andrzej marciniak pwsz kalisz fizyka - 3

8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 3

1/20

IX. OBROTY

9.1. Zmienne obrotowe

W celu opisania ruchu obrotowego ciała wokół ustalonej osi (zwanej osią obrotu) należy wy- brać linię prostopadłą do osi obrotu, która jest zwią zana z ciałem i która obraca się wraz z nim

(zob. rys. 9.1). Położeniem k ą towym ciała nazywamy k ą t 2 , jaki tworzy ta linia z pewnymstałym kierunkiem. K ą t ten, wyrażony w radianach, jest równy

gdzie s oznacza długość łuku okr ę gu o promieniu r odpowiadają cą k ą towi 2 .

Rys. 9.1. Obrót ciała wokół osi z

Jeśli ciało obróci się wokół osi obrotu i jego położenie k ą towe zmieni się z2 1 na2 2 , to prze-mieszczenie k ą towe ciała wyniesie

Przemieszczenie to jest dodatnie, gdy obrót zachodzi w kierunku przeciwnym do ruchu wska-

zówek zegara, a ujemne, gdy obrót zachodzi w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Jeśli w przedziale czasu)t przemieszczenie k ą towe wynosi)2 , to średnia pr ę dkość k ą towa cia-ła T sr jest określone wzorem

θ = s

r ,

∆θ θ θ = −2 1.

ω θ

sr t

= ∆

∆ .


2/20

9.2. Obrót ze stał ym przyspieszeniem k ątowym 61

Pochodną

nazywamy pr ędko ścią k ątową (chwilową ) ciała. Obie wielkości, T sr orazT , są wektorami, a ichkierunek jest wyznaczony przez regułę prawej dłoni. Są one dodatnie, gdy obrót zachodzi w kie-runku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Jeżeli w przedziale czasu )t = t 2 ! t 1 pr ę dkość k ą towa zmienia się z T 1 na T 2 , to wielkość

jest średnim przyspieszeniem k ą towym ciała. Przyspieszenie k ątowe (chwilowe) ciała jest równe

Wielkości " sr i " są wektorami.

9.2. Obrót ze stałym przyspieszeniem ką towym

Ważnym przypadkiem szczególnym ruchu obrotowego jest ruch obrotowy ze stałym przyspie-szeniem k ą towym (" = const). Dla wielkości k ą towych w tym ruchu obowią zują wówczas rów-nania znane dla wielkości liniowych w ruchu ze stałym przyspieszeniem liniowym. Mamy

Przyk ład

Tarcza szlifierska obraca się ze stałym przyspieszeniem k ą towym " = 0,35 rad / s2. W chwili począ tkowej t = 0 jej pr ę dkość k ą towa wynosiT 0 = !4,6 rad / s, a linia odniesienia jest pozioma,co odpowiada położeniu k ą towemu 2 0 = 0.

Po jakim czasie od chwili t = 0 linia odniesienia znajdzie się w położeniu 2 odpowiadają cym5 pełnym obrotom?

Ruch tarczy odbywa się ze stałym przyspieszeniem, wię c na podstawie drugiego z równań (9.1)mamy

ω θ

= d

dt

α ω ω ω

sr t t t

= −

− =2 1

2 1

∆

∆

α

ω

=

d

dt .

ω ω α

θ θ ω α

ω ω α θ θ

θ θ ω ω

θ θ ω α

= +

= + +

= + −

= + +

= + −

0

0 02

202

0

0 0

02

1

2

2

1

2

1

2

t

t t

t

t t

,

,

( ),

( ) ,

.

(9.1)

θ ω α = +021

2

t t ,


3/20


4/20

9.3. Zwią zki pomiędzy zmiennymi liniowymi i k ątowymi 63

Rys. 9.2. Wektor prędkości liniowej i przyspieszenie liniowe

Wielkość ta stanowi tylko część przyspieszenia liniowego – tę część, która jest zwią zana zezmianą wartości bezwzglę dnej v wektora pr ę dkości liniowej Jest to tzw. sk ładowa styczna

rv .

przyspieszenia liniowego punktu (zob. rys. 9.2 b)):

przy czym przyspieszenie k ą towe " = d T / dt powinno być wyrażone w mierze łukowej. Drugą sk ładową przyspieszenia jest przyspieszenie skierowane radialnie do środka okr ę gu. Sk ładową tę nazywa się sk ładową radialną przyspieszenia liniowego, która powoduje zmianę kierunkuwektora pr ę dkości liniowej Sk ładowa ta dana jest wzorem

rv.

a r st = α ,

a v

r r rad = =

22ω .


5/20

IX. Obroty64

Jeśli punkt ciała porusza się ruchem jednostajnym po okr ę gu, to okres obrotu T , odnoszą cysię zarówno do ruchu punktu, jak i do ciała sztywnego jako całości wynosi

9.4. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Obracają ce się ciało traktujemy jako zbiór czą stek o różnych pr ę dkościach liniowych. Jeżelidodamy do siebie energię kinetyczną tych wszystkich czą stek, to otrzymamy całkowitą energię kinetyczną ciała, czyli

gdzie mi oznacza masę i-tej czą stki, a vi – jej pr ę dkość. Ponieważ v = T r , wię c z powyższegowzoru otrzymujemy

gdyż pr ę dkość k ą towa T jest jednakowa dla wszystkich czą stek.

Wyrażenie w nawiasie po prawej stronie równania (9.4) informuje nas, jak rozłożona jestmasa obracają cego się ciała wokół jego osi symetrii. Wielkość tę nazywamy momentem bezwł ad-no ści i oznaczamy symbolem I , czyli

Uwzglę dniają c wzór (9.5), równanie (9.4) możemy napisać w postaci

Jeżeli ciało sztywne sk łada się z kilku czą stek, to jego moment bezwładności wzglę dem pew-nej osi obrotu możemy obliczyć ze wzoru (9.5) (wyznaczają c iloczyny dla każdej czą stki).m r i i

2

Jeśli jednak liczba czą stek jest bardzo duża, to wzór ten nie jest zbyt użyteczny (do obliczeń potrzebny był by komputer). W takim przypadku sumę zastę pujemy całk ą i definiujemy moment

bezwładności ciała (rozcią głego) jako

Na rys. 9.3 podano momenty bezwładności (otrzymane przez obliczenie tej całki) dla kilku ciało prostym kształcie i zaznaczonych osiach obrotu.

Moment bezwładności I ciała można tak że obliczyć, gdy znamy moment bezwładności I SM tego ciała wzglę dem osi równoległej do danej osi i przechodzą cej przez środek masy ciała. Jeśliodległość tych osi oznaczymy przez h (jest to odległość osi danej i osi do niej równoległej prze-chodzą cej przez środek masy), to

T r v

= =2 2π π ω

.

E m v m v m v m vk i i= + + + = ∑

1

2

1

2

1

2

1

21 12

2 2

2

3 3

2 2

K ,

( ) E m r m r k i i i i= =∑ ∑1

2

1

2

2 2 2( ) ,ω ω (9.4)

I m r i i= ∑ 2 . (9.5)

E I k = 1

2

2ω .

I r dm= ∫ 2 . (9.6)


6/20

9.4. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym 65

Rys. 9.3. Momenty bezwładności niektórych ciał

gdzie m oznacza całkowitą masę ciała. Równanie to ilustruje tzw. twierdzenie Steinera.

W celu udowodnienia twierdzenia Steinera oznaczmy przez O środek masy ciała o dowolnymkształcie (zob. rys. 9.4). Umieśćmy począ tek uk ładu współrzę dnych w punkcie O. Rozważmyoś przechodzą cą przez punkt O i prostopadłą do płaszczyzny xy oraz inną oś przechodzą cą przez

punkt P i równoległą do pierwszej. Współrzę dne x i y punktu P oznaczmy przez a i b.

Niech dm oznacza element masy ciała o współrzę dnych x i y. Z równania (9.6) wynika, żemoment bezwładności ciała wzglę dem osi przechodzą cej przez punkt P jest równy

Równanie to można przekształcić do postaci

Dla ciała rozcią głego druga i trzecia całka wyznaczają współrzę dne środka masy, a ponieważw rozważanym uk ładzie współrzę dnych jest on umieszczony w począ tku uk ładu, wię c całki te

są równe zeru. Z rys. 9.4 widać, że x2 + y2 = R2, wię c pierwsza całka jest równa momentowi bez-władności I SM wzglę dem osi przechodzą cej przez środek masy ciała. Ostatnia całka jest równa m,

I I mhSM = + 2 , (9.7)

I r dm x a y b dm= = − + −∫ ∫2 2 2[( ) ( ) ] .

I x y dm a xdm b ydm a b dm= + − − + +∫ ∫ ∫ ∫( ) ( ) .2 2 2 22 2


7/20

IX. Obroty66

a ponadto z rysunku mamy a2 + b2 = h2. Zatem ostatnie równanie sprowadza się do równa-nia (9.7).

Rys. 9.4. Przekrój ciała sztywnego o środku masy w punkcie O

9.5. Moment siły i druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

Moment siły jest miar ą zdolności siły do wprawienia ciała w ruch obrotowy wzglę demr

F ustalonej osi obrotu. Zdolność ta zależy nie tylko od wartości sk ładowej stycznej F st siły ale

r F ,

tak że od tego, jak daleko od osi obrotu jest ona przyłożona (zob. rys. 9.5). Moment siły M uwzglę dnia obydwa te czynniki i jest definiowany jako

gdzie F st oznacza sk ładową wektora prostopadłą do wektora N – k ą t mię dzy wektoramir

F r

r , a wielkość jest odległością prostej, wzdłuż której działa siła od osi obrotu.

r rr F i , r ⊥

r F ,

Wielkość ta nazywa się ramieniem siły wzglę dem danej osi obrotu. Jak widać z rys. 9.5 b),

r

F ramieniem siły sk ładowej F st jest wartość bezwzglę dna wektora czyli r .

rr ,

Jednostk ą momentu siły jest niuton razy metr (N @ m.). Moment siły jest dodatni, jeśli dążydo obrotu ciała w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, a jest ujemnyw przeciwnym przypadku.

Moment siły może spowodować obrót ciała sztywnego (tak dzieje się np. gdy otwieramydrzwi). Zwią zek pomię dzy momentem siły M i wywołanym przez ten moment przyspieszeniemk ą towym " stanowi drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego. Mamy

M rF r F rF st = = =⊥ sin ,φ

M I = α ,


8/20

9.5. Moment sił y i druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego 67

gdzie przyspieszenie k ą towe powinno być wyrażone w radianach na sekundę do kwadratu.Powyższe równanie można uogólnić na przypadek, gdy na czą stk ę działa wię cej niż jedna siła.Otrzymujemy wówczas

Rys. 9.5. Moment siły

M I wyp = α .


9/20

IX. Obroty68

9.6. Praca i energia kinetyczna ruchu obrotowego

Gdy moment siły wprawia ciało sztywne w ruch obrotowy wokół stałej osi, to wykonuje onnad ciałem pracę W . W zwią zku z tym może zmieniać się energia kinetyczna zwią zana z ruchemobrotowym ciała

Zwią zek zmiany energii kinetycznej ciała) E k (zak ładamy, że jest to jedyna postać energii, któramoże ulec zmianie) z pracą W wykonaną nad uk ładem jest nastę pują cy:

przy czym I oznacza moment bezwładności, a T konc i T pocz oznaczają pr ę dkości k ą towe ciała przed i po wykonaniu pracy nad uk ładem.

Pracę w ruchu obrotowym można wyznaczyć z równania

w którym M oznacza moment siły, który wykonuje pracę W , a 2 pocz i 2 konc oznaczają położeniak ą towe ciała przed i po wykonaniu pracy. Gdy moment siły M jest stały, to powyższe równanie

upraszcza się do postaci

Szybkość, z jak ą jest wykonywana praca, czyli moc, jest dana wzorem (por. odpowiedni wzór dla ruchu liniowego)

Zadania

1. Dobry baseballista potrafi rzucić piłk ę z pr ę dkością 85 mil na godzinę , wprawiają c ją jedno-cześnie w ruch obrotowy z pr ę dkością 1800 obrotów / min. Ile obrotów wykona piłka nadrodze 60 stóp? Dla uproszczenia przyjąć, że tor piłki jest linią prostą .

2. Bę ben obraca się wokół swej osi symetrii z pr ę dkością k ą tową 12,6 rad / s. W pewnej chwili(np. t = 0) bę ben zaczyna zwalniać, przy czym jego pr ę dkość k ą towa maleje w tempie4,2 rad / s2.

a) Po jakim czasie bę ben przestanie obracać się ? b) O jaki k ą t w tym czasie obróci się ?

3. Kr ążek, obracają cy się począ tkowo z pr ę dkością 120 rad / s, w pewnej chwili zaczyna zwal-

niać ze stałym przyspieszeniem k ą towym o wartości 4 rad / s2

.a) Po jakim czasie kr ążek zatrzyma się ?

E I k = 1

2

2ω .

∆ E E E I I W k k konc k pocz konc pocz = − = − =, , ,1

2

1

2

2 2ω ω

W Md

pocz

konc

= ∫ θ θ

θ

,

W M konc pocz = −( ).θ θ

P dW

dt M = = ω .


10/20

9.6. Praca i energia kinetyczna ruchu obrotowego 69

b) O jaki k ą t obróci się on w tym czasie?

4. Statek kosmiczny porusza się po łuku okr ę gu o promieniu 3220 km poruszają c się z pr ę d-

kością 29 000 km / h. Jaka jest wartość jego:a) pr ę dkości k ą towej, b) przyspieszenia radialnego,

c) przyspieszenia stycznego?

5. W okresie od 1911 do 1990 roku wierzchołek krzywej wieży w Pizie przemieszczał się na południe ze średnią pr ę dkością 1,2 mm / rok. Wysokość wieży wynosi 55 m. Oblicz średnią pr ę dkość k ą tową wierzchołka wieży wzglę dem jej podstawy wyrażają c ją w radianach nasekundę .

6. Koło zamachowe o średnicy 1,2 m obraca się z pr ę dkością k ą tową równą 200 obrotów naminutę .

a) Ile wynosi pr ę dko

ść k ą towa w radianach na sekund

ę ? b) Ile wynosi pr ę dkość liniowa punktu na obrzeży koła?

c) Jakie stałe przyspieszenie należy nadać temu kołu, aby zwię kszyć jego pr ę dkość k ą tową do wartości 1000 obrotów na minutę w czasie 60 s? Podać odpowiedź w obrotach naminutę do kwadratu.

d) Ile obrotów wykona koło w czasie 60 sekund?

7. Obliczyć moment bezwładności koła, które ma energię kinetyczną równą 24 400 J, gdyobraca się z pr ę dkością k ą tową 602 obrotów / min.

8. Dwa jednorodne walce o takich samych masach równych 1,25 kg, ale o różnych promie-niach podstawy, zostały wprawione (każdy z osobna) w ruch obrotowy wokół swej osiz pr ę dkością k ą tową 235 rad / s. Ile wynosi energia kinetyczna ruchu obrotowego:a) walca o mniejszym promieniu podstawy równym 0,25 m,

b) walca o wię kszym promieniu podstawy równym 0,75 m?

9. Oblicz moment bezwładności przymiaru metrowego o masie 0,56 kg wzglę dem osi prosto- padłej do przymiaru i przechodzą cej przez kresk ę oznaczoną jako 20 cm (przyjąć, że przy-miar można uważać za cienki pr ę t).

10. Niewielk ą kulk ę o masie 0,75 kg przymocowano do końca pr ę ta o długości 1,25 m i zniko-mo małej masie, a drugi koniec pr ę ta zawieszono na osi. Wyznacz moment siły działają cyna utworzone w ten sposób wahadło, gdy jest ono odchylone od pionu o k ą t 30°.

11. Podczas odbicia się skoczka od trampoliny pr ę dkość k ą towa jego obrotu wokół środka masy

wzrasta od zera do 6,2 rad / s w czasie 220 ms. Wyznaczyć wartość:a) średniego przyspieszenia k ą towego skoczka, b) średniego momentu siły działają cego na niego ze strony trampoliny, jeśli moment bez-

władności skoczka wzglę dem środka jego masy wynosi 12 kg @ m2.

12. Wał korbowy samochodu przenosi energię z silnika na oś z szybkością 100 KM (= 74,6 kW)obracają c się z pr ę dkością 1800 obrotów / min. Jakim momentem siły (w niutonach razymetr) działa on na oś?

13. Koło o masie 32 kg, które można uważać za cienk ą obr ę cz o promieniu 1,2 m, obraca się z pr ę dkością 280 obrotów / min. Trzeba je zatrzymać w cią gu 15 s.a) Jak ą pracę należy przy tym wykonać?

b) Jaka średnia moc jest do tego potrzebna?


11/20

X. TOCZENIE SIĘ CIAŁ, MOMENT SIŁ Y I MOMENT PĘDU

10.1. Siły i energia kinetyczna w ruchu tocznym

Bę dziemy zajmować się ciałami toczą cymi się bez poślizgu na podłożu. Wyobraźmy sobiekoło roweru, które porusza się ze stałą pr ę dkością i niedoznają ce poślizgu. Środek masy tego

koła i punkt, w którym koło styka się z podłożem przemieszczają się do przodu ze stałą pr ę d-kością vSM . Jeśli przez pewien czas t obydwa te punkty przebyły drogę s, to rowerzysta widzi,że koło obróciło się w tym czasie wokół swej osi o k ą t 2 , a dowolny punkt na obrzeżu kołazakreślił łuk o długości s. Ta długość łuku s jest zwią zana z k ą tem obrotu 2 równaniem

gdzie R oznacza promień koła. Różniczkują c to równanie wzglę dem czasu otrzymujemy

gdzie T oznacza pr ę dkość k ą tową koła wokół jego osi, która jest równa d 2 / dt (wartość R jeststała).

Jak widać na rys. 10.1, toczenie się koła (bez poślizgu) można uważać za połą czenie ruchuwyłą cznie postę powego (rys. 10.1 b)) i ruchu wyłą cznie obrotowego (rys. 10.1 a)). Zauważmy,że punkt znajdują cy się na dole koła (punkt P ) ma pr ę dkość liniową równą zeru, a punkt znaj-dują cy się na górze (punkt G) porusza się z pr ę dkością liniową 2vSM , czyli najszybciej spośródwszystkich punktów koła.

Rys. 10.1 Toczenie się koła

Jeżeli uwzglę dnimy tylko ruch obrotowy, to na podstawie p. 9.4 energia kinetyczna toczą ce-go się koła jest równa

s R= θ ,

v RSM = ω , (10.1)


12/20

10.1. Sił y i energia kinetyczna w ruchu tocznym 71

gdzie T oznacza pr ę dkość k ą tową koła, a I P – moment bezwładności koła wzglę dem osi przechodzą cej przez punkt P . Z twierdzenia Steinera ( I = I SM + mh

2) dostajemy

gdzie m oznacza masę koła, I SM – jego moment bezwładności wzglę dem osi przechodzą cej przezśrodek masy koła, a R (promień koła) oznacza odległość tych dwóch osi obrotu (wielkość hw twierdzeniu Steinera). Podstawiają c wielkość I P do poprzedniego wzoru mamy

sk ą d po uwzglę dnieniu zależności vSM = T R otrzymujemy

Pierwszy wyraz możemy interpretować jako energię kinetyczną ruchu obrotowego koła wokółosi przechodzą cej przez środek jego masy, a drugi – jako energię kinetyczną ruchu postę powegośrodka masy koła. Mamy zatem poniższą zasadę .

Rozważmy teraz toczenie się ciała po równi pochyłej. Na rys. 10.2 przedstawiono jednorodneciało okr ą głe o masie m i promieniu R, które stacza się bez poślizgu po równi pochyłej wzdłużosi x tworzą cej k ą t 2 z poziomem. Naszym celem jest wyznaczenie przyspieszenia aSM , x ruchuciała wzdłuż równi. W tym celu należy rozważyć siły działają ce na ciało. Mamy:• działają cą na ciało siłę ciężkości która jest skierowana pionowo w dół; jeśli koniec jej

r F g ,

wektora umieścimy w środku masy ciała, to jej sk ładowa wzdłuż równi wynosi

• siłę normalną która działa prostopadle do równi w punkcie P jego styczności z podłożemr

F N ,(na rys. 10.2 przesunię to wektor tej siły wzdłuż jego kierunku, tak aby jego począ tek znajdo-wał się w środku masy ciała),

• siłę tarcia statycznego która działa na ciało w punkcie P styczności z podłożem i jest skie-r

f s ,rowana wzdłuż równi w gór ę .

Z drugiej zasady dynamiki Newtona dla sk ładowych wzdłuż osi x mamy

Równanie to zawiera dwie niewiadome: f s i aSM , x .

E I k P = 1

2

2ω ,

I I mR P SM = + 2 ,

E I mRk SM = +1

2

1

2

2 2 2ω ω ,

E I mvk SM SM = +1

2

1

2

2 2ω .

Toczą ce się ciało ma dwa rodzaje energii kinetycznej: energię kinetyczną ruchu obrotowego

zwią zaną z jego ruchem obrotowym przechodzą cym przez środek masy oraz

1

2

2

I SM ω

energię kinetyczną ruchu postę powego zwią zaną z ruchem postę powym środka

1

2

2mvSM

masy.

F mg g sin sin ;θ θ =

f mg ma s SM x− =sin .,θ (10.2)


13/20

X. Toczenie się ciał , moment sił y i moment pędu72

Rys. 10.2. Staczanie się jednorodnego ciała okrągłego po równi pochyłej

Ramię siły tarcia wynosi R, co daje moment siły o wartości Rf s , który jest dodatni, bor

f sdąży do obrotu ciała w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Ramiona sił

wzglę dem środka masy są równe zeru, a zatem nie są z nimi zwią zane żadne mo-r r

F F g N i

menty siły. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego ( M wyp = I " ) można zatem dla osi prze-chodzą cej przez środek masy zapisać nastę pują co:

Równanie to zawiera tak że dwie niewiadome: f s i " (przyspieszenie k ą towe).

Ciało toczy się bez poślizgu, wię c możemy skorzystać z równania (10.1), które pozróżniczkowaniu wzglę dem czasu daje

Znak minus bierze się stą d,

że wektor przyspieszenia ma kierunek ujemny osi x, a przyspieszeniek ą towe" jest dodatnie, bo obrót nastę puje w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Jeżeli z ostatniego równania wyznaczymy " i podstawimy do równania (10.3), to otrzymamy

Podstawiają c prawą stronę tej zależności do równania (10.2) dostajemy ostatecznie

Z równania tego można obliczyć przyspieszenie liniowe aSM , x każdego ciała staczają cego się porówni pochyłej, która jest nachylona do poziomu pod k ą tem 2 .

Rf I s SM = α . (10.3)

− =a RSM x, .α

f I a

R s SM

SM x= −

,.

2

a g

I mRSM x

SM

,

sin

/.= −

+

θ

1 2


14/20

10.2. Moment sił y i moment pędu 73

10.2. Moment siły i moment pędu

W przestrzeni trójwymiarowej moment siły jest wielkością wektorową zdefiniowaną r

wzglę dem pewnego punktu (zwykle począ tku uk ładu współrzę dnych) wzorem

gdzie oznacza siłę działają cą na czą stk ę , a oznacza wektor położenia czą stki wzglę demr

F r

r ustalonego punktu (zob. rys. 10.3 a)). Wartość bezwzglę dna wektora jest równa

r

gdzieN oznacza k ą t pomię dzy wektorami i , oznacza sk ładową wektora w kierun-rr

r F F ⊥

r F

ku prostopadłym do wektora , a oznacza ramię siły (zob. rys. 10.3 b)). Kierunek wek-

r

r r ⊥

r

F tora wynika z reguły prawej dłoni dla iloczynu wektorowego (zob. rys. 10.3 c)).r

Rys. 10.3. Moment siły w przestrzeni trójwymiarowej

Moment pę du czą stki o pę dzie masie m i pr ę dkości liniowej jest wielkością wekto-rl

r p,

rv

rową zdefiniowaną wzglę dem pewnego punktu (zwykle począ tku uk ładu współrzę dnych) wzo-rem

Wartość bezwzglę dna wektora jest równarl

gdzie N oznacza k ą t pomię dzy wektorami – sk ładowe wektorówr rr pi , p v⊥ ⊥i

r r p vi

w kierunku prostopadłym do kierunku wektora a oznacza odległość punktu, wzglę demrr , r ⊥

którego obliczamy moment pę du, od kierunku wektora Kierunek wektora wynika z regułyr

p.rl

prawej dłoni: jeżeli palce ustawimy wzdłuż łuku, jaki trzeba zatoczyć, by nałożyć wektor narr

wektor to kciuk wskaże kierunek wektorar

p,rl.

r r r M r F = × ,

M rF rF r F = = =⊥ ⊥sin ,φ

rl

r r r r= × = ×

r p m r v( ).

l = = = = =⊥ ⊥ ⊥ ⊥rmv rp rmv r p r mvsin ,φ


15/20


Druga zasada dynamiki Newtona, zapisana w postaci

przedstawia zwią zek siły z pę dem dla pojedynczej czą stki. Dla ruchu obrotowego zasada ta przyjmuje postać wzoru

co słowami można wyrazić nastę pują co: suma wektorowa wszystkich momentów siły działają -cych na czą stk ę jest równa szybkości zmiany momentu pę du tej czą stki.

10.3. Moment pędu ciała sztywnego

Moment pę du uk ładu czą stek jest sumą wektorową momentów pę du poszczególnychr

Lczą stek, tj.

Szybkość, z jak ą zmienia się moment pę du, jest równa wypadkowemu zewnę trznemu momen-towi sił działają cych na uk ład, czyli sumie wektorowej wszystkich zewnę trznych momentów sił,które działają na czą stki uk ładu, co można zapisać wzorem

Dla ciała sztywnego obracają cego się wokół stałej osi sk ładowa jego momentu pę du równo-legła do osi obrotu wynosi

gdzie I oznacza moment bezwładności ciała wzglę dem tej osi, a T – jego pr ę dkość k ą tową .

10.4. Zachowanie momentu pędu

Moment pę du uk ładu nie zmienia się , gdy wypadkowy zewnę trzny moment siły działają cy

r

Lna uk ład jest równy zeru, co można zapisać nastę pują co:

Jest to zasada zachowania momentu pę du. Można ją też zapisać wzorem

i wyrazić słowami: jeśli działają cy na uk ład wypadkowy moment siły jest równy zeru, to cał-kowity moment pę du uk ładu nie zmienia się niezależnie od tego, jakim zmianom podlega

r L

uk ład.

r r

F dp

dt wyp = ,

r r

l M

d

dt wyp = ,

r rl

rl K

rl

rl L n i

i

n

= + + + ==

∑1 21

.

r r

M dLdt

wyp = .

L I = ω ,

r L = const.

r r L L pocz konc=


16/20

10.5. Precesja ż yroskopu 75

10.5. Precesja żyroskopu

Prosty żyroskop sk łada się z koła osadzonego na ośce, mogą cego na tej ośce obracać się wo-kół osi. Jeśli koniec ośki oprzemy na wsporniku (zob. rys. 10.4 a)), a koło nie bę dzie obracać się i puścimy je swobodnie, to koło opadnie, obracają c się w dół wokół osi poziomej przechodzą cej

przez punkt podparcia ośki na wsporniku. Ponieważ musi być przy tym spełniona druga zasadadynamiki dla ruchu obrotowego, czyli

oznacza to, że moment siły, który jest źródłem obrotu w dół (czyli upadku koła), zmieniamoment pę du żyroskopu który począ tkowo był równy zeru. Moment siły jest momentem

r L,

r

siły ciężkości która działa na środek masy żyroskopu, za który możemy przyjąć środek mg r

,koła.

Rys. 10.4. Precesja żyroskopu

r r

M dL

dt = ,


17/20


Żyroskop, którego koło szybko obraca się , zachowuje się inaczej. Jeśli puścimy go swobodniew chwili, w której ośka jest lekko skierowana w gór ę , to koło najpierw nieco opadnie, a zaraz

potem, wciąż obracają c się na ośce, zacznie się wraz z nią obracać w płaszczyźnie poziomejwokół osi pionowej przechodzą cej przez punkt podparcia O. Ten ruch nazywa się precesją.

Aby to wyjaśnić, rozważmy moment pę du żyroskopu zwią zany z ruchem obrotowym koła.r

LDla prostoty załóżmy, że koło wiruje bardzo szybko, co oznacza, że moment pę du jest dużo

r L

wię kszy niż moment pę du zwiany z precesją żyroskopu. Przyjmijmy też, że gdy precesja zaczynasię , ośka żyroskopu jest pozioma (zob. rys. 10.4 b)). Długość wektora wynosi

r L

gdzie I oznacza moment bezwładności żyroskopu wzglę dem jego ośki, a T – pr ę dkość k ą tową ,z jak ą koło wiruje na ośce. Wektor ma kierunek ośki i ponieważ jest on równoległy do wekto-

r L

ra wię c wektor momentu siły musi być prostopadły do wektora (zob. rys. 10.4 b)).rr ,

r r L

Pod wpływem momentu siły w małym przedziale czasu dt zachodzi mała zmianar

dL

r

momentu pę du żyroskopu, czyli

Ponieważ żyroskop wiruje bardzo szybko, wartość wektora jest cały czas określona przezr

Lrównanie (10.4). Moment siły jest w stanie zmienić tylko kierunek wektora ale nie jego war-

r L,

tość.

Z równania (10.5) widać, że wektor ma taki sam kierunek, jak wektor czyli jest pro-dLr r

M ,stopadły do wektora Jeśli zatem zmiana wektora ma mieć kierunek wektora to jedy-

r L.

r L

r M ,

nym sposobem, aby tak było, jest obrót wektora wokół osi z (zob. rys. 10.4 c)). Wektorr

Lr

L

nie zmienia długo

ści, jego koniec zatacza ko

łowy tor, a wektor jest zawsze styczny do tego

r

toru. Ponieważ wektor ma zawsze kierunek ośki, to ośka, a zatem i cały żyroskop obraca się r Lwokół osi z w kierunku wektora i to jest właśnie precesja.

r

Aby wyznaczyć pr ę dkość k ą tową precesjiS, należy najpierw obliczyć długość wektora dLr

.Mamy

bo k ą t mię dzy wektorami wynosi 90° (zob. rys. 10.4 a)). Gdy w małym przedziale cza-mg r r r

isu dt wektor ulega niewielkiej zmianie, ośka i wektor zataczają mały k ą t d N , gdy wykonu-

r L

r L

ją precesję wokół osi z (na rys. 10.4 c) k ą t d N narysowano przesadnie duży). Z równań (10.4)i (10.6) otrzymujemy

Po podzieleniu tego równania przez dt otrzymamy

Zauważmy, że pr ę dkość k ą towa precesjiS maleje, gdy rośnie pr ę dkość k ą towaT oraz że, gdybyna żyroskop nie działała siła ciężkości to nie byłoby i jego precesji.mg

r,

L I = ω , (10.4)

dL dt r r

= . (10.5)

dL Mdt mgr dt mgrdt = = ° =sin ,90 (10.6)

d

dL

L

mgrdt

I φ ω = = .

Ω = =d

dt

mgr

I

φ

ω .


18/20


19/20


b) kierunek całkowitego momentu pę du tych ciał wzglę dem punktu O.

Rys. 10.5. Zadanie 7

8. W chwili t = 0 czą stka o masie 3 kg znajduje się w punkcie o współrzę dnych x = 3 m, y = 8 m i ma pr ę dkość Siła o wartości 7 N działa na nią

rv = −( / )$ ( / )$.5 6m s i m s j

w ujemnym kierunku osi x.

a) Ile wynosi moment pę du tej czą stki wzglę dem począ tku uk ładu współrzę dnych? b) Ile wynosi działają cy na nią moment siły wzglę dem począ tku uk ładu współrzę dnych?c) Z jak ą szybkością zmienia się w czasie moment pę du tej czą stki?

9. Trzy czą stki o masie m = 23 g każda połą czono ze sobą i z osią obrotu, przechodzą cą przez punkt O, za pomocą trzech pr ę tów o długości d = 12 cm i znikomo małej masie (zob.rys. 10.6). Uk ład ten wykonuje ruch obrotowy z pr ę dkością k ą tową T = 0,85 rad / s. Wy-znaczyć:a) moment bezwładności uk ładu czą stek,

b) wartość momentu pę du środkowej czą stki,c) wartość całkowitego momentu pę du uk ładu czą stek wzglę dem punktu O.

Rys. 10.6. Zadanie 8

10. Moment pę du koła zamachowego o momencie bezwładności wzglę dem osi koła równym0,14 kg @ m2 maleje w cią gu 1,5 s z 3 do 0,8 kg @ m2 / s.a) Ile wynosi średnia wartość momentu siły wzglę dem osi koła działają cego na nie w tym

czasie?

b) O jaki k ą t obraca się koło w tym czasie przy założeniu, że jego przyspieszenie k ą towe jest stałe?


20/20

10.5. Precesja ż yroskopu 79

c) Jaka praca zostaje wykonana nad kołem w tym czasie?d) Ile wynosi średnia moc tego koła zamachowego?

11. Człowiek stoi na platformie obracają cej się bez tarcia z pr ę dkością k ą tową 1,2 obrotów / si w każdej z wycią gnię tych r ą k trzyma cegłę . Moment bezwładności uk ładu złożonegoz człowieka, cegieł i platformy wzglę dem osi obrotu wynosi 6 kg @ m2. Przycią gają c cegłydo tułowia, człowiek zmniejsza moment bezwładności uk ładu do wartości 2 kg @ m2.a) Ile wynosi pr ę dkość k ą towa platformy po wykonaniu przez człowieka tego manewru?

b) Ile wynosi stosunek końcowej i począ tkowej energii kinetycznej uk ładu?

12. Tor modelu kolejki elektrycznej został ułożony na dużym kole, które może obracać się beztarcia wokół pionowej osi. Na torze ustawiono kolejk ę o masie m i w chwili, w której całyuk ład pozostawał w spoczynku, włą czono jej zasilanie. Po upływie pewnego czasu kolejka

porusza się ze stałą pr ę dkością o wartości 0,15 m / s wzglę dem toru. Z jak ą pr ę dkością k ą to-wą obraca się wówczas koło, którego masa wynosi 1,1 m, a promień jest równy 0,43 m?Wskazówka: potraktować koło jako obr ę cz oraz pominąć masę szprych i piasty koła.

13. Dwie tarcze umocowano na wspólnej osi za pomocą łożysk o bardzo małym tarciu. Tarczete mogą zostać ze sobą sprzężone tak, że bę dą się obracać łą cznie – jak jedno ciało. Wy-obraźmy sobie, że pierwszą tarczę , o momencie bezwładności wzglę dem jej osi równym3,3 kg @ m2, wprawiono w ruch obrotowy z pr ę dkością k ą tową 450 obrotów / min, a drugą tarczę , o momencie bezwładności wzglę dem jej osi równym 6,6 kg @ m2, wprawiono w ruchobrotowy z pr ę dkością k ą tową 900 obrotów / min w tym samym kierunku co pierwszą . Na-stę pnie sprzę gnię to tarcze ze sobą .a) Ile wynosi ich pr ę dkość k ą towa po sprzężeniu?Wyobraźmy sobie nastę pnie, że druga tarcza obraca się począ tkowo z pr ę dkością k ą tową

900 obrotów / min, ale w kierunku przeciwnym niż pierwsza. b) Ile wynosi w tym przypadku pr ę dkość k ą towa tarcz po ich sprzężeniu?c) W któr ą stronę one obracają się ?

14. Pewien żyroskop sk łada się z jednorodnego kr ążka o promieniu 50 cm umocowanego naośce o długości 11 cm i znikomo małej masie. Ośka jest pozioma i podparta na końcu. Wy-znaczyć pr ę dkość k ą tową precesji żyroskopu, gdy kr ążek wiruje z pr ę dkością k ą tową 1000obrotów / s.

andrzej marciniak pwsz kalisz fizyka - 3

Documents