analysis – mehr als tangenten und flächen
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Analysis – mehr als Tangenten und Flächen ein anwendungsorientierter Einstieg in die Analysis mit elektronischen Werkzeugen Michael Rüsing B. M. V. – Schule Bardelebenstraße 9 45147 Essen [email protected]. Vorgesehene Reihenfolge - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Analysis – mehr als Tangenten und Flächenein anwendungsorientierter Einstieg in die Analysis mit elektronischen
Werkzeugen
Michael RüsingB. M. V. – Schule
Bardelebenstraße 945147 Essen
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Vorgesehene Reihenfolge
1.Darstellung eines Einstiegs in die Differentialrechnung mit CAS2.Teile des Einstiegs, die mit GTR möglich sind3.Einstiege der Teilnehmerinnen und Teilnehmer4.Konsequenzen in der S I5.Vergleich von Abituraufgaben mit und ohne CAS6.Einstieg in die Integralrechnung
Zwischendurch:Unterbrechungen, Kommentare, Fragen, Änderungswünsche
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Die Entwicklung mathematischer Kompetenzen wird durch den sinnvollen Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge unterstützt. Das Potenzial dieser Werkzeuge entfaltet sich im Mathematikunterricht
•beim Entdecken mathematischer Zusammenhänge, insbesondere durch interaktive Erkundungen beim Modellieren und Problemlösen,
•durch Verständnisförderung für mathematische Zusammenhänge, nicht zuletzt mittels vielfältiger Darstellungsmöglichkeiten,
•mit der Reduktion schematischer Abläufe und der Verarbeitung größerer Datenmengen,
•durch die Unterstützung individueller Präferenzen und Zugänge beim Bearbeiten von Aufgaben einschließlich der reflektierten Nutzung von
Kontrollmöglichkeiten.
Bildungsstandards
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Voraussetzungen
Änderungsrate ist bei linearen Funktionen bekannt
Intuitiver Grenzwertbegriff ist vorhanden
Einstieg in die Differentialrechnung
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Einstiegsaufgabe zur Differentialrechnung
Schilderung eines Problemzusammenhangs
An einer meteorologischen Messstation werden verschiedene Wetterdaten erhoben. Unter anderem wird auch die Regenmenge registriert. In einem oben offenen Glasrohr kann abgelesen werden, wie hoch der Regenwasserstand ist.
Wird zu verschiedenen Zeitpunkten die Höhe des Wasserstandes registriert, ergibt sich eine Wasserstandsfunktion. Mit Hilfe dieser Funktion lassen sich eine ganze Reihe von Fragen beantworten.
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Die Höhe des Wasserstandes sei gegeben durch die Funktion mit der Gleichung
Dabei wird h in cm und t in Stunden gemessen
ttt
th 37300
)(23
24;0t
Wie hoch steht das Wasser nach 8 Stunden? (8)h
Wann steht das Wasser 5 cm hoch? ( ) 5h t
Um wie viel ist der Wasserstand von 10 Uhr bis 11 Uhr gestiegen?
(11) (10)h h
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Die Höhe des Wasserstandes sei gegeben durch die Funktion mit der Gleichung
Dabei wird h in cm und t in Stunden gemessen
ttt
th 37300
)(23
24;0t
Hat es um 15.00 Uhr stärker geregnet oder um 16.00 Uhr?
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Erster Lösungsansatz
1,25525
13168)16(
1,2428
675)15(
h
h Also hat es um 16.00 stärker geregnet.
Zweiter Lösungsansatz
01,1)16()17(
97,0)15()16(
hh
hh In der 16. Stunde ist mehr Regen gefallen als in der 17.
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Dritter Lösungsansatz
099,0)16()1,16(
097,0)15()1,15(
499,0)16()5,16(
484,0)15()5,15(
hh
hh
hh
hhDie Werte werden so klein und sind nicht mehr miteinander vergleichbar.Wie entscheidet man, ob es von 15 bis 15,5 heftiger geregnet hat als von 15 bis 15,1?
Wähle ein gemeinsame Bezugsgröße, etwa eine Stunde:
10)15()1,15( hh wird verglichen mit 2)16()5,16( hh
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Verallgemeinerung
Bisher berechnet: durchschnittliche Regenheftigkeit in Intervallen
Beobachtung: Je kürzer das Intervall, desto besser stimmt der Durchschnittswert mit der Heftigkeit des Regens zu dem gewünschten Zeitpunkt überein.
Erinnerung:Grenzwertbildung
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Term (unendlich viele Durchschnittswerte) als Voraussetzung für Grenzwertbildung
Im Unterricht beobachtete Alternativen
n
thn
th
1
)(1
n
n thth
10
10
x
thxth )()(
Alle Alternativen sind brauchbar
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Vorteile des Einsatzes von CAS
„Analysis ist schwer, weil man dabei so viel rechnen muss“
Neu zu lernen notwendiges Werkzeug ( ) ( )f x h f x
h
algebraische Vereinfachung
Schülermeinung
leicht schwer
Durch den Einsatz von CAS werden Schwierigkeiten isoliert
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Kombinieren der Schwierigkeiten
Bei welchen Funktionstypen sollen die Schüler die Umformung des Differenzenquotienten ohne Technologie leisten?
Zu welchem Zeitpunkt soll das geschehen?
Klausuraufgabe:Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung
Bestimmen Sie als Grenzwert ohne Technologie
2( ) 2 3 1f x x x '(2)f
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Geometrische Veranschaulichung
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Geometrische Veranschaulichung
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Geometrische Veranschaulichung
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Geometrische Veranschaulichung
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Geometrische Veranschaulichung
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Geometrische Veranschaulichung
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Beispielaufgabe
Die Füllmenge in einem Vorratsbehälter ist gegeben durch die Funktion mit der Gleichung:
Dabei ist V in m³ und t in Stunden gemessen. Betrachtet wird der Ablauf eines Tages, also t liegt zwischen 0 und 24.
15034
1
150)( 2
3 tt
ttV
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a) Wie groß ist der Verbrauch im Laufe des Tages?
b) Ist der Vorratsbehälter im Laufe des Tages irgendwann leer?
c) Wann ist die Hälfte der Anfangsmenge im Behälter?
d) Wie groß ist die durchschnittliche Verbrauchsrate während des Tages?
e) Zu welchem Zeitpunkt ist die Verbrauchsrate maximal?
f) Zu welchem Zeitpunkt ist der Verbrauchsrate minimal?
g) Wie groß ist die minimale bzw. maximale Verbrauchsrate?
15034
1
150)( 2
3 tt
ttV
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Bearbeiten Sie die Aufgabe zur Differentialrechung.
Stellen Sie sich dabei auf den Kenntnisstand der Schüler ein.
Noch nicht bekannt:AbleitungsregelnAbleitungsfunktion von CAS
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Vorgehensweise ohne CAS Vorgehensweise mit CAS
Motivierendes Einführungsbeispiel
Kriterium: Einfache Berechenbarkeit
Ableitungsregeln
Kriterien für Kurvendiskussion
Anwendungen: Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben
Vergleich der Unterrichtsgänge zur Differentialrechnung
Motivierendes Einführungsbeispiel
Kriterium: interessanter Kontext
Anwendungen: neue Begriffe mit Hilfe der Ableitung
Ableitungsregeln werden an den Beispielen entdeckt
Kriterien als Hilfsmittel zum Aufstellen von Funktionsgleichungen
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Übertragen Sie die vorgestellten Möglichkeiten auf Ihren eigenen Unterricht.
Welchen Einstieg verwenden Sie für die Differentialrechung?
Diskutieren Sie, ob dieser Einstieg durch die Verwendung von elektronischen Hilfsmitteln unterstützt werden kann. Notieren Sie, an welchen Stellen eine Unterstützung sinnvoll sein kann.
Bevorzugen Sie dabei GTR oder CAS?
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http://did.mathematik.uni-halle.de/lehrerseite/Rechenfertigkeiten_Taschenrechner_2000.pdf
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Kopfalgebra
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Kopfalgebra
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Kopfalgebra
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Kopfalgebra
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Kopfalgebra
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Kopfalgebra
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Kopfalgebra
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Kopfalgebra
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Interview mit einer 36jährigen Akademikerin Aufgabenstellung des Versuchsleiters:An einer Universität sind P Professoren und S Studenten. Auf einen Professor kommen 6 Studenten. Drücken Sie das durch eine Gleichung in S und P aus.
Versuchsperson (schreibt) 6S = PVersuchsleiter nehmen wir einmal an, es sind 10
Professoren. Wie viele Studenten sind das dann?
Versuchsperson 60
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Versuchsleiter Setzen Sie das in die Gleichung ein.Versuchsperson 6∙60 = 10. Aha, das kann nicht stimmen
(nach einer Pause schreibt sie): P + 6S = P + S
Versuchsleiter Was bedeutet das?Versuchsperson Die Professoren und die auf jeden Professor
fallenden 6 Studenten ergeben zusammen alle Professoren und Studenten
Versuchsleiter Hhmm... Bei dieser Gleichung könnte man auf beiden Seiten P subtrahieren. Was ergibt sich dann?
Versuchsperson (streicht P auf beiden Seiten durch): 6S = S
Versuchsleiter Kann das stimmen?Versuchsperson Ja natürlich ... Die Gruppen zu 6 Studenten
ergeben zusammen alle Studenten.
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Versuchsleiter Setzen Sie wieder die Zahlen ein.Versuchsperson 10 Professoren und 60 Studenten. Dann ist das
6∙60 = 10. Das kann nicht stimmen.(nach einer Pause schreibt sie): P + S = 7
Versuchsleiter (räuspert sich)Versuchsperson (bessert aus zu): P + 6S = 7
Versuchsleiter Was bedeutet das?Versuchsperson Ein Professor und seine 6 Studenten sind
zusammen 7 Personen.
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Gleichung zu einem Graphen
Zeichnung einer Schülerin
Konkretisierung nach Diskussion
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Einigung auf Modellierung durch eine Funktion 5. Grades:
fexdxcxbxaxxg 2345)(
0)9('
0)5('
0)2('
6)9(
3)5(
1)2(
g
g
g
g
g
gForderungen an die Funktion
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![Page 45: Analysis – mehr als Tangenten und Flächen](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012919/56813ac1550346895da2d2ac/html5/thumbnails/45.jpg)
![Page 46: Analysis – mehr als Tangenten und Flächen](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012919/56813ac1550346895da2d2ac/html5/thumbnails/46.jpg)
Ersetze die Bedingung
durch
6)9( g0)5('' g
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Umkehraufgaben zur Differentialrechnung
Gegeben ist eine Volumenfunktion durch einen Term V(t). Schreiben Sie jeweils auf, zu welcher Fragestellung der Rechenansatz passt:
a)
b)
c)
d)
e)
)17(V3,5)( tV
)3()12( VV )5('V
0)(' tV
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Gegenüberstellung der beiden Versionen der Zentralabituraufgabe HT 1 von 2012
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k
atm
30ln20
600
1
1200
600
1
20
1
60)('
20
1
20
1
t
t
a
ea
ea
tf
at
at
aee
a tt
2ln20
2ln
20
1
20
600
1
120020
1
20
1
tt
a ea
ea
tf 20
1
20
1
2400020
1
1200)(''
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.
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.
10129.0099696.0
01656.099696.0
0.001651
001651.0
099696.0
140001656.0
140
140
eu
v
evu
euv
v
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Einstiegsaufgabe Integralrechnung
Aufgabenstellung:
Bei einem Unfall in einer Fabrik wurden Schadstoffe freigesetzt. Die Menschen, die in der Umgebung lebten, wurden evakuiert. Es soll bestimmt werden, wie viel diese Menschen von den Schadstoffen bis zum Zeitpunkt der Evakuierung eingeatmet haben.
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Menge Schadstoff in der Luft 500 l
Konzentration d. Schadstoffs pro l Luft 2% / 20 ml
Zeit bis zur Evakuierung 2 ½ Std
Menge Luft die ein Mensch pro Stunde einatmet = 100 l
Menge Schadstoffe " " " : 2 l
bis zur Evakuierung 5 l
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Menge Schadstoff in der Luft 500 l
Konzentration d. Schadstoffs pro l Luft 2% / 20 ml
Zeit bis zur Evakuierung 2 ½ Std
Menge Luft die ein Mensch pro Stunde einatmet = 100 l
Menge Schadstoffe " " " : 2 l
bis zur Evakuierung 5 l
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100 l = Menge d. Schadstoffes
4 h = Unfall bis Evakuierung
25 l pro h
ca 5 l bleiben in Luft
20 l auf 1000 Menschen verteilt
0,02 l pro h pro Person
0,08 l in 4 h
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100 l = Menge d. Schadstoffes
4 h = Unfall bis Evakuierung
25 l pro h
ca 5 l bleiben in Luft
20 l auf 1000 Menschen verteilt
0,02 l pro h pro Person
0,08 l in 4 h
Aufnahmerate
Aufnahmerate * Zeit
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Verbesserung des Ansatzes
Bei nicht konstanter Aufnahmerate muss diese durch eine Funktion modelliert werden.
Im Unterricht beobachtete Modellierungen der Funktion a:
Quadratisch Grad 3 Exponentiell
210004,0)( ttatta 9,04,0)(
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Problem: Wie multipliziert man eine Funktion mit der Zeitdauer?
Grundidee:Teile die gesamte Zeitspanne in kurze Abschnitte ein und tue so, als wäre die Rate innerhalb eines Abschnittes konstant.
Konkrete Ausführung:Evakuierung nach 4 Stunden. Teile in 8 Abschnitte. Wähle als konstanten Wert den Funktionswert jeweils am Anfang des Abschnittes:
2
15,3
2
11
2
15,0
2
108 aaaam
7
08 2
1
2
1
i
iam
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Bisher im Unterricht beobachtete Ansätze
Wähle als konstanten Wert
Funktionswert am linken Rand des Abschnitts
Funktionswert am rechten Rand des Abschnitts
Funktionswert in der Mitte des Abschnitts
Mittelwert der Funktions-werte an den Rändern
1
0
44n
in nn
iam
n
in nn
iam1
44
1
0
4
2
44n
in nnn
iam
n
in n
nia
nia
m1
4
2
41
4
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Anwendungssituationen für Integralrechnung
Situation Multiplikation Integration
Schadstoffmenge Aufnahmerate * Zeit Aufnahmeratenfunktion
Fläche Breite * Länge Breitenfunktion
Volumen Querschnittsfläche * Höhe Querschnittsflächenfunktion
Nahrungsbedarf Bedarfsrate * Zeit Bedarfsratenfunktion
Energiebedarf Bedarfsrate * Zeit Bedarfsratenfunktion
Wassermenge Zulaufrate * Zeit Zulaufratenfunktion
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Aufgabenbeispiel
Gegeben ist die Zulaufratenfunktion für ein Wasserbecken durch
im Intervall [0; 6]. Dabei ist t in Stunden in z in m³/h gemessen. Negative Werte der Zulaufratenfunktion bedeuten, dass Wasser abläuft.
a) Bestimmen Sie die Zeitintervalle, in den Wasser zuläuft, und die Intervalle, in denen Wasser abläuft.
b) Wie viel Wasser ist bis zum Ende der ersten Zulaufphase zugelaufen?
64
275
64
5
64
15
64)(
23
ttt
tz
![Page 69: Analysis – mehr als Tangenten und Flächen](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012919/56813ac1550346895da2d2ac/html5/thumbnails/69.jpg)
c) Zu welchem Zeitpunkt ist während der Ablaufphase der Anfangswasserstand wieder erreicht?
d) Zu welchem Zeitpunkt ist das Becken am stärksten gefüllt?
e) Zu welchem Zeitpunkt liegt die größte Zulaufrate vor?
f) Zu welchem Zeitpunkt liegt die größte Ablaufrate vor?
g) Zu welchem Zeitpunkt liegt die maximale Änderung der Zulaufrate vor?
h) Nehmen Sie an, es würde sich bei der Funktion um eine Geschwindigkeitsfunktion handeln. Geben Sie zu jedem der Aufgabenteile a) bis g) an, was Sie dann ausgerechnet hätten.
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Bearbeiten Sie die Aufgabe zur Integralrechnung.
Stellen Sie sich dabei auf den Kenntnisstand der Schüler ein.
Noch nicht bekannt:Integration mit Hilfe der StammfunktionsmethodeIntegralfunktion von CAS
Eventuell beschränken Sie sich auf die Teile zur Integralrechung
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Differentialrechnung Integralrechnung
Gegeben ist eine Volumenfunktion
Gesucht ist die Zulaufratenfunktion
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
523,002,0)( 23 ttttV
26,006,0)( 2 tttz
![Page 72: Analysis – mehr als Tangenten und Flächen](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012919/56813ac1550346895da2d2ac/html5/thumbnails/72.jpg)
Differentialrechnung Integralrechnung
Gegeben ist eine Volumenfunktion
Gesucht ist die Zulaufratenfunktion Gegeben ist eine Zulaufratenfunktion
Gesucht ist das Volumen, das im Zeitraum [1;2] zuläuft
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
523,002,0)( 23 ttttV
26,006,0)( 2 tttz 26,006,0)( 2 tttz
2
1 25
24)( dttz
![Page 73: Analysis – mehr als Tangenten und Flächen](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012919/56813ac1550346895da2d2ac/html5/thumbnails/73.jpg)
Differentialrechnung Integralrechnung
Gegeben ist eine Volumenfunktion
Gesucht ist die Zulaufratenfunktion Gegeben ist eine Zulaufratenfunktion
Gesucht ist das Volumen, das im Zeitraum [1;2] zuläuft
Gesucht ist das Volumen, das im Zeitraum [1;2] zuläuft
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
523,002,0)( 23 ttttV
26,006,0)( 2 tttz 26,006,0)( 2 tttz
2
1 25
24)( dttz
25
24)1()2( VV