analytisk geometri - matbog · indhold 1 introduktion 2 2 forhistorie 3 3 det todimensionale...

Analytisk Geometri

Frank Nasser

11. juli 2011

©2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klas-ser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brugher.

http://matbog.dk

http://matbog.dk/index.php?option=com_content&task=view&id=25&Itemid=41

Indhold

1 Introduktion 2

2 Forhistorie 3

3 Det todimensionale cartesiske koordinatsystem 4

4 Punkter i koordinatsystemet 64.1 Åbne og lukkede punkter . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5 Lidt filosofi 75.1 Hvad kan man aflæse i et koordinatsystem? . . . . . 9

6 Delmængder af koordinatsystemet 96.1 Linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2 Parabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.3 Hyperbler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.4 Cirkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7 Skæringer 12

©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionarkiv

Resumé

I dette dokument indfører vi det todimensionale koordinatsy-stem og fastlægger den nødvendige terminologi til at diskutereanalytisk geometri.

Her slutter MatBog.dk

Figur 1: På dette sted løb jeg desværre tør for fritid. Derfor er dettedokument ikke færdigt. Hvis du køber et abonnement (eller får din lærereller skole til at gøre det), så kan jeg tillade mig at tage lidt mere fri til atskrive på MatBog, og så vil disse huller blive lappet meget hurtigere!

side 1


1 Introduktion

Dette dokument handler om koordinatsystemet. I virkeligheden burdevi nok sige noget mere præcist, nemlig:

„Det todimensionale cartesiske koordinatsystem“

Dette skyldes at der faktisk findes mange andre koordinatsystemer enddet som vi skal snakke om her. For det første findes der selvfølgelig ogsået tredimensionalt (cartesisk) koordinatsystem1. Men ikke nok med det:Dimensionsbegrebet kan nemt generaliseres, så man har koordinat-systemer af dimension 4,5,6,7, . . . (de er bare pokkers svære at tegne!)Derudover findes der faktisk også koordinatsystemer som ikke er „car-tesiske“. Det vil dog gå alt for vidt at komme ind på hvad det betyder idette dokument2.

Forudsætninger

Du ved sikkert allerede hvad det todimensionelle koordinatsystem er.Alligevel kan det være en god ide at „glemme“ hvad du ved inden dulæser dette dokument. Det er fordi vi laver en definition som sikkert ermeget mere grundig end den du har set tidligere — dels for at få anven-delsen af mængdesymbolerne gjort naturlig, og dels for at demonstrerefordelen ved at definere sine matematiske objekter ordentligt.

Dokumentet kan i princippet læses af enhver. Det er dog en fordelat man allerede har arbejdet med klassisk geometri (især trigonometri),at man har et godt forhold til mængdebegrebet3 og har rutine medregneoperationerne i de reelle tal4.

1 Læs om det rumlige koordinatsystem her2 Læs en lille del af sandheden om ikke-cartesiske koordinatsystemer her3 Læs om mængder her4 Læs om tal og regneoperationer her

side 2


2 Forhistorie

Geometri er en disciplin som handler om figurer som kan tegnes. Ellerrettere: Om de „perfekte“ versioner af de figurer som man tegner påsit papir. Allerede de gamle grækere vidste nemlig godt at en trekantsom man tegnede i virkeligheden aldrig nogensinde ville blive præcistretvinklet, så hvis man skulle lave præcise regler for f.eks. retvinkledetrekanter, måtte man hellere snakke om nogle uvirkelige („abstrakte“)objekter, som kun fandtes inde i menneskenes hoveder.

Indtil 1600–tallet forestillede man sig at disse „perfekte“ geometriskeobjekter var opbygget af punkter, linjer, flader o.s.v. Og man havde klareregler for hvordan disse grundbestanddele kunne se ud og f.eks. skærehinanden. En trekant bestod f.eks. af tre punkter („hjørnerne“) og trelinjestykker („kanterne“) der skar hinanden i hjørnerne og dannedenogle vinkler.

Det var altsammen meget fornøjeligt. Men en ting som var nærmestumulig var at pege på et punkt inde midt i en trekants indre eller etpunkt på periferien af en cirkel og så beskrive præcis hvilket punkt manegentlig pegede på.

Det blev fuldstændig anderledes i året 1637, hvor den franske mate-matiker og filosof René Descartes opfandt en måde at beskrive punkterpå ved at angive deres position i et såkaldt koordinatsystem. Det er for atære Descartes at vi i dag kalder det for det „cartesiske“ koordinatsystem.

Det kan ikke overdrives hvor fantastisk en ide det var, og nutildags erdet næsten umuligt at forestille sig hvordan menneskeheden kan havelavet geometri i 2000 år uden at finde på det. Fra den ene dag til denanden kunne man så nemt som ingenting beskrive et hvilket som helstpunkts præcise placering i forhold til andre punkter.

Men ikke nok med det: Pludselig var to helt forskellige grene af ma-tematikken, nemlig geometri (læren om geometriske objekter, længderog vinkler) og analyse (læren og tal og ligninger) blevet til to sider af densamme sag, nemlig det som kom til at hedde „analytisk geometri“ —Geometri ved hjælp af tal og ligninger.

side 3


3 Det todimensionale cartesiskekoordinatsystem

Vi vil nu definere hvad vi vil mene med „Det todimensionale cartesiskekoordinatsystem“. Først og fremmest vil vi give det et symbolnavn, så vislipper for at skrive „det todimensionale cartesiske koordinatsystem“hele tiden. Det symbol som vi vil bruge er5:

R2

Symbolet læses som „R-to“ og ikke „R i anden“.Nu har vi et navn, så nu mangler vi kun at fortælle hvad vi vil mene

med dette navn. Det gør vi med en definition:

Definition 1.Vi definerer R2 til at være mængden bestående af reelle talpar af typen(x; y), hvor x og y er reelle tal. Skrevet med mængdesymboler:

R2 = {(x; y) | x ∈R og y ∈R}

• Det todimensionale koordinatsystem er en mængde:

R2 = {(x; y) | x ∈R og y ∈R}

• Et element i denne mængde kaldes et punkt.

• Et punkt består altså af en parentes med to reelle tal, adskilt af etsemikolon. De to tal kaldes for henholdsvist punktets førstekoordinat(eller x-koordinat) og punktets andenkoordinat (eller y-koordinat).

• Det specielle punkt (0;0) kaldes origo.

5 Notationen skyldes at man i en vis forstand kan tænke på koordinatsystemet som„de reelle tal ganget med de reelle tal“. For at forstå dette til bunds skal man dogførst vide hvordan man ganger to mængder med hinanden.

side 4


• Punkterne hvor y-koordinaten er nul — altså punkterne af typen (x;0)udgør en delmængde som kaldes førsteaksen eller x-aksen.

• Punkterne hvor x-koordinaten er nul — altså punkterne af typen (0; y)udgør en delmængde som kaldes andenaksen eller y-aksen.

Når man skal tænke på koordinatsystemet, så forestiller man sigførste- og andenaksen som to kopier af den reelle tallinje, som stårvinkelret på hinanden og skærer hinanden i origo (det er jo det enestepunkt som ligger i dem begge). De øvrige punkter forestiller man sigudgør en plan (et uendeligt stort, fladt, todimensionalt område), hvoret generelt punkt (x; y) befinder sig „x ude langs med x-aksen og y oppelangs med y-aksen“ i forhold til origo. (Se figur 2).

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

(2;3)

Figur 2: Det todimensionale koordinatsystem.

side 5


4 Punkter i koordinatsystemet

4.1 Åbne og lukkede punkter

Når man indtegner et enkelt punkt i koordinatsystemet, så sætter mannormalt en prik (nogle mennesker foretrækker et kryds, men du vil ligestraks opdage hvorfor dette ikke er så smart) i det pågældende punkt.Dette kalder man et lukket punkt i koordinatsystemet, og det er vigtigtat man fylder prikken helt ud med farve (se figur 3).

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

Figur 3: Et lukket punkt i (2;1).

Dette virker sikkert enormt fjollet, men det viser sig at man noglegange har brug for det modsatte, nemlig et „åbent punkt“.

Når man sætter en prik i koordinatsystemet ved at tegne en lillecirkel som ikke er farvet indvendigt (se figur 4) så kalder man det etåbent punkt i koordinatsystemet, og det betyder det stik modsatte af etlukket punkt, nemlig at „dette punkt er ikke markeret“.

Hvis du lige nu tidspunkt mistænker mig (forfatteren) for at haverøget noget politisk ukorrekt tobak, så kan jeg godt forstå det. Derformå jeg hellere skynde mig at give et eksempel hvor det faktisk kan værenyttigt at bruge åbne punkter:

side 6


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

Figur 4: Et åbent punkt i (2;1).

Eksempel 1.Lad os forestille os at vi vil markere alle punkterne på det rette linjestyk-ke mellem (2;1) og (−1;−2), undtagen de to endepunkter. Hvis vi baretrækker en streg imellem de to punkter, så er det enormt svært at teg-ne prikker „uendeligt tæt“ på punkterne uden at tegne prikker i selvepunkterne også.

Dertil kommer de åbne punkter til hjælp, og vi får noget i stil medfigur 5

På den måde svarer de åbne og lukkede punkter lidt til de åbne oglukkede intervalendepunkter som vi bruger til at angive intervaller påden reelle akse.

5 Lidt filosofi

Hvis vi skal fortsætte med at være lidt filosofiske, så er det nok ikke nogentilfældighed at lige netop René Descartes fik ideen til koordinatsystemet.

side 7


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

Figur 5: Et linjestykke uden endepunkter.

Lige som de gamle grækere (Platon som den mest fremtrædende) gikmeget af Descartes tid med at spekulere over hvad „virkeligheden“ var.

Platon havde allerede stillet spørgsmålstegn ved hvorvidt vores san-ser viste os den „rigtige virkelighed“ eller bare et skyggebillede af endybere og renere sandhed. Dette gjorde geometrien til en meget smukvidenskab, for den handlede jo netop om de „perfekte“ cirkler, trekantero.s.v. og ikke om de skæve tegninger af dem som vi formår at lave på etstykke papir.

Descartes forsøgte at gå et skridt videre og beskrive så meget af den„rene“ virkelighed som muligt. Måske var det under et af hans trips ind idenne „rene virkelighed“ at han fik ideen til koordinatsystemet.

Under alle omstændigheder er det vigtigt at huske at koordinatsy-stemet, ligesom de geometriske figurer, er et „perfekt“ objekt som kunfindes inde i vores hoveder. Ingen tegninger vil nogen sinde kunne gen-give koordinatsystemet helt korrekt. (F.eks. er det meget svært at få pladstil uendeligt lange akser på et stykke papir.)

Hvis man holder den tanke i hovedet, er det ret nemt at svare påspørgsmålet i den næste overskrift:

side 8


5.1 Hvad kan man aflæse i et koordinatsystem?

Meget, meget ofte har matematiklærere skullet skændes med dereselever, når læreren har bedt om at få beregnet koordinaterne til et punkti koordinatsystemet, og eleverne bare har aflæst dem og svaret „men jegkan jo se hvor punktet ligger“.

Men hvis man husker at tegningen af koordinatsystemet kun er enupræcis og klodset repræsentation af det „rigtige“, „perfekte“ koordi-natsystem, så er det mere oplagt at man skal passe på med at aflæseinformationer, medmindre der er gjort noget ekstra ud af at markere atdisse punkter ligger der hvor de ser ud til at ligge.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

Figur 6: Disse to linjer skærer ikke hinanden i (1;1).

6 Delmængder af koordinatsystemet

Definition 2.Man siger at en ligning med to ukendte størrelser, x og y beskriver en

side 9


delmængde af koordinatsystemet hvis delmængden består af præcis depunkter hvor x- og y-koordinaten opfylder ligningen.

Eksempel 2.For eksempel kan man sige at delmængden:

{(x; y) ∈R2 | y2 = x3 +1}

er beskrevet af ligningen:y2 = x3 +1

6.1 Linjer

Hvis a og b er to givne reelle tal, så udgør delmængden:

{(x; y) ∈R2 | y = a · x +b}

en ret linje som ikke er lodret. Alle rette linjer som ikke er lodrette kanbeskrives på denne måde. Tallet a kaldes hældningskoefficienten for denrette linje.

Sætning 3 (Bestemmelse af ret linje ud fra to punkter).Hvis P og Q er to punkter:

P = (x1; y1)

ogQ = (x2; y2)

hvor x1 6= x2, så kan den rette linje gennem P og Q beskrives ved:

{(x; y) ∈R2 | y = a · x +b}

side 10


hvora = y2 − y1

x2 −x1

og

b = y1 − y2 − y1

x2 −x1· x1

Alternativt kan a og b bestemmes ved at løse de to ligninger med aog b som ukendte:

y1 = a ·x1 +b

ogy2 = a ·x2 +b

Et problem man ofte havner i6 er at vi allerede kender en linjeshældning, men til gengæld kun et eneste punkt på den. Derfor har viogså lyst til at huske en metode til at beskrive linjen ud fra sådanneinformationer:

Sætning 4 (Ret linje ud fra et punkt og en hældning).Hvis P er et punkt i koordinatsystemet:

P = (x0; y0)

og a er et reelt tal, så kan den rette linje gennem P med hældningskoeffi-cient beskrives ved:

{(x; y) ∈R2 | y = a · x +b}

hvor

6 Det kommer især til at ske når vi senere skal arbejde med tangenter til grafer. Detkan du læse mere om her.

side 11


Sætning 5 (Ortogonale linjer).

6.2 Parabler

6.3 Hyperbler

6.4 Cirkler

7 Skæringer

Når man har to forskellige delmængder i koordinatsystemet, så er detaltid interessant om de skærer hinanden eller ej. Dvs. om der er nogenpunkter som er med i begge delmængderne, og i givet fald hvilke.

Sætning 6 (Vinkler mellem rette linjer).Hej

side 12

analytisk geometri - matbog · indhold 1 introduktion 2 2 forhistorie 3 3 det todimensionale...

Documents