andrzej marciniak pwsz kalisz fizyka - 8

8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 8

1/33

XXV. OBWODY ELEKTRYCZNE

25.1. Obwody elektryczne o jednym oczku

Aby wytworzy ć sta ły przep ływ ładunku, jest potrzebne urz ą dzenie, które wykonuj ą c prac ę nad no śnikami ładunku, utrzymuje ró żnicę potencja łów mi ę dzy par ą swych zacisków. Urz ą dze-

nie takie nazywamy ź ród ł em si ł y elektromotorycznej ( ź ród ł em SEM ). Powszechnie stosowanymźród łem SEM jest ogniwo elektryczne (bateria elektryczna ).Źród ło SEM wykonuje prac ę nad ładunkami. Je śli przez dW oznaczymy prac ę wykonan ą

przez źród ło przy przesuwaniu dodatniego ładunku dq od ujemnego do dodatniego bieguna, tosiła elektromotoryczna źród ła jest okre ślona wzorem

Doskona łym źród łem SEM jest źród ło, które nie ma żadnego oporu wewn ę trznego podczasruchu ładunku przez ogniwo. Ró żnica potencja łów mi ę dzy biegunami doskona łego źród ła SEM

jest równa SEM źród ła. Rzeczywiste źród ło SEM ma opór wewn ę trzny. Ró żnica potencja łówmię dzy biegunami źród ła jest równa SEM tylko wtedy, gdy nie p łynie przez nie pr ą d.

Rys. 25.1. Obwód o jednym oczku

Zgodnie ze wzorem P = I 2 R, w przedziale czasu dt w oporniku z rys. 25.1 zamienia si ę w energi ę termiczn ą . W tym samym czasie ładunek o warto ści dq = Idt przep łynie przez bate-rię B i praca wykonana przez bateri ę nad tym ładunkiem wynosi (zgodnie ze wzorem (25.1))

Z zasady zachowania energii wynika, że praca wykonana przez bateri ę musi by ć równa energiitermicznej wytworzonej w oporniku, czyli

ε = dW dq

. (25.1)

dW dq Idt = =ε ε .


2/33

25.1. Obwody elektryczne o jednym oczku 177

sk ą d

Wielko ść IR jest energi ą przypadaj ą cą na jednostk ę ładunku, przekazan ą w oporniku przez po-ruszaj ą ce si ę ładunki na rzecz energii wewn ę trznej.

Zmiana potencja łu przy przechodzeniu przez opornik R w kierunku przep ływu pr ą du wyn-osi ! IR, a w przeciwnym kierunku + IR. Jest to tzw. regu ł a oporu . Z kolei zmiana potencja łu

przy przechodzeniu przez doskona łe źród ło SEM w kierunku strza łki SEM (od ! do +) wyno-si + g , a w przeciwnym ! g . Sformu łowanie to jest znane pod nazw ą regu ł a SEM .

Z obwodami elektrycznymi s ą zwi ą zane dwa prawa Kirdhhoffa, Z zasady zachowania energiiwynika drugie prawo Kirchhoffa.

Z zasady zachowania ładunku wynika pierwsze prawo Kirchhoffa

Rozwa żmy oporniki po łą czone szeregowo tak, jak przedstawiono na rys. 25.2. Ró żnica poten-cja łów mi ę dzy punktami a i b jest utrzymywana przez źród ło pr ą du. Ró żnice potencja łów, któreistniej ą na oporach w szeregu wytwarzaj nich pr ą dy o jednakowym nat ężeniu.

Rys. 25.2. Trzy oporniki po łą czone szeregowo

ε Idt I Rdt = 2 ,

ε = IR. (25.2)

Drugie prawo Kirchhoffa . Algebraiczna suma zmian potencja łów przy pe łnym obej ściu do-wolnego oczka musi by ć równa zeru.

Pierwsze prawo Kirchhoffa. Suma nat ężeń pr ą dów wp ływaj ą cych do dowolnego w ę zła musi być równa sumie nat ężeń pr ą dów wyp ływaj ą cych z tego w ę zła.


3/33

XXV. Obwody elektryczne178

Jeżeli ró żnica potencja łów U jest przy łożona do oporników po łą czonych szeregowo, to przezoporniki p łyną pr ą dy o jednakowym nat ężeniu I . Suma ró żnic potencja łów na opornikach jestrówna przy łożonej ró żnicy potencja łów U . Oporniki po łą czone szeregowo mo żna zast ą pić rów-nowa żnym opornikiem Rrw , w którym p łynie pr ą d o takim samym nat ężeniu I przy takiej samejcałkowitej ró żnicy potencja łów U , jak w rozwa żanych opornikach.

Aby wyprowadzi ć wzór na opór Rrw , zastosujemy drugie prawo Kirchhoffa i wzór (25.2). Narys. 25.2 a), zaczynaj ą c od punktu a i przechodz ą c zgodnie z ruchem wskazówek zegara wokó łobwodu, otrzymujemy

czyli

Na rys. 25.2 b) w obwodzie, w którym trzy oporniki zast ą piono jednym równowa żnym opor-nikiem Rrw , mamy

czyli

Porównanie wzorów (25.3) i (25.4) prowadzi do zale żności

któr ą mo żna uogólni ć na przypadek n oporników nast ę puj ą co:

Jeśli bateria (lub inne źród ło SEM) wykonuje prac ę nad no śnikami ładunku, wytwarzaj ą c pr ą do nat ężeniu I , to przekazuje no śnikom ładunku energi ę ze źród ła energii. Rzeczywiste źród łoSEM ma opór wewn ę trzny r , a wi ę c energia jest w nim tak że zamieniana na wewn ę trzną energi ę termiczn ą , czyli ulega rozproszeniu na oporze wewn ę trznym. Po łą czymy te zmiany energii.

Jak pami ę tamy (zob. p. 24.3), wypadkowa szybko ść P (moc) procesu przekazywania energiize źród ła SEM no śnikom ładunku jest dana wzorem

gdzie U oznacza ró żnicę potencja łów mi ę dzy biegunami źród ła SEM. Dla rzeczywistej bateriimamy

gdzie r oznacza opór wewn ę trzny baterii. Podstawiaj ą c tę wielko ść do wzoru (25.6) otrzymujemy

Cz łon I 2r w tym wzorze jest szybko ścią zamiany energii na energi ę termiczn ą w źródle SEM:

ε − − − = IR IR IR1 2 3 0,

I R R R

=+ +

ε 1 2 3

. (25.3)

ε − = IRrw 0,

I Rrw

= ε . (25.4)

R R R Rrw = + +1 2 3 ,

R Rrw ii

n

==

∑1

.

P IU = , (25.6)

U Ir = −ε ,

P I Ir I I r = − = −( ) .ε ε 2

P I r r = 2 ,


4/33

25.2. Obwody elektryczne o wielu oczkach 179

a cz łon I g jest moc ą P SEM przekazu energii przez źród ło zarówno no śnikom ładunku, jak i narzecz wewn ę trznej energii termicznej, czyli

25.2. Obwody elektryczne o wielu oczkach

Rozpatrzmy oporniki po łą czone równolegle, jak na rys. 25.3, które s ą pod łą czone do dosko-nałego źród ła o SEM równej g . Ró żnica potencja łów U jest przy łożona do ka żdej pary po łą czo-nych ko ńcówek, a wi ę c na wszystkich trzech opornikach mamy tak ą sam ą ró żnicę potencja-łów U , która wytwarza pr ą d w ka żdym z oporników. Oporniki po łą czone równolegle mo żnazastą pić równowa żnym opornikiem Rrw , do którego ko ńców jest przy łożona taka sama ró żni-ca potencja łów U i przez który przep ływa pr ą d o nat ężeniu I równym sumie nat ężeń pr ą dóww opornikach po łą czonych równolegle.

Rys. 25.3. Trzy oporniki po łą czone równolegle

Aby wyprowadzi ć wzór na opór Rrw, zapiszmy najpierw warto ści nat ężeń pr ą du w ka żdymz oporników. Mamy

gdzie U oznacza ró żnicę potencja łów mi ę dzy punktami a i b. Je żeli zastosujemy pierwsze prawoKirchhoffa w punkcie a z rys. 25.3 a) i podstawimy te warto ści, to otrzymamy

Gdybyśmy zast

ą pili oporniki po

łą czone równolegle opornikiem równowa

żnym Rrw (jak narys. 25.3 b)), to mieliby śmy

P I SEM = ε .

I U

R I

U R

I U

R1 12

23

3

= = =, , ,

I I I I U R R R

= + + = + +

1 2 3 1 2 3

1 1 1. (25.7)


5/33


Przez porównanie wzorów (25.7) i (25.8) otrzymujemy

Uogólnienie tego wzoru na przypadek n oporników ma posta ć

Do pomiarów w obwodach elektrycznych mo żna wykorzysta ć trzy przyrz ą dy:!

amperomierz, który s łuży do pomiary nat ężenia pr ą du,! woltomierz stosowany do pomiaru napi ę cia, czyli ró żnicy potencja łów,! multimetr, który stosuje si ę do pomiaru nat ężenia pr ą du, napi ę cia i oporu.

25.3. Obwody RC

Dotychczas zajmowali śmy si ę obwodami, w których p łyną pr ą dy sta łe, czyli pr ą dy o nat ęże-niach nie ulegaj ą cych zmianie w czasie. Rozwa żmy teraz pr ą dy zmienne.

Kondensator o pojemno ści C na rys. 25.4 jest pocz ą tkowo niena ładowany. Aby go na ładowa ć,nale ż klucz S przesun ąć do punktu a. Powstaje wówczas obwód szeregowy RC , który sk łada si ę z kondensatora, doskona łego źród ła o SEM równej g i opornika o oporze R.

Rys. 25.4. Obwód szeregowy RC

Z chwil ą zamkni ę cia obwodu zaczyna przep ływa ć ładunek mi ę dzy ok ładk ą kondensatorai biegunem baterii po ka żdej stronie kondensatora. Ten pr ą d zwi ę ksza ładunek q na ok ładkachi różnicę potencja łów U C = q / C na kondensatorze. Gdy ta ró żnica potencja łów stanie si ę równaróżnicy potencja łów na źródle (równej tu SEM o warto ści g ), nat ężenie pr ą du stanie si ę równezeru. Zgodnie ze wzorem q = CU stacjonarny (ko ńcowy) ładunek na ca łkowicie wtedy na łado-wanym kondensatorze wynosi C g .

I U Rrw

= . (25.8)

1 1 1 1

1 2 3 R R R Rrw= + + .

1

1 R

Rrw

ii

n

==

∑ .


6/33

25.3. Obwody RC 181

Chcemy zbada ć proces ładowania, czyli wiedzie ć, jak podczas tego procesu zmieniaj ą si ę w czasie: ładunek q(t ) na ok ładkach kondensatora, ró żnica potencja łów U C (t ) na kondensatorzei nat ężenie pr ą du I (t ) w obwodzie. Z drugiego prawa Kirchhoffa, przechodz ą c w kierunkuzgodnym z ruchem wskazówek zegara (od ujemnego bieguna baterii) otrzymujemy

Ostatni wyraz po lewej stronie równania przedstawia ró żnicę potencja łów na kondensatorze.Wyraz ten jest ujemny, poniewa ż górna ok ładka kondensatora, po łą czona z dodatnim biegunem

baterii, ma wi ę kszy potencja ł niż ok ładka dolna. Zmienne I oraz q są ze sob ą powi ą zane zale ż-nością

Po podstawieniu tego wyra żenia do wzoru (25.9) otrzymujemy równanie

którego rozwi ą zaniem jest

Funkcja q = q(t ) dana wzorem (25.11) okre śla ładowanie kondensator. W chwili t = 0 wyraze ! t / RC ma warto ść 1 i otrzymujemy wówczas q = 0. Przy t 6 4 mamy e ! t / RC 6 0 i wzór (25.11) daje

poprawn ą warto ść końcowego (stacjonarnego) ładunku na kondensatorze q = C g .Pochodna funkcji q(t ) wzgl ę dem czasu jest równa nat ężeniu pr ą du I (t ) ładuj ą cego kondensa-tor. Mamy

Ze wzoru tego wynika, że warto ść pocz ą tkowa nat ężenia pr ą du wynosi g / R i że nat ężenie ma-leje do zera, gdy kondensator zostanie ca łkowicie na ładowany.

Ze wzorów q = CU i (25.11) mo żemy wyznaczy ć różnicę potencja łów U C (t ) na kondensatorze podczas ładowania. Otrzymamy

Ze wzoru tego wida ć, że U C = 0 dla t = 0 oraz U C 6 g przy t 6 4 , czyli gdy kondensator zostaniecałkowicie na ładowany.

Iloczyn RC wyst ę puj ą cy w podanych wzorach ma wymiar czasu (bo 1 S @ 1 F = 1 s). Nazy-wamy go pojemno ściow ą sta łą czasow ą obwodu i oznaczamy symbolem J .

Za łóżmy teraz, że kondensator na rys. 25.4 jest ca łkowicie na ładowany do ró żnicy potencja-łów U 0 równej SEM o warto ści g źród ła i w chwili t = 0 klucz S przestawiamy z punktu a do

punktu b. Kondensator mo że wi ę c roz ładowywa ć się przez opornik R.

Równanie ró żniczkowe opisuj ą ce funkcj ę q(t ) jest identyczne z równaniem (25.10), leczz powodu braku źród ła nale ży przyj ąć g = 0, czyli mamy

ε − − = IR qC

0. (25.9)

I dq

dt = .

R dqdt C

q+ =1 ε , (25.10)

q C t RC = − −ε ( )./1 e (25.11)

I dqdt R

t RC = =

−ε e / .

U qC C

t RC = = − −ε ( )/1 e


7/33


R dqdt C

q+ =1

0.

q q t RC = −0 e / , (25.12)

I dqdt

q RC

t RC = = −

−

0 e / .

Rozwi ą zaniem tego równania jest

gdzie q0 = CU 0 oznacza pocz ą tkowy ładunek na kondensatorze.Ze wzoru (25.12) wynika, że ładunek q maleje wyk ładniczo w czasie z szybko ścią zale żną

od pojemno ściowej sta łej czasowej J = RC . Zauwa żmy, że wi ę ksza sta ła J oznacza d łuższy czasroz ładowywania.

Jeżeli zró żniczkujemy funkcj ę q(t ) dan ą wzorem (25.12) wzgl ę dem czasu, to otrzymamy nat ę -żenie pr ą du I (t ):

Ze wzoru tego wynika, że nat ężenie pr ą du tak że maleje wyk ładniczo w czasie z szybko ścią okre śloną przez pojemno ściow ą sta łą czasow ą J . Znak minus oznacza, że pr ą d roz ładowaniakondensatora p łynie w kierunku przeciwnym ni ż pr ą d jego ładowania.

Zadania

1. Si ły elektromotoryczne doskona łych źróde ł na rys. 25.5 wynosz ą g1 = 12 V i g2 = 6 V. Zna-

leźć:a) nat ężenie pr ą du w obwodzie,moc, z jak ą energia jest zamieniana na energi ę termiczn ą w

b) oporniku 1 (4 S ),c) oporniku 2 (8 S ),d) moc źród ła 1,e) moc źród ła 2.Czy energia jest dostarczana, czy absorbowana przezf) źród ło 1,g) źród ło 2?

Rys. 25.5. Zadanie 1

2. Akumulator samochodowy o SEM równej 12 V i oporze wewn ę trznym 0,04 S jest ładowa-ny pr ą dem o nat ężeniu 50 A.a) Ile wynosi ró żnica potencja łów na jego biegunach?


8/33

25.3. Obwody RC 183

b) Ile wynosi moc P r , z jak ą emergia zmienia si ę na energi ę termiczn ą w akumulatorze?c) Ile wynosi moc P SEM przekszta łcania energii elektrycznej w energi ę chemiczn ą ?

3. Przewodnik o oporze 5 S jest po łą czony ze źród łem, którego SEM wynosi 2 V, a opór we-wnę trzny 1 S .a) Ile energii przekszta łca si ę z chemicznej w elektryczn ą w ci ą gu 2 minut?

b) Ile energii wydziela si ę w przewodniku w postaci energii termicznej w tym samym cza-sie?

4. Do łą czają c do opornika o oporze R = 12 S opornik o nieznanym oporze, chcemy uzyska ćopór zast ę pczy, który wynosi 3 S .a) Ile musi wynosi ć opór tego nieznanego opornika?

b) Czy opornik powinien by ć po łą czony szeregowo, czy równolegle?5. Cztery oporniki o oporach 18 S po łą czono równolegle i do łą czono do doskona łego źród ła

o SEM równej 25 V. Ile wynosi natęż

enie pr ą du p

łyn

ą cego przez

źród

ło?

6. Na rys. 25.6 mamy R1 = 100 S , R2 = 50 S , g 1 = 6 V, g 2 = 5 V i g 3 = 4 V. Znale źć:a) nat ężenie pr ą du p łyną cego przez opornik 1,

b) nat ężenie pr ą du p łyną cego przez opornik 2,c) ró żnicę potencja łów mi ę dzy punktami a i b.


7. Prze łą cznik S na rys. 25.7 jest w chwili t = 0 zamkni ę ty, aby rozpocz ąć ładowanie pocz ą tko-

wo roz ładowanego kondensatora o pojemno ści C = 15 : F przez opornik o oporze R = 20 S .Po jakim czasie ró żnica potencja łów na ok ładkach kondensatora b ę dzie równa ró żnicy potencja łów na ko ńcach opornika?



9/33


8. Jak ą wielokrotno ścią pojemno ściowej sta łej czasowej J jest czas, po jakim pocz ą tkowoniena ładowany kondensator w szeregowym obwodzie RC na ładuje si ę do 99 % swojegokońcowego ładunku?

9. Opornik o oporze 15 k S i kondensator zosta ły po łą czone szeregowo i nast ę pnie nagle przy-łożono do nich ró żnicę potencja łów 12 V. Ró żnica potencja łów na kondensatorze wzros łado 5 V w ci ą gu 1,3 : s.a) Obliczy ć pojemno ściow ą sta łą czasow ą obwodu.

b) Znale źć pojemno ść kondensatora.10. Na rys. 25.8 mamy R1 = 10 k S , R2 = 15 k S , C = 0,4 : F, a SEM doskona łej baterii wynosi

g = 20 V. Na pocz ą tku prze łą cznik by ł bardzo d ługo zamkni ę ty, a ż osią gnię to stan równo-wagi. Nast ę pnie w chwili t = 0 prze łą cznik zosta ł otwarty. Jakie by ło nat ężenie pr ą du p ły-ną cego przez opornik 2 w chwili t = 4 : s?



10/33

XXVI. POLE MAGNETYCZNE

26.1. Pole magnetyczne i definicja indukcji magnetycznej

Jak ju ż wiemy, pole elektryczne jest wytwarzane przez ładunek elektryczny. Mo żna by ocze-kiwa ć, że pole magnetyczne jest wytwarzane przez ładunek magnetyczny, ale istnienie takich

ładunków nie zosta ło jeszcze potwierdzone. Pole magnetyczne mo żna wytworzy ć dwoma spo-sobami. Pierwszy sposób polega na u życiu poruszaj ą cych si ę czą stek na ładowanych elektryczniedo zbudowania elektromagnesu. Drugi sposób wykorzystuje pewn ą w łaściwo ść czą stek elemen-tarnych, takich jak elektron, które maj ą wewn ę trzne w łaściwo ści magnetyczne i wytwarzaj ą wo-kół siebie pole magnetyczne. Pola magnetyczne elektronów w niektórych materia łach sumuj ą się i wytwarzaj ą wokó ł nich wypadkowe pole magnetyczne. Takie zjawisko wyst ę puje w magne-sach trwa łych.

Wielko ścią charakterystyczn ą pola magnetycznego jest wektor który nazywa si ę indukcj ąr

B,magnetyczn ą danego pola. Jest on skierowany wzd łuż osi odpowiadaj ą cej kierunkowi pr ę dko ściczą stek, dla których si ła na nie dzia łają ca jest równa zeru. Mierz ą c warto ść tej si ły gdy we-

r F B ,

ktor pr ę dkości jest skierowany prostopadle do wspomnianej osi, mo żemy zdefiniowa ć warto śćrv

bezwzgl ę dną r

B:

gdzie q oznacza ładunek cz ą stki. Podane wyniki mog ą być zebrane w postaci równania wekto-rowego

zgodnie z którym si ła dzia łają ca na cz ą stk ę jest równa ładunkowi cz ą stki pomno żonemur

F B przez iloczyn wektorowy jej pr ę dko ści i indukcji magnetycznej Z okre ślenia iloczynu we-

rv

r B.

ktorowego mo żna zapisa ć warto ść siły jakor

F B

gdzie N oznacza k ą t mi ę dzy kierunkami wektorów pr ę dko ści i indukcji magnetycznejrv

r B.

Niezale żnie od znaku ładunku si ła dzia łają ca na na ładowan ą czą stk ę , która porusza si ę r

F Bz pr ę dko ścią w polu magnetycznym o indukcji jest zawsze prostopad ła do wektorów

rv

r B,

rv

i Si ła ta nie ma nigdy sk ładowej równoleg łej do wektora co oznacza, że si ła nie mo żer

B. r

v ,r

F Bzmieni ć warto ści pr ę dko ści v czą stki (si ła ta mo że zmieni ć tylko kierunek pr ę dko ści cz ą stki).

Jednostk ą indukcji magnetycznej w uk ładzie SI jest niuton na kolumb razy metr na sekun-r

Bdę . Jednostk ę tę nazwano tesl ą (T):

B F

q v B= ,

r r r F qv B B = × , (26.1)

F q vB B = sin ,φ

1 1 1 1T NC m s

NC s m

NA m

=⋅

=⋅

=⋅( / ) ( / )

.


11/33

XXVI. Pole magnetyczne186

Starsz ą , ale wci ąż jeszcze u żywan ą jednostk ą indukcji magnetycznej (spoza uk ładu SI) jest gaus(Gs), przy czym

Pole magnetyczne mo żna zilustrowa ć za pomoc ą linii pola, podobnie jak pole elektryczne.Obowi ą zują przy tym podobne zasady: kierunek stycznej do linii pola magnetycznego jest kie-runkiem indukcji magnetycznej w tym punkcie oraz odleg łość mię dzy liniami okre śla warto ść

r B

tego wektora – pole magnetyczne jest silniejsze tam, gdzie linie przebiegaj ą bliżej siebie. Zam-knię te linie pola s ą skierowane do magnesu z jednego ko ńca i od magnesu z drugiego ko ńca.Koniec magnesu, z którego linie wychodz ą nazywa si ę biegunem pó ł nocnym , a koniec, do któ-rego linie wchodz ą nazywa si ę biegunem po ł udniowym . Poniewa ż magnes ma dwa bieguny,mówimy, że jest on dipolem magnetycznym . Nale ży pami ę tać, że ró żnoimienne bieguny magne-tyczne przyci ą gają się , a jednoimienne bieguny magnetyczne odpychaj ą się .

26.2. Ruch cz ą stek na ładowanych po okr ęgu w polu magnetycznym

Czą stka na ładowana o masie m i ładunku | q | poruszaj ą ca si ę z pr ę dko ścią prostopad łą dorv

jednorodnego pola magnetycznego b ę dzie porusza ć się po okr ę gu. Z drugiej zasady dynamikir

B Newtona zastosowanej do jednostajnego ruchu po okr ę gu wynika, że

sk ą d mo żna wyznaczy ć promie ń okr ę gu

Czę stotliwo ść < , czę stotliwo ść ko łowa T i okres T ruchu po okr ę gu spe łniaj ą zwi ą zki

Ruch cz ą stek po okr ę gu w polu magnetycznym zosta ł wykorzystany w cyklotronie, gdzieczą stki s ą przyspieszane si łami elektrycznymi. Aby przyspiesza ć czą stki do pr ę dko ści zbli żo-nych do pr ę dko ści świat ła, korzysta si ę z synchrotronów (opis tych urz ą dzeń pomijamy).

26.3. Siła magnetyczna dzia łają ca na przewodnik z pr ą dem

Na prostoliniowy przewodnik z pr ą dem o d ługo ści L i o nat ężeniu I znajduj ą cy si ę w jedno-rodnym polu magnetycznym dzia ła skierowana prostopadle do przewodnika si ła

Siła dzia łają ca na element przewodnika z pr ą dem ma posta ćdLr

1 10 4T Gs= .

q vB mv

r =

2

,

r mv

q B= .

ν ω

π π = = =

21

2T

q B

m.

r r r F IL B B = × . (26.2)

dF IdL B Br r r

= × .


12/33

26.4. Moment si ł y dzia ł aj ący na ramk ę z pr ądem 187

Wektory opisuj ą ce ustawienie przewodnika z pr ą dem s ą skierowane zgodnie z kierun-r r

L dLikiem przep ływu pr ą du.

26.4. Moment si ły działają cy na ramk ę z pr ą dem

Wi ę kszo ść pracy na świecie wykonuj ą silniki elektryczne. Si ły, dzi ę ki którym ta praca jestwykonywana, to si ły magnetyczne, czyli si ły dzia łają ce na przewodnik z pr ą dem umieszczonyw polu magnetycznym.

Prosty silnik, sk ładaj ą cy si ę z pojedynczej ramki z pr ą dem umieszczonej w polu magnetycz-nym o indukcji przedstawiono na rys. 26.1. Dwie si ły magnetyczne wytwarzaj ą

r B,

r r F i F −

moment si ły, który dzia ła na ramk ę , usi łują c ją obróci ć wokó ł osi.

Rys. 26.1. Cz ęści sk ładowe silnika elektrycznego

Rys. 26.2. Prostok ą tna ramka, w której p łynie pr ąd, umieszczona w jednorodnym polu magnetycznym

Na rys. 26.2 a) przedstawiono w rzucie prostok ą tnym ramk ę o bokach a i b, w której p łynie pr ą d o nat ężeniu I . Ramka jest umieszczona w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji

r B

w taki sposób, że jej d łuższe boki, oznaczone jako 1 i 3, s ą prostopad łe do kierunku wektora

indukcji. Do okre ślenia ustawienia ramki w polu magnetycznym u żywamy wektora normalne-go który jest prostopad ły do p łaszczyzny ramki. Jego kierunek ustalamy na podstawie regu łyrn ,


13/33


prawej d łoni, w której palce ustawiamy w kierunku p łynię cia pr ą du (zob. rys. 26.2 b)). Na rys.26.2 c) przedstawiono ramk ę , której wektor normalny jest skierowany pod pewnym k ą tem 2 dokierunku wektora indukcji magnetycznej i dla takiego ustawienia ramki wyznaczamy wy-

r B

padkow ą siłę i wypadkowy moment si ły, które dzia łają na ramk ę .Wypadkowa si ła dzia łają ca na ramk ę jest sum ą wektorow ą sił dzia łają cych na jej cztery boki.

Dla boku 2 kierunek wektora w równaniu (26.2) jest zgodny z kierunkiem przep ływu pr ą du,r

La jego d ługo ść wynosi b. K ą t mi ę dzy wektorami wynosi 90° ! 2 , a wi ę c warto ść si ły

r r L Bi

dzia łają cej na ten bok jest równa

Siła dzia łają ca na bok 4 ma tak ą samą warto ść, jak si ła ale jest przeciwnie skierowana.r

F 4r

F 2 ,Zatem si ły równowa żą się , co oznacza, że ich wypadkowa jest równa zeru. Dzia łają

r r F F 2 4i

one wzd łuż tej samej prostej przechodz ą cej przez środek ramki i dlatego zwi ą zany z nimi wy-

padkowy moment si ły jest równy zeru.W przypadku boków 1 i 3 jest inaczej. Wektor jest tu prostopad ły do wektora a si ły

r L

r B,

maj ą tak ą sam ą warto ść IaB . Si ły te s ą skierowane przeciwnie, a wi ę c nie powoduj ą r r

F F 1 3i przesuni ę cia ramki ani w gór ę , ani w dó ł. Jednak si ły te nie dzia łają wzd łuż tej samej prostej(zob. rys. 26.2 c)), co powoduje, że powstaje wypadkowy moment si ły. Moment ten usi łujeobróci ć ramk ę tak, by ustawi ć jej wektor normalny wzd łuż kierunku wektora indukcji magne-

rn

tycznej Ramiona tych si ł wzgl ę dem osi obrotu ramki wynosz ą (b / 2)sin 2 . Warto ść momentur

B.siły wywo łanego dzia łaniem si ł wynosi zatem′

r r F F 1 3i

Jeśli pojedyncz ą ramk ę zast ą pimy cewk ą złożoną z N zwojów, to powy ższy moment si ły dzia-ła na ka żdy zwój i mamy

gdzie S = ab oznacza pole powierzchni obj ę tej przez cewk ę . Wielko ści w nawiasach ( NIS ) wy-stę puj ą razem, bo opisuj ą właściwo ści cewki: liczb ę zwojów, nat ężenie pr ą du i pole powierzchni.Równanie (26.3) jest s łuszne dla wszystkich p łaskich cewek pod warunkiem, że pole magne-tyczne jest jednorodne. Na przyk ład dla cewki o przekroju ko łowym i promieniu r mamy

26.5. Dipolowy moment magnetyczny

Moment si ły dzia łają cy na cewk ę w polu magnetycznym mo żna wyrazi ć wprowadzaj ą c po- ję cie magnetycznego momentu dipolowego cewki, który b ę dziemy oznacza ć Kierunek tego

rµ .

wektora wybieramy zgodnie z kierunkiem wektora normalnego prostopad łego do p łaszczyznyrn

cewki, a jego warto ść definiujemy jako

gdzie N oznacza liczb ę zwojów cewki, I – nat ężenie pr ą du p łyną cego przez cewk ę , a S – pole powierzchni obj ę tej przez ka żdy zwój cewki. Ze wzoru tego wynika, że jednostk ą momentumagnetycznego jest amper razy metr kwadratowy (A @ m 2).

F IbB IbB2 90= °− =sin( ) cos .θ θ

′ =

+

= M IaB b

IaB b

IabB2 2

sin sin sin .θ θ θ

M NM NIabB NIS B= ′ = =sin ( ) sin ,θ θ (26.3)

M NI r B= ( ) sin .π θ 2

µ = NIS ,


14/33

26.5. Dipolowy moment magnetyczny 189

Za pomoc ą dipolowego momentu magnetycznego równanie (26.3) mo żna zapisa ć w postaci

gdzie 2 oznacza k ą t mi ę dzy wektorami Równanie to mo żna zapisa ć tak że w postaci we-r r

µ i B.ktorowej:

które przypomina równanie dla momentu si ły wywieranego przez pole elektryczne na dipol ele-ktryczny, czyli równanie

Dipol magnetyczny ma w zewn ę trznym polu magnetycznym pewn ą energi ę , która zale ży odustawienia dipola w polu magnetycznym. Przez analogi ę do odpowiedniego wzoru dla dipolaelektrycznego definiujemy tzw. energi ę orientacji dipola magnetycznego nast ę puj ą co:

(dla dipola elektrycznego wzór ma posta ć E p E p ( ) ).θ = − ⋅r r

Jeśli si ły zewn ę trzne powoduj ą obrót dipola magnetycznego, zmieniaj ą c jego pocz ą tkow ą orientacj ę opisan ą k ą tem 2 pocz na orientacj ę opisan ą k ą tem 2 konc , to praca si ł zewn ę trznych wyko-nana nad tym dipolem jest równa

gdzie obie energie s ą wyznaczone z równania (26.4).

Zadania

1. Na proton, który porusza si ę pod k ą tem 23° do kierunku wektora indukcji o warto ści2,6 mT, dzia ła si ła magnetyczna o warto ści 6,5 @ 10 ! 17 N. Obliczy ć:a) pr ę dko ść protonu,

b) jego energi ę kinetyczn ą w elektronowoltach.2. W wyniku niektórych reakcji j ą drowych powstaj ą czą stki " sk ładaj ą ce si ę z dwóch proto-

nów i dwóch elektronów. Maj ą one ładunek +2 e i mas ę 4,00 : , gdzie : oznacza jednostk ę masy atomowej równ ą 1,661 @ 10 ! 27 kg. Dla cz ą stki " poruszaj ą cej si ę po okr ę gu o promie-niu 4,5 cm w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B = 1,2 T obliczy ć:a) pr ę dko ść czą stki,

b) okres w ruchu po okr ę gu,c) energi ę kinetyczn ą w elektronowoltach,d) ró żnicę potencja łów, która przyspieszy łaby cz ą stk ę aż do osi ą gnię cia przez ni ą takiej sa-

mej energii, jak w przypadku ruchu po okr ę gu.3. Elektron o energii kinetycznej 1,2 keV kr ąży w p łaszczy źnie prostopad łej do kierunku wek-

tora indukcji w jednorodnym polu magnetycznym. Promie ń orbity jest równy 25 cm. Obli-czyć:a) pr ę dko ść elektronu,

b) indukcj ę magnetyczn ą ,c) cz ę stotliwo ść,

M B= µ θ sin ,

r r r M B= ×µ ,

r r r M p E = × .

E B p ( )θ µ = ⋅r r

(26.4)

W E E E zewn p p konc p pocz = = −∆ ,


15/33


d) okres ruchu po okr ę gu.4. Jaka powinna by ć warto ść indukcji jednorodnego pola magnetycznego przy łożonego prosto-

padle do wi ą zki elektronów, które poruszaj ą się z pr ę dko ścią 1,3@

106

m / s, aby elektronykr ążyły po łuku okr ę gu o promieniu 0,35 m?5. W poziomej linii przesy łowej p łynie z po łudnia na pó łnoc pr ą d o nat ężeniu 5000 A. Ziem-

skie pole magnetyczne (60 : T) jest skierowane na pó łnoc i nachylone w dó ł pod k ą tem 70°do poziomu. Wyznaczy ć:a) warto ść,

b) kierunek si ły magnetycznej, która dzia ła na 100 m przewodu linii w ziemskim polu ma-gnetycznym.

6. Pojedyncza ramka, przez któr ą płynie pr ą d o nat ężeniu 4 A, ma kszta łt trójk ą ta prostok ą t-nego o bokach 50, 120 i 130 cm. Ramka znajduje si ę w jednorodnym polu magnetycznym

o indukcji 75 mT, a kierunek wektora indukcji jest równoległy do kierunku pr

ą du w bokuramki o d ługo ści 130 cm. Jaka jest warto ść siły magnetycznej dzia łają cej na:

a) bok o d ługo ści 130 cm, b) bok o d ługo ści 50 cm,c) bok o d ługo ści 120 cm?d) Jaka jest warto ść wypadkowej si ły dzia łają cej na ramk ę ?

7. Okr ą gła cewka o 160 zwojach ma promie ń 1,9 cm.a) Obliczy ć nat ężenie pr ą du, który wytwarza dipolowy moment magnetyczny o warto ści

2,3 A @ m 2. b) Obliczy ć warto ść maksymalnego momentu si ły dzia łają cej na cewk ę , w której p łynie

pr ą d o tym nat ężeniu w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 35 mT.8. Ramka, przez któr ą płynie pr ą d o nat ężeniu 5 A, ma kszta łt trójk ą ta prostok ą tnego o bokach

30, 40 i 50 cm. Ramka znajduje si ę w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 80 mT,której kierunek jest równoleg ły do kierunku pr ą du przep ływaj ą cego przez bok trójk ą tao d ługo ści 50 cm. Wyznaczy ć warto ści:a) dipolowego momentu magnetycznego ramki,

b) momentu si ły dzia łają cego na ramk ę .


16/33

XXVII. POLE MAGNETYCZNEWYWOŁANE PRZEPŁ YWEM PRĄ DU

27.1. Pole magnetyczne wywo łane przep ływem pr ą du

Pole magnetyczne wytwarzane w otoczeniu przewodu, w którym p łynie pr ą d, mo że być wy-

znaczone na podstawie prawa Biota-Savarta. Prawo to stwierdza, że przyczynek do indukcjidBr

magnetycznej wytwarzany przez element pr ą du w punkcie P w odleg łości r od tego elemen-dsr

tu jest równy

We wzorze tym oznacza wektor jednostkowy wyznaczaj ą cy kierunek od elementu pr ą du do$r punktu P . Wielko ść : 0 nzywa si ę przenikalno ścią magnetyczn ą pró żni i ma warto ść

Dla d ługiego prostoliniowego przewodu, przez który p łynie pr ą d, prawo Biota-Savarta po-zwala wyznaczy ć warto ść indukcji magnetycznej w punkcie, którego odleg łość od przewodu jestrówna R:

Warto ść indukcji magnetycznej w wierzcho łku łuku o k ą cie środkowym N i promieniu Rutworzonego przez przewód, przez który p łynie pr ą d o nat ężeniu I , wynosi (pomijamy wyprowa-dzenie tego wzoru)

27.2. Siły działają ce między dwoma równoleg łymi przewodami z pr ą dem

Dwa równoleg łe przewody, w których p łyną pr ą dy, dzia łają na siebie si łami. Za łóżmy, że przewody te, oznaczone przez a i b, są odleg łe od siebie o d i niech w nich p łyną pr ą dy o nat ęże-niach I a i I b . Pr ą d płyną cy w przewodzie a wytwarza pole magnetyczne o indukcji i pole to

r Ba

powoduje powstanie si ły dzia łają cej na przewód b. Aby wyznaczy ć siłę , musimy zna ć warto śći kierunek wektora indukcji w miejscu, w którym znajduje si ę przewód b. Ze wzoru (27.1)

r Ba

wynika, że warto ść w ka żdym punkcie przewodu b jest równar

Ba

dB Ids r

r

r r

= ×µ π 0

24

$.

4 10 1 26 107 6π ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ⋅− −T m A T m A/ , / .

B I

R= µ

π 0

2. (27.1)

B I

R= µ φ

π 0

4.

B I

d aa

= µ

π 0

2 .


17/33

XXVII. Pole magnetyczne wywo ł ane przep ł ywem pr ądu192

Zgodnie ze wzorem (26.2) si ła wytworzona przez zewn ę trzne pole o indukcji i dzia-r

F bar

Bałają ca na odcinek przewodu b o d ługo ści L jest równa

gdzie oznacza wektor d ługo ści przewodu. Wektory s ą prostopad łe, wi ę cr

Lr r

L Bai

Z regu ły prawej d łoni zastosowanej do wektorów wynika, że wektor jest skierowa-r r

L Bair

F bany w stron ę przewodu a .

Odnotujmy, że przewody, w których p łyną pr ą dy równoleg łe przyci ą gają się , a te, w których płyną pr ą dy antyrównoleg łe, odpychaj ą się .

27.3 Prawo Ampère’a

Prawo Ampère’a ma posta ć

gdzie I p oznacza wypadkowe nat ężenie pr ą du przep ływaj ą cego przez powierzchni ę ograniczon ą konturem ca łkowania, a – element konturu (iloczyn skalarny ma by ć ca łkowanyds

r r r B ds⋅

wzd łuż zamkni ę tego konturu).

Zadania

1. Geodeta u żywa kompasu w miejscu znajduj ą cym si ę 6,1 m poni żej linii energetycznej,w której p łynie pr ą d o nat ężeniu 100 A.a) Jakie pole magnetyczne wytwarza linia energetyczna w miejscu, w którym znajduje si ę

geodeta? b) Czy to pole b ę dzie w sposób istotny zak łóca ło wskazania kompasu?Pozioma sk ładowa indukcji magnetycznej ziemskiego pola w tym miejscu jest równa 20 : T.

2. W pewnym miejscu na Filipinach ziemskie pole magnetyczne o indukcji 39 : T jest poziomei skierowane na pó łnoc. Przypu śćmy, że wypadkowa indukcja pola jest równa zeru dok ład-nie 8 cm nad d ługim, prostoliniowym i poziomym przewodem, w którym p łynie pr ą d sta ły.Wyznaczy ć:a) nat ężenie pr ą du,

b) kierunek pr ą du.3. Na rys. 27.1 przedstawiono przekrój poprzeczny przez uk ład sk ładaj ą cy si ę z dwóch d ługich

prostoliniowych przewodów z pr ą dem. Przez przewód 1, le żą cy w odleg łości d 1 = 2,4 cmod pewnej p łaszczyzny, p łynie pr ą d o nat ężeniu 4 mA skierowany przed p łaszczyzn ę rysun-ku. Przez przewód 2, równoleg ły do przewodu 1 i le żą cy na tej p łaszczy źnie w odleg łościd 2 = 5 cm od rzutu prostopad łego przewodu 1 na p łaszczyzn ę , p łynie pr ą d o nat ężeniu6,8 mA skierowany za p łaszczyzn ę rysunku. Wyznaczy ć sk ładow ą x siły magnetycznejdzia łają cej na przewód 2 wskutek przep ływu pr ą du w przewodzie 1.

r r r

F I L Bba b a= × ,

F I LB LI I

d ba b aa b= ° =sin .90

20µ

π

r r B ds I p⋅ =∫ µ 0 ,


18/33

27.3. Prawo Ampère’a 193


4. Na rys. 27.2 przedstawiono przekrój poprzeczny d ługiego walcowego przewodnika o pro-mieniu a = 2 cm, w którym p łynie pr ą d o nat ężeniu 170 A. Wyznaczy ć warto ść indukcji

pola magnetycznegoa) na osi walca,w odleg łości

b) 1 cm od osi walca,c) 2 cm od osi walca (czyli na jego powierzchni),d) 4 cm od osi walca.



19/33

XXVIII. ZJAWISKO INDUKCYJNOŚCI I INDUKCYJNOŚĆ

28.1. Prawo Faradaya i regu ła Lenza

Wiemy ju ż, że przep ływ pr ą du wytwarza pole magnetyczne. Okazuje si ę , że pole magnetycz-ne mo że by ć źród łem pola elektrycznego powoduj ą cego przep ływ pr ą du. Zwi ą zek mi ę dzy polem

magnetycznym i wytwarzanym (czyli indukowanym ) przez nie polem elektrycznym jest opisany przez prawo Faradaya.

O wytwarzaniu pr ą du przez pole magnetyczne mo żna przekona ć się za pomoc ą prostego do-świadczenia. Je żeli utworzymy przewodz ą cą pę tlę po łą czon ą z czu łym amperomierzem, to

po przesuni ę ciu magnesu sztabkowego w kierunku p ę tli w obwodzie pojawi si ę pr ą d (zob.rys. 28.1). Pr ą d znika, gdy magnes przestaje porusza ć się . Przy odsuwaniu magnesu pr ą d znowu

pop łynie, ale w przeciwnym kierunku. Z podobn ą sytuacj ą bę dziemy mie ć do czynienia, gdyobok p ę tli z amperomierzem ustawimy obwód, przez który p łynie pr ą d (b ę dzie on wytwarza ć

pole magnetyczne).

Rys. 28.1. Wzbudzanie pr ądu przez przesuwanie magnesu

Aby zdefiniowa ć prawo Faradaya, musimy obliczy ć „ilo ść” pola magnetycznego przechodz ą -cego przez p ę tlę . W podobny sposób, jak zdefiniowali śmy strumie ń elektryczny (zob. p. 21.1),definiujemy strumie ń magnetyczny:

gdzie oznacza wektor o warto ści dS i kierunku prostopad łym do elementu powierzchni dS ,dS r

a oznacza indukcj ę pola magnetycznego. Je śli pę tla le ży w pewnej p łaszczy źnie, a linie polar

B

Φ B B dS = ⋅∫ r r

, (28.1)


20/33

28.2. Zjawisko indukcji i przekazywanie energii 195

magnetycznego s ą prostopad łe do tej p łaszczyzny, to iloczyn skalarny w tym równaniu jest rów-ny BdS cos 0° = BdS . Ponadto, gdy pole magnetyczne jest jednorodne, to wielko ść B mo żna wy-łą czy ć przed znak ca łki i wówczas pozosta ła całka przedstawia pole powierzchni S pę tli. W tym

przypadku mamy zatem

Z równania tego, a tak że z równania (28.1) wynika, że w uk ładzie SI jednostk ą strumienia jesttesla razy metr kwadratowy. Jednostk ę tę nazwano weberem (Wb):

Stosuj ą c poj ę cie strumienia magnetycznego, prawo Faradaya mo żna sformu łowa ć nast ę pu- ją co: warto ść SEM indukowanej w przewodz ą cej p ę tli jest równa szybko ści, z jak ą strumie ń ma-gnetyczny przechodz ą cy przez t ę pę tlę zmienia si ę w czasie, czyli

gdzie znak minus oznacza przeciwdzia łanie. Je żeli zmieniamy strumie ń pola magnetycznegow cewce z łożonej z N zwojów, to indukowana SEM pojawia si ę w ka żdym zwoju. Wówczas

Po odkryciu przez Faradaya prawa indukcji Lenz sformu łowa ł regu łę umo żliwiaj ą cą wyzna-czenie kierunku pr ą du indukowanego w obwodzie. Regu ła ta mówi, że pr ą d indukowany p łynie

w takim kierunku, że pole magnetyczne wytworzone przez ten pr ą d przeciwdzia ła zmianie stru-mienia pola magnetycznego, która ten pr ą d indukuje. Ponadto kierunek indukowanej SEM jesttaki sam, jak kierunek pr ą du indukowanego.

28.2. Zjawisko indukcji i przekazywanie energii

Wyst ę powanie pr ą dów indukowanych wskutek zmiany strumienia magnetycznego oznacza,że takiemu pr ą dowi jest przekazywana pewna energia. Energia ta mo że nast ę pnie przybra ć inneformy, na przyk ład mo że zosta ć przekszta łcona w energi ę termiczn ą .

Jeżeli zamkni ę tą ramk ę bę dziemy przesuwa ć ze sta łą pr ę dko ścią w polu magnetycznym,rv

to nale ży do niej przy łożyć siłę która b ę dzie przeciwstawia ła się sile magnetycznej o takiejr F ,samej warto ści dzia łają cej w przeciwnym kierunku. Szybko ść, z jak ą wykonywana jest praca,czyli moc, jest równa

gdzie F oznacza warto ść przy łożonej si ły. Naszym celem jest znalezienie wyra żenia opisuj ą cegomoc P w zale żności od warto ści indukcji magnetycznej B, rozmiaru ramki L (jej szeroko ści)i oporu R stawianego pr ą dowi.

Jeżeli przez x oznaczymy d ługo ść tej cz ęści ramki, która wci ąż znajduje si ę w polu magne-tycznym, to pole powierzchni tej cz ęści jest równe Lx. Zgodnie z równaniem (28.2) mamy

Φ B BS = . (28.2)

1 1 2Wb = ⋅T m .

ε = − d dt

BΦ , (28.3)

ε = − N d dt

BΦ .

P Fv= ,

Φ B BS BLx= = .


21/33

XXVIII. Zjawisko indukcyjno ści i indukcyjno ść196

Gdy warto ść x maleje, to maleje równie ż strumie ń magnetyczny. Zgodnie z prawem Faradayazmniejszenie si ę strumienia indukuje SEM w p ę tli. Pomijaj ą c znak minus w równaniu (28.3),możemy zapisa ć

gdzie v oznacza pr ę dko ść poruszania si ę ramki. Aby wyznaczy ć nat ężenie pr ą du indukowanego,stosujemy równanie I = g / R, sk ą d po uwzgl ę dnieniu zale żności (28.4) mamy

Rys. 28.2. Ramka w polu magnetycznym

Trzy odcinki ramki (zob. rys. 28.2), przez które p łynie pr ą d, znajduj ą się w polu magnetycz-nym, wi ę c na odcinki te b ę dą dzia łały si ły do nich prostopad łe. Si ły te mog ą by ć zapisane w po-staci (zob. wzór (26.2))

Na rys. 28.2 si ły te s ą oznaczone jako Si ły maj ą jednakowe warto ścir r r

F F F 1 2 3, .ir r

F F 2 3ii są przeciwnie skierowane, a wi ę c równowa żą się . Pozostaje tylko si ła która jest skierowana

r F 1 ,

przeciwnie do si ły z jak ą dzia łamy na ramk ę , czyli mamyr

F ,r r

F F = − 1 .K ą t mi ę dzy wektorem i wektorem d ługo ści jest równy 90° dla odcinka po lewej stronie

r B

r L

ramki. Pos ługuj ą c się równaniem (28.6) do wyznaczenia warto ści si ły mamyr

F 1 ,

Podstawiaj ą c do tej zale żności równanie (28.5), otrzymujemy

ε = = = =d dt

d dt

BLx BL dxdt

BLv BΦ ( ) , (28.4)

I BLv

R= . (28.5)

r r r

F IL B B = × . (28.6)

F F ILB ILB= = ° =1 90sin .

F B L v R

=2 2

.


22/33

28.4. Cewki i indukcyjno ść 197

Poniewa ż wielko ści B, L i R są stałymi, wi ę c pr ę dko ść v te b ę dzie sta ła, o ile warto ść siły, z jak ą dzia łamy na ramk ę , bę dzie te ż sta ła.

Jeżeli ostatnie równanie podstawimy do pierwotnej zale żności P = Fv , to otrzymamy

Szybko ść wydzielania si ę energii termicznej w ramce podczas wyci ą gania jej ze sta łą pr ę d-kością z obszaru pola magnetycznego obliczymy z równania P = I 2 R. Mamy

czyli dok ładnie takie samo wyra żenie. Oznacza to, że praca wykonywana podczas przesuwaniaramki w polu magnetycznym ulega w ca łości przekszta łceniu w energi ę termiczn ą w ramce.

28.3. Indukowane pole elektryczne

Zmiana strumienia magnetycznego indukuje SEM nawet wtedy, gdy powierzchnia, dla którejwyznaczamy strumie ń, nie jest ograniczona p ę tlą przewodz ą cą , ale dowoln ą lini ą . Zmienne polemagnetyczne indukuje pole elektryczne w ka żdym punkcie takiej linii, a indukowana SEM

r E

jest zwi ą zana z polem zale żnością r

E

Używaj ą c pola elektrycznego, prawo Faradaya mo żna zapisa ć w ogólnej postaci nast ę puj ą co:

i krótko wyrazi ć je zdaniem: zmienne pole magnetyczne indukuje pole elektryczne r

E .

28.4. Cewki i indukcyjno ść

Cewka jest urz ą dzeniem pozwalaj ą cym na wytworzenie ustalonego pola magnetycznego

w okre ślonym obszarze przestrzeni. Gdy przez ka żdy z N zwojów cewki p łynie pr ą d o nat ęże-niu I , to pr ą d wytworzy strumie ń magnetyczny M B . Indukcyjno ść cewki definiujemy wówczasza pomoc ą tego strumienia wzorem

Jednostk ą indukcyjno ści jest henr (H) okre ślany jako

Jeśli przez cewk ę płynie pr ą d o zmiennym w czasie nat ężeniu I , to w cewce pojawia si ę SEMsamoindukcji równa

P B L v

R=

2 2 2

.

P BLv

R R

B L v R

=

=2 2 2 2

,

ε = ⋅∫ r r E ds .

r r E ds

d

dt B⋅ = −∫ Φ

L N

I B=

Φ.

1 1 2H T m A= ⋅ / .


23/33


gdzie L oznacza indukcyjno ść cewki. Kierunek tej si ły mo żna wyznaczy ć z regu ły Lenza: SEMsamoindukcji przeciwdzia ła zmianom, w wyniku których powstaje.

28.5. Obwody RL

Jak ju ż wiemy (por. p. 25.3.), je śli nagle przy łożymy SEM o warto ści g do obwodu o jednymoczku, który zawiera opornik R i kondensator C , to ładunek b ę dzie zmierza ł do warto ści C g w stanie równowagi w sposób wyk ładniczy. Szybko ść gromadzenia si ę ładunku jest okre ślona

pojemno ściow ą sta łą czasow ą J C . Podobnie, gdy nagle od łą czymy od tego przewodu SEM, toładunek nie zniknie natychmiast, ale b ę dzie zmierza ł do zera tak że w sposób wyk ładniczy.

Podobne opó źnienie wzrostu (lub spadku) nat ężenia pr ą du pojawi si ę podczas w łą czania (lubwy łą czania) SEM o warto ści g w obwodzie o jednym oczku, który zawiera opornik R i cewk ę L.Rozwa żmy rys. 28.3 gdy klucz S zamyka obwód w punkcie a , nat ężenie pr ą du w oporniku za-czyna rosn ąć. Gdyby nie by ło cewki, nat ężenie pr ą du bardzo szybko wzros łoby do sta łejwarto ści g / R. Jednak ze wzgl ę du na obecno ść cewki, w obwodzie pojawi si ę SEM samoinduk-cji g L . Zgodnie z regu łą Lenza b ę dzie ona przeciwstawia ła się wzrostowi nat ężenia, co oznacza,że jest przeciwnie skierowana ni ż SEM źród ła. Zaobserwujemy, że pocz ą tkowo cewka przeciw-dzia ła zmianom nat ężenia p łyną cego przez ni ą pr ą du, a po d łuższym czasie cewka dzia ła jak zwyk ły przewód łą czą cy elementy obwodu.

Rys. 28.3. Obwód RL

Jeżeli klucz na rys. 28.3 zamyka obwód w punkcie a , to obwód jest równowa żny obwodowi przedstawionemu na rys. 28.4. Zastosujemy do tego obwodu drugie prawo Kirchhoffa (algebraiczna suma zmian potencja łów napotkanych przy pe łnym obej ściu dowolnego oczka jest rów-na zeru), wychodz ą c od punktu x na rysunku i poruszaj ą c się zgodnie z kierunkiem pr ą du o nat ę -żeniu I. Przechodz ą c przez opornik R, potencja ł maleje o wielko ść IR. Mi ę dzy punktami x i y jestwię c ró żnica potencja łów ! IR. W cewce L nat ężenie pr ą du I ulega zmianie, wi ę c pojawia si ę w niej SEM samoindukcji g L. Z równania (28.7) moemy obliczy ć jej warto ść. Poniewa ż siła ta

przeciwdzia ła kierunkowi pr ą du, wi ę c mi ę dzy punktami y i z obserwujemy zmian ę potencja łu

ε L L dI dt

= − , (28.7)


24/33

28.5. Obwody RL 199

równ ą ! L dI / dt . Po powrocie do punktu x obserwujemy zmian ę potencja łu równ ą +g . Zatemz drugiego prawa Kirchhoffa wynika, że

czyli

Rys. 28.4. Obwód z rys. 28.3 z kluczem w pozycji a

Równanie (28.8) jest równaniem ró żniczkowym. Aby je rozwi ą zać, poszukujemy takiejfunkcji I (t ), która spe łnia to równanie i warunek pocz ą tkowy I (0) = 0. Rozwi ą zanie ma posta ć

co mo żna te ż zapisa ć w postaci

gdzie J L oznacza indukcyjn ą sta łą czasow ą równ ą

Jeżeli klucz S zamykaj ą cy obwód przedstawiony na rys. 28.3 znajduje si ę w punkcie a dosta-tecznie d ługo, to nat ężenie pr ą du osi ą gnie stan ustalony g / R. Gdy przestawimy teraz kluczw po łożenie b, to źród ło zostanie od łą czone od obwodu. Bez źród ła nat ężenie pr ą du p łyną cego

przez opornik b ę dzie zmniejsza ło si ę . Równanie opisuj ą ce to zmniejszanie si ę mo żna wyprowa-dzić z równania (28.8) podstawiaj ą c g = 0. Mamy wówczas

Przy warunku pocz ą tkowym I (0) = I 0 = g / R rozwi ą zaniem tego równania jest

− − + = IR L dI dt

ε 0,

L dI dt

RI + = ε . (28.8)

I R

Rt L= − −ε ( ),/1 e

I R

t L= − −ε τ ( ),/1 e

τ L L R

= .

L dI dt

IR+ = 0.

I R

I t t L L= =− −ε τ τ e e/ / .0


25/33


Jeżeli obie strony równania (28.8) pomno żymy przez I , to otrzymamy

Równanie to ma nast ę puj ą cą interpretacj ę fizyczn ą dotycz ą cą pracy i energii:! jeżeli ładunek dq przep ływa przez źród ło SEM o warto ści g w czasie dt , to źród ło wykonuje

nad tym ładunkiem prac ę g dq, a to oznacza, że szybko ść, z jak ą źród ło wykonuje prac ę , wy-nosi ( g dq) / dt , tj. g I , czyli lewa strona równania wyra ża szybko ść, z jak ą źród ło SEM dostar-cza energi ę do pozosta łych cz ęści obwodu,

! ostatni sk ładnik po prawej stronie równania wyra ża szybko ść, z jak ą energia wydziela si ę naoporniku w postaci energii termicznej,

! z zasady zachowania energii wynika, że energia, która jest dostarczona do obwodu, ale niewydziela si ę w postaci energii termicznej, musi by ć zmagazynowana w polu magnetycznymcewki, a to oznacza, że pierwszy sk ładnik po prawej stronie równania wyra ża szybko śćdE B / dt , z jak ą energia magnetyczna E B jest gromadzona w polu magnetycznym.

Mamy zatem

Równanie to mo żemy zapisa ć w postaci

sk ą d po sca łkowaniu otrzymujemy

czyli

Jest to wyra żenie okre ślają ce ca łkowit ą energi ę zmagazynowan ą w cewce L, w której p łynie pr ą do nat ężeniu I .

Zadania1. Ko łowa ramka o średnicy 10 cm (widziana z boku na rys. 28.5) jest umieszczona w taki

sposób, że wektor normalny do p łaszczyzny ramki tworzy z ni ą k ą t 2 = 30° z kierun-r

N kiem jednorodnego pola magnetycznego o warto ści indukcji 0,5 T. Ramka jest obracanaw taki sposób, że wektor zakre śla powierzchni ę sto żka wokó ł kierunku pola ze sta łą

r N

szybko ścią 100 obrotów / min, k ą t 2 pozostaje za ś stały podczas tego ruchu. Jaka jest SEMindukowana w ramce?

2. Na rys. 28.6 przedstawiono zamkni ę tą przewodz ą cą ramk ę w kszta łcie okr ę gu o promieniu R = 2 m. Ramka ma opór 4 S , a środek okr ę gu znajduje si ę w punkcie, przez który prze-chodzi d ługi prosty izolowany przewód. W chwili t = 0 pr ą d w przewodzie p łynie w prawo,a jego nat ężenie jest równe 5 A. Pó źniej nat ężenie pr ą du zmienia si ę zgodnie z zale żnością

I = 5 A ! (2 A / s 2) t 2. Jakie jest nat ężenie pr ą du indukowanego w ramce dla t > 0?

ε I LI dI dt

I R= + 2 .

dE

dt LI

dI dt

B = .

dE LIdI B = ,

dE LIdI B

E I B

0 0∫ ∫= ,

E LI

B =2

2. (28.9)


26/33

28.5. Obwody RL 201



3. Na rys. 28.7 przedstawiono metalowy pr ę t przesuwany z pr ę dko ścią po dwóch metalo-rv

wych szynach po łą czonych na jednym ko ńcu metalowym paskiem. Pole magnetyczneo warto ści indukcji B = 0,35 T jest skierowane przed p łaszczyzn ę rysunku.a) Jaka SEM jest indukowana w obwodzie, je śli szyny s ą oddalone o 25 cm, a pr ę dko ść pr ę -

ta jest równa 55 cm / s? b) Ile wynosi nat ężenie pr ą du p łyną cego w pr ę cie, je śli ma on opór 18 S , a opór szyn i pa-ska jest znikomo ma ły?

c) Z jak ą szybko ścią energia jest przekszta łcana w energi ę termiczn ą ?


4. Odcinek drutu miedzianego o d ługo ści 50 cm i średnicy 1 mm tworzy ko łową ramk ę umieszczon ą prostopadle do kierunku wektora indukcji, którego warto ść rośnie ze sta łą szybko ścią 10 mT / s. Z jak ą szybko ścią wydziela si ę w ramce energia termiczna?

5. Okr ą gła cewka o promieniu 10 cm sk łada si ę z 30 ciasno nawini ę tych zwojów. Zewn ę trzne pole magnetyczne o warto ści indukcji 2,6 mT jest skierowane prostopadle do p łaszczyzny

cewki.a) Jaki strumie ń magnetyczny przenika przez zwoje cewki, je żeli nie p łynie w niej pr ą d?


27/33


b) Gdy w cewce p łynie w pewnym kierunku pr ą d o nat ężeniu 3,8 A, to wypadkowy stru-mie ń przenikaj ą cy przez cewk ę jest równy zeru. Ile wynosi indukcyjno ść cewki?

6. Na rys. 28.8 przedstawiono obwód sk ładaj ą cy si ę z trzech identycznych oporników o oporze R = 9 S , dwóch identycznych cewek o indukcyjno ści L = 2 mH i źród ła doskona łego o SEMo warto ści g = 18 V.a) Jakie b ę dzie nat ężenie pr ą du I , który pop łynie przez źród ło tu ż po zamkni ę ciu klucza?

b) Jakie b ę dzie nat ężenie pr ą du I płyną cego przez źród ło po d ługim czasie od zamkni ę ciaklucza?


7. Nat ężenie pr ą du w obwodzie RL zmniejsza si ę od 1 A do 10 mA w ci ą gu pierwszej sekundy po od łą czeniu źród ła od obwodu. Obliczy ć opór R w obwodzie je śli indukcyjno ść L jestrówna 10 H.

8. W chwili t = 0 do szeregowego obwodu RL pod łą czono źród ło pr ą du. Wyznaczy ć, po jakim

czasie wyra żonym przez wielokrotno ść indukcyjnej sta łej czasowej J C pr ą d p łyną cyw obwodzie b ę dzie o 0,1 % mniejszy od warto ści w stanie ustalonym.


28/33

XXIX. DRGANIA ELEKTROMAGNETYCZNEI PRĄ D ZMIENNY

29.1. Drgania elektromagnetyczne w obwodach LC

Spośród dwuelementowych obwodów elektrycznych rozwa żyliśmy po łą czenie szeregowe RC

oraz RL. Okaza ło si ę , że warto ści ładunku, nat ężenia pr ą du i ró żnicy potencja łów wyst ę puj ą cychw tych obwodach rosn ą lub malej ą wyk ładniczo. W tym punkcie zbadamy kombinacj ę LC . Oka-że się , że ładunek, nat ężenie pr ą du i ró żnica potencja łów zmieniaj ą się w tym przypadku sinu-soidalnie. Powstaj ą ce w wyniku tego drgania pola elektrycznego w kondensatorze i pola ma-gnetycznego w cewce nazywamy drganiami elektromagnetycznymi , a obwód elektryczny LC nazywa si ę obwodem drgaj ącym.

Rys. 29. Osiem faz jednego cyklu drga ń w obwodzie LC

Na rys. 29 przedstawiono kolejne fazy drga ń w prostym uk ładzie LC . Energia zmagazyno-wana w polu elektrycznym kondensatora w dowolnej chwili jest równa (zob. p. 23.3)


29/33

XXIX. Drgania elektromagnetyczne i pr ąd zmienny204

gdzie q oznacza ładunek, a energia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki wynosi (zob.wzór (28.9))

gdzie I oznacza nat ężenie pr ą du p łyną cego przez cewk ę . Ca łkowita energia E = E E + E B po-zostaje sta ła. Oznacza to, że pochodna dE / dt musi równa ć się zeru, co prowadzi do zale żności

Poniewa ż I = dq / dt oraz dI / dt = d 2

q / dt 2

, wi ę c z powy ższego równania otrzymujemy równanieróżniczkowe postaci

Rozwi ą zanie ogólne równania (29.3) ma posta ć

gdzie qmax oznacza amplitud ę zmian ładunku, T – cz ę stość ko łową drga ń elektromagnetycznych,a N – faz ę pocz ą tkow ą . Ró żniczkuj ą c to równanie wzgl ę dem czasu, otrzymujemy wyra żenieopisuj ą ce nat ężenie pr ą du

Amplituda I max zmieniaj ą cego si ę sinusoidalnie nat ężenia pr ą du wynosi

i mo żemy równanie (29.5) przepisa ć w postaci

Przez podstawienie wyra żenia (29.4) i jego pochodnej drugiego rz ę du wzgl ę dem czasu dorównania (29.3) otrzymujemy

sk ą d po skróceniu i prostych przekszta łceniach dostajemy

Zatem cz ę stość ko łowa ma sta łą warto ść. Faza pocz ą tkowa N jest okre ślona przez warunki, którewyst ę puj ą w pewnej chwili, np. t = 0.

Z równa ń (29.1) i (29.4) wynika, że energia elektryczna zmagazynowana w obwodzie LC

w dowolnej chwili t jest równa

E q

C E =

2

2, (29.1)

E LI

B =2

2, (29.2)

dE dt

d dt

LI qC

LI dI dt

qC

dqdt

= +

= + =

2 2

2 20.

L d q

dt C q

2

2

10+ = . (29.3)

q q t = +max cos( ),ω φ (29.4)

I dqdt

q t = = − +ω ω φ max sin( ). (29.5)

I qmax max= ω

I I t = − +max sin( ).ω φ

− + + + = L q t C

q t ω ω φ ω φ 2 1 0max maxcos( ) cos( ) ,

ω = 1

LC . (29.6)


30/33

29.2. Drgania t ł umione w obwodzie RLC 205

Z kolei z równa ń (29.2) i (29.5) dla energii magnetycznej mamy

sk ą d po uwzgl ę dnieniu zale żności (29.6) otrzymujemy

Zauwa żmy, że:! warto ści maksymalne energii E E i E B są jednakowe i wynosz ą q C max / ,

22

! w dowolnej chwili suma energii E E i E B ma sta łą warto ść q C max / ,2 2! gdy energia elektryczna E E osią ga maksymaln ą warto ść, to energia magnetyczna E B jest równa

zeru i na odwrót.

29.2. Drgania t łumione w obwodzie RLC

Jeśli do obwodu LC dołą czymy rozpraszaj ą cy energi ę opór R, to drgania w takim obwodziesą tłumione. Zachodzi wówczas równanie

którego rozwi ą zaniem jest

gdzie

Drgania w obwodzie RLC nie b ę dą zanika ć, jeśli zewn ę trzne źród ło SEM dostarczy dostatecz-nie du żo energii, aby uzupe łnić straty spowodowane rozpraszaniem energii w oporniku R. Insta-lacje elektryczne w mieszkaniach, biurach i fabrykach, zawieraj ą ce niezliczone obwody RLC,

pobieraj ą energi ę z lokalnych elektrowni. Energia ta jest dostarczana przy u życiu napi ęć i pr ą -dów zmieniaj ą cych si ę w czasie – taki pr ą d nazywamy pr ą dem zmiennym . Te zmienne napi ę ciai nat ężenia pr ą du zale żą sinusoidalnie od czasu, zmieniaj ą c kierunek (w Europie 100 razy na se-kund ę , co odpowiada cz ę stotliwo ści 50 Hz; w Ameryce Pó łnocnej cz ę stotliwo ść zmian napi ę ciai nat ężenia pr ą du w sieci elektrycznej wynosi 60 Hz).

Podstawow ą korzy ścią ze stosowania pr ą du zmiennego jest to, że zmiany nat ężenia pr ą du powoduj ą zmiany pola magnetycznego otaczaj ą cego przewodnik. Dzi ę ki temu jest mo żliwe za-stosowanie prawa indukcji Faradaya, co oznacza mi ę dzy innymi, że mo żemy dowolnie podwy ż-szać (zwi ę ksza ć) lub obni żać (zmniejsza ć) amplitud ę napi ę cia zmiennego, korzystaj ą c z urz ą dze-

nia zwanego transformatorem. Dodatkow ą korzy ści jest to, że pr ą d zmienny jest łatwiejszy dostosowania w obrotowych urz ą dzeniach elektrycznych, takich jak pr ą dnice i silniki.

E q

C

q

C t E = = +

2 22

2 2max cos ( ).ω φ

E LI L q

t B = = +2 2 2

2

2 2ω

ω φ max sin ( ),

E q

C t B = +

max sin ( ).2

2

2ω φ

L d qdt

R dqdt C

q2

21 0+ + = ,

q q t Rt L= ′ +−max/ cos( ),e 2 ω φ

′ = −ω ω 2 22( / ) . R L


31/33

XXIX. Drgania elektromagnetyczne i pr ąd zmienny206

Zadania

1. Obwód drgaj ą cy LC sk łada si ę z cewki o indukcyjno ści 75 mH i kondensatora o pojemno ści3,6 : F. Obliczy ć:a) ca łkowit ą energi ę w obwodzie,

b) maksymalne nat ężenie pr ą du, je śli maksymalny ładunek na ok ładkach kondensatora jestrówny 2,9 : C.

2. W pewnym obwodzie LC energia zmienia si ę z energii elektrycznej na kondensatorze naenergi ę magnetyczn ą w cewce w ci ą gu 1,5 : s. Ile wynosz ą :a) okres drga ń,

b) cz ę stotliwo ść drga ń.c) Po jakim czasie od chwili, w której energia magnetyczna mia ła warto ść maksymaln ą ,

osią gnie ona znów maksimum?3. W obwodzie drgaj ą cym LC mamy L = 1,1 mH i C = 4 : F. Maksymalny ładunek na ok ład-

kach kondensatora jest równy 3 : C. Oblicz maksymaln ą warto ść nat ężenia pr ą du.4. W obwodzie drgaj ą cym LC zawieraj ą cym cewk ę o indukcyjno ści 1,25 H energia jest równa

5,7 : J. Maksymalny ładunek na ok ładkach kondensatora wynosi 175 : C. Dla uk ładuklocek-spr ężyna o tym samym okresie drga ń i maksymalnej pr ę dko ści klocka równej3,02 mm / s obliczy ć:a) mas ę klocka,

b) wspó łczynnik spr ężysto ści spr ężyny,c) maksymalne przemieszczenie.

5. W obwodzie drgaj ą cym LC zawieraj ą cym L = 50 mH i C = 4 : F w chwili pocz ą tkowejnatężenie pr ą du ma maksymaln ą warto ść. Po jakim czasie kondensator zostanie po raz

pierwszy na ładowany?6. Jaki opór R nale ży po łą czyć szeregowo z indukcyjno ścią L = 220 mH i pojemno ścią

C = 12 : F, aby maksymalny ładunek na kondensatorze zmniejszy ł się do 99 % swojej pocz ą tkowej warto ści w czasie 50 cykli drga ń (przyj ąć ′ ≈ω ω ).


32/33

XXX. RÓWNANIA MAXWELLA

Wszystkie prawa fizyki podane w poprzednich jedenastu rozdzia łach (XIX – XXIX) mo żnazebra ć w postaci zaledwie czterech równa ń Maxwella. Zanim je podamy, przedstawimy uogól-nione prawo Ampère’a.

W rozdziale XXVIII dowiedzieli śmy si ę , że zmienny strumie ń magnetyczny indukuje poleelektryczne i zapisali śmy prawo Faradaya w postaci (zob. p. 28.3)

Wektor oznacza tutaj nat ężenie pola elektrycznego indukowanego wzd łuż zamkni ę tego kon-r

E turu przez zmienny strumie ń magnetyczny M B obję ty tym konturem. Z kolei zmienny strumie ń

pola elektrycznego wytwarza pole magnetyczne Odpowiednie prawo mo żemy zapisa ć w po-r

B.

staci

gdzie : 0 oznacza przenikalno ść magnetyczn ą pró żni (sta łą magnetyczn ą ), a g 0 – przenikalno śćelektryczn ą próżni (sta łą elektryczn ą ). Wektor oznacza w tym wzorze indukcj ę pola magne-

r B

tycznego, które jest indukowane wzd łuż zamkni ę tego konturu przez zmienny strumie ń elektrycz-ny M E obj ę ty tym konturem.

Ca łka wyst ę puj ą ca w równaniu (30.1) pojawi ła się równie ż w prawie Ampère’a

w którym I p oznacza nat ężenie pr ą du obj ę tego konturem ca łkowania. Równania (30.1) i (30.2)można po łą czyć i napisa ć razem w postaci

Gdy istnieje pr ą d, a nie ma zmiany strumienia elektrycznego, pierwszy sk ładnik po prawej stro-nie jest równy zeru. Gdy zmienia si ę strumie ń elektryczny, ale nie p łynie pr ą d, drugi sk ładnik

po prawej stronie jest równy zeru.

Równanie (30.3) jest ostatnim spo śród czterech podstawowych równa ń elektromagnetyzmu,nazywanych równaniami Maxwella. Zosta ły one zebrane w tabeli 30 przy za łożeniu, że nie wy-stę puj ą materia ły dielektryczne i magnetyczne.

r r E ds

d

dt B⋅ = −∫ Φ .

r r B ds

d

dt E ⋅ =∫ µ ε 0 0 Φ , (30.1)

r r B ds I p⋅ =∫ µ 0 , (30.2)

r r B ds

d

dt I E p⋅ = +∫ µ ε µ 0 0 0Φ .


33/33

XXX. Równania Maxwella208

Tabela 30. Równania Maxwella

Nazwa Równanie Znaczenie

Prawo Gaussa dla elektryczno ści r r E dS q wewn⋅ =∫ / ε 0 wiąże wypadkowy strumie ńelektryczny z wypadkowym

ładunkiem elektrycznym obj ę tym powierzchni ą Gaussa

Prawo Gaussa dla magnetyzmu r r B dS ⋅ =∫ 0 wiąże wypadkowy strumie ńmagnetyczny z wypadkowym

ładunkiem magnetycznymobję tym powierzchni ą Gaussa

Prawo Faradaya r r E ds

d

dt B⋅ = −∫ Φ

wiąże indukowane poleelektryczne ze zmiennymstrumieniem magnetycznym

Uogólnione prawo Ampère’a r r B ds

d dt

I E p⋅ = +∫ µ ε µ 0 0 0Φwiąże indukowane polemagnetyczne ze zmiennymstrumieniem elektrycznym orazz pr ą dem

andrzej marciniak pwsz kalisz fizyka - 8

Documents