anÁlise de mÉtodos mÁtemÁticos
TRANSCRIPT
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 1
ANANÁÁLISE DE MLISE DE MÉÉTODOS TODOS MMÁÁTEMTEMÁÁTICOSTICOS
INEQUAÇÕES
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 2
ANANÁÁLISE DE MLISE DE MÉÉTODOS TODOS MMÁÁTEMTEMÁÁTICOS ITICOS I
INEQUAÇÕES 1º GRAU
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 3
INEQUAINEQUAÇÇÕES DE 1ÕES DE 1ºº GRAUGRAUi) simplesResolver como uma equação de 1º grau, isolando x e caso multiplicar por (-1) a inequação terá a desigualdade invertida.Exemplos:
32543
253
−>+
−≥−
xx
xx
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 4
INEQUAINEQUAÇÇÕES DE 1ÕES DE 1ºº GRAUGRAUii) Produto e quocienteResolver cada função separadamente:1º Passo: determine o zero de cada função.2º Passo: Estude o sinal da função verificando se a mesma é crescente ou decrescente e determine os sinais. 3º Passo: Monte o quadro do produto e/ou do quociente e faça o jogo de sinais.4º Passo: Através da desigualdade determine se o intervalo é aberto ou fechado e ainda se a condição exige sinal é positivo ou negativo.Obs.: Caso seja inequação do tipo quociente o denominador deve ser sempre aberto independente do sinal da desigualdade.
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 5
INEQUAINEQUAÇÇÕES DE 1ÕES DE 1ºº GRAUGRAUExemplos:
0)4(
)34).(21()d
013
32)
0) 2 ).( 1 (
2x4 )
0)12).(2( )
≥−
+−
≤+−−
≤++
−>−+
xxx
xxc
xxb
xxa
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 6
APLICAAPLICAÇÇÕESÕES
1.Um comerciante gastou R$ 300,00 na compra de um lote de maçãs. Como cada maçã será vendida a R$ 2,00, ele deseja saber quantas maçãs devem ser vendidas para que haja lucro no final da venda.Resolução: Resultado final (receita – despesa) é dado em função do número x de maçãs vendidas e a lei da função é f(x) = 2x –300, logo: f(x) > 0, ou seja, para que haja lucro é necessário vender mais de 150 maçãs.
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 7
APLICAAPLICAÇÇÕESÕES
2. Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00, o lucro final será dado em função das x unidades vendidas. Responda:
a) Qual a lei de formação dessa função f?b) Para que valores de x temos f(x)<0? Como pode ser
interpretado esse caso?c) Para que valor de x haverá um lucro de R$ 315,00?d) Para que valores de x o lucro será maior que R$ 280,00?e) Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$
180,00?
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 8
APLICAAPLICAÇÇÕESÕES
3. Numa pequena indústria, o faturamento líquido relativo a um certo produto é calculado pela fórmula f(x) = 4x -1000, onde f(x) representa o faturamento líquido de x unidades vendidas. Faça um estudo do comportamento dessa função e determine a quantidade mínima de unidades que devem ser vendidas para que haja lucro.
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 9
APLICAAPLICAÇÇÕESÕES4. João possui um terreno de 1 000 m2, no qual pretende
construir uma casa. Ao engenheiro responsável pela planta, ele impõe as seguintes condições: a área destinada ao lazer (piscina, churrasqueira etc.) deve ter 200 m2 , e a área interna da casa mais a área de lazer devem ultrapassar 50% da área total do terreno; além disso, o custo para construir a casa deverá ser de, no máximo, R$ 200.000,00. Sabendo que o metro quadrado construído nessa região custa R$ 500,00, qual é a área interna da casa que o engenheiro poderáprojetar?
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 10
APLICAAPLICAÇÇÕESÕES
5. A empresa de programas de computador Comp paga a seus vendedores R$ 2,00 por programa vendido, mais uma quantidade fixa de R$ 800,00. Uma outra empresa concorrente, a Soft, para R$ 2,50 por programa vendido, mais um fixo de R$ 500,00. Qual a quantidade mínima de programas que um vendedor da Soft deve vender para ganhar mais que um vendedor da Comp?
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. Msc. Armando Paulo da Silva
11
APLICAAPLICAÇÇÕESÕES6. Quando uma família tem uma renda mensal de R$ 5 000,00,
ela consome R$ 4 800,00 por mês; quando a renda é R$ 8 000,00, ela consome R$ 7 200,00.
a) Chamando de x a renda mensal e de C , o consumo, obtenha C em função de x, sabendo que o gráfico de C em função de x é uma reta.
b) Chama-se poupança mensal da família (P) à renda mensal menos o correspondente consumo. Obtenha P em função de x e encontre os valores da renda para os quais a poupança é maior que R$ 1 000,00
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. Msc. Armando Paulo da Silva
12
APLICAAPLICAÇÇÕESÕES7. Uma pessoa obesa, pesando num certo momento
156 kg, recolhe-se a um spa onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições:
a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas;
b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no spa para sair de lá com menos de 120 kg de peso.
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. Msc. Armando Paulo da Silva
13
APLICAAPLICAÇÇÕESÕES8. Uma empresa A paga a cada um de seus vendedores uma
remuneração mensal que é função do 1º grau de suas vendas mensais. Quando ele vende R$ 50 000,00, sua remuneração é R$ 1 800,00, e quando vende R$ 80 000,00 sua remuneração é R$ 2 400,00.
a) Obter a remuneração RA em função das vendas (x).b) Uma outra empresa B paga a cada um de seus
vendedores uma remuneração mensal RB = 1 500 + 0,01x, onde x são as vendas mensais. Para que valores de x a remuneração mensal do vendedor em A é superior à do vendedor em B?
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. Msc. Armando Paulo da Silva
14
APLICAAPLICAÇÇÕESÕES
9. Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e a da última prova é multiplicada por 3. Os resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por este critério for maior ou igual a 6,5, o aluno édispensado das atividades de recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda. Quanto precisará tirar na terceira para ser dispensado da recuperação?
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 15
ANANÁÁLISE DE MLISE DE MÉÉTODOS TODOS MMÁÁTEMTEMÁÁTICOS ITICOS I
INEQUAÇÕES 2º GRAU
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 16
INEQUAINEQUAÇÇÕES DE 2ÕES DE 2ºº GRAUGRAUi) Simples:Resolver a inequação da seguinte forma:1º Passo: determine o(s) zero(s) da função, caso existir. 2º Passo: Estude o sinal da função verificando se a
concavidade da mesma é para cima ou para baixo e determine os sinais.
3º Passo: Através da desigualdade determine se o intervalo é aberto ou fechado e ainda se a condição exige o sinal épositivo ou negativo.
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 17
INEQUAINEQUAÇÇÕES DE 2ÕES DE 2ºº GRAUGRAU
Exemplos:
) ) 0101 22 <+−>++ xbxxa
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 18
INEQUAINEQUAÇÇÕES DE 2ÕES DE 2ºº GRAUGRAUii) Produto e quociente:Resolve-se separadamente cada função e faz-se o jogo de sinal. ( análogo a inequação do 1º grau).Exemplos:
0)32).(4)( 22 >++−− xxxa 0
5386 )
2
2
≥+−+−
xxxxb
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 19
APLICAAPLICAÇÇÕESÕES
1. O Lucro de uma empresa é dado por L(x)=100(10-x)(x-2), onde x é a quantidade vendida. Podemos afirmar que:
a) O lucro é positivo qualquer que seja x;b) O lucro é positivo para x maior do que 10;c) O lucro é positivo para x entre 2 e 10;d) O lucro é máximo para x igual a 10;e) O lucro é máximo para x igual a 3.
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. Msc. Armando Paulo da Silva
20
APLICAAPLICAÇÇÕESÕES
2. O dono de uma marcenaria, que fabrica um certo tipo de armário, sabe que o número de armários N que ele pode fabricar por mês depende do número x de funcionários trabalhando na marcenaria, e essa dependência é dada pela função N(x)= x2+2x. Qual é o número de empregados necessários para fabricar mais de 168 armários em um mês?
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. Msc. Armando Paulo da Silva
21
APLICAAPLICAÇÇÕESÕES
3. A medida do lado de um quadrado é l e as medidas dos lados de um retângulo 2l e 3. Determine o menor valor inteiro de l para que a área do quadrado seja maior que a área do retângulo.
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. Msc. Armando Paulo da Silva
22
APLICAAPLICAÇÇÕESÕES
4. A receita mensal (em reais) de uma empresa é R= 20 000p – 2 000p2, onde p é o preço de venda de cada unidade ( ).
a) Qual o preço p que deve ser cobrado para dar uma receita de R$ 50 000,00?
b) Para que valores de p a receita é inferior a R$ 37 500,00?
100 ≤≤ p
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 23
DOMDOMÍÍNIO DE FUNNIO DE FUNÇÇÕES REAISÕES REAISDefinição: “é o valor de x, para os quais a função existe” ou “é o campo de existência da função”.Temos duas condições básicas:1ª condição: Se a função for uma fração
2ª condição: Se a função for uma raiz de índice par0D(x) :Dom :os tem
D(x)N(x)=f(x) Se ≠
0≥= )(: : , )()( xRDomtemosparnsendoxRxfSe n
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 24
DOMDOMÍÍNIO DE FUNNIO DE FUNÇÇÕES REAISÕES REAISPode-se encontrar as seguintes situações:
SITUAÇÃO CONDIÇÃO
1) )x(D)x(N
)x(fn
=
Se n é par, temos: 0)x(N ≥ e 0D(x) ≠ Neste caso devemos fazer a intersercção Se n é ímpar, temos: 0D(x) ≠
2) n )x(D
)x(N)x(f = Se n é par, temos: 0)( >xD Se n é ímpar, temos: 0D(x) ≠
3) n xD
n xNxf
)(
)()( =
Se n é par, temos: 0)x(N ≥ e 0)x(D > Neste caso devemos fazer a intersercção Se n é ímpar, temos: 0D(x) ≠
ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 25
DOMDOMÍÍNIO DE FUNNIO DE FUNÇÇÕES REAISÕES REAISPode-se encontrar as seguintes situações:
SITUAÇÃO CONDIÇÃO
4) n )x(h).x(g)x(f = Se n é par, temos: 0)x(h).x(g ≥ Neste caso devemos resolver a inequação do produto Se n é ímpar, temos: ℜ=D f
5) n)x(D)x(N)x(f = Se n é par, temos: 0
)x(D)x(N≥
Neste caso devemos resolver a inequação do quociente Se n é ímpar, temos: 0D(x) ≠
6)D(x)N(x)=f(x) +
4 )x(H)x(G
Caso aparecer mais de uma função, devemos resolver cada uma e fazer a intersecção de seus resultados, neste caso temos: )x(H)x(D ∩