Anillos de Ehrhart

Rafael Heraclio Villarreal Rodrıguez

Departamento de MatematicasCINVESTAV-IPN, Mexico

XLVII Congreso NacionalSociedad Matematica Mexicana

Area de AlgebraDurango, Dgo., 26–31 Octubre, 2014.

Bosquejo de la Platica

Politopos Enteros

Funcion y Polinomio de Ehrhart

Ley de Reciprocidad

Volumen de Politopos Enteros

Los Politopos aparecen en Programacion Entera,Geometrıa Algebraica y Variedades Toricas

Anillo de Ehrhart y Politopos Enteros

Politopos

Sea A = {v1, . . . , vq} un conjunto de vectores en Zn y sea

conv(A) :=

{ q∑i=1

aivi

∣∣∣∣∣ ai ∈ R+;

q∑i=1

ai = 1

}

la envoltura convexa de A en Rn.

DefinicionAl conjunto conv(A) se le llama un politopo entero en Rn.Usaremos P para denotar a un politopo entero:

P := conv(A)

Politopo Entero P en R3:

P = conv(v1, . . . , v5)

tv4 = (0,0,0)

tv3 = (0,3,0) tv2 = (3,0,0)

tv1 = (1,1,3)

t v5 = (1,1,−3)

\\\\\\\

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\\\\\\\

p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

pppppppppppppppppp

pppppppp

Politopo Entero P en R2:

-

6

1

2

3

4

5

6

y

0 1 2 3 4 5 6 xAAAAA

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��

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sss s

s

s

Sea P un politopo. Entonces tenemos que:P es convexo. Es decir dados x , y ∈ P se tiene que

tx + (1− t)y ∈ P ∀0 ≤ t ≤ 1

P es compacto. Esto es P es cerrado y acotado.

Conjuntos Convexos Compactos

Politopos

Sea H un hiperplano afın de Rn definido por:

a1x1 + · · ·+ anxn = b1,

y sean H+ y H− los semiespacios definidos por:

a1x1 + · · ·+ anxn ≥ b1

a1x1 + · · ·+ anxn ≤ b1

DefinicionUna cara propia de un politopo P ⊂ Rn es un subconjunto∅ 6= F ⊂ P tal que

(a) F = P ∩ H, P 6⊂ H,(b) P ⊂ H+ o bien P ⊂ H−.

Las caras impropias son P y ∅.

Teorema (Celosıa de Caras “Face Lattice”)

Sea P un politopo. Se tiene lo siguiente:

Si F es una cara de P, entonces F es tambien unpolitopo y solo hay un numero finito de caras de P.

Si F1 y F2 son caras de P, entonces F1 ∩ F2 estambien cara de P.

TeoremaSi P es un politopo =⇒ P es el conjunto de soluciones deun sistema de desigualdades lineales:

a11x1 + · · · + a1nxn ≤ b1...

......

...am1x1 + · · · + amnxn ≤ bm

El recıproco es cierto si P is acotado.

Este sistema de desigualdades se escribe en formamatricial como

Ax ≤ b,

con A = (aij), x = (x1, . . . , xn)> y b = (b1, . . . ,bm)>.

Politopos y Programacion Lineal

Algunos problemas en Investigacion de Operaciones sereducen a un problema de programacion lineal:

Maximizar c1x1 + · · ·+ cnxn (ci ∈ R)

Sujeto a a11x1 + · · · + a1nxn ≤ b1...

......

...am1x1 + · · · + amnxn ≤ bm

Politopos en Geometrıa Algebraica

Sea f = f (x1, . . . , xn) =∑

a∈Nn caxa un polinomio enC[x1, . . . , xn], donde ca ∈ C, xa = xa1

1 · · · xann . El politopo de

Newton es el politopo entero:

PN(f ) = conv({a ∈ Nn | ca 6= 0})

Teorema (Bernstein-Kushnirenko-Khovanskii)Si hay solo un numero finito de soluciones en (C∗)n delsistema

f1 = · · · = fn = 0,

con f1, . . . , fn polinomios, entonces el numero desoluciones es acotado por arriba por el “volumenmezclado” de PN(f1), . . . ,PN(fn).

Definicion (La dimension de un politopo P)Sea afın(P) la envoltura afın de P:

afın(P) :=

{ q∑i=1

aivi

∣∣∣∣∣ ai ∈ R,q∑

i=1

ai = 1

}

Notar que podemos escribir

afın(P) = x0 + V ,

donde V es un subespacio vectorial de Rn.

La dimension de P se define como:

dim(P) := dimR(V ).

Una cara F = {x0} de dimension cero se llama vertice, yuna cara de dimension dim(P)− 1 se llama careta.

DefinicionEl f -vector de un politopo P es:

f (P) = (f0, f1, . . . , fd−1),

donde d = dim(P) y fi es el numero de caras de P dedimension i .

Ejemplo

uv4

uv3 uv2

uv1

uv5

\\\\\\\

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p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

pppppppppppppppppp

pppppppp

f0 = 5 (vertices)

f1 = 9 (caras de dim=1)

f2 = 6 (caras de dim=2)

f (P) = (5,9,6)

Formula de Euler:f0 − f1 + f2 = 1 + (−1)3−1

= 2

Funcion de Ehrhart

Consideremos un politopo entero:

P = conv(v1, . . . , vq) ⊂ Rn,

La funcion de Ehrhart de P se define como la funcionnumerica E : N→ N dada por:

E(i) = |Zn ∩ iP|,

donde iP = {ix | x ∈ P},|Zn ∩ iP| = numero de puntos en Zn ∩ iP.

Polinomio de Ehrhart

TeoremaExiste un unico polinomio

EP(x) = cdxd + · · ·+ c1x + c0 ∈ Q[x ]

de grado d = dim(P) tal que

E(i) = EP(i) (∀ i ≥ 0)

DefinicionEl polinomio EP(x) se llama el polinomio de Ehrhart de P.

Cuadrado unitario

Sea P = conv((0,0), (0,1), (1,0), (1,1))

Puntos enteros de 4P

-

6

1

2

3

4

0 1 2 3 4

s ss s s sss ss s

sss s

ss s ss s ssss s

|Z2 ∩ 4P| = 25, EP(x) = (x + 1)2

Politopo entero P:

-

6

1

2

3

4

5

6

y

0 1 2 3 4 5 6 xAAAA

����JJJJJJ��

����

s ss s s sss s s

ssss ss

s

Polinomio de Ehrhart: EP(x) = 12x2 + 3x + 1,Area o volumen de P es 12,Numero de puntos enteros en la frontera de P es 6.

TeoremaEl volumen relativo de P es:

vol(P) = limi→∞

|Zn ∩ iP|id ,

donde d = dim(P). Ademas d !vol(P) es un entero,llamado el volumen normalizado de P.

∴ vol(P) es el termino lıder cd del polinomio de Ehrhart:

vol(P) = limi→∞

|Zn ∩ iP|id = lim

i→∞

EP(i)id

= limi→∞

cd id + cd−1id−1 + · · ·+ c0

id = cd .

ObservacionSi EP(x) = cdxd + · · ·+ c1x + c0 =⇒ cd−1 ≥ 0 y c0 = 1.Esto se prueba usando la ley de reciprocidad que vieneenseguida.

Problema AbiertoLos coefficientes c0, c1, . . . , cd son no-negativos si losvertices de P tienen entradas en {0,1}.

Puntos interiores de P

Sea P ⊂ Rn un politopo entero y sea

E+(i) = |Zn ∩ int(iP)|, i = 1,2, . . .

int(iP) = interior relativo de iP.

Teorema (Ley de Reciprocidad de Ehrhart)

E+(i) = (−1)dEP(−i) ∀ i ≥ 1

TeoremaSupongamos P ⊂ R2 y dim(P) = 2. Entonces elpolinomio de Ehrhart de P se escribe como:

EP(x) = area(P)x2 +|Z2 ∩ ∂P|

2x + 1,

donde ∂P es la frontera de P.

DemostracionEscribiendo P = int(P) ∪ ∂(P) y EP(x) = c2x2 + c1x + c0

obtenemos por la ley de reciprocidad:

|∂(P) ∩ Z2| = |P ∩ Z2| − |int(P) ∩ Z2|= EP(1)− E+(1)

= EP(1)− EP(−1)

= (c2 + c1 + c0)− (c2 − c1 + c0) = 2c1. 2

Theorem (Formula de Pick)

|Z2 ∩ P| = area(P) +|Z2 ∩ ∂P|

2+ 1

DemostracionHaciendo x = 1 en la formula:

EP(x) = area(P)x2 +|Z2 ∩ ∂P|

2x + 1

obtenemos la formula de Pick. 2

-

6

1

2

3

4

5

6

Politopo entero Py

0 1 2 3 4 5 6 xAAAA

����J

JJJJJ��

��

��

s ss s s sss s s

ssss ss

s|Z2 ∩ P| = 16

|Z2 ∩ ∂P| = 6

Enseguida ilustraremos con este ejemplo

la Formula de Pick, el polinomio de Ehrhart, yla Ley de Reciprocidad.

Formula de Pick:

|Z2 ∩ P| = area(P) +|Z2 ∩ ∂P|

2+ 1.

Polinomio de Ehrhart:

EP(x) = area(P)x2 +|Z2 ∩ ∂P|

2x + 1 = 12x2 + 3x + 1.

Ley de Reciprocidad de Ehrhart:

E+(1) = (−1)2EP(−1) = 10.

Enseguida vamos a relacionar

POLITOPOS ENTEROScon

ANILLOS DE EHRHART

Sea K un campo, por ejemplo K = R, y sea

R = K [x1, . . . , xn]

un anillo de polinomios con coeficientes en K .

Hay una correspondencia entre monomios y vectores:

Nn ←→ Monomios de R

a = (a1, . . . ,an) ←→ xa := xa11 · · · xan

n .

Consideremos un politopo entero

P = conv(v1, . . . , vq) ⊂ Rn,

donde vi ∈ Nn. En esta correspondencia tenemos:

A = {v1, . . . , vq} ←→ F = {xv1 , . . . , xvq}.

Asociados a P tenemos el subanillo monomial

K [Ft ] = K [{xv1t , . . . , xvq t}] ⊂ R[t ]

de R[t ] generado por Ft sobre K , donde t es una nuevavariable, y el anillo de Ehrhart

A(P) = K [{xαt i |α ∈ Zn ∩ iP}] ⊂ R[t ]

Anillos normales y cerradura entera

DefinicionSea A un dominio entero y KA su campo de cocientes.

Un elemento z ∈ KA se dice que es entero sobre A siexiste un polinomio monico:

0 6= f (x) = xn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0,

con ai ∈ A, n ≥ 1 y f (z) = 0.

La cerradura entera A de A, es el subanillo de todoslos z ∈ KA que son enteros sobre A.

Si A = A decimos que A es normal .

Propiedades del anillo de Ehrhart

A(P) es un anillo normal,

A(P) = K [xγ1tb1 , . . . , xγr tbr ],

K [Ft ] ⊂ A(P) es una extension entera,

K [Ft ] = A(P)⇐⇒ A(P) esta contenido en el campode cocientes de K [Ft ].

ObservacionLa normalidad de A(P) implica que la funcion y elpolinomio de Ehrhart son iguales para todo i ≥ 0.

El anillo de Ehrhart es un anillo graduado:

A(P) =∞⊕

i=0

A(P)i ,

donde la componente de grado i es:

A(P)i =∑

α∈Zn∩iP

Kxαt i ,

Notar que la funcion de Hilbert de A(P):

E(i) = dimK A(P)i = |Zn ∩ iP|

es igual a la funcion de Ehrhart de P.

La serie de Hilbert de A(P) es:

F (A(P), x) =∞∑

i=0

|Zn ∩ iP|x i ,

esta serie es llamada la serie de Ehrhart de P.

Por el famoso teorema de Hilbert-Serre dicha serie esuna funcion racional:

F (A(P), x) =h0 + h1x + · · ·+ hsxs

(1− x)d+1 ,

con h0 + h1 + · · ·+ hs 6= 0 y d = dim(P).

Propiedades de la serie de Ehrhart:

s < d + 1; pues A(P) es normal.

hi ≥ 0 para todo i .

h0 + h1 + · · ·+ hs = d !vol(P).

La ley de reciprocidad para politopos se prueba usandoseries de Hilbert y propiedades algebraicas de A(P).

El estudio de series de Hilbert ha sido util en la solucionde problemas combinatorios y para calcular invariantesde anillos graduados que ocurren en geometrıaalgebraica.

Anillo y Serie de Ehrhart:

A(P) = K [x32 t , x1x2x3

3 t , t , x31 t , x1x2x−3

3 t , x21 t , . . .]

F (A(P), x) =1 + 12x + 36x2 + 5x3

(1− x)4

EP(x) = 1 + 3/2 x + 9/2 x2 + 9x3

tv4 = (0,0,0)

tv3 = (0,3,0) tv2 = (3,0,0)

tv1 = (1,1,3)

t v5 = (1,1,−3)

\\\\\\

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pppppppp

Cuadrado unitario:

Sea P = conv((0,0), (0,1), (1,0), (1,1))

Puntos enteros de 4P

-

6

1

2

3

4

0 1 2 3 4

s ss s s sss ss s

sss s

ss s ss s ssss s |Z2 ∩ 4P| = 25

EP(x) = (x + 1)2

vol(P) = 1

E+(r) = EP(−r)

A(P) = K [Ft ]

F (A(P), x) =∞∑

i=0

|Z2 ∩ iP|x i =1 + x

(1− x)3

Usando que v1, . . . , vq estan en P, obtenemos:

K [Ft ] = K [xv1t , . . . , xvq t ] ⊂ A(P).

Puesto que A(P) = A(P), tomando cerraduras enterasobtenemos:

K [Ft ] ⊂ A(P).

Vamos a presentar condiciones para que ocurra laigualdad

K [Ft ] = A(P).

Esta igualdad es util para calcular el “grado” de unavariedad torica algebraica afın o proyectiva.

NotacionSea B una matriz entera de rango r . El maximo comundivisor de todos los menores (=subdeterminates) no cerode B de orden r se denota por ∆r (B).

TeoremaSea B la matriz:

B =

(v1 · · · vq

1 · · · 1

).

Entonces K [Ft ] = A(P)⇐⇒ ∆r (B) = 1, con r = rango(B).

Variedades Toricas

Sea K = C el campo de los numeros complejos.

Una variedad torica afın V es el conjunto de soluciones

V = V (f1, . . . , fs) ⊂ Cn

de un sistema de ecuaciones f1 = · · · = fs = 0, con fi unbinomio.

EjemploSean f = t1t2 − t3t4 y V (f ) la variedad definida por f :

V (f ) = {(a1,a2,a3,a4) ∈ C4 |a1a2 = a3a4}.

El “ideal anulador” I(V (f )) de V (f ) es igual a (f ).

El anillo de coordenadas de V (f ) es:

C[t1, t2, t3, t4]/(t1t2 − t3t4) ' K [x1x2t , x2x3t , x3x4t , x1x4t ].

Poniendo K [Ft ] = K [x1x2t , x2x3t , x3x4t , x1x4t ], y usandoel ultimo teorema, tenemos que:

K [Ft ] = A(P),

con P = conv((1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1), (1,0,0,1)).

Tenemos lo siguiente:

El grado de la variedad V (f ) es el volumennormalizado de P,

El polinomio de Ehrhart de P es:

EP(x) = x2 + 2x + 1,

dim(P) = 2,

grado de V (f )=grado(f )=2,

2 = 2!vol(P).

FIN