analyse et commande des syst mes lin aires - laas
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Analyse et Commande des systemes lineaires
Frederic Gouaisbaut
LAAS-CNRS
Tel : 05 61 33 63 07
email : [email protected]
webpage: www .laas.fr/ ∼ fgouaisb
September 24, 2009
Presentation du Cours
Volume Horaire: 9h Cours, 9h de Tds, 12h de TPs,
Materiel sur le site http://www.laas.fr/∼ fgouaisb
Polycopie sur la resolution des EDOs,Transparents de Cours,Polycopie de TPs,Polycopie de Cours.
Evaluation:
1 note de controle intermediaire (Partiel),1 note de controle terminal,1 note de travaux pratiques (comprenant 1 note de controle QCMs typemoodle, 1 note terminale de travaux pratiques).
Contact⋆ Responsable du Cours : Frederic Gouaisbaut, [email protected]⋆ Responsable des TPs : Yann Labit, [email protected]
Sommaire
1 Introduction a l’automatique et a la notion de systemes.
2 Une premiere modelisation temporelle des systemes lineaires.
3 Analyse temporelle des systemes lineaires.
4 Une seconde modelisation des systemes lineaires.
5 Analyse structurelle des systemes lineaires.
6 Exemples de commande de systemes bouclees.
7 Conclusion
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Part I
Analyse temporelle des systemes lineaires
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Sommaire
1 Introduction
2 Regime transitoire
3 Les systemes du 1er ordre
4 Les systemes du 2nd ordre
5 Exemples de systemes regules
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Analyse temporelle
Les systemes que nous allons etudier sont definis par un modele liant l’entreeet la sortie.Analyse d’ un systeme
comprendre l’evolution du signal de sortie en fonction des sollicitationsde l’entree.
Comparer les evolutions des sorties de differents systemes.
Comparer des systemes :1 en terme de stabilite (le systeme explose t-il ?).2 en terme de rapidite de convergence vers l’objectif.3 en terme de qualite de convergence (oscillations de la sortie ...)
→ Definir des indices de performances communs.
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Les reponses temporelles
idee : Comparer les reponses des systemes a une serie d’entrees tests.
Impulsion de dirac E (p) = 1
e(t)
t
Echelon unitaire e(t) = 1∀t > 0, 0 sinon E (p) = 1/p
e(t)
t
Rampe e(t) = t∀t > 0, 0 sinon E (p) = 1/p2
e(t)
t
Parabole e(t) = t2∀t > 0, 0 sinon E (p) = 2/p3
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Indices de performances pour la reponse indicielle
8y( )
D1
D1
y(t)
t
2, 5% de y( )8
0.1
0.9
TmTp
Tm : temps de montéeTp : temps de picTr : temps de réponse : premier dépassement
Tr ou Te
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Definitions d’indices de performance
Reponse temporelle composee de :
1 regime transitoire.
2 regime permanent.
Nous definissons plusieurs points de reference aisement calculables oumesurables :
La valeur finale :
Le temps de montee :
Le temps de premier pic :
La valeur du premier pic ou premier depassement :
Le temps de reponse :
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Regime transitoire et Regime permanent
1 La reponse transitoire du systeme yt(t). Celle ci correspond a lasolution de l’equation homogene ou les n inconnues (provenant despolynomes qi) sont determines grace aux conditions initiales.
2 La reponse permanente du systeme qui correspond a la solutionparticuliere de l’equation differentielle. Elle correspond en general a lapartie de la courbe lorsque t −→ ∞.
Example
Soit l’equation y(t) + y(t) = 2× u(t) = 2 × 1 avec comme condition initialey(0) = 0. L’equation homogene s’ecrit yl(t) = Ae−t . L’equation particulieres’ecrit y(t) = 2. La constante A est calcule telle que yl(0) + yp(0) = 0 i.e.A = −2. Le regime permanent est donc yp(t) = 2 et le regime transitoire estyt(t) = −2e−t .
Analyser la reponse indicielle c’est donc analyser les caracteristiques duregime permanent (yp(t) = 2) et analyser les caracteristiques du regime
transitoire (yt(t) = −e−t ou au signe pres y⋆(t) = e−t)
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Indices de performances pour le regime permanent
Valeur finale
La valeur finale de la courbe est definie par y(+∞) = limt→+∞
y(t)
Reponse indicielle
Temps (sec)
Am
plitu
de
0 5 10 15 20 25 30 350
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Valeur finale
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Indices de performances pour le regime transitoire
Temps de montee
Le temps de montee d’un systeme est le temps mis par sa sortie pour passerde 10% de sa valeur finale a 90% de sa valeur finale.
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Reponse indicielle
Temps (sec)
Am
plitu
de
Temps de montee
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Indices de performances pour le regime transitoire
Temps de reponse
Le temps de reponse d’un systeme est le temps mis par la sortie du systemepour entrer dans la bande compris entre ±5% de sa valeur finale.
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Reponse indicielle
Temps (sec)
Am
plitu
de
Temps de reponse
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
Reponse indicielle
Temps (sec)
Am
plitu
de
Temps de reponse
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Indices de performances pour le regime transitoire
Temps du premier pic
Le temps de premier pic est le temps mis par le systeme pour atteindre lepremier pic du depassement (si celui ci a lieu ...)
la valeur du premier pic
La valeur du premier pic a plusieurs definitions refletant differentes manieresde mesurer la valeur du depassement maximale par rapport a la valeur finalede y(t). Il est en general utilise en pourcentage :
Dr =y(Tp) − y(∞)
y(∞)∗ 100%
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Indices de performances pour le regime transitoire
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
Reponse indicielle
Temps (sec)
Am
plitu
de
Temps dupremier pic
Valeur du premier pic
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Modele et Reponse d’un systeme du 1er ordre
Equation differentielle
a0y + a1y = b0u ⇔ y + Ty = Ku
T est la constante de temps et K est le gain statique.
Reponse indicielle, echelon e0
y(t) = e−tT x0 +
∫ t
0e−
t−τT
KT
e0dτ
= e−tT x0 + K (1 − e−
tT )e0
= e−tT (x0 − Ke0) + Ke0
regime transitoire + regime permanent
Pente a l’origine
x(0) =Ke0 − x0
T
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Trace de la reponse indicielle
8y( )
y(t)
t
5% de y( )8
T 2T 3T
63%
Temps de montée de 10 à 90% = 2.2T
Temps de réponse à 5% = 2.86T
La valeur finale : Ke0.
Le temps de montee : 2, 2T .
Le temps de premier pic :∅.La valeur du premier pic ou premier depassement :∅.Le temps de reponse : tr = 3T .
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Identification de la reponse
choix d’un modele mathematique.
Determination des parametres du modele (par exemple le gain statiqueK et la constante de temps T )
⇒ Identification de ces parametres1 Ces parametres sont calcules par l’intermediaire de la connaissance du
processus physique.2 Ces parametres sont difficilement calculables ou avec un grande
imprecision ...
⇒ Utiliser la methode de la reponse indicielle pour calculer les parametresinconnues...
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Identification de la reponse
Example
Soit un systeme de capteur d’entree e(t), la donnee que le capteur mesure etde sortie y(t) la mesure du capteur. La reponse indicielle (pour une entreee(t) = 1) donne la courbe suivante.
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
tm=7.2 sec
yfinale=4.1
Calcul du temps de montee tm = 7.2secCalcul de la valeur finale y(∞) = 4.1secModele du systeme
3.27y (t) + y(t) = 4.1e(t)
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Identification de la reponse
Example
Soit un systeme de capteur d’entree e(t), la donnee que le capteur mesure etde sortie y(t) la mesure du capteur. La reponse indicielle (pour une entreee(t) = 1) donne la courbe suivante. Nous pouvons aisement calculer sontemps de reponse tr = 4.36sec , son temps de montee tm = 3.65sec et savaleur finale y(∞) = 2.
0 1 2 3 4 5 6 70
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
temps de montee temps de reponse
reponse indicielle du systeme physique
valeur finale
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Calcul du modele mathematique
Reflet du comportement physique,
meme valeur finale.
meme temps de reponse.
Nous choisissons un modele simple du premier ordre.y(∞) = Ke0 = 2 ⇒ K = 2tr = 3T = 4.36 et donc T = 1.463. Le modele mathematique du capteursera donc :
1.463y (t) + y(t) = 2e(t)
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Comparaisons entre la reponse du modele et du procede
Nous obtenons par ailleurs les reponses suivantes :
reponse indicielle
Temps (sec)
Am
plitu
de
0 1 2 3 4 5 6 70
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
temps de montee
temps de reponse
procede reel
modele mathematique premier ordre
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Modele du second ordre
Equation differentielle :
y + a1y + a0y = b0u ⇔ y + 2ζωny + ω2ny = Kω2
nu
Fonction de transfert : G (p) = Kω2n
p2+2ζωnp+ω2n
ωn est la pulsation naturelle (pulsation propre non amortie), ζ est lecoefficient d’amortissement, K est le gain statique.
Le comportement depend des racines de l’equation caracteristique(poles du systeme) :
Si ζ > 1, alors poles reels :
p1,2 = −ζωn ± ωn
√
ζ2 − 1 = − 1
τ1
et − 1
τ2
si ζ = 1, alors pole double : p = −ζωn
si ζ < 1, alors poles complexes conjugues :
p1,2 = −ζωn ± jωn
√
1 − ζ2
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Reponse indicielle aperiodique ζ > 1
y(t) = K(
1 − p2etp1−p1e
tp2
p1−p2
)
u(t)
= K(
1 − τ1
τ1−τ2e− t
τ1 + τ2
τ1−τ2e− t
τ2
)
u(t)8y( )
y(t)
t
grand
petit
ζζ
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Reponse indicielle critique ζ = 1
y(t) = K(
1 − e−ωnt − ωnte−ωnt
)
u(t)
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Reponse indicielle oscillante amortie |ζ < 1|Reponse oscillante amortie
y(t) = K
[
1 − e−ωnζt
√
1 − ζ2sin(ωn
√
1 − ζ2t + ϕ)
]
u(t)
avec ϕ = arctg
√1−ζ2
ζ .
Pulsation propre : ωp = ωn
√
1 − ζ2 Periode des oscillation : T = 2πωp
Enveloppe d’amortissement donnee par e−ωnt
Temps de reponse a 5% : Te ≃ 3ζωn
Temps de montee : Tm = π2ωp
= T4
Premier depassement : D1 = 100.e−
ζπ√1−ζ2 (en %)
intervient a T2
Coefficient de surtension lorsque ζ < 1√2
Pulsation de resonance : ωr =√
1 − 2ζ2ωn
Coefficient de surtention : Q = 1
2ζ√
1−ζ2
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Reponse indicielle d’un modele d’ordre 2
8y( ) 8 5% de y( )
D1
n- e tζω
t
Tp
T
TeTm
y(t)
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Evolution Reponse indicielle amortissement ζ
Plus ζ diminue, plus les depassements augmentent
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
zeta=0.2
zeta=0.5
zeta=1
zeta=0.7
zeta=1.5
gain statique : 1 pulsation naturelle : 1
réponse indicielle
temps
ampl
itude
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Evolution Reponse indicielle pulsation ωn
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Step Response
Am
plitu
de
ω = 0.1n
ω = 0.2ω = 0.3
ω = 0.4
ω = 0.5
n
n
n
n
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Asservissement proportionnel et integral
Example (asservissement de position)
On desire asservir la position d’un petit robot. Nous commandons la vitessedes roues et nous desirons que celui-ci progresse de yr metres. Le modeleliant la vitesse des roues Ω(t) et la position du robot y(t) est donne par :
y(t) + 30y(t) = Ω(t)
Choix d’une commande en boucle fermee: Ω(t) = k(yr (t) − y(t)) ou k estun parametre de la commande.
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
La relation entre yr et y(t) devient alors :
y(t) + 30y(t) = Ω(t) = k(yr − y(t))y(t) + (30 + k)y = kyr
1 Pour une consigne de yr , le robot progresse de k30+k
yr
2 Nous pouvons egalement utiliser k pour jouer sur la vitesse deconvergence car tr = 3
30+k.
Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples
Example (asservissement de position)
On choisit une commande de la forme Ω(t) = kt∫
0
(yr − y(t)dt) ou k est un
parametre de la commande.L’equation liant la consigne et la sortie devient donc :
y(t) + 30y(t) = Ω(t) = k
t∫
0
(yr − y(t)dt)
En derivant nous obtenons :
y(t) + 30y(t) + ky(t) = kyr
C’est une equation du second ordre, ces parametres canoniques sontKstatique = 1, ωn = k,ζ = 15
k.
1 Pour une consigne de yr , le robot progresse de yr
2 Nous pouvons egalement utiliser k pour faire respecter d’autrespecifications...