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Traitement du signal :application aux taches solairesRéalisé par N.NASRIhttp://blogmatlab.blogspot.com/

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Analyse spectrale des séries temporelles N.NASRI

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Analyse spectrale des séries temporelles. Application aux taches solaires.

Par N.Nasri

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Introduction Très souvent l’information utile d’un signal se situe dans ses singularités et

ses structures irrégulières. La transformation de Fourier joue un rôle important dans l’analyse des

signaux. Mais cette dernière ne peut pas représenter les signaux non stationnaires fidèlement et ne permet aucune localisation des fréquences dans le temps. Ce qui a conduit à la recherche d’autres outils plus performants. Une solution partielle à ce problème fut l’introduction de la transformée de Fourier à court terme TFCT, qui permet une analyse spectrale sur une fenêtre de taille fixe telle que la condition de stationnarité soit vérifiée. Bien que la TFCT arrive à extraire l’information locale du signal, le problème de localisation temporelle persiste.

C’est la transformée de Wigner-Ville (TWV) qui a permis d’un coté de s’affranchir de la condition de stationnarité et d’obtenir un spectre instantané du signal, de l’autre coté. Cette analyse est appelée : représentation temps-Fréquence.

Une autre alternative est l’analyse par transformée en ondelettes qu’est une extension de la TFCT, puisque l’analyse s’effectue sue une fenêtre glissante de taille variable. Cette analyse est appelée : analyse temps- échelle

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Chapitre I :

Généralités sur les séries temporelles. I- Introduction :

Les séries temporelles appelées aussi séries chronologiques, occupent une place importante dans tous les domaines de l’observation ou de collecte de données. II- Définitions : II- 1- Séries temporelles :

Une série temporelle est une série d’observation numériques (ie : mesures) indicées par le temps. Ces observations seront représentées par : { y1 , y2 , …. , yn} 1,2, …. , n représentent les marques temporelles. yi est la valeur de la mesure réalisée au temps i. Exemple simple : Un bilan du flux des gens qui entrent dans un magasin et qui en sortent, touts les demi heures, peut former une série temporelle. On aura par exemple : {1 0 4 -3 8 -1 ….}. II- 2- Composantes d’une série temporelle :

L’examen d’une série temporelle permet de lui définir trois types de composantes :

Une tendance. Une composante saisonnière. Une variation aléatoire.

D’autres caractéristiques évolutives, comme les chocs, peuvent être observés, mais sont moins liées à la structure de la série. Il est utile de séparer ces composantes, pour les raisons suivantes :

Répondre à des questions du bon sens, comme celle de la croissance ou la décroissance générale du phénomène observé.

Mettre en évidence la présence éventuelle d’une variation périodique grâce à l’analyse de la composante saisonnière.

Débarrasser le phénomène de sa tendance et de ses variations périodiques pour observer plus aisément le phénomène aléatoire.

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II- 3- Variable aléatoire :

Une variable aléatoire est une variable dont les valeurs sont liées au hasard ou au résultat d’une expérience aléatoire.

II- 4- Processus aléatoire :

Un processus aléatoire est une suite de variables aléatoires indexées dans le temps. Tout phénomène perturbateur gênant la perception ou l’interprétation d’un signal est appelée processus aléatoire.

II- 5- Caractéristiques et propriétés d’un processus :Soit (X, Y) deux variables aléatoires. On défini les caractéristiques suivantes :

a) L’espérance : On appelle espérance ou moyenne de la variable aléatoire X, le moment d’ordre 1. On écrit : E(X).

b) La variance : est la mesure des fluctuations de la variable aléatoire autour de

la moyenne. Elle est définie par : Var(X)= E{[ X - E(X)]2} = E(X2) - E(X)2

c) La covariance : On appelle covariance entre X et Y la quantité définie par :

Cov(X,Y)= E{[ X - E(X)]. [ Y* - E(Y*)]} = E(XY*) - E(X).E(X*)

d) La corrélation : On dit que X et Y sont corrélés si : Cov(X,Y)=0 .

Nota : La transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation et identique au spectre d’énergie.

e) Coefficients de corrélation : On appelle coefficients de corrélation la

quantité :

)(.)(

),(),(

YVarXVar

YXCovYX

f) L’ergodicité: Un processus stationnaire est ergodique si l’on peut calculer

l’ensemble de ses caractéristiques (Moyenne, Variance, Fonction d’autocorrection, ..) à partir d’une seule trajectoire du processus (ie : à partir d’une observation du processus) et par conséquent, de façon pratique, à partir de la série temporelle observée suffisamment longtemps.

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g) La stationnarité: Un processus discret est dit stationnaire du 2nd ordre si : a) Les moments du 2nd ordre ne doivent pas prendre des valeurs

infiniment grandes. E (│X │2) est fini.

b) Les espérances (moyennes) des variables X sont égales. E (X) = u quelque soit « t », avec u est une constante.

c) la corrélation entre deux variables ne dépend que de l’écart entre les instants respectifs de ces variables.

Problème !

En général, les processus ne sont pas stationnaires. Ainsi pour les étudier, il faut le « stationnariser ». III- Notion de fenêtre : D’une façon générale, on appelle fenêtre la suite des coefficients utilisés pour pondérer un signal afin de le rendre stationnaire localement.

III- 1- Types de fenêtres : Il existe une multitude de fenêtres :

a) Fenêtre Rectangulaire : La pondération par une fenêtre rectangulaire (carrée) revient à La convolution du spectre recherché et le spectre d’une fenêtre carrée (ie :une fonction « Sinc » avec lobes latéraux). Ceci produit des « queux » qu’on appelle aussi fuite spectrale. Pour limiter ces fuites, on utilise des fenêtres mieux adaptées (dont le spectre à des lobes moins importants).

Cette fenêtre est exprimée comme suit :

1)( nw si : 2)1( Nn

0)( nw ailleurs

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Problème !

La fenêtre rectangulaire n'est pas forcément la meilleure. On peut le comprendre indifféremment dans le domaine temporel ou fréquentiel : Domaine temporel : le signal « fenêtré » s'interrompt brusquement aux temps t=T0 et t=Tf de la fenêtre. Ceci génère des hautes fréquences au spectre du signal. Domaine fréquentiel : la fonction Sinc a des lobes non négligeables loin de f=0. Afin de compenser ces défauts, une variété de fenêtres a été imaginée. Bien sur aucune n'est idéale !

b) Fenêtre Triangulaire (Bartlett) : Cette fenêtre est exprimée comme suit :

N

nnw

21)( Si : 2)1( Nn

0)( nw ailleurs

c) Fenêtres Trigonométriques : La fenêtre de Hanning, Hamming et Blackman sont des fenêtres dites trigonométriques,

Fenêtre Hanning : La fenêtre de Hanning (ou Hann) converge

doucement vers zéro aux extrémités t=0 et t=Tf. Par conséquent, les lobes secondaires sont plus réduits.

Cette fenêtre est exprimée comme suit :

)2

cos(5.05.0)(N

nnw

Fenêtre Hamming : La fenêtre de Hamming a des lobes

secondaires qui deviennent vite négligeables, mais cela au prix d'un lobe principal plus large !

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Cette fenêtre est exprimée comme suit :

)2

cos(46.054.0)(N

nnw

Fenêtre Blackman : La fenêtre de Blackman n’a pratiquement pas

de lobes secondaires.

Cette fenêtre est exprimée comme suit :

)4

cos(08.0)2

cos(5.042.0)(N

n

N

nnw

III- 2- Résolution :

On peut définir la résolution en fréquence par l’écart minimal qui doit exister entre les fréquences de deux sinusoïdes d’amplitudes différentes pour observer sur le spectre de leur somme un creux de plus de 3 dB entre les deux maxima. Il s’agit de séparer deux fréquences voisines.

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Chapitre II :

Analyse spectrale des séries temporelles. I- Introduction :

L’analyse spectrale a pour objectif la recherche de la répartition de l’énergie ou la puissance du signal, en fonction de la fréquence. Le problème majeur est le nombre fini d’échantillons des signaux physiques, ce qui induit automatiquement une perte en résolution fréquentielle. II- Définitions : II- 1- L’analyse spectrale :

L’analyse spectrale est la recherche du spectre de fréquences de la série temporelle. Le graphe obtenu est appelé périodogramme. II- 2- Le spectre : Le spectre d’un signal nous donne une indication sur la rapidité de variation du signal dans le domaine temporel. (ie : un spectre étendu traduit que le signal est à variations rapides et ainsi l’échantillonnage doit être rapide afin de ne pas perdre d’informations). II- 3- La série de Fourier d’une fonction périodique : Si x(t) est une fonction complexe de variable complexe périodique de période T on a:

)..sin(.)..cos(.)(1

0 tnbtnaatf n

n

n

Les coefficients a0 , ak et bk sont calculés par:

T

T dttxa0

10 ).(

T

Tk dttntxa0

2 )...cos().(

T

Tk dttntxb0

2 )...sin().(

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II- 4- Forme condensée :

1

....)(n

tnj

n eCtf

Avec :

T

tnj

Tn dtetxC0

...1 ).(

II- 5- La densité spectrale : C’est une énergie donnée par :

dexRS j .).()(

Avec : R(x) est la fonction d’autocorrélation.

III- La transformée de Fourier :

La transformée de Fourier est un outil de base pour le traitement des signaux. Du point de vue mathématique, la TF transforme une séquence de données, du domaine de définition (temporel), en une autre séquence de données dans un domaine transformé (fréquentiel). x(t) X(ν)

dtetx tjX

2( ).()

Problème !

Un calculateur numérique ne peut traiter qu’un nombre fini de valeurs discrètes, on est conduit alors à la transformée de Fourier discrète. IV- La Transformée de Fourier Discrète ( TFD ):

La transformée de Fourier discrète est une transformation qui, à un nombre fini (N) de valeurs temporelles {x(t1), x(t2), …. , x(tN)} fait correspondre un nombre fini de valeurs fréquentielles {X(ν1), X(ν2), …. , X(νN)} .

X[k]= TFD {x[n]} =

1

0

.].[N

n

Nk

Nwnx

Avec : w N = eNj /.2

n, k= 0 : N-1

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Problème ! La TFD s’applique en théorie, sur un signal infiniment long ou complété d’une infinité de zéros. Mais, en pratique, le signal à analyser est fini. Ceci est équivalent à la multiplication du signal infini par une fenêtre de pondératio V- Conclusion : La transformée de Fourier a l’inconvénient de perdre toute localisation temporelle. Il est intéressant d’avoir une représentation conjointe qui nous informe sue le comportement fréquentiel et temporel.

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Chapitre III :

Analyse temps-fréquence des séries temporelles.

I- Introduction : La nature des signaux physiques étant non stationnaire, conduit forcément à les multiplier par une fenêtre de pondération afin de les « stationnariser ». Cette approche nous permet aussi de localiser « temporairement » le spectre du signal. Ce chapitre introduira principalement la transformée de Fourier à court terme (TFCT) et la transformée de Weigner-Ville. II- La Transformée de Fourier à Court Terme ( TFCT ):

La Transformée de Fourier à Court Terme ( TFCT) considère le signal comme stationnaire localement. On construit ensuite l’analyse de Fourier de tranches successives pondérées par une fenêtre d’analyse de durée appropriée. Elle est donc bien adaptée à l’étude des phénomènes dont les caractéristiques varient peu dans le temps, qu’à celle des phénomènes transitoires de durée brève.

Cette manière d’analyse a induit un compromis difficile à satisfaire. Fenêtre de temps longue, conduit à une bonne résolution fréquentielle contre

une résolution temporelle pauvre. Fenêtre de temps courte, conduit à une mauvaise résolution fréquentielle

contre une résolution temporelle plus au moins précise.

II- 1- Le spectrogramme : Le spectrogramme est défini comme une densité d’énergie, soit :

21

0

...2).().(),(

N

n

njenkxnhvkS

Remarque : La transformée de Fourier à court terme ou son module élevé au carré (ie :

spectrogramme) considère implicitement un signal non stationnaire comme une succession de situations quasi-stationnaires, à l’échelle de la fenêtre à court terme h(n).

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Problème !

Comme la TFCT suppose la stationnarité du signal sur la fenêtre d’analyse, la nature du signal dépendra alors de la fenêtre à utiliser, ce qui fixe la résolution. La résolution temporelle est fixée par la largeur de la fenêtre. La résolution fréquentielle est fixée par la largeur de la transformée de Fourier

de la fenêtre. Ces deux largeurs étant antagonistes, on se trouve donc en présence d’un compromis entre les résolutions temporelle et fréquentielle. Un choix judicieux de la fenêtre d’analyse s’avère nécessaire. II- 2- Algorithme de la TFCT :

Etape 1 : Lecture des paramètres : - Type de la fenêtre d’analyse. - Largeur de la fenêtre. Etape 2 : Initialisation m=0 Etape 3 : Convoluer le signal avec la fenêtre d’analyse. Calculer la transformée de Fourier du résultat. Répéter jusqu’à m=N (N : nombre d’échantillions). Etape 4 : Tracer le résultat. II- 3- Effet du fenêtrage sur la résolution :

Les fenêtres d'analyse (ou de pondération) jouent un rôle très important dans l'analyse de Fourier. La résolution en fréquence est d’autant meilleure que : Le lobe principal (central) est étroit. Les lobes secondaires (latéraux) sont bas (les amplitudes de ces derniers fixent

la dynamique de l'analyse, c'est à dire l'aptitude à mesurer les amplitudes de deux composantes de fréquence relativement éloignées l'une de l'autre).

Malheureusement, la réduction en hauteur des lobes secondaires s’accompagne toujours de l’élargissement du lobe principal. Il faut donc accepter un compromis entre ces deux effets.

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II- 4- Comparaison : La fenêtre rectangulaire a l’avantage d’être précise au voisinage de –f0 et f0 (ce

qui offre une bonne résolution) à l’inverse de la fenêtre de Hanning dont la précision est moins bonne. Mais ses lobes secondaires se répercutent sur tout le spectre avec une décroissance lente (ce qui contraint d'obtenir une bonne dynamique) alors que ceux de la fenêtre de Hanning s’adoucies rapidement.

Pour un nombre d'échantillons N fixé la fenêtre rectangulaire est celle qui

donne la meilleure résolution; la largeur du lobe principal est égale à 2Fe/N. En général on caractérise une fenêtre par l'atténuation X (en dB) du premier lobe secondaire. La valeur de X est indépendante du nombre de points N.

Type Largeur du lobe principal Atténuation ( X) en dB

Rectangulaire 2 / N 13

Triangulaire 4 / N 25

Hanning 4 / N 31

Hamming 4 / N 41

Blackman 8 / N 61.5

II- 5- Limitation de la transformée de Fourier : Difficulté d’interprétation : Quoique parfaite du point de vue mathématique, la transformée de Fourier conduit bien souvent à des difficultés d’interprétation physique. Ainsi, si l’on se reporte à la définition usuelle, il est clair que le calcul d’une valeur fréquentielle X(ν) nécessite la connaissance de toute l’histoire temporelle du signal, éventuellement de - à + . La transformation de Fourier décompose un signal d’énergie finie en une combinaison linéaire d’éléments dont aucun n’est d’énergie finie. Ce problème à amené à cherché un autre moyen qui puisse concilier description fréquentielle et localisation temporelle.

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III- Transformée de Weigner-ville :

La transformée de Weigner-ville permet de représenter le signal simultanément en temps et en fréquence.

detxtxftW fj

x .).2

().2

(),( .2*

III- 1- Propriétés : Invariance par translation :

- En temps : )()( 0ttxty ),(),( 0 fttWftW xy

- En fréquence : 02).()(

fjetxty

),(),( 0fftWftW xy

Dilatation :

)(.)( ktxkty )(),( kfktWftW xy , k>0

Convolution :

)(*)()( thtxty ),(*),(),( ftWftWftW hxy

Modulation :

)().()( txtmty dftWftWftW mxx ).,().,(),(

Conservation du support :

Tttx 0)( TtftWy 0),(

Bftx 0)( BfftWy 0),(

Problème ! La distribution énergétique temps-fréquence Wx(t, f ) est réelle mais pas

toujours positive ! ? Interférences : la forme quadratique de TWV génère des termes

d’interférence. Si x(t) = x1(t) + x2(t)

Wx(t, f ) = Wx1 (t, f ) +Wx2 (t, f ) +Wx1,x2 (t, f ) +Wx2,x1 (t, f ) Ceci à fait penser de lisser Wigner-Wille (par convolution) pour réduire les interférences.

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III- 2- Transformée Pseudo Weigner-ville :

Permet la réduction des termes d’interférences par lissage temporel.(ie : multiplication par une fenêtre glissante).

dehtxtxftPWfj

x .).().2

().2

(),( 02*

III- 3- Transformée Pseudo Weigner-ville lissée : Le lissage dépend de la fenêtre d’analyse, et n’est pas toujours suffisant, d’où l’apparition de la transformée Pseudo Weigner-ville lissée, qui utilise une seconde fenêtre glissante pour réduire d’avantage les termes d’interférence. Elle effectue un lissage dans le plan temps-fréquence.

dgftPWftLPW xx ).().,(),(

Conclusion :

Du fait qu’elle s’appuie sur la décomposition du signal, contenu dans une fenêtre glissante de taille fixe, La transformée de Fourier à court terme s’est affranchit du problème de stationnarité. Mais reste toujours difficile à interpréter physiquement dans certains cas. La transformée de Wigner-Ville est une bonne solution à ce problème, bien que sa forme quadratique génère des termes d’interférences indésirables.

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Chapitre IV :

Analyse temps-échelle des séries temporelles. I - Introduction :

La plupart des signaux du monde réel ne sont pas stationnaires, et c’est justement dans l’évolution de leurs caractéristiques (statistiques, fréquentielles, temporelles, spatiales) que réside l’essentiel de l’information qu’ils contiennent. Or l’analyse de Fourier propose une approche globale du signal, les intégrations sont faites de moins l’infini à plus l’infini, et toute notion de localisation temporelle disparaît dans l’espace de Fourier ; il faut donc trouver un compromis : une transformation qui renseigne sur le contenu fréquentiel tout en préservant la localisation afin d’obtenir une représentation temps/fréquence ou espace/échelle du signal. D’où l’importance de l’analyse par ondelettes. Les ondelettes permettent, comme les sinus et les cosinus, de décomposer un signal, à la différence qu’elles sont localisées en temps et en fréquence. Ceci se traduit par le fait que l’ondelette s’exprime par une fonction non nulle sur un intervalle fini et nul partout ailleurs. Avec les ondelettes, on sait donc en quelque sorte quand un événement se produit et comment il se produit, avec une certaine incertitude. II- 1- Notion d’ondelette mère :

Les ondelettes sont des dilatations (étirées ou comprimées) et des translations d’une ondelette initiale que l’on nomme ondelette mère. Suivant ce que l’on désire réaliser avec le signal, on utilise différents types d’ondelette mère. Les ondelettes sont des fonctions dont l’expression est la suivante :

)(.1

)(,a

bt

atba

Ou ψ est l’ondelette mère (nous verrons plus loin les différentes ondelettes mères existantes). ψ doit être de moyenne nulle, centrée au voisinage de 0 et d’énergie finie.

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avec :

a : le facteur d’échelle b : le facteur de translation.

Ondelette mère Ondelette dilatée Ondelette compressée (Variations lente (Variations rapide du signal) du signal) Le déplacement se fait en variant les facteurs a et b. ainsi on aura une décomposition spectrale locale du signal. II- 2- Types d’ondelettes mères utilisées :

Différentes ondelettes sont cités dans la littérature tel que : l’ondelette de « Morlet » qui est une gaussienne modulée par une exponentielle complexe, l’ondelette « chapeau mexicain » qui est en réalité la dérivée seconde d’une gaussienne, l’ondelette classique de Haar, et l’ondelette de Daubechies,…etc. II- 3-Exemple d’ondelettes :

II- 4- Notion d’échelle :

Le paramètre échelle, utilisé en analyse par ondelettes, est très similaire à la notion d'échelle pour les cartes. Comme dans le cas des cartes, les grandes échelles correspondent à des vues globales (non détaillées). Les faibles valeurs d'échelle

Ondelette chapeau mexicain

Ondelette de Morlet

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correspondent à des vues détaillées. En termes de fréquence, de façon similaire, les basses fréquences (grandes échelles) fournissent une information globale sur le signal (habituellement sur toute l'étendue du signal) alors que les hautes fréquences (faibles échelles) donnent des informations détaillées sur un motif caché dans le signal (généralement de faible durée).

En termes mathématiques, si f(t) est une fonction du temps donnée, la fonction f(at) est une version compressée de f(t) si a>1 et une version dilatée de f(at) si a<1. Dans la définition de la transformée en ondelettes, le terme d'échelle figure au dénominateur et donc, le résultat obtenu est inversé par rapport aux affirmations précédentes :

a>1 dilate le signal alors que a<1 compresse le signal.

III- La transformée en ondelettes continue: CWT : Les ondelettes sont issues d’une onde mère notée . On représente

n’importe quel signal par une base d’ondelettes, qui ne sont que des versions dilatées et translatées de l’onde mère. La transformée en ondelettes est similaire `a celle de Fourier et s’écrit :

dtttxTOx ba ).().( *

,

Avec : X(t) : Signal a analyser.

)(*

, tba : Famille d’ondelettes

Problème ! Dans le cas de dé-bruitage, par exemple, est ce qu’on peut reconstituer,

fidèlement, le signal avec la transformée en ondelettes inverse ? Pour surpasser ce problème, il faut que la condition d’admissibilité soit vérifiée. III- 1- Condition d’admissibilité :

Les ondelettes doivent être L2 (ie : carré intégrables) et vérifient la condition suivante :

dteww jwt

w ).()( 0

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Cette condition est nécessaire pour assurer d’avoir le signal d’origine x(t) à partir de la transformée en ondelettes inverse. III- 2- La transformée en ondelettes continue inverse: La transformée en ondelettes inverse s’exprime sous la forme suivante :

dbda

aa

btTO

ctx x ..

1).(.

1)(

2

Sous la condition que : ..)( 21

dxtxc soit fini.

IV- La transformée en ondelettes discrète: La transformée en ondelettes discrète est issue de la version continue, à la différence qu’elle utilise un facteur d’échelle et une translation discrétisés. Le principe est de séparer le signal en deux composantes, l’une représente l’allure générale du signal (par les basses fréquences), l’autre représente ses détails (par les hautes fréquences). La famille d’ondelettes sera construite par la relation :

).

(.1

)(0

00

, m

m

nma

abnt

at

D’où : ).(.1

)( 00, bntaa

t m

nm

Avec : m : est le pas du facteur d’échelle discret. n : est le pas du facteur de translation discret.

La transformée en ondelettes discrète sera :

dtttxTOx nm ).().( *

,

IV- 1- La transformée en ondelettes discrète inverse: La reconstitution du signal sera obtenue par la relation suivante :

dttTOxtx nm ).(.)( *

,

Soit :

0 0

00 )..(.1

.)(m n

m

mdtbnta

aTOxtx

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V- Le scalogramme :

Le scalogramme est une distribution d’énergie représentée en temps-échelle.

Scalx (t,s) = [ TOx (t,s) ]2 VI- Avantages et applications de la transformée en ondelettes :

Le fait que la transformée utilise des fonctions bien localisées dans le plan temps-fréquence lui donne beaucoup d’avantages.

La résolution en fréquence de la transformée dépend du facteur de dilatation

« a » (facteur d’échelle), on peut donc choisir arbitrairement celle-ci suivant ce que l’on désire analyser.

Pour des signaux physiques présentant des variations très rapides; l’analyse

en ondelettes est adaptée car l’ondelette va détecter ses singularités et analyser celles-ci. Cette particularité rend l’analyse en ondelettes complémentaire à l’analyse de Fourier. En effet, avec cette dernière, les discontinuités d’un signal ne sont pas facilement analysables, car les coefficients des fréquences correspondantes sont étalés dans toute la transformée.

On peut représenter complètement et efficacement un signal quelconque en

peu de coefficients VII - Algorithme d’implémentation de la transformée en ondelettes :

Etape 1 : - Comparer l’ondelette mère au segment du signal en court. Etape 2 : - Calculer TOx(a,b). Etape 3 : - Translater l’ondelette .

- Répéter l’étape 1 et l’étape 2 jusqu’à balayer tout le signal. Etape 4 : - Dilater ou compresser le signal - Répéter l’étape 3. Etape 4 : - Répéter l’étape 4 pour toutes les échelles choisie.

VIII- Conclusion :

L’analyse temps-échelle reste l’outil le plus fort, puisque l’analyse s’effectue sue une fenêtre glissante de taille variable.

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Chapitre V :

Application aux taches solaires…

I- Introduction :

La variabilité apparente du Soleil (variations de sa luminosité) est aisément détectable (ne serait-ce qu'en observant le nombre de taches sur le disque) et est connue depuis près de deux siècles et demi. En revanche, des mesures directes des variations de sa luminosité n'ont été obtenues que depuis une dizaine d’années. L'irradiance totale, indicateur de la luminosité, est définie comme étant l'énergie rayonnante (en Watt par mètre carré) émise par le soleil arrivant chaque seconde sur une surface de un mètre carré à l'extérieur de l'atmosphère terrestre.

II- Série Sunspot : (http://sidc.oma.be/Sunspot-data/index.php)

La série des taches solaire provienne de l’observation du soleil, dont l’activité varie au cours du temps. Plusieurs phénomènes liés à cette activité sont observables, dont des éruptions ou des taches noires, entre autres. Ces dernières apparaissent quotidiennement selon un cycle approximatif de onze (11) ans. Plusieurs séries temporelles sont obtenues sur base de ces observations (quotidiennes, mensuelle, annuelle. Exemple :

Un groupe de taches solaires mesurait plus de 160000 Km (13 fois la Terre) et était visible à l'oeil nu le 25 mars 2001.

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Figure 1 : Taches solaires.

II-1- Le nombre de Wolf : Le nombre de Wolf (W) ou Nombre Relatif International (RI) est un nombre

sans dimension qui détermine le nombre de taches. Il varie entre 0 et 200 unités environ pour chaque mois de l’année :

W = k (10.g + f) Avec : f : le nombre total de taches distinctes.

g : le nombre de groupes de taches. k : un coefficient de proportionnalité, fonction de la puissance de l'instrument utilisé, de l'observateur et du lieu d'observation.

Figure 2 : la série Sunspot annuelle entre 1700 & 2000

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II-2- Influence des taches :

Les variations du flux lumineux arrivant sur terre (appelé irradiance solaire) sont pour une part dues aux taches solaires. Ceci influe directement sur le climat de la terre.

III- Analyse du cycle solaire :

Le périodogramme :

Les graphes suivant représentent le periodogramme de la série Sunspot, un est donné en fonction des « cycle/année » et l’autre par « année/cycle »:

Figure 10 : Périodogramme (Cycles/année). Figure 11 : Périodogramme (Année /cycles)

On remarque que le pic se produit pour une période de 11 ans. Cela confirme que

l'activité du soleil mesurée varie selon des cycles assez réguliers de onze ans.

La transformée en ondelettes:

Pour cette analyse, nous avons choisi d’appliquer l’ondelette mère de Morlet qui est la plus utilisée. Son expression est donnée comme suit :

)2/exp()exp( 2

0

)4/1( ttiwt

0w : est le nombre d’oscillation (choisi 0w =6).

D’où : Fc qui est la fréquence centrale de l’ondelette mère est calculée comme suit :

HzFcw

96.0*2

0

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Construction de la famille d’ondelettes :

Afin de construire la famille d’ondelettes à appliquer à la série temporelle Sunspot, nous avons choisi de faire varier l’échelle « a » pour 100 ondelettes différentes afin de balayer tout le signal.

)2/)/(exp()/exp(1 2

0

)4/1(

a atatiwa

t

Calcul de la transformée en ondelettes continu la CWT :

Une fois l'ondelette mère choisie (ondelette de Morlet), le calcul commence avec a=0.005, puis, pour toutes les valeurs de a jusque a=0.95, on calcule la CWT. Une CWT complète est rarement nécessaire, dans le cas pratique, les signaux ont une largeur de bande limitée et le calcul de la transformée est effectué sur un intervalle d'échelles borné, tel est le cas pour notre signal. Nous utiliserons un intervalle de valeurs de a borné pour notre étude. La Figure12, montre quelques ondelettes appliquées à la série Sunspot pour dix différentes valeurs de a.

-5 0 5 10-2

0

2a=0.4633

-5 0 5 10-2

0

2a=0.04877

-5 0 5 10-2

0

2a=0.5133

-5 0 5 10-2

0

2a=5404

-5 0 5 10-1

0

1a=0.5688

-5 0 5 10-1

0

1a=0.5987

a=0.6634

-5 0 5 10-1

0

1a=0.6302

-5 0 5 10-1

0

1

-5 0 5 10-1

0

1a=0.6983

-5 0 5 10-1

0

1a=0.7351

Figure 12 : Exemple de quelques ondelettes utilisées à

différentes échelles « a »

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Le scalogramme :

Le scalogramme du signal présenté sur la Figure13 présente des valeurs

maximales aux alentours des échelles a allant de 55 à 58. On a modifié l’échelle pour pouvoir calculer à quelle période correspond le pic. On retrouve bien la périodicité de 11 ans.

Figure 13 : Scalogramme.

Commentaire :

La transformation en ondelettes, ou représentation temps-échelle, décrit l'évolution d'un signal relativement à une échelle d'observation. Les ondelettes sont des fonctions oscillantes et localisées dans le temps ; à la différence des fonctions sinusoïdales de la transformée de Fourier, elles ont toutes la même forme et ne diffèrent que par leur instant d'apparition et leur durée. Les ondelettes de durée courte et d'amplitude faible représentent mieux les composantes locales du signal.

Conclusion : Ces études sont importantes non seulement pour mieux comprendre les mécanismes qui régissent l'activité solaire mais aussi pour permettre de vérifier la relation entre activité solaire et climat terrestre.

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Conclusion :

La transformée de Fourier à longtemps était l’outil principal d’analyse spectrale, mais la non stationnarité des signaux réels à conduit à la l’utilisation de la TFCT, qui impose un compromis entre résolution fréquentielle et temporelle.

Malgré les risques d’interférence et la perte en résolution, La transformée de Weigner-Ville, a apporté beaucoup d’améliorations, surtout concernant la localisation des signaux. Le spectre temps-fréquence offre une analyse plus fine.

L’analyse en ondelettes permet une analyse plus précise et plus adéquate. Cette dernière change de résolution et s’adapte au contenu fréquentiel du signal analysé, une telle qualité manque les méthodes classiques et favorise cette analyse.

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