andrzej marciniak pwsz kalisz fizyka - 3

Download Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 3

Post on 05-Jul-2018

212 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 3

    1/20

    IX. OBROTY

    9.1. Zmienne obrotowe

    W celu opisania ruchu obrotowego ciała wokół ustalonej osi (zwanej osią obrotu) należy wy-  brać linię  prostopadłą  do osi obrotu, która jest zwią zana z ciałem i która obraca się  wraz z nim

    (zob. rys. 9.1). Położeniem k ą towym ciała nazywamy k ą t 2 , jaki tworzy ta linia z pewnymstałym kierunkiem. K ą t ten, wyrażony w radianach, jest równy

    gdzie s oznacza długość łuku okr ę gu o promieniu r  odpowiadają cą  k ą towi 2 .

    Rys. 9.1. Obrót ciała wokół osi  z 

    Jeśli ciało obróci się  wokół osi obrotu i jego położenie k ą towe zmieni się  z2 1 na2 2 , to prze- mieszczenie k ą towe ciała wyniesie

    Przemieszczenie to jest dodatnie, gdy obrót zachodzi w kierunku przeciwnym do ruchu wska-

    zówek zegara, a ujemne, gdy obrót zachodzi w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

    Jeśli w przedziale czasu)t  przemieszczenie k ą towe wynosi)2 , to średnia pr ę dkość k ą towa cia- ła T sr  jest określone wzorem

    θ  =   s

    r  ,

    ∆θ θ θ = −2 1.

    ω    θ 

     sr  t 

    =  ∆

    ∆   .

  • 8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 3

    2/20

    9.2. Obrót ze stał  ym przyspieszeniem k ątowym 61

    Pochodną 

    nazywamy pr ędko ścią k ątową (chwilową ) ciała. Obie wielkości, T sr  orazT , są  wektorami, a ich kierunek jest wyznaczony przez regułę  prawej dłoni. Są  one dodatnie, gdy obrót zachodzi w kie- runku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

    Jeżeli w przedziale czasu )t  = t 2 ! t 1 pr ę dkość k ą towa zmienia się  z T 1 na T 2 , to wielkość

     jest średnim przyspieszeniem k ą towym ciała. Przyspieszenie k ątowe (chwilowe) ciała jest równe

    Wielkości " sr  i "  są  wektorami.

    9.2. Obrót ze stałym przyspieszeniem ką towym

    Ważnym przypadkiem szczególnym ruchu obrotowego jest ruch obrotowy ze stałym przyspie- szeniem k ą towym ("  = const). Dla wielkości k ą towych w tym ruchu obowią zują  wówczas rów- nania znane dla wielkości liniowych w ruchu ze stałym przyspieszeniem liniowym. Mamy

    Przyk ład

    Tarcza szlifierska obraca się  ze stałym przyspieszeniem k ą towym "  = 0,35 rad / s2. W chwili  począ tkowej t  = 0 jej pr ę dkość k ą towa wynosiT 0 = !4,6 rad / s, a linia odniesienia jest pozioma, co odpowiada położeniu k ą towemu 2 0 = 0.

    Po jakim czasie od chwili t  = 0 linia odniesienia znajdzie się  w położeniu 2  odpowiadają cym 5 pełnym obrotom?

    Ruch tarczy odbywa się  ze stałym przyspieszeniem, wię c na podstawie drugiego z równań (9.1) mamy

    ω    θ 

    =  d 

    dt 

    α    ω ω    ω 

     sr  t t t 

    =   −

    −   =2 1

    2 1

    α 

      ω 

    =

     d 

    dt  .

    ω ω α 

    θ θ ω α  

    ω ω α θ θ  

    θ θ ω ω  

    θ θ ω α  

    = +

    = + +

    = + −

    = + +

    = + −

    0

    0 0 2

    2 0 2

    0

    0 0

    0 2

    1

    2

    2

    1

    2

    1

    2

    t t 

    t t 

    ,

    ,

    ( ),

    ( ) ,

    .

    (9.1)

    θ ω α = +0 21

    2

    t t   ,

  • 8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 3

    3/20

  • 8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 3

    4/20

    9.3. Zwią zki pomiędzy zmiennymi liniowymi i k ątowymi 63

    Rys. 9.2. Wektor prędkości liniowej i przyspieszenie liniowe

    Wielkość ta stanowi tylko część przyspieszenia liniowego – tę  część, która jest zwią zana ze zmianą  wartości bezwzglę dnej v wektora pr ę dkości liniowej Jest to tzw. sk ładowa styczna

    r v .

     przyspieszenia liniowego punktu (zob. rys. 9.2 b)):

     przy czym przyspieszenie k ą towe "  = d T  / dt  powinno być wyrażone w mierze łukowej. Drugą  sk ładową  przyspieszenia jest przyspieszenie skierowane radialnie do środka okr ę gu. Sk ładową  tę  nazywa się  sk ładową  radialną  przyspieszenia liniowego, która powoduje zmianę  kierunku wektora pr ę dkości liniowej Sk ładowa ta dana jest wzorem

    r v.

    a r  st   = α   ,

    a   v

    r  r rad   = =

    2 2ω    .

  • 8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 3

    5/20

     IX. Obroty64

    Jeśli punkt ciała porusza się  ruchem jednostajnym po okr ę gu, to okres obrotu T , odnoszą cy się  zarówno do ruchu punktu, jak i do ciała sztywnego jako całości wynosi

    9.4. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

    Obracają ce się  ciało traktujemy jako zbiór czą stek o różnych pr ę dkościach liniowych. Jeżeli dodamy do siebie energię  kinetyczną  tych wszystkich czą stek, to otrzymamy całkowitą  energię  kinetyczną  ciała, czyli

    gdzie mi oznacza masę  i-tej czą stki, a vi – jej pr ę dkość. Ponieważ v = T r , wię c z powyższego wzoru otrzymujemy

    gdyż pr ę dkość k ą towa T  jest jednakowa dla wszystkich czą stek.

    Wyrażenie w nawiasie po prawej stronie równania (9.4) informuje nas, jak rozłożona jest masa obracają cego się  ciała wokół jego osi symetrii. Wielkość tę  nazywamy momentem bezwł ad- no ści i oznaczamy symbolem I , czyli

    Uwzglę dniają c wzór (9.5), równanie (9.4) możemy napisać w postaci

    Jeżeli ciało sztywne sk łada się  z kilku czą stek, to jego moment bezwładności wzglę dem pew- nej osi obrotu możemy obliczyć ze wzoru (9.5) (wyznaczają c iloczyny dla każdej czą stki).m r i i

    2

    Jeśli jednak liczba czą stek jest bardzo duża, to wzór ten nie jest zbyt użyteczny (do obliczeń  potrzebny był by komputer). W takim przypadku sumę  zastę  pujemy całk ą  i definiujemy moment

     bezwładności ciała (rozcią głego) jako

     Na rys. 9.3 podano momenty bezwładności (otrzymane przez obliczenie tej całki) dla kilku ciał o prostym kształcie i zaznaczonych osiach obrotu.

    Moment bezwładności I  ciała można tak że obliczyć, gdy znamy moment bezwładności I SM  tego ciała wzglę dem osi równoległej do danej osi i przechodzą cej przez środek masy ciała. Jeśli odległość tych osi oznaczymy przez h (jest to odległość osi danej i osi do niej równoległej prze- chodzą cej przez środek masy), to

    T    r  v

    = =2 2π π  ω 

    .

     E m v m v m v m vk i i= + + + = ∑

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    21 1 2

    2 2

    2

    3 3

    2 2

    K   ,

    (   ) E m r m r k i i i i= =∑ ∑ 1

    2

    1

    2

    2 2 2 ( ) ,ω ω  (9.4)

     I m r i i= ∑   2 . (9.5)

     E I k   =  1

    2

    2 ω   .

     I r dm= ∫   2 . (9.6)

  • 8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 3

    6/20

    9.4. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym 65

    Rys. 9.3. Momenty bezwładności niektórych ciał

    gdzie m oznacza całkowitą  masę  ciała. Równanie to ilustruje tzw. twierdzenie Steinera.

    W celu udowodnienia twierdzenia Steinera oznaczmy przez O środek masy ciała o dowolnym kształcie (zob. rys. 9.4). Umieśćmy począ tek uk ładu współrzę dnych w punkcie O. Rozważmy oś przechodzą cą  przez punkt O i prostopadłą  do płaszczyzny xy oraz inną  oś przechodzą cą  przez

     punkt P  i równoległą  do pierwszej. Współrzę dne x i y punktu P  oznaczmy przez a i b.

     Niech dm oznacza element masy ciała o współrzę dnych x i y. Z równania (9.6) wynika, że moment bezwładności ciała wzglę dem osi przechodzą cej przez punkt P  jest równy

    Równanie to można przekształcić do postaci

    Dla ciała rozcią głego druga i trzecia całka wyznaczają  współrzę dne środka masy, a ponieważ w rozważanym uk ładzie współrzę dnych jest on umieszczony w począ tku uk ładu, wię c całki te

    są  równe zeru. Z rys. 9.4 widać, że x2 + y2 = R2, wię c pierwsza całka jest równa momentowi bez- władności I SM  wzglę dem osi przechodzą cej przez środek masy ciała. Ostatnia całka jest równa m,

     I I mhSM = +   2 , (9.7)

     I r dm x a y b dm= = − + −∫ ∫ 2 2 2[( ) ( ) ] .

     I x y dm a xdm b ydm a b dm= + − − + +∫ ∫ ∫ ∫( ) ( ) . 2 2 2 22 2

  • 8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 3

    7/20

     IX. Obroty66

    a ponadto z rysunku mamy a2 + b2 = h2. Zatem ostatnie równanie sprowadza się  do równa- nia (9.7).

    Rys. 9.4. Przekrój ciała sztywnego o środku masy w punkcie O

    9.5. Moment siły i druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

    Moment siły jest miar ą  zdolności siły do wprawienia ciała w ruch obrotowy wzglę dem r

     F  ustalonej osi obrotu. Zdolność ta zależy nie tylko od wartości sk ładowej stycznej F  st  siły ale

    r  F ,

    t