andr es castro h. jason urena~ a. olman trejos m.diagnostico.emate.ucr.ac.cr/sites/...en los...

Funciones de variable real

Andres Castro H.Jason Urena A.Olman Trejos M.

2014

1

INDICE 2

Indice

1. Funcion de variable real 31.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Dominio Maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4. Monotonıa de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5. Funcion inyectiva, sobreyectiva y biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . 301.6. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.7. Funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.8. Trazado de la grafica de funciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . 451.9. Resolucion de inecuaciones a partir de la grafica de la funcion . . . . 54

2. Rectas y parabolas 592.1. Introduccion a la funcion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.1.1. Funcion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.1.2. Grafica de la funcion lineal y ecuacion de la recta . . . . . . . 602.1.3. Pendiente de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.1.4. Monotonıa de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.5. Ejemplos de ecuacion de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.6. Ejemplo de aplicacion de ecuacion de la recta . . . . . . . . . 662.1.7. Rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.8. Rectas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.2. Introduccion a la funcion cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2.1. Funcion cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2.2. Grafica de la funcion cuadratica y ecuacion de la parabola . . 732.2.3. Caracterısticas de la parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2.4. Ejemplo de aplicacion ecuacion de la parabola . . . . . . . . . 81

2.3. Interseccion entre la grafica de rectas y parabolas . . . . . . . . . . . 82

3. Funcion exponencial y logarıtmica 863.1. Introduccion a la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.1.1. Definicion de la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . 863.1.2. Grafica de la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.3. Propiedades de la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . 893.1.4. Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.1.5. Aplicacion de la funcion exponencial: Interes compuesto . . . . 92

3.2. Introduccion a la funcion logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.1. Definicion de logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.2. Funcion logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2.3. Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2.4. Ecuaciones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.2.5. Aplicaciones de la funcion exponencial y logarıtmica . . . . . . 102

Diagnostico Matematica DiMa.

1 FUNCION DE VARIABLE REAL 3

1. Funcion de variable real

1.1. Introduccion

En la vida cotidiana el concepto de funcion esta implıcito en practicamente todo lo queel ser humano realiza; imagina un dıa comun de una persona, cuando se levanta lo hacea una hora que convenientemente le permita llegar a tiempo a su trabajo, estableciendouna relacion entre la distancia al trabajo y la velocidad legal a que se puede transitar, eincluso contemplando imprevistos como los embotellamientos.

Al pagar su almuerzo o cualquier cosa que la persona desee comprar, se presenta elconcepto de funcion, en el momento en que se pagan impuestos, o se compran variasobjetos del mismo tipo.

Las funciones incluso tienen su utilidad en nuestro propio cuerpo, por ejemplo el ındice de

masa corporal dado por imc =( masa

estatura2

)en (Kg/m2) permite establecer parametros

de un peso saludable, sirviendo de base para definir la obesidad morbida (valores superio-res a 40) o delgadez extrema (valores inferiores a 16).

La toma del pulso que se realiza en los chequeos medicos, no es mas que una rela-cion entre la cantidad de latidos del corazon y el tiempo, considerandose normal de 60 a100 latidos por minuto.

El orıgen del concepto de funcion no es preciso, muchos pueblos antiguos dieron senales deutilizar el concepto de manera implıcita, por ejemplo en el calculo de areas y perımetros,en el uso de tablas de calculo y en la realizacion de otras mediciones.

En tiempos mas recientes no hay un unico matematico al que se le pueda atribuir elconcepto, sino mas bien este es el constructo de muchos de ellos como Leibniz, Bernoulli,Euler, Descartes y Weierstrass solo por mencionar algunos.

Por ejemplo Leibniz en 1673 es el primero en usar el termino de funcion. Jean Bernoullien 1718 planteo una primera definicion del concepto de funcion. Leonhard Euler fue elprimero en usar la notacion f(x); a Weiertrass se le atribuye dar al concepto de funcionun aspecto conjuntista.

A continuacion se inicia con una presentacion de las nociones basicas detras de esteconcepto esencial en la Matematica.

1.2. Conceptos basicos

Definicion 1 Dados dos conjuntos A,B no vacıos, se define una funcion f : A −→ Bcomo una relacion que asigna a todo elemento “x” de A, un unico elemento “y” deB, mediante una ley llamada criterio, que se denota f(x).



Es importante tomar en cuenta que toda funcion es una relacion pero no toda relacion esuna funcion. En los siguientes ejemplos se presentara con detalle esta idea.

Ejemplo 1 El concepto de funcion esta presente incluso en las situaciones mas co-tidianas; Jorge tiene 17 anos cumplidos, Mariana tiene 19, Karla 18, Agustin 19,Carlos 18 y Marta 21. Se puede apreciar la existencia de una relacion entre una per-sona con un numero entero que representa su edad cumplida en anos. Esta relacionse puede representar mediante un diagrama de Venn del siguiente modo.

Figura 1: Diagrama de Venn, relacion entre personas y su edad

Note que la relacion representada corresponde a una funcion ya a que toda personadel conjunto A se la asocia una unica edad.

Ejemplo 2 Susan, Marcos, Antonio y Catalina son cuatro estudiantes que fueronadmitidos en la Universidad de Costa Rica; para su primer semestre Susan ma-triculo Humanidades, Fısica y Quımica; Marcos matriculo Humanidades, Fısica yCalculo; Antonio solo matriculo Humanidades, mientras que Catalina decidio no lle-var ningun curso. La situacion anterior se puede representar ası

Figura 2: Diagrama de Venn, relacion entre un estudiante y los cursos que matricula

La relacion anterior no corresponde a una funcion pues al menos una personaen el conjunto A matriculo mas de un curso. Ademas Catalina no matriculo ninguncurso.



Ejercicio resuelto 1 Considere las siguientes relaciones representadas con diagra-mas de Venn. Utilizando la definicion de funcion determine si corresponde o no a unafuncion. Justifique.

A Bf

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5

No representa una funcion: x3

esta asociado a dos elementos deB.

A Bf

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5

No es funcion: x2 no esta relacio-nado con algun elemento de B.

A Bf

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5

Sı es funcion: todo elemento de A esta rela-cionado con un unico elemento de B.



A Bf

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5


A Bf

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5


Definicion 2 Considere una funcion f : A −→ B. Al conjunto A se le llama domi-nio, y al B se le llama codominio.A los elementos del dominio se les llama preimagenes y comunmente se les representacon la letra “x”; a los elementos del codominio se les suele representar con “y”. Loselementos del codominio que se encuentran relacionados con una preimagen se lesllama imagenes. Cuando se escribe f : A −→ B se lee “f definida de A en B ”

Definicion 3 Una funcion f : A −→ B es real de variable real. Si tanto A como Bson subconjuntos de R.



Ejemplo 3 Considere el siguiente diagrama de Venn

y1

y2

y3y4

y5

y6

y7

x1

x2

x3

x4

x5

A Bf

Figura 3: Diagrama de Venn, funcion f : {x1, x2, x3, x4, x5} → {y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7}

La relacion representada en este diagrama es una funcion puesto que:

1. El dominio y el codominio son no vacıos.

2. Todo elemento del dominio esta asociado a algun elemento del codominio.

3. Ningun elemento del dominio se asocia a mas de un elemento del codominio.

Por lo tanto satisface la definicion 10 . Note ademas que y1 tiene dos preimagenes yesto no contradice la definicion.

Ademas observe que:

1. A = {x1, x2, x3, x4, x5} es el conjunto de salida y se llama dominio.

2. B = {y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7} es el conjunto de llegada y se llama codominio.

3. A cada uno de los elementos x1, x2, x3, x4, x5 se les llama preimagenes.

4. Los unicos elementos del codominio a los que se les llama imagenes son y1, y2, y3, y4

pues son los unicos que estan asociados con un elemento del dominio.

5. Cuando se escribe que f(x3) = y1, se indica que “la imagen de x3 es y1” o bien“x3 es la preimagen de y1”, siguiendo esta idea es valido escribir que f(x1) = y1,f(x2) = y3, f(x3) = y1, f(x4) = y2, f(x5) = y4.



Ejemplo 4 Considere el siguiente diagrama

6

9

12

15

18

2

3

4

5

A Bf

Figura 4: Diagrama de Venn, funcion f : {2, 3, 4, 5} → {6, 9, 12, 15, 18}, f(x) = 3x

En este se puede apreciar que:

1. A = {2, 3, 4, 5} es el dominio.

2. B = {6, 9, 12, 15, 18} es el codominio.

3. f es funcion, pues toda preimagen se asocia a un unico elemento de B.

4. f(4) = 12, es decir que 12 es la imagen de 4, o equivalentemente, 4 es lapreimagen de 12. De igual modo se puede escribir que f(2) = 6, f(3) = 9 yf(5) = 15.

5. La relacion entre los dos conjuntos esta dada por una ley (criterio) segun lacual “se toma un elemento del conjunto A y se multiplica por 3”para encontrarel elemento de B que le corresponde, es decir que f(x) = 3x.

Definicion 4 Dada una funcion f : A −→ B, se define como rango o ambito de fal conjunto de imagenes. De otro modo

Amb(f) = {y ∈ B : ∃x ∈ A tal que y = f(x)}= {f(x) : x ∈ A}

Ejemplo 5 En el ejemplo 4 se puede apreciar que

Amb(f) = {6, 9, 12, 15}



Ejemplo 6 Considere la relacion representada en el siguiente diagrama

−1

0

1

2

4

−2

−1

1

A Bf

6

0

2

Figura 5: Diagrama de Venn, funcion f : {−2,−1, 0, 1, 2} → {−1, 0, 1, 2, 4, 6},f(x) = x2

Se puede notar que:

1. f es una funcion, pues toda preimagen esta asociada a un unico elemento de B.

2. A = {−2,−1, 0, 1, 2} es el dominio.

3. B = {−1, 0, 1, 2, 4, 6} es el codominio.

4. Amb(f) = {0, 1, 4} es el rango o ambito de f .

5. f(−2) = 4, f(−1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4.

6. La relacion esta dada por una ley segun la cual a cada preimagen se le asociasu cuadrado por ello f(x) = x2.

Ejercicio resuelto 2 Considere la funcion f : R −→ R, f(x) = x2 + 2x−1. Calcule

las imagenes de√

2− 1,−3,1

2.

Solucion: Note que lo que se solicita es determinar f(√

2− 1), f(−3), f

(1

2

). Esto

se calcula sustituyendo cada valor en el criterio de la funcion del siguiente modo

f(√

2− 1)

=(√

2− 1)2

+ 2(√

2− 1)− 1

= 2− 2√

2 + 1 + 2√

2− 2− 1

= 0

f(−3) = (−3)2 + 2(−3)− 1

= 9− 6− 1

= 2



f

(1

2

)=

(1

2

)2

+ 2

(1

2

)− 1

=1

4+ 1− 1

=1

4

Ası se puede afirmar que

f(√

2− 1)

= 0

f(−3) = 2

f

(1

2

)=

1

4

Ejercicio resuelto 3 Considere la funcion f : R −→ R, f(x) = x3. Determinef(2 + h)− f(2)

hyf(c+ h)− f(c)

h.

Solucion: Observe que

f(2 + h)− f(2)

h=

(2 + h)3 − 23

h

=8 + 12h+ 6h2 + h3 − 8

h

=12h+ 6h2 + h3

h

=h (12 + 6h+ h2)

h= 12 + 6h+ h2

Ahora de modo analogo

f(c+ h)− f(c)

h=

(c+ h)3 − c3

h

=c3 + 3c2h+ 3ch2 + h3 − c3

h

=3c2h+ 3ch2 + h3

h

=h (3c2 + 3ch+ h2)

h= 3c2 + 3ch+ h2



Definicion 5 Sea f una funcion tal que A −→ B. Se define el grafico de f de lasiguiente manera.

Gf = {(x, y) : x ∈ A, y = f(x)}

es decir que el grafico es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, y) endonde se expresan todas las preimagenes con su respectiva imagen.

Ejemplo 7 Considere f : {−1, 0, 1, 3} −→ R tal que f(x) = x2 − 1. Note que

f(−1) = (−1)2 − 1 = 0

f(0) = (0)2 − 1 = −1

f(1) = (1)2 − 1 = 0

f(3) = (3)2 − 1 = 8

A continuacion se va a expresar cada preimagen con su imagen en un par ordenado,de modo que se tendrıa lo siguiente: (−1, 0), (0,−1), (1, 0), (3, 8).El grafico de la funcion es el conjunto que contiene a todos estos pares, ası:

Gf = {(−1, 0), (0,−1), (1, 0), (3, 8)}

Definicion 6 La grafica de una funcion f : A −→ B real de variable real, es larepresentacion de cada elemento del grafico en un sistema de coordenadas.

Ejercicio resuelto 4 Considere f : {−1, 0, 1, 3} −→ R ; f(x) = x2 − 1. Realice lagrafica de esta funcion.Solucion: en el ejemplo 7 se determino que el grafico de la funcion es

Gf = {(−1, 0), (0,−1), (1, 0), (3, 8)}

Basta representar cada par ordenado del grafico en un sistema de coordenadas.Un sistema de coordenadas que permita graficar esta funcion consta de dos rectasperpendiculares, una horizontal y otra vertical tal y como se muestra a continuacion.



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

y

x

Figura 6: Sistema de coordenadas con dos ejes.

A la recta horizontal se le llama eje “x” o eje de abscisas. A la recta vertical sele llama eje “y” o eje de ordenadas.Ası, al representar en el sistema de coordenadas el par (3, 8) se debe ubicar el puntoque corresponda con x = 3 en el eje “x” y con y = 8 en el eje “y” de este modo

Figura 7: el par (3, 8) en el sistema de coordenadas.

Del mismo modo se pueden graficar los demas pares, para obtener la siguientegrafica.



Figura 8: Grafica de f

Ejercicio resuelto 5 Considere f : A −→ R ; f(x) = −2x+4. Determine el graficoy la grafica de f si

1. A = {−1, 0, 3, 4}.

2. A = ]0, 3]− {1}.

3. A = [−1, 2[ ∪ ]3, 4].

Solucion:

1. Si el dominio es A = {−1, 0, 3, 4} se tiene que

f(−1) = −2(−1) + 4 = 6

f(0) = −2(0) + 4 = 4

f(3) = −2(3) + 4 = −2

f(4) = −2(4) + 4 = −4

luego Gf = {(−1,6), (0, 4), (3,−2), (4,−4)}. La grafica es




2. Si el dominio es A = ]0, 3] − {1}, es imposible calcular la imagen a cada ele-mento de A pues tiene una cantidad infinita de elementos, sin embargo puedeescribirse que el grafico es

Gf = {(x,−2x+ 4) : 0 < x ≤ 3, x 6= 1}

Al graficar cada par ordenado de Gf se tendrıa lo siguiente.


3. Si A = [−1, 2[ ∪ ]3, 4]. Se tiene que

Gf = {(x,−2x+ 4) : −1 6 x < 2 ∨ 3 < x 6 4}. La grafica corresponde a




Ejercicio resuelto 6 Considere las siguientes graficas que corresponden a una rela-cion f : R −→ R. Justifique por que no corresponden a la grafica de una funcion.

−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7

−3−2−1

1

2

3

4

0

y

x

Esta grafica no corresponde a lagrafica de una funcion, pues almenos un elemento del dominioesta relacionado con mas de unelemento del codominio; observeque x = 3 esta relacionado cony = 3 y con y = 5, es decir, que sepueden apreciar los pares (3, 3) y(3, 4) en la misma grafica (el lec-tor podrıa determinar otros ejem-plos).

−1 1 2 3

−2

−1

1

2

3

0 x

y

g

Esta grafica no corresponde auna funcion pues f : R −→ R in-dica que el dominio es R, sin em-bargo, x = 2 no tiene imagen, esdecir, que existe un elemento deldominio que no esta relacionado.

−3 −2 −1 1 2

−2

−1

1

2

0 x

yEsta grafica no corresponde alde una funcion pues existe unelemento del dominio relacionadocon mas de un elemento del co-dominio. Se trata de x = 0 quese relaciona con y = 1 y cony = 2, pues en la grafica se iden-tifican los puntos dados por (0, 1)y (0, 2).



−3 −2 −1 1 2 3 4

−2

−1

1

2

0 x

y En este ejemplo f : R −→ R in-dica que el dominio de la relaciones R, sin embargo, existe una can-tidad infinita de elementos en es-te que no tienen una imagen. Enotras palabras, todo elemento de]−1, 0[ no esta asociado a ningunelemento del codominio. Por tan-to, en este caso no se tiene unafuncion.

Ejercicio resuelto 7 Considere una funcion cuyo dominio es A = {−1, 0, 3, 8, 15}y su criterio es f(x) =

√x+ 1− 2. Determine

1. el rango de f .

2. el grafico de f .

3. la grafica de f .

Solucion: Para determinar el rango de f se calcula la imagen de cada elemento deldominio, es decir, f(−1), f(0),f(3), f(8), f(15).

f(−1) =√−1 + 1− 2 =

√0− 2 = −2

f(0) =√

0 + 1− 2 =√

1− 2 = −1

f(3) =√

3 + 1− 2 =√

4− 2 = 0

f(8) =√

8 + 1− 2 =√

9− 2 = 1

f(15) =√

15 + 1− 2 =√

16− 2 = 2

El grafico de f es el conjunto formado por los pares ordenado (x, y) que presentan acada preimagen con su imagen. Ası

Gf = {(−1,−2), (0,−1), (3, 0), (8, 1), (15, 2)}

Luego, el ambito de f esta dado por el conjunto Af = {−2,−1, 0, 1, 2}.Finalmete, la grafica de f es la representacion de Gf en un sistema de coordenadas



−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

−3

−2

−1

1

2

y

x0

(−1,−2)

(0,−1)

(3, 0)

(8, 1)

(15, 2)

Figura 12: Grafica de f(x) =√x+ 1− 2 con x ∈ {−1, 0, 3, 8, 15} .

Ejercicio resuelto 8 Retomando el ejemplo 7 , ahora considere f(x) =√x+ 1− 2

con un dominio A =]− 1, 8] y determine:

1. El rango de f .

2. El grafico de f .

3. La grafica de f .

Solucion: Para realizar el grafico de la funcion se deberıa de calcular la imagen acada valor del intervalo ]−1, 8], esto es imposible pues posee una cantidad infinita deelementos, sin embargo se puede escribir el grafico ası:

Gf = {(x,√x+ 1− 2) : −1 < x 6 8}

El grafico contiene una cantidad infinita de pares ordenados por ello al graficar lafuncion se tendra una infinita cantidad de puntos (cada par ordenado corresponde aun punto) que determinaran una lınea continua tal y como se muestra a continuacion.

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−2

−1

1

0 x

y

Figura 13: Grafica de f(x) =√x+ 1− 2, con −1 < x 6 8

De la figura 13 se aprecia que el rango esta dado por Amb(f) = ]−2, 1].



Ejercicio resuelto 9 Grafique y determine el rango de una funcion cuyo dominioes A = [−1, 8[− {3, 6} y su criterio f(x) =

√x+ 1− 2.

Solucion: La grafica es

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−2

−1

1

0 x

y

Figura 14: Grafica de f(x) =√x+ 1− 2, con x ∈ [−1, 8[− {3, 6}

y el rango corresponde a

Amb(f) = [−2, 1[− {0,√

7− 2}

Ejercicio resuelto 10 Sea f : {−1, 2, 3, 7} −→ R tal que f(x) =x+ 3

x− 1. Determine

dominio, codominio, rango, grafico y grafica.Solucion:

1. El dominio es {−1, 2, 3, 7}

2. El codominio es R

3. Para determinar el rango se calculara la imagen a cada elemento del dominio.Ası:

f(−1) =−1 + 3

−1− 1= −1

f(2) =2 + 3

2− 1= 5

f(3) =3 + 3

3− 1= 3

f(7) =7 + 3

7− 1=

5

3

Por tanto, Amb(f) =

{−1,

5

3, 3, 5

}.

4. El grafico de f es Gf =

{(−1,−1), (2, 5), (3, 3),

(7,

5

3

)}.



5. Finalmente la grafica es

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

1

2

3

4

5

0 x

y

(−1, 1)

(2, 5)

(3, 3)

(7, 53

)

Figura 15: Grafica de f : {−1, 2, 3, 7} −→ R tal que f(x) =x+ 3

x− 1

Ejercicio resuelto 11 Sea f : ]−1, 3] −→ R, tal que f(x) =4− 2x

3. Determine su

dominio, codominio y rango.Solucion: El dominio es ]−1, 3] y el codominio es R.Para determinar el rango no resulta funcional calcular la imagen a cada elemento deldominio (pues la cantidad es infinita), por ello se puede proceder ası:

Note que:

⇒ −1 < x 6 3 cualquier valor del dominio esta en ]−1, 3] .

⇒ 2 > −2x > −6 multiplicando por − 2.

⇒ 6 > 4− 2x > −2 sumando 4.

⇒ 2 >4− 2x

3>−2

3dividiendo por 3.

⇒ 2 > f(x) >−2

3las imagenes estan en el intervalo

[−2

3, 2

[

Por lo tanto, Amb(f) =

[−2

3, 2

[



Ejercicio resuelto 12 Sea f : ]−4, 1[ −→ R tal que f(x) = 3x− 2.Determine su dominio, codominio y rango.Solucion: El dominio es ]−4, 1[ y el codominio es R. Determinamos el rango ası:

⇒ −4 < x < 1

⇒ −12 < 3x < 3

⇒ −14 < 3x− 2 < 1

⇒ −14 < f(x) < 1

De donde Amb(f) = ]−14, 1[

Ejercicio resuelto 13 Sea f : [−1, 2] −→ R tal que f(x) = (x − 1)2. Determine elrango.Solucion: Note que ⇒ −1 ≤ x ≤ 2⇒ −2 ≤ x− 1 ≤ 1Notese que el paso siguiente es elevar al cuadrado todos los miembros de la desigual-dad, sin embargo en la misma se involucran tanto numenos positivos como negativos,por lo cual la misma debe ser particionada convenientemente de forma que al elevaral cuadrado no haya poblemas en el analisis de la desigualdad, por ejemplo, la de-sigualdad de puede expresar de la forma⇒ −2 6 x− 1 ≤ 0 y 0 < x− 1 ≤ 1De este modo, elevando al cuadrado en ambos casos se tiene que⇒ (−2)2 ≥ (x− 1)2 ≥ (0)2 y (0)2 < (x− 1)2 ≤ (1)2

⇒ 4 ≥ (x− 1)2 ≥ 0 y 0 < (x− 1)2 ≤ 1Esto es(x− 1)2 ∈ [0, 4] y (x− 1)2 ∈]0, 1]Considerando las dos desigualdades anteriores se obtiene que(x− 1)2 ∈ [0, 4]⇒ 0 6 (x− 1)2 ≤ 4⇒ 0 6 f(x) ≤ 4

Ası Amb(f) = [0, 4]



Ejercicio resuelto 14 Sea f : ]1, 5] −→ R tal que f(x) = x2− 5x+ 6. Determine elrango de f .Solucion: Note que x2 − 5x+ 6 = (x− 5

2)2 − 1

4luego de completar cuadrados.

Ahora⇒ 1 < x 6 5

⇒ 1− 5

2< x− 5

26 5− 5

2

⇒ −3

2< x− 5

26

5

2A igual que en el ejercicio anterior, la desigualdad se debe partir convenientementepara obtener

⇒ −3

2< x− 5

2≤ 0 y 0 < x− 5

2≤ 5

2Se eleva al cuadrado en ambas desigualdades

⇒(−3

2

)2

>

(x− 5

2

)2

≥ (0)2 y (0)2 <

(x− 5

2

)2

≤(

5

2

)2

⇒ 9

4>

(x− 5

2

)2

≥ 0 y 0 <

(x− 5

2

)2

≤ 25

4

Se resta1

4en las desigualdades anteriores

⇒ 9

4− 1

4>

(x− 5

2

)2

− 1

4≥ 0− 1

4y 0− 1

4<

(x− 5

2

)2

− 1

4≤ 25

4− 1

4

⇒ 2 >

(x− 5

2

)2

− 1

4≥ −1

4y − 1

4<

(x− 5

2

)2

− 1

4≤ 6

Tenemos que(x− 5

2

)2

− 1

4∈[−1

4, 2

[y

(x− 5

2

)2

− 1

4∈]−1

4, 6

]Considerando ambos intervalos se tiene que(x− 5

2

)2

− 1

4∈[−1

4, 6

]⇒ −1

46 f(x) 6 6

Ası Amb(f) =[−1

4, 6]

1.3. Dominio Maximo

Definicion 7 El dominio maximo de una funcion f real de variable real es el conjuntoformado por todos aquellos numeros a los cuales se les puede encontrar una imagenmediante el criterio de la funcion.

Es importante recordar lo siguiente:

1. n√p(x) se indefine si n par y p(x) < 0.

2.q(x)

p(x)se indefine si p(x) = 0 para algun x.

3.q(x)

n√p(x)

se indefine si n es par y p(x) 6 0.



A continuacion se presentan varios ejemplos, en los cuales se determina el dominio maximo.

Ejercicio resuelto 15 Determine el dominio maximo de f(x) =√

2x− 1

Solucion: Para que el radical este bien definido es necesario que 2x− 1 > 0.Resolviendo

2x− 1 > 0

⇒ 2x > 1

⇒ x >1

2

Ası el dominio maximo es Df =

[1

2,∞[

.

Ejercicio resuelto 16 Determine el dominio maximo de f(x) = 4√

3x3 + 2x2 − 5x

Solucion: Es necesario que el subradical sea mayor o igual a cero, es decir que3x3 + 2x2 − 5x > 0.Factorizando :

x(3x2 + 2x− 5) > 0

⇒ x(3x+ 5)(x− 1) > 0

En un cuadro de variacion de signos:

x

3x + 5

x − 1

x(3x + 5)(x − 1)

−∞ −53 0 1 +∞

− − 0 + +

− 0 + + +

− − − 0 +

− 0 + 0 − 0 +

De aca, Df =

[−5

3, 0

]⋃[1,+∞[

Ejercicio resuelto 17 Determine el dominio maximo de f(x) =2

x3 + 2x2 − x− 2

Solucion: En este caso es necesario que x3 + 2x2 − x − 2 6= 0, por ello se resol-vera x3 + 2x2 − x − 2 = 0 para encontrar los ceros del polinomio y excluirlos deldominio.Se factoriza

x3 + 2x2 − x− 2 = x2(x+ 2) +−(x+ 2)

= (x+ 2)(x2 − 1)

= (x+ 2)(x+ 1)(x− 1)



Ahora

(x+ 2)(x+ 1)(x− 1) = 0

⇒ x+ 2 = 0 o x+ 1 = 0 o x− 1 = 0

⇒ x = −2 o x = −1 o x = 1

Ası el dominio de f corresponde a Df = R− {−2,−1, 1}

Ejercicio resuelto 18 Determine el dominio maximo de f(x) =2x+ 7

x3 + x

Solucion: Es necesario que x3 + x 6= 0. Vemos que x3 + x = x(x2 + 1). Luego

x(x2 + 1) = 0

⇒ x = 0 o x2 + 1 = 0

Note que x2+1 = 0 es imposible para cualquier x ∈ R ya que x2 > 0 y luego x2+1 > 0.Finalmente Df = R− {0}

Ejercicio resuelto 19 Determine el dominio maximo de f(x) =

√2x− 4

x− 1

Solucion: En este caso el radical esta bien definido si2x− 4

x− 1> 0. Por lo que facto-

rizando se tiene2(x− 2)

x− 1> 0. En una tabla de signos

2(x− 2)

x − 1

2x− 4

x− 1

−∞ 1 2 +∞− − 0 +

− 0 + +

+ − 0 +

Finalmente Df = ]−∞, 1[ ∪ [2,+∞[. Notese que x = 1 es una restriccion para eldenominador de la fraccion, en cosecuencia no puede ser considerado como parte deldominio de la funcion. Esta consideracion se muestra en la tabla mediante la doblebarra en ese valor.

Ejercicio resuelto 20 Determine el dominio maximo de f(x) =x− 2

2x2 − x+ 1

Solucion: La fraccion se indefine si 2x2 − x + 1 = 0. Por ello se deben buscarlas soluciones de la ecuacion y excluirlos del dominio.Pero note que 2x2 − x + 1 = 0 no tiene solucion en R pues su discriminante esnegativo; en efecto

4 = (−1)2 − 4 · 2 · 1 = −7

Por lo tanto Df = R.



Ejercicio resuelto 21 Determine el dominio maximo de

f(x) =√

2x2 − x− 3−√x+ 3

2− x

Solucion: En este caso ambos subradicales no deben ser negativos. Por ello es ne-cesario que

2x2 − x− 3 > 0 y quex+ 3

2− x> 0

se resuelve la inecuacion 2x2 − x− 3 > 0⇔ (2x− 3)(x+ 1) > 0

2x − 3

x + 1

(x+1)(2x−3)

−∞ −1 32 +∞

− − 0 +

− 0 + +

+ 0 − 0 +

S1 : ]−∞,−1] ∪[

3

2,+∞

[

Luego se resuelvex+ 3

2− x> 0

x + 3

2 − xx+ 3

2− x

−∞ −3 2 +∞− 0 + +

+ + 0 −

− 0 + −

S2 : [−3, 2[

El dominio de la funcion se puede expresar como un solo conjunto, en este casoobtenemos dos conjuntos a causa del analisis que se hizo, para determinar una unicoconjunto basta con intersecar los conjuntos anteriores (los elementos que tienen encomun los conjuntos), debido a que ambas condiciones se deben dar al mismo tiempopara que la funcion exista.

Tenemos entonces que Df = S1 ∩ S2

Una representacion grafica de los intervalos y mediante la cual se puede determinarlos elementso en comun entre ambos intervalos es la siguiente



Por lo tanto Df = S1 ∩ S2 = [−3,−1] ∪[

3

2, 2

[

Ejercicio resuelto 22 Determine el dominio maximo de f(x) = 6

√2

x− 1

x+ 1

Solucion: Se debe cumplir que

2

x− 1

x+ 1> 0

⇒ 2x+ 2− xx(x+ 1)

> 0

⇒ x+ 2

x(x+ 1)> 0

Luego

x + 2

x

x + 1

x+ 2

x(x+ 1)

−∞ −2 −1 0 +∞− 0 + + +

− − − 0 +

− − 0 + +

− 0 + − +

Ası Df : [−2,−1[ ∪ ]0,+∞[

Ejercicio resuelto 23 Determine el dominio maximo de f(x) =

√4x− 2x2

−2x2 + x+ 3.

Solucion: Es necesario que

4x− 2x2 > 0 y ademas que −2x2 + x+ 3 6= 0

Ası

−2x2 + x+ 3 = 0

⇒ −(2x− 3)(x+ 1) = 0

⇒ x =3

2o x = −1

Por otra parte 4x− 2x2 > 0⇔ 2x(2− x) > 0



2x

2 − x2x(2−x)

−∞ 0 2 +∞− 0 + +

+ + 0 −− 0 + 0 −

Finalmente Df = [0, 2]−{

3

2

}

1.4. Monotonıa de una funcion

Definicion 8 (Monotonıa estricta)Sea una funcion f : A −→ B. Se dice que

X f es estrictamente creciente en A si para cualesquiera valores x1, x2 en A talesque x1 < x2 se cumple que f(x1) < f(x2).

X f es estrictamente decreciente en A si para cualesquiera valores x1, x2 en Atales que x1 < x2 se cumple que f(x1) > f(x2).

X f es constante en A si para cualquier valor x1, x2 en A tales que x1 6= x2 secumple que f(x1) = f(x2).

Ejemplo 8 Considere f : R −→ R tal que f(x) = 8x − x2 cuya grafica aparece acontinuacion

1615

12

7

1 2 3 4 5 6 7 8

Figura 16: Grafica de f(x) = 8x− x2, f : R→ R

Se puede apreciar que esta funcion es creciente en el intervalo ]0, 4[.Para comprobarlo, tomese dos elementos cualesquiera en ]0, 4[, por ejemplo 1 y 2,ahora calculando sus imagenes se tiene que f(1) = 7 y f(2) = 12. Se verifica que

1 < 2 y f(1) < f(2)↓ ↓ ↓ ↓x1 x2 f(x1) f(x2)



Ahora tomando otros dos valores en ]0, 4[, por ejemplo 12

y 3, se calculan sus imagenes

f(13) =

15

4y f(3) = 15. Se puede apreciar que

12< 3 y que f

(12

)< f(3)

El lector puede inferir que para cualesquiera dos valores que tome en ]0, 4[, se satisfacela definicion de funcion estrictamente creciente. Con estos dos casos particulares sequiere ejemplificar el cumplimiento de la definicion. Estos argumentos serıan insufi-cientes para demostrar que f es estrictamente creciente en el intervalo.Siguiendo el mismo procedimiento presentado se puede verificar tambien que f es es-trictamente creciente en el intervalo ]−∞, 4[.La misma funcion es estrictamente decreciente en el intervalo ]5, 8[. Tomando dosvalores en ]5, 8[, a saber 6 y 7, note que f(6) = 12 y f(7) = 7 ası que 6 < 7 y ademasf(6) > f(7).

Tomando11

2y

15

2ambos valores de ]5, 8[ vea que f

(11

2

)=

55

4y f

(15

2

)=

15

4. Se

cumple que11

2<

15

2y ademas f

(11

2

)> f

(15

2

).

Si se continua el mismo proceso, se constata que tomando cualesquiera x1, x2 en elintervalo ]5, 8[ se cumple que si x1 < x2 entonces f(x1) > f(x2). Con lo que lafuncion es estrictamente decreciente en ]5, 8[. Del mismo modo se verifica que f esestrictamente decreciente en ]4,+∞[

Definicion 9 (Monotonıa)Sea f : A −→ B. Se dice que

1. f es creciente en A si para cualesquiera x1, x2 en A tal que x1 < x2 se cumpleque f(x1) 6 f(x2).

2. f es decreciente en A si para cualesquiera x1, x2 tal que x1 < x2 en A se cumpleque f(x1) > f(x2).

Note que hay una gran similitud entre la definicion de monotonıa y monotonıa estricta.La diferencia esta en que si una funcion es creciente puede tener partes constantes, noası, si es estrictamente creciente. Analogamente sucede con las funciones decrecientes.



Ejemplo 9 Considere la siguiente grafica de la funcion f cuya grafica aparece acontinuacion.

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

2

0

y

x

Figura 17: Grafica de f .

Se puede observar que f es constante en ]2, 5[. Tomando dos valores x1, x2 endicho intervalo, note que f(x1) = 2 y f(x2) = 2, es decir, f(x1) = f(x2)Se tiene lo siguiente:

X f es creciente en ]−∞, 2[.

X f es creciente en ]2, 5[.

X f es creciente en ]−∞, 5[.

X f es estrictamente creciente en ]−∞, 2[.

X f es decreciente en ]5,∞[.

X f es decreciente en ]2, 5[.

X f es decreciente en ]2,∞[.

X f es estrictamente decreciente en ]5,∞[.



Ejemplo 10 Ahora se determinaran los intervalos de monotonıa de la funcion frepresentada en la siguiente grafica.

4−2−1

y

x


f es estrictamente decreciente en ]4,∞[ . Es estrictamente creciente en] −∞, 0[ y en ]0, 4[. Notese que es incorrecto escribir que “f es estrictamente crecienteen ]−∞, 4[”pues basta tomar x = −2 y x = 0 para ver que aunque −2 < 0 se tiene quef(−2) > f(0), pues 0 > −1.

Ejemplo 11 Considere la funcion f representada en la siguiente grafica.

31 5−1 x

y


Observe que:



X f es estrictamente decreciente en ]−∞,−1[ y en ]3, 5[

X f es estrictamente creciente en ]1, 3[ y en ]5,∞[

X f es constante en ]− 1, 1[

1.5. Funcion inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Definicion 10 Una funcion f : A −→ B es inyectiva si todo elemento del ambitotiene una unica preimagen.

Definicion 11 Una funcion f : A −→ B es sobreyectiva si su codominio y ambitoson iguales, es decir Amb(f) = B.

Definicion 12 Una funcion f : A −→ B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejercicio resuelto 24 Determine si la funcion representada en cada uno de los si-guientes diagramas es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva.

A Bf

a

1

b

e

2

f

5

6

Note que Amb(f) = {e, 2, 6}, elcodominio es B = {e, 2, f, 5, 6}.Luego todo elemento del ambitotiene una unica preimagen por loque f es inyectiva, ademas B 6=Amb(f) por ello no es sobreyecti-va; tampoco es biyectiva.

A Bf

a

1

b

e

2

En este caso el ambito esAmb(f) = {e, 2}, y el codominioes B = {e, 2}. La funcion no esinyectiva pues el elemento “e” delambito tiene dos preimagenes.Pero es sobreyectiva puesto queB = Amb(f). Por tanto f no esbiyectiva.



A Bf

a

1

b

c

d

e

2

f

5

Aca se tiene que B = {e, 2, f, 5}y Amb(f) = {2, 5}. f no es in-yectiva pues los elementos 2 y5 del ambito tienen mas de unapreimagen; f no es sobreyectivapues Amb(f) 6= B. Se concluyeque f no es biyectiva.

A Bf

a

1

b

c

e

2

f

5

El codominio es B = {e, 2, f, 5}y el ambito Amb(f) = {e, 2, f, 5}.f es inyectiva pues todo elementodel ambito tiene solo una preima-gen. Ademas B = Amb(f) por loque f es sobreyectiva. Finalmentef es biyectiva.

Ejemplo 12 Considere la funcion f : R −→ R cuya grafica es la que aparece acontinuacion.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

0

l

x

y




Note que la funcion es sobreyectiva pues de la grafica se tiene que Amb(f) = R,y ademas se tiene que el codominio es R (pues f : R −→ R).f no es inyectiva, note que al trazar la recta horizontal “l”, esta interseca en dospuntos a la grafica (−3, 1), (2, 1), lo cual evidencia que el elemento “1” del ambitotiene como preimagenes a −3 y 2. f no es biyectiva pues no es inyectiva.

Ejemplo 13 Considere la funcion f : R −→] −∞, 2] cuya grafica es la que aparecea continuacion.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

0

l

y

x


En esta grafica se tiene que el ambito es Amb(f) =] − ∞, 2[ y el codominio es]−∞, 2] (pues f : R −→]−∞, 2]) por ello f no es sobreyectiva.f tampoco es inyectiva: note que al trazar la recta horizontal “l” esta interseca lagrafica en una cantidad infinita de puntos (en el intervalo ]0, 3[ la grafica es constantey tiene infinitos puntos que tambien pertenecen a l); basta mencionar que la graficay l tienen en comun los puntos (−3, 1), (0, 1), (2, 1) entre muchos otros, de donde sededuce que el elemento “1” del ambito tiene como preimagenes −3, 0, 2 y otros mas.Luego f tampoco es biyectiva.



Ejemplo 14 Considere la funcion f : [0,+∞[−→] − ∞, 4] cuya grafica es la queaparece a continuacion.

−1 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

0 x

y


En este caso la funcion no es sobreyectiva pues el codominio es ] − ∞, 4] y elambito es ]−∞, 3].La funcion sı es inyectiva, pues todo elemento del ambito tiene solo una preimagen.Pero f no es biyectiva.Observese que en este ejemplo la funcion no es biyectiva puesto que no es sobreyectiva,bastarıa redefinir el codominio de f para que fuese biyectiva; en efecto, suponga que

se redefine f ası:∼f : [0,+∞[−→] −∞, 3], en este caso el codominio de

∼f serıa igual

que su ambito por ello∼f serıa sobreyectiva y por ende, biyectiva.

Teorema 1 Si f es estrictamente creciente o decreciente en un intervalo I entoncesf es inyectiva en I.



Ejemplo 15 Sea f :]−∞, 4[−→]−∞, 3[ tal y como se muestra a continuacion.

−2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

3

0 x

y


Note que f es inyectiva puesto que es estrictamente creciente. Ası mismo es so-breyectiva ya que el ambito es ]−∞, 3[ y coincide con su codominio. Ası f es biyectiva.

1.6. Operaciones con funciones

Dadas varias funciones, se pueden definir nuevas, mediante operaciones entre ellas:suma, resta, multiplicacion, division y composicion.

Definicion 13 Sean f : A −→ R y g : B −→ R funciones, A y B subconjuntos deR. Se define la funcion suma, resta, multiplicacion y division respectivamente:

1. f + g : A ∩B −→ R tal que (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2. f − g : A ∩B −→ R tal que (f − g)(x) = f(x)− g(x)

3. f · g : A ∩B −→ R tal que (f · g)(x) = f(x) · g(x)

4.f

g: A ∩B − {x ∈ R : g(x) = 0} −→ R tal que

(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)

Ejercicio resuelto 25 Sean las funciones f :]− 8,+∞[−→ R, f(x) = log(x+ 8) yg :]−∞, 3

2

]−→ R, g(x) =

√−2x+ 3. Determine (f + g)(x), (f − g)(x), (f · g)(x) y(

f

g

)(x) y sus dominios.

Solucion:

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = log(x+ 8) +√−2x+ 3



2. (f − g)(x) = f(x)− g(x) = log(x+ 8)−√−2x+ 3

3. (f · g)(x) = f(x) · g(x) = log(x+ 8) ·√−2x+ 3

4.

(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)=

log(x+ 8)√−2x+ 3

5. Tenemos que el dominio de f + g, f − g, f · g es ]−8,+∞[∩]−∞, 3

2

]=]−8, 3

2

]6. El dominio de

f

ges el mismo que el de las operaciones anteriores, exceptuando

los valores para los cuales g(x) = 0, esto es, cuando√−2x+ 3 = 0, es decir

cuando x =3

2. Ası, el dominio de

f

ges

]−8,

3

2

]−{

3

2

}=

]−8,

3

2

[

Ejercicio resuelto 26 Sean las funciones f(x) =3x+ 5

2− xy g(x) = 2 + x2 definidas

en su dominio maximo. Calcular (f − g)(3),

(f

g

)(−1).

Solucion:

1. (f − g)(3)

(f − g)(3) = f(3)− g(3)

=

[3 · (3) + 5

2− (3)

]−[2 + (3)2

]= −14− 11

= −25

2.

(f

g

)(−1)

(f

g

)(−1) =

f(−1)

g(−1)

=

3(−1) + 5

2− (−1)

2 + (−1)2

=

2

33

=2

9



Definicion 14 Sean f : A −→ B y g : B −→ C funciones, se define la composicionde f con g como

g ◦ f : A −→ C tal que (g ◦ f)(x) = g(f(x)).Donde Dg◦f = {x ∈ Df : f(x) ∈ Dg}

Se muestra a continuacion una representacion de la composicion entre dos funciones, me-diante un diagrama.

Sean f : A −→ B y g : B −→ C funciones reales

x f(x) g(f(x))

A B C

f g

g ◦ f

Figura 24: Diagrama de Venn que representa la composicion de funciones

Donde g ◦ f : A −→ C, (g ◦ f)(x) = g(f(x))

Ejercicio resuelto 27 Considere las funciones f, g definidas en su dominio maximo,

g(x) =x

x2 − 4, f(x) =

1

x− 2. Determine el criterio y el dominio de (g ◦ f)(x).

Solucion:

Note que (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g

(1

x− 2

)

=

1

x− 2(1

x− 2

)2

− 4

=

1

x− 21− 4(x− 2)2

(x− 2)2

=x− 2

−4x2 + 16x− 15

El dominio de la composicion es Dg◦f = {x ∈ Df : f(x) ∈ Dg}; es decir que el domi-nio de (g ◦ f)(x) es el conjunto formado por los elementos del dominio de f cuyas



imagenes estan en el dominio de g.Note que Df = R−{2} y Dg = R−{−2, 2}. Debe asegurarse que f(x) ∈ Dg es decir

que1

x− 26= −2 y que

1

x− 26= 2.

Ahora, si1

x− 2= −2 =⇒ 1

x− 2+ 2 = 0 =⇒ 1 + 2x− 4

x− 2= 0

=⇒ 2x− 3 = 0

=⇒ x =3

2.

De igual modo si1

x− 2= 2 =⇒ 1

x− 2− 2 = 0 =⇒ 1− 2x+ 4

x− 2= 0

=⇒ −2x+ 5 = 0

=⇒ x =5

2.

Ası Dg◦f = R−{

3

2, 2,

5

2

}.

Ejercicio resuelto 28 Sean las funciones f, g definidas en su dominio maximo, con

g(x) =1

x2 − 1, f(x) =

√x+ 1

x− 1. Determine el criterio y el dominio de (g ◦ f)(x).

Solucion: Observe que

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g

(√x+ 1

x− 1

)=

1(√x+ 1

x− 1

)2

− 1

=1

(x+ 1)− (x− 1)2

(x− 1)2

=(x− 1)2

x+ 1− x2 + 2x− 1

=(x− 1)2

3x− x2

Note que Df = [−1,+∞[ − {1} y que Dg = R − {−1, 1}. Luego f(x) ∈ Dg si√x+ 1

x− 16= −1 y

√x+ 1

x− 16= 1.



Ahora√x+ 1

x− 1= ±1 =⇒

(√x+ 1

x− 1

)2

= (±1)2

=⇒ x+ 1

(x− 1)2= 1

=⇒ x+ 1

(x− 1)2− 1 = 0

=⇒ x+ 1− (x− 1)2

(x− 1)2= 0

=⇒ x+ 1− x2 + 2x− 1 = 0

=⇒ −x2 + 3x = 0

=⇒ −x(x− 3) = 0

=⇒ x = 0 ∨ x = 3

De donde f(x) ∈ Dg si x 6= 0 y x 6= 3. Finalmente Dg◦f = [−1,+∞[− {0, 1, 3}.

Ejercicio resuelto 29 Sean las funciones f(x) =x

1 + x2y g(x) = 2x+ 4, definidas

en su dominio maximo.

1. Determine el criterio de (g ◦ f)(x) y (f ◦ g)(x).

2. Calcule (g ◦ f)(−2) y f(g(8)).

Solucion:

1. a) (g ◦ f)(x)

(g ◦ f)(x) = g(f(x))

= 2 · (f(x)) + 4

= 2 ·(

x

1 + x2

)+ 4

=4x2 + 2x+ 4

1 + x2

(g ◦ f)(x) =4x2 + 2x+ 4

1 + x2

b) (f ◦ g)(x)

(f ◦ g)(x) = f(g(x))

=g(x)

1 + (g(x))2

=(2x+ 4)

1 + (2x+ 4)2

(f ◦ g)(x) =(2x+ 4)

1 + (2x+ 4)2



2. a) (g ◦ f)(−2) =4(−2)2 + 2(−2) + 4

1 + (−2)2=

16

5

b) f(g(8)) =2 · (8) + 4

1 + (2 · (8) + 4)2=

20

401

Ejercicio resuelto 30 En cada caso determine el criterio de dos funciones que com-puestas permiten obtener la funcion dada, definida en su dominio. Verificar la com-posicion.

1. l(x) = 5√x3 − 8x+ 4

2. l(x) = e1

x2+3 + 5

3. l(x) = −(2x+ 4) + ln(2x+ 4)

4. l(x) =

(1

x+√x

)2

Solucion:

1. l(x) = 5√x3 − 8x+ 4

Se indentifican las funciones con criterios f(x) = 5√x y g(x) = x3 − 8x+ 4, de

forma que (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = 5√g(x) = 5

√x3 − 8x+ 4 = l(x)

2. l(x) = e

1

x2 + 3 + 5Se identifican las funciones con criterios f(x) = ex + 5 y g(x) = 1

x2+3, de forma

que (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = eg(x) + 5 = e1

x2+3 + 5 = l(x)

3. l(x) = −(2x+ 4) + ln(2x+ 4)Se indentifican las funciones con criterios f(x) = −x+ln(x) y g(x) = 2x+4, deforma que (f◦g)(x) = f(g(x)) = −g(x)+ln(g(x)) = −(2x+4)+ln(2x+4) = l(x)

4. l(x) =

(1

−4 +√x

)2

Tambien, si se consideraran tres funciones, se pueden identificar las funciones

con criterios f(x) = x2 y g(x) =1

−4 +√x

, de forma que (f ◦g)(x) = f(g(x)) =

(g(x))2 =

(1

−4 +√x

)2

= l(x)

Siendo mas especificos, se indentifican las funciones con criterios f1(x) = x2, g1(x) =1

xy h(x) = −4 +

√x, de forma que (f1 ◦ (g1 ◦ h))(x) = l(x), donde

(g1 ◦ h)(x) = g1(h(x)) =1

−4 +√x

y (f ◦ (g1 ◦ h))(x) =

(1

−4 +√x

)2

= l(x)



1.7. Funcion inversa

Definicion 15 Dada una funcion f : A −→ B biyectiva se define la funcion inversade f como f−1 : B −→ A, es decir, la funcion que toma los elementos del ambito de fcomo los elementos de su dominio y los elementos del dominio de f como su ambito.

Teorema 2 Una funcion f : A −→ B tiene inversa si y solo si f es biyectiva.

Nota 1 Sea f una funcion invertible. Si f es estrictamente creciente, f−1 tambienes estrictamente creciente. Si f es estrictamente decreciente, f−1 tambien lo es.

Ejercicio resuelto 31 Considere f : [0,+∞[−→ [1,+∞[ tal que f(x) = x2 + 1.Defina f−1.Solucion: La funcion f tiene inversa puesto que es biyectiva, esto se puede verificarcon la grafica de la funcion.

1 2

1

2

3

4

5

0

y

x

Figura 25: Grafica de f : [0,+∞[−→ [1,+∞[ tal que f(x) = x2 + 1

Verificada la biyectividad, se tomara la ecuacion y = x2 +1 y se despeja la variableindependiente, ası:

x2 = y − 1

x = ±√y − 1

Se intercambian variables puesto que en f−1 los elementos del dominio son los ele-mentos del ambito de f . Ası se obtiene que f−1(x) = ±

√x− 1 y se selecciona

f−1(x) =√x− 1 como criterio, ya que f−1(x) debe ser positiva puesto que las

preimagenes en f lo son.Finalmente la funcion inversa de f es:

f−1 : [1,+∞[−→ [0,+∞[ tal que f−1(x) =√x− 1



Nota 2 La funcion identidad esta determinada por f : R −→ R tal que f(x) = x.Su grafica es la siguiente

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

0 x

y

Figura 26: Grafica de f(x) = x

Ası la recta de ecuacion y = x permite identificar las graficas de dos funcionesque son mutuamente inversas. Si g es una funcion invertible, entonces las graficas deg y g−1 son simetricas respecto a la recta y = x.

−2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

0

g

g−1

x

y

Figura 27: Graficas de dos funciones mutuamente inversas



Ejercicio resuelto 32 Grafique la funcion inversa def : [0,+∞[−→ [1,+∞[, f(x) = x2 + 1.Solucion: Haciendo uso de la grafica de f y del hecho que la grafica de f−1 y de fson simetricas respecto a la recta y = x se tiene que

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−1

1

2

3

4

5

0

f

f−1

x

y

Figura 28: Graficas de f y f−1

Ejemplo 16 Considere f : [−2,+∞[−→]−∞,−1], f(x) = −√x+ 2−1 cuya grafica

esta dada por

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1

0 x

y

Figura 29: Grafica de f : [−2,+∞[−→]−∞,−1], f(x) = −√x+ 2− 1

Note que f es biyectiva por tanto debe tener una funcion inversa. Para determinar



el criterio de f−1 tome la ecuacion y = −√x+ 2− 1 y despeje x. Ası

y + 1 = −√x+ 2

⇒ (y + 1)2 = x+ 2

⇒ x = (y + 1)2 − 2

⇒ f−1(x) = (x+ 1)2 − 2

La funcion inversa esta dada por

f−1 :]−∞,−1] −→ [−2,+∞[ tal que f−1(x) = (x+ 2)2 − 2.

La grafica de f−1 es simetrica con la de f , respecto a la recta y = x, de este modo lasgraficas de f y f−1 son

−3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

0x

yf−1

f




Ejemplo 17 Considere f :]− 3,+∞[−→]−∞, 3[, f(x) = −2x− 3, cuya grafica es

−3 −2 −1 1

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

0 x

y

Figura 31: Grafica de f :]− 3,+∞[−→]−∞, 3[, f(x) = −2x− 3

El lector puede verificar que f es biyectiva y por ende, tiene una inversa. Se puededeterminar el criterio de f−1 ası:

y = −2x− 3

⇒ x =y + 3

−2

⇒ f−1(x) =−x− 3

2

De este modo la funcion inversa esta dada por f−1 :] − ∞, 3[−→] − 3,+∞[,

f−1(x) =−x− 3

2. A continuacion se pueden apreciar las graficas de f y f−1



−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

0 x

y

f−1

f


1.8. Trazado de la grafica de funciones basicas

Algunas de las funciones que menos se conocen a nivel grafico en la secundaria, sonla funcion valor absoluto y la funcion raız cuadrada, a pesar de que se trabaja con estasfunciones en multiples ocasiones.A continuacion se muestra la grafica de estas funciones, en el domino maximo de lasmismas.

fy

x

Figura 33: Grafica de la funcion valor absoluto, f : R −→ R, f(x) = |x|



0

gy

x

Figura 34: Grafica raız cuadrada, g : [0,+∞[−→ R, g(x) =√x

Las funciones anteriores estan en su forma basica, sin embargo, sobre las mismas sepueden efectuar sumas, restas, multiplicacion, etc, de numeros reales, con lo que la graficade la funcion cambiarıa en cuanto a posicion y estiramiento.Enseguida se muestran algunos cambios elementales que se pueden efectuar sobre unafuncion base y que permiten generar una nueva funcion.Vamos a partir de cambios que se aplicaran a la grafica de la funcion y = f(x).

1. Traslacion vertical de la grafica de y = f(x)

· Si a y = f(x) le sumamos a unidades con a > 0, la grafica de y = f(x) + aimplica un desplazamiento vertical hacia arriba de la grafica de y = f(x), ena unidades.

· Si por el contrario, sumamos a unidades a y = f(x), pero con a < 0, la graficade y = f(x) + a implica un desplazamiento vertical hacia abajo de la graficade y = f(x), en a unidaes.

2. Traslacion horizontal de la grafica de y = f(x)

· Si a la preimagen de y = f(x) se suman a unidades con a > 0, la grafica de lafuncion y = f(x+ a) implica un desplazamiento horizontal hacia la izquierdade la grafica de y = f(x), en a unidades.

· Analogamente si a la preimagen de y = f(x) se suman a unidades con a < 0,la grafica de y = f(x) se desplaza a unidades hacia la derecha, obteniendo lagrafica de y = f(x+ a).

3. Reflexion con respecto al eje x de la grafica de y = f(x).La transformacion y = −f(x) implica una reflexion de la grafica de y = f(x) conrespecto al eje x.Si se observa lo que esta ocurriendo, es que las imagenes de y = f(x) cambian designo, implicando una reflexion de la grafica con respecto al eje x.

4. Reflexion de la grafica de y = f(x) con respecto al eje y.La transformacion y = f(−x) implica una reflexion de la grafica de y = f(x), conrespecto al eje y; esto debido a que si se observa, en este caso esta cambiando elsigno de todas las preimagenes de y = f(x).



5. Estiramiento o comprension de grafica de y = f(x).

· Si a y = f(x) se le aplica la transformacion y = a · f(x), con a > 1 la graficade y = f(x) se estirara verticalmente en un factor a.

· Si a y = f(x) se le aplica la transformacion y = a · f(x), con 0 < a < 1, la

grafica de y = f(x) se va a comprimir verticalmente en un factor1

a.

Se muestran algunos ejemplos de graficas de expresiones con valor absoluto o raız cua-drada, que se realizaran a partir de cambios en las funciones base.

Ejemplo 18 Se parte de la funcion f(x) = |x|, f : R −→ R

Observacion 1 Notese que con cada transformacion el dominio o el ambito puedenir cambiando con respecto a la funcion de la que se partio.

1. Traslacion horizontal dos unidades a la derecha: y = |x− 2|

y = f(x− 2) = |x− 2|

2

2

fy

x

Figura 35: Grafica de f(x− 2) = |x− 2|, f(x) = |x|

2. Reflexion con respecto al eje x: y = −|x|

y = −f(x) = −|x|

f

y

x

Figura 36: Grafica de −f(x) = −|x|, f(x) = |x|



3. Traslacion vertical ocho unidades hacia abajo: y = |x| − 8

y = f(x)− 8 = |x| − 8

−8 8

−8

fy

x

Figura 37: Grafica de f(x)− 8 = |x| − 8, f(x) = |x|

4. Estiramiento vertical: y = 5 · |x|

y = 5 · f(x) = 5|x|

fy

x

Figura 38: Grafica de 5 · f(x) = 5|x|, f(x) = |x|

5. Reflexion con repecto al eje y: y = | − x|

y = f(−x) = | − x|

fy

x

Figura 39: Grafica de f(−x) = | − x|, f(x) = |x|



Ejemplo 19 Se parte de la funcion g(x) =√x, g : [0,+∞[ −→ R

Observacion 2 Notese que con cada transformacion el dominio o el ambito puedenir cambiando con respecto a la funcion de la que se partio.

1. Reflexion con respecto al eje y: y =√−x

y = g(−x) =√−x

gy

x

Figura 40: Grafica de g(−x) =√−x, g(x) =

√x

2. Reflexion con respecto al eje x: y = −√x

y = −g(x) = −√x

g

y

x

Figura 41: Grafica de −g(x) = −√x, g(x) =

√x

3. Estiramiento vertical: y = 4√x

y = 4g(x) = 4√x



gy

x

Figura 42: Grafica de 4g(x) = 4√x, g(x) =

√x

4. Traslacion vertical: y =√x+

1

2

y = g(x) +1

2=√x+

1

2

gy

x

12

Figura 43: Grafica de g(x) +1

2=√x+

1

2, g(x) =

√x

Ahora se muestran funciones que para ser graficadas implica realizar transformaciones ala funcion base, que se iran acumulando, hasta graficar la funcion deseada.

Ejemplo 20 Para graficar la funcion h(x) = −2

∣∣∣∣x− 3

4

∣∣∣∣ + 4, h : R −→ R, se parte

de transformaciones sobre y = f(x) = |x|.

1. y = f(x) = |x|



fy

x

Figura 44: Grafica de f(x) = y = |x|

2. Traslacion horizontal: y = f

(x− 3

4

)=

∣∣∣∣x− 3

4

∣∣∣∣

34

34

x

y


(x− 3

4

)=

∣∣∣∣x− 3

4

∣∣∣∣3. Estiramiento vertical: y = 2 · f

(x− 3

4

)= 2

∣∣∣∣x− 3

4

∣∣∣∣

34

32

x

y

Figura 46: Grafica de 2f

(x− 3

4

)= 2

∣∣∣∣x− 3

4

∣∣∣∣4. Reflexion con respecto al eje x: y = −2f

(x− 3

4

)= −2

∣∣∣∣x− 3

4

∣∣∣∣Diagnostico Matematica DiMa.


−32

34

x

y

Figura 47: Grafica de −2f

(x− 3

4

)= −2

∣∣∣∣x− 3

4

∣∣∣∣5. Traslacion vertical: y = −2f

(x− 3

4

)+ 4 = −2

∣∣∣∣x− 3

4

∣∣∣∣+ 4

x

y

52

34

114

−54

h

Figura 48: Grafica de −2f

(x− 3

4

)+ 4 = −2

∣∣∣∣x− 3

4

∣∣∣∣+ 4

Ası tenemos que la grafica de la funcion h(x) = −2

∣∣∣∣x− 3

4

∣∣∣∣ + 4, h : R −→ R corres-

ponde a



x

y

52

34

114

−54

h

Figura 49: Grafica de h : R −→ R, −2f

(x− 3

4

)+ 4 = −2

∣∣∣∣x− 3

4

∣∣∣∣+ 4 = h(x)

Ejemplo 21 Para graficar la funcion l(x) =1

2

√−x− 5, l :]−∞, 0] −→ R

Se va a partir de transformaciones sobre la funcion y = g(x) =√x

1. y = g(x) =√x

gy

x

Figura 50: Grafica de g(x) =√x

2. Reflexion con respecto al eje y: y = g(−x) =√−x

x

y

Figura 51: Grafica de g(−x) =√−x

3. Comprension vertical: y =1

2g(−x) =

1

2

√−x



x

y

Figura 52: Grafica de1

2g(−x) =

1

2

√−x

4. Traslacion vertical: y =1

2g(−x)− 5 =

1

2

√−x− 5

−100

−5

y

x

Figura 53: Grafica de1

2g(−x)− 5 =

1

2

√−x− 5

Tenemos entonces que la grafica de l(x) =1

2

√−x − 5 con l :] −∞, 0] −→ R, es la

siguiente.

−100

−5

ly

x

Figura 54: Grafica de l : ]−∞, 0] −→ [−5,+∞[,1

2g(−x)− 5 =

1

2

√−x− 5 = l(x)

1.9. Resolucion de inecuaciones a partir de la grafica de lafuncion

Definicion 16 Sea la funcion f : A→ B,

1. f es positiva en un subconjunto M de A si y solo si para todos los valores x ∈M ,f(x) > 0.

2. f es negativa en un subconjunto M de A si y solo si para todos los valoresx ∈M , f(x) < 0.

3. f es cero en k ∈ A si y solo si f(k) = 0, ası al punto (k, 0) se le conoce comointerseccion de la grafica de la funcion con el Eje x.



Ejercicio resuelto 33 Considere f : R −→ R tal que f(x) = x3 − x2 − 25x + 25cuya grafica corresponde a

Figura 55: Grafica de f(x) = x3 − x2 − 25x+ 25, f : R→ R

Determine los valores de “x” donde f(x) = 0, f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0,f(x) ≤ 0.

Solucion:En primer lugar f(x) = 0 en los valores en que la grafica de f interseca al eje

“x”; en este caso f(x) = 0 si x = −5, x = 1, x = 5. Ası puede escribirse que

f(x) = 0 si x ∈ {−5, 1, 5}

El lector puede comprobar que f(−5) = 0, f(1) = 0 y f(5) = 0.

Ahora para determinar los valores en los cuales f(x) > 0, se pueden identificarlos intervalos en que la funcion esta por encima del eje “x”; en este caso

f(x) > 0 si x ∈ ]−5, 1[ ∪ ]5,+∞[

En efecto, si se toma cualquier valor en ]−5, 1[ ∪ ]5,+∞[ y se calcula su ima-gen, esta sera positiva. Tome por ejemplo x = −1 y x = 6; note que sus imagenesson f(−1) = 48, f(6) = 55 ambas positivas. El lector puede hacer muchos otros casos.

A continuacion se determinaran los valores de “x” donde f(x) < 0 (f es negati-va), es decir el intervalo donde la grafica esta por debajo del eje “x”.

Ası f(x) < 0 si x ∈ ]−∞,−5[ ∪ ]1, 5[.



El lector puede comprobar que si se toma cualquier valor en ]−∞,−5[ ∪ ]1, 5[ surespectiva imagen sera negativa. Tome x = −7 y x = 4, vea que f(−7) = −192,f(4) = −27.

Ahora f(x) ≥ 0 si la grafica esta por encima del eje “x” o interseca al mismo.Por ello

f(x) ≥ 0 si x ∈ [−5, 1] ∪ [5,+∞[.

Analogamente f(x) ≤ 0 si la grafica de f esta por debajo del eje “x” o intersecaa este. Ası

f(x) ≤ 0 si x ∈ ]−∞,−5] ∪ [1, 5].

Ejercicio resuelto 34 Considere f : R −→ R tal que f(x) = −x2 + 5x − 6 cuyagrafica corresponde a

Figura 56: Grafica de f(x) = −x2 + 5x− 6, f : R→ R

Determine los valores de “x” donde f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) = 0.Solucion: Note que f(x) = 0 cuando la grafica de la funcion interseca al eje “x”,

en este caso se aprecia que la grafica interseca a este eje en x = 2 y x = 3. Por tanto

f(x) = cuando x = 2 o x = 3. De otro modo f(x) = 0 si x ∈ {2, 3}

Ahora f(x) > 0 cuando la grafica de la funcion esta por encima del eje “x”, eneste caso eso ocurre cuando “x” esta entre 2 y 3. Ası f(x) > 0 si x ∈ ]2, 3[.

Finalmente f(x) < 0 si la grafica esta por debajo del eje “x”. Ahora f(x) < 0si x ∈ ]−∞, 2[ ∪ ]3,+∞[



Ejercicio resuelto 35 Considere una funcion f : A −→ R cuya grafica correpondea


Determine el dominio (el conjunto A), rango, intervalos de monotonıa. Determinelos valores de “x” donde f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) = 0. Determine si la funcion esinyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

Solucion:El dominio de la funcion es R y el rango corresponde a ]−∞, 3].La funcion es estrictamente creciente en ]−∞, 0[ y estrictamente decreciente en ]0,+∞[.

Ahora f(x) > 0 si x ∈ ]−2, 4[, f(x) < 0 si x ∈ ]−∞,−2[∪ ]4,+∞[. Ademas f(x) = 0si x ∈ {−2, 4} de donde se puede ver que las intersecciones con el eje “x” correspon-den a (−2, 0) y (4, 0). La interseccion de la grafica con el eje “y” es (0, 3).

A continuacion se analiza la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de la fun-cion. Vea que f no es inyectiva pues existe al menos un elemento del rango que tienedos preimagenes; tome y = 0, este valor tiene como preimagenes a x = −2 y x = 4pues (−2, 0) y (4, 0) son parte del grafico. El lector puede encontrar otros ejemplos.

La funcion no es sobreyectiva, ya que el codominio es R (por la definicion presenta-da en el enunciado) y el rango es ]−∞, 3]; ambos conjuntos son distintos. Finalmentela funcion no es biyectiva pues no es ni inyectiva ni sobreyectiva.



Ejercicio resuelto 36 Considere una funcion f : A −→ R cuya grafica correpondea



Solucion:El dominio de la funcion es [−7, 4[ ∪ [5,+∞[ y el rango corresponde a ]−3,+∞[.La funcion es estrictamente creciente en ]−4,−2[ y en ]5,+∞[, es estrictamente de-creciente en ]−2, 4[, ademas es constante en ]−7,−4[.

Ahora f(x) > 0 si x ∈ [−7, 2[ ∪ ]5,+∞[; f(x) < 0 si x ∈ ]2, 4[ y f(x) = 0 six = 2 o x = 5. Esto ultimo indica que las intersecciones con el eje “x” son (2, 0) y(5, 0); f interseca al eje “y” en (0, 3).

La funcion no es inyectiva, basta notar que los puntos (−7, 1) y (−4, 1) estan enla grafica, por ello y = 1 tiene dos preimagenes x = −4 y x = −7. La funcion noes sobreyectiva pues el codominio es R y el rango es ]−3,+∞[. La funcion no esbiyectiva.


2 RECTAS Y PARABOLAS 59

Ejercicio resuelto 37 Considere una funcion f : A −→ ]−∞, 4]− {1} cuya graficacorreponde a



Solucion:El dominio de f es R y el rango es ]−∞, 4] − {1}. La funcion es estrictamente cre-ciente en ]−∞, 2[ y en ]2,+∞[.

Luego f(x) > 0 si x ∈] −∞, 2] ∪ ]3,+∞[; f(x) < 0 si ]2, 3[ y f(x) = 0 si x = 3. Lainterseccion de la grafica con el eje “x” corresponde a (3, 0) y con el eje “y” es (0, 2).

La funcion es inyectiva, es sobreyectiva, y por ende es biyectiva.

2. Rectas y parabolas

2.1. Introduccion a la funcion lineal

La funcion lineal es considerada una de las funciones mas simples, o la mas simple, sinembargo su utilidad ha trascendido su simplicidad al modelar en muchos casos fenomenosen los cuales se da una dependencia lineal entre dos variables. A continuacion mostramosuna situacion que es modelada con esta funcion.

Ejemplo 22 Debemos determinar el criterio de la funcion que representa la depen-dencia entre costos totales mensuales de una pequena empresa que fabrica zapatos yla cantidad de pares que produce al mes, si el costo de producir un par de zapatos esde $30 y la empresa tiene costos fijos mensuales de $750.



Solucion:Como el costo de produccion de un par de zapatos es de $30, para una cantidad x depares de zapatos que se producen al mes, se generarıa un costo para la empresa de 30xdolares, pero no solo eso, puesto que la empresa tiene un gasto fijo mensual de $750, conlo que los costos totales mensuales de la empresa tras la produccion de x pares de zapatosal mes, esta dado por la funcion de criterio C(x) = 30x+ 750, este criterio esta asociadoa una funcion lineal.A continuacion se mostraran, las principales caracterısticas de la funcion lineal, ası comosu ecuacion y ejemplos.

2.1.1. Funcion lineal

Definicion 17 Una funcion lineal esta dada por f : R −→ R, tal que f(x) = mx+ b,m, b ∈ R.

Ejemplo 23 Algunas funciones lineales son:

f : R −→ R, f(x) =−3

5x+ 8, con m =

−3

5y b = 8.

f : R −→ R, f(x) = 7x− 11, con m = 7 y b = −11.

f : R −→ R, f(x) = x, con m = 1 y b = 0.

f : R −→ R, f(x) = 5, con m = 0 y b = 5.

2.1.2. Grafica de la funcion lineal y ecuacion de la recta

A nivel grafico, una funcion lineal esta representada por una recta. Sobre el planocartesiano es el conjunto de puntos (x, y) tal que y = mx + b. De esta forma, a laecuacion y = mx + b se le conoce como ecuacion de la recta y puede ser expresada delas formas:

i. y = mx+ b

ii. ax+ by = c, con a, b, c ∈ R

Observacion 3 Para determinar el valor de m en la segunda ecuacion se debe ex-presar y en terminos de x, como en la primera representacion.

Ejemplo 24 Para la funcion f : R −→ R, f(x) = 2x + 1 la ecuacion de la recta esy = 2x+ 1.

Cuando se representa graficamente una recta, son necesarios dos puntos en esta, para estopodemos tomar dos valores arbitrarios de x ∈ Df y determinar sus imagenes, y ası formarlos dos puntos.

x 1 2y y = 2 · (1) + 1 = 3 y = 2 · (2) + 1 = 5

Puntos de la recta (1, 3) (2, 5)



Luego, los puntos se ubican en el plano cartesiano y se unen mediante una recta.

1 2

1

3

5

y

x

Figura 60: Recta y = 2x+ 1

Otra forma de graficar una recta es a partir de las intersecciones con los ejes coordenados,como puntos.Para la misma recta anterior tenemos:

· Interseccion con el eje x

0 = 2x+ 1

x =−1

2

La interseccion con el eje x es

(−1

2, 0

).

· Interseccion con el eje y.

y = 2 · (0) + 1

y = 1

La interseccion con el eje y es (0, 1)

A partir de los puntos

(−1

2, 0

)y (0, 1), podemos graficar la recta y = 2x+ 1.



−12

1

y

x

Figura 61: Recta y = 2x+ 1

Observacion 4 Se puede notar que cuando la ecuacion de una recta esta expresadade la forma y = mx+ b, la interseccion de la recta con el eje y es el punto (0, b).

2.1.3. Pendiente de la recta

Definicion 18 Dados dos puntos distintos A(x1, y1) y B(x2, y2) de una recta l novertical, la pendiente de l se define como:

m =y2 − y1

x2 − x1

La pendiente de una recta establece la inclinacion de la misma.

x1 x2

y1

y2

m =y2 − y1

x2 − x1

y

x

y2 − y1

x2 − x1

B

A

Figura 62: Pendiente de la recta

Observacion 5 La pendiente de una recta se define tambien como la razon trigo-nometrica tangente del angulo de inclinacion de la misma, cuando dicho angulo esagudo.



m = y2−y1x2−x1

= tan(α)

x1 x2

y2

y1α

α

y2 − y1

x2 − x1

y

x

A

B

Figura 63: Pendiente de la recta como tan(α)

2.1.4. Monotonıa de una recta

Cuando la ecuacion de una recta esta expresada en la forma y = mx + b, m, b ∈ R,tambien podemos caracterizarla por medio de la pendiente de la misma, como veremos acontinuacion:

i. Si m > 0, entonces la recta crece estrictamente.

Ejemplo 25 y = (0, 1)x− 3 donde m = 0, 1 > 0

30

−3

y

x

Figura 64: Recta y = 0, 1x− 3

Ejemplo 26 y = x, donde m = 1 > 0

y

x

Figura 65: Recta y = x



Observacion 6 La recta de ecuacion y = x se conoce como la identidad yasigna a cada preimagen una imagen identica a esta.

ii. Si m < 0, entonces la recta decrece estrictamente.

Ejemplo 27 y =−1

2x, donde m =

−1

2< 0.

y

x

Figura 66: Recta y =−1

2x

Ejemplo 28 y = −2x+ 5, donde m = −2 < 0

5

52

y

x

Figura 67: Recta y = −2x+ 5

iii. Si m = 0, entonces la recta es constante.

Ejemplo 29 y = 2, donde m = 0.

2

y

x

Figura 68: Recta y = 2



Ejemplo 30 y =−1

4, donde m = 0

−14

y

x

Figura 69: Recta y =−1

4

Ejemplo 31 y = 0, donde m = 0

y

x


Observacion 7 El eje x coincide con la recta de ecuacion y = 0.

2.1.5. Ejemplos de ecuacion de la recta

A partir de todo lo anterior se puede notar que una recta esta determinada por supendiente y la interseccion con el eje y, entonces basta definir estos valores para determinarla ecuacion de la recta.

Ejercicio resuelto 38 Determine la ecuacion de la recta que contiene los puntos(3,−4) y (−2, 1).

Solucion: La pendiente de la recta es m =1− (−4)

−2− (3)=

5

−5= −1 ⇒ m = −1. Para

determinar el valor de b, basta con tomar cualquiera de los puntos que contiene la recta yutilizar la ecuacion y = mx+b, por ejemplo, tomando el punto (3,−4) que debe satisfacer



la ecuacion y = mx+ b con m = −1. Esto es

−4 = −1 · 4 + b

−4 = −3 + b

−4 + 3 = b

−1 = b

Entonces la ecuacion de la recta es

y = −x− 1

Ejercicio resuelto 39 Determine la ecuacion de la recta con pendiente m =1

5y

que pasa por el punto (7, 5).

Solucion: En este caso no se debe determinar el valor de la pendiente, pero sı el valor deb de la ecuacion y = mx+ b, como en el ejemplo anterior.

5 =1

5· 7 + b

5 =7

5+ b

5− 7

5= b

18

5= b

La ecuacion de la recta que tiene pendiente m =1

5y contiene el punto (7, 5) es

y =1

5x+

18

5

2.1.6. Ejemplo de aplicacion de ecuacion de la recta

A continuacion se presenta una situacion donde se hace uso de la ecuacion de la recta.

Ejercicio resuelto 40 Para cierto producto se sabe que se demandan 30 unidades,si el precio de cada una es de $8; mientras que la cantidad demandada sera 40,cuando el precio por unidad es de $6. Determine la ecuacion de demanda suponiendoque hay una relacion lineal entre el precio de cada unidad y la cantidad de unidadesdemandadas. Expresar el precio unitario en terminos de la cantidad.

Solucion:En esta situacion se habla de una relacion lineal entre precio unitario de un producto ylas cantidades de unidades asociadas a esos precios, esto quiere decir que la situacion



esta modelada por la ecuacion de una recta.Por otro lado, se solicita que el precio sea expresado en terminos de la cantidad, estable-ciendo el precio como una variable dependiente de la cantidad.A partir de la anterior y la dependencia entre variables, podemos expresar la variable ycomo precios y x como cantidad asociada. Bajo este modelo lineal se pueden formar lospuntos (30, 8) y (40, 6) en la recta.Con los puntos (30, 8) y (40, 6) se puede determinar la ecuacion la recta

· Pendiente

m =6− 8

40− 30=−1

5

· Valor de b en la recta y = mx+ b.

Tenemos que m =−1

5y se puede tomar el punto (40, 6) en la recta. Ası

6 =−1

5· 40 + b

6 = −8 + b

6 + 8 = b

14 = b

· Ecuacion de demandaLa ecuacion de demanda segun la situacion planteada es

y =−1

5x+ 14

Observacion 8

i. Una recta de ecuacion y = a, a ∈ R, segun el valor de la pendiente, es una rectahorizontal (paralela al eje x), que interseca al eje y en (0, a).

Ejemplo 32 y = 7

7

y

x




ii. Una recta de ecuacion x = c, c ∈ R, es una recta vertical (paralela al eje y),que interseca al eje x en (c, 0)

Ejemplo 33 x = −11

−11

y

x

Figura 72: Recta x = −11

2.1.7. Rectas paralelas

Dos rectas no verticales son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente. Es decir,las rectas l1 y l2 de ecuaciones

l1 : y = m1x+ b1

l2 : y = m2x+ b2

Son paralelas si y solo si m1 = m2 y se escribe l1 ‖ l2

−2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

4

0

l2

l1

x

y

Figura 73: Rectas paralelas



Ejemplo 34 Las rectas de ecuaciones y =−3

4x+ 5 y 3x+ 4y−10 = 0 son paralelas.

La segunda ecuacion se puede escribir como y =−3x+ 10

4.

De esta forma se identifica que ambas rectas tienen pendiente m =−3

4.

Ejercicio resuelto 41 Determine la ecuacion de la recta que contiene al punto (3, 4)y es paralela a la recta de ecuacion 3x− 2 = y.

Solucion:Notese que la recta y = 3x− 2 tiene pendiente m = 3. Luego, esta recta es paralela a larecta que contiene el punto (3, 4). Por lo tanto, ambas tienen pendiente m = 3.Se puede determinar que la ecuacion de la recta es y = 3x− 5.

Ejercicio resuelto 42 Determine el valor de la constante k si se sabe que las rectasde ecuaciones y = 20k2x + kx − 5x + k − 1 y y = −15k2x + 9kx − 2x − k + 1 sonparalelas.

Solucion:Sean las rectas

l1 : y = 20k2x+ kx− 5x+ k − 1

l2 : y = −15k2x+ 9kx− 2x− k + 1

Para determinar la pendiente de cada recta, las ecuaciones deben expresarse de la forma

l1 : y = (20k2 + k − 5)x+ (k − 1)

l2 : y = (−15k2 + 9k − 2)x+ (−k + 1)

Ası tenemos las pendientes de las rectas

m1 = 20k2 + k − 5

m2 = −15k2 + 9k − 2

Como l1 ‖ l2 entonces m1 = m2

Ası 20k2 + k− 5 = −15k2 + 9k− 2 y se resuelve la ecuacion para determinar el valor dek.

20k2 + k − 5 = −15k2 + 9k − 2

35k2 − 8k − 3 = 0

(7k − 3)(5k + 1) = 0

⇒ 7k − 3 = 0 ∨ 5k + 1 = 0

⇒ k =3

7∨ k =

−1

5

Tenemos entonces que k toma los valores−1

5y

3

7para que l1 y l2 sean paralelas.



2.1.8. Rectas perpendiculares

Dos rectas con pendientes m1 y m2 son perdendiculares si y solo si m1 ·m2 = −1.

Esto es si m1 =−1

m2

o bien m2 =−1

m1Ası las rectas l1 y l2 de ecuaciones

l1 : y = m1x+ b1

l2 : y = m2x+ b2

Son perpendiculares si y solo si m1 ·m2 = −1 y se escribe l1 ⊥ l2.

−2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

4

0

l2

l1

x

y

Figura 74: Rectas perpendiculares

Observacion 9 Una recta horizontal (con pendiente m = 0) es perpendicular a unarecta vertical (con pendiente no definida).

Ejemplo 35 Las rectas de ecuaciones y =−8

7x−3

7y 7x−8y = 5 son perpendiculares.

Estas rectas se pueden representar como

l1 : y =−8

7x− 3

7, m1 =

−8

7

l2 : y =7x− 5

8, m2 =

7

8

con m1 ·m2 =−8

7· 7

8= −1

Ejercicio resuelto 43 La recta l1 pasa por los puntos (−2, 0) y (1, 6) y la recta l2pasa por el punto (7, 9). Si l1 ⊥ l2, determine la ecuacion de l2.

Solucion:La recta l1 pasa por (−2, 0) y (1, 6)Su pendiente es

m1 =6− 0

1− (−2)= 2



Luego, l1 ⊥ l2 con lo que

m1 ·m2 = −1

2 ·m2 = −1

m2 =−1

2

Tenemos ası que la pendiente de l2 es m2 =−1

2, ademas esta recta pasa por (7, 9) con

lo que la ecuacion de l2 es

y =−1

2x+

25

2

2.2. Introduccion a la funcion cuadratica

La funcion cuadratica es otra de las funciones mas conocidas, lo mismo ocurre con laecuacion de la parabola, debido a sus aplicaciones y el analisis de maximos o mınimos, ensituaciones modeladas por esta funcion.

Ejemplo 36 Interesa determinar la cantidad de artıculos que una empresa comercia-lizadora de tabletas debe fabricar y vender para obtener la maxima ganancia semanal,si la funcion de ingreso semanal tras la venta de x tabletas esta dada por la funcionI(x) = −x2 + 550x, y la funcion de costo es C(x) = 6800 + 150x (tanto el costo comoel ingreso esta en dolares).

Solucion:En este caso, las ganancias de esta companıa esta dada por la funcion que se obtiene dela diferencia entre los ingresos y los costos por semana, es decir, la funcionU(x) = I(x)− C(x), dada por U(x) = (−x2 + 550x)− (6800 + 150x) conU(x) = −x2 + 400x−6800. Esta funcion es cuadratica. La representacion grafica de estafuncion es



33200

200

u

x

y

Notese que en la representacion grafica el maximo que alcanza la funcion se da en el punto(200, 33200), lo que indica que cuando se producen 200 tabletas, la empresa obtiene unaganacia maxima de $33200.

En este apartado se describiran las principales caracterısticas de esta funcion, ası como dela ecuacion asociada.

2.2.1. Funcion cuadratica

Definicion 19 Una funcion cuadratica esta dada por f : R −→ R, tal quef(x) = ax2 + bx+ c, con a, b, c ∈ R, a 6= 0.

Algunas funciones cuadraticas son:

1. f : R −→ R, f(x) =3

4x2 − 5, donde a =

3

4, b = 0, c = −5.

2. g : R −→ R, g(x) = 8x− 9x2 + 1, donde a = −9, b = 8, c = 1.

3. h : R −→ R, h(x) = πx2 − 2x, donde a = π, b = −2, c = 0.



2.2.2. Grafica de la funcion cuadratica y ecuacion de la parabola

La representacion grafica de una funcion cuadratica es una parabola, esta es una curvade la forma

y

x

Figura 75: Parabola

y

x

Figura 76: Parabola

La grafica de la funcion cuadratica f(x) = ax2 + bx + c, f : R −→ R es el conjuntode puntos (x, y) sobre el plano cartesiano, tal que f(x) = y, esto es y = ax2 + bx + c.La ecuacion y = ax2 + bx+ c se conoce como ecuacion de la parabola.

2.2.3. Caracterısticas de la parabola

Se muestran las caracterısticas de la parabola, las cuales son utiles tambien paragraficarla. Considere la parabola de ecuacion y = ax2 + bx+ c.

Observacion 10 Prestar atencion a elementos ya conocidos de la ecuacion cuadrati-ca o de la factorizacion de expresiones cuadradraticas, por ejemplo al discriminante.

1. Concavidad

i. Si a > 0, la parabola es concava hacia arriba o convexa.



y

x

Figura 77: Parabola concava hacia arriba (convexa)

ii. Si a < 0, la parabola es concava hacia abajo o concava.

y

x

Figura 78: Parabola concava hacia abajo (concava)

2. Estudio del disciminante M= b2 − 4ac

i. Si M> 0, la parabola insterseca en dos puntos al eje x.

−2 −1 1 2

−3

−2

−1

1

0

y

x

Figura 79: Parabola interseca en dos puntos al eje x, en (−1, 0) y (1, 0)



−1 1 2 3

−1

1

2

3

0

y

x

Figura 80: Parabola interseca en dos puntos al eje x, en (0, 0) y (2, 0)

ii. Si M= 0, la parabola interseca en un punto al eje x.

−1 1 2 3

1

2

3

4

0

y

x

Figura 81: Parabola interseca en un unico punto al eje x, en (1, 0)

−2 −1 1 2

−4

−3

−2

−10

y

x

Figura 82: Parabola interseca en un unico punto al eje x, en (0, 0)

iii. Si M< 0, la parabola no interseca al eje x.



−1 1 2

−4

−3

−2

−10

y

x

Figura 83: Parabola que NO interseca al eje x

−2 −1 1

1

2

3

4

0

y

x

Figura 84: Parabola que NO interseca al eje x

3. Interseccion con el eje xSon los puntos (

−b+√M

2a, 0

)y

(−b−

√M

2a, 0

),M≥ 0

Las coordenadas en x de esos puntos, se obtienen al resolver la ecuacion0 = ax2 + bx+ c.

4. Interseccion con el eje yEs el punto

(0, c)

La coordenada en y del punto, se obtiene al calcular la imagen de x = 0, esto esf(0).

5. Eje de simetrıaEs la recta vertical

x =−b2a



y

x

x = −b2a

Figura 85: Eje de simetrıa x =−b2a

6. VerticeEs el punto

V =

(−b2a,− M4a

)i. Si f es concava hacia arriba (convexa), es el punto mınimo de la parabola.

y

x

−b2a

−∆4av

Figura 86: Vertice

(−b2a,− M4a

)

ii. Si f es concava hacia abajo (concava), es el punto maximo de parabola.



v

−b2a

−∆4a

y

x

Figura 87: Vertice

(−b2a,− M4a

)

7. Ambito

i. Si la parabola es concava hacia arriba (convexa), el ambito de f es el intervalo

Af =

[− M4a

,+∞[

ii. Si la parabola es concava hacia abajo (concava), el ambito de f es el intervalo

Af =

]−∞, − M

4a

]8. Monotonıa

i. Si la parabola es concava hacia arriba (convexa)

a) f crece si x ∈]−b2a,+∞

[b) f decrece si x ∈

]−∞, −b

2a

[ii. Si la parabola es concava hacia abajo (concava)

a) f crece si x ∈]−∞, −b

2a

[b) f decre si x ∈

]−b2a,+∞

[Ejercicio resuelto 44 Realice la grafica de la funcion f : R −→ R,f(x) = (−0, 01)x2+9x−1296. Indique concavidad, intersecciones con los ejes, vertice,ambito e intervalos de monotonıa.

Solucion: Se tiene el criterio de la funcion f(x) = −0, 01x2 + 9x− 1296

1. ConcavidadLa parabola es concava hacia abajo (concava), pues a = −0, 01 < 0.



2. Interseccion con el eje x4 = b2 − 4ac = (9)2 − 4 · (−0, 01) · (−1296) = 29, 16

· La parabola interseca en dos puntos al eje x, pues 4 > 0

· Para determinar las coordenadas en x de los puntos resolvemos la ecuacion0 = (−0, 01)x2 + 9x − 1296 de donde se obtienen las soluciones x = 180 yx = 720. Ası las intersecciones con el eje x son (180, 0) y (720, 0)

3. Interseccion con el eje yEsto es el punto (0,−1296)

4. VerticeEs el punto

V =

(−b2a,−44a

)V =

(−9

2 · (−0, 01),−29, 16

4 · (−0, 01)

)V = (450, 729)

5. AmbitoLa parabola por graficar es concava hacia abajo (concava), el ambito de f es elconjunto

Af = ]−∞, 729]

6. Intervalos de monotonıaLa parabola por graficar es concava hacia abajo (concava), entonces

f crece para x ∈ ]−∞, 450[f decrece para x ∈ ]450,+∞[



7. Grafica

y

x

729

450720180

−1296

Figura 88: Grafica de f(x) = (−0, 01)x2 + 9x− 1296



2.2.4. Ejemplo de aplicacion ecuacion de la parabola

A continuacion se presentan situaciones en las que se hace uso de la ecuacion de laparabola.

Ejercicio resuelto 45 En una companıa, para cierto producto la ecuacion de ingreso

es I(q) = 180q − 3

100q2, donde q es el numero de unidades vendidas.

Determine el nivel de produccion que maximiza los ingresos del fabricante para eseproducto.

Solucion:En este caso la ecuacion de ingreso de la companıa corresponde a la de una parabola, lacual es concava hacia abajo y en consecuencia posee un maximo.Se solicita el nivel de produccion que maximiza el ingreso, representado por q, el cual enterminos del vertice, corresponde a la abscisa del punto.De este modo, el nivel de produccion que maximiza el ingreso es

q =−180

2 · ( −3100

)

q = 3000

Es decir, el nivel de produccion que maximiza el ingreso de la companıa es de 3000unidades.

Ejercicio resuelto 46 Determine las dimensiones de una terreno rectangular cuyoperımetro es de 80m, si se desea que su area sea maxima.

Solucion:¿Como puedo asegurar que con medidas arbitrarias de 10m y 30m no se forma unrectangulo cuyo perımetro es de 80m con area maxima?A nivel matematico podrıamos con certeza determinar esas medidas con tal de asegurarun area maxima en el rectangulo.Si los lados del rectangulo miden x y y el area del mismo estrıa dado por

A(x, y) = x · y

la cual esta en terminos de dos variables, sin embargo, contamos con informacion auxiliarque puede ayudar a trabajar con el problema. Con respecto al perımetro tenemos que

80 = 2x+ 2y

Con lo que si despejamos una de las medidas de los lados podrıamos expresar el area enterminos de una sola variable, por ejemplo

y =80− 2x

2= 40− x

De este modoA(x) = x · (40− x) = 40x− x2



Notese que la ecuacion de area esta dada ahora por una expresion cuadratica la cual tieneun maximo (pues es concava hacia abajo). De modo que al determinar el valor de laabscisa del vertice podrıamos averiguar el valor de x para el cual el area es maxima.

x =−40

2 · −1= 20

Ası obtenemos que el valor de x que maximiza el area es 20 y en consecuancia el valor dey es

y = 40− 20 = 20

Por lo tanto las dimensiones del rectagulo para que este tenga area maxima deben ser20mX20m, para generar un area de 400m2.Notese que la medidas arbitrarias de las que partimos lo que generan es un rectangulo dearea de 300m2.

2.3. Interseccion entre la grafica de rectas y parabolas

En algunos casos, cuando las graficas de varias funciones son trazadas sobre el mismoplano cartesiano, estas se intersecan, es decir, coinciden en uno o mas puntos, o por elcontrario, puede ocurrir que no se intersequen.Se dice que el punto (a, b) es un punto de interseccion de las graficas de las funciones fy g si y solo si f(a) = g(a) = b.Ası, para determinar el valor de la abscisa del punto de interseccion de las graficas, seresuelve la ecuacion:

f(x) = g(x)

Ejercicio resuelto 47 Determine el o los puntos de interseccion entre la grafica delas funciones (o ecuaciones) dadas en cada caso. Trazar las graficas sobre el mismoplano.

a) f(x) = 3x− 4, g(x) = −8x+ 1

a) Abscisa de los puntos de interseccion de las graficas de las funciones. Se re-suelve:

3x− 4 =− 8x+ 1

11x = 5

x =5

11

En este caso x =5

11es la abscisa del punto de interseccion de las graficas de

f y g.



b) Para determinar el valor de la ordenada del punto de interseccion, basta con

determinar la imagen de x =5

11en la funcion f o en g.

f

(5

11

)= 3

(5

11

)− 4 =

−29

11

g

(5

11

)= −8

(5

11

)+ 1 =

−29

11

Ası el punto de interseccion de las graficas de f y g es

(5

11,−29

11

).

c) Graficas

fg

4

−2911

511

1

x

y

Figura 89: Interseccion entre la grafica de f y g.

b) y = x2 + 3x, y = x+ 3

a) Abscisas de los puntos de interseccion de las graficas de las ecuaciones. Seresuelve:

x2 + 3x = x+ 3

x2 + 3x− x− 3 = 0

x2 + 2x− 3 = 0

x = 1 ∨ x = −3

En este caso son dos las abscisas para la interseccion entre las graficas de lasecuaciones dadas.

b) Ordenadas de las intersecciones.



·Si x = 1 ·Si x = −3y = (1) + 3 y = (−3) + 3y = 4 y = 0

c) Puntos de interseccionLos puntos de interseccion de las graficas de las ecuaciones y = x2 + 3x yy = x+ 3 son (1, 4) y (−3, 0).

d) Graficas

y y2 y1

x

4

3

1−3

Figura 90: Grafica de y1 = x+ 3 y y2 = x2 + 3x.

c) l(x) = −2x2 + 2x+ 1 y m(x) = x+ 2

a) Abscisa del punto de interseccion de la grafica de l y m.

−2x2 + 2x+ 1 = x+ 2

−2x2 + x− 1 = 0

4 < 0

S = {}

En este caso no existe abscisa para la interseccion de la graficas de l y m. Nohay punto de interseccion entre las graficas

b) Graficas

d) y =−3

4x+ 5, 3x+ 4y − 10 = 0

La segunda ecuacion se puede escribir como y =−3x+ 10

4



m

l

2

−2

1

y

x

Figura 91: Grafica de l(x) = −2x2 + 2x+ 1 y m(x) = x+ 2.

a) Abscisa del punto de interseccion de las graficas de las ecuaciones

−3

4x+ 5 =

−3x+ 10

4−3x+ 20

4=−3x+ 10

4−3x+ 20 = −3x+ 10

20 = 10

Este resultado es falso.No hay abscisa para el punto de interseccion.No hay punto de interseccion entre las graficas de las ecuaciones.Esto se puede justificar, observando que las ecuaciones, corresponden a las dedos rectas paralelas, las cuales en un mismo plano no se van a intersecar.


3 FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA 86

b) Graficas

y1

y2

x

y

5

203

103

52

Figura 92: Grafica de y1 =−3

4x+ 5 y y2 =

−3x+ 10

4.

3. Funcion exponencial y logarıtmica

Las funciones exponenciales y logaritmicas tienen una amplia variedad de aplicaciones,algunas de las cuales se analizaran en esta parte del capıtulo de funciones.Probablemente usted ha leıdo en artıculos de periodicos y revistas que algunas cosas, co-mo el gasto en servicios de salud, el uso de internet y la poblacion mundial, por ejemplo,crecen a un ritmo exponencial, cuando termine de estudiar este material entendera conclaridad lo que esto significa.Tambien hablaremos de dos funciones especiales, la funcion exponencial natural y la fun-cion logarıtmica natural. Muchos fenomenos naturales, como el fechado con carbono, eldecaimiento radiactivo y el crecimiento de los ahorros invertidos en una cuenta en laque el interes se capitaliza de forma continua, pueden describirse por medio de funcionesexponenciales naturales.

3.1. Introduccion a la funcion exponencial

Con frecuencia leemos que ciertas cosas crecen exponencialmente, por ejemplo que eluso de la telefonos inteligentes esta creciendo de manera exponecial. Esto quiere decir queel uso de estos telefonos crece muy, muy rapido con respecto al tiempo.

3.1.1. Definicion de la funcion exponencial

Definicion 20 Para cualquier numero real a > 0 y a 6= 1, f(x) = ax es una funcionexponencial. Observe que la variable esta en el exponente.

Ejemplo 37 Criterio de algunas funciones exponenciales: f(x) = 2x, g(x) = 5x,

h(x) =

(1

2

)2



3.1.2. Grafica de la funcion exponencial

Como y = f(x), las funciones de la forma y = ax tambien son funciones exponenciales.Las funciones exponenciales puede graficarse seleccionando valores para x, determinandolos correspondientes valores de y o f(x), y trazando los puntos.Antes de graficar funciones exponenciales, analicemos algunas de sus caracterısticas.Para toda funcion exponencial de la forma y = ax o f(x) = ax, donde a > 0 y a 6= 1, setiene:

1. El dominio de la funcion es ]−∞,+∞[.

2. El rango de la funcion es ]0,+∞[.

3. La grafica para por los puntos

(−1,

1

a

), (0, 1), (1, a).

4. El eje x es asıntota horizontal a la grafica de la funcion.

En casi todo los casos puede trazarse razonablemente una buena grafica de una funcionexponencial a partir de los tres puntos listados en el paso 3 y considerando la asıntotahorizontal.

Ejercicio resuelto 48 Grafique la funcion exponencial y = 2x; determine el dominioy el rango.

Solucion: La funcion es de la forma y = ax, donde a = 2. Primero construimos una tablade valores; en ella, los tres puntos listado en el paso 3.

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4y 1

1618

14

12

1 2 4 8 16

Ahora trazamos estos puntos y los conectamos mediante una curva suave (Figura 93).Los tres pares ordenados tembien estan senalados en la grafica.

Dominio: RRango: {y/y > 0}

El dominio de esta funcion es el conjunto de los numeros reales, R. El rango es el conjuntode valores mayores que 0. Si analiza la ecuacion y = 2x, se dara cuenta de que y siempredebe ser positivo, ya que 2 es positivo.



−4 −3 −2 −1 1 2 3

−4−3−2−1

1

2

3

4

5

6

7

0 x

y

f

Figura 93: Funcion exponencial f(x) = 2x, f : R→]0,+∞[

Ejercicio resuelto 49 Grafique y =

(1

2

)x

determine el dominio y el rango de la

funcion.

Solucion: Esta funcion es de la forma y = ax, donde a =1

2. Construimos una tabla de

valores para analizar la curva (Figura 94).

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4y 16 8 4 2 1 1

214

18

116

EL dominio es el conjunto de los numeros reales R. El rango es {y/y > 0}.Observe que las graficas en las figuras 93 y 94 son graficas de funciones inyectivas. Cuandoa > 1, las graficas de funciones de la forma y = ax, son estrictamente crecientes, similaresa la de la figura 93; cuando 0 < a < 1, son estrictamente decrecientes, similares a la dela figura 94.



−4 −3 −2 −1 1 2 3

−4−3−2−1

1

2

3

4

5

6

7

0 x

y

f

Figura 94: Funcion exponencial f(x) =

(1

2

)x

, f : R→]0,+∞[

3.1.3. Propiedades de la funcion exponencial

Si la funcion es f(x) =

(1

7

)x

, f : R→]0,+∞[, la tabulacion y la grafica son las

siguientes:

x y =

(1

7

)x

−3 343−2 49−1 70 11 0,14282 0,02043 0,0029

−1 1 2 3

1

2

3

4

5

0

y

x

Figura 95: Funcion exponencial f(x) =(

17

)x, f : R →

]0,+∞[De acuerdo a los ejemplos anteriores anterior, se puede concluir que para la funcion ex-ponencial de criterio de la forma f(x) = ax, a > 0, a 6= 1:

1. El dominio de la funcion exponencial es el intervalo abierto: ]−∞,∞[



2. El rango de la funcion exponencial es el conjunto de todos los numeros realespositivos.

3. No interseca al eje x, ya que es asıntota horizontal. Siempre interseca al eje y en elpunto P (0, 1) y pasa por el punto P (1, a).

4. Siempre es creciente si a > 1 y siempre es decreciente si 0 < a < 1.

5. Es continua.

Es importante mencionar que se pueden modificar los parametros de la funcion exponencialde manera similar a los que las anteriores. Esto es, se pueden presentar transformacionescomo: f(x) = k · ax, f(x) = ak·x, f(x) = ak+x, f(x) = ax + k, con lo que la graficade la funcion cambia y en consecuencia, tambien algunas de las caracterısticas anteriores.Graficacion de funciones considerando estas transformaciones es trabajado en el apartado1.8.

3.1.4. Ecuaciones exponenciales

A las ecuaciones que contienen terminos de la forma ax, a > 0, a 6= 1 se les llamaecuaciones exponenciales. Tales ecuaciones pueden resolverse aplicando de forma apropia-da las leyes de exponentes de forma tal que pueda obtenerse a cada lado de la igualdaduna sola expresion exponencial con la misma base y, teniendo en cuenta la inyectividad dela funcion exponencial, se cumplirıa que au = av ⇐⇒ u = v

Ejercicio resuelto 50 Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

1. 3x+1 = 27

Solucion: Por ser 3 y 27 multiplos de 3, la igualdad anterior se puede escribir como:3x+1 = 33, pero se sabe que las cantidades iguales con bases iguales tienen expo-nentes iguales debido a la inyectividad de la funcion exponencial, ası que: x+1 = 3.Resolviendo la ecuacion se tiene: x = 3− 1 → x = 2

2. 8x−2 = 32x+2

Solucion: Por ser 8 y 32 multiplos de 2 , la igualdad anterior se puede escribir como:(23)x−2 = (25)x+2 de donde: (2)3x−6 = (2)5x+10, pero se sabe que las cantidadesiguales con bases iguales tienen exponentes iguales, por tanto: 3x − 6 = 5x + 10,resolviendo, se tiene: −2x = 16⇒ x = 16

−2⇒ x = −8

3. 2x2+2x = 12

Solucion: Como 12

= 2−1, la ecuacion se puede escribir como: 2x2+2x = 2−1. Perose sabe que las cantidades iguales con bases iguales tienen exponentes iguales, se



tiene: x2 + 2x = −1, resolviendo la ecuacion de segundo grado por factorizacion:(x+ 1)(x+ 1) = 0; x = −1 x = −1.

4. 27 · (32)x =(

19

)−x · 32x

33

Solucion: Aplicando leyes de potencias obtenemos:33 · 32x = 32x · 32x−3 ⇒ 33+2x = 32x+(2x−3), luego por la inyectividad de la funcionexponencial se tiene 3+2x = 4x−3, resolviendo la ecuacion lineal se obtiene x = 3.

5. 52x+1 − 3 · 52x−1 = 550

Solucion: Aplicando leyes de exponentes se tiene:51 · 52x − 3 · 5−1 · 52x = 550⇒ 5 · 52x − 3

5· 52x = 550

Multiplicando por 5:25 · 52x − 3 · 52x = 2750.factorizando 52x :52x(25 − 3) = 2750 ⇒ 52x · 22 = 2750 ⇒ 52x = 2750

22⇒ 52x = 125

⇒ 52x = 53 ⇒ 2x = 3⇒ x = 32

6. 3x+2 + 3x+1 + 3x = 139

Solucion: Aplicando leyes de exponentes se tiene:3x · 32 + 3x · 3 + 3x = 13

9⇒ 3x · 9 + 3x · 3 + 3x = 13

9

factorizando 3x se tiene:3x(9 + 3 + 1) = 13

9

13 · 3x = 139⇒ 3x = 1

9⇒ 3x = 1

32⇒ 3x = 3−2 ⇒ x = −2.

7. 2x+2−x

2= 5

4

Solucion:Multiplicando la ecuacion por dos:2 · 2x+2−x

2= 2 · 5

4⇒ 2x + 2−x = 5

2

Multiplicando ambos miembros por 2x:2x(2x + 2−x) = 2x 5

2⇒ 22x + 1 = 2x 5

2⇒ 22x − 2x 5

2+ 1 = 0

haciendo el cambio de variable: u = 2x, se llega a:u2 − 5

2u + 1 = 0 ⇒ 2u2 − 5u + 2 = 0 ⇒ (2u − 1)(u − 2) = 0

⇒ u = 2, u = 12

sustituyendo en u = 2x:2x = 2 = 21 ⇒ x1 = 12x = 1

2= 2−1 ⇒ x2 = −1.



3.1.5. Aplicacion de la funcion exponencial: Interes compuesto

Interes compuestoSi se deposita una cantidad de dinero M en una cuenta que paga una tasa de interesanual i, se puede obtener el capital C que se tendra en esa cuenta al final de t anos.El capital sera el monto original mas el rendimiento que genero en ese tiempo, es decirM +M · i · t, o bien:

C = M(1 + i · t)

Si se deposita esa misma cantidad, pero los intereses se pagan cada seis meses (lla-mado periodo de capitalizacion), entonces el capital al final del primer semestre sera:

C = M

(1 +

i

2

), la cuenta comenzara el segundo periodo con ese valor, pero termi-

nara con un saldo de:

C = M

(1 +

i

2

)·(

1 +i

2

)= M

(1 +

i

2

)2

.

Si se prosigue sucesivamente con el proceso, al final de diez anos, se tendrıa un capital

de: C = M

(1 +

i

2

)20

.

El interes ganado se vuelve a depositar (se capitaliza) en la cuenta que tambien ganainteres. Cuando sucede esto, se dice que la cuenta paga interes compuesto. En terminosgenerales, si se quiere invertir un monto M en una cuenta que paga un interes k veces alano, a una tasa anual i, el capital C que se tendra a un periodo de tiempo t viene dadopor la expresion:

C = M

(1 +

i

k

)kt

Ejercicio resuelto 51 Un profesionista invierte $50, 000 en un banco que paga el8 % de interes anual. Si se reinvierten los dividendos cuatrimestralmente, ¿cuantocapital tendra en 12 anos?

Solucion: Se sustituyen los datos en la expresion anterior, considerando que un ano tienetres cuatrimestres:

C = 50, 000(1 + 0,08

3

)3(12)= 50, 000 (1 + 0,02666)36 = 50, 000(2,57905) =128, 952,75 dolares

Otros ejemplos son:

Ejercicio resuelto 52 Aumento de centavos.Jennifer le dijo a su hermanito que si hacıa su tarea, ella le dara 2 centavos la primerasemana y duplicarıa la cantidad cada semana, durante las siguientes 10 semanas.El numero de centavos que recibirıa su hermanito en cualquier semana, w, puededeterminarse mediante la funcion h(w) = 2w. Determine el numero de centavos queJannifer darıa a su hermano en la semana 8.



Solucion: Al calcular el valor de 28, podemos determinar que en la semana 8, Jennifer ledarıa a su hermano 256 centavos o $2,56.

Las funciones exponenciales se suelen utilizar para describir el incremento y el disminucionde ciertas sustancias. Los siquientes ejemplos son ilustraciones de funciones exponenciales.

Ejercicio resuelto 53 Valor de un JeepEduardo Dıaz pago $22,000 por un Jeep nuevo. Suponga que el valor del Jeep se de-precia a una tasa de 20 % al ano. Por lo tanto dentro de un ano, el valor del Jeepsera 80 % de su valor, sera $22,000(0,8) dentro de dos anos, su valor sera $22,000(0,8)(0,8) =$22,000(0,8)2, y ası sucesivamente. Por consiguiente la formula para determinar elvalor de Jeep en momento dado es:

v(t) = 22,000(0,8)t

donde t es el tiempo en anos. Determine el valor del Jeep

a) dentro de un ano,

b) dentro de 5 anos.

Solucion:

a) Para determinar el valor del Jeep dentro de una ano, sustituya t por1.

v(t) = 22,000(0,8)t

v(1) = 22,000(0,8)1 sustituye t por 1

v(1) = 17,600

Dentro de un ano, el valor del Jeep sera de $17,600

b) Para determinar el valor que tendra el Jeep dentro de 5 anos sustituya t por 5.

v(t) = 22,000(0,8)t

v(5) = 22,000(0,8)5 sustituya t por 5

v(5) = 22,000(0,32768)

v(5) = 7208,96

Dentro de cinco anos, el valor del Jeep sera de $7208,76

3.2. Introduccion a la funcion logarıtmica

3.2.1. Definicion de logaritmo

Sea la siguiente expresion an = b. Se define al logarimo en base a de un numero bcomo el exponente n al que hay que elevar la base para obtener dicho numero, esto es

loga b = n

que se lee: el logaritmo en base a del numero b es n.



Ejemplo 3832 = 9⇒ log3 9 = 2

27 = 128⇒ log2 128 = 7

54 = 625⇒ log5 625 = 4

Como se puede ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no se debeolvidar cuando se trabaje con logaritmos.Los logaritmos fueron introducidos en las Matematicas con el proposito de facilitar, sim-plificar o incluso, hacer posible complicados calculos numericos. Utilizando logaritmos sepuede convertir productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raıcesen cocientes.La constante a es un numero real positivo distinto de uno, y se denomina base del sis-tema de logaritmos. La potencia an para cualquier valor real de n solo tiene sentido sia > 0, a 6= 1.

Logaritmos decimalesSe llaman logaritmos decimales a los logaritmos que tienen por base el numero 10. Al sermuy habituales es frecuentes no escribir la base: log10 x = log x.Por ejemplo:

100 = 1⇒ log10 1 = 0101 = 10⇒ log10 10 = 1

102 = 100⇒ log10 100 = 2103 = 1000⇒ log10 1000 = 3

104 = 10000⇒ log10 10000 = 4

Logaritmos naturalesSe llaman logaritmos naturales (hiperbolicos o neperianos) a los logaritmos que tienen porbase el numero e:

loge x = lnx

el numero e es un numero irracional muy importante en las Matematicas y su valor ese ≈ 2, 718281 . . .. Luego, cuando x toma valores muy, muy grandes en la expresion(1 + 1

x

)xla misma se proxima al valor de e

Cambio de base

loga x =logb x

logb a, b > 0, b 6= 1

Ejercicio resuelto 54 Calcular log5 120

Solucion: Se identifican las variables: a = 5, x = 20, b = 20 (por usual conveniencia)

log5 120 =log10 120

log10 5≈ 2, 0791

0, 6989≈ 2, 9746



Comprobacion:52,9746 ≈ 120

3.2.2. Funcion logarıtmica

Se llama funcion logarıtmica a la funcion real de variable real:

f(x) = loga x, f :]0,+∞[→ R, a > 0, a 6= 1

La funcion logarıtmica es biyectiva definida de R+ en R y sus caracterısticas son:

1. La funcion logarıtmica solo esta definida sobre los numeros positivos.

2. Los numeros negativos y el cero no tienen logaritmo.

3. La funcion logarıtmica de base a es la funcion inversa de la funcion exponencial debase a.

4. Posee una asıntota vertical.

Ejemplo 39 Funciones logarıtmicas que involucran a la vez composicion de funcio-nes:

f(x) = log6 4x2, f : R− {0} → R

f(x) = log(x2 − 1), f :]−∞,−1[∪]1,+∞[→ R

f(x) = ln(4x− 9), f :

]9

4,+∞

[→ R

f(x) = log 12(x), f : R− {0} → R

f(x) = log2(x), f : R− {0} → R



Dominio, rango y grafica de funciones logarıtmicas

Sea la funcion f(x) = log(x), f :]0,+∞[→ R. Si se tabula y se grafica, respectiva-mente se obtiene lo siguiente:

x y = log10 x1 02 0,30103 0,47714 0,60205 0,69896 0,77817 0,84508 0,90309 0,954210 1

1 2 3

−2

−1

0

y

x

Figura 96: Funcion f(x) = log(x), f : R+ → R

Si la funcion es f(x) = ln x, f :]0,+∞[→ R, la tabulacion y la grafica son las siguientes:

x f(x) = ln x1 02 0,69313 1,60944 1,38625 1,60946 1,79177 1,94598 2,07949 2,197210 2,3025

1 2 3 4

−3

−2

−1

1

0

y

x

Figura 97: Funcion f(x) = ln x, f : R+ → RAhora, considerese la funcion f(x) = log0,5 x, f :]0,+∞[→ R, tabulando y grafican-do se tiene respectivamente



x y = log0,5 x1 02 −13 −1,58494 −25 −2,32196 −2,58497 −2,80738 −39 −3,169910 −3,3219

1 2 3 4 5 6

−3

−2

−1

1

2

3

0

y

x

Figura 98: Funcion f(x) = log0,5 x, f : R+ → R

De acuerdo a las graficas anteriores, se puede concluir que para la funcion logarıtmicacon criterio de la forma f(x) = logax, a > 0, a 6= 1, x ∈ R+:

1. El dominio de la funcion logarıtmica es el conjunto de todos los numeros realespositivos: ]0,∞[

2. El rango de la funcion logarıtmica es el intervalo abierto: ]−∞,+∞[

3. No interseca al eje y, siempre interseca al eje x en el punto P (1, 0) y pasa por elpunto P (a, 1)

4. Siempre es creciente si a > 1 y siempre es decreciente si 0 < a < 1

5. Es continua.

6. El eje y es asıntota vertical a la grafica de la funcion.

Es importante mencionar que se pueden modificar los parametros de la funcion logarıtmicade manera similar a las funciones anteriores. Se pueden presentar variaciones de la forma:

f(x) = k loga x, f(x) = logakx, f(x) = loga(x+ k), f(x) = loga x+ k

, con lo que la grafica y propiedades anteriores pueden cambiar. Las transformaciones engraficas de funciones se pueden consultar en el apartado 1.8.

3.2.3. Propiedades de los logaritmos

1. loga 1 = 0

2. loga a = 1



3. loga ax = x

4. loga(u · v) = loga u+ loga v

5. loga

(uv

)= loga u− loga v

6. loga un = n · loga u

7. logan√u =

1

nloga u

3.2.4. Ecuaciones logarıtmicas

Las ecuaciones que contienen terminos de la forma loga x donde a es un numeroreal positivo, con a 6= 1, se conocen como ecuaciones logarıtmicas. Se pueden resolveraplicando las leyes de los logaritmos de forma tal que pueda obtenerse un solo logaritmoa cada lado de la igualdad y por tratarse de una funcion inyectiva se cumple que

loga(u) = loga(v) ⇐⇒ u = v

Por otro lado, recordar quealogau = u

y sin olvidar quelogax = y ⇐⇒ ay = x

Por otro lado, la funcion logarıtmica posee un dominio restringido por lo que cuandose resuelven ecuaciones logarıtmicas, se deben probar las posibles soluciones en laecuacion original y ası determinar el conjunto solucion de la ecuacion.

Ejercicio resuelto 55 Resolver las siguientes ecuaciones logarıtmicas.

1. log x+ log(x− 3) = 1Solucion: Aplicando la cuarta propiedad de los logaritmos obtenemos

logx · (x− 3) = 1

Luego, a partir de las observaciones anteriores, se tiene que

101 = x(x− 3) = 10⇒ x2 − 3x = 10⇒ x2 − 3x− 10 = 0

factorizando el trinomio se obtiene:

(x+ 2)(x− 5) = 0⇒ x+ 2 = 0 y x− 5 = 0

por lo tanto:x1 = −2 y x2 = 5



Prueba•Si x = −2log(−2) + log((−2)− 3) 6= 1Ası x = −2 no es una solucion de la ecuacion, no existe log10(−2).•Si x = 5log(5) + log((5)− 3) = 1Ası x = 5 es una solucion de la ecuacion.

2. log(x3 − 7x2 + 22x)− log x = 1Solucion: Aplicando la quinta propiedad de los logaritmos se tiene:

log

(x3 − 7x2 + 22x

x

)= 1

que es equivalente a: log(x2 − 7x + 22) = log10 10, igualando los argumentos setiene: x2−7x+22 = 10 ⇒ x2−7x+12 = 0, si se factoriza el trinomio se obtiene:(x− 4)(x− 3) = 0⇒ x− 4 = 0 y x− 3 = 0. Por lo tanto despues de efectuarla prueba se obtiene que las soluciones de la ecuacion son x1 = 4 y x2 = 3.

3.ln(5x− 6)

lnx= 2; x 6= 1

Solucion: ln(5x−6) = 2 lnx, ahora, si se aplica la sexta propiedad de los logaritmosse tiene:

ln(5x− 6) = ln x2

igualando los argumentos por la inyectividad de la funcion logarıtmica, se obtie-ne: 5x − 6 = x2 ⇒ x2 − 5x + 6 = 0, factorizando el trinomio obtenemos:(x− 3)(x− 2) = 0⇒ x− 3 = 0 y x− 2 = 0, por lo tanto despues de efectuarla prueba se tiene que x1 = 3 y x2 = 2.



4. log2 x− log8x = 4Solucion: Cambiando a base dos el segundo termino del primer miembro:

log2 x−log2 x

log2 8= 4

log2 x−log2 x

3= 4

log2 x−1

3log2 x = 4

2

3log2 x = 4

log2 x =4 · 3

2log2 x = 6

x = 26

x = 64

Despues de efectuar la prueba se obtiene que x = 64.

5. ln2 x− 5 lnx = 6Solucion: Haciendo el cambio de variable: u = lnx, se llega a:

u2 − 5u = 6

u2 − 5u− 6 = 0

(u− 6)(u+ 1) = 0

u− 6 = 0 o u+ 1 = 0

u = 6 y u = −1

sustituyendo u = lnx en los resultados anteriores:u = lnx ⇒ 6 = ln x ⇒ e6 = x; ⇒ x1 = e6

u = lnx ⇒ −1 = lnx⇒ e−1 = x; ⇒ x2 = e−1 =1

e

6. log3(4x− 5)− log3(2x+ 1) = 0Solucion: log3(4x− 5) = log3(2x+ 1)Por la inyectividad de la funcion logarıtmica tenemos que

4x− 5 = 2x+ 1

4x− 2x = 1 + 5

2x = 6

x =6

2x = 3



Se prueba la solucion para obtener que x = 3.

7. log2(log2 x2) = 2

Solucion:Aplicando las observaciones anteriores obtenemos que:22 = log2 x

2 ⇒ log2 x2 = 4

nuevamente, aplicando la misma propiedad se obtiene:

24 = x2

x2 = 16

x = ±√

16

x = ±4

x1 = 4 y x2 = −4

Se concluye por la prueba que las soluciones son x1 = 4 y x2 = −4.

Ejercicio resuelto 56 Resolver la ecuacion 7x+2 = 3−x+1

Solucion: Note que esta ecuacion no es logarıtmica, es exponencial, sin embargo, no seresuelve como las ecuaciones exponenciales expuestas anteriormente, por tal motivo laspropiedades de los logaritmos facilitaran el trabajo:Lo que se hace es aplicar logaritmo en ambos miembros de la igualdad, en particular vamosa aplicar logaritmo en base 10.

log7x+2 = log3−x+1

Luego se aplica la sexta propiedad de los logaritmos

(x+ 2)log7 = (−x+ 1)log3

Se debe determinar el valor de la incognita, con lo que se utiliza la distruitividad de lasuma sobre la multiplicacion

xlog7 + 2log7 = −xlog3 + log3

Agrupamos los terminos que poseen la incognita

xlog7 + xlog3 = log3− 2log7

Se obtiene x como un factor comun en el primer miembro de la ecuacion

x(log7 + log3) = log3− 2log7

Por ultimo se despeja x, para obtener

x =log3− 2log7

log7 + log3



3.2.5. Aplicaciones de la funcion exponencial y logarıtmica

A continuacion se presentan algunos ejemplos de situaciones que involucran la fun-cion exponencial o logarıtmica y al mismo tiempo implican la resolucion de ecuacionesrelacionadas con las funciones. Posteriormente se mencionan algunas situaciones que sonmodeladas por estas funciones.

Ejercicio resuelto 57 Estroncio 90El estroncio 90 es un material radiactivo, el mismo decae de acuerdo con la ecuacionD(t) = ae−0,0244t, donde a es la cantidad inicial del material radiactivo y D es lacantidad presente despues de t anos. Si la cantidad inicial de estroncio 90 es de 15gramos, determine:

1. La cantidad de material radiactivo que queda presente despues de 2 anos.

2. La cantidad de anos que deben transcurrir para que la cantidad de materialradiactivo inicial se reduzca a la mitad.

Solucion:

1. La cantidad de estroncio 90 despues de 2 anos se obtiene cuanto t = 2, de modo que

D(2) = 15e−0,0244·2

D(2) ≈ 14, 28

La cantidad de estroncio 90 despues de 2 anos es de 14, 28g.

2. Se necesita determinar la cantidad de anos para que la cantidad de estroncio 90 sereduzca a 7, 5g, para lo cual se plantea la ecuacion

7, 5 = 15e−0,0244t

y se despeja t7, 5

15= e−0,0244t

0, 5 = e−0,0244t

Se utiliza el hecho de que logax = y ⇐⇒ ay = x, es decir

ln(0, 5) = −0, 0244t

De este modo

t =ln(0, 5)

−0, 0244

t ≈ 28, 41

En fin, deben transcurrir casi 28, 5 anos para que la cantidad inicial de estroncio 90se reduzca a la mitad.



Ejercicio resuelto 58 Crecimiento de bacteriasCierta bacteria se reproduce de forma que cada 20 minutos la cantidad de bacterias seduplica. Si la cantidad inicial de bacterias es de 15 (esto es en tiempo 0), determine:

1. La ecuacion que permite modelar la cantidad de bacterias despues de cada 20minutos.

2. La cantidad de bacterias que hay despues de 3 horas.

3. El tiempo que debe trascurrir para que la cantidad de bacterias sea de 1966080bacterias.

Solucion:

1. Se puede formar la siguiente funcion que modela la cantidad de bacterias despuesde cada 20 minutos:

C(1) = 15 · 2, cantidad de bacterias despues de los primeros 20 minutos (seduplica la cantidad inicial de bacterias por primera vez)

C(2) = (15 · 2) · 2 = 15 · 22, cantidad de bacterias despues de los segundos 20minutos (20 minutos despues las bacterias se vuelven a duplicar)

C(3) = (15 · 22) · 2 = 15 · 23, cantidad de bacterias despues de los terceros 20minutos (ya han trascurrido 60 minutos)

...C(n) = 15 · 2n, cantidad de bacterias despues de n-esimos 20 minutos

Ası la cantidad de bacterias despues de n-esimos 20 minutos esta dada por

C(n) = 15 · 2n

2. La cantidad de bacterias que hay despues de 3h se obtiene al observar que hantrascurrido 20 minutos 9 veces, ası la cantidad de bacterias despues de 3h es

C(9) = 15 · 29 = 7680

Despues de 3h hay 7680 bacterias.

3. Se sabe que la cantidad de bacterias final es de 1966080, es decir

1966080 = 15 · 2n

Ası1966080

15= 2n

131072 = 2n

De este modo tenemos que

log2 = 131072 = n

n = 17

Es decir, deben transcurrir 20 minutos 17 veces, lo que equivale a 5h 40min.



Otras aplicaciones de la funcion exponencial son:

1. El proceso de declinacion de la eficiencia de un aparato o instrumento puede serrepresentado por funciones exponenciales decrecientes. Esto se debe a que por na-turaleza la ineficiencia inicial es baja, y a medida que transcurre la vida del equipova perdiendo sus propiedades por efecto del uso y el desgaste es acumulativo.

2. La presion atmosferica de un globo o aeroplano decrece a medida que aumenta laaltura. Esta presion se relaciona a la altura en kilometros sobre el nivel del marmediante una expresion de tipo exponencial.

3. En la cicatrizacion normal de heridas puede obtenerse por medio de una funcionexponencial. Si A0 representa el area original de la herida y A es igual el areade la herida despues de n dıas, entonces la cicatrizacion normal de heridas puedeobtenerse ası:A = A0e

−0,35n.

4. En optica. Si una sola hoja de vidrio cancela 3 % de la luz que pasa por ella, elporcentaje p de luz que pasa por n hojas sucesivas esta dado aproximadamente porla ecuacion: p = 100e−0,03n.

5. La respuesta a la publicidad en la television. El porcentaje de personas que res-pondieron a un comercial televisivo para un nuevo producto despues de t dıas seencuentra con la expresion: R = 70− 100e−0,2t.

Por su parte, algunas aplicaciones de la funcion logarıtmica son:

1. El 19 de septiembre de 1985, un terremoto de intensidad 8, 1 en la escala de Richtersacudio la Ciudad de Mexico. Aunque se sabe que esta cifra corresponde a unterremoto de gran intensidad, no siempre se sabe interpretar ya que para ello esnecesario conocer el concepto de logaritmo. La escala de Richter es una de ellas, ymide la energıa liberada en el movimiento con la rotura de las rocas. Para elaborarlase mide la amplitud maxima de las ondas que registra el sismografo y se define lamagnitud M del sismo como el logaritmo de dicha amplitud al que se anade unaconstante que depende de la distancia del observatorio al epicentro y del periodode las ondas registradas. La relacion entre la energıa liberada, E, y la magnitud delterremoto viene dada por logE = 1, 5M − 1, 74, de donde se deduce que para unavariacion de un solo punto en la escala de 1, 5 magnitudes, la energıa liberada semultiplica por 10 , es decir, aproximadamente por treinta.

2. En Quımica, en una disolucion, el producto de las concentraciones de iones H+ yOH− es siempre constante e igual a 10−14 moles

litro. El pH se define −log[H+]. Si

se considera que una sustancia es neutra cuando [H+] = [OH−] = 10−7, lo queequivale a un pH = 7. Una disolucion es acida si su pH es inferior a 7, y basica sies superior a 7. De ahı que un shampoo suave sea el de pH = 7 o neutro, y quela nueva tendencia sea utilizar productos con pH = 5, 5, el que mejor se adapta alpH de la piel.



3. En la arqueologıa, tambien se han aprovechado las ventajas de los logaritmos. Elcarbono 14 , C14, es radiactivo y mientras que en la materia viva mantiene unaproporcion constante, en la materia muerta su proporcion disminuye. La relacionentre la edad t de un objeto y la velocidad de desintegracion y del C14 presenteen el viene dada por ln y = 2, 52 − 0, 00012t . Por lo tanto, midiendo la cantidadde C14 que permanece en la materia se puede calcular la edad al despejar t de laecuacion.

4. La intensidad sonora en decibelios, utilizando logaritmos decimales.

5. El calculo de la luminosidad de las estrellas emplea logaritmos en base 2, 5.

6. La concentracion de alcohol en la sangre de una persona se puede medir y segunlas investigaciones medicas sugieren que el riesgo de tener un accidente al manejarun vehıculo pude obtenerse por una ecuacion con logaritmos.


andr es castro h. jason urena~ a. olman trejos m.diagnostico.emate.ucr.ac.cr/sites/...en los...

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