andrés eduardo reyes polanco · series de tiempo en el dominio del tiempo, un área de la...

Andrés Eduardo Reyes Polanco

Prof: Universidad Central de Venezuela

SERIES DE TIEMPO CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS DE SERIES DE

TIEMPO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

Series de tiempo

2 | COPYRIGHT

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Madrid, España 2020

ISBN: 978-84-09-17912-1

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contra la propiedad intelectual.


3

DEDICATORIA

A Letty Margarita, mi esposa, amiga y compañera de mi vida.

A mis hijos los Reyes Valero: Eduardo, Daniel, Benjamín y Ezequiel.

A Luis Antonio Reyes Izquierdo.

Al lector.

Series de tiempo

4 | AGRADECIMIENTO

AGRADECIMIENTO

Quiero expresar mi gratitud con un gran afecto y respeto a mi profesor Dr.

Rafael Orellana que con paciencia leyó el manuscrito original haciéndome

valiosas aportaciones. De la misma forma quiero manifestar mi

agradecimiento a los profesores: Dr. Luis Mata Molleja y Dr. Fernando José

Martínez V que hicieron observaciones importantes a esta obra y que

ayudaron a mejorar la primera versión. Igualmente agradezco a mi amigo y

colega Oswaldo Delgado y a mi hijo Daniel J Reyes V por la revisión final del

manuscrito. Cualquier error que encuentre el lector es de mi entera

responsabilidad.

Andrés E Reyes Polanco.

Profesor Asociado UCV.

San Antonio de Los Altos 9 de Enero del 2013.


5

TABLA DE CONTENIDO

PREFACIO ....................................................................................................... 16

CAPÍTULO I. CONCEPTOS BÁSICOS ................................................................. 21

INTRODUCCIÓN.......................................................................................... 21

Ejemplo 1: Series de tiempos de fenómenos diferentes ........................ 22

Ejemplo 2: Obtención de dos componentes del índice de precios del

subgrupo alimentos ............................................................................... 30

Ejemplo 3: Modelos MA(2), AR(2), ARMA(2,2), ARMAX(0,1,1) .............. 31

Ejemplo 4: Dominio de la frecuencia...................................................... 33

Ejemplo 5: Modelo ARMAX(1,0,2) .......................................................... 34

Ejemplo 6: Modelo VAR(1) ..................................................................... 35

Ejemplo 7: Modelo no lineal .................................................................. 35

Ejemplo 8: Proceso de caminata aleatoria ............................................. 35

Ejemplo 9: Proceso estocástico continuo ............................................... 36

OPERADORES ............................................................................................. 37

Ejemplo 10: Modelo autorregresivo de primer orden diferenciado una

vez .......................................................................................................... 38

Ejemplo 11: Modelos AR(1) y AR(2) ....................................................... 39

Ejemplo 12: Modelos MA(1) y MA(2) ..................................................... 39

Series de tiempo

6 | TABLA DE CONTENIDO

PROPIEDADES ............................................................................................ 40

Estacionariedad ...................................................................................... 41

Ergodicidad ............................................................................................ 42

Teorema de descomposición de Wold ................................................... 44

Invertibilidad .......................................................................................... 46

MÉTODOS DE ESTIMACIÓN ........................................................................ 46

Métodos con base a leyes de probabilidad ............................................ 47

Método de Máxima Verosimilitud (MV)................................................. 48

Método Bayesiano ................................................................................. 50

Métodos No Paramétricos ..................................................................... 52

Métodos con Base a Distancias .............................................................. 55

Mínimos Cuadrados (MC) ...................................................................... 56

Mínimos cuadrados no lineales MCNL ................................................... 58

Norma L1 ............................................................................................... 61

Otros métodos de estimación ................................................................ 66

EL PRONÓSTICO ......................................................................................... 67

MEDIDAS DE BONDAD DE AJUSTE .............................................................. 69

MODELO DE COMPONENTES INOBSERVADOS ........................................... 73

Ejemplo 21: Modelo de componentes inobservados ............................. 77


7

VALORES ATÍPICOS Y DATOS FALTANTES .................................................. 82

OBSERVACIONES GENERALES .................................................................... 83

Breve Historia......................................................................................... 83

Modelos determinísticos ........................................................................ 85

No normalidad ....................................................................................... 87

PROBLEMAS ........................................................................................... 88

CAPÍTULO II. SERIES DE TIEMPO UNIVARIANTES. ........................................... 94

INTRODUCCIÓN.......................................................................................... 94

Filtro lineal ............................................................................................. 95

Función de autocorrelación simple (FAC) ............................................... 97

Ecuaciones de Yule Walker. ................................................................... 99

Función de autocorrelación parcial (FACP) .......................................... 100

MODELO AR(p) ......................................................................................... 102

AR(1) .................................................................................................... 103

AR(2) .................................................................................................... 105

MODELO MA(q) ....................................................................................... 107

MA(1) ................................................................................................... 108

MA(2) ................................................................................................... 110

MODELO ARMA(p,q) ................................................................................ 111

Series de tiempo


Funciones de autocorrelación simple y parcial .................................... 111

ARMA(1,1) ............................................................................................ 113

MODELO ARIMA(p,d,q) ............................................................................ 115

Ejemplo 2: ARIMA (2,2,1) ..................................................................... 116

METODOLOGÍA BOX y JENKINS ................................................................ 117

Identificación ....................................................................................... 117

Ejemplo 3: Ventas mensuales durante 6 años ..................................... 118

Ejemplo 4: Volumen de cotizaciones de Apple .................................... 122

Ejemplo 5: Modelo ARIMA(0,3,2) ........................................................ 123

Ejemplo 6: Principio de parsimonia ...................................................... 125

Ejemplo 7: Cálculo de los cuadrados de correlaciones canónigas usando

la herramienta informática SAS para seleccionar un modelo .............. 128

Estimación ............................................................................................ 131

Validación ............................................................................................ 133

Ejemplo 8: Ljung-Box Chi-cuadrado ..................................................... 136

Ejemplo 9: Modelo AR(3) ..................................................................... 137

Ejemplo 10: Continuación Ejemplo 9 ARIMA ....................................... 138

Ejemplo 11: ARIMA (1,0,0) ................................................................... 139

PRONÓSTICO ............................................................................................ 143


9

AR(1) .................................................................................................... 145

MA(1) ................................................................................................... 145

Ejemplo 12: Modelo ARIMA(1,0,2) ....................................................... 146

INTERVALOS DE CONFIANZA .................................................................... 147

La transformación de Box Cox .............................................................. 147

OBSERVACIONES GENERALES .................................................................. 148

Ejemplo 13: Modelos MA(1) y AR(2) sobre la variación del precio....... 149

Ejemplo 14: Correlación de los parámetros estimados ........................ 155

PROBLEMAS ............................................................................................. 157

CAPÍTULO III. ESTACIONALIDAD, RAIZ UNITARIA Y VALORES ATÍPICOS ........ 162

INTRODUCCIÓN. ....................................................................................... 162

ESTACIONALIDAD ARMA(p,q)(P,Q) .......................................................... 166

Ejemplo 1: ARMA(0,0)(12,0) Estacional ................................................ 166

ESTACIONALIDAD ARIMA (p,d,q)(P,D,Q) .................................................. 167

Ejemplo 2: Modelo estacional .............................................................. 170

EL PROBLEMA DE LA RAIZ UNITARIA. ....................................................... 172

Ejemplo 3: Modelo ARIMA ................................................................... 174

Contrastes para la raíz unitaria ............................................................ 177

Contraste de Dickey-Fuller (DF) ........................................................... 178

Series de tiempo


Contraste de Phillps-Perron ................................................................. 185

Ejemplo 4: Prueba aumentada de la raíz unitaria ................................ 186

VARIABLES DE INTERVENCIÓN Y VALORES ATÍPICOS ............................... 187

IMPULSO .............................................................................................. 189

ESCALON .............................................................................................. 191

Ejemplo 5: Variables de Intervención: Impulso y Escalón .................... 193

Valores atípicos .................................................................................... 195


Estacionalidad ...................................................................................... 204

Raíz unitaria ......................................................................................... 205

Valores atípicos .................................................................................... 205

PROBLEMAS ............................................................................................. 205

CAPÍTULO IV.-MODELOS DE SERIES DE TIEMPO NO LINEALES EN LA VARIANZA

CONDICIONAL: ARCH. GARCH. ..................................................................... 218

INTRODUCCIÓN........................................................................................ 218

Ejemplo 1: Modelo bilineal .................................................................. 219

Ejemplo 2: Modelo AR con ADE ........................................................... 219

MODELOS ARCH y GARCH ........................................................................ 222

Ejemplo 3: Modelo ARCH(2) ................................................................. 226


11

Ejemplo 4: Modelo ARCH(1)-M ............................................................ 227

Ejemplo 5: Modelo ARCH(q)-M ............................................................ 227

Ejemplo 6: Modelo GARCH(1,2) ........................................................... 227

Ejemplo 7: Modelo GARCH(2,1) ........................................................... 228

Ejemplo 8: Modelo AR(p)-GARCH(p,q) ................................................. 229

MODELO ARCH(q) .................................................................................... 229

Estimación de máxima verosimilitud ................................................... 232

Teorema (R. F. Engle (1982)) ................................................................ 236

Otros métodos de estimación .............................................................. 237

Contraste de hipótesis ......................................................................... 241

Pronóstico ............................................................................................ 242

MODELOS RELACIONADOS: ARCH-M, TARCH, AR-ARCH .......................... 243

Ejemplo 9: Modelo LogIPMG (IPMG índice de precio al por mayor

general) ................................................................................................ 246

MODELO GARCH ...................................................................................... 250

Teorema Bollerslev (1986) ................................................................... 252

Estimación de los parámetros de GARCH-generalización ..................... 253

Contraste de hipótesis de los parámetros de GARCH .......................... 255

Pronóstico ............................................................................................ 257

Series de tiempo


MODELOS RELACIONADOS. INGARCH, GARCH-M .................................... 258

Ejemplo 10: Modelo de regresión lineal con heteroscedasticidad ....... 261

MODELO EGARH ...................................................................................... 261

Ejemplo 11: Modelo GARCH ................................................................. 262

CONTRASTES BDS Y RB ............................................................................. 271

CONTRASTE BDS ................................................................................... 272

CONTRASTE RB ..................................................................................... 274

SERIE DE TIEMPO CON MEMORIA LARGA ................................................ 275

COEFICIENTE DE HURST ....................................................................... 276

ARFIMA ................................................................................................ 281

COMENTARIOS GENERALES ..................................................................... 283

Construcción de un modelo no lineal ................................................... 283

Distribución de las innovaciones .......................................................... 284

Otros modelos ..................................................................................... 285

PROBLEMAS ............................................................................................. 286

CAPITULO V: SERIES DE TIEMPO MULTIVARIANTES. .................................... 294

INTRODUCCIÓN........................................................................................ 294

Ejemplo 1: Modelo ARMAX .................................................................. 296

Ejemplo 2: Modelo VARMA(p,q) .......................................................... 298


13

Ejemplo 3: Modelo VAR(p) ................................................................... 299

Ejemplo 4: Modelo VMA(q) .................................................................. 300

Ejemplo 5: Modelo VARMA(p,q) .......................................................... 301

MODELO MAR O ARX. REGRESIÓN DINÁMICA ......................................... 302

Ejemplo 6: IPCG, IPM e IPP ................................................................... 305

Ejemplo 7: Modelo ARX(2,0) ................................................................ 306

COINTEGRACIÓN ...................................................................................... 311

Contraste de cointegración .................................................................. 313

Mecanismo de ajuste del error. Métodos de estimación ..................... 314

MODELO VAR ........................................................................................... 315

Valor esperado, matriz de covarianza y matriz de correlación ............. 318

Estacionariedad en sentido estricto ..................................................... 320

Estacionariedad en sentido débil ......................................................... 320

Filtro lineal para un proceso estacionario multivariante ...................... 321

Matriz de varianza covarianza y de correlación muestral .................... 322

Determinación de la estacionariedad e identificación del VAR(p) ....... 322

Ejemplo 8: Criterio de mínima información ......................................... 324

Estimación parámetros modelo VAR(p) ............................................... 325

Contraste de hipótesis sobre VAR(p) ................................................... 326

Series de tiempo


Contraste global ................................................................................... 327

Contraste de normalidad del proceso vectorial de ruido blanco ......... 328

Criterios de selección entre varios modelos ........................................ 329

Ejemplo 9: Criterios de selección ......................................................... 330

Pronósticos .......................................................................................... 332

Ejemplo 10: Modelo VAR(2) ................................................................. 333

Ejemplo 11: Análisis de los residuos ..................................................... 337

Cointegración y raíz unitaria en VAR(p): VECM(p)................................ 339


Estimadores de Máxima Verosimilitud................................................. 341

Contraste del rango de (Johansen) .................................................. 342


Ejemplo 14: Mecanismo de ajuste de error ......................................... 360


El test de causalidad de Granger .......................................................... 371

Modelos multivariantes no lineales ..................................................... 373

PROBLEMAS ............................................................................................. 373

INDICE ANALITICO ........................................................................................ 385

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................................ 390

Π


15

Series de tiempo

16 | PREFACIO

PREFACIO

El siguiente texto tiene por finalidad dar al lector los conceptos básicos de

series de tiempo en el dominio del tiempo, un área de la Estadística

Matemática cuya teoría exige un buen nivel de esta. El texto que se presenta

busca por tanto dar un fundamento a aquellos profesionales que requieren

de la aplicación de estas técnicas y, que posteriormente quieran profundizar

estudiando por textos de un nivel superior. Está dirigido a Ingenieros,

Economistas, Actuarios, Administradores y cualquier otra profesión que

requiere un conocimiento suficiente para aplicar las técnicas de pronósticos

en su campo. Los modelos que se tratan en este texto introductorio son tanto

univariantes como multivariantes en el dominio del tiempo, haciendo énfasis

más en las aplicaciones que en el desarrollo teórico del análisis de series de

tiempo, pero tratando de no descuidar este aspecto. Los pocos teoremas que

se exponen no se demuestran y los conceptos se ilustran con ejemplos. En

todos los temas se analizan casos reales empleando como soporte

computacional: SAS 9.1 y SPSS 19. Así que el texto está orientado a la

aplicación práctica sin olvidar los fundamentos teóricos subyacentes. Su

contenido sirve para una primera aproximación al complicado arte de

pronosticar fenómenos económicos y financieros.

Mi primera experiencia del estudio y aplicación de técnicas de ajustes y

pronósticos de datos temporales empezó en el Ministerio de Obras Públicas,

cursando apenas el segundo año de carrera en 1967, las herramientas de

análisis de series de tiempo que empleábamos eran las clásicas, el estudio de


17

la tendencia y los índices de estacionalidad, uso de polinomios ortogonales,

regresión etc. Desde aquel entonces es un tema que siempre ha estado

presente en mi ejercicio profesional. He aplicado estas técnicas en problemas

de inventarios, comportamiento de oferta y demanda de diferentes

productos para estudios de mercado, cálculos de tarifas de servicios públicos

entre otros. Últimamente asesoré al Banco Central de Venezuela en estos

tópicos. Con el paso del tiempo dicté varios cursos de técnicas de

pronósticos como materia electiva en la Maestría de Ciencias Administrativas

de la Universidad Central de Venezuela y los cursos de Econometría I y II en la

Maestría de Política y Teoría Económica de esta misma universidad, además

de prestar tutorías de tesis de maestrías donde la metodología de análisis de

datos exige la aplicación de estas técnicas. Para dictar estos cursos fui

preparando diferentes materiales, algunos publicados en mi página

(https://www.estadistica.com.ve/) y otros en el libro Introductorio de

Herramientas Cuantitativas en la Toma de Decisiones (2007), además de los

dos últimos trabajos de ascensos presentados a esta misma Universidad,

sobre todo el último que versó sobre la predicción bajo determinismo, azar y

caos. Han pasado más de cuatro décadas desde que me inicié en el estudio y

aplicación de series de tiempo, creo que es un lapso suficiente para que

dedique parte de mi tiempo a la elaboración de este texto, sin más

pretensión que dejar algo útil a los interesados que se inician en este tema

por razones profesionales y académicas. Empleé, por tanto, la experiencia

profesional y los trabajos escritos como base para hacer este aporte. Este es

un tópico que tiene sus complicaciones sobre todo si se trata de problemas

Series de tiempo

18 | PREFACIO

económicos en estos tiempos de volatilidad. Esto último justificó que en el

capítulo IV le dedique parte del material a la volatilidad en los fenómenos

económicos en momentos de la globalización. Aquí incorporamos los

modelos de series de tiempo no lineales en varianza condicional. Para la lectura del texto se requiere conocer los tópicos relacionados con

cálculo matricial, inferencia estadística y cálculo de probabilidades a un nivel

básico o a lo más intermedio.

El texto contiene los siguientes capítulos: capítulo I: En este capítulo se da la

introducción de los conceptos tales como: definición de una serie de tiempo

univariante y los primeros ejemplos de series de tiempo multivariantes.

Descomposición de una serie de tiempo: tendencia, estacionalidad, ciclo y

error. Operadores más usuales. Propiedades tales como: estacionariedad,

invertibilidad ergodicidad, teorema de Wold. Además, se repasa algunos

métodos de estimación de los parámetros tales como: máxima verosimilitud,

bayesianos, no paramétricos, mínimos cuadrados lineal y no lineal, métodos

exactos y condicionados, norma L1. Además, se da el concepto de pronóstico.

Se presentan las medidas de bondad de ajuste más usuales. Un primer

modelo que se ilustra mediante el desarrollo de un caso real usando SAS es el

modelo de componentes inobservados. En este mismo capítulo se da una

primera aproximación de los valores atípicos y datos faltantes. Al final de este

capítulo se hace un bosquejo histórico del desarrollo de las series de tiempo y

de los modelos determinísticos. Igualmente se hace un comentario del

supuesto de normalidad. El capítulo termina con problemas propuestos

como ejercicios. El segundo capítulo trata de una introducción de procesos


19

estocásticos lineales. Luego pasa a los conceptos fundamentales tanto

teóricos como prácticos como son: funciones de autocorrelación ordinaria o

simple y parcial. Ecuaciones de Yule Walker. Como veremos en este mismo

capítulo estos conceptos son básicos para identificar el proceso estocástico

no observado que origina la serie de tiempo observada. Modelo AR(p). Se

estudia como casos particulares los modelos AR(1) y AR(2), luego el MA(q), y

en particular los modelos MA(1) y MA(2). Modelo ARMA(p,q) y ARMA(1,1),

modelo ARIMA(p,d,q). Metodología de Box-Jenkins: identificación, estimación

de los parámetros, validación y pronóstico. Todos los tópicos se ilustran con

ejemplos de la vida real y se emplean como herramientas: SAS y SPSS. Al final

del capítulo se dan algunas observaciones producto de la experiencia

profesional desarrollando dos ejemplos reales. Se proponen además varios

problemas reales para ser analizado por el lector. El tercero trata de

Estacionalidad ARIMA(p,d,q)(P,D,Q). El problema de las raíces unitarias, este

último tiene una importancia fundamental en Econometría. Contraste de

Dickey-Fuller y sus aplicaciones. Contraste de Phillips-Perron. Variable de

intervención y valores atípicos. Ejemplos reales desarrollados con SAS y SPSS.

Finalizando el capítulo presentan unos comentarios adicionales sobre los

efectos de la estacionalidad, raíz unitaria y presencia de valores atípicos en la

identificación del modelo y los pronósticos. Por último, se proponen varios

problemas. El cuarto capítulo contiene: modelos de series de tiempo no

lineales, modelo bilineal. Modelos no lineales en media y varianza

condicionales: Modelos ARCH y GARCH. Estimación, Contrastes de hipótesis.

Modelos relacionados ARCH-M, TARCH, AR-ARCH. INGARCH, Contraste: DBS,

Series de tiempo

20 | PREFACIO

Coeficiente de Hurt, modelo ARFIMA. Ejemplo con SAS. Al final se propone

unos problemas relacionados con el tema. El quinto trata muy brevemente

de series de tiempo multivariante, definición de series de tiempo

multivariante uniecuacional: ARMAX, definición de series de tiempo

vectoriales VAR(p). Cointegración, estimación, contraste y Vectores

Autoregresivos VAR: selección, estimación, validación y pronósticos. VECM.

Todos estos puntos son ilustrados con ejemplos reales usando SAS. Se

termina el capítulo con comentarios generales sobre la distribución de las

innovaciones, el test de causalidad de Granger y un conjunto de problemas

prácticos.

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