andrzej marciniak pwsz kalisz fizyka - 5

Download Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 5

Post on 05-Jul-2018

213 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 5

    1/22

    XIV. DRGANIA

    14.1. Ruch harmoniczny

    Świat jest pełen ciał, które wykonują  drgania, czyli poruszają  się  na przemian w jedną  stronę  i z powrotem. Drgania te mierzy się  za pomocą  czę stotliwości. Czę stotliwość drgań 

  • 8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 5

    2/22

    14.1. Ruch harmoniczny 99

    Ostatnia stała N  nazywa się   faz ą pocz ątkową. Jej ujemna wartość daje przesunię cie wykresu  przemieszczenia w lewo, a dodatnia – w prawo (zob. rys. 14.1).

    Rys. 14.1. Wykres przemieszczenia

      w ruchu harmonicznym

    Różniczkują c wzór (14.1) otrzymujemy wyrażenie na pr ę dkość ciała wykonują cego ruch har- moniczny:

    czyli

    Wielkość stoją ca przed funkcją  sinus wyznacza zakres zmian pr ę dkości – zmienia się  ona w gra- nicach od +T  xm do !T  xm .

    Znają c pr ę dkość w ruchu harmonicznym i wykonują c ponowne różniczkowanie, otrzymamy wzór na przyspieszenie drgają cego ciała:

    czyli

    sk ą d po uwzglę dnieniu zależności (14.1) dostajemy

    Z drugiej zasady dynamiki Newtona można obliczyć siłę  działają cą  na ciało, by nadać mu  przyspieszenie wyrażone wzorem (14.3). Mamy

    Znak minus oznacza, że kierunek siły działają cej na czą stk ę  jest przeciwny do kierunku jej prze-

    mieszczenia. Oznacza to, że siła powodują ca ruch harmoniczny jest siłą  zwrotną , która stara się  zawrócić poruszają cą  się  czą stk ę  do punktu równowagi x = 0. Możemy zatem powiedzieć, że

    v t    dx t 

    dt 

    dt   x t m( )

      ( ) [ cos( )],= = +ω φ 

    v t x t  m( ) sin( ).= − +ω ω φ  (14.2)

    a t    dv t 

    dt 

    dt   x t m( )

      ( ) [ sin( )],= = − +ω ω φ 

    a t x t  m( ) cos( ),= − +ω ω φ  2

    a t x t  ( ) ( ).= −ω 2 (14.3)

     F ma m x m x= = − = −( ) ( ) .ω ω 2 2

  • 8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 5

    3/22

     XIV. Drgania100

    ruch harmoniczny jest to ruch, jaki wykonuje ciało o masie m, na które działa siła proporcjonalna do przemieszczenia, ale o przeciwnym znaku.

    Zauważmy, że z podobną  sytuacją  mieliśmy do czynienia przy opisywaniu uk ładu sk ładają -cego się  z klocka i spr ężyny. Zgodnie z prawem Hooke’a siła zwią zana z przemieszczeniem klocka ma postać

    Porównują c oba te wzory, możemy powią zać stałą  spr ężystości k  z masą  klocka i czę stością  ko- łową  jego ruchu harmonicznego:

    Znają c wię c masę  drgają cego klocka, można obliczyć czę stość kołową  jego ruchu harmonicz- nego:

    i okres drgań:

    Uk ład klocek-spr ężyna opisany tymi równaniami tworzy tzw. liniowy oscylator harmoniczny,  przy czym słowo liniowy oznacza, że siła F  jest proporcjonalna do przemieszczenia x.

    14.2. Energia w ruchu harmonicznym

    Energia oscylatora liniowego zmienia się  nieustannie z energii kinetycznej w potencjalną  i na odwrót, podczas gdy ich suma, czyli energia mechaniczna E , pozostaje stała. Energia potencjalna oscylatora liniowego w całości jest zwią zana ze spr ężyną . Jej wartość  zależy od stopnia rozcią gnię cia lub ściśnię cia spr ężyny, czyli od wielkości x(t ). Jak pamię tamy (zob. p. 7.1), ener- gia potencjalna uk ładu klocek-spr ężyna jest dana wzorem

    sk ą d po uwzglę dnieniu zależności (14.1) otrzymujemy

    Energia kinetyczna uk ładu klocek-spr ężyna w całości jest zwią zana z klockiem. Jej wartość zależy od tego, jak szybko porusza się  klocek, czyli od pr ę dkości v(t ). Uwzglę dniają c wzór  (14.2) mamy

     Na podstawie wzoru (14.4) zamiast T 2 możemy podstawić k  / m, a stą d

     F kx= −   .

    k m=   ω  2 .

    ω  =   k m (14.4)

    T    m

    k  = 2π    .

     E kx p  =   1

    2

    2 ,

     E kx t  p m= + 1 2

    2 2 cos ( ).ω φ  (14.5)

     E mv m x t k m= = + 1

    2

    1

    2

    2 2 2 2 ω ω φ sin ( ).

     E kx t k m= +

    1

    2

    2 2

    sin ( ).ω ϕ  (14.6)

  • 8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 5

    4/22

    14.3. Wahad ł a i ruch po okr ę gu 101

     E E E kx t kx t 

    kx t t kx

     p k m m

    m m

    = + = + + +

    = + + + =

    1

    2

    1

    2 1

    2

    1

    2

    2 2 2 2

    2 2 2 2

    cos ( ) sin ( )

    [cos ( ) sin ( )] .

    ω φ ω φ  

    ω φ ω φ  

    Sumują c wyrażenia (14.5) i (14.6) mamy

    Ze wzoru tego wynika, że energia mechaniczna oscylatora liniowego jest stała i nie zależy od czasu.

    14.3. Wahadła i ruch po okr ęgu

    W tym punkcie zajmiemy się  oscylatorami harmonicznymi, w których „spr ężystość” jestzwią zana z siłą  grawitacyjną , a nie ze spr ężystymi właściwościami rozcią ganej spr ężyny.

    Rozważmy wahadło matematyczne mają ce postać ciała (ciężarka) o masie m zawieszonego na jednym końcu nierozcią gliwej linki o znikomo małej masie i o długości L, której drugi koniec

     jest umocowany. Ciężarek kołysze się  swobodnie w płaszczyźnie rysunku (zob. rys. 14.2). Jeżeli linka jest odchylona od pionu o k ą t2 , na ciężarek działa napr ężenie linki i siła ciężkości

    r

    T  r

     F  g . Siłę   rozk ładamy na sk ładową  radialną   F  g cos2  i sk ładową  styczną  do toru zakreślanego przez

    r

     F  g  ciężarek F  g sin2 . Sk ładowa styczna powoduje powstanie przywracają cego stan równowagi mo- mentu siły wzglę dem punktu zawieszenia wahadła, gdyż zawsze działa przeciwnie do wychyle- nia ciężarka i wymusza jego powrót do centralnego położenia. Położenie to nazywa się   poł o-  ż eniem równowagi, gdyż nieruchome wahadło pozostawałoby w nim w spoczynku.

    Rys. 14.2. Wahadło matematyczne

    Jak pamię tamy (zob. p. 10.2), moment siły możemy zapisać w postacir F = ⊥

     M L F  g = −   ( sin ),θ 

  • 8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 5

    5/22

  • 8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 5

    6/22

    14.3. Wahad ł a i ruch po okr ę gu 103

    Rys. 14.3 Wahadło fizyczne

    Każdemu wahadłu fizycznemu, drgają cemu wokół danego punktu zawieszenia O z okre- sem T , odpowiada wahadło matematyczne o długości LO, drgają ce z tym samym okresem T . Wielkość  LO nazywa się  d ł ugo ścią zredukowaną wahad ł a fizycznego i można ją  wyznaczyć ze wzoru (14.9). Punkt znajdują cy się  w odległości LO od punktu zawieszenia O nazywamy  środ-

    kiem wahań wahad ł a fizycznego dla danego punktu zawieszenia. Wahadło fizyczne można wykorzystać do pomiaru przyspieszenia ziemskiego g  w różnych

     punktach na powierzchni Ziemi. Rozważmy przypadek wahadła w postaci jednorodnego pr ę ta o długości L, który jest unieruchomiony na jednym końcu. Dla takiego wahadła odległość h od

     punktu zawieszenia do środka masy wynosi L / 2. Moment bezwładności tego wahadła wzglę - dem prostopadłej osi przechodzą cej przez środek masy jest równy mL2 / 12. Korzystają c z twier- dzenia Steinera (zob. p. 9.4) mamy

    Jeśli wyrażenie to podstawimy do równania (14.10) i uwzglę dnimy podaną  wartość h, a nastę  p- nie rozwiążemy to równanie wzglę dem g , to otrzymamy

    Ze wzoru tego wynika, że do wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego w miejscu, w którym znaj- duje się  wahadło, wystarczy zmierzyć długość  L i okres T .

    Okazuje się , że ruch harmoniczny jest zwią zany z ruchem jednostajnym po okr ę gu. Pierwszy zauważył to Galileusz, który w 1610 roku, posługują c się  skonstruowanym przez siebie telesko-

     pem, odkrył cztery główne księżyce Jowisza. Zauważył on, iż wydaje się , że każdy księżyc po- rusza się  tam i z powrotem wzglę dem planety w sposób harmoniczny (dysk planety był central- nym punktem ruchu). Obecnie formułuje się  to nieco ściślej, a mianowicie, że ruch harmoniczny

     I I mh mL m L mLSM = + = +    

      

            =

    2 2

    2

    21

    12

    1

    2

    1

    3 .

     g    L

    T  =

     8

    3

    2

    2

    π  .

  • 8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 5

    7/22

     XIV. Drgania104

    można opisać  jako ruch rzutu punktu poruszają cego się  ruchem jednostajnym po okr ę gu na średnicę  okr ę gu, po którym ten ruch odbywa się .

    Rys. 14.4. Związki między ruchem harmonicznym i ruchem jednostajnym po okręgu

    Zilustrowano to na rys. 14.4, na którym przedstawiono czą stk ę   poruszają cą  się  po okr ę gu′ P  ruchem jednostajnym ze stałą  pr ę dkością  k ą tową  T . Promień  xm okr ę gu jest równy długości wek- tora położenia czą stki. W dowolnej chwili położenie k ą towe czą s