Analyse

Théorie de l’intégration Convolution et transformée de Fourier

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LICENCE 3 ET MASTER 1

ÉCOLES D’INGÉNIEURS

MARC BRIANE • G ILLES PAGÈS

7e édition

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Analyse

Théorie de l’intégration Convolution et transformée de Fourier

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Sommaire

Table des matières 3

Avant-propos 11

Notations 14

I Rappels et préliminaires 17

1 Intégrale au sens de Riemann 19

2 Éléments de théorie des cardinaux 33

3 Quelques compléments de topologie 41

II Théorie de la mesure 51

De Riemann vers Lebesgue 53

Sur une généralisation de l’intégrale définie (par H. Lebesgue) 54

4 Tribu de parties d’un ensemble 57

5 Fonctions mesurables 65

6 Mesure positive sur un espace mesurable 75

III Intégrale de Lebesgue 113

7 Intégrale par rapport à une mesure positive 115

8 Théorèmes de convergence et applications 133

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4 Sommaire

9 Espaces Lp 157

10 Théorèmes de représentation et applications 195

11 Mesure produit. Théorèmes de Fubini 227

12 Mesure image. Changement de variables 251

13 Mesure complétée, tribu de Lebesgue, ensemble de Cantor 275

IV Convolution et transformée de Fourier 289

14 Convolution et applications 291

15 Transformée de Fourier 315

V En guise de conclusion : problèmes, QCM et solutionssuccinctes des exercices et QCM 339

16 Questionnaires à choix multiples 341

17 Quelques problèmes 349

18 Vers la solution des exercices 365

19 Réponses aux QCM 389

Bibliographie 393

Index 395

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Table des matières

Avant-propos 11

Notations 14

I Rappels et préliminaires 17

1 Intégrale au sens de Riemann 191.1 Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2 Fonctions intégrables au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . 201.3 Fonctions réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4 Intégrale de Riemann et calcul de primitive . . . . . . . . . . . . 241.5 Changement de variable et intégration par parties . . . . . . . . . 251.6 Formules de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8 L’espace semi-normé I ([a,b],K) . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.9 Intégrales dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . 281.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Éléments de théorie des cardinaux 332.1 Cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Quelques compléments de topologie 413.1 La droite achevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Limite supérieure et limite inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . 43

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6 Table des matières

3.3 Topologie sur un ensemble. Espace métrique . . . . . . . . . . . 453.4 Base dénombrable d’ouverts, séparabilité . . . . . . . . . . . . . 463.5 Exemples de constructions de topologies . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5.1 Topologie induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.2 Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Distance d’un point à un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

II Théorie de la mesure 51De Riemann vers Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Sur une généralisation de l’intégrale définie (par H. Lebesgue) . . . . . 54

4 Tribu de parties d’un ensemble 574.1 Tribu, tribu borélienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Autres exemples de tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.1 Tribu image-réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.2 Tribu image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 Lemme de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Fonctions mesurables 655.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Opérations sur les fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . 685.3 Fonctions étagées sur un espace mesurable . . . . . . . . . . . . . 705.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 Mesure positive sur un espace mesurable 756.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.1.1 Propriétés essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1.2 Application à la mesure de Lebesgue sur R . . . . . . . . 79

6.2 Caractérisation d’une mesure. Unicité . . . . . . . . . . . . . . . 806.2.1 Un théorème de classe monotone . . . . . . . . . . . . . 806.2.2 Application à la caractérisation d’une mesure . . . . . . . 81

6.3 Construction de mesures par prolongement (I) . . . . . . . . . . . 836.3.1 Théorème de prolongement de Carathéodory . . . . . . . 836.3.2 Principes de construction de la mesure de Lebesgue sur R 84

6.4 Régularité de la mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 856.5 ♣ Construction de mesures par prolongement (II) . . . . . . . . . 86

6.5.1 Démonstration du théorème de Carathéodory . . . . . . . 866.5.2 Construction de mesures sur R : Lebesgue, Stieltjes . . . . 92

6.6 ♣ Régularité d’une mesure sur un espace métrique . . . . . . . . 99

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Table des matières 7

6.6.1 Le cas d’une mesure finie . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.6.2 Le cas d’une mesure σ -finie . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.6.3 Régularité des mesures de Borel . . . . . . . . . . . . . . 1036.6.4 Régularité des mesures finies sur un espace polonais . . . 1056.6.5 Application à la caractérisation des mesures . . . . . . . . 106

6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

III Intégrale de Lebesgue 113

7 Intégrale par rapport à une mesure positive 1157.1 Intégrale d’une fonction étagée positive . . . . . . . . . . . . . . 1157.2 Intégrale d’une fonction mesurable positive . . . . . . . . . . . . 1197.3 L’espace L 1K(µ) des fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . 1247.4 Intégrales de Riemann et de Lebesgue sur un intervalle compact . 1277.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8 Théorèmes de convergence et applications 1338.1 Lemme de Fatou et théorème de convergence dominée . . . . . . 1338.2 Application aux séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.3 Intégrales dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.4 Mesures à densité : première approche . . . . . . . . . . . . . . . 1478.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9 Espaces Lp 1579.1 Espaces LpK(µ) : définition et premières propriétés . . . . . . . . . 1579.2 Inégalités de Hölder et de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 1589.3 Les espaces de Banach LpK(µ), 1≤ p

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8 Table des matières

10 Théorèmes de représentation et applications 19510.1 ♣ Théorème de représentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . 195

10.1.1 Cas des formes linéaires positives . . . . . . . . . . . . . 19510.1.2 Mesures de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10.2 Théorème de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20810.2.1 Le cas d’une mesure de référence µ finie . . . . . . . . . 20910.2.2 Extension au cadre σ -fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10.3 Dualité Lp-Lq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21210.3.1 Formes linéaires réelles positives . . . . . . . . . . . . . . 21210.3.2 Formes linéaires réelles ou complexes . . . . . . . . . . . 214

10.4 Interpolation sur les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21510.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

11 Mesure produit, théorèmes de Fubini 22711.1 Tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

11.1.1 Définition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . 22711.1.2 Le cas des tribus boréliennes . . . . . . . . . . . . . . . . 22911.1.3 Section d’un élément de la tribu produit . . . . . . . . . . 231

11.2 Mesure produit de mesures σ -finies . . . . . . . . . . . . . . . . 23111.2.1 Construction et caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . 23111.2.2 Construction de la mesure de Lebesgue λd , d ≥ 2 . . . . . 234

11.3 Théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23511.4 ♣ Produit infini de mesures de probabilité . . . . . . . . . . . . . 24111.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

12 Mesure image, changement de variables 25112.1 Mesure image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25112.2 Théorème général de changement de variables . . . . . . . . . . . 25412.3 ♣ Application : le degré topologique de Brouwer . . . . . . . . . 26612.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

13 Mesure complétée, tribu de Lebesgue, ensemble de Cantor 27513.1 Complétion d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27513.2 Tribu de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27813.3 Ensemble de Cantor, fonction de Lebesgue, applications . . . . . 28013.4 ♣ Produit de mesures complètes. Complétion d’un produit . . . . 28513.5 ♣ Complétion et fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . 286

IV Convolution et transformée de Fourier 289

14 Convolution et applications 29114.1 Opérateurs de translation sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . 291

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Table des matières 9

14.2 Convolution sur Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29314.2.1 Le cas positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29314.2.2 Cadre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

14.3 Conditions d’existence et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 29714.4 Approximation de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30214.5 Régularisation par convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30614.6 Autres convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

14.6.1 . . . de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30914.6.2 Convolution de mesures positives σ -finies . . . . . . . . . 310

14.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

15 Transformée de Fourier 31515.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 31615.2 Injectivité et formule d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32315.3 Transformée de Fourier-Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . 33115.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

V En guise de conclusion : problèmes, QCM et solutionssuccinctes des exercices et QCM 339

16 Questionnaires à choix multiples 34116.1 QCM 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34216.2 QCM 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34316.3 QCM 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34416.4 QCM 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34516.5 QCM 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34616.6 QCM 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

17 Quelques problèmes 34917.1 Problème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34917.2 Problème 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35017.3 Problème 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35117.4 Problème 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35217.5 Problème 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35417.6 Problème 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35517.7 Problème 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35717.8 Problème 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35917.9 Problème 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36117.10 Problème 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36217.11 Problème 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

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10 Table des matières

18 Vers la solution des exercices 365

19 Réponses aux QCM 38919.1 Réponses au QCM 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38919.2 Réponses au QCM 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39019.3 Réponses au QCM 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39019.4 Réponses au QCM 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39019.5 Réponses au QCM 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39119.6 Réponses au QCM 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

Bibliographie 393

Index 395

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Partie I

Rappels et préliminaires

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Chapitre 1

Intégrale au sens de Riemann

Ce chapitre est constitué de rappels sur l’intégrale de Riemann et ne com-porte pas de démonstrations pour lesquelles nous renvoyons, par exemple, à [31]ou [30]. Il a simplement pour but de mettre en évidence certaines des insuffisancesde cette théorie, élaborée par le mathématicien allemand Riemann dans sa thèsede doctorat [5] (soutenue en 1854 et publiée en 1857). Ses travaux généralisaientde façon décisive ceux du mathématicien français Cauchy, auteur dans les années1820 d’une première théorie essentiellement rigoureuse de l’intégration des fonc-tions continues. Les deux grands précurseurs de la théorie de l’intégration au18ème siècle sont incontestablement Newton – qui développa sous le nom defluxion une approche systématique de la réciproque de la dérivation – et Leibniz –pour son approche géométrique fondée sur le calcul d’aire.

Notations : Dans la suite, on se placera sur un intervalle compact [a,b], non videet non réduit à un point (−∞

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20 1. Intégrale au sens de Riemann

(c) L’intégrale de f relativement à une subdivision σ , provisoirement notée I( f ,σ),est définie par

I( f ,σ) :=n

∑i=1

λi (ai−ai−1).

Remarques : • Une fonction en escalier n’est en fait pas spécifiée aux points aide la subdivision et l’intégrale I( f ,σ) ne dépend donc pas de la valeur de f en cespoints.• On vérifie d’autre part que I( f ,σ) ne dépend pas de la subdivision σ choisiesous réserve que celle-ci soit “adaptée” à f , i.e. vérifie la relation (1.1).

Notations : La seconde remarque nous conduit à faire disparaı̂tre σ dans la nota-tion de l’intégrale. En pratique, on note l’intégrale de f entre a et b indifféremment

par les symboles∫ b

af ou

∫ ba

f (x)dx. La variable x est “muette”, i.e.∫ b

af (x)dx =∫ b

af (y)dy, etc.

Proposition 1.1 (a)∫ b

a: (E ([a,b],K),‖·‖sup)−→K est une forme linéaire, conti-

nue puisque∣∣∣∣∫ ba f

∣∣∣∣≤ (b−a)‖ f‖sup où ‖ f‖sup := supx∈[a,b]

| f (x)| désigne la norme uni-

forme (le sup est nécessairement fini car f ne prend qu’un nombre fini de valeurs).

(b) Si f , g∈ E ([a,b],R), alors f ≤ g⇒∫ b

af ≤

∫ ba

g.

(c) Si f ∈ E ([a,b],K), alors | f |∈ E ([a,b],R+) et∣∣∣∣∫ ba f

∣∣∣∣≤ ∫ ba | f |.1.2 Fonctions intégrables au sens de Riemann

Définition 1.2 f : [a,b]→ K est Riemann intégrable – ou intégrable au sens deRiemann – si

∀ε > 0, ∃Φε ∈ E ([a,b],K), ∃Ψε ∈ E ([a,b],R+) telles que

| f −Φε | ≤Ψεet∫ ba

Ψε ≤ ε.

On note I ([a,b],K) l’ensemble des fonctions Riemann intégrables définies sur[a,b] à valeurs dans K.

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1.2. Fonctions intégrables au sens de Riemann 21

Remarques : • On a en particulier pour ε =1, | f | ≤ |Φ1|+Ψ1 donc une fonctionRiemann intégrable est toujours bornée.

• Évidemment E ([a,b],K)⊂I ([a,b],K) [prendre Φε := f et Ψε :=0].

Construction de l’intégrale (esquisse) : Soit f ∈I ([a,b],K). En prenant suc-cessivement ε := 1n , n≥ 1, la définition 1.2 entraı̂ne l’existence de deux suites

(Φ̃n)n≥1 et (Ψ̃n)n≥1 vérifiant, pour tout n≥ 1, | f − Φ̃n| ≤ Ψ̃n et∫ b

aΨ̃n ≤

1n

. Par

suite,∀ p, q∈ N∗, |Φ̃p− Φ̃q| ≤ |Φ̃p− f |+ |Φ̃q− f | ≤ Ψ̃p + Ψ̃q

et, partant,

∀ p, q∈ N∗,∣∣∣∣∫ ba Φ̃p−

∫ ba

Φ̃q∣∣∣∣≤ ∫ ba |Φ̃p− Φ̃q| ≤

∫ ba(Ψ̃p + Ψ̃q)≤

1p+

1q.

La suite(∫ b

aΦ̃n)

n≥1est donc de Cauchy dans K ; par conséquent elle converge

vers une limite ` finie. On vérifie ensuite immédiatement que ` ne dépend pas des

suites Φ̃n et Ψ̃n sous réserve que | f − Φ̃n| ≤ Ψ̃n et limn

∫ ba

Ψ̃n = 0.

Définition 1.3 La limite commune aux suites(∫ b

aΦ̃n)

n≥1est notée

∫ ba

f . C’est

l’intégrale – au sens de Riemann – de la fonction f sur l’intervalle [a,b].

Proposition 1.2 (a) I ([a,b],K) est un K-espace vectoriel et∫ ba

: (I ([a,b],K),‖ · ‖sup)−→K

est une forme linéaire continue de norme b−a.

(b) Si f ∈I ([a,b],K) alors | f |∈I ([a,b],R+) et∣∣∣∣∫ ba f

∣∣∣∣≤ ∫ ba | f |.(c) Soit ϕ : C −→ C une application R-linéaire. Alors, pour toute fonction f ∈I ([a,b],C), ϕ( f )∈I ([a,b],C) et∫ b

aϕ( f ) = ϕ

(∫ ba

f).

(d) Si f , g∈I ([a,b],K) alors f g∈I ([a,b],K).

Exercice : Montrer que si f1, . . . , fn∈I ([a,b],R) et si ϕ :Rn→R est monotone“coordonnée par coordonnée”, alors ϕ( f1, . . . , fn)∈I ([a,b],R).

ii

“Poly˙2017” — 2017/11/6 — 16:27 — page 22 — #20 ii

ii

ii

22 1. Intégrale au sens de Riemann

Application 1.1 (a) Du point (b) de la proposition précédente, on déduit la posi-tivité et la croissance de l’intégrale au sens où

∀ f , g∈I ([a,b],R) f ≥ 0⇒∫ b

af ≥ 0 et f ≥ g⇒

∫ ba

f ≥∫ b

ag.

(b) Du point (c), on déduit que si f ∈ I ([a,b],C), alors ℜ( f ), ℑ( f ) et f̄ sontRiemann intégrables.

Proposition 1.3 (Relation de Chasles) Soit c∈]a,b[. Si f ∈I ([a,b],K) alors lesrestrictions de f à [a,c] et [c,b] sont Riemann intégrables et∫ b

af =

∫ ca

f +∫ b

cf .

Conventions : • Pour tout a∈ R,∫ a

af :=0.

• Pour tous réels a > b, on pose∫ b

af :=−

∫ ab

f .

Il est essentiel de noter que, au vu de ces conventions, la relation de Chasless’étend à tout triplet a,b,c de réels dès que la fonction f est Riemann intégrablesur l’intervalle [min(a,b,c),max(a,b,c)].

Proposition 1.4 Soit ( fn)n≥1 une suite de fonctions de I ([a,b],K). Si fn convergeuniformément vers f (i.e. lim

n‖ fn− f‖sup = 0), alors

f ∈I ([a,b],K) et∫ b

af = lim

n

∫ ba

fn.

Citons encore un critère de Riemann intégrabilité, souvent utile dans les ap-plications.

Proposition 1.5 Soit f : [a,b]→R une fonction bornée et Riemann intégrable surtout intervalle [α,β ] contenu dans ]a,b[. Alors f est Riemann intégrable sur [a,b].

À ce stade, la question naturelle est évidemment de savoir s’il existe des fonc-tions Riemann intégrables en dehors des fonctions en escalier.

1.3 Fonctions réglées

Définition 1.4 Une fonction f : [a,b]→ K est réglée s’il existe une suite ( fn)n≥1de fonctions en escalier convergeant uniformément vers f .

ii

“Poly˙2017” — 2017/11/6 — 16:27 — page 23 — #21 ii

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1.3. Fonctions réglées 23

En d’autres termes, les fonctions réglées constituent l’adhérence des fonctionsen escalier dans l’ensemble des fonctions bornées pour la norme de la convergenceuniforme ‖ .‖sup .

Proposition 1.6 Si une fonction f : [a,b]→K est réglée, alors f ∈I ([a,b],K).

Ce résultat est un corollaire immédiat de la proposition 1.4.

Théorème 1.1 Une fonction f : [a,b]→K est réglée si et seulement si elle possèdeune limite à droite en chaque point de [a,b[ et une limite à gauche en chaque pointde ]a,b] (ces limites s’entendent dans K).

Corollaire 1.1 (a) C ([a,b],K)⊂I ([a,b],K).(b) Si une fonction f : [a,b]→ R est monotone, alors f est Riemann intégrable.

Exemples : 1. Soit f la fonction définie sur [0,1] par f (x) := sin(1x ) si x ∈]0,1]et f (0) := 0. La fonction f n’est pas réglée puisque f n’a pas de limite en 0+.Elle est cependant Riemann intégrable, d’après la proposition 1.5, puisque f estcontinue sur ]0,1] et bornée sur [0,1].

2. La fonction f définie sur [0,1] par f (x) := 0 si x /∈ Q et f (x) := 1q

si x =pq

,

pgcd(p,q) = 1, est réglée (cf. exercice 1.3).

3. La fonction indicatrice des rationnels sur [0,1] définie par 1Q∩[0,1](x) := 1 six∈Q∩ [0,1] et 1Q∩[0,1](x) :=0 sinon, n’est pas Riemann intégrable.

En effet, soient ϕ,ψ∈ E ([0,1],R), ψ ≥ 0 telles que |1Q∩[0,1]−ϕ| ≤ψ . Il vientϕ−ψ ≤ 1Q∩[0,1] ≤ ϕ +ψ . Or ϕ±ψ étant en escalier, on a nécessairement, sauféventuellement en un nombre fini de points, ϕ−ψ ≤ 0≤ 1≤ ϕ +ψ : en effet, Qet R\Q étant denses dans R, tout intervalle ouvert non vide contient à la fois desrationnels et des irrationnels. En particulier, 1−ψ ≤ ϕ ≤ ψ et donc ψ ≥ 12 sauf

sur un ensemble fini. D’où∫ 1

0ψ ≥ 1

2. Ceci contredit la définition de la Riemann

intégrabilité dès que ε

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“Poly˙2017” — 2017/11/6 — 16:27 — page 24 — #22 ii

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24 1. Intégrale au sens de Riemann

– f (x):=0 si x /∈Q∩ [0,1], f (x):= 1q

si x=pq

, pgcd(p,q) = 1, p≤ q, f (0):=1

– g(x) :=1 si x∈]0,1] et g(0) :=0.Les fonctions f et g sont Riemann intégrables (cf. exemple 2 pour f , g étant en

escalier), cependant on constate que g◦ f = 1Q∩[0,1] /∈I ([0,1],R) (cf. exemple 1).La Riemann intégrabilité n’est donc pas stable par composition. Néanmoins, lerésultat est vrai dès que la fonction g est continue.

1.4 Intégrale de Riemann et calcul de primitive

Proposition 1.7 Soit f ∈I ([a,b],K). Alors f est Riemann intégrable sur tout in-tervalle [a,x], x∈ [a,b] et l’on pose F(x) :=

∫ xa

f pour x∈ [a,b].

(a) F est lipschitzienne de rapport ‖ f‖sup (i.e. |F(x)−F(y)| ≤ ‖ f‖sup |x− y|).(b) Si f est continue à droite en c∈ [a,b[, alors F est dérivable à droite en c etF ′d(c) = f (c), idem à gauche sur ]a,b].

Corollaire 1.2 Si f est continue sur [a,b], alors f admet une primitive sur [a,b],i.e. une application F : [a,b]→ K telle que F ′ = f , et toute primitive F de fvérifie :

∀x∈ [a,b], F(x) = F(a)+∫ x

af .

Application 1.3 La fonction x 7→ 1x

est continue surR∗+ et admet donc une (unique)

primitive nulle en 1 : c’est le logarithme népérien ln(x) :=∫ x

1

dtt

.

Contre-exemple : Il existe des fonctions f non Riemann intégrables (et donc afortiori non continues) admettant des primitives. Ainsi, la fonction f définie sur[0,1] par

f (x) :=− 1√x

cos(

1x

)+

32√

x sin(

1x

), x∈ ]0,1], f (0) :=0,

a pour primitive sur [0,1] la fonction F définie par

F(x) :=x32 sin

(1x

)si x∈ ]0,1], F(0) :=0.

Or, la fonction f n’étant pas bornée – f ( 12πn)=−√

2πn – ne peut être Riemannintégrable sur [0,1].

Proposition 1.8 Si F : [a,b]→K est dérivable (à droite) de dérivée (à droite) F ′dRiemann intégrable sur [a,b], alors

F(b)−F(a) =∫ b

aF ′d .

ii

“Poly˙2017” — 2017/11/6 — 16:27 — page 25 — #23 ii

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ii

1.5. Changement de variable et intégration par parties 25

1.5 Changement de variable et intégration par parties

Ce sont les deux principaux outils pratiques du calcul intégral élémentaire.

Théorème 1.2 (Changement de variable élémentaire) Soit ϕ ∈ C 1([α,β ],R) etf ∈ C (ϕ([α,β ]),K)⊂I (ϕ([α,β ]),K). Alors :∫ β

αf (ϕ(u))ϕ ′(u)du =

∫ ϕ(β )ϕ(α)

f (x)dx.

Remarque : Seuls les changements de variable monotones ont un intérêt pratique.Dans ce cas ϕ([α,β ])=[ϕ(α),ϕ(β )] ou [ϕ(β ),ϕ(α)] selon que ϕ est croissanteou décroissante.

Exemple : Calcul de∫ a

0

dxch(x)

. On pose x := ϕ(u) := argsh(u)∈ C 1([0,sh(a)]),

ϕ(0) = 0, ϕ(sh(a)) = a et ϕ ′(u) =1√

1+u2, donc

∫ a0

dxch(x)

=∫ sh(a)

0

du

ch(argsh(u))√

1+u2=∫ sh(a)

0

du1+u2

= arctan(sh(a)).

Théorème 1.3 (Intégration par parties élémentaire) Soient f ,g∈ C 1([a,b],K).La formule d’intégration par parties s’écrit∫ b

af g′ = [ f g]ba−

∫ ba

f ′ g.

Exemple : Calcul d’une primitive de la fonction arctan :∫ x0

arctan(u)du = [uarctan(u)]x0−∫ x

0

u1+u2

du = xarctan(x)− 12

ln(1+ x2).

1.6 Formules de la moyenne

Proposition 1.9 (Première formule de la moyenne) Soient f ∈ C ([a,b],R) et g∈I ([a,b],R+). Alors il existe c∈ [a,b] tel que∫ b

af g = f (c)

∫ ba

g.

Remarques : • En particulier, si f ∈C ([a,b],R), il existe c∈ [a,b] tel que∫ b

af =

f (c)(b−a).

• Le résultat n’est pas vrai siK=C. Ainsi,∫ 2π

0eix dx = 0 6= eic (2π−0) pour tout

c∈ [0,2π].

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“Poly˙2017” — 2017/11/6 — 16:27 — page 26 — #24 ii

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26 1. Intégrale au sens de Riemann

Proposition 1.10 (Seconde formule de la moyenne) Soient f , g∈ I ([a,b],R), fpositive et décroissante. Alors il existe c∈ [a,b] tel que∫ b

af g = f (a+)

∫ ca

g.

Application 1.4 Soient f et g deux fonctions à valeurs réelles, Riemann intégra-bles sur tout intervalle compact de [1,+∞[ et vérifiant : f est positive, décroissante,lim

x→+∞f (x) = 0 et G(x) :=

∫ x1

g est bornée, alors limx→+∞

∫ x1

f g existe dans R.

DÉMONSTRATION : La fonction∫ x

1f g vérifie le critère de Cauchy au voisinage

de +∞. En effet,

∀ε > 0, ∃Aε ≥ 1, ∀y≥ x > Aε ,∣∣∣∣∫ y1 f g−

∫ x1

f g∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ yx f g

∣∣∣∣= f (x+) |G(c)−G(x)|

≤ 2 f (x)‖G‖sup < ε. ♦

En appliquant ce dernier résultat aux fonctions f (x):=1

xαet g(x):=sin(x), on

établit que l’intégrale∫ +∞

1

sin(x)xα

dx est convergente pour α∈ ]0,1], bien que nonabsolument convergente (on parle alors d’intégrale généralisée semi-convergente).

1.7 Sommes de Riemann

Définition 1.5 Soit f : [a,b]→K et σ = (a0, . . . ,an) une subdivision de [a,b]. Onappelle pas de la subdivision σ la quantité ‖σ‖ := max

1≤i≤n(ai− ai−1). Soit ξσ =

(ξ1, . . . ,ξn) un n-uplet d’éléments de K vérifiant : ξi ∈ [ai−1,ai]. On définit lasomme de Riemann relative à f , σ et ξσ par :

S( f ,σ ,ξσ ) :=n

∑i=1

(ai−ai−1) f (ξi).

On notera que S( f ,σ ,ξσ )=∫ b

aϕ où ϕ est une fonction en escalier vérifiant

ϕ(x) := f (ξi) pour x∈]ai−1,ai[.

Théorème 1.4 Si f ∈I ([a,b],K), alors

∀ε >0, ∃α >0, ∀σ subdivision de [a,b], ‖σ‖ ≤ α ⇒∣∣∣∣S( f ,σ ,ξσ )−∫ ba f

∣∣∣∣≤ ε.

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“Poly˙2017” — 2017/11/6 — 16:27 — page 27 — #25 ii

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1.8. L’espace semi-normé I ([a,b],K) 27

On peut établir ce résultat à titre d’exercice lorsque f ∈C ([a,b],K) en utilisantl’uniforme continuité de la fonction f sur le compact [a,b]. Dans le cas général,sa démonstration est plus délicate.

Application 1.5 Si f ∈I ([a,b],K), alors

b−an

n

∑k=1

f(

a+ kb−a

n

)−→

n→+∞

∫ ba

f .

Ainsi, par exemple,

n

∑k=1

1k+n

=1n

n

∑k=1

11+ kn

−→n→+∞

∫ 10

dx1+ x

= ln2.

1.8 L’espace semi-normé I ([a,b],K)

Définition 1.6 On pose, pour toute fonction f ∈I ([a,b],K), N1( f ) :=∫ b

a| f |.

Proposition 1.11 (I ([a,b],K),N1) est un espace semi-normé non complet.

La semi-norme N1 n’est pas une norme car la fonction f définie sur [0,1] par

f (x) := 0 si x∈]0,1] et f (0) := 1 n’est pas identiquement nulle bien que∫ 1

0| f |= 0.

On admettra que l’on peut exhiber une suite ( fn)n≥1 d’éléments de I ([a,b],K)vérifiant :

(i) ∀ε > 0, ∃nε ≥ 1, ∀ p,q≥ nε , N1( fp− fq)≤ ε ,(ii) Pour aucune fonction f ∈I ([a,b],K) on a limn N1( fn− f ) = 0.

Cependant, lorsque la fonction f est continue et positive, on montre aisément

que, si∫ b

af = 0, alors f ≡ 0. On en déduit aussitôt que (C ([a,b],K),N1) est un

espace normé. Mais lui non plus n’est pas complet.

Proposition 1.12 (C ([a,b],K),N1) est un espace normé non complet.

La non-complétude découle du contre-exemple suivant :

Contre-exemple : Soit ( fn)n≥2 la suite de C ([0,1],R) affine par morceaux définiepar fn := 1 sur [0, 12 ] et fn := 0 sur [

12+

1n ,1]. On vérifie, d’une part, que la suite

( fn)n≥2 est de Cauchy dans (C ([0,1],R),N1) et, d’autre part, qu’elle convergesimplement et dans (I ([0,1],R),N1) vers f̃∞ :=1[0, 12 ] /∈ C ([0,1],R).

Si fn convergeait vers une fonction continue f∞ au sens de la norme N1, onaurait nécessairement N1( f∞− f̃∞)= 0. Or, on vérifie sans peine que, pour toutefonction continue f , N1( f− f̃∞)>0. D’où la non-complétude annoncée.

ii

“Poly˙2017” — 2017/11/6 — 16:27 — page 28 — #26 ii

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28 1. Intégrale au sens de Riemann

1.9 Intégrales dépendant d’un paramètre

On considère la fonction

f : J× [a,b] −→ K(t,x) 7−→ f (t,x)

où J est un intervalle ouvert non vide de R.

Proposition 1.13 (a) (Continuité sous le signe intégrale) Si f ∈ C (J× [a,b],K),

alors la fonction F définie par F(t) :=∫ b

af (t,x)dx est continue sur J.

(b) (Dérivabilité sous le signe somme) Si f et∂ f∂ t

sont dans C (J× [a,b],K), alorsF est dérivable sur J et

∀ t∈ J, F ′(t) =∫ b

a

∂ f∂ t

(t,x)dx.

Remarque : Si g∈ I ([a,b],K) et f (t,x) :=g(x) si x ≤ t et f (t,x) :=0 si x > t,

on note que F(t) =∫ b

af (t,x) dx =

∫ ta

g ne rentre aucunement dans le cadre de la

proposition précédente.

Ce résultat laisse donc ouvert tous les cas où f n’est pas continue et, surtout,celui où l’intégrale est définie sur un intervalle non compact (R, ]0,1[, . . . ). En fait,il existe des théorèmes généraux relatifs aux intégrales généralisées dépendantd’un paramètre mais ceux-ci sont d’un usage compliqué et il est généralementplus efficace de “couper” les intégrales en morceaux pour faire le travail “à lamain”.

Application 1.6 Calcul de l’intégrale impropre F(t) :=∫ +∞

0

sinxx

e−txdx, t≥0.

DÉMONSTRATION : L’idée est de dériver sous le signe intégral pour faire apparaı̂tre la fonctionx 7→ sinxe−tx dont il est facile de calculer une primitive. Mais les théorèmes dont on dispose nesont valables que sur des intervalles compacts. On considère donc la suite de fonctions (Fn)n∈Ndéfinie par

Fn(t) :=∫ n

0

sinxx

e−tx dx, t ≥ 0.

Étape 1 La suite (Fn)n∈N converge uniformément vers F sur R+ et F est continue sur R+ :Soient n≤m∈N∗ et x∈R+. La fonction x 7→ x−1 e−tx étant positive, décroissante et continue,

il existe d’après la seconde formule de la moyenne (proposition 1.10), un réel c∈ [n,m] tel que

Fm(t)−Fn(t) =∫ m

n

sinxx

e−tx dx =e−nt

n

∫ cn

sinxdx =e−nt

n(cosn− cosc).

Le critère de Cauchy de convergence uniforme est donc vérifié puisque

∀ t∈ R+, |Fm(t)−Fn(t)| ≤2n.

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Marc Briane est professeur à l’INSA de Rennes. Il enseigne les mathématiques générales, l’intégration, les distributions, l’analyse numérique et l’homogénéisation en Licence et en Master.Gilles Pagès est professeur à l’université Pierre et Marie Curie (Paris VI). Il enseigne l’intégration, les probabilités et les mathématiques financières en Licence et en Master. Il est responsable du master Probabilités & finance commun à l’UPMC et à l’École polytechnique.

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