20

PRIMJENA KIRCHHOFFOVIH ZAKONA

Ako su poznata svojstva svih elemenata mreže I i II KZ omogućujuizračun napona i struja na bilo kojem mjestu u mreži. Odrede seproizvoljni smjerovi struja u granama mreže, i traže njihovevrijednosti.

Algebarski zbroj svih struja (ulaznih i izlaznih) u bilo kojem čvoru jednak je nuli:

0I =∑Algebarski zbroj svih napona (pozitivnih i negativnih) u bilo kojoj petlji kruga jednak je nuli:

0U =∑

Zadatak: Postavite jednadžbe koje omogućuju izračun svih struja zadane mreže uporabom Kirchhoffovih zakona.

21

A

D

CB

1R 1E+-

+ -

+-

+-

3R

4R

2R

6R5R

4E

3E

2E

1I

6I5I

4I

3I

2I

I

IIIII

22

Broj grana ng=6 je broj nepoznanica, pa je potrebno postavitiisto toliko linearnih nezavisnih jednadžbi, koje treba riješiti.

I KZ definira struje u čvorovima. Sve što bi nam jednadžbazadnjeg čvora dala već je sadržano u jednadžbama prethodnihčvorova (redundantno). To se može matematički pokazati, akozbrojimo jednadžbe 1,2,3, n-1. Zbroj ovih jednadžbi dajejednadžbu n-tog čvora.

Samo (nč-1) jednadžba je nezavisna, pa se koristi samo nč-1čvor (4-1=3 jednadžbe čvora).

Po II KZ preostaje odrediti: ng-(nč-1)=6-(4-1)=3 jednadžbe.

Od mogućih 11 jednadžbi za 4 čvora i 7 različitih petlji izabratćemo 6 linearno nezavisnih jednadžbi: čvorovi A, B i C i petlje I, II i III s pretpostavljenim smjerom obilaska po granama kruga.

23

Zbroj gornjih jednadžbi daje jednadžbu čvora D – redudantna jednadžba. 0III 432 =−−−

0III :A Čvor 521 =−+

0III :B Čvor 645 =−+

0III :C Čvor 163 =−+

1155661 RIRIRIE :I Petlja −−−=

44552242 RIRIRIEE :II Petlja −+=−

33664434 RIRIRIEE :III Petlja −+=−

24

• Nedostatci metode KZ: izbor neovisnih jednadžbi nije, osimza jednostavne slučajeve, uvijek očigledan. Primjerice: odmogućih 11 jednadžbi u analiziranom primjeru trebali smoodabrati 6. Svakoj grani mreže treba pridijeliti jednunepoznanicu, pa se dobije veliki broj jednadžbi.

METODA KONTURNIH STRUJAMetodu definirao Maxwell temeljem I i II KZ. • Postaviti potrebni broj kontura (konturnih struja) – broj jednadžbi odgovara broju jednadžbi po II KZ: ng-(nč-1)=6-(4-1)=3 jednadžbe.• Odrediti jednadžbe konturnih struja za odabrane konture a,b,c(uračunati padove napona na svim otpornicima koje stvaraju sve konturne struje).• Struje kroz nezavisne grane odgovaraju strujama pripadnih kontura.• Struje u zavisnim (zajedničkim) granama jednake su algebarskoj sumi susjednih kontura.

25

1R 1E

3R

4R

2R

6R5R

4E

3E

2E

1I

6I5I

4I

3I

2I

Izbor kontura ovisi o načinu definiranja stabla mreže.

26

( ) 6c5b651a1 RIRIRRRIE :a"" Kontura −−++=

( ) 4c5a542b42 RIRIRRRIEE :b"" Kontura −−++=−

( ) 4b6a643c34 RIRIRRRIEE :c"" Kontura −−++=−

Struje u granama mreže

c3

b2

a1

III III

−=

=

−=

ac6

ab5

bc4

IIIIIIIII

−=

−=

−=

Metoda konturnih struja temeljena na II KZ, otklanja nedostatke KZ. Dobije se minimalno potreban broj neovisnih jednadžbi (3 umjesto 6). Kada se dobiju rješenja jednadžbi kontura sve strujegrana jednostavno slijede iz već određenih.