3] William A. Garner, Chad. Spooner “Detectin and source location of weak cyclostationary signals: Simplifications of the maximum-likelihood receiver” IEE transaction on communications, vol. 41, no. 6, 1993

[4] Azzouz E E, Nandi A K. “Automatic identification of digital modulation type [J]”. Signal Processing, , vol 47(1), str 55-69, 1995

[5] Nandi A K, Azzouz E E., “Modulation recognition using artificial neural networks [J]” Signal Processing, vol. 56(3) str. 165-175, 1997

[6] James W. Cooley, John W. Tukey “An algorithm for the machine calculation of complexFourier series” Math. Comput. vol. 19, str. 297–301, 1965.

[7] Annamaria R., Varkonyi-Koczy, “A Recursive Fast Fourier Transformation Algorithm”, IEEE Transactions on Circuits and Systems vol. 42, str. 9 1995.

[8] Pawelec-Grzesiak „Cyklostacjonarna analiza sygnałów radiowych” Konferencja KKRRIT, Warszawa 2014