àngulos, razones trigonomètricos

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E

INGENIERÍA E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E

INFORMÁTICA

ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA CICLO: I

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. [email protected] – [email protected]

Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ [email protected] 999685938

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TEMA: ANGULO TRIGONOMÉTRICO SEMANA: 03

TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 501B SEMESTETRE: 2017 - II

CONCEPTO Y APLICACIÓN

Rama de las matemáticas que estudia las relaciones

entre los lados y los ángulos de triángulos, de las

propiedades y aplicaciones de las funciones

trigonométricas de ángulos. Las dos ramas

fundamentales de la trigonometría son

la trigonometría plana, que se ocupa de figuras

contenidas en un plano, y la trigonometría

esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte

de la superficie de una esfera.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se

hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y

la astronomía, en las que el principal problema era

determinar una distancia inaccesible, como la distancia

entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía

ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la

trigonometría se pueden encontrar en la física, química

y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en

el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o

el flujo de corriente alterna.

Astronomía: Cálculo del radio de la Tierra, distancia de

la Tierra a la Luna, distancia de la Tierra al Sol,

predicción de eclipses, confección de calendarios.

Artillería: ¿A qué distancia se encuentra un blanco al

que se desea disparar con una catapulta o con un

cañón?

Cartografía: Elaboración del mapa de un lugar del que

se conocen algunas distancias y algunos ángulos.

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Construcciones: Cómo construir un edificio para que

cumpla ciertas exigencias de orientación. En qué

dirección se excava un túnel para que salga, al otro lado

de la montaña, en el lugar deseado.

Navegación: Construcción de cartas marinas en las que

se detalle la ubicación de escollos, arrecifes, ...

Ángulo Trigonométrico.- Es aquel ángulo que se

genera por la rotación de un rayo alrededor de un

punto fijo llamado vértice u origen desde una posición

inicial hasta otra posición final, debiendo considerar

que esta rotación se efectúa en un mismo plano.

Por lo tanto debemos considerar dos tipos de rotación:

Sentido Antihorario

Sentido Horario

NOTA:

Si el ángulo tiene rotación antihoraria la medida del

ángulo será positivo.

∝ 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐

Si el ángulo tiene rotación horaria la medida del ángulo

será negativo.

𝜷 𝒆𝒔 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐





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ÁNGULO DE UNA VUELTA

Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su

lado final coincide con su lado inicial por primera vez.

MAGNITUD DE UN ÁNGULO

Los ángulos trigonométricos son ilimitados a diferencia

de la geometría.

Medida del ángulo trigonométrico 𝜖 < −∞, +∞ >

Ejercicios resueltos

1. De la figura, calcular el valor de “x”

Solución:

El ángulo (50 – 3𝑥)° tiene sentido negativo:

𝑥 + 30° – (50 – 3𝑥)° = 180°

𝑥 + 30° – 50° + 3𝑥 = 180°

4𝑥 – 20° = 180°

4𝑥 = 200°

𝑥 = 50°

2. De la figura, hallar “x” en términos de , y

Solución: Horario, entonces tiene signo negativo: Luego: x – + – + 90º = 360º

x = 360º + – + – 90º x = – + + 270º Los ángulos: y tiene sentido de rotación.

3. De la figura, indicar qué relación existe entre , y

Solución: Del gráfico observamos que: 𝛼 es ( + )

𝛽 𝑒𝑠 ( – )

𝜃 𝑒𝑠 ( – ) Entonces:

360

2vueltas

- - = 720°

Ejercicios

1. Señale la relación

correcta entre y .

a) + = 90º

b) - = 90º

c) + = -90º

d) + = 0

e) - = 90º

2. Del gráfico determine x.

3. Calcular “x”





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4. Hallar “x”

5. Del gráfico hallar “x”

6. Calcular el valor de x:

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

Son las diferentes formas en que se pueden medir los

ángulos; destacando solamente:

1. SISTEMA. SEXAGESIMAL (S).- Llamado también inglés; es aquel que divide al ángulo de una vuelta en 360 partes iguales; denominando a cada una de ellas un grado sexagesimal (1°)

Unidad:

11 1 360

360

vueltavuelta

Además: 1º = 60'

1' = 60"

1º = 3600"

2. SISTEMA CENTESIMAL (C).- Llamado también francés; es aquel que divide al ángulo de una vuelta en 400 partes iguales, denominando a cada una de ellas

un grado centesimal. (1g )

Unidad:

11 1 400

400

g gvueltavuelta

Además: 1g = 100m

1m = 100s

1g = 10000s

3. SISTEMA RADIAL.- Llamado también circular o

internacional, es aquel que tiene como unidad a un

radián (1 rad) que viene a ser la medida de un ángulo

central en una circunferencia cuando el arco que le

corresponde mide igual que el radio de la

circunferencia. En el gráfico adjunto.

Además: 1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 2𝜋𝑟𝑎𝑑 CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS

rad

RCSg .200º180

* CONSIDERACIONES

1) 1rad > 1° > 1g

2) 360° < > 400g < > 2πrad

180° < > 200g < > πrad





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3) 180° < > 200g

9°<>10g

180° < > 200g < > 9° < > 10g

4) a°b'c'' = a° + b' + c"

agbmcs = ag + bm + cs

5) a° = (60a)' = (3600a)"

ag = (100a)m = (10000a)s

6) 27' < > 50m

81" < > 250s

Es el procedimiento mediante el cual un ángulo

expresado en cierto sistema; se expresa en unidades de

otro sistema. El criterio a utilizar se llama "método del

factor de conversión", que consiste en multiplicar al

ángulo por una fracción cuyo numerador y

denominador son equivalentes y están dados por dos

ángulos expresados en los sistemas que intervienen.

Así por ejemplo;

Convertir:

1) 45ºRadianes

2) 60g sexagesimal

3) rad10

centesimales

20g

Ejercicios

01. De la siguiente relación:

SC9R10

6S

Calcular el número de grados centesimales.

02. Hallar el complemento del ángulo 52

rad en el

sistema sexagesimal.

03. La suma de dos ángulos es 120° y su diferencia es

3

rad. Hallar la medida del menor de los ángulos en

grados sexagesimales.

04. De la figura, calcular “”.

5

-4

07. Convertir: 45° a grados centesimales.

08. Convertir: 3rad2

a grados sexagesimales.

09. Simplificar: SC19

)SC)(SC(180M

10. La suma de las medidas de dos ángulos es /10 rad

y la diferencia de los mismos es 9°. Calcular la medida

del mayor de los ángulos.

4

rad

54o





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RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA TRIÁNGULOS

RECTÁNGULOS

Definición.- La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto a uno de los ángulos agudos. Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.

Elementos:

Hipotenusa (H) b Catetos respecto al ángulo “” a) Cateto opuesto (C.O.) a

b) Cateto adyacente (C.A.) c

m ∢ CAB (agudo)

Razones Trigonométricas para el ángulo “𝜶”:

Por ejemplo:

Observación: 1. En un triángulo rectángulo

Ejercicios Resueltos

01. En un triángulo rectángulo 𝐴𝐵𝐶 recto en B reducir:

𝐸 = 𝑠𝑒𝑛𝐴. 𝑠𝑒𝑐𝐶 + 𝑐𝑜𝑠𝐶. 𝑐𝑠𝑐𝐴

Solución: Representamos un triángulo que se ajuste al problema:

02. Si: es un ángulo agudo tal que 1

cos3

.

Calcular 𝑡𝑔 𝛼. Solución: Del dato:

“” debe estar dentro de un triángulo rectángulo.





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03. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que:

csccos

5

BA

Calcular: 𝑃 = 𝑆𝑒𝑐𝐴 – 𝐶𝑡𝑔𝐵 Solución:

Del enunciado:csc

cos5

BA

Por el teorema de Pitágoras:

Nos piden:

04. Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ángulo de 32° con la horizontal.

Si me acerco 25 m, el ángulo es de 50°. ¿Cuál es la altura de la torre? Solución

Ejercicios

01. Si: 10

cos 0 9010

Calcular: cscL ctg

02. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”) reducir:

03. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. Reducir: 𝐸 = 𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑠𝑒𝑐𝐶 + 𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑠𝑒𝑐𝐴

04. Si: sec 7x

05. En un triángulo 𝐴𝐵𝐶 recto en 𝐶 se tiene que 𝑎 +𝑐 = 2.

06. Del gráfico hallar:

08. A partir de la figura mostrada, calcular:

𝑁 = 𝑡𝑔𝛼 + 𝑡𝑔𝛽

09. Si: 3

sec3





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10. De la figura, calcular:

11. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos

12. Dos antenas de radio están sujetas al suelo por cables tal como indica la figura. Calcula la longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia AE.

13. Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. ¿Cuál es su altura?

14. Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared?

15. Calcula la altura, h, de los siguientes triángulos:

BIBLIOGRAFÍA

Espinoza, E. (2007). Análisis matemático I para

estudiantes de ciencias e ingeniería. Lima: Servicios

Gráficos.

Fuller, G., Wilson, W., & Miller, H. (1986). Algebra

Universitaria. Mexico D.F: Continental.

Instituto de Ciencias y Humanidades. (2008). Algebra y

principios del análisis. Lima: Lumbreras.

REFERENCIA

http://www.luiszegarra.cl/moodle/mod/resource/vi

ew.php?id=24

http://www.migueltarazonagiraldo.com/

http://www.luiszegarra.cl/moodle/

http://www.curiosfera.com/historia-de-los-

numeros/

https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagirald

o/historia-de-los-nmeros-79492383

VIDEO

https://www.youtube.com/watch?v=xmJiBMylH3A



http://www.luiszegarra.cl/moodle/mod/resource/view.php?id=24

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http://www.migueltarazonagiraldo.com/

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http://www.curiosfera.com/historia-de-los-numeros/

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https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagiraldo/historia-de-los-nmeros-79492383

https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagiraldo/historia-de-los-nmeros-79492383

https://www.youtube.com/watch?v=xmJiBMylH3A

àngulos, razones trigonomètricos

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