Andrzej Łukasik

Mechanika kwantowa dla kognitywistów

Spis treści

Kwantowy charakter zjawisk ................................................................................................ 3

Dualizm korpuskularno-falowy ........................................................................................... 8

Cząstki i fale ........................................................................................................................ 8 Eksperyment na dwóch szczelinach ................................................................................ 9 Eksperyment z opóźnionym wyborem ......................................................................... 18

Elementy matematyki mechaniki kwantowej ................................................................... 23

Liczby zespolone .............................................................................................................. 23 Przestrzeń Hilberta .......................................................................................................... 27 Elementy rachunku macierzowego ............................................................................... 31 Operatory .......................................................................................................................... 34 Elementy rachunku różniczkowego .............................................................................. 34

Postulaty mechaniki kwantowej ......................................................................................... 42

Postulat I: reprezentacja stanu układu .......................................................................... 43 Zasada superpozycji stanów ........................................................................................... 44 Postulat II: reprezentacja wielkości fizycznych ............................................................ 47 Postulat III: ewolucja stanu układu kwantowego w czasie ........................................ 49 Postulat IV: postulat pomiaru ........................................................................................ 50

Zasada nieoznaczoności Heisenberga ................................................................................ 53

Klasyczne a kwantowe pojęcie prawdopodobieństwa .................................................... 63

Problem pomiaru w mechanice kwantowej ...................................................................... 66

Kot Schrödingera .............................................................................................................. 67 Przyjaciel Wignera ........................................................................................................... 68 Doświadczenie z bombą .................................................................................................. 68

Kwantowe splątanie ............................................................................................................. 69

Paradoks EPR.................................................................................................................... 70 Nierówność Bella ............................................................................................................. 76 Realizm i lokalność w mechanice kwantowej .............................................................. 78

Interpretacje mechaniki kwantowej .................................................................................... 81

Interpretacja kopenhaska ................................................................................................ 82 Ukryty porządek .............................................................................................................. 86 Wiele światów .................................................................................................................. 89 Sumy po historiach .......................................................................................................... 93

2

Interpretmacja transakcyjna ............................................................................................ 95 Dekoherencja .................................................................................................................... 97 QBism ................................................................................................................................ 99 Interpretacja statystyczna .............................................................................................. 100

W rzeczywistości cała fizyka jest fizyką kwantową — prawa fizyki

kwantowej są najogólniejszymi znanymi nam prawami przyrody. […]

fizyka klasyczna dotyczy tych aspektów przyrody, które nie wiążą się

bezpośrednio z zagadnieniem podstawowych składników materii.

Eyvind H. Wichmann1

Musimy maksymalnie wytężać wyobraźnię, nie po to, żeby odwrotnie

niż w literaturze, wyobrazić sobie rzeczy, których naprawdę nie ma, ale

by zrozumieć to, co naprawdę istnieje.

Richard P. Feynman2

Mechanika kwantowa stanowi obok teorii względności Einsteina jedną

z dwóch fundamentalnych teorii fizyki współczesnej. Została sformuło-

wana w latach dwudziestych XX wieku w odpowiedzi na nieudane próby

zastosowania fizyki klasycznej do wyjaśnienia stabilności atomów oraz

sformułowania teorii promieniowania ciała doskonale czarnego. Jest po-

wszechnie uznawana za najdoskonalszą teorię fizyczną, jaką kiedykol-

wiek skonstruowano, a dokładność jej przewidywań jest wprost imponu-

jąca. Zastosowania praktyczne mechaniki kwantowej spotykamy zaś do-

słownie na każdym kroku – od komputera, przy użyciu którego piszę te

słowa, przez telefony komórkowe i fotokomórki po nanotechnologię. Co

więcej, nawet wydawałoby się tak proste zjawiska jak to, że siedząc na

krześle nie przenikam przez niego i nie spadam w wyniku przyciągania

grawitacyjnego Ziemi, chociaż nasze ciała (jak również krzesła) „zbudo-

_____________ 1 E. H. Wichmann, Fizyka kwantowa, s. 17

2 R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 136

3

wane są” w 99,99 % z pustej przestrzeni, uzyskuje wyjaśnienie dopiero na

gruncie mechaniki kwantowej.

Jednak obraz świata ukazywany nam przez mechanikę kwantową ra-

dykalnie różni się od obrazu świata ukształtowanego na podstawie nasze-

go codziennego doświadczenia, przeczy naszym intuicjom a nawet „zwy-

kłej” klasycznej logice. Z jednej strony oczywiście można powiedzieć, że

nasze mózgi zostały tak ukształtowane w procesie ewolucji, abyśmy mo-

gli „zbierać jagody i unikać dzikiego zwierza” i trudno się dziwić, że nie

jesteśmy sobie w stanie wyobrazić tego, że jedna niepodzielna cząstka

znajduje się w kilku miejscach równocześnie, że kot może być jednocze-

śnie żywy i martwy, albo tego, że to, co się dzieje w pewnym miejscu ma

jakiś tajemniczy związek z tym, co się dzieje w bardzo odległym miejscu,

i to bez żadnego oddziaływania. Z drugiej jednak strony, również stano-

wiska samych fizyków w kwestii interpretacji mechaniki kwantowej są

nadal podzielone: nie ma jak dotąd powszechnie akceptowanego poglądu

na „naturę” obiektów mikroświata, a kontrowersyjne jest nawet to, czy

możemy im przypisać istnienie niezależne od procesów obserwacji (łącz-

nie z aktami świadomości podmiotu poznającego, jak twierdzą niektórzy,

o czym będzie jeszcze mowa).

Mechanikę kwantową od teorii klasycznych (przy czym szczególną i

ogólną teorię względności Einsteina zalicza się do teorii klasycznych)

odróżniają przede wszystkim kwantowy charakter zjawisk i dualizm kor-

puskularno-falowy.3 Omówimy ich najważniejsze aspekty.

KWANTOWY CHARAKTER ZJAWISK

Spór o to czy materia ma naturę ciągłą, czy też dyskretną rozpoczął się

jeszcze w starożytnej filozofii przyrody. Znakomita większość filozofów

była przekonana o tym, że materia jest ciągła i nie istnieją ostateczne,

dalej już niepodzielne składniki materii. Pogląd ten implikował oczywi-

ście przekonanie, że nie może istnieć próżnia, rozumiana wówczas jako

całkowicie pusta przestrzeń. Taki pogląd głosił między innymi jeden z

_____________ 3 Por. S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej, s. 20

4

największych i zarazem najbardziej wpływowych filozofów starożytności

Arystoteles.

Odmiennego zdania byli atomiści Leukippos i Demokryt, którzy

utrzymywali, że istnieją ostateczne, wieczne, niezmienne i niepodzielne

cząstki materii, zwane przez nich atomami, które poruszają się odwiecz-

nie w nieskończonej przestrzeni. Pogląd ten aż do wieku XVII miał nie-

wielu zwolenników, do czego przyczyniły się zarówno względy naukowe

jak i pozanaukowe, w tym religijne. Dyskusje na temat ciągłości lub nie-

ciągłości materii oraz możliwości istnienia próżni miały przez wieki cha-

rakter całkowicie spekulatywny. Atomizm uzyskał status teorii naukowej

dopiero w XIX wieku – najpierw za sprawą prac Johna Daltona, a następ-

nie dzięki kinetyczno-molekularnej teorii materii.4 Dziś nikt nie ma wąt-

pliwości, że cała materia składa się z atomów (chociaż nie wiemy, co sta-

nowi 99 % zawartości Wszechświata – por. rozdz. dotyczący kosmologii).

Pod koniec XIX wieku, gdy odkryto elektrony, cząstki materii drob-

niejsze niż atomy (J. J. Thomsom, 1887 r.) powstała jakościowo nowa

sytuacja w fizyce: obok pytań o to, jak materia jest zbudowana z atomów,

powstał problem o charakterze bardziej fundamentalnym, a mianowicie

jak zbudowane są same atomy. Odkrycie jądra atomowego (E. Ruther-

ford, 1911) doprowadziło do sformułowania planetarnego modelu atomu,

w którym niemal cała masa i cały ładunek dodatni atomu są skoncentro-

wane w bardzo małym obszarze (o wielkości rzędu 10-15

m), zwanym

jądrem atomowym, a po orbitach, podobnie jak planety wokół Słońca,

krążą ujemnie naładowane elektrony. Rozmiary atomów są rzędu 10-10

m,

a więc o pięć rzędów wielkości większe niż rozmiary jądra. Jeżeli wyob-

razimy sobie, że powiększamy rozmiary atomu tak, że jądro atomowe ma

wielkość główki od szpilki, czyli ok. 1 mm (10-3

m), to wówczas pierwsza

orbita elektronu znajdowałaby się w odległości około 100 m od jądra.

Okazuje się, że również same atomy są „zbudowane” w ponad 99,99 % z

pustej przestrzeni.

Model Rutherforda był oparty na koncepcjach fizyki klasycznej, zaś

atomy wydawały się przypominać miniaturowe układy planetarne. Plane-

_____________ 4 Por. A. Łukasik, Filozofia atomizmu

5

ty krążą po orbitach, ponieważ są przyciągane siłą grawitacji przez Słoń-

ce. Siła przyciągania elektrycznego między jądrem a elektronem na nie-

mal taką samą postać matematyczną, jak siła grawitacji, co – jak się wy-

daje – w pełni uzasadnia analogię budowy atomu do budowy układu pla-

netarnego. Jednak elektron posiada ładunek elektryczny, a poruszając się

po orbicie, porusza się ruchem przyspieszonym (siła przyciągania elek-

trycznego nadaje mu przyspieszenie dośrodkowe). Z elektrodynamiki

Maxwella wiadomo jednak, że cząstka naładowana poruszająca się ru-

chem przyspieszonym powinna w sposób ciągły promieniować energię, a

w rezultacie w bardzo krótkim czasie (jak pokazują obliczenia w czasie

rzędu 10-6

s, czyli milionowej części sekundy) elektron powinien spaść na

jądro, co przeczy obserwowalnej stabilności atomów. Poza tym ciągłe

promieniowanie atomów było niezgodne ze znanym już wówczas faktem,

że każdy pierwiastek emituje i absorbuje jedynie ściśle określone dys-

kretne linie widmowe.

Niels Bohr w 1913 roku sformułował model atomu wodoru, w którym

wprowadził koncepcję nieciągłych, czyli skwantowanych orbit (wartość

promienia takiej orbity może przybierać jedynie ściśle określoną wiel-

kość). Zgodnie z nią w atomie istnieją pewne wyróżnione orbity, zwane

stanami stacjonarnymi, na których krążący elektron nie promieniuje ener-

gii. Założenie to było oczywiście sprzeczne z całą elektrodynamiką kla-

syczną, ale pozwoliło na wyjaśnienie nieciągłego widma atomów oraz

zrozumienie budowy układu okresowego pierwiastków. Zdaniem Bohra,

elektrony emitują lub absorbują światło gdy „przeskakują” pomiędzy or-

bitami stacjonarnymi. Ponieważ wartości energii na orbitach są skwanto-

wane, również emisja lub absorpcja światła przez elektrony zachodzi w

postaci nieciągłych porcji energii, zwanych kwantami.

Hipotezę kwantów energii wprowadził w 1900 Max Planck. Pracował

on wówczas nad problemem zwanym promieniowania ciała doskonale

czarnego, czyli – mówiąc prosto – chciał otrzymać matematyczny wzór

opisujący, w jaki sposób ciała promieniują energię w zależności od ich

temperatury. Podejmowane wcześniej próby sformułowania teorii pro-

mieniowania ciała doskonale czarnego na podstawie elektrodynamiki

klasycznej, zgodnie z którą światło jest ciągłą falą elektromagnetyczną,

6

nie dawały poprawnych rezultatów. Planckowi udało się sformułować

poprawną teorię przy założeniu, że podczas oddziaływania z materią

promieniowanie elektromagnetyczne jest emitowane i absorbowane w

sposób nieciągły, czyli właśnie kwantami. Energia kwantu świetlnego jest

proporcjonalna do jego częstości:

hE

gdzie jest częstością, natomiast h pewną stałą, zwaną współcześnie

stałą Plancka. Jest to jedna z fundamentalnych stałych fizycznych i poja-

wia się w większości równań mechaniki kwantowej. Jest to stała o wy-

miarze działania, dlatego też nazywana bywa również elementarnym

kwantem działania. Działanie jest wielkością fizyczną o wymiarze ener-

gia x czas. W układzie SI wartość stałej Plancka wynosi w przybliżeniu

6,63 10-34

Js. Jest to wielkość niezmiernie mała, co – jak się okazuje –

powoduje, że pewnych efektów kwantowych nie obserwujemy w świecie

bezpośredniego doświadczenia. Ponieważ w wielu równaniach często

pojawia się stałą Plancka podzielona przez 2 , oznaczono ją specjalnym

symbolem i nazwano „kreśloną stałą Plancka” lub po prostu „h kreślo-

ne”.

Albert Einstein w 1905 roku sformułował teorię zjawiska fotoelek-

trycznego (za co zresztą otrzymał w 1921 r. Nagrodę Nobla z fizyki).

Zjawisko to polega na wybijaniu elektronów z powierzchni metalu pod

wpływem padającego światła (dzięki Einsteinowi mamy więc dzisiaj

wszechobecne fotokomórki). W celu poprawnego opisu zjawiska założył

on, że światło nie jest ciągłą falą elektromagnetyczną, ale jest zbiorem

cząstek poruszających się z prędkością światła, które później nazwano

fotonami. Energia fotonu i jego pęd wyrażają się następującymi wzorami:

hE

c

hhp

7

gdzie p jest pędem fotonu, jest długością fali światła, c oznacza pręd-

kość światła w próżni.

Louis Victor de Broglie w 1924 roku wpadł natomiast na pomysł, że

skoro fale świetlne mogą zachowywać się jak cząstki, to również cząstki

materii, takie jak elektrony, mogą przejawiać własności falowe. Zgodnie z

hipotezą de Broglie’a, z każdą cząstką o pędzie p (p = mv) związana jest

pewna fala materii o długości:

p

h

Hipoteza ta została już w 1927 roku potwierdzona w doświadczeniach

Davissona i Germenra, w których zaobserwowano interferencję elektro-

nów, czy zjawisko typowe dla fal. De Broglie traktował te fale jako realne

fale w trójwymiarowej przestrzeni, wiadomo jednak obecnie, że fale me-

chaniki kwantowej są tworami nieco bardziej abstrakcyjnymi – falami

prawdopodobieństwa, o czym będzie mowa w dalszej części rozdziału.

Podsumujmy zatem na czym polega kwantowy charakter zjawisk: ma-

teria ma strukturę nieciągłą, składa się ostatecznie z obiektów, które na-

zywamy cząstkami elementarnymi. Również proces oddziaływania pro-

mieniowania elektromagnetycznego z materią polega na emisji lub ab-

sorpcji dyskretnych jednostek, czyli kwantów promieniowania. Samo

promieniowanie zaś w pewnych zjawiskach przejawia aspekt korpusku-

larny – zachowuje się jak strumień fotonów. Z drugiej zaś strony cząstki

materii wykazują w pewnych eksperymentach własności charakterystycz-

ne dla fal. Ten osobliwy rezultat mechaniki kwantowej nazwano duali-

zmem korpuskularno-falowym.

Podstawy mechaniki kwantowej sformułowali niemal równocześnie i

niezależnie od siebie Werner Heisenberg (mechanika macierzowa, 1925) i

Erwin Schrödinger (mechanika falowa, 1926). Wprawdzie obydwaj ucze-

ni przyjmowali zupełnie różne założenia filozoficzne (Heisenberg zakła-

dał realność cząstek Schrödinger natomiast realność fal materii), to jednak

formalizmy te okazały się całkowicie równoważne matematycznie i pro-

wadzą do takich samych konsekwencji empirycznych.

8

DUALIZM KORPUSKULARNO-FALOWY

Omówimy teraz pewien eksperyment, który – jak twierdzi Feynman –

zawiera wszystkie tajemnice mechaniki kwantowej.5 Jeśli nawet nie

wszystkie, to wiele zdumiewających aspektów mikroświata rzeczywiście

można opisać odwołując się do tego eksperymentu lub do różnych jego

modyfikacji. Dlatego szczegółowa analiza eksperymentu na dwóch szcze-

linach jest niezmiernie ważna dla zrozumienia dalszej części materiału

dotyczącego mechaniki kwantowej.

CZĄSTKI I FALE

Zauważmy najpierw, że w schemacie pojęciowym fizyki klasycznej

dysponujemy takimi pojęciami, jak cząstki i fale. Są one, podobnie jak

inne pojęcia fizyczne, takie jak na przykład pojęcie siły, idealizacjami

mającym swe źródło w świecie codziennego doświadczenia. Pojęcie

cząstki, to w istocie pojęcie „kawałka materii”. Cząstką możemy nazwać

elektron, ziarenko piasku, ale równie dobrze na przykład kulę bilardową.

Co mamy na myśli, mówiąc, że coś jest cząstką. Przede wszystkim za-

pewne to, że cząstka istnieje w pewnym dobrze określonym miejscu w

czasie i przestrzeni (lub – używając pojęcia ze szczególnej teorii względ-

ności: w czasoprzestrzeni). Jeżeli w jednym miejscu przestrzeni znajduje

się jakaś cząstka, to w tym samym miejscu w tym samym czasie nie może

się znajdować inna cząstka. Przypisujemy bowiem cząstkom atrybut nie-

przenikliwości, zupełnie podobnie jak traktowano atomy w starożytnej

filozofii przyrody. Sądzimy ponadto, że cząstki posiadają pewne cechy,

takie jak kształt, wielkość czy masę. Traktujemy je również jako obiekty

rozróżnialne, posiadające pewną indywidualność. Jeżeli na przykład na

stole bilardowym zamienię miejscami kulę białą z czarną, to otrzymam

nowy układ kul, czyli nowy stan rzeczy, przynajmniej zasadniczo rozróż-

nialny od poprzedniego. Jeżeli zamienię miejscami na przykład dwie kule

_____________ 5 Por. R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 138

9

czerwone (powiedzmy przy grze w snookera), to nawet jeśli nie jestem w

stanie rozróżnić, czy kule zostały zamienione miejscami czy też nie, to –

obiektywnie rzecz biorąc – po zamianie miejscami kul otrzymuję inny

układ niż był wcześniej. Cząstki zaliczamy do kategorii ontologicznej

rzeczy: są to przedmioty istniejące w czasie i przestrzeni, jednostkowe i

konkretne.

Poświęćmy teraz nieco uwagi pojęciu fali. Zapewne każdy obserwował

fale na wodzie – mogą się one przenikać i nakładać, czego efektem będzie

zwiększenie lub zmniejszenie amplitudy drgań. Trudno wyobrazić sobie

fale na wodzie… bez wody. Ruch falowy polega bowiem na drganiu czą-

stek pewnego ośrodka materialnego (por. jednak rozdział o teorii względ-

ności i falach świetlnych). Fala nie jest rzeczą, lecz należy do ontologicz-

nej kategorii procesu: nie jest obiektem samodzielnym bytowo, to znaczy

mówiąc prościej: jeśli nie ma wody, to również nie ma fal na wodzie, po-

nieważ po prostu nie ma co drgać. W odróżnieniu od cząstek fale ponadto

nie są obiektami dobrze zlokalizowanymi w przestrzeni, lecz obiektami

rozciągłymi; w odróżnieniu od cząstek dwie fale w tym samym czasie

mogą znajdować się w tym samym obszarze przestrzeni (zjawisko interfe-

rencji) i wreszcie w odróżnieniu od cząstek fale nie posiadają indywidu-

alności, to znaczy jeśli przenikają się przez siebie (czyli w pewnej chwili

dwie fale znajdują się w tym samym obszarze przestrzeni), to nie da się

wskazać na jedną z tych fal i powiedzieć, że to jest „ta” fala w odróżnie-

niu od „tamtej”.

Z matematycznego punktu widzenia cząstkę zwykle reprezentujemy

jako punkt, falę zaś jako sinusoidę (ponieważ falę o dowolnie skompli-

kowanym kształcie możemy otrzymać w rezultacie nałożenia na siebie

wielu fal sinusoidalnych o różnych amplitudach i długościach). Z punktu

widzenia fizyki klasycznej coś, co jest cząstką nie może być zatem falą i

vice versa. Okazuje się jednak, że mikroobiekty przejawiają własności

właściwe zarówno dla cząstek, jak i dla fal.

EKSPERYMENT NA DWÓCH SZCZELINACH

Opiszemy teraz eksperyment z interferencją na dwóch szczelinach,

który przeprowadzimy najpierw dla klasycznych cząstek, później dla kla-

10

sycznych fal, a w końcu dla cząstek kwantowych, takich jak elektrony czy

fotony. W tym ostatnim wypadku rezultaty są dość zaskakujące. Będzie-

my w dalszej części odwoływać się do bardzo prostego modelu, podkre-

ślić jednak należy, że nie mówimy o eksperymentach wyłącznie myślo-

wych, ale eksperymenty tego typu były wielokrotnie przeprowadzane i

przebiegają dokładnie tak, jak tu zostanie opisane.

Przeprowadźmy najpierw eksperyment z klasycznym cząstkami (por.

rys). Nasz układ składa się ze źródła cząstek Z, przesłony z dwiema wą-

skimi równoległymi szczelinami S1 i S2 oraz ekranu E, na którym rejestru-

jemy liczbę cząstek trafiającą w poszczególne miejsca ekranu. Odległość

między szczelinami jest dużo większa niż rozmiary cząstek i dużo więk-

sza niż długość fali fotonu.

Rys. Eksperyment z dwiema szczelinami dla klasycznych cząstek

Źródło Z emituje cząstki w kierunku przesłony z dwiema wąskimi

szczelinami S1 i S2. O cząstkach zakładamy, że są trwałe – nie rozpadają

się na części po zderzeniu z przeszkodą czy po trafieniu w ekran. Sytua-

11

cja, w której otwarte są dwie szczeliny przedstawia się następująco:

cząstki są niepodzielne i poruszają się po dobrze określonych trajekto-

riach. Niektóre z nich przejdą przez szczelinę S1 i trafią w pewien punkt

ekranu, inne zaś przejdą przez szczelinę S2. Jasne jest, że cząstka może

dotrzeć do ekranu albo przez szczelinę S1 albo przez szczelinę S2. Roz-

kład cząstek na ekranie jest łatwy do przewidzenia (por. rys.): te cząstki,

które przeszły przez szczelinę S1 skupią się w niewielkim obszarze tuż za

tą szczeliną, te, które przeszły przez szczelinę S2 wylądują naprzeciwko

tej właśnie szczeliny. Gdybyśmy teraz zamknęli jedną ze szczelin, po-

wiedzmy S1, cząstki mogłyby przelecieć tylko przez szczelinę S2 (analo-

giczną sytuację otrzymujemy przy zamknięciu drugiej szczeliny). Obraz

jaki obserwujemy na ekranie, czyli liczba cząstek w danym miejscu jest

równa sumie liczb cząstek, które przeszły przez szczelinę S1 i trafiły w ten

punkt ekranu oraz cząstek, które niezależnie przeszły przez S2. Inaczej

mówiąc prawdopodobieństwo (czyli średnia częstość) znalezienia cząstki

w pewnym punkcie ekranu jest równe sumie prawdopodobieństw cząstek

przechodzących niezależnie przez szczeliny S1 i S2.

Możemy to zapisać następująco:

N1 – liczba cząstek przechodzących przez szczelinę S1

N2 – liczba cząstek przechodzących przez szczelinę S2

N12 – prawdopodobieństwo, czyli średnia liczba cząstek trafiających w

dane miejsce ekranu, gdy otwarte są szczeliny S1 i S2

W tym przypadku N12 = N1 + N2. Rezultaty eksperymentu z klasycz-

nym cząstkami przedstawia rysunek.

12

Rys. Eksperyment z dwiema szczelinami dla klasycznych cząstek

Jest to zupełnie jasne, ponieważ wystrzelona cząstka klasyczna poru-

sza się tak a nie inaczej po określonej trajektorii zupełnie niezależnie od

tego, czy jest otwarta jedna szczelina czy też obydwie – cząstka albo trafi

w szczelinę pierwszą lub drugą albo odbije się od przesłony. Cząstka po

prostu „nie wie” czy otwarta jest jedna szczelina, czy też dwie.

Rozważmy teraz podobny eksperyment z klasycznymi falami. Źródło

emituje falę, która dociera do układu dwóch szczelin. Zgodnie z zasadą

Huyghensa znaną z teorii klasycznego ruchu falowego, szczeliny stają się

źródłami nowych fal, które interferują ze sobą (por. rys.). W chwili, gdy

fale docierają do ekranu obserwujemy efekt interferencji: największą am-

plitudę będzie mieć fala wypadkowa, w której grzbiet fali dochodzącej ze

szczeliny S1 pokrywa się z grzbietem fali pochodzącej ze szczeliny S2.

Jest to oczywiście miejsce położone dokładnie pośrodku odległości mię-

dzy szczelinami – w tym obszarze obserwujemy maksimum drgań, po-

nieważ fale docierające do tego miejsca z obydwu szczelin mają taki sam

dystans do przebycia, czyli będą zgodne w fazie. W miarę oddalania się w

jedną albo drugą stronę od środka ekranu, zaobserwujemy zmniejszenie

się amplitudy drgań a następnie kolejne maksimum drugiego rzędu itd.

Otrzymamy zatem charakterystyczny obraz interferencyjny. W przypadku

eksperymentu ze światłem jest to układ jasnych i na przemian ciemnych

13

prążków interferencyjnych, przy czym najjaśniejszy prążek znajduje się

właśnie na środku ekranu.

Rys. Interferencja fal na dwóch szczelinach.

Interesuje nas natężenie fali w poszczególnych punktach ekranu. Natę-

żenie fali jest proporcjonalne do kwadratu modułu amplitudy 2

AI .

Jeżeli mamy do czynienia z dwiema falami, to aby obliczyć natężenie fali

w pewnym miejscu ekranu najpierw musimy dodać do siebie amplitudy

fal pochodzących od szczelin S1 i S2, a następnie podnieść tę sumę do

kwadratu:

2

212,1 AAI

14

Przy czym przez 2,1I oznaczyliśmy natężenie fali w danym punkcie

ekranu w przypadku gdy otwarte są obydwie szczeliny. Oczywiście natę-

żenie sumy fal nie jest równe sumie natężeń, ponieważ amplituda może

mieć wartość dodatnią albo ujemną, w związku z czym drgania mogą się

wzmacniać albo wzajemnie się tłumić: 2

2

2

12,1 AAI . Jasne jest rów-

nież, że w przypadku gdy zasłonimy jedną ze szczelin, to nie wystąpi in-

terferencja. Rezultaty eksperymentu przedstawione są na rysunku.

Rozważmy teraz rezultaty eksperymentu z cząstkami kwantowymi.

Strumień elektronów (lub fotonów) przepuszczamy przez układ dwóch

szczelin. Niech źródło emituje cząstki o bardzo małym natężeniu tak, że

w zadanej jednostce czasu przez układ szczelin przechodzi tylko jedna

cząstka. Ustalmy przede wszystkim, dlaczego w eksperymencie tym mo-

żemy mówić o elektronach jako o cząstkach. Otóż gdy elektron dotrze do

ekranu, pozostawia zawsze ślad w ściśle określonym miejscu, czyli za-

chowuje się dokładnie tak, jakby był klasyczną cząstką: obiektem o ściśle

określonej masie, ładunku itd. Nigdy nie obserwujemy aby po wyemito-

waniu ze źródła cząstki powstał ślad w dwóch lub większej liczbie miejsc

na ekranie. Wysyłamy następny elektron i znów otrzymujemy na ekranie

15

ślad cząstki, kolejny elektron i kolejny ślad itd. Jednak obserwujemy, że

w miarę jak liczba śladów rośnie, zaczyna dziać się coś dziwnego – ślady

elektronów tworzą charakterystyczny wzór interferencyjny, dokładnie

taki, jak w przypadku interferencji fal.

Zgodnie jednak z myśleniem opartym na fizyce klasycznej, cząstki ta-

kie poruszają się po dobrze określonych torach. Zatem elektron przecho-

dząc przez przesłonę z dwiema szczelinami, powinien przejść albo przez

jedną szczelinę albo przez drugą – skoro jest niepodzielną cząstką materii

nie może przecież przejść przez obydwie szczeliny równocześnie. Jednak

gdyby elektron przechodził albo przez jedną szczelinę albo przez drugą,

wówczas moglibyśmy elektrony podzielić na te, które dotarły do ekranu

przechodząc przez pierwszą szczelinę i na te, które dotarły przez szczeli-

nę drugą. Zatem obraz na ekranie powinien być tak sam jak ten, który

otrzymaliśmy dla klasycznych cząstek. Obserwujemy jednak zupełnie

inny obraz – obraz interferencyjny właściwy dla fal. Wiemy jednak, że

elektrony są cząstkami, a w każdym razie trafiając na ekran zachowują się

jak cząstki. Jak zatem cząstki mogą interferować, skoro interferencja jest

zjawiskiem typowym dla fal, a pojęcie fali i pojęcie cząstki odnoszą się

do radykalnie odmiennych obiektów.

Czy zatem jeden niepodzielny elektron przechodzi w jakiś tajemniczy

sposób przez dwie szczeliny równocześnie? Oczywiście możemy tę hipo-

tezę sprawdzić umieszczając na przykład przy szczelinach odpowiednie

detektory: gdy elektron przejdzie w pobliżu jednej szczeliny detektor za-

reaguje. Okazuje się jednak, że wówczas reaguje tylko jeden detektor,

nigdy zaś dwa, co znaczy, że elektron przechodzi tylko przez jedną szcze-

linę, nigdy przez obydwie równocześnie. Okazuje się jednak, że jeżeli

podjęliśmy próbę określenia przez którą szczelinę przechodzi detektor, to

znika nam obraz interferencyjny i rozkład prawdopodobieństw na ekranie

jest taki jak w przypadku klasycznych cząstek.

16

Rys. Interferencja elektronów na dwóch szczelinach.

Podsumujmy: gdy otwarte są dwie szczeliny i nie podejmujemy próby

określenia przez którą z nich przeszedł elektron, to obserwujemy na ekra-

nie obraz interferencyjny charakterystyczny dla zjawisk falowych – w

tym sensie elektrony zachowują się jak fale. Jednak obraz ten składa się z

pojedynczych śladów, takich jakie zostawiłyby trafiające na ekran cząstki.

Gdybyśmy chcieli twierdzić, że wprawdzie nie wiemy, przez którą szcze-

linę przeleciał elektron, ale – skoro jest niepodzielną cząstką – to musiał

przelecieć albo przez jedną albo przez drugą, to takie twierdzenie jest z

pewnością fałszywe, ponieważ wówczas nie nastąpiłaby wówczas interfe-

rencja, czyli obraz na ekranie byłby zupełnie inny ot tego, który obserwu-

jemy.

Poprawny opis eksperymentu interferencyjnego polega na przypisaniu

poszczególnym elektronom pewnej liczby zespolonej, zwanej amplitudą

prawdopodobieństwa, nieco podobnie jak w wypadku klasycznych fal

mówimy o amplitudzie fali. Jeżeli elektron może dotrzeć do ekranu

dwiema drogami, to aby uzyskać zgodny z doświadczeniem rezultat, mu-

17

simy dodać do siebie amplitudy prawdopodobieństwa dla tych dwóch

możliwości, a następnie obliczyć prawdopodobieństwo trafienia elektronu

w określony punkt podnosząc sumę tych amplitud do kwadratu:

2

212,1 AAP

Zauważmy w wypadku klasycznych fal mówimy o amplitudach trój-

wymiarowych fal w przestrzeni fizycznej, natomiast w wypadku zjawisk

kwantowych są to zespolone (czyli wyrażane wielkościami zespolonymi)

amplitudy prawdopodobieństwa (pojęcie to zostanie szerzej omówione w

dalszej części rozdziału). W tym wypadku prawdopodobieństwo znale-

zienia elektronu w pewnym punkcie ekranu nie jest równe sumie prawdo-

podobieństw znalezienia elektronu, który dotarł do ekranu przez szczelinę

pierwszą plus prawdopodobieństwo tego, że dodarł do ekranu przez

szczelinę drugą. „Elektrony docierają do detektorów w całości, tak jak

pociski, ale prawdopodobieństwo rejestracji elektronów jest określone

takim wzorem jak natężenie fali. W tym sensie elektron zachowuje się

jednocześnie jak cząstka i jak fala”.6

Osobliwość tego rezultatu jest jeszcze większa, jeżeli zauważymy (por.

rys.), że otworzenie elektronom drugiej drogi sprawia, że w pewne punkty

ekranu praktycznie w ogóle nie mogą dotrzeć, co jest oczywiście całko-

wicie niezgodne z „klasycznym” punktem widzenia: jeśli elektron byłby

cząstką w sensie fizyki klasycznej, to jak jest możliwe, że otwierając mu

drugą drogę faktycznie zamykamy obydwie?

No dobrze, ale czy elektrony (lub fotony lub jakiekolwiek inne obiekty

opisywane przez mechanikę kwantową) są „naprawdę” cząstkami czy też

falami? Pytanie takie chyba odzwierciedla jedynie ograniczoność naszej

wyobraźni w odniesieniu do mikroświata. W fizyce klasycznej, która wy-

rosła przecież z obserwacji świata codziennego doświadczenia, rzeczywi-

ście dysponujemy takimi pojęciami, jak cząstka i fala, jednak w mikro-

świecie odległym od naszego bezpośredniego doświadczenia takie pojęcia

mają ograniczony zasięg stosowalności. Jak pisze Leon N. Cooper „świa-_____________

6 R. P. Feynman, Charakter, s. 147.

18

tło jest falą lub cząsteczką w stopniu nie większym, niż ten, w jakim siła

jest wektorem a kamyki liczbami. Znajomość matematycznej struktury fal i

nasze obserwacje światła, nasuwają nam przekonanie, że możemy połączyć

z fizyczną realnością, jaką jest światło, twór matematyczny znany nam jako

fala i że struktura i relacje matematyczne fal w ich świecie, są w jakiś spo-

sób odbiciem struktury i relacji światła w świecie realnym”.7 Mikroobiekty

nie są podobne do niczego, co znamy z naszego codziennego doświadcze-

nia. „Fotony i elektrony zachowują się w sposób nie mający żadnego od-

powiednika klasycznego, w sposób kwantowomechaniczny”.8 Nie potrafi-

my sobie poglądowo przedstawić ruchu elektronów pomiędzy aktem emi-

sji ze źródła i aktem detekcji na ekranie.

EKSPERYMENT Z OPÓŹNIONYM WYBOREM

Przedstawimy teraz pewną wersję eksperymentu interferencyjnego za-

proponowaną przez Johna A. Wheelera, która prowadzi do jeszcze bar-

dziej osobliwych wniosków dotyczących kwantowego świata – ekspery-

ment z opóźnionym wyborem. Tym razem przeprowadzimy eksperyment z

fotonami i zmodyfikujemy nieco nasz układ eksperymentalny: zamiast

przesłony z dwiema szczelinami użyjemy półprzepuszczalnego zwiercia-

dła, dwóch całkowicie odbijających zwierciadeł i jeszcze jednego pół-

przepuszczalnego zwierciadła, zamiast ekranu zaś – dwóch detektorów

fotonów, na przykład dwóch fotokomórek.

Niech źródło (na przykład laser) Z emituje wiązkę światła na półprze-

puszczalne zwierciadło BS ustawione pod kątem 450 (por. rys.), które roz-

szczepia wiązkę światła na dwie, z których pierwsza przechodzi przez

zwierciadło BS (nazwijmy jego drogę „drogą dolną”), następnie odbija się

od zwierciadła Z2 i trafia do fotokomórki D2. Drugi promień odbija się od

zwierciadła BS i podąża drogą, którą nazwiemy „drogą górną”, następnie

odbija się od zwierciadła Z1 i trafia do fotokomórki D1. Przyjmujemy, że

mamy idealne fotokomórki, które reagują zawsze, gdy dotrze do nich

_____________ 7 L. N. Cooper, Istota i struktura fizyki, s. 270.

8 R. P. Feynman, Charakter…, s. 136

19

światło, zakładamy również, że długość drogi równoległej światła i drogi

prostopadłej są dokładnie równe.

Rys. Schemat eksperymentu z opóźniony wyborem. W rezultacie interferencji konstruk-

tywnej wszystkie fotony trafiają do detektora D1, natomiast w rezultacie interferencji

destruktywnej detektor D2 nie rejestruje nic (prawdopodobieństwo rejestracji fotonu

wynosi zero). Jeżeli jednak zablokujemy jedną z dróg przed przecięciem się wiązki foto-

nów (obojętnie którą), obydwa detektory rejestrują fotony z równym prawdopodobień-

stwem nawet wówczas, gdy zablokowanie drogi górnej lub dolnej nastąpiło już po tym,

jak fotony oddziaływały z pierwszym zwierciadłem półprzepuszczalnym.

W miejscu przecięcia się dwóch wiązek światła możemy wstawić dru-

gie zwierciadło półprzepuszczalne BS’ i w ten sposób spowodować, że

światło w wyniku interferencji destruktywnej ulegnie wygaszeniu w kie-

runku fotokomórki D2 i całe światło będzie docierać do fotokomórki D1.

Słowem: po umieszczeniu drugiego zwierciadła półprzepuszczalnego BS’

reaguje zawsze tylko fotokomórka D1, fotokomórka D2 nie reaguje nigdy.

20

Aby zrozumieć dlaczego tak się dzieje, musimy poświęcić nieco miej-

sca działaniu zwierciadła półprzepuszczalnego.9 Jest płaskorównoległa

płytka szklana pokryta z jednej strony warstwą dielektryka. Padająca

wiązka światła ulega rozszczepieniu – połowa wiązki przechodzi przez

płytkę, połowa ulega odbiciu. Z optyki wiadomo, że podczas przejścia

przez płytkę faza fali świetlnej nie ulega zmianie. Podczas odbicia światła

od zwierciadła całkowicie odbijającego faza fali świetlej zmienia się o π

(to znaczy, że tam gdzie był grzbiet fali teraz jest dolina). Również przy

odbiciu od warstwy dielektryka w zwierciadle półprzepuszczalnym faza

fali świetlnej zmienia się o π, ale jedynie w przypadku, gdy światło trafia

na tę warstwę z zewnątrz. Gdy światło trafia na warstwę dielektryka naj-

pierw przechodząc przez szklaną część zwierciadła półprzepuszczalnego,

wówczas faza fali świetlej nie ulega zmianie. Zatem wiązka światła poru-

szająca się po drodze górnej odbije się najpierw od BS (zmiana fazy o π),

następnie od Z1 (również zmiana fazy o π) i po przejściu przez BS’ cał-

kowite przesunięcie w fazie wynosić będzie 2π dla wiązki zmierzającej do

fotokomórki D1. Wiązka poruszająca się drogą dolną odbije się od zwier-

ciadła Z2 (zmiana fazy o π), a następnie od zewnętrznej powierzchni

zwierciadła BS’ (kolejna zmiana fazy o π). Dwie fale świetlne zmierzają-

ce do detektora D1 będą natem zgodne w fazie i nastąpi interferencja kon-

struktywna. (Należy zwrócić uwagę na położenie zwierciadeł półprze-

puszczalnych: w BS’ wiązka dolna odbija się od zwierciadła od strony

zewnętrznej, natomiast wiązka dolna od strony szkła i w tym wypadku nie

następuje zmiana fazy.

Wiązka poruszająca się po drodze dolnej w kierunku detektora D2, po

odbiciu się od zwierciadła Z2 jest przesunięta w fazie o π (nastąpiło tylko

jedno odbicie, a przejście przez BS’ nie zmienia fazy), natomiast wiązka

poruszająca się po drodze górnej w kierunku D2 jest przesunięta w fazie o

2π (po odbiciu od BS, a następnie od Z1), ponieważ odbicie od wewnętrz-

nej części BS’ (tzn. gdy światło trafia na warstwę dielektryku przechodzą

najpierw przez warstwę szkła) nie zmienia fazy. Zatem w wiązki zmierza-

_____________ 9 Por. K.P. Zetie, S. F. Adams, R. M. Tocknell, How does a Mach–Zehnder interfero-

meter work?, Phys. Educ. 35(1) January 2000, s. 46-48.

21

jące w kierunku detektora D2 będą przesunięte względem siebie w fazie o

π i nastąpi interferencja destruktywna (grzbiet jednej fali spotka się z do-

lina drugiej, analogicznie jak w przypadku doświadczenia z dwiema

szczelinami). Detektor D2 nie zarejestruje zatem żadnego fotonu.

Rozważmy światło o skrajnie małym natężeniu (natężenie światła to

po prostu liczba fotonów), takim mianowicie, że każdorazowo przez

układ przechodzi tylko jeden foton (wiemy z eksperymentu z dwiema

szczelinami, że można tak zrobić). Gdyby pojedynczy foton trafiając na

pierwsze zwierciadło BS po prostu przez nie przechodził albo odbijał się z

prawdopodobieństwem p = ½ (czyli wybierał tylko jedną z dwóch możli-

wych dróg), wtedy każda fotokomórka rejestrowałaby foton z prawdopo-

dobieństwem ½. Tak jednak nie jest – w eksperymencie wszystkie fotony

docierają do fotokomórki D1 leżącej w kierunku wiązki światła, żaden

natomiast nie dociera do D2. Jedynym możliwym wyjaśnieniem jest wła-

śnie to, że w takiej sytuacji następuje interferencja fotonów. Zatem musi-

my przyjąć, że pojedynczy foton porusza się w pewnym sensie po dwóch

drogach równocześnie. (Nie jest to zbyt precyzyjny sposób mówienia,

powinnyśmy zgodnie z mechaniką kwantową powiedzieć, że foton znaj-

dzie się w stanie superpozycji dwóch stanów, co zostanie wyjaśnione w

dalszej części rozdziału).

Jeżeli jednak zablokujemy którąś z dróg, na przykład przegradzając ją

ekranem, to nie nastąpi interferencja (por. doświadczenie z dwiema szcze-

linami) i foton będzie mógł dotrzeć do obu fotokomórek D1 i D2 z rów-

nym prawdopodobieństwem, podczas w sytuacji gdy były otwarte obie

drogi, mógł dotrzeć tylko do fotokomórki D2. Już to jest niezmiernie inte-

resującym rezultatem: zablokowanie fotonowi jednej z dróg otwiera drogę

do D2, podczas gdy otwarcie drugiej drogi blokuje możliwość dotarcia do

D2.10

Istota eksperymentu z opóźnionym wyborem polega na tym, że może-

my zdecydować, czy zablokować jedną z dróg fotonu czy też nie (albo –

co na jedno wychodzi – czy umieścić drugie zwierciadło półprzepusz-

czalne, czy też nie) „w ostatniej chwili”, to znaczy już po tym, jak foton

_____________ 10

Por. R. Penrose, Nowy umysł…, s. 287.

22

oddziaływał ze zwierciadłem BS. Jeśli to zrobimy, foton poruszać się bę-

dzie po jednej określonej drodze i może trafić z równym prawdopodo-

bieństwem do obydwu fotokomórek. Jeżeli nie zablokujemy drogi, to

foton porusza się po dwóch drogach równocześnie i w wyniku interferen-

cji może dotrzeć tylko do fotokomórki D1. Ale jak nasza decyzja dotyczą-

ca umieszczenia ekranu i zablokowania drogi fotonu mogła mieć wpływ

na zachowanie fotonu w BS, skoro nastąpiła już po tym, gdy foton oddzia-

ływał z BS? Jeżeli już nawet możemy przyjąć, że zachowanie fotonu zale-

ży od tego czy otwarte są dwie drogi czy też tylko jedna (por. ekspery-

ment z dwiema szczelinami), to w tym wypadku wydaje się, że nasza de-

cyzja co do otworzenia dwóch dróg dla fotonu lub tylko jednej podjęta w

teraźniejszości wpływa na zachowanie fotonu w przeszłości! Oczywiście

pojawia się w tym miejscu problem, czy w ogóle możemy mówić o za-

chowaniu fotonu pomiędzy dwiema kolejnymi obserwacjami. Bohr i Hei-

senberg byli zdania, że jest to niemożliwe, ale zagadnienia epistemolo-

giczne przeanalizujemy w dalszej części rozdziału.

Wheeler zaproponował również „kosmiczną wersję” eksperymentu z

opóźnionym wyborem.11

Otóż znamy kwazar usytuowany w odległości

około pięciu miliardów lat świetlnych, od którego światło dociera do nas

dwiema drogami w rezultacie zjawiska soczewkowania grawitacyjnego

(por. rozdz. o teorii względności). Światło z tego kwazara potrzebuje pię-

ciu miliardów lat aby do nas dotrzeć, zatem zostało wysłane zanim jesz-

cze powstała Ziemia. Jeżeli w eksperymencie z opóźnionym wyborem

użyjemy jako źródła fotonów właśnie światła z kwazara, to otrzymujemy

dość zaskakujący wniosek, że w zależności od tego czy teraz zdecyduje-

my zablokować jedną z dróg fotonu w naszej aparaturze czy też nie (mo-

żemy podjąć decyzję albo świadomie albo w sposób czysto losowy, na

przykład na podstawie rzutu monetą), to pojedynczy foton poruszał się po

jednej drodze albo po dwóch równocześnie w zależności od naszego wy-

boru. Jednak foton rozpoczął swój lot pięć miliardów lat temu…

Zauważmy jednak, że analizując ten eksperyment mówiliśmy o „dro-

dze” fotonu nawet wówczas, gdy nie była ona obserwowana. Jest to – jak

_____________ 11

Por. P. C. W. Davies, Duch w atomie, s. 86.

23

się okazuje – pewne uproszczenie. O kwestii możliwości wypowiadania

się o zjawiskach kwantowych, które nie były przedmiotem obserwacji

jeszcze powrócimy w dalszej część rozdziału.

ELEMENTY MATEMATYKI MECHANIKI KWANTOWEJ

Przejdziemy teraz do przedstawienia na bardzo elementarnym pozio-

mie pojęciowych podstaw mechaniki kwantowej. Konieczne będzie

wprowadzenie elementów formalizmu matematycznego, co pozwoli uści-

ślić nasze rozważania i jednocześnie pokazać, gdzie w dotychczasowym

opisie eksperymentów dopuściliśmy się pewnych uproszczeń. Ponieważ

stan układu kwantowomechanicznego w pewnej chwili t jest reprezento-

wany przez wektor z zespolonej przestrzeni Hilberta, musimy nieco miej-

sca poświęcić najpierw liczbom zespolonym, a następnie omówić struktu-

rę zespolonej przestrzeni Hilberta.

SKALARY, WEKTORY, TENSORY

LICZBY ZESPOLONE

W szkolnej matematyce na ogół poprzestaje się na tak zwanych licz-

bach rzeczywistych. Mówimy na przykład, że nie istnieje pierwiastek

kwadratowy z liczby ujemnej, co oznacza, że równanie 12 x nie ma

rozwiązań. Jednak zbiór liczb rzeczywistych można rozszerzyć wprowa-

dzając tak zwaną jednostkę urojoną, oznaczaną symbolem i, którą defi-

niujemy następująco:

1i

Liczbą zespoloną nazywamy liczbę postaci:

iyxz ,

24

gdzie Ryx , , gdzie R oznacza zbiór liczb rzeczywistych (tę postać licz-

by zespolonej nazywamy postacią algebraiczną). Zbiór liczb postaci

iyxz nazywamy zbiorem liczb zespolonych, przy czym pierwszą

część sumy nazywamy częścią rzeczywistą (co oznaczamy często symbo-

lem Re), drugą zaś częścią urojoną (oznaczaną symbolem Im). Oczywiste

jest, że nazwy „rzeczywista” i „urojona” są w tym wypadku czysto kon-

wencjonalne i z filozoficznego punktu widzenia obydwa zbiory liczb są

równie „rzeczywiste” lub równie „urojone” („nierzeczywiste”) – to już

zależy od przyjmowanego stanowiska w filozofii matematyki, którym tu

zagadnieniem nie będziemy się zajmować. Nadmienimy jedynie, że nie-

którzy filozofowie, zwani platonikami, utrzymują, że liczby (i inne obiek-

ty matematyczne) istnieją niezależnie od umysłu poznającego podmiotu, a

nawet niezależnie od świata fizycznego i są przez matematyków odkry-

wane (i w tym sensie zarówno liczby rzeczywiste jak i zespolone są dla

nich „rzeczywiste”), inni zaś twierdzą, że liczby są jedynie konstrukcjami

umysłu i poza umysłem nie przysługuje im żadne istnienie.

Liczbę postaci

iyxz *

nazywamy liczbą sprzężoną do liczby zespolonej z.

Liczby zespolone interpretujemy jako punkty na płaszczyźnie (por.

rys.). Na osi x odkładamy część rzeczywistą, na osi y – część urojoną

liczby zespolonej.

25

Rys. Liczby zespolone na płaszczyźnie Argada. Liczbie zespolonej z = x + iy odpowiada

punkt o współrzędnych (x, y).

Odległość od początku układu współrzędnych, gdzie znajduje się dany

punkt reprezentujący liczbę zespoloną z wynosi r. Z rysunku widzimy, że

r

xsin ,

r

ycos .

Zatem dowolną liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci:

)sin(cos irz .

Postać tę nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej.

Wielkość r nazywamy modułem liczby zespolonej. Z twierdzenia Pita-

gorasa mamy:

222 yxr ,

czyli

26

22 yxr .

Zauważmy przy tym, że kwadrat modułu liczby zespolonej jest równy

iloczynowi tej liczby i liczby sprzężonej:

22* ))(( yxiyxiyxzz ,

zatem moduł liczby zespolonej można wyrazić wzorem:

*zzz

Liczby zespolone możemy do siebie dodawać i odejmować (dodajemy

bądź odejmujemy część rzeczywistą do rzeczywistej a zespoloną do ze-

spolonej), mnożyć przez siebie i dzielić. Podstawowe wzory na sumę,

różnicę, iloczyn i iloraz liczb zespolonych są następujące:

)()()()( 2121221121 yyixxiyxiyxzz ,

)()()()( 2121221121 yyixxiyxiyxzz ,

)()())(( 12212121221121 yxyxiyyxxiyxiyxzz ,

2

2

2

2

21212121

22

11

2

1 )()(

yx

yxxyiyyxx

iyx

iyx

z

z

.

Podamy jeszcze wyrażenie na kwadrat sumy dwóch liczb zespolonych,

ponieważ będziemy się do niego wielokrotnie odwoływać w dalszych

rozważaniach. Rozważmy dwie liczby zespolone w i z (por. rys.). Niech

kąt między wektorami wynosi α. Wówczas korzystając z twierdzenia ko-

sinusów otrzymujemy:

cos2222

zwzwzw

27

Do sformułowania aksjomatów mechaniki kwantowej będzie nam

jeszcze potrzebne pojęcie przestrzeni Hilberta.

PRZESTRZEŃ HILBERTA

Przestrzeń Hilberta jest liniową przestrzenią wektorową nad ciałem

liczb zespolonych. Pojęcie wektora jest znane z elementarnej matematyki.

Wektory, często reprezentowane jako strzałki na płaszczyźnie, można do

siebie dodawać, mnożyć przez liczbę, zdefiniowany jest również iloczyn

skalarny wektorów. Wiele wielkości fizycznych, takich jak prędkość,

przyspieszenie czy siła są właśnie wielkościami wektorowymi. Rozważ-

my na przykład wektor prędkości, oznaczany zwykle symbolem v

. Poda-

je on nam informację nie tylko o tym, jak szybko porusza się ciało, ale

także w jakim kierunku porusza się. Zmiana wektora prędkości może do-

tyczyć zarówno jego wartości, jak i kierunku. Jeśli na przykład ciało po-

rusza się ruchem jednostajnym po okręgu, to wartość prędkości nie ulega

zmianie, zmienia się natomiast kierunek prędkości, zatem ciało porusza

się ruchem przyspieszonym (występuje przyspieszenie dośrodkowe).

Niektóre wielkości fizyczne, takie jak na przykład czas, temperatura czy

energia są wielkościami skalarnymi, to znaczy ich wielkość wyrażana jest

za pomocą liczb rzeczywistych.

Wygodnie jest zastosować notację zastosowaną przez Paula Diraca, w

której wektory oznaczamy symbolem (czytaj „ket” – jest to cześć

angielskiego terminu oznaczającego nawias – ang. bracket). Symbol

„bra” (ang. bra) także ma swoją interpretację, o której powiemy w

dalszej części.

Przestrzeń liniowa V jest to zbiór ketów nazywanych wektorami, dla

których zdefiniowana jest suma wektorów oraz mnożenie wektora przez

skalar, przy czym spełnione są następujące warunki: jeżeli v i Vw ,

to:

28

1. Vwv , Vva . Mówimy, że przestrzeń V jest zamknięta

ze względu na dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez ska-

lar.

2. wavawva )( . Mnożenie wektora przez skalar jest roz-

dzielne względem dodawania wektorów.

3. vbvavba )( . Mnożenie wektora przez skalar jest roz-

dzielne względem dodawania skalarów.

4. vabvba )( . Mnożenie wektora przez skalar jest łączne.

5. vwwv . Dodawanie wektorów jest przemienne.

6. uvwuwv )()( . Dodawanie wektorów jest łącz-

ne.

7. vv 0 . Istnieje element zerowy 0 .

8. 0 vv . Do każdego wektora istnieje wektor przeciwny.

Zbiór liczb a, b,… nazywa się ciałem, nad którym określona jest prze-

strzeń liniowa. Jeśli zbiór ten jest zbiorem liczb rzeczywistych, to prze-

strzeń nazywa się liniową przestrzenią rzeczywistą, jeśli zbiór jest zbio-

rem liczb zespolonych, to przestrzeń nazywamy zespoloną przestrzenią

liniową.12

Ważnym pojęciem jest pojęcie niezależności liniowej. Zbiór wektorów

1 , 2 … n nazywa się niezależny liniowo, jeżeli równanie

01

n

i

i ia

_____________ 12

Polecam wyjątkowo klarowne wprowadzenie matematyczne do podstaw mechani-

ki kwantowej w: R. Shankar, Mechanika kwantowa, s. 22 n.

29

jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby ai są równe zero

(matematycy mówią: „w przypadku trywialnym”). W przeciwnym wy-

padku zbiór jest liniowo zależny.

Wymiarem n przestrzeni V nazywamy maksymalną liczbę wektorów

niezależnych liniowo. Zbiór n liniowo niezależnych wektorów przestrzeni

n-wymiarowej nazywamy bazą tej przestrzeni. Każdy wektor może być

więc przedstawiony w postaci:

n

i

i ivv1

,

gdzie wektory i są wektorami bazy, a współczynniki vi są składowymi

wektora w tej bazie. Jest to dokładnie taka sama sytuacja, jak w przypad-

ku „wektorów-strzałek”: każdy taki wektor v

możemy rozłożyć na skła-

dowe ),,( zyx vvv w kartezjańskim układzie współrzędnych (por. rys. …).

Zdefiniujemy jeszcze wielkość, zwaną iloczynem skalarnym wektorów.

Iloczyn skalarny wv jest liczbą spełniającą następujące warunki:

1. *

vwwv . Iloczyn skalarny jest symetryczny względem

sprzężenia zespolonego.

2. 0vv . Iloczyn skalarny jest nieujemny. 0vv wtedy i tylko

wtedy, gdy 0v .

3. uvbwvabuawvubwav )( . Iloczyn skalarny

jest liniowy względem ketów.

Jeżeli 0wv , to wektory te nazywamy ortogonalnymi.

Normą (długością) wektora nazywamy wyrażenie

vvv .

Przestrzeń liniową nad ciałem liczb zespolonych nazywamy przestrze-

nią Hilberta. (Dokonaliśmy tu pewnych uproszczeń, które jednak nie ma-

30

ją większego wpływu na zrozumienie fizycznej treści dalszej części roz-

ważań.)

Zbiór wektorów bazy, z których każdy ma normę (długość) jednost-

kową i które są parami ortogonalne nazywamy bazą ortonormalną.

Rozważmy dwa wektory przedstawione za pomocą składowych w ba-

zie i-tej i j-tej odpowiednio:

1i

i ivv ,

1j

j jww ,

wówczas iloczyn skalarny może być przedstawiony następująco:

i j

ji jiwvwv * .

Z każdej bazy, której wektory są liniowo niezależne można zbudować

bazę ortonormalną (twierdzenie Grama-Schmidta).13

Wektory bazy orto-

normalnej spełniają warunek:

ijji

jiji

dla 0

dla 1,

gdzie symbol ij nazywa się deltą Kroneckera.

Podkreślić należy, że obiektów przestrzeni Hilberta zwanych wekto-

rami nie należy utożsamiać z „wektorami-strzałkami” znanymi z elemen-

tarnej matematyki. Mogą to być zupełnie inne obiekty, takie jak na przy-

kład macierze.

_____________ 13

Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa, s. 28.

31

ELEMENTY RACHUNKU MACIERZOWEGO

Podamy tutaj podstawowe informacje na temat rachunku macierzowe-

go, między innym z tego względu, że jedna z wersji mechaniki kwanto-

wej (sformułowana w 1925 przez Wernera Heisenberga) oparta była wła-

śnie na rachunku macierzowym.

Macierzą nazywamy tablicę liczb złożoną z m wierszy i n kolumn:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

Element macierzowy m-tego wiersza i n-tej kolumny będziemy ozna-

czać symbolem mna . Macierze można mnożyć przez skalar, dodawać do

siebie i mnożyć przez siebie (pod pewnymi warunkami), zatem macierze

również tworzą strukturę zwaną przestrzenią liniową (i możemy je nazy-

wać ketami).

Mnożenie macierzy przez skalar polega na pomnożeniu przez skalar

każdego elementu macierzowego:

α

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

Dodawanie macierzy jest określone, gdy obydwie macierze mają ten

sam wymiar, to znaczy taką samą liczbę wierszy m i taką samą liczbę

kolumn n. Dodawanie macierzy polega na dodaniu elementu macierzo-

wego ija macierzy A do elementu macierzowego

ijb macierzy B:

32

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

+

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

...

............

...

...

21

22221

11211

=

mnmnmmmm

nn

nn

bababa

bababa

bababa

...

............

...

...

2211

2222222121

1112121111

Analogicznie przebiega odejmowanie macierzy (wystarczy zamienić

znak „+” na „–”.

Mnożenie macierzy jest zdefiniowane, gdy liczba kolumn pierwszej

macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy i przebiega według

następującego algorytmu:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

×

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

...

............

...

...

21

22221

11211

=

mnmnnmnmmmnmm

mnnnnmn

mnnnnmn

babababababa

babababababa

babababababa

.........

............

.........

.........

22111212111

22221211221221121

12121111121121111

Zauważmy, że mnożenie macierzy nie jest przemienne w odróżnieniu

na przykład od mnożenia skalarów (szerzej powiemy o tym przy omawia-

niu zasady nieoznaczoności Heisenberga).

33

Ponieważ każdy wektor (ket) jest jednoznacznie wyznaczony przez

składowe w pewnej bazie, możemy go przedstawić jako macierz jednoko-

lumnową:

nv

v

v

...

2

1

Wektorom wierszowym nwww ...21 można przyporządkować

obiekty w , zwane „bra”. Każdemu wektorowi kolumnowemu (czyli

ketowi) v można przyporządkować wektor bra v przez transpozycję

(kolumnę zamieniamy na wiersz) i sprzężenie zespolone. Otrzymujemy w

ten sposób dwie przestrzenie wektorowe: przestrzeń ketów i przestrzeń

bra (zwaną przestrzenią dualną). Każdemu ketowi odpowiada pewien bra

i na odwrót.14

Iloczyn skalarny wektorów to po prostu iloczyn macierzy

transponowanej względem wektora kolumnowego v ze sprzężeniem

zespolonym i wektora kolumnowego w , co zapisujemy następująco:

n

nnnn

n

n wvwvwv

w

w

vvwv **

1

*

1

1

**

1 ......]...[ .

Ważnym pojęciem jest pojęcie podprzestrzeni. Podprzestrzeń jest to

podzbiór elementów przestrzeni liniowej V, które stanowią przestrzeń

liniową. Na przykład dla wektorów na płaszczyźnie XY podprzestrzenią

jest zbiór wektorów równoległych do osi X i zbiór wektorów równole-

głych do osi Y.

_____________ 14

Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa, s. 29.

34

Sumę dwóch podprzestrzeni ji VV definiujemy jako zbiór zawierają-

cy wszystkie elementy pierwszej przestrzeni, wszystkie elementy drugiej

przestrzeni i wszystkie ich kombinacje liniowe.

OPERATORY

Na zakończenie tej części wstępu matematycznego omówimy jeszcze

pojęcie operatora. Operatorem działającym na przestrzeni liniowej V na-

zywamy odwzorowanie, które pewnemu wektorowi przyporządkowuje

inny wektor:

'vv .

Ponieważ działanie wielu operatorów (takich jak na przykład operator

pędu, czy hamiltonian) na wektor stanu polega na obliczaniu pochodnej,

podamy w tym miejscu podstawowe informacje na temat rachunku róż-

niczkowego, fundamentalnego narzędzia fizyki współczesnej, bez którego

trudno sobie wyobrazić nie tylko mechanikę kwantową, ale również całą

fizykę klasyczną, łącznie z teorią względności.

ELEMENTY RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO

Funkcja

Funkcją 𝑓: 𝑋 → 𝑌 nazywamy przyporządkowanie każdemu elemen-

towi zbioru X jednego i tylko jednego elementu zbioru Y. Zbiór X nazy-

wamy dziedziną, zbiór Y – przeciwdziedziną (zbiorem wartości) funkcji.

Sposób przyporządkowania określamy za pomocą odpowiedniego wyra-

żenia matematycznego. Na przykład funkcja 𝑦 = 2𝑥 + 1 jest to funkcja

liniowa: wartości funkcji otrzymujemy w ten sposób, że każdy x należący

do zbioru X (czyli do dziedziny funkcji, zwanej też zbiorem argumentów

funkcji) należy pomnożyć przez 2 i dodać do tego 1. Na płaszczyźnie

możemy przedstawić ilustrację geometryczną funkcji. Jeżeli na osi x za-

35

znaczymy zbiór argumentów funkcji, natomiast na osi y zbiór wartości

funkcji, to otrzymamy w ten sposób wykres funkcji. W naszym prostym

przypadku wykresem funkcji liniowej jest linia prosta, przecinająca oś X

w punkcie A o współrzędnych (𝑥 = −1

2, 𝑦 = 0) oraz B o współrzędnych

(𝑥 = 0, 𝑦 = 2). Łatwo się o tym przekonać, wstawiając do równania

𝑦 = 2𝑥 + 1 za x wartość 0 (otrzymujemy) y = 1 oraz wstawiając za y

wartość wynoszącą 0 (0 = 2𝑥 + 1), skąd otrzymujemy 𝑥 = −1

2. Ponie-

waż zgodnie z aksjomatami geometrii Euklidesa przez dwa punkty na

płaszczyźnie przechodzi jedna i tylko jedna prosta, otrzymujemy jedno-

znacznie określony wykres funkcji 𝑦 = 2𝑥 + 1.

Oczywiście funkcja liniowa to jedna z najprostszych funkcji, niektóre

są znacznie bardziej skomplikowane. W dalszej części przedstawimy

przykłady niektórych funkcji ważnych dla zrozumienia zjawiska ruchu.

Ryc.

Granica funkcji w punkcie

36

Funkcja 𝑦 = 𝑓(𝑥) ma granicę równą G w punkcie 𝑥 = 𝑎 wtedy i tylko

wtedy, jeżeli dla każdej dowolnie małej liczby 휀 > 0 istnieje taka liczba

𝛿 > 0, że jeżeli ⌊𝑥 − 𝑎⌋ < 𝛿 to ⌊𝑓(𝑥) − 𝐺⌋ < 휀. Zapisujemy to następują-

co: lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐺 (czytamy „limes przy x dążącym do a f (x) równa

się G”, od łac. „limes” – granica).

Jeżeli popatrzymy na wykres funkcji, to można zauważyć, że gdy x

zbliża się nieograniczenie do wartości a (niezależnie od tego, czy od stro-

ny wartości większych, czy też mniejszych), wówczas wartość f(x) zbliża

się nieograniczenie do wartości G. Występujący w definicji symbol ⌊𝑥⌋

nazywamy wartością bezwzględną (modułem) liczby x i definiujemy na-

stępująco:

⌊𝑥⌋ = 𝑥, 𝑔𝑑𝑦 𝑥 ≥ 0; −𝑥, 𝑔𝑑𝑦 𝑥 < 0.

Łatwo zauważyć, że wartość bezwzględna każdej liczby jest nieujem-

na.

Ryc.

37

Niekiedy mamy do czynienia z taką sytuacją, że musimy określić gra-

nicę funkcji, gdy x rośnie nieograniczenie (co zapisujemy symbolicznie

lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) (x dąży do nieskończoności). Na przykład wartość siły gra-

witacji w teorii Newtona jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu od-

ległości między przyciągającymi się ciałami (𝐹~1

𝑟2). Znaczy to, że jeżeli

ciała odsuniemy na odległość dwa razy większą, to będą się przyciągać

cztery razy słabiej, jeżeli odsuniemy je na odległość trzy razy większą, to

będą się przyciągać dziewięć razy słabiej itd., ale dla żadnej skończonej

odległości nie otrzymamy wartości równej zero. Wartość siły grawitacji

dąży do zera, gdy odległość między ciałami dąży do nieskończoności

(por. ryc.).

Ryc.

Granicę funkcji definiujemy w tym przypadku analogicznie: funkcja

𝑦 = 𝑓(𝑥) ma granicę równą G gdy 𝑥 = ∞ wtedy i tylko wtedy, jeżeli dla

każdej dowolnie małej liczby 휀 > 0 istnieje taka liczba 𝛿 > 0, że jeżeli

⌊𝑥 − 𝑎⌋ < 𝛿 to ⌊𝑓(𝑥) − 𝐺⌋ < 휀. Zapisujemy to następująco:

lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐺.

38

Ciągłość funkcji

Funkcja 𝑦 = 𝑓(𝑥) jest ciągła w punkcie 𝑥 = 𝑎 wtedy i tylko wtedy,

gdy posiada ona granicę w tym punkcie, posiada wartość w tym punkcie i

granica równa jest wartości: lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). Innymi słowy funkcja

𝑦 = 𝑓(𝑥) jest ciągła w punkcie 𝑥 = 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona

określona w tym punkcie i dla każdej dowolnie małej liczby 휀 > 0 istnie-

je taka liczba 𝛿 > 0, że jeżeli ⌊𝑥 − 𝑎⌋ < 𝛿 to ⌊𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)⌋ < 휀.

Druga zasada dynamiki Newtona ma postać równania różniczkowego.

Dlatego dla zrozumienia opisu ruchu w mechanice klasycznej niezbędne

jest wprowadzenie pojęcia pochodnej funkcji oraz różniczki (zdefiniowa-

ne one zostaną dla funkcji jednej zmiennej) oraz elementarne wiadomości

na temat równań różniczkowych. Podamy również geometryczną i fi-

zyczną interpretację pochodnej.

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Jeżeli funkcja 𝑦 = 𝑓(𝑥) jest ciągła w przedziale 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 oraz dla

pewnego punktu x w tym przedziale istnieje granica:

limΔ𝑥→0

Δ𝑦

Δ𝑥= lim

Δ𝑥→0

𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥)

Δ𝑥

to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w tym punkcie i oznaczamy

symbolem 𝑓′(𝑥) albo 𝑑𝑦

𝑑𝑥. Niekiedy możemy obliczyć pochodną pochod-

nej funkcji, co nazywamy drugą pochodną i zapisujemy 𝑓′′(𝑥) albo 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2.

Ogólnie możemy mówić o n-tej pochodnej funkcji.

Korzystając z definicji, można obliczyć pochodne różnych funkcji. W

zastosowaniach matematyki w fizyce często zamiast obliczać pochodne

funkcji z definicji, korzysta się ze znanych, obliczonych pochodnych.

Podamy kilka przykładów:

39

Interpretacja geometryczna pochodnej

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji w przedziale 𝑎 < 𝑥 < 𝑏.

Sieczna przecina wykres funkcji w punktach o współrzędnych (𝑥, 𝑓(𝑥))

oraz (𝑥 + Δ𝑥, 𝑓(𝑥 + Δ𝑥) pod kątem γ do osi x. Jeżeli przyrost wartości

argumentu Δx dąży do zera, wówczas sieczna przechodzi w styczną do

wykresu funkcji w punkcie x. Tangens nachylenia stycznej do wykresu

funkcji w punkcie x jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie

(tg𝛾 =Δ𝑦

Δ𝑥).

Ryc.

Interpretacja fizyczna pochodnej

40

Jeżeli jakaś funkcja wyraża zależność pewnej wielkości od czasu (co

zapisujemy: 𝑦 = 𝑓(𝑡)). Wówczas pochodna po czasie danej wielkości

fizycznej wyraża szybkość zmian tej wielkości. Jeżeli pochodna po czasie

funkcji jest równa 0, to znaczy, że wielkość ta nie zmienia się w czasie

(jest stała).

Różniczka

W fizyce często mamy do czynienia z wielkościami nieskończenie

małymi (infinitezymalnymi). Jeżeli przyrost pewnej wielkości dąży do

zera, to zamiast Δx piszemy dx i nazywamy to różniczką, co znaczy wła-

śnie, że mamy na myśli nieskończenie małą zmianę x. Różniczką funkcji

nazywamy iloczyn jej pochodnej przez różniczkę zmiennej niezależnej,

co zapisujemy następująco:

𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥.

Równanie różniczkowe

Równanie różniczkowe wyraża związek między funkcją 𝑦 = 𝑓(𝑥) , jej

pochodnymi i zmienną niezależną x:

𝐹(𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑥) = 0.

Jeżeli najwyższy rząd pochodnej funkcji y wynosi n, to równanie róż-

niczkowe nazywamy równaniem n-tego stopnia.

Oto przykłady prostych równań różniczkowych:

Wiele zagadnień w fizyce sprowadza się do rozwiązania odpowied-

nich równań. Rozważmy najpierw przypadek z elementarnej matematyki.

Rozwiążmy równanie 2𝑥 + 1 = 0. Rozwiązanie przebiega następująco:

41

2𝑥 + 1 = 0

2𝑥 = −1

𝑥 = −1

2

Również równania różniczkowe możemy rozwiązywać, chociaż zaję-

cie to jest nieco bardziej skomplikowane, niż rozwiązywanie prostych

równań z jedną niewiadomą. Rozwiązanie równań różniczkowych otrzy-

mujemy dzięki działaniu zwanym całkowaniem, dlatego potrzebna będzie

nam jeszcze definicja całki (nieoznaczonej).

Całka nieoznaczona

Całką nieoznaczoną funkcji 𝑓(𝑥) nazywamy funkcję 𝐹(𝑥), której po-

chodna jest równa funkcji 𝑓(𝑥) (oznaczamy symbolem ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

𝐹(𝑥) + 𝐶. Całkowanie jest zatem działaniem odwrotnym do różniczko-

wania i polega na poszukiwaniu funkcji 𝐹(𝑥), zwanej funkcją pierwotną.

Ponieważ pochodna dowolnej stałej C wynosi 0, to wszystkie funkcje

pierwotne funkcji 𝑓(𝑥) wyrażają się wzorem 𝐹(𝑥) + 𝐶.

Podobnie jak w przypadku pochodnych, wartości typowych całek zo-

stały obliczone i praktyce korzysta się z gotowych wzorów. Oto kilka

przykładów, które wykorzystamy w dalszym ciągu omawiania zagadnie-

nia ruchu:

∫ 𝑥𝑑𝑥 =1

2𝑥2 + 𝐶, ponieważ (

1

2𝑥2 + 𝐶)

′

= 21

2𝑥2−1 + 0 = 𝑥.

Podobnie:

∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =1

𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝐶,

∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶,

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶.

42

Całka oznaczona

Sumowanie a całkowanie

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Wartość całki oznaczonej równa jest polu powierzchni pod krzywą.

Oczywiście przedstawiony zarys formalizmu to jedynie wierzchołek

góry lodowej, jeśli chodzi o matematykę mechaniki kwantowej, ale resztę

pozostawmy fizykom – naszym zadaniem jest zrozumienie fizycznego

sensu teorii i jej implikacji filozoficznych, a nie uzyskanie biegłości w

rachunkach.

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ

Istnieją różne matematycznie równoważne sformułowania mechaniki

kwantowej. Z historycznego punktu widzenia interesujące jest, że mecha-

nika kwantowa powstała równocześnie Dla naszych potrzeb wybieramy

43

sformułowanie oparte na teorii przestrzeni Hilberta. Podstawowe zasady

mechaniki kwantowej można wówczas przedstawić w postaci czterech

postulatów (lub aksjomatów).

POSTULAT I: REPREZENTACJA STANU UKŁADU

Stan układu kwantowomechanicznego w pewnej chwili t jest reprezen-

towany przez unormowany do jedności wektor z zespolonej przestrzeni

Hilberta .

Wektor stanu nazywany jest również funkcją falową, co ma pewien hi-

storyczny związek z koncepcją fal materii de Broglie’a i odzwierciedla

falowy aspekt mikroobiektów. Pojęcie stanu układu jest oczywiście sto-

sowane również w mechanice klasycznej – stan układu mechanicznego w

pewnej chwili t wyznaczony jest przez pędy i położenia wszystkich ele-

mentów układu: p(t), r(t). Mówimy, ze mechanika klasyczna jest teorią

deterministyczną, to znaczy, że stan układu w pewnej chwili w sposób

jednoznaczny wyznacza stan układu w dowolnej chwili późniejszej. Jeżeli

znam stan układu w pewnej chwili i odpowiednie prawa, to – przynajm-

niej teoretycznie – mogę przewidywać przyszłe zachowanie układu (por.

koncepcję demona Laplace’a z rozdziału o mechanice klasycznej). Mo-

żemy powiedzieć, że zgodnie z mechaniką klasyczną świat ma tylko jed-

ną historię: to, co się dzieje teraz (na gruncie mechaniki klasycznej poję-

cie równoczesności ma charakter absolutny) determinuje przyszłe stany

Wszechświata. Zdarzenia muszą dziać się tak a nie inaczej, ponieważ te

same przyczyny w takich samych warunkach powodują takie same skutki.

Pojęcie „przypadku” w mechanice klasycznej odzwierciedla jedynie na-

szą niewiedzę.

Pojęcie stanu układu w mechanice kwantowej ma nieco bardziej abs-

trakcyjny charakter. Otóż pędy i położenia są wielkościami fizycznymi

bezpośrednio mierzalnymi (lub „obserwowalnymi”), natomiast wektor

stanu jest czysto abstrakcyjną wielkością zdefiniowaną w zespolonej

przestrzeni Hilberta. Nie reprezentuje on niczego, co można bezpośrednio

zaobserwować lub zmierzyć, ale znajomość wektora stanu pozwala na

44

obliczenie prawdopodobieństw rezultatów pomiarów różnych wielkości

fizycznych. Probabilistyczna interpretacja wektora stanu (funkcji falowej)

została sformułowana przez Maxa Borna (1926) i stanowi ona jeden z

fundamentów kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej Bohra i

Heisenberga (o interpretacjach mechaniki kwantowej będzie mowa w

dalszej części rozdziału). Zgodnie z interpretacją kopenhaską mechaniki

kwantowej wektor stanu zawiera wszystkie informacje o układzie i w

tym sensie może być utożsamiony z wiedzą, jaką można uzyskać o ukła-

dzie.

ZASADA SUPERPOZYCJI STANÓW

Zasada superpozycji stanów nie jest jakimś odrębnym aksjomatem, czy

też postulatem mechaniki kwantowej – jest ona po prostu konsekwencją

liniowości przestrzeni Hilberta, jednak odpowiedzialna jest za wiele wła-

sności mikroświata, które w ogóle nie mają analogii w świecie naszego

codziennego doświadczenia, dlatego też zasługuje na szczególną uwagę.

Najprościej rzecz ujmując, zasada superpozycji oznacza, że jeżeli układ

może się znaleźć w stanie opisanym wektorem stanu 1 i może się zna-

leźć w stanie opisanym funkcją falową 2 , to może się również znaleźć

w stanie opisanym dowolną kombinacją liniową tych stanów, co w naj-

prostszym przypadku możemy zapisać następująco:

2211 aa

gdzie a1, a2 oznaczają dowolne liczby zespolone, które nazywamy ampli-

tudami prawdopodobieństwa.

Co ten zapis właściwie oznacza, najłatwiej będzie zrozumieć odwołu-

jąc się do opisanego wyżej eksperymentu na dwóch szczelinach (por. rys.

…). Ze źródła Z wysyłamy pojedynczy elektron, który może dotrzeć do

45

ekranu dwiema różnymi drogami, przechodząc przez szczelinę S1 lub15

przez szczelinę S2. Myślenie oparte na schemacie pojęciowym mechaniki

klasycznej podpowiada nam, że niepodzielna cząstka, jaką jest elektron,

może przejść albo przez jedną szczelinę albo przez drugą. Wiemy jednak,

że taki sposób rozumowania jest z pewnością błędny, ponieważ uniemoż-

liwia wyjaśnienie faktu interferencji (czyli, mówiąc prościej: takiego a nie

innego rozkładu przestrzennego śladów elektronów na ekranie). Jeżeli

jakiekolwiek zjawisko kwantowe może zajść na dwa lub więcej sposo-

bów, to w celu jego poprawnego opisu, musimy uwzględnić wszystkie

możliwości. W przykładzie eksperymentu na dwóch szczelinach możemy

wprowadzić następujące oznaczenia: – elektron dociera do punktu P

na ekranie; 1 – elektron przechodzi przez szczelinę S1 i dociera do

punktu P na ekranie; 2 – elektron przechodzi przez szczelinę S2 i do-

ciera do punktu P na ekranie. Ze względu na symetrię układu, amplitudy

prawdopodobieństwa są równe i wynoszą 2

121 aa (wyrażenie z

pierwiastkiem pojawia się dlatego, że wektor stanu musi być unormowa-

ny do jedności – prawdopodobieństwo zdarzenia zachodzącego jakąkol-

wiek drogą musi wynosić jeden). Możemy zatem zapisać:

)(2

121

Zgodnie z interpretacją Borna, wektor stanu pozwala nam na oblicze-

nie prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pewnym elemencie prze-

_____________ 15

Terminu „lub” użyłem tutaj na oznaczenie alternatywy, a nie dyzjunkcji. Przypo-

mnijmy, że alternatywa zdań p lub q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy co naj-

mniej jedno ze zdań jest prawdziwe. Nie wyklucza to sytuacji, w której obydwa zdania

są prawdziwe. Wprawdzie jest to elementarny fakt z logiki, ale mówiąc o elektronach

przechodzących przez układ dwóch szczelin skłonni jesteśmy ujmować to zjawisko w

kategoriach dyzjunkcji właśnie (albo, albo), która jest prawdziwa wtedy, gdy tylko jedno

ze zdań jest prawdziwe. Nie jest to jednak poprawne podejście do opisu eksperymentu

interferencyjnego.

46

strzeni. Aby to zrobić, musimy, podobnie w przypadku opisu klasycznych

fal, obliczyć kwadrat modułu wektora stanu. Prawdopodobieństwo znale-

zienia elektronu w pewnym punkcie ekranu przy założeniu, że otwarte są

obydwie szczeliny wynosi: por Penrose 273

)2(2

1)(

2

121

2

2

2

1

2

21

2

P

Pierwsze dwa człony wyrażenia w nawiasie są proporcjonalne do

prawdopodobieństwa tego, że elektron przeszedł przez szczelinę S1 i trafił

w punkt P ekranu oraz prawdopodobieństwa tego, że elektron przeszedł

przez szczelinę S2 i trafił w punkt P ekranu, pojawia się natomiast dodat-

kowo pewien człon interferencyjny, właściwie niemożliwy do wyrażenia

w codziennym języku, co sprawia, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

nie jest równe sumie prawdopodobieństw (jeśli nie podejmujemy próby

określenia które z możliwych zdarzeń zaszło). W mechanice kwantowej

obowiązują różne od klasycznych sposoby obliczania prawdopodobień-

stwa: jeśli zdarzenie może zajść na wiele różnych sposobów, to musimy

najpierw dodać do siebie amplitudy prawdopodobieństwa dla każdej z

możliwości, a następnie podnieść je do kwadratu. Jeśli w doświadczeniu

możemy określić, która z alternatywnych możliwości się zrealizowała (w

naszym przykładzie: przez którą szczelinę przeszedł elektron), wówczas

prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw

(brak interferencji).16

O różnicy między klasycznym (Kołmogorowa) a

kwantowomechanicznym (von Neumanna) pojęciem prawdopodobień-

stwa powiemy jeszcze w dalszej części rozdziału.

Podsumujmy: jeśli jakieś zdarzenie może zajść na wiele alternatyw-

nych sposobów, to w celu jego poprawnego opisu musimy uwzględnić

wszystkie możliwości: dodajemy do siebie zespolone amplitudy prawdo-

podobieństwa i podnosimy do kwadratu otrzymując prawdopodobieństwo

zdarzenia. Powróćmy jeszcze raz do eksperymentu interferencyjnego:

wkłady od alternatywnych dróg elektronu (lub fotonu) mogą dodawać się

_____________ 16

Por. R. P. Feynman, Charakter…, s. 153.

47

(interferencja konstruktywna na ekranie), mogą się znosić (interferencja

destruktywna), ale również możemy tworzyć również kombinacje typu

„droga przez szczelinę S1” + i „droga przez szczelinę S2”,

gdzie 1i , które odpowiadają punktom na ekranie o średniej liczbie

elektronów (lub fotonów). W rzeczywistości możemy tworzyć takie kom-

binacje z dowolnymi liczbami zespolonymi.17

Nieco bardziej formalnie zasadę superpozycji możemy przedstawić na-

stępująco: każdy wektor stanu możemy przestawić jako kombinację

liniową wektorów bazy:

n

ni

ii

n

i

ii a1

gdzie 1

1

1

n

i

I jest tzw. operatorem jednostkowym, iia –

(zespolonymi) amplitudami prawdopodobieństwa. Amplituda prawdopo-

dobieństwa jest po prostu iloczynem skalarnym wektora stanu i wektora

bazy, czyli rzutem wektora stanu na wektor bazy. Działanie operatora

jednostkowego na wektor stanu nie zmienia tego wektora:

I .

POSTULAT II: REPREZENTACJA WIELKOŚCI FIZYCZNYCH

Wielkości fizyczne mierzalne, takie jak położenie cząstki, pęd, energia

czy spin nazywane są w mechanice kwantowej obserwablami.

Obserwable są reprezentowane przez operatory hermitowskie działa-

jące w zespolonej przestrzeni Hilberta.

_____________ 17

Por. R. Penrose, Nowy umysł…, s. 266.

48

Jak już była o tym mowa, operatorem działającym na przestrzeni li-

niowej V nazywamy odwzorowanie, które pewnemu wektorowi przypo-

rządkowuje inny wektor:

' .

Na przykład działanie operatora położenia xx ˆ (w najprostszym

przypadku tzw. zagadnienia jednowymiarowego, tzn. gdy rozważamy

ruch cząstki wzdłuż osi x) sprowadza się do pomnożenia wektora stanu

przez x; operator pędu dx

dip ˆ to obliczanie pochodnej po x (pomno-

żone przez odpowiedni współczynnik liczbowy); operator energii, zwany

hamiltonianem, zdefiniowany jest dla cząstki swobodnej o masie m nastę-

pująco: 2

22

2ˆ

dx

d

mH

(obliczanie drugiej pochodnej pomnożone przez

odpowiedni współczynnik liczbowy).

Jeżeli działanie operatora hermitowskiego na wektor stanu da-

je w rezultacie ten sam wektor stanu pomnożony przez pewną liczbę

rzeczywistą a, wówczas równanie:

a

nazywamy równaniem własnym operatora, wektor - wektorem wła-

snym, zaś a - wartością własną operatora. Operatory, zwane operatorami

hermitowskimi, charakteryzują się tym, że ich wartości własne wyrażane

są liczbami rzeczywistymi i mogą być interpretowane jako wyniki pomia-

rów wielkości fizycznych.

49

POSTULAT III: EWOLUCJA STANU UKŁADU KWANTOWEGO W CZASIE

Dynamikę układu kwantowomechanicznego opisuje (w przypadku nie-

relatywistycznym18

) równanie Schrödingera:

)()( tHtdt

di

,

gdzie 1i , 2

h jest zredukowaną stałą Plancka,

dt

doznacza róż-

niczkowanie po czasie,

H jest hamiltonianem układu, to znaczy operato-

rem odpowiadającym całkowitej energii układu.

Równanie Schrödingera pełni w mechanice kwantowej rolę analogicz-

ną do równania Newtona w mechanice klasycznej: jeżeli dany jest stan

układu w pewnej chwili to, to można w sposób jednoznaczny przewidzieć

stan układu w dowolnej chwili późniejszej. W tym znaczeniu równanie

Schrödingera jest równie deterministyczne, jak równanie Newtona. Inny-

mi słowy: równanie Schrödingera jest liniowym równaniem różniczko-

wym drugiego rzędu na wektor stanu, a równania takie mają jednoznacz-

ne rozwiązania. Istotna różnica między mechaniką klasyczną a mechaniką

kwantową polega jednak na tym, że wektor stanu nie reprezentuje żadnej

wielkości fizycznej mierzalnej, a może być powiązany z doświadczeniem

jedynie wówczas, gdy nastąpi pomiar jakiejś wielkości fizycznej. Forma-

lizm matematyczny mechaniki kwantowej pozwala na przewidywanie

prawdopodobieństwa rezultatu pomiaru i w tym sensie jest ona teorią in-

deterministyczną.

_____________ 18

W przypadku relatywistycznym, czyli uwzględniającym szczególną teorię względ-

ności Einsteina, jest to nieco inne równanie, zwane równaniem Diraca. Dla naszych

rozważań jednak różnica między relatywistyczną a nierelatywistyczną mechaniką kwan-

tową nie ma większego znaczenia.

50

POSTULAT IV: POSTULAT POMIARU

Dla układu znajdującego się w stanie prawdopodobieństwo uzy-

skania w rezultacie pomiaru wartości własnej ai odpowiadającej wekto-

rowi własnemu i operatora Ω wynosi:

2

)( iiaP .

Postulat pomiaru stanowi o fundamentalnej różnicy między mechaniką

klasyczną a mechanika kwantową, a także jest źródłem kontrowersji in-

terpretacyjnych wokół mechaniki kwantowej i dlatego wymaga szerszego

omówienia.

Sytuacja jest następująca: dopóki „nie obserwujemy” układu kwanto-

wego, to jego zmiany w czasie opisywane są ciągłym i deterministycz-

nym równaniem Schrödingera. Proces pomiaru jest natomiast opisany

przez radykalnie odmienną procedurę – nieciągłą i indeterministyczną

redukcję wektora stanu. Ponieważ można przewidzieć jedynie prawdopo-

dobieństwo rezultatu pomiaru, to mechanika kwantowa jest teorią inde-

terministyczną. Wprawdzie wektor stanu zmienia się w czasie zgodnie z

równaniem Schrödingera w sposób całkowicie deterministyczny, to jed-

nak wektor stanu jest na ogół superpozycją wszystkich wektorów wła-

snych odpowiadających mierzonej wielkości fizycznej, które reprezentują

wszystkie możliwe wyniki pomiarów. Możemy zatem powiedzieć, że de-

terministyczna ewolucja dotyczy możliwości, czy też potencjalności, na-

tomiast akt pomiaru powoduje aktualizację jednej z tych potencjalności.

Warto w tym miejscu podać geometryczną interpretację wektora stanu

i procesu pomiaru.

A

nie-A

B

nie-B

BP

AP

BAPP '

51

Rozważmy najprostszy przypadek dwuwymiarowej przestrzeni Hilber-

ta, którego bazę stanowią wektory własne 1 i 2 (por. rys. …).

Wektor stanu możemy rozłożyć na składowe w bazie 1 i 2 (prze-

biega to podobnie, jak rozkład wektora na składowe w zwykłej przestrze-

ni euklidesowej). Wykonaniu pomiaru wielkości fizycznej odpowiada

rzutowanie wektora stanu na podprzestrzeń przestrzeni Hilberta (to zna-

czy w tym przypadku na kierunki wyznaczone przez 1 albo 2 ).

Prawdopodobieństwo określonego rezultatu pomiaru jest równe kwadra-

towi rzutu wektora stanu na tę podprzestrzeń, czyli kwadratowi iloczynu

skalarnego: 2

)( iiaP , czyli po prostu kwadratowi zespolonej

amplitudy prawdopodobieństwa. Po wykonaniu pomiaru stan układu jest

reprezentowany przez i (ściślej rzecz biorąc ten nowy wektor stanu

należy podzielić przez jego długość, czyli unormować ponieważ rzut

wektora na dowolny kierunek ma mniejszą długość niż ten wektor, a wek-

tor stanu powinien być unormowany do jedności, ponieważ prawdopodo-

52

bieństwo otrzymania jakiegokolwiek wyniku musi być w sumie równe

jeden).

Operator

iiiP ˆ

nazywamy operatorem rzutowym. Procesy pomiarów różnych obserwabli

możemy zatem opisać za pomocą operatorów rzutowych, których działa-

nie na wektor stanu sprowadza się właśnie do ich rzutowania na od-

powiednią podprzestrzeń wektorów własnych. Prawdopodobieństwo

otrzymania określonej wartości mierzonej wielkości fizycznej jest równe

kwadratowi rzutu wektora stanu na wektor własny odpowiadający mie-

rzonej wielkości.

Powróćmy na chwilę do naszych eksperymentów – eksperymentu z

dwiema szczelinami i eksperymentu z opóźnionym wyborem. Mówili-

śmy, że w eksperymentach tych foton (czy elektron) porusza się „w pew-

nym sensie” po dwóch drogach równocześnie oraz wspominaliśmy, że

jest to uproszczenie. Otóż poprawniej należałoby powiedzieć w sposób

następujący (weźmy dla jasności eksperyment z opóźnionym wyborem):

po oddziaływaniu ze zwierciadłem półprzepuszczalnym BS to nie foton

ulega „rozszczepieniu”, lecz wektor stanu fotonu znajduje się w superpo-

zycji stanów odpowiadających drodze „górnej” i „dolnej”. Nie znaczy to

jednak, że foton porusza się z prawdopodobieństwem ½ po jednej drodze

i z prawdopodobieństwam ½ po drodze drugiej, ponieważ określone

prawdopodobieństwo dotyczy wyłącznie rezultatu pomiaru, a nie zacho-

wania fotonu pomiędzy pomiarami. Po wykonaniu pomiaru (w tym przy-

padku po określeniu, którą drogą porusza się foton) stan fotonu ulega re-

dukcji („urzeczywistnia się” jedna z dróg), przed pomiarem mamy do

czynienia z superpozycją dwóch stanów.

Zgodnie ze zdrowym rozsądkiem i myśleniem opartym na ideach fizy-

ki klasycznej, rzeczy istnieją i zachowują się tak a nie inaczej zupełnie

niezależnie od tego, czy są obserwowane czy też nie. Oczywiście, ludzie

często zachowują się inaczej, gdy wiedzą, że są obserwowani niż wów-

53

czas, gdy ich nikt nie podgląda. Jednak z pewnością (przynajmniej we-

dług fizyki klasycznej) Księżyc istnieje nawet wtedy, gdy nikt nie patrzy i

znajduje się w dobrze określonym stanie (czyli ma określone położenie i

prędkość, czy też pęd w każdej chwili czasu). Ale skąd elektrony czy fo-

tony „wiedzą”, że ktoś na nie „patrzy”? Dlaczego układ znajdujący się w

stanie superpozycji w rezultacie pomiaru nagle przeskakuje do określone-

go stanu? Czym pomiar w sensie mechaniki kwantowej różni się od in-

nych oddziaływań? Czy do wykonania pomiaru potrzebny jest świadomy

obserwator, czy też pomiar może być wykonany przez automat? Różne

odpowiedzi na tego typu pytania prowadzą do różnych interpretacji me-

chaniki kwantowej, o których będzie mowa w dalszej części.

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA

Zasada nieoznaczoności została sformułowana przez Wernera Heisen-

berga w 1927 roku.19

Najczęściej formułuje się ją następująco: nie można

jednocześnie z dowolną dokładnością zmierzyć położenia i pędu cząstki

elementarnej, albo – im dokładniej znamy położenie cząstki tym mniej

dokładnie znamy jej pęd i vice versa. W zasadzie jest to poprawne sfor-

mułowanie, ale wymaga pewnego komentarza i uściślenia.

Przede wszystkim zasada nieoznaczoności nie ma żadnego związku z

niedokładnością czy też z błędami popełnianymi podczas faktycznie wy-

konywanych pomiarów. Dotyczy ona bowiem również pomiarów ideal-

nych, to znaczy przeprowadzonych z maksymalną precyzją i nakłada nie-

przekraczalne ograniczenia na możliwość jednoczesnego pomiaru wielko-

ści sprzężonych.20

Jej treść wynika bezpośrednio z formalizmu mechaniki

kwantowej.

Komutatorem operatorów A i B nazywamy wielkość:

BAABBA , .

_____________ 19

W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinema-

tik und Mechanik, „Zeitschrift für Physik” 1927, Vol. 43, s. 172–198. 20

„Nieprzekraczalne” oczywiście z punktu widzenia mechaniki kwantowej.

54

Jeżeli 0, BA to mówimy, że operatory A i B komutują ze sobą. Po-

siadają one wówczas wspólną bazę wektorów własnych i obserwable re-

prezentowane przez te operatory mogą być zmierzone jednocześnie z do-

wolną dokładnością. Dla komutujących operatorów kolejność wykony-

wania pomiarów nie ma znaczenia – jeśli najpierw zmierzę wielkość re-

prezentowaną przez operator A, a następnie wielkość reprezentowaną prze

operator B, to otrzymam dokładnie taki sam wynik, jak gdybym przepro-

wadził pomiary w odwrotnej kolejności. Dla takich par wielkości fizycz-

nych nie istnieje zasadnicze ograniczenie na możliwość jednoczesnego

ich zmierzenia z dowolną dokładnością a kolejność pomiarów nie ma

żadnego znaczenia. Przykładem takiej pary wielkości może być pęd i

energia. Sytuacja jest pod tym względem zupełnie podobna do pomiaru w

mechanice klasycznej.

Jeżeli jednak komutator dwóch operatorów 0, BA , czyli operatory

te nie komutują ze sobą, to sytuacja jest zupełnie inna. Obserwable repre-

zentowane przez takie operatory nazywamy sprzężonymi i każda para

sprzężonych obserwabli spełnia relacje nieoznaczoności Heisenberga.

Oprócz pędu i położenia (a ściślej rzecz biorąc składowej pędu i odpo-

wiadającej jej składowej położenia) przykładami wielkości sprzężonych

są składowe spinu cząstki elementarnej oraz moment pędu i kąt. Istnieje

również relacja nieoznaczoności dla energii i czasu, ale ma nieco inny

status niż pozostałe, ponieważ czas nie jest reprezentowany w mechanice

kwantowej przez operator. Pary zmiennych sprzężonych nie można zmie-

rzyć jednocześnie z dowolną dokładnością, a ponadto dla takich zmien-

nych kolejność pomiarów ma istotne znacznie: jeśli najpierw zmierzę

wielkość reprezentowaną przez operator A, a następnie wielkość repre-

zentowaną prze operator B, to otrzymam zupełnie inny wynik, niż gdy-

bym przeprowadził pomiary w odwrotnej kolejności. Pomiar wielkości

fizycznej reprezentowanej przez operator A „zaburza”21

wielkość fizyczną

reprezentowaną przez operator B.

_____________ 21

Użyłem cudzysłowu, ponieważ o „zaburzeniu” można mówić tylko w kontekście

pewnych interpretacji mechaniki kwantowej, o czym będzie mowa w dalszej części

rozdziału.

55

Rozważmy prosty przypadek jednowymiarowy i komutator operato-

rów położenia i pędu (działanie operatora położenia x sprowadza się

wówczas do pomnożenia wektora stanu przez liczbę x, natomiast

działanie operatora pędu dx

dip ˆ polega na obliczeniu pochodnej po x

i pomnożeniu przez odpowiedni współczynnik liczbowy):

)]()([,ˆ,ˆ x

dx

di

dx

dix

dx

dixpx x

)(xdx

di

dx

dxi

dx

dxi

dx

dxi

dx

dxi i ,

22

stąd

ipxdx

dix x

ˆ,ˆ, .

Widzimy zatem, że komutator operatorów położenia i pędu nie jest

równy zeru czyli operatory te nie komutują ze sobą.

Dla pędu i położenia zasada nieoznaczoności może być zapisana na-

stępująco:

2

qp ,

_____________ 22

Wykorzystaliśmy wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji f i g:

dx

dgfg

dx

dfgf

dx

d )( .

56

gdzie p jest nieoznaczonością pędu, q – nieoznaczonością położenia

cząstki elementarnej.

Nieoznaczoność, o której tu mowa, nie jest jednak jakąś potocznie ro-

zumianą „niedokładnością”, czy „niepewnością”, ale ma precyzyjną defi-

nicję matematyczną – jest to średnie odchylenie kwadratowe. Dla dowol-

nego operatora Ω:

2 ,

gdzie

jest wartością oczekiwaną operatora.23

Nieco bardzie poglądowo zasadę nieoznaczoności można zilustrować

następująco: zgodnie z koncepcją de Broglie’a z każdą cząstką o pędzie p

jest związana fala o długości p

h . Pęd jest dobrze określony, gdy do-

brze jest określona długość fali – w skrajnym przypadku funkcja falowa

będzie sinusoidą rozciągającą się „od minus nieskończoności do plus

nieskończoności” i położenie cząstki będzie zupełnie nieokreślone. W

takim przypadku cząstka może znajdować się w dowolnym miejscu. Jeże-

li natomiast położenie cząstki jest określone, to funkcja falowa ma ostre

maksimum w miejscu, w którym prawdopodobieństwo znalezienia cząstki

(w rezultacie przeprowadzonego pomiaru) jest bliskie jedności. W takim

przypadku pęd cząstki jest całkowicie nieokreślony. W przypadkach po-

średnich cząstkę reprezentuje „paczka falowa”, dla której zarówno pęd

jak i położenie jest określone w granicach zgodnych z zasadą nieoznaczo-

ności Heisenberga.

_____________ 23

Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa…, s. 134.

57

Rys. Poglądowa interpretacja zasady nieoznaczoności Heisenberga dla pędu i położenia:

a) dobrze określone położenie, pęd nieokreślony; b) dobrze określony pęd, położenie

nieokreślone; c) pęd i położenie określone z dokładnością do relacji nieoznaczoności.

Powróćmy jeszcze do pomiarów. W odróżnieniu od spadających ja-

błek, poruszających się kul bilardowych, Księżyca okrążającego Ziemię i

innych przedmiotów makroskopowych, świat atomów i cząstek elemen-

tarnych jest i pozostanie na zawsze poza zakresem naszego bezpośrednie-

go doświadczenia zmysłowego. Dlatego w mechanice kwantowej pod-

stawowe znaczenie mają laboratoryjne procedury obserwacji i pomia-

rów.24

Oczywiście pomiary różnych wielkości fizycznych zawsze związa-

ne są z materialnym oddziaływaniem na badany układ. O układzie abso-

lutnie izolowanym nie można uzyskać żadnych informacji, dlatego inte-

rakcja przyrząd – obiekt jest niezbędna zarówno w dziedzinie klasycznej,

jak i kwantowej. Jednak zawsze dążymy do tego, aby wpływ, jaki wywie-

ramy na badane zjawisko, zminimalizować. Jeśli na przykład chcę zmie-

rzyć temperaturę jakiegoś ciała, to nie powinienem używać termometru,

który w istotny sposób wpłynie na temperaturę tego ciała.25

W fizyce kla-

sycznej przyjmowano, że oddziaływanie między przyrządem pomiaro-

wym a mierzonym obiektem może być ograniczone do minimum tak, że

_____________ 24

Por. D. C. Cassidy, Uncertainty…, .s 227. 25

Por. M. Planck

58

jest praktycznie zaniedbywalne. Przy takim założeniu pomiar ujawnia

cechę przedmiotu, jaką posiadał on przed pomiarem i całkowicie nieza-

leżnie od niego. Jeżeli na przykład chcę poznać położenie kuli bilardowej,

to muszę ją oświetlić – odbity foton trafia do mojego oka i pozwala na

lokalizację kuli. Rozsądne wydaje się założenie, że oddziaływanie mikro-

skopowego obiektu, jakim jest foton, z kulą bilardową zbudowaną z mi-

liardów miliardów atomów w najmniejszym stopniu nie ma wpływu na

jej tor ruchu. W takim przypadku obserwacja nie zaburza obserwowanego

układu. Rozważmy jednak jak przedstawiałaby się sytuacja, gdyby z ja-

kichś powodów jedynym sposobem poznania położenia kuli na stole bi-

lardowym było uderzenie w nią inną kulą bilardową. Wówczas na pod-

stawie analizy sposobu, w jaki odbiła się nasza kula bilardowa od tej, któ-

rej położenie chcieliśmy ustalić, można oczywiście określić położenie

obserwowanej kuli, ale oddziaływanie, jakie wprowadziliśmy powoduje

istotne zaburzenie badanego obiektu. Pod pewnymi względami jest do

sytuacja podobna do pomiaru w mechanice kwantowej.

Jeżeli chcę na przykład poznać położenie elektronu, to również należy

go oświetlić, kierując na elektron foton, który po oddziaływaniu z elek-

tronem zarejestrowany będzie przez jakiś detektor. Dokładność, z jaką

mogę określić położenie elektronu jest proporcjonalna do długości fali

fotonu. Rozmiary liniowe elektronu są rzędu 10-15

m, zatem chcąc go do-

kładnie zlokalizować muszę użyć światła o odpowiednio małej długości

fali – im mniejsza będzie długość fali fotonu, tym dokładniejsza będzie

lokalizacja elektronu. Zgodnie jednak ze wzorem Plancka energia fotonu

jest odwrotnie proporcjonalna do jego długości fali: /hchE , za-

tem im mniejsza jest długość fali fotonu, tym większa jest jego energia.

W chwili, gdy foton ulegnie rozproszeniu na elektronie, określone jest

położenie elektronu, ale następuje wówczas nieokreślone zaburzenie pędu

elektronu. Im dokładniej znamy położenie elektronu, tym mniej dokładnie

znany jest jego pęd i na odwrót.26

W odróżnieniu od sytuacji poznawczej

w mechanice klasycznej, w mechanice kwantowej ingerencji w przebieg

_____________ 26

W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinema-

tik and Mechanik, „Zeitschrift für Physik” 1927, Vol. 43, s. 174-175.

59

zjawiska nie można dowolnie minimalizować – każdemu procesowi po-

miaru towarzyszy nie dające się kontrolować zaburzenie układu.

Zasada nieoznaczoności ma istotne znaczenie dla sporu determinizm-

indeterminizm. Laplace, formułując dwoją koncepcję demona, który zna-

jąc prawa przyrody, działające siły i warunki początkowe mógłby przewi-

dzieć całą przyszłość Wszechświata w najdrobniejszych szczegółach

przyjmował, że warunki początkowe (pędy i położenia wszystkich ciał we

Wszechświecie) można ustalić, przynajmniej w teorii, z dowolnie małym

błędem. Z zasady nieoznaczoności wynika jednak, że nie można ustalić

(zmierzyć) pędu i położenia z dowolną dokładnością nawet dla jednej

cząstki elementarnej, takiej jak elektron. Jedną z fundamentalnych funkcji

nauki jest przewidywanie przyszłych zjawisk. Jeżeli mechanika klasyczna

stawiała sobie za ideał możliwość jednoznacznego przewidywania zja-

wisk (zarówno w skali kosmicznej, jak i atomowej), to możemy powie-

dzieć, że mechanika kwantowa ukazuje tu pewne granice poznania – wy-

daje się, należy odrzucić marzenie o deterministycznej przewidywalności

zjawisk, musimy się zadowolić jedynie możliwością przewidywania

prawdopodobieństw zjawisk i w tym znaczeniu mechanika kwantowa jest

indeterministyczna. (W praktyce możliwość jednoznacznego przewidy-

wania przyszłych zdarzeń nawet w mechanice klasycznej okazała się

możliwa jedynie w bardzo prostych sytuacjach).

Zasada nieoznaczoności prowadzi do ciekawych wniosków dotyczą-

cych wyobrażalności mikroświata. Ponieważ mikroobiektom nie można

jednocześnie przypisać ściśle określonego pędu i położenia, to nie przy-

sługują im klasycznie rozumiane trajektorie w czasoprzestrzeni. Ruch

mikroobiektów nie da się więc przedstawić w poglądowych kategoriach

fizyki klasycznej. W szczególności wyobrażenie atomu na podobieństwo

układu planetarnego z elektronami orbitującymi wokół jądra (często

przedstawiany symbol „wieku atomu”) jest całkowicie niezgodne z me-

chaniką kwantową. Sposób, w jaki poruszają się elektrony w atomie jest

dla nas całkowicie niewyobrażalny (podobnie zresztą jak sposób, w jaki

poruszają się elektrony przez układ szczelin w eksperymencie interferen-

cyjnym).

60

Zakres stosowalności mechaniki kwantowej nie ogranicza się wyłącz-

nie do mikroświata, ale ma charakter uniwersalny. Pojawia się zatem na-

turalne pytanie o to, dlaczego w makroświecie nie obserwujemy na przy-

kład interferujących kul bilardowych, a kule bilardowe czy nawet ziarnka

piasku poruszają się po dobrze określonych trajektoriach. Otóż relacje

nieoznaczoności obowiązują również dla przedmiotów makroskopowych,

ale ze względu na olbrzymie w porównaniu do mas cząstek elementar-

nych masy poruszających się ciał makroskopowych efekty wynikające z

zasady nieoznaczoności są całkowicie poza możliwością ich obserwacji

nawet za pomocą najbardziej dokładnej aparatury. Na przykład dla zia-

renka piasku o masie 1 g poruszającego się z prędkością 1 cm/s długość

fali jest rzędu 10-26

cm, zatem 10-13

razy mniejsza niż średnica protonu.27

Nieoznaczoność pędu i położenia są w takim wypadku zupełnie niemie-

rzalne. Z drugiej strony, gdyby udało się zlokalizować obiekt o rozmia-

rach liniowych rzędu 10-8

cm i gęstości 1g/cm3, to nieoznaczoność pręd-

kości wynosiłaby skmv /1 .

Zdaniem Heisenberga statystyczny charakter mechaniki kwantowej

jest jej cechą ostateczną i żadne przyszłe dokonania w dziedzinie fizyki

mikroświata nie pozwolą na przekroczenie ograniczeń związanych z za-

sadą nieoznaczoności. Indeterminizm mechaniki kwantowej wynika z

tego, że badamy mikroświat przy pomocy materialnych przyrządów po-

miarowych.28

Istnienie elementarnego kwantu działania sprawia, że od-

działywanie między przyrządem a obiektem z przyczyn czysto fizycznych

nie może być dowolnie zminimalizowane. Eddington napisał kiedyś, że

nie przypisujemy sobie wiedzy o świecie, jak gdyby go badano w jakiś

nadnaturalny sposób, bez użycia przyrządów pomiarowych wchodzących

w jego skład.29

Możliwe są dwie interpretacje zasady nieoznaczoności – epistemolo-

giczna i ontologiczna. Heisenberg skłaniał się do interpretacji epistemo-

logicznej. Pisał, że nasza wiedza o systemie jest zawsze niezupełna i dla-

_____________ 27

R. Shankar, Mechanika kwantowa, tłum. M. Łukaszewski, Wydawnictwo Nauko-

we PWN, Warszawa 2007, s. 120. 28

Por. D. C. Cassidy, Uncertainty…, s. 234-235. 29

Por. A. S. Eddington,

61

tego „prawa mechaniki kwantowej muszą mieć charakter statystyczny”.30

„Wiedza o położeniu cząstki jest komplementarna w stosunku do wiedzy

o jej prędkości (lub pędzie). Im większa jest dokładność pomiaru jednej z

tych wielkości, tym mniej dokładnie znamy drugą. Musimy jednak znać

obie, jeśli chcemy określić zachowanie się układu”.31

Przykładem interpretacji ontologicznej jest stanowisko Eddingtona –

pisał on, że taki obiekt, jak elektron z równocześnie określonym pędem i

położeniem po prostu w naturze nie istnieje.32

Warto w tym miejscu przytoczyć uwagę Feynmana odnośnie do „wiel-

kości nieobserwowalnych” w fizyce.33

Podkreśla on, że fakt, iż nie jeste-

śmy w stanie jednocześnie zmierzyć pędu i położenia z dowolną dokład-

nością, nie oznacza a priori, że nie możemy o nich mówić. Znaczy to

jedynie, że nie musimy o nich mówić. W szczególności zaś niemożliwość

jednoczesnego pomiaru z dowolną dokładnością pędu i położenia cząstki

elementarnej w mechanice kwantowej nie oznacza w żadnym wypadku,

że mechanika klasyczna jest błędna. Po prostu na gruncie mechaniki kla-

sycznej pojęcie cząstki z jednocześnie określonym pędem i położeniem

jest użyteczne, natomiast na gruncie mechaniki kwantowej nie jest uży-

teczne.

Równie doniosłe są filozoficzne konsekwencje zasady nieoznaczono-

ści dla energii i czasu:

2

tE .

Przede wszystkim ukazuje ona pewne ograniczenia jednej z najbar-

dziej podstawowych zasad w fizyce, a mianowicie zasady zachowania

_____________ 30

W. Heisenberg, The Physicist’s Conception of Nature…, s. 41. 31

W. Heisenberg, Fizyka a filozofia…, s. 31. 32

A. Eddington, …; por. A. Łukasik, „Selektywny subiektywizm” Arthura S. Edding-

tona, 33

R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics. Quantum Mechanics, s. 8. W

polskiej edycji Feynmana wykładów z fizyki pominięty został paragraf 2-6 Philosopical

implications.

62

energii – zgodnie z mechaniką kwantową jest ona spełniona jedynie w

granicach zasady nieoznaczoności.

Zasada nieoznaczoności dla energii i czasu ma też podstawowe zna-

czenie dla naszego rozumienia próżni. Zgodnie z klasycznym (Newto-

nowskim) obrazem świata pusta przestrzeń (próżnia) istnieje niezależnie

od ciał i jest bytem o czysto geometrycznych właściwościach. Pogląd ten

w znaczniej mierze przypomina wyobrażenia starożytnych atomistów,

zgodnie z którymi „naprawdę istnieją tylko atomy i próżnia”. W klasycz-

nym atomizmie mamy do czynienia z dualizmem materii i przestrzeni –

elementarne składniki materii i próżnia stanowią nieredukowalne do sie-

bie realności. W szczególności zaś elementarne składniki materii trakto-

wano jako obiekty absolutnie niezmienne i wieczne. Sądzono, że jeden

atom nie może przemienić się w inny atom, a tym bardziej w próżnię

(greccy atomiści nazywali ją „niebytem”). Tymczasem mechanika kwan-

towa zaciera dualizm materii i przestrzeni i przedstawia obraz próżni jako

dynamicznego ośrodka o bogatych właściwościach. Otóż w próżni zacho-

dzą procesy zwane fluktuacjami kwantowymi. Zgodnie z zasadą nieozna-

czoności Heisenberga dla energii i czasu w kwantowej próżni nieustannie

powstają cząstki, zwane cząstkami wirtualnymi, których energia wynosi

2mcE . Istnieją one jedynie przez czas 22mc

t

, a następnie znika-

ją. Im większa jest masa cząstki wirtualnej, tym krótszy jest jej czas ży-

cia. Cząstki wirtualne nie mogą być bezpośrednio zaobserwowane, powo-

dują jednak pewne obserwowalne efekty, takie jak efekt Casimira, zaob-

serwowany po raz pierwszy przez holenderskiego fizyka Hendrika B.G.

Casimira w roku 1948). Efekt ten polega na przyciąganiu się dwóch nie-

naładowanych elektrycznie płytek wykonanych z przewodnika, umiesz-

czonych w odległości d mniejszej niż 1 μm (10-6

m) od siebie. Zgodnie z

mechaniką kwantową, z każdą cząstką materii o pędzie p związana jest

fala o długości ph / (dotyczy to oczywiście również cząstek wirtual-

nych). Na zewnątrz płytek mogą powstawać cząstki wirtualne o dowol-

nych długościach fali, pomiędzy nimi natomiast jedynie takie, dla których

,...3/,2/, ddd (kolejne harmoniczne), ponieważ fale o innych długo-

63

ściach będą tłumione. Powoduje to powstanie różnicy ciśnień między

cząstkami wirtualnymi na zewnątrz płytek i pomiędzy nimi (ciśnienie na

zewnątrz jest większe), a w efekcie płytki będą się wzajemnie przyciągać.

Ponadto zgodnie z kwantową teorią pola każda cząstka elementarna

otoczona jest chmurą cząstek wirtualnych i bez tego wirtualnego otocze-

nia nie istnieje. Na przykład elektron, poruszając się w próżni, może wy-

emitować wirtualny foton, który następnie może spowodować kreację

pary elektron–pozyton. W pobliżu elektronu znajduje się więcej wirtual-

nych pozytonów niż wirtualnych elektronów, ponieważ dodatnie ładunki

wirtualnych pozytonów są przyciągane przez ładunek elektronu, nato-

miast ujemne ładunki wirtualnych elektronów są przez niego odpychane.

Z pewnej odległości ładunek elektronu wydaje się mniejszy niż ładunek

elektronu pozbawionego swego wirtualnego otoczenia; gdy zaś wnikamy

coraz głębiej w wirtualną otoczkę elektronu, wydaje się, że ładunek elek-

tronu wzrasta. Zjawisko to nosi nazwę polaryzacji próżni. Kwantowa

próżnia jest więc ośrodkiem, w którym bardzo wiele się dzieje – zachodzą

w niej nieustannie procesy kreacji i anihilacji cząstek.

KLASYCZNE A KWANTOWE POJĘCIE

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Mechanika kwantowa powstała w ciągu pierwszych trzech dekad XX

wieku. W tym samym czasie (w latach trzydziestych XX wieku) sformu-

łowano dwie różne teorie prawdopodobieństwa – klasyczną (Andriej

Kołmogorow) i kwantową (John von Neumann).

Zgodnie z klasyczną teorią prawdopodobieństwa zdarzenia losowe A,

B, C… są reprezentowane jako podzbiory zbioru zdarzeń elementarnych

Ω. Pojęcie zdarzenia losowego jest tu traktowane jako pojęcie pierwotne.

Jest to coś, co może zajść lub nie, coś co leży całkowicie poza możliwo-

ścią naszej kontroli. Typowymi przykładami zdarzeń losowych są wyrzu-

cenie określonej liczby oczek przy rzucie kostką czy też wylosowanie kul

z takimi a nie innymi numerami podczas gry w lotto.

64

Niech A, B i C oznaczają zdarzenia należące do zbioru zdarzeń ele-

mentarnych Ω. Wówczas operator negacji A oznacza dopełnienie zbioru

A, operator koniunkcji BA oznacza iloczyn podzbiorów A i B, nato-

miast operator alternatywy BA – sumę podzbiorów A i B.

Ponieważ zdarzenia są matematycznie reprezentowane jako zbiory, to

spełniają one aksjomaty algebry Boole’a:

1. ABBA

2. CBACBA )()(

3. ABBA )(

4. ABAA )(

5. )()()( CABACBA

Prawdopodobieństwo zdarzenia E jest funkcją określoną na zbiorze

zdarzeń elementarnych Ω o wartościach w przedziale [0, 1], spełniającą

następujące aksjomaty:

1. 0)( EP

2. Jeśli zdarzenia A, B, … wyłączają się wzajemnie, to prawdopodo-

bieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw:

...)()(...)( BPAPBAP

3. 1)( P

W kwantowej teorii prawdopodobieństwa zamiast zbioru zdarzeń ele-

mentarnych Ω mamy zespoloną przestrzeń Hilberta H. Zdarzenia są geo-

metrycznie reprezentowane przez podprzestrzenie przestrzeni Hilberta.

Podobnie jak w klasycznej teorii prawdopodobieństwa, jeśli Lx, Ly, Lz re-

prezentują trzy różne zdarzenia, to operator negacji Lx’ reprezentuje mak-

symalną podprzestrzeń ortogonalną do Lx, operator koniunkcji yx LL

reprezentuje przecięcie tych dwóch podprzestrzeni, natomiast operator

alternatywy yx LL reprezentuje podprzestrzeń rozpiętą nad Lx i Ly.

34

Kwantowa teoria prawdopodobieństwa implikuje różną od klasycznej

logikę (a także różną od logiki trójwartościowej), zwaną logiką kwanto-

_____________ 34

Por. J. Trueblood, J. R. Busemeyer, Quantum Information Processing Theory, s. 5.

65

wą. Spełnione są w niej wszystkie aksjomaty algebry Boole’a oprócz

prawa rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:35

)()()( zxyxzyx LLLLLLL .

Własność ta wynika z faktu, że operatory reprezentujące sprzężone ob-

serwable nie komutują ze sobą. Logika kwantowa odzwierciedla logiczne

własności operatorów rzutowania.

Specyfiką logiki kwantowej jest to, że alternatywa zdań może być

prawdziwa nawet wówczas, gdy żaden z członów alternatywy nie jest

prawdziwy: wektor stanu może należeć do podprzestrzeni yx LL

nawet wówczas, gdy nie należy on ani do xL ani do yL (por. rys. …).

Można to zilustrować następującym przykładem:36

załóżmy, że mamy

cząstkę o spinie połówkowym, taką jak elektron, dla której rzut spinu na

dowolny kierunek w przestrzeni może przyjmować tylko dwie wartości,

zwane umownie „w górę” i „w dół”. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności

_____________ 35

G. Birkhoff, J. von Neumann, The Logic of Quantum Mechanics, „Annals of Ma-

thematicss” 1936, Vol. 37, No. 4, p. 823-843, 830. 36

Por. M. L. Dalla Chiara, R. Giuntini, Quantum Logic, arxiv.org/pdf/quant-

ph0101028v2, 6 Jan 2004; A. Łukasik, Prawda, prawdopodobieństwo….

66

składowe x-owa i y-owa spinu są niewspółmierne ze sobą, to znaczy, jeże-

li określona jest składowa x-owa, to składowa y-owa nie ma określonej

wartości. Załóżmy, że elektron jest w stanie, w którym ma określony rzut

spinu na oś x „w górę”, co oznaczę (p) „spinx w górę”. Wówczas, zgodnie

z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, wartość logiczna zdań (q) „spiny

w górę” oraz (r) „spiny w dół” będzie całkowicie nieokreślona, natomiast

alternatywa ( rq ) „spiny w górę lub spiny w dół” musi być prawdziwa

(ponieważ rzut spinu na dowolną oś może przyjmować jedynie jedną z

dwóch wartości – „w górę” albo „w dół”).

Jest jeszcze jedna ważna różnica pomiędzy klasycznym a kwantowym

pojęciem prawdopodobieństwa. Klasyczne prawdopodobieństwo jest su-

biektywne w tym znaczeniu, że posługiwanie się pojęciem prawdopodo-

bieństwa wynika z faktu nieznajomości rzeczywistej sytuacji. Jeżeli mó-

wimy na przykład, że w eksperymencie na dwóch szczelinach klasyczna

cząstka z prawdopodobieństwem równym ½ przeszła przez określoną

szczelinę, to wyrażamy jedynie stan naszej wiedzy (czy też niewiedzy) o

rzeczywistym torze cząstki – niezależnie od tego, czy obserwujemy przez

którą szczelinę przeszła cząstka, czy też tego nie robimy, sądzimy, że w

rzeczywistości przeszła ona albo przez jedną szczeliną albo przez drugą

szczelinę. Dla cząstek kwantowych jednak tak nie jest: przed wykona-

niem pomiaru (polegającego na ustaleniu, przez którą szczelinę przecho-

dzi cząstka) określone są jedynie zespolone amplitudy prawdopodobień-

stwa, a prawdopodobieństwo dotyczy wyłącznie wyniku pomiaru (obser-

wacji) i związane jest w formalizmie matematycznym z rzutowaniem

wektora stanu na odpowiednią podprzestrzeń, czemu towarzyszy redukcja

wektora stanu – aktualizacja jednego z potencjalnych stanów układu.

Przed wykonaniem pomiaru i niezależnie od niego trajektoria cząstki jest

obiektywnie nieokreślona, ponieważ układ znajduje się w superpozycji

stanów (podobnie rzecz się przedstawia z innymi własnościami mikroob-

iektów, takimi na przykład jak spin czy polaryzacja).

PROBLEM POMIARU W MECHANICE KWANTOWEJ

67

KOT SCHRÖDINGERA

Osobliwe konsekwencje mechaniki kwantowej niepokoiły już jej twór-

ców. Erwin Schrödinger zaproponował w 1935 roku eksperyment myślo-

wy, który miał ukazywać, jak sądził, absurdalne konsekwencje do jakich

prowadzi kopenhaska interpretacja mechaniki kwantowej.37

Eksperyment

ten zwany jest współcześnie „paradoksem kota Schrödingera” i przebiega

następująco:

Rys. Kot Schrödingera.

W pudle o ściankach doskonale izolujących od otoczenia umieszczamy

kota, atom pierwiastka radioaktywnego, fiolkę z trucizną, detektor pro-

mieniowania oraz urządzenie, które uwalnia truciznę w momencie, gdy

detektor zarejestruje rozpad atomu. Niech prawdopodobieństwo rozpadu

atomu pierwiastka radioaktywnego w ciągu godziny wynosi ½. Jeżeli

atom się rozpadnie, detektor wychwytuje produkty rozpadu, uruchamia

urządzenie rozbijające fiolkę z trucizną, która zabija kota. Jeżeli atom się

nie rozpadnie, kot pozostaje żywy.

Zgodnie z mechaniką kwantową, jeżeli nie wykonujemy pomiaru,

atom znajduje się w superpozycji stanów „przed rozpadem” i „ po rozpa-

dzie”. Jeżeli wypiszemy funkcję falową dla układu złożonego z atomu i

kota, to musimy stwierdzić, że zanim wykonamy pomiar (np. zajrzymy do

_____________ 37

E. Schrödinger,

68

pudła) kot znajduje się w superpozycji stanów kota żywego i kota mar-

twego:

martwykot rozpadzie po atomżywykot rozpadem przed atom(2

1

Zgodnie z interpretacją kopenhaską, pomiar powoduje redukcję wekto-

ra stanu: jeżeli zajrzymy do pudła, to zaobserwujemy kota żywego albo

kota martwego z prawdopodobieństwem ½. Przed wykonaniem pomiaru

kot nie znajduje się jednak w dobrze określonym stanie (którego my po

prostu nie znamy), a znajduje się w stanie superpozycji, którą Schrödinger

opisał jako „obejmującą żywego i martwego kota zmieszanego i rozsma-

rowanego w równych częściach”.

Jeżeli już jesteśmy w stanie zaakceptować fakt, że elektrony czy foto-

ny mogą znajdować się w osobliwym stanie superpozycji, to w przypadku

takiego obiektu, jak kot, przewidywania interpretacji kopenhaskiej wyda-

ją się dość osobliwe. Mikroobiekty nie są i nigdy nie będą przedmiotem

naszego bezpośredniego doświadczenia, natomiast superpozycja stanów

obiektów makroskopowych wydaje się absurdalna. Wydaje się nam

oczywiste, że kot w pudle jest albo żywy albo martwy, a nie w osobli-

wym „zawieszeniu” między życiem a śmiercią. Co więcej, pojawia się

pytanie o to, czym pomiar w sensie mechaniki kwantowej różni się od

innych oddziaływań. Czy do przeprowadzenia pomiaru potrzebny jest

świadomy obserwator?

PRZYJACIEL WIGNERA

DOŚWIADCZENIE Z BOMBĄ

69

KWANTOWE SPLĄTANIE

Kwantowe splątanie (entanglement) to jeden z najbardziej zaskakują-

cych rezultatów mechaniki kwantowej. Pojawia się ono między obiektami,

które oddziaływały ze sobą w sposób opisany przez mechanikę kwantową a

następnie zostały rozdzielone. Pomimo tego, że może je dzielić dowolnie

duża odległość przestrzenna, stany cząstek pozostają ze sobą skorelowane

tak, że pomiar wykonany na jednej z nich ustala stan drugiej i to bez żad-

nego oddziaływania. W stanie splątanym dwóch lub większej liczby obiek-

tów stan całego układu jest dobrze określony, natomiast stan poszczególnej

cząstki w ogóle nie jest określony i wynik pomiaru własności pojedynczej

cząstki daje zupełnie przypadkową wartość. Na przykład dla tzw. stanu

singletowego dwóch fotonów wiadomo, że jeżeli zmierzyć ich polaryzację

za pomocą dwóch identycznie ustawionych w przestrzeni i dowolnie odle-

głych polaryzatorów, to zawsze otrzymamy polaryzacje przeciwne. Jednak

wynik pomiaru polaryzacji każdego z tych fotonów jest zupełnie przypad-

kowy i nieprzewidywalny.

Obiekty znajdujące się w stanie splątanym tworzą jedną spójną całość

niezależnie od tego, jak daleko są od siebie oddalone. Pewne ich własności

pozostają skorelowane ze sobą w sposób wykraczający poza zwykłe od-

działywania w czasoprzestrzeni. Kwantowe splątanie nie ogranicza się wy-

łącznie do pojedynczych mikroobiektów – współcześnie fizycy wykonali

wiele eksperymentów, pokazujących, że stany splątane występują również

w sferze makroskopowej.38

Zakres stosowalności mechaniki kwantowej nie

ogranicza się więc do świata atomów i cząstek elementarnych, ale wszyst-

ko wskazuje na to, że ma zasięg uniwersalny. Jej prawa dotyczą również

roślin, zwierząt i ludzi.

_____________ 38

Por. V. Verdal, Ptaki Schrödingera, „Świat Nauki” 2011, nr 7, s. 26-31.

70

PARADOKS EPR

Einstein, chociaż sam w znaczący sposób przyczynił się do powstania

mechaniki kwantowej, do końca życia nie mógł się pogodzić z jej „dziw-

nymi” rezultatami. „Mechanika kwantowa – pisał w liście do Maxa Borna

− robi imponujące wrażenie […] ale jestem przekonany, że Bóg nie gra w

kości”.39

Einstein niemal przez 30 lat prowadził z Bohrem dyskusję na

temat podstaw mechaniki kwantowej i przedstawiał coraz to nowe ekspe-

rymenty myślowe mające dowodzić niekompletności mechaniki kwanto-

wej w jej kopenhaskiej interpretacji. Twierdzenie, że „Bóg nie gra w ko-

ści” stanowi oczywiście wyraz przekonania Einsteina, że fundamentalna

teoria mikroświata nie może mieć charakteru probabilistycznego. Spór

Einsteina z Bohrem nie dotyczył jednak wyłącznie kwestii determinizmu,

ale również problemu realizmu i statusu teorii fizycznych.

Einstein był realistą i podkreślał, że wiara w istnienie obiektywnego

świata niezależnego od świadomości podmiotu poznającego i jakichkol-

wiek teorii jest podstawowym założeniem wszelkich badań naukowych.40

Pisał, że „[w]szelkie poważne rozważanie teorii fizycznej musi brać pod

uwagę rozróżnienie pomiędzy obiektywną rzeczywistością, niezależną od

wszelkiej teorii, a pojęciami fizycznymi, którymi operuje ta teoria. Poję-

cia te są pomyślane tak, aby odpowiadały obiektywnej rzeczywistości

fizycznej i za pomocą tych pojęć przedstawiamy sobie tę rzeczywi-

stość”.41

Innymi słowy: celem teorii naukowych, w tym oczywiście i me-

chaniki kwantowej, jest opis świata takiego, jaki by on był nawet wów-

czas, gdyby nas (obserwatorów) nie było.

Bohr miał odmienny pogląd na status teorii naukowych. Twierdził, że

celem nauki nie jest dociekanie „realnej istoty zjawisk” (the real esence),

_____________ 39

[Born, Einstein, 1971, s. 91] 40

Por. A. Einstein, L. Infeld, Ewolucja fizyki. Rozwój poglądów od najdawniejszych

pojęć do teorii względności i kwantów, tłum. R. Gajewski, PWN, Warszawa 1962, s. 260. 41

A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Czy opis kwantowomechaniczny…, s. 117–

118.

71

ale „ustanowienie ilościowych zależności między wynikami pomiarów”.42

W sporze o status poznawczy teorii naukowych często stanowisko Ein-

steina podaje się jako typowy przykład realizmu naukowego, natomiast

stanowisko Bohra jako przykład antyrealizmu (instrumentalizmu).43

W 1935 Einstein zaproponował wspólnie z Borysem Podolskym i Na-

thanem Rosenem44

sławny eksperyment myślowy (zwany również „para-

doksem EPR”), który w zamierzeniu autorów miał dowodzić niekomplet-

ności mechaniki kwantowej. Według EPR każda cząstka ma jednocześnie

dobrze określony pęd i położenie, ale mechanika kwantowa nie jest w

stanie tego faktu opisać, dlatego też nie jest teorią kompletną. Ekspery-

ment myślowy został dopiero po pół wieku zrealizowany w rzeczywi-

stych doświadczeniach Aspecta i − całkowicie wbrew oczekiwaniom Ein-

steina − jego rezultaty okazały się zgodne z przewidywaniami mechaniki

kwantowej, niezgodne natomiast z założeniami lokalności i realizmu.

Podstawową rolę w argumentacji Einsteina odgrywa przyjęte kryterium

realności fizycznej:45

„Jeżeli, nie zakłócając układu w żaden sposób, mo-

żemy w sposób pewny (tzn. z prawdopodobieństwem równym jedności)

przewidzieć wartość jakiejś wielkości fizycznej, to istnieje element rze-

czywistości fizycznej odpowiadający tej wielkości fizycznej”.46

Zgodnie z mechaniką kwantową, jeżeli dwie obserwable reprezentowa-

ne są przez niekomutujące operatory, to pomiar jednej z nich wyklucza

równoczesny pomiar drugiej. Gdy ustalono w pomiarze wartość pierwszej

wielkości, to wszelka próba eksperymentalnego wyznaczenia drugiej wiel-

kości zaburza stan układu tak, że niszczy wiedzę o pierwszej. Jednak czym

innym jest twierdzenie, że pomiar drugiej wielkości zaburza stan układu

_____________ 42

N. Bohr, Atomic Theory and the Description of Nature, Cambridge University

Press, Cambridge 1934, p. 118. 43

Por. 44

A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of

Physical Reality by Considered Complete?, „Physical Review” 1935, Vol. 47, s. 777–

780; tłum. polskie: Czy opis kwantowomechaniczny rzeczywistości fizycznej można

uznać za zupełny?, [w:] S. Butryn (red.), Albert Einstein…, s. 117–123. 45

Por. R. I. G. Hughes, The Structure and Interpretation of Quantum Mechanics,

Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts and London, England 1994, s. 158. 46

A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Czy opis kwantowomechaniczny…, s. 118.

72

tak, że tracimy informację o pierwszej wielkości, a czym innym twierdze-

nie, że obydwie te wielkości nie są równocześnie określone. Zdaniem Ein-

steina w pewnych przypadkach można przewidzieć zarówno położenie, jak

i pęd cząstki bez zakłócania stanu układu, zatem wielkości te należy uznać

za jednocześnie realne. Ponieważ, zgodnie z mechaniką kwantową, nie

można zmierzyć jednocześnie wielkości komplementarnych dla jednej

cząstki, Einstein rozważa układ dwóch cząstek, które oddziaływały ze sobą

− a zatem są opisane przez wspólny wektor stanu i pokazuje, że dokonując

pomiaru na układzie I, można przewidzieć w sposób pewny stan układu II

bez jego zakłócania, a zatem − zakładając przytoczone wyżej kryterium

realności − należy uznać, że wielkości te są realne. Einstein wnosi stąd, że

mechanika kwantowa nie jest teorią kompletną, czyli że nie opisuje

wszystkich aspektów rzeczywistości fizycznej, chyba że przyjmiemy, iż

stan układu II zależy od procesu pomiaru przeprowadzonego na odległym

od niego przestrzennie układzie I, co w żaden sposób nie zakłóca stanu

układu II. „Nie można oczekiwać − twierdzi jednak Einstein − by jaka-

kolwiek rozsądna definicja rzeczywistości na to pozwalała”.47

Einstein

zakładał, że teorie fizyczne muszą się wiązać z założeniem, że poszcze-

gólne rzeczy istnieją całkowicie niezależnie od siebie „o ile «leżą w róż-

nych częściach przestrzeni». Bez przyjęcia takiej wzajemnej niezależno-

ści egzystencji […] rzeczy odległych przestrzennie, wypływającego prze-

de wszystkim z myślenia potocznego, myślenie fizyczne w znanym nam

sensie byłoby niemożliwe”.48

Dla dalszych rozważań wygodnie będzie przedstawić paradoks EPR w

postaci zmodyfikowanej przez Bohma, dotyczącej pomiaru spinu. Roz-

ważmy układ o zerowym spinie całkowitym złożony z dwóch cząstek I i II

o spinie ½ każda, który rozpadł się w sposób niepowodujący zmiany spi-

nu. Załóżmy, że cząstki te poruszają się w przeciwnych kierunkach. Zgod-

nie z mechaniką kwantową, jedna funkcja falowa opisuje stan układu

również po rozpadzie i całkowity spin układu wynosi zero również wów-

_____________ 47

Ibidem, s. 122. 48

A. Einstein, Mechanika kwantowa a rzeczywistość, [w:] S. Butryn (red.), Albert

Einstein…, s. 163).

73

czas, gdy cząstki oddalą się na znaczącą odległość i przestaną ze sobą od-

działywać.49

Stan układu złożonego z dwóch cząstek, których całkowity

spin wynosi zero , możemy zapisać jako liniową superpozycję: spin pierw-

szej cząstki jest skierowany do góry 1, a spin drugiej w dół 2 oraz

spin pierwszej cząstki jest skierowany w dół 1, a drugiej do góry 2 :

)(2

12121

Stany takie nazywamy stanami splątanymi (entanglement). Wektor sta-

nu układu nie może być zapisany jako iloczyn wektorów stanów podukła-

dów. Kwantowe splątanie dotyczy dwóch lub większej liczby obiektów i

stany splątane należy odróżnić od superpozycji stanów, która odnosi się do

jednego obiektu.

Jeżeli wykonamy pomiar rzutu spinu cząstki I, to możemy w ten sposób

z całkowitą pewnością i to bez żadnego oddziaływania przewidzieć rzut

spinu cząstki II na tę samą oś – ponieważ w doświadczeniu spin jest za-

chowany, czyli całkowity spin układu wynosi zero, to spin drugiej cząstki

jest zawsze skierowany przeciwnie. Jeżeli na przykład w rezultacie pomia-

ru dokonanego na cząstce pierwszej otrzymamy „spin w górę”, to wektor

stanu układu redukuje się do składowej 1 2 , co znaczy, że spin dru-

giej cząstki skierowany jest „w dół” na ten sam kierunek w przestrzeni.

Zauważmy, że kierunek w przestrzeni możemy wybrać dowolnie – jeśli

otrzymamy określoną wartość rzutu spinu cząstki I, to wiemy z całkowitą

pewnością, jaki jest kierunek rzutu spinu cząstki II na ten sam kierunek w

przestrzeni. Wydaje się zatem, że wartość spinu spełnia przyjęte przez

Einsteina kryterium realności fizycznej.

Spin jest to wewnętrzny moment pędu cząstki elementarnej. Jednak jest

to typowo kwantowa wielkość i analogia do klasycznego momentu pędu

jest dość ograniczona. Klasyczny momentu pędu zachowuje stały kierunek

_____________ 49

Por. D. Bohm, Ukryty porządek, s. 85.

74

w przestrzeni i posiada dobrze określone wszystkie trzy składowe prze-

strzenne. Zatem pomiar na układzie I pozwala z całkowitą pewnością okre-

ślić stan układu II. Po prostu przed pomiarem wektor momentu pędu każdej

z dwóch cząstek jest skierowany w określonym kierunku przestrzeni i po-

miar ujawnia wartość wielkości fizycznej, jaką była przed pomiarem i nie-

zależnie od niego. Jednak zgodnie z mechaniką kwantową, operatory skła-

dowych spinu nie komutują ze sobą, co znaczy, że gdy jedna składowa jest

określona (tzn. w wyniku pomiaru otrzymamy określoną jej wartość), dwie

pozostałe są nieokreślone (a nie tylko niemożliwe do zmierzenia) i mogą

losowo fluktuować.

Rozważmy następujący przykład: załóżmy, że przez urządzenie mierzą-

ce spin kierujemy strumień elektronów (por. rys. …). Wykonujemy pomiar

rzutu spinu elektronów na pewien kierunek w przestrzeni. Z prawdopodo-

bieństwem równym ½ otrzymujemy „spin w górę” albo „spin w dół”. Jeżeli

teraz ze strumienia cząstek wyeliminujemy te, których składowa spinu

względem osi z była skierowana „w dół” i wykonamy ponowny pomiar

ustawienia spinu względem tego samego kierunku w przestrzeni, to z pew-

nością uzyskujemy rezultat „w górę” dla wszystkich cząstek (ponowne

działanie tego samego operatora rzutowego nie zmienia stanu obiektu).

Jeżeli jednak pomiędzy pomiarami składowej spinu elektronów w kierunku

z wykonujemy pomiar względem jakiejś innej orientacji przestrzennej, po-

wiedzmy x, to sytuacja ulega zmianie. Podobnie jak dla osi z również w

połowie przypadków otrzymamy ustawienie spinu „w górę”, a w połowie

przypadków ustawienie „w dół”. Jeżeli jednak teraz wykonamy ponownie

pomiar rzutu spinu elektronów w kierunku z dla cząstek, które przed prze-

prowadzeniem pomiaru rzutu spinu w kierunku x wszystkie miały spin

ustawiony „w górę” w kierunku osi z, to okazuje się, że jedynie w połowie

przypadków otrzymujemy ustawienie „spin w górę”, a w połowie przypad-

ków − „spin w dół”. Gdyby wszystkie składowe spinu elektronu były do-

brze określone i zachowywały stały kierunek w przestrzeni (jak klasyczny

moment pędu), wówczas przy powtórnym pomiarze rzutu spinu na oś z

powinniśmy otrzymać wyłącznie rezultat „spin w górę”. Takie rezultaty

eksperymentów wydają się świadczyć na rzecz tezy, że pomiar w mechani-

75

ce kwantowej raczej kreuje wartość mierzonej wielkości fizycznej niż

ujawnia jej wartość niezależną od pomiaru.

Rozważmy pewien eksperyment myślowy ilustrujący makroskopowy

przykład takiego zachowania. Eksperymentu takiego oczywiście nikt nie

wykonał, ale jego analiza pozwoli na zrozumienie osobliwości zachowania

obiektów kwantowych. Powiedzmy, że w urnie mamy kule białe i czarne, a

ponadto kule są ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi. Wycią-

gamy losowo kulę: jeżeli jest czarna, to umieszczamy ją w drugiej urnie,

jeśli biała – odkładamy na bok. Wykonujemy zatem „pomiar” dotyczący

koloru kuli – możemy otrzymać jeden z dwóch wyników: „biała” albo

„czarna”. Następnie z drugiej urny losujemy kulę i przeprowadzamy po-

nownie „pomiar” koloru: biała czy czarna? Ponieważ uprzednio odłożyli-

śmy na bok wszystkie kule białe, to w urnie znajdują się wyłącznie kule

czarne i z całkowitą pewnością zawsze wylosujemy kulę czarną. Używając

języka mechaniki kwantowej możemy powiedzieć, że po wykonaniu po-

miaru wszystkie kule znajdują się w „stanie własnym koloru”, czyli w tak

zwanym stanie czystym. Powiedzmy teraz, że zamiast sprawdzać, kolor

kuli (co byłoby zadaniem dość nudnym, ponieważ wszystkie kule w drugiej

urnie są oczywiście czarne), losujemy kule i wykonujemy „pomiar” spraw-

dzając, czy kula ma numer parzysty, czy nieparzysty. Kule o numerach

nieparzystych odkładamy na bok, natomiast kule o numerach parzystych

umieszczamy w trzeciej urnie. Teraz ponownie losujemy kule z trzeciej

urny i sprawdzamy, czy są białe czy czarne. Gdybyśmy przeprowadzali

doświadczenie z rzeczywistymi kulami, to zachowywałyby się one tak jak

zwykłe przedmioty makroskopowe: kula jest biała albo czarna i ma numer

parzysty albo nieparzysty niezależnie od tego, czy ktoś sprawdza, czy nie

(powiedzielibyśmy, że określony kolor czy też numer jest obiektywną wła-

snością kuli). Ponieważ w pierwszym losowaniu odłożyliśmy na bok

wszystkie kule białe, a w drugim losowaniu wyeliminowaliśmy wszystkie

kule o numerach nieparzystych, to w trzeciej urnie powinny został wyłącz-

nie kule czarne z parzystymi numerami. Jednak gdyby kule zachowywały

się w sposób kwantowomechaniczny, to – podobnie jak podczas pierwsze-

go „pomiaru” – z prawdopodobieństwem ½ wylosowalibyśmy… kulę białą

pomimo tego, że w pierwszym losowaniu odrzuciliśmy wszystkie kule bia-

76

łe. Wygląda to tak, jakby kula „stawała się” biała albo czarna (lub nosiła

numer parzysty albo nieparzysty) dopiero w rezultacie losowania, a nie

przed losowaniem i niezależnie od niego.

Powróćmy do pomiaru spinu: kierunek przestrzenny, na który zostanie

dokonany pomiar spinu w układzie I, może być wybrany bezpośrednio

przed dokonaniem pomiaru (na przykład w sposób losowy), co uniemożli-

wia jakiekolwiek oddziaływanie fizyczne układu I z odległym układem II,

czyli przekazanie informacji o tym, w jakim kierunku będzie mierzony spin

w układzie I. Pomimo tego kierunki spinów cząstek w odległych obszarach

przestrzeni pozostają ze sobą ściśle skorelowane – jeżeli cząstka I w wyni-

ku pomiaru uzyska spin „w górę”, to stan cząstki II redukuje się do stanu

spin „w dół”. Einstein nazwał to „upiornym działaniem na odległość” (spo-

oky action at a distance).

NIERÓWNOŚĆ BELLA

W 1964 roku John Stewart Bell (1928–1990) udowodnił nierówność

dotyczącą korelacji spinowych, która powinna być spełniona, gdyby słusz-

ny był wniosek Einsteina, że mechanika kwantowa nie jest teorią komplet-

ną.50

Twierdzenie Bella nie jest związane z jakąś konkretną własnością

cząstek, jak na przykład spin, ale ma znaczenie całkiem ogólnie i „w zasa-

dzie nie zależy od wyboru cząstek ani charakteru łączących je oddziały-

wań; dotyczy ono logicznych reguł, jakie obowiązują w każdym procesie

pomiaru”.51

Taką regułą jest na przykład stwierdzenie, że liczba rudych

mieszkańców Polski nie może być większa niż liczba rudych mężczyzn

plus liczba wszystkich kobiet bez względu na kolor włosów.52

Wyprowadzenie nierówności Bella oparte jest na dwóch założeniach,

określanych jako realizm (lub założenie obiektywnej rzeczywistości) oraz

lokalność (separowalność). Są one rozumiane następująco:

_____________ 50

Por. J. S. Bell, On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, „Physics” 1964, t. 1, s.

195–200, [w:] http://www.drchinese.com/David/Bell_Compact.pdf. 51

J. Gribbin, W poszukiwaniu…, s. 204. 52

Pomijam tu jako całkowicie nieistotne dla omawianego tematu kwestie związane z

gender.

77

1. Realizm – obiekty kwantowe mają jednocześnie określone wszyst-

kie wartości parametrów dynamicznych całkowicie niezależnie od

dokonywanych pomiarów (nawet gdy pomiar w mechanice kwan-

towej nie pozwala na jednoczesne określenie wielkości komplemen-

tarnych z dowolną dokładnością),

2. Lokalność (einsteinowska) albo separowalność (separability) –

żadne oddziaływanie fizyczne nie może rozprzestrzeniać się szyb-

ciej, niż wynosi prędkość światła w próżni c (co oczywiście wyklu-

cza natychmiastowe działanie na odległość).53

Szkicowo rozumowanie to można przedstawić następująco: niech X, Y,

Z oznaczają określone kierunki przestrzenne. W przypadku dowolnej osi

wartość rzutu spinu (dla fermionów) może przyjmować tylko dwie warto-

ści, które oznaczymy tu jako „+” i „–” odpowiednio. Gdyby cząstka miała

własność X+Y

–, to — przy założeniu, że wartości wszystkich trzech rzutów

spinów są określone, chociaż zmierzyć można każdorazowo tylko jedną z

nich — musi być ona oczywiście typu X+Y

–Z

+ albo X

+Y

–Z

–. Ponieważ jed-

nak zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga tylko jedna składowa

spinu może być zmierzona dla danej cząstki, to zamiast rozpatrywać poje-

dyncze cząstki można zastosować to rozumowanie do par cząstek, dla któ-

rych sumaryczny spin wynosi zero.

Rozważmy parę cząstek o spinie równym zero, która rozpadła się tak, że

cząstki I i II poruszają się w przeciwnych kierunkach a ich sumaryczny

spin wynosi zero. Gdy cząstki znajdują się daleko od siebie wykonujemy

pomiar rzutu spinu na wybraną oś.

_____________ 53

Niekiedy jako trzecie założenie dodaje się „założenie wolnej woli” rozumiane w

ten sposób, że obserwator może wybrać, jaką własność układu będzie mierzyć, w prze-

ciwieństwie do determinizmu, który (podobno) wyklucza taką możliwość. Por. M. Żur-

kowski, „It ain’t necessary so”: Paradoksy interpretacji paradoksu Einsteina, „Świat

Nauki” 2009, nr 4 (212), s. 36-39. Bell mówił nawet o możliwości „superdeterminizmu”,

który, jak sądził, prowadził do wniosku, że obserwator nie ma wyboru, jaką wielkość ob-

serwować, co prowadzi do wniosku, że problem korelacji EPR po prostu

„znika” (por. P. C. W. Dawies, J. R. Brown, Duch w atomie, s. 65). Wydaje się jednak, że

filozoficzny problem „wolnej woli” jest znacznie bardziej skomplikowany i jego rozważ-

nie wyłącznie w kontekście interpretacji mechaniki kwantowej jest zbyt daleko posuniętym

uproszczeniem, żeby nie powiedzieć nieporozumieniem.

78

Bell wykazał, że przy założeniu lokalności i realizmu liczba par cząstek,

dla których dwie składowe rzutu spinu na kierunki X i Y mają wartość „+”

n(X+Y

+), musi być mniejsza niż suma liczb par cząstek, dla których

wszystkie pomiary dały wartość „+”: n(X+Z

+) i n(Y

+Z

+):

n(X+Y

+) n(X

+Z

+) + n(Y

+Z

+).

54

Ograniczenia na korelacje między pomiarami przeprowadzonymi rów-

nocześnie na dwóch rozdzielonych przestrzennie cząstkach powinny być

zatem spełnione (przy założeniu lokalnego realizmu) zarówno w przypadku

pomiaru składowych spinu, jak również takich wielkości, jak na przykład

polaryzacja fotonu.

Według mechaniki kwantowej (w interpretacji kopenhaskiej) w pew-

nych warunkach korelacje między mierzonymi wielkościami powinny

przekraczać ograniczenia wynikające z nierówności Bella. Nierówność

Bella umożliwiła zatem zatem empiryczny test między stanowiskami Ein-

steina i Bohra.

REALIZM I LOKALNOŚĆ W MECHANICE KWANTOWEJ

Decydujące znaczenie dla rozstrzygnięcia sporu między stanowiskami

Einsteina i Bohra miały doświadczenia przeprowadzone w 1982 roku przez

zespół Alaina Aspecta55

. W doświadczeniach tych mierzono polaryzację

fotonów wyemitowanych podczas przejścia między poziomami energe-

tycznymi atomu wapnia, wzbudzonych światłem laserów (jest to wzbu-

dzenie dwufotonowe, które może się rozpaść tylko przez emisję dwóch

fotonów). Rezultaty doświadczeń potwierdzają korelacje przewidywane

przez mechanikę kwantową, falsyfikują natomiast nierówność Bella.56

Do-

_____________ 54

Jest to uproszczona postać nierówności Bella, co jednak dla niniejszych rozważań

nie ma istotnego znaczenia. 55

Por. A. Aspect, J. Dalibard, G. Roger, Experimental Test of Bell’s Inequalities Using

Time Varying Analyzers, „Physical Review Letters” 1982, Vol. 49, nr 25, s. 1804–1807. 56

Ponieważ zadaniem naszym nie jest dyskusja kwestii stricte metodologicznych,

ograniczymy się tu jedynie do sformułowania uwagi, że dla współczesnego filozofa

79

świadczenia Aspecta nie były pierwszymi doświadczeniami, których zada-

niem był empiryczny test nierówności Bella, ale – głównie z uwagi na za-

stosowanie losowego (scil. pseudolosowego) ustawienia przełącznika kie-

rującego fotony do filtrów polaryzacyjnych – powszechnie uznaje się je za

rozstrzygające. Odległość między źródłem fotonów a każdym z detektorów

wynosiła 6 metrów, a odstępy czasu, między którymi zmieniano ustawienie

przełącznika, były kilkakrotnie krótsze niż czas lotu fotonów. Decyzja, w

jakim kierunku mierzyć polaryzację, podejmowana była dopiero wtedy,

gdy fotony były już wyemitowane ze źródła, co uniemożliwiało przekaz

informacji pomiędzy detektorami, na jaki kierunek polaryzacji został on

nastawiony. (Jedno przełączeni trwało 10 ns, czas emisji – 5 ns, czas lotu

fotonów – 40 ns).

W 1998 roku zespół Nicolasa Gisina z Genewy wytworzył i utrzymał

splątanie pary fotonów po przesłaniu cząstek na odległość 10 km, a Anton

Zeilinger zaprezentował udoskonaloną wersję doświadczenia Aspecta. W

2006 roku zespół Zeilingera wytworzył splątanie na odległość 144 kilo-

metrów. Rok później zespół Marka Żukowskiego z Instytutu Fizyki Teo-

retycznej i Astrofizyki Uniwersytetu Gdańskiego we współpracy z grupą

Zeilingera przeprowadził doświadczalny test nielokalnego realizmu i

ostatecznie wykluczył pewną klasę wariantów mechaniki kwantowej ze

zmiennymi ukrytymi.

„Upiorne działanie na odległość”, które tak niepokoiło Einsteina, okazu-

je się więc faktem. Ściślej rzecz biorąc, nie można jednak w tym wypadku

mówić o oddziaływaniu, ponieważ kwantowe splątanie nie może służyć do

przesyłania informacji: jeśli w obszarze I zaobserwujemy pewną własność

obiektu kwantowego, na przykład określone ustawienie spinu, to wiemy z

całą pewnością, jaka jest jej własność w obszarze II dla drugiego obiektu,

ale informację o tym możemy przesłać do obszaru II wyłącznie drogą kon-

wencjonalną, to znaczy najwyżej z prędkością światła w próżni. Kwantowe

splątanie nie jest więc sprzeczne ze szczególną teorią względności, choć

_____________ nauki wręcz oczywiste jest, że w doświadczeniu sprawdzamy raczej cały zbiór teorii, a

nie jedną teorię i że w wypadku sprzeczności przewidywań teorii z danymi doświadczal-

nymi nie jest bynajmniej trywialne stwierdzenie, jakie czynniki są za to odpowiedzialne.

80

trzeba przyznać, że fakt, iż własności dowolnie oddalonych od siebie prze-

strzennie obiektów kwantowych pozostają ze sobą skorelowane (pomimo

braku oddziaływań fizycznych między nimi) ma w sobie coś niesamowite-

go, co trudno pogodzić ze zdroworozsądkowym, a także klasycznym obra-

zem świata.

Wyprowadzenie nierówności Bella oparte było na założeniu lokalnego

realizmu, czyli lokalności einsteinowskiej i zarazem realizmu (w omówio-

nych wcześniej znaczeniach tych terminów). Rezultaty przeprowadzonych

eksperymentów są w pełni zgodne z przewidywaniami mechaniki kwanto-

wej, niezgodne natomiast z nierównością Bella. Wynika stąd wniosek, że

należy odrzucić albo realizm albo lokalność.57

Wśród uczonych nie ma

współcześnie zgody co do tego, jakie filozoficzne konsekwencje wynikają

z faktu, że nierówność Bella nie jest spełniona. Odrzucenie realizmu jest w

pełni zgodne z kopenhaską interpretacją mechaniki kwantowej i poglądem

Bohra, że rezultaty doświadczeń w mechanice kwantowej nie informują

nas o niezależnych od użytej aparatury pomiarowej (i w tym sensie „obiek-

tywnych”) własnościach mikroobiektów, ale informują nas o reakcji ma-

kroskopowych przyrządów pomiarowych. W pewnym sensie możemy po-

wiedzieć, że „rzeczywistość” zależy od decyzji obserwatora, ponieważ

rezultat eksperymentu zależy od tego, jaki pomiar zdecyduje się on prze-

prowadzić.58

Jeżeli natomiast odrzucimy lokalność, wówczas stanowisko

takie prowadzi do poddania w wątpliwość naszych poglądów na czas i

przestrzeń. Kwantowe splątanie nie maleje z odległością i obiekty znajdu-

jące się w stanie splątanym w jakiś sposób tworzą niepodzielną całość,

trudno je zatem traktować jako odrębne realności fizyczne, a ponadto są

_____________ 57

Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, s. 320. Rezultaty doświadczeń Aspecta wy-

kluczają lokalne teorie zmiennych ukrytych, nie wykluczają jednak teorii, w których za-

kłada się występowanie oddziaływań z prędkością ponadświetlną. D. Z. Albert, R. Gal-

chen, Kwantowe zagrożenie dla szczególnej teorii względności, „Świat Nauki” 2009, nr 4

(212), s. 28-36; M. Żurkowski, „It ain’t necessary so”: Paradoksy interpretacji paradoksu

Einsteina, „Świat Nauki” 2009, nr 4 (212), s. 36-39. 58

Por. A. Zeilinger, Od splątania cząstek do kwantowej teleportacji, tłum. B. Bie-

niok, A. L. Łokas, Prószyński i S-ka, Warszawa 2013, s. 326.

81

połączone ze sobą związkami, które – jak się wydaje – całkowicie wykra-

czają poza czas i przestrzeń.

Kwantowe splątanie jest ponadto mocnym argumentem na rzecz stano-

wiska antyredukcjonistycznego. Według stanowiska redukcjonistycznego

całość może być rozłożona na części, z których każdą można scharaktery-

zować przez opis jej wewnętrznego, nierelacyjnego stanu, a wszystkie

własności fizyczne całości są konsekwencją własności wewnętrznych

części i czasoprzestrzennych relacji między nimi.59

Jednak stan układu

cząstek splątanych jest dobrze określony, ale stan elementów składowych

tego układu jest w ogóle nieokreślony. Własności całości są więc nieredu-

kowalne do własności części.

INTERPRETACJE MECHANIKI KWANTOWEJ

Aparat matematyczny mechaniki kwantowej działa znakomicie i ucze-

ni zgodni są co do tego, że jest to najdoskonalsza teoria fizyczna jaką kie-

dykolwiek skonstruowano. Jak dotąd nigdy nie natrafiono na zjawisko,

które przeczyłoby przewidywaniom mechaniki kwantowej, pozwoliła ona

wyjaśnić zjawiska całkowicie niezrozumiałe z punktu widzenia fizyki

klasycznej, a ponadto ma olbrzymi, nieporównywalny z żadną inną teorią

naukową, obszar zastosowań praktycznych (od tranzystorów, przez lasery,

zastosowania w medycynie po – w przyszłości – komputery kwantowe).

Jednak paradoksalne i wysoce nieintuicyjne zachowanie mikroobiektów

wciąż skłania uczonych do próby odpowiedzi na pytanie „co to wszystko

znaczy?”, czyli do sformułowania interpretacji mechaniki kwantowej. O

ile bowiem panuje wśród fizyków zgoda co do skuteczności formalizmu

matematycznego teorii, to już zdania na temat jej interpretacji są podzie-

lone. Co więcej, liczba interpretacji mechaniki kwantowej wciąż rośnie –

formułowane są coraz to nowe propozycje, tak że trudno nawet powie-

dzieć ile dokładnie jest współcześnie różnych interpretacji mechaniki

kwantowej. Omówimy wybrane z nich.

_____________ 59

Por. T. Maudlin, Part…, s. 48.

82

INTERPRETACJA KOPENHASKA

Interpretacja kopenhaska jest historycznie pierwszą interpretacją me-

chaniki kwantowej i często uważa się ją za interpretację „ortodoksyjną”

(lub za „zwykłą” interpretację mechaniki kwantowej).60

Głównym jej

twórcą był Bohr, który sfor mułował zasadę komplementarności,61

ale

równie ważne są dla niej: statystyczna interpretacja funkcji falowej (wek-

tora stanu) sformułowana przez Maxa Borna, zasada nieoznaczoności

Heisenberga i postulat redukcji wektora stanu von Neumanna. Tak więc

interpretację kopenhaską wyznacza pakiet następujących idei: komple-

mentarność i związana z nią zasada nieoznaczoności, statystyczna inter-

pretacja funkcji falowej (wektora stanu) oraz redukcja wektora stanu pod-

czas pomiaru.62

Interpretacja kopenhaska ma charakter czysto pragmatyczny:63

mecha-

nika kwantowa dostarcza narzędzi pojęciowych, za pomocą których mo-

żemy przewidywać prawdopodobieństwa rezultatów pomiarów różnych

wielkości fizycznych przeprowadzanych nad układem kwantowym przy

_____________ 60

Niektórzy sądzą, że jest to jedyna interpretacja mechaniki kwantowej, ponieważ

mechanika kwantowa i kopenhaska interpretacja mechaniki kwantowej to w rzeczywi-

stości jedno i to samo. Por. np. … 61

Podczas międzynarodowego Kongresu Fizyków w Como w 1927 r.. Por. N. Bohr,

The Quantum Postulate and the Recent Development of Atomic Theory, Supplement to

„Nature” 1928, nr 121 (April 14), s. 580–590. 62

Dodać jednak należy, że w poglądach filozoficznych poszczególnych fizyków,

zwolenników interpretacji kopenhaskiej, zachodzą istotne różnice. Na przykład u Bohra

widzimy charakterystyczne pragmatyczne podejście – w sensie przyjęcia pewnych za-

sad, które pozwalałyby dobrze stosować formalizm mechaniki kwantowej w praktyce,

bez jakiejś szczególnej troski o jednolitą filozofię, leżącą u podstaw interpretacji mecha-

niki kwantowej, poglądy filozoficzne Heisenberga ulegały ewolucji – od pozytywizmu

do platonizmu, poglądy von Weizsäckera bliskie były kantyzmowi, natomiast Eddington

zajmował stanowisko „selektywnego subiektywizmu” (jak sam je określił). Nawet treść

słynnej zasady komplementarności rozumiana jest nieco inaczej przez Bohra, a inaczej

przez Heisenberga. Por. … 63

H. P. Stapp, The Copenhagen Interpretation, „American Journal of Physics”, 40,

1098 (1972), tłum. polskie: H. P. Stapp, Interpretacja Kopenhaska, tłum. Adam Śliwiń-

ski, „Hybris” 2011, nr. 15.

83

użyciu makroskopowych przyrządów pomiarowych. Jest ona opisem pro-

cedur przygotowania układu i obliczania odpowiednich prawdopodo-

bieństw.64

Podstawową cechą odróżniającą mechanikę kwantową od do-

tychczasowych teorii fizycznych jest indywidualność (wholeness – cał-

kowitość, całościowość lub jeszcze inaczej mówiąc niepodzielność) pro-

cesów atomowych, co jest bezpośrednią konsekwencją istnienia elemen-

tarnego kwantu działania Plancka . W odróżnieniu od sytuacji poznaw-

czej w mechanice klasycznej, w której oddziaływanie między przyrządem

pomiarowym a badanym obiektem może być w zasadzie pominięte (po-

nieważ nie wpływa w istotny sposób na przebieg obserwowanego zjawi-

ska), w mechanice kwantowej oddziaływanie przyrząd–obiekt stanowi

integralną część zjawiska. Dlatego nie można nawet nakreślić ścisłej linii

demarkacyjnej między reakcją przyrządu pomiarowego a niezależnym od

przyrządu pomiarowego zachowaniem badanego obiektu. Podczas pomia-

ru przyrząd i obiekt stanowią niepodzielną całość, w trakcie pomiaru na-

stępuje niekontrolowalne zaburzenie badanego układu i to, że możemy

przewidywać jedynie prawdopodobieństwo rezultatów pomiarów wynika

ostatecznie z faktu nieznajomości tego zaburzenia. Ponieważ wykonywa-

nie pomiarów jest jedynym sposobem uzyskania informacji o mikroświe-

cie, to w istocie pomiar daje nam informację o reakcji przyrządu pomia-

rowego na oddziaływanie obiektu, a nie informację o tym, jak zachowują

się obiekty nieobserwowane („same w sobie”). Nie ma żadnego sensu

mówienie o tym, „co robią” elektrony, fotony itd. niezależnie od wyko-

nywanych obserwacji i pomiarów, ponieważ ich stan kwantowy przed

pomiarem opisywany jest w kategoriach zespolonych amplitud prawdo-

podobieństwa (kwantowomechanicznych „możliwości”), a kwantowej

superpozycji stanów nie da się w istocie wyrazić w kategoriach języka

codziennego (i języka fizyki klasycznej).

Pomiary są wykonywane przy użyciu makroskopowych (czyli podle-

gających prawom fizyki klasycznej) przyrządów pomiarowych i rezultaty

pomiarów są zawsze wyrażane w języku fizyki klasycznej.65

Nie potrafi-

_____________ 64

H. P. Stapp, Mind, Matter, and Quantum Mechanics, s. 69. 65 Por. W. Heisenberg, Fizyka a filozofia, s.

84

my i nie możemy zastąpić tych pojęć innymi, ponieważ stanowią one wa-

runek intersubiektywnej komunikowalności rezultatów doświadczenia, co

Bohr utożsamia z obiektywnością opisu zjawisk.66

Bohr proponuje jedno-

cześnie nowe użycie terminu „zjawisko”. W mechanice klasycznej termin

ten oznaczał obiektywny przebieg procesów w przestrzeni i czasie, nato-

miast w mechanice kwantowej termin „zjawisko” powinnyśmy stosować

do opisu „obserwacji otrzymanych w warunkach, w których opis

uwzględnia cały układ eksperymentalny”.67

Mechanika kwantowa jest,

zdaniem Bohra, obiektywnym opisem tak pojmowanych zjawisk. W in-

terpretacji kopenhaskiej mamy więc do czynienia z epistemiczną składo-

wą obiektywności bez składowej ontycznej. Na przykład w doświadcze-

niu na dwóch szczelinach w przypadku, gdy otwarte są obydwie szczeliny

i obserwujemy interferencję, możemy posłużyć się klasycznym pojęciem

fali w celu opisu zachowania elektronów w takim układzie eksperymen-

talnym. Jeżeli otwarta jest tylko jedna szczelina, wówczas nie występuje

interferencja i elektrony zachowują się jak cząstki klasyczne, dlatego też

ich zachowanie możemy opisać w klasycznych kategoriach korpuskuł.

Jednak są to dwa różne układy eksperymentalne i charakterystyka elek-

tronów jako „fal” albo jako „cząstek” w oderwaniu od opisu konkretnego

zestawu eksperymentalnego traci jakiekolwiek znaczenie – relacje nieoz-

naczoności ograniczają zasięg stosowalności pojęć klasycznych, takich

jak „cząstka” czy „fala”.

Zasada komplementarności,68

stanowiąca fundament kopenhaskiej in-

terpretacji mechaniki kwantowej, ustala stosunek między wykluczającymi

się z punktu widzenia fizyki klasycznej pojęciami, takimi właśnie jak

pojęcia cząstki i pojęcie fali. Dwa klasycznie wykluczające się opisy zja-

wisk są komplementarne, jeżeli zastosowanie jednego z nich (np. korpu-

skularnego) wyklucza jednoczesne zastosowanie drugiego (np. falowego).

Jednak komplementarne opisy nie są ze sobą sprzeczne, ponieważ odno-

szą się do wykluczających się nawzajem sytuacji eksperymentalnych i nie

_____________ 66

N. Bohr, Fizyka atomowa a wiedza ludzka, s. 67

N. Bohr, Fizyka atomowa a wiedza ludzka, s. 111-112. 68

Koncepcja komplementarności wywodzi się z psychologii i pojawia się po raz

pierwszy w pracy Williama Jamesa The Principle of Psychology, New York 1880, s. 206.

85

istnieje żaden zestaw aparatury pomiarowej, w którym komplementarne

aspekty zjawisk pojawiłyby się równocześnie. Wielkości komplementarne

reprezentowane są przez niekomutujące operatory – są to pary wielkości

fizycznych występujące w relacjach nieoznaczoności Heisenberga. We-

dług interpretacji kopenhaskiej komplementarne opisy sytuacji obserwa-

cyjnych wykluczają się wzajemnie, ale jednocześnie uzupełniają się do

pełnej wiedzy o układzie. Bohr wyraził to powiedzeniem: contraria sunt

complementa – przeciwieństwa są komplementarne. Tak więc na przykład

światło nie jest ani ciągłą falą elektromagnetyczną ani nie jest strumie-

niem dyskretnych cząstek – fotonów, ale może być opisane w pewnej

klasie eksperymentów jako fala, w innej zaś jako strumień fotonów, nigdy

zaś jako jedno i drugie równocześnie, ponieważ aspekt korpuskularny i

falowy są niewspółmierne ze sobą. Chcąc jednak znać własności światła,

musimy poznać oba komplementarne aspekty. Komplementarnych opi-

sów uzyskanych we wzajemnie wykluczających się sytuacjach ekspery-

mentalnych nie jesteśmy w stanie „zobiektywizować”, czyli połączyć w

poglądowym modelu samoistnej, czy też niezależnej od sytuacji ekspe-

rymentalnej realności fizycznej. Ale też – zdaniem Bohra – nie jest to

celem nauki. Zamiast dociekania metafizycznej „istoty rzeczy” wystarczy

„ustanowienie ilościowych zależności między rezultatami pomiarów”.69

Mechanika kwantowa mówi nam wyłącznie o tym, co można zaobserwo-

wać i zmierzyć, a nie o tym jaka jest „rzeczywistość obiektywna”, o ile

pod pojęciem tym rozumiemy rzeczywistość niezależną od sposobu, w

jaki ją badamy. Przedmiotem poznania nie jest przyroda „sama w sobie”

(niezależna od nas), ale „przyroda wystawiona na nasze pytania” (przyro-

da dla nas). To, jaką odpowiedź dostaniemy zależy od tego, jakiej użyli-

śmy aparatury pomiarowej i w tym sensie (i jedynie w tym sensie) prze-

bieg zjawisk zależy od obserwatora.70

Interpretację kopenhaską określa się niekiedy mianem „kwantowej

książki kucharskiej”71

– jest to zestaw procedur, który daje algorytm na

_____________ 69

N. Bohr, 70

N. Bohr, Fizyka atomowa… 41 71

J. Gribbin, Encyklopedia fizyki kwantowej, s. 137.

86

operowanie kwantowomechanicznym formalizmem w praktycznych za-

stosowaniach, przeprowadzania odpowiednich obliczeń i przewidywania

zjawisk bez metafizycznych pytań o „istotę materii”. W interpretacji tej

rezygnuje się z wszelkich prób skonstruowania ontologii mikroświata, w

szczególności odrzuca się możliwość opisania mikroobiektów jako real-

nych bytów istniejących w czterowymiarowym kontinuum czasoprze-

strzennym.72

Jest to wyłącznie opis procedur pomiarów wykonywanych

nad układem kwantowym przez zewnętrznego wobec tego układu obser-

watora, który posługuje się makroskopowymi przyrządami pomiarowymi

i wyraża wyniki pomiarów w kategoriach fizyki klasycznej, ponieważ jest

to jedyny obiektywny (w epistemologicznym sensie) opis rezultatów do-

świadczeń. Dobry kucharz wie, że np. gotując zupę należy dodać w od-

powiednim momencie „szczyptę soli” i zupa będzie dobra. Zupełnie może

nie wiedzieć, czym jest „istota soli” (o ile w ogóle coś takiego istnieje).

W praktycznych zastosowaniach taki pragmatyczny pogląd Bohra

sprawdza się znakomicie. Niektórym fizykom takie podejście jednak nie

wystarcza – stąd konkurencyjne interpretacje mechaniki kwantowej.

UKRYTY PORZĄDEK

Interpretacja parametrów ukrytych jest dziełem Davida Bohma i zosta-

ła sformułowana w 1952 r.73

, a następnie rozwijana przez Bohma wspól-

nie z Basilem Hileyem. Opiera się ona na pewnych ideach wprowadzo-

nych wcześniej przez de Broglie’a (teoria fali pilota).74

Interpretacja ta ma

_____________ 72

Por. U. Röseberg, Niels Bohr a filozofia, tłum. T. Bigaj, [w:] S. Butryn (red.), Z za-

gadnień…, s. 85. 73

D. Bohm, A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of „Hid-

den” Variables, I, „Physical Reviev” 1953, Vol. 85, No. 3, p. 166-179, praca dostępna

także w: http://fma.if.usp.br/~amsilva/Artigos/p166_1.pdf; D. Bohm, A Suggested Inter-

pretation of the Quantum Theory in Terms of „Hidden” Variables, I and II [w:] J. A.

Wheeler, W. Żurek (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton University

Press, Princeton, New Jersey 1983, s. 367-396. 74

De Broglie krytykował interpretację kopenhaską za subiektywizm. Podobne zarzu-

ty formułowało wielu innych uczonych i filozofów. Na przykład Popper pisze, że inter-

pretacja kopenhaska sprawiła, iż fizyka „stała się twierdzą subiektywistycznej filozofii”

87

charakter realistyczny, obiektywny i nielokalny (holistyczny). Podstawo-

wym założeniem interpretacji parametrów ukrytych jest, że interpretacja

kopenhaska jest niezupełna, to znaczy że istnieje głębsza warstwa rze-

czywistości fizycznej – świat subkwantowy, której „zwykła” mechanika

kwantowa nie jest w stanie opisać.

Zdaniem Bohma interpretacja kopenhaska w istocie niczego nie wyja-

śnia, przeczy naszym podstawowym intuicjom fizycznym, a traktowanie

formalizmu mechaniki kwantowej wyłącznie jako algorytmu pozwalające-

go na obliczanie prawdopodobieństw wyników pomiarów nie pozwala na

zrozumienie ontologii kwantowego świata i jest niezadowalające z filozo-

ficznego punktu widzenia. „Każdy fizyk milcząco przyjmuje jakąś filozofię

– twierdzi Bohm – ale filozofia powszechnie dziś przyjmowana jest wyjąt-

kowo nieelegancka i prymitywna”.75

W szczególności zaś nie należy wy-

magać, aby w teorii występowały jedynie te wielkości, które mogą być

aktualnie (to znaczy na danym etapie rozwoju nauki) obserwowalne. Po-

nadto teoria powinna pozwalać na zbudowanie poglądowego modelu

świata fizycznego zgodnego z naszymi intuicyjnymi wyobrażeniami. In-

terpretacja kopenhaska nie mówi nic o tym, co się dzieje z mikroobiekta-

_____________ (K. R. Popper, Nieustanne poszukiwania. Autobiografia intelektualna, tłum. A. Chmie-

lewski, Znak, Warszawa 1997, s. 213). Popper poza uwagami na temat mechaniki kwan-

towej w rozmaitych pracach krytyce subiektywizmu poświęcił pracę: K. R. Popper, Quan-

tum Theory and the Schizm in Physics, W. W. Bartley, Totowa, New Jersey 1982. Również

Einstein twierdził, że stanowisko szkoły kopenhaskiej nie różni się od idealizmu subiek-

tywnego Berkeleya (por. A. Einstein, Remarks Concerning the Essays Brought Together in

this Co-operative Volume, transl. by A. P. Schilpp, [w:] A. P. Schilpp (ed.), Albert Einstein:

Philosopher-Scientist, Vol. II, Harper & Brothers Publishers, New York 1957, s. 669).

Podobnego zdania był Reichenbach (por. H. Reichenbach, Powstanie filozofii naukowej,

tłum. H. Krahelska, Książka i Wiedza, Warszawa 1950, s. 257 i n.). Gell-Mann także

twierdzi, że odkrywcy mechaniki kwantowej „przedstawili jej dziwnie ograniczoną i an-

tropocentryczną interpretację” (M. Gell-Mann, Kwark…, s. 192). Imre Lakatos pisze, że

„współczesna fizyka kwantowa, w jej «interpretacji kopenhaskiej», stała się jednym z

głównych, standardowych filarów filozoficznego obskurantzmu”, co doprowadziło w

fizyce współczesnej do „porażki rozumu i do anarchistycznego kultu niezrozumiałego

chaosu” (I. Lakatos, Falsyfikacja…, s. 94). 75

P. C. W. Davies, J. R. Brown, Duch w atomie…, s. 158.

88

mi pomiędzy jednym pomiarem a drugim i nie pozwala na zbudowanie

poglądowego modelu mikroświata.

Bohm postuluje istnienie głębszego, subkwantowego porządku, niedo-

stępnego dla standardowej mechaniki kwantowej, w opisie którego za-

chowane byłyby klasyczne pojęcia przyczynowości, ciągłości i obiektyw-

nej realności indywidualnych mikroobiektów.76 Podstawowe założenia

interpretacji parametrów ukrytych są następujące:77

elektron jest cząstką z

dobrze określonymi położeniem i pędem; funkcja falowa nie jest jedynie

narzędziem matematycznym pozwalającym na obliczanie prawdopodo-

bieństw wyników pomiarów, ale jest zaburzeniem pewnego pola fizycz-

nego, zwanego potencjałem kwantowym.78

Potencjał kwantowy jest re-

prezentowany przez pewien dodatkowy człon w równaniu Schrödingera

(interpretacja Bohma jest więc związana z modyfikacją formalizmu me-

chaniki kwantowej), jest zatem rozumiany realistycznie, nieco podobnie

jak pole elektromagnetyczne. Specyfiką potencjału kwantowego jest to,

że niesie on informacje o całym otoczeniu poruszającej się cząstki – na

przykład w eksperymencie na dwóch szczelinach zawiera on informacje

na temat szerokości szczelin, odległości między nimi i pędu elektronu, a

zatem informacje na temat całego środowiska. W odróżnieniu od pola

elektromagnetycznego, oddziaływanie potencjału kwantowego na cząstkę

zależy wyłącznie od jego postaci, a nie od natężenia, może więc wpływać

na ruch cząstki w bardzo dużej odległości – w istocie poruszająca się

cząstka (na przykład elektron w doświadczeniu z dwiema szczelinami)

posiada informacje na temat całego środowiska i zachowuje się inaczej,

gdy otwarta jest tylko jedna szczelina, a inaczej, gdy otwarte są obie.79

_____________ 76

D. Bohm, Przyczynowość…, s. 179–180. Niemal dokładnie takie same zarzuty sta-

wia interpretacji kopenhaskiej Feyerabend (por. P. Feyerabend, O interpretacji…). 77

Por. D. Bohm, B. J. Hiley, The Undivided Universe. An Ontological Interpretation of

Quantum Theory, Routledge, New York 1993, s. 29–30; D. Bohm, Ukryty porządek, s. 90 i

n.; idem, Przyczynowość…, s. 190 i n. 78

W teorii Bohma nie ma zatem redukcji funkcji falowej (por. T. Muldin, Quantum

Non-Locality and Relativity. Metaphysical Intimations of Modern Physics, Blacwell

Publishers Ltd., Oxford 2002, s. 117). 79

Por. D. Bohm, B. J. Hiley, The Undivided Universe…, s. 31–32.

89

Potencjał kwantowy jest w stanie bardzo szybkich przypadkowych fluk-

tuacji, a uśredniony po czasie spełnia równanie Schrödingera. Fluktuacje

te (które mogą pochodzić z głębszego poziomu subkwantowomechanicz-

nego) prowadzą do odpowiednich fluktuacji potencjału kwantowego i

cząstka porusza się nieregularną trajektorią, podobnie jak cząstka pyłku w

ruchach Browna. W rezultacie łącznego działania siły kwantowomecha-

nicznej i przypadkowych fluktuacji z poziomu subkwantowego można

otrzymać rozkład prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym miej-

scu przestrzeni zgodny z interpretacją Borna. Zdaniem Bohma jest to lep-

sze rozwiązanie niż traktowanie „rozkładu prawdopodobieństwa Borna

jako absolutnej, ostatecznej i niewytłumaczalnej własności materii”.80

Zdaniem Bohma, w jego interpretacji można próbować wyobrażać so-

bie, co się dzieje na poziomie kwantowym i przyczyniać się do rozwoju

nauki również przez sposoby myślenia oparte na poglądowych modelach, a

nie tylko na formalizmie matematycznym, natomiast interpretacja kopen-

haska tego nie umożliwia.

Potencjał kwantowy wprowadza nielokalne (natychmiastowe) połą-

czenia między różnymi, nawet dowolnie odległymi, obiektami we

Wszechświecie. Teoria Bohma ma charakter holistyczny: „świat jest

niepodzielną całością, w której części ukazują się jako abstrakcje albo

przybliżenia, ważne jedynie w granicy klasycznej”.81

WIELE ŚWIATÓW

Interpretację wielu światów (Many-Worlds Interpretation) sformułował

Hugh Everett III w roku 1957.82

Rozwijali John Wheeler, Neill Graham i

Bryce de Vitt, obecnie zaś David Deutsch.83

_____________ 80

D. Bohm, Przyczynowość…, s. 195. 81

D. Bohm, Quantum Theory…, s. 144. T. Maudlin, Part and Whole in Quantum

Mechanics, [w:] E. Castellani (ed.), Interpreting Bodies…, s. 60. 82

H. Everett III, „Relative State” Formulation of Quantum Mechanics, „Reviews of

Modern Physics” 1957, Vol. 29, No. 3, s. 454–462; P. Byrne, Hugh Everett i jego światy,

“Świat Nauki” 2008, nr 2, s. 66-73. Pracę Everetta, podobnie jak wiele innych kla-

sycznych prac dotyczących podstaw mechaniki kwantowej, w szczególności zaś

90

W interpretacji kopenhaskiej mechanika kwantowa traktowana jest ja-

ko formalizm służący do opisu doświadczeń przeprowadzanych przez

zewnętrznego wobec mikroukładu „obserwatora” posługującego się ma-

kroskopowymi przyrządami pomiarowymi. Niezależnie od tego, że „ob-

serwator” nie musi być rozumiany jako istota obdarzona świadomością,

lecz może być mechanizmem, to „świat klasyczny” i „świat kwantowy”

traktowane są w całkowicie odmienny sposób (procedura U i procedura R

– w terminologii Penrose’a84

). Przypomnijmy, że ewolucję w czasie ukła-

du nieobserwowanego opisuje ciągłe i deterministyczne równanie

Schrödingera (U):

Hdt

di ˆ ,

natomiast proces pomiaru opisany jest przez nieciągłą i indeterministycz-

ną redukcję wektora stanu (R), w której prawdopodobieństwo uzyskania

wartości własnej i operatora określone jest wzorem Borna:

2

)( iiP .

Równanie Schrödingera nie obejmuje procesu pomiaru i redukcja wek-

tora stanu stanowi osobny postulat (postulat projekcji von Neumanna).

Takie stanowisko prowadzi jednak do pewnych problemów w kosmo-

logii kwantowej, która jest zastosowaniem mechaniki kwantowej do

Wszechświata jako całości. Jeżeli badanym układem ma być Wszech-

_____________ zagadnienia pomiaru, można znaleźć w standardowej antologii tekstów: J. A. Wheeler,

W. Żurek (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton University Press, Prince-

ton, New Jersey 1983, s. 315-323; rozprawę doktorską Everetta, The Many-Worlds In-

terpretation of Quantum Mechanics, można znaleźć w Internecie pod adresem:

http://www-tc.pbs.org/wgbh/nova/manyworlds/pdf/dissertation.pdf. 83

Por. D. Deutsch, Struktura rzeczywistości, … 84

Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza…,

91

świat, to trudno nadać sens pojęciu obserwatora zewnętrznego w stosunku

do Wszechświata.85

Istotą interpretacji Everetta jest potraktowanie świata makroskopowe-

go tak samo, jak świata mikroskopowego, to znaczy eliminacja rozróż-

nienia na „kwantowy obiekt” i „klasyczny przyrząd”, co ma zapewnić

całkowicie obiektywną interpretację mechaniki kwantowej i eliminację

zewnętrznego w stosunku do układu „obserwatora”. Zdaniem Everetta

interpretacja wieloświatowa bezpośrednio wynika z formalizmu mechani-

ki kwantowej, daje dokładnie takie same przewidywania, jak interpretacja

kopenhaska, a ponadto jest najprostszą interpretacją, ponieważ przyjmuje

najmniej dodatkowych założeń, w szczególności zaś nie przyjmuje postu-

latu o redukcji wektora stanu podczas pomiaru.

W interpretacji kopenhaskiej, jeżeli przed pomiarem układ znajduje się

w superpozycji stanów, to podczas pomiaru realizuje się tylko jedna z

kwantowomechanicznych możliwości, a pozostałe znikają. Nie istnieje

odpowiedź na pytanie o to, dlaczego nastąpiła realizacja tej a nie innej

składowej superpozycji. W interpretacji Everetta w procesie pomiaru nie

dochodzi do redukcji wektora stanu, lecz realizują się wszystkie składowe

superpozycji. Każda z nich realizuje się jednak w innym świecie, co zna-

czy, że każde oddziaływanie mające charakter pomiaru prowadzi do roz-

szczepienia Wszechświata na wiele nieoddziałujących ze sobą kopii, któ-

re istnieją dalej równie realnie i niezależnie od siebie jako wszechświaty

równoległe. Obserwator, jako część świata podlega również takiemu

„rozszczepieniu”, ale brak oddziaływania między owymi światami spra-

wia, że nie może tego odczuć – jego pamięć jest związana tylko z jedną

gałęzią. Wszechświat jako całość jest w tej interpretacji ściśle determini-

styczny – bez „skoków kwantowych” i rządzą nim obiektywne prawa.

Statystyczny charakter praw kwantowomechanicznych związany jest z

tym, że każdy obserwator może postrzegać tylko jedną gałąź wszechświa-

ta.

_____________ 85

Por. H. Everett III, „Relative State” Formulation of Quantum Mechanics…, s. 454;

P. C. W. Davies, J. R. Brown, Duch w atomie, s. 110.

92

Zgodnie z interpretacją Everetta każdy proces kwantowy, w którym

mogą zrealizować się dwie lub więcej możliwości prowadzi do powstania

liczby wszechświatów odpowiadającej liczbie składników superpozycji.

Zatem istnieje wiele, być może nieskończenie wiele równoległych

wszechświatów, zawierających galaktyki, gwiazdy, planety i nieskończe-

nie wiele kopii każdego z nas.

Interpretacja Everetta jest dość niecodzienna. Trudno zatem się dziwić,

że spotkała się z krytyką. Popper zarzucał jej na przykład niefalsyfiko-

walność (wszechświaty równoległe nie oddziałują ze sobą) i niezgodność

z zasadą brzytwy Ockhama (dość kłopotliwy „bagaż metafizyczny” w

postaci nieskończenie wielu wszechświatów). Popper86

utrzymywał po-

nadto, że rozszczepienie Wszechświata na wiele równoległych gałęzi sta-

nowiłoby rażące naruszenie zasad zachowania, a ponadto równanie

Schrödingera jest niezmiennicze względem inwersji w czasie. Interpreta-

cja, która rości sobie pretensję do tego, żeby być bezpośrednią konse-

kwencją formalizmu kwantowomechanicznego, powinna również speł-

niać ten warunek. Tymczasem, gdyby rozszczepianie wszechświata rozpa-

trywać wstecz w czasie, wektor stanu powinien ulegać fuzji – jego skła-

dowe odpowiadające różnym możliwościom (które zdaniem Everetta ist-

nieją realnie także po oddziaływaniu) powinny być skorelowane, pomimo

że przed fuzją nie ma między nimi żadnego oddziaływania.

Niemniej jednak różne warianty interpretacji wielu światów są współ-

cześnie nadal dyskutowane.87

Jedną z nich jest koncepcja Wieloświata

(ang. Multiverse) dyskutowana w kosmologii i omawiana w rozdziale

trzecim.

_____________ 86

Popper, 1982, s. 92 n. 87

Por. J. A. Barret, The Quantum Mechanics of Mind and Worlds, Oxford University

Press, New York 1999; M. Lockwood, Mind, Brain & the Quantum. The Coumpound

„I”, Blackwell 1989; J. D. Barrow, P. C. W. Davies, C. L. Harper Jr., Science and Ulti-

mate Reality. Quantum Theory, Cosmology, and Complexity, Cambridge University

Press 2004.

93

SUMY PO HISTORIACH

Równanie Schrödingera

Hdt

di ˆ

jest liniowym równaniem różniczkowym na wektor stanu . Jest ono

równaniem deterministycznym podobnie, jak równanie Newtona na wek-

tor położenia )(tr

w mechanice klasycznej:

Fdt

trd

2

2 )(.

Opis dynamiki układu (wszystko jedno – klasycznego czy kwantowe-

go) za pomocą równań różniczkowych jest związany z lokalnym punktem

widzenia: stan układu w pewnej chwili t w sposób jednoznaczny wyzna-

cza stan układu w chwili późniejszej (a także wcześniejszej – ze względu

na niezmienniczość równań względem inwersji czasu; ograniczymy jed-

nak nasze rozważania do przyszłych stanów układu). Innymi słowy to,

jaki będzie stan układu w przyszłości zależy wyłącznie od tego, jaki jest

stan układu w teraźniejszości. Możliwe jest jednak inne podejście do za-

gadnienia – globalny punkt widzenia związany z zasadami wariacyjnymi.

Zasada najmniejszego działania jest najbardziej ogólnym sformułowa-

niem praw ruchu układów mechanicznych.88

Zgodnie z nią każdy układ

mechaniczny może być scharakteryzowany przez pewną funkcję, zwaną

funkcją Lagrange’a L zależną od położeń, pędów i czasu. Definiujemy

wielkość S, zwaną „działaniem” w następujący sposób:

_____________ 88

Por. L. Landau, E. Lifszyc, Mechanika, tłum. S. Bażański, PWN, Warszawa 1961,

s. 10.

94

2

1

t

t

LdtS ,

gdzie t1 i t2 oznaczają chwile odpowiadające początkowemu i końcowemu

stanowi układu. Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch odbywa

się po takiej trajektorii, dla której działanie S jest najmniejsze.89

Jest to

globalny (całkowy) punkt widzenia, w odróżnieniu od lokalnego (róż-

niczkowego), ponieważ obliczając działanie i poszukując minimum

(ogólniej – ekstremum) tej wielkości, musimy uwzględnić zarówno po-

czątkowy, jak i końcowy stan układu. Można to sobie przedstawić w spo-

sób następujący: cząstka poruszając się z A do B ma „do wyboru” wiele

różnych dróg. „Wybiera” ona taką drogę, dla której działanie S jest naj-

mniejsze. Niekiedy zasada najmniejszego działania zwana jest „zasadą

lenistwa natury” – spadanie ciał, kształt kropli cieczy, trajektorię promieni

świetlnych w niejednorodnym optycznie ośrodku itd. można wyjaśnić

zasadą najmniejszego działania.

Rys. … Ilustracja zasady najmniejszego działania.

_____________ 89

Ogólniej rzecz biorąc poszukujemy ekstremum tej całki, w pewnych wypadkach

może to być maksimum, a nie minimum.

95

Podobne rozumowanie można zastosować w mechanice kwantowej i

jest ono punktem wyjścia Feynmanowskiego ujęcia mechaniki kwanto-

wej, zwanego całkowaniem po trajektoriach albo sumą po historiach.90

Pomijając szczegóły matematyczne istotę tego ujęcia można przedstawić

następująco: rozważamy pewną wielkość K, zwaną propagatorem, która

jest równa sumie amplitud prawdopodobieństwa odpowiadającym trajek-

torii czasoprzestrzennej cząstki między punktami A i B. Obliczamy dzia-

łanie wzdłuż każdej z możliwych dróg. Jeżeli działanie wzdłuż pewnych

dróg jest większe niż kwant działania Plancka , to wkłady do amplitudy

prawdopodobieństwa znoszą się wskutek interferencji destruktywnej.

Jeśli jednak dla pewnej drogi występuje konstruktywna interferencja

prawdopodobieństw, to pozostałe wkłady można zaniedbać. W odróżnie-

niu od interpretacji kopenhaskiej, w której pojęcie trajektorii czasoprze-

strzennej cząstki nie ma określonego sensu, w interpretacji Feynmana

zostaje ono zachowane, ale w pewnym specyficznym sensie: cząstka po-

ruszająca się z punktu A do punktu B eksploruje wszystkie możliwe drogi.

INTERPRETMACJA TRANSAKCYJNA

Interpretacja ta została sformułowana przez Johna Cramera,91

a inspi-

racją dla niej jest elektrodynamika Wheelera–Feynmana. Już w rozwiąza-

niach równań klasycznej elektrodynamiki Maxwella mamy dwa zbiory

rozwiązań – fale opóźnione oraz tzw. fale wyprzedzone. Te ostatnie moż-

na interpretować jako fale poruszające się wstecz w czasie. W standardo-

wych zastosowaniach odrzuca się te rozwiązania, jako pozbawione sensu

fizycznego – efekt „nadmiarowości” formalizmu matematycznego.

W mechanice kwantowej jednak, obliczając prawdopodobieństwo re-

zultatu pomiaru jakiejś wielkości fizycznej posługujemy się następującym

_____________ 90

Por. R. P. Feynman, QED …; M. Heller, Mechanika kwantowa dla filozofów, s.

71n. 91

J. G. Cramer, Transactional interpretation of quantum mechanics, „Reviews of

Modern Physics” 1986, Vol. 58, No. 2, p. 647-687.

96

wzorem: 2

)( iiaP . We wzorze tym wektor stanu (ket) jest mno-

żony przez odpowiedni wektor bra, który jest sprzężeniem zespolonym do

keta. Przypomnijmy, że liczbę sprzężoną do liczby iyxz wyrażamy

wzorem iyxz . W wyrażeniu na sprzężenie zespolone wektora stanu

(funkcji falowej) w mechanice kwantowej znak „minus” pojawia się przy

parametrze reprezentującym czas, zatem – formalnie rzecz biorąc – sprzę-

żony wektor stanu może być interpretowany jako fala poruszająca się

wstecz w czasie. Ten matematyczny fakt stanowi podstawę interpretacji

transakcyjnej.

Przewidywania interpretacji transakcyjnej są dokładnie takie same, jak

przewidywania interpretacji kopenhaskiej. Funkcja falowa nie jest jednak

rozumiana jako twór czysto abstrakcyjny, ale jako realna fala fizyczna

poruszająca się do przodu w czasie i (jej sprzężenie zespolone) wstecz w

czasie. Rozważmy rzecz na przykładzie eksperymentu z dwiema szczeli-

nami. Jego opis w kategoriach interpretacji transakcyjnej wygląda nastę-

pująco: źródło (emiter) emituje falę („falę propozycję”), która z prędko-

ścią światła przechodzi przez układ szczelin i dociera do ekranu (absorbe-

ra). Absorber wysyła falę o ujemnej energii („falę potwierdzenie”) wstecz

w czasie, która interferuje z „falą propozycją”. Urzeczywistnia się jedna z

możliwości zgodnie z kwantowomechanicznymi regułami obliczania

prawdopodobieństwa. Ponieważ jedna fala porusza się do przodu w cza-

sie, druga zaś wstecz w czasie, proces ten wydaje się atemporalny (tak

jakby cząstka poruszająca się przez układ szczelin „wiedziała”, czy są

otwarte dwie szczeliny, czy tylko jedna).

Zdaniem Cramera interpretacja transakcyjna pozwala na poglądowy

opis zachowania mikroobiektów (jeśli zaakceptujemy fale przemieszcza-

jące się wstecz w czasie) i pozwala pozbyć się kategorii obserwatora wraz

ze związanej z nią dyskusją na temat zależności wyników eksperymentów

od naszych świadomych decyzji. Na przykład w eksperymencie Wheelera

z opóźnionym wyborem unikamy dość kłopotliwego wniosku, że nasze

decyzje mają wpływ na to, co się dzieje w przeszłości. Podobnie, redukcja

wektora stanu w eksperymencie myślowym z kotem Schrödingera „nie

97

musi czekać, aż obserwator zajrzy do środka, nie ma takiego momentu, w

którym kot jest na pół żywy i na pół martwy”.92

DEKOHERENCJA

Model dekoherencji zaproponowany został przez polskiego fizyka

Wojciecha Żurka.93

W interpretacji kopenhaskiej wprowadza się podział

na „kwantowy obiekt” i „klasyczny przyrząd pomiarowy”. Jednak „grani-

ca” między kwantową a klasyczną „rzeczywistością” nie jest dobrze zde-

finiowana. Bohr twierdził, że przyrząd pomiarowy musi być obiektem

makroskopowym, to znaczy takim, że w jego opisie można pominąć, z

praktycznego punktu widzenia, efekty kwantowe, takie jak superpozycja

stanów.94

Rezultaty pomiarów wyrażamy zawsze w kategoriach fizyki

klasycznej. Pozostaje jednak otwartym pytanie o to, kiedy następuje „wy-

łonienie się świata klasycznego”,95

albo – inaczej mówiąc – dlaczego nie

obserwujemy na co dzień interferujących kul bilardowych lub żywo-

martwych kotów.

Interpretacja kopenhaska prowadzi również do pewnego problemu za-

uważonego już przez von Neumanna. Otóż przyrząd pomiarowy również

składa się z atomów i cząstek elementarnych, czyli z obiektów, które pod-

legają prawom mechaniki kwantowej. Jeżeli tak, to podczas pomiaru

przyrząd może znaleźć się w superpozycji stanów przyrządu i mierzonego

obiektu, zatem aby pomiar mógł zostać wykonany i aby nastąpiła reduk-

cja wektora stanu, należałoby wprowadzić kolejny przyrząd, który rów-

nież może znaleźć się w superpozycji stanów… Otrzymujemy zatem re-

gressus ad infinitum – pomiar nie mógłby zostać zakończony bez jakiegoś

_____________ 92

J. Gribbin, Kotki Schrödingera, czyli poszukiwanie rzeczywistości, tłum. J. Bieroń,

Zysk i S-ka, Poznań 1999, s. 266. 93

W. Żurek, Decoherence and the Transition from Quantum to Classical, „Physics

Today” 1991, Vol. 44, p. 36-44; W. Żurek, Decoherence and the Transition from Quan-

tum to Classical – Revisited, [w:] http://vvkuz.ru/books/zurek.pdf; S. Szpikowski, Pod-

stawy mechaniki kwantowej…, s. 378-385. 94

N. Bohr, Fizyka atomowa a wiedza ludzka, s. … 95

Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, s.

98

dodatkowego elementu, takiego jak… akt świadomości obserwatora. To

oczywiście wikła nas w jeszcze bardziej złożony niż problem pomiaru w

mechanice kwantowej, problem relacji między umysłem a materią. Po-

nadto według interpretacji kopenhaskiej redukcja wektora stanu jest pro-

cesem natychmiastowym, co stanowi pewien problem – przynajmniej

przy próbach realistycznej interpretacji wektora stanu – w związku z pod-

stawowymi założeniami teorii względności.

Zgodnie z interpretacją Żurka, za proces redukcji wektora stanu odpo-

wiedzialne jest oddziaływanie układu kwantowego ze środowiskiem, któ-

re tworzą inne cząstki elementarne, a także pola grawitacyjne, całkowicie

bez potrzeby wprowadzania do mechaniki kwantowej kategorii świado-

mego obserwatora. Dekoherencja stanu kwantowego powodowana przez

wpływ otoczenia zapobiega trwaniu superpozycji.96

Proces redukcji wek-

tora stanu nie jest procesem natychmiastowym, lecz procesem fizycznym,

którego prędkość zależy od wielkości rozważanego układu. Obliczenia

przeprowadzone przez Żurka pokazują, że dla obiektu makroskopowego o

masie rzędu 1 g i rozmiarach rzędu 1 cm czas, w którym oddziaływanie

środowiska powoduje dekoherencję jest rzędu 10-23

s, natomiast dla

cząstki o masie i rozmiarach rzędu elektronu (10-23

g, 10-13

cm) proces

taki może trwać 1014

s.97

Przy obiektach o dużej masie i rozmiarach (du-

żych w porównaniu z masami i rozmiarami elementarnych składników

materii) następuje bardzo szybki (wykładniczy) zanik kwantowych super-

pozycji i przejście do jednego ze stanów klasycznych.

W interpretacji tej „pomiaru” wykonuje po prostu środowisko, czyli

oddziaływanie układu kwantowego z innymi obiektami, a sam pomiar nie

jest szczególnie wyróżnionym rodzajem oddziaływania. Nie ma zasadni-

czej różnicy między światem klasycznym a kwantowym – jest ciągłe

przejście poprzez szereg stanów pośrednich.

_____________ 96

S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej, s. 381. 97

W. Żurek, Decoherence and the Transition from Quantum to Classical – Revisited,

[w:] http://vvkuz.ru/books/zurek.pdf p. 14.

99

QBISM

QBism to skrót od nazwy interpretacji mechaniki kwantowej zwanej

Quantum Bayesianism – kwantowy bayesjanizm.98

Nazwa pochodzi stąd,

że w teorii prawdopodobieństwa Bayesa prawdopodobieństwo jest rozu-

miane jako stopień przekonania w odniesieniu do pojedynczego zdarze-

nia, bez żadnych apriorycznych założeń na temat jego częstości. Zdaniem

zwolenników tej interpretacji wszelkie paradoksy mechaniki kwantowej

powstają na skutek niewłaściwej interpretacji funkcji falowej i pojęcia

prawdopodobieństwa. QBism proponuje powrót do zdroworozsądkowego

obrazu świata i eliminację kwantowych paradoksów dzięki subiektywnej

interpretacji funkcji falowej, która jest wyłącznie wyrazem wiedzy ob-

serwatora i w tym sensie istnieje tylko w umyśle indywidualnego fizyka.

W szczególności funkcji falowej nie odpowiada żadna rzeczywistość,

nawet rozumiana jako „tendencja do realizacji zdarzeń” (Heisenberg).

Pojęcie prawdopodobieństwa interpretowane jest w czysto subiektywny

sposób, jako miara przekonania, że nastąpi określone zjawisko.

Gdy stosujemy pojęcie prawdopodobieństwa do takich zdarzeń, jak na

przykład rzut monetą, to możemy stosować interpretację częstościową –

w wystarczająco długiej serii rzutów odsetek orłów i reszek będzie wyno-

sił około 50% i w tym sensie mówimy, że prawdopodobieństwo poszcze-

gólnego zdarzenia (wyrzucenia orła lub reszki) wynosi ½. Możemy to

określić mianem obiektywnej interpretacji prawdopodobieństwa. Jeżeli

natomiast mówimy na przykład, że prawdopodobieństwo wystąpienia

opadów określonego dnia wieczorem wynosi 60%, albo że kandydat X na

prezydenta na 70% szans na zwycięstwo w wyborach, wówczas, ponie-

waż tego typu zdarzenia są niepowtarzalne, to nie możemy stosować in-

terpretacji częstościowej. Prawdopodobieństwo wyraża wówczas stopień

naszego subiektywnego przekonania odnoście do zaistnienia przyszłych

stanów rzeczy. Taką interpretację prawdopodobieństwa określamy mia-

nem subiektywnej.

_____________ 98

C. M. Caves, C. A. Fuchs, R. Schack, Quantum probabilities as Bayesian probabi-

lities, [w:] http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0106133v2.pdf.

100

Zwolennicy QBismu proponują czysto subiektywną interpretację

prawdopodobieństwa i funkcji falowej w mechanice kwantowej, co ma

stanowić „lekarstwo na kwantowe absurdy”.99

Rozważmy przypadek kota

Schrödingera: wedle zwolenników omawianej interpretacji kot jest żywy

albo martwy, a redukcja wektora stanu (czy też kolaps funkcji falowej)

oznacza po prostu, że obserwator kierując się nowymi informacjami w

sposób skokowy zmienił swoją ocenę prawdopodobieństwa.

INTERPRETACJA STATYSTYCZNA

Istotą interpretacji statystycznej mechaniki kwantowej jest założenie, że

teoria ta w ogóle nie stosuje się do pojedynczych zdarzeń, lecz jest teorią

zespołów statystycznych. Oznacza to, że jeżeli wykonujemy pomiar na

układzie kwantowym, to należy przyjąć, że w istocie wykonujemy pomiar

na zespole identycznie przygotowanych obiektów. Otrzymujemy zatem po

jednym wyniku dla każdego z identycznie przygotowanych obiektów. Re-

zultat pomiaru przyjmuje zatem postać rozkładu prawdopodobieństwa

możliwych wyników pomiarów.100

Zgodnie z tą interpretacją poszukujemy

wyłącznie rozkładu statystycznego i nie interesujemy się pojedynczymi

zdarzeniami.

_____________ 99

Por. H. C. von Baeyer, Kwantowe paradoksy? Są tylko w naszych umysłach,

„Świat Nauki” 2013, nr 7, s. 33-37. 100

P. C. W. Davies, Duch w atomie, s. 127. [Terlecki, 1953] i Błochincew [Błochin-

cew, 1953].