análisis de datos financiero

Autor: Acevedo Monar, Javier Tutores: Ricardo Queralt Sánchez de las Matas

Gracia Díez, Mercedes

Madrid a 15 de abril de 2021

COLEGIO UNIVERSITARIO DE ESTUDIOS FINANCIEROS

GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS

TRABAJO DE FIN DE GRADO

ANÁLISIS DE DATOS FINANCIEROS:

UBM DEVELOPMENT AG

TFG – ANÁLISIS DE DATOS FINANCIEROS CUNEF ABRIL 2021

1

Tabla de contenido

1. Introducción ................................................................................................................. 2

2. UBM Development AG .................................................................................................. 3

2.1.- Descripción de la empresa .................................................................................................. 3 2.1.1.- Historia de la empresa ................................................................................................................................ 3 2.1.2.- Actividad de la Empresa y su organigrama. ................................................................................................ 4 2.1.3.- Estrategia de la Empresa ............................................................................................................................. 4

2.2.- Análisis Económico y financiero .......................................................................................... 5 2.2.1.- Resumen de los estados financieros. .......................................................................................................... 6

3. Análisis descriptivo de los datos .................................................................................... 8

3.1.- Evolución histórica de la rentabilidad de ambos índices ..................................................... 8

3.2.- Indicadores estadísticos sobre la cotización de ambos índices ......................................... 10

4. El modelo CAPM: Capital Asset Pricing Model ............................................................. 11

4.1.- Modelo CAPM teórico ....................................................................................................... 11

4.2.- Estimación por mínimos cuadrados (MCO) ....................................................................... 13 4.2.1.- Análisis de los residuos ............................................................................................................................. 15 4.2.1.- Estudio de la normalidad .......................................................................................................................... 15 4.2.2.- Análisis de la heterocedasticidad .............................................................................................................. 16 4.2.3.- Análisis de autocorrelación ....................................................................................................................... 17 4.2.4.- Conclusión análisis de residuos ................................................................................................................. 18

4.3- Modelo CAPM: Newey – West ........................................................................................... 18

4.4.- Análisis de Intervención .................................................................................................... 19

4.5.- Crisis de la Covid-19: cambio estructural en el modelo ..................................................... 21

4.6.- Modelo con variables exógenas ........................................................................................ 22

4.7.- Modelo de Fama y French ................................................................................................. 23

5. Conclusiones .............................................................................................................. 24

6. Bibliografía ................................................................................................................ 26

7. Índice de gráficos, tablas e imágenes .......................................................................... 26

8. Anexos: ...................................................................................................................... 27

Anexo 1. Output por región ...................................................................................................... 27

Anexo 2. Evolución de la cotización de ATX para el periodo 2005-2020.................................... 30

Anexo 3. Evolución de la cotización de UBM para el periodo 2005 - 2020 ................................ 31

Anexo 4. Distribución de la prima de riesgo del mercado ATX .................................................. 34

Anexo 5. Diagrama de cajas de la cotización de UBM ............................................................... 35

Anexo 6. Diagrama de cajas de la cotización de ATX ................................................................. 35

Anexo 7. Test Cusum para ver la estabilidad del modelo .......................................................... 43

Anexo 8. Test de Chow.............................................................................................................. 43

Modelo de tres Factores de Fama y French ............................................................................... 45


2

1. Introducción

A lo largo de las siguientes páginas, se pretende realizar el análisis

estadístico y econométrico de la evolución del precio de las acciones de UBM

Development AG. El grupo UBM es una empresa austriaca que se dedica al

negocio de real estate y que cotiza en el Austrian Traded Index (ATX),

compuesto por las veinte empresas con mayor capitalización bursátil de la Bolsa

de Viena. Por tanto, para la realización de este trabajo se han obtenido las

correspondientes cotizaciones históricas de ambos índices durante el periodo

comprendido entre enero de 2005 y diciembre de 2020.

En primer lugar, se hará una breve introducción para poner en contexto la

empresa. Para ello, se analizará de forma breve la historia de la compañía que

nos permitirá comprender de una forma más clara cómo ha evolucionado la

actividad del grupo hasta su negocio actual centrado en el real estate. Además,

se comentarán de forma breve las bases de su estrategia corporativa. Por último,

se incluye un análisis económico y financiero sobre la actuación del Grupo UBM

en los últimos años.

En segundo lugar, se realizará el análisis descriptivo de los datos. La muestra

está formada por un conjunto de 194 observaciones mensuales que nos

proporcionan las cotizaciones históricas tanto del Grupo UBM como del mercado

ATX comprendidas entre 2005 y 2020. Una vez realizadas las correspondientes

transformaciones, se procederá a estudiar la evolución de las rentabilidades de

ambos índices y se incluirán una serie de indicadores estadísticos sobre las

mismas. Será interesante en este punto observar el efecto de la crisis del Covid-

19.

En tercer lugar, se explica el Modelo Capital Asset Pricing (CAPM) de forma

teórica y se introduce el primer modelo estimado por el método de Mínimos

Cuadrados Ordinarios (MCO). Además, se incorpora el correspondiente análisis

de residuos verificando que las perturbaciones cumplan con los supuestos de

normalidad, homocedasticidad, ausencia de autocorrelación y media igual a

cero.

Por último, se incluirá la estimación de distintos modelos que nos permitirán dar

solución a los problemas que nos vayamos encontrando a lo largo del estudio y

que incluye resolver los problemas de heterocedasticidad y autocorrelación del

modelo, un análisis de intervención de los atípicos y estudiar el cambio

estructural provocado por la crisis del coronavirus. Finalmente, se muestran las

principales conclusiones a las que se han llegado con el estudio estadístico y

econométrico realizado.


3

2. UBM Development AG

2.1.- Descripción de la empresa

UBM Development es una empresa austriaca de real estate que opera

desde su sede en Viena construyendo inmuebles en las principales ciudades

europeas. Su actividad principal se centra en la construcción de edificios

ecológicos e inteligentes ofreciendo servicios que abarcan toda la cadena de

valor.

2.1.1.- Historia de la empresa

Fue fundada el 3 de marzo de 1873 bajo el nombre de Union-

Baumaterialien-Gesellschaft para la adquisición y explotación de fábricas de

ladrillos y canteras. A pesar de la crisis económica mundial del momento, la

compañía inicia una estrategia de expansión que le lleva a comprar numerosas

fábricas de ladrillo. Gracias a ello, la empresa se convierte en el segundo mayor

productor austriaco de ladrillos. Durante el primer cuarto del siglo XX, la

compañía funda varias empresas de construcción residencial junto con PORR,

ahora en su accionariado. Esta acción les permite crear un consorcio a finales

de la década de 1920 y acabar dominando la crisis económica mundial gracias

a su enfoque inicial en el sector inmobiliario.

Es en este momento cuando UBM deja de centrarse en su área comercial

inicial de fabricación de ladrillos para enfocar su negocio hacia el desarrollo

inmobiliario. A mediados del siglo XX, la empresa se centra en desarrollos de

construcción ubicados principalmente en Austria y su capital, Viena.

Tras la caída del Telón de Acero, UBM entra en el mercado checo

y polaco y, años más tarde, agregaría a su cartera proyectos en Alemania,

Francia y Holanda. En el año 2000, Klaus Ortner compra sus primeras acciones

de UBM. Años más tarde haría lo propio el Grupo Strauss al comprar las

participaciones pertenecientes a PORR. A partir de este momento, ambos

grupos deciden separar las actividades de construcción e inmobiliaria.

El año 2015 se presenta como un año clave para la empresa. En

febrero de este año, se produce la fusión entre UBM Realitatenentwicklung AG

y PIAG Immobilien AG (parte hasta este momento de PORR). A partir de este

momento, la empresa pasa a operar bajo el nombre con el que se la conoce

actualmente: UBM Development AG. Tres años más tarde, UBM celebra sus

145 años y completa un cambio de marca. A partir de este momento, todas sus

subsidiarias aparecen bajo una marca común: UBM Development auf. (UBM, s.f.)


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2.1.2.- Actividad de la Empresa y su organigrama.

Desde UBM Development se trabaja en el desarrollo inmobiliario,

generando proyectos e ideas innovadoras y acompañando al proceso desde el

momento inicial hasta la transferencia al inversor final o los inquilinos. Ofrecen

una amplia gama de servicios que abarcan todas las posibles fases del proyecto:

análisis de mercado, desarrollo, planificación y gestión de proyectos, así como

la financiación, alquiler y gestión de activos.

A parte del desarrollo inmobiliario, UBM actúa como arrendatario hotelero.

En 2016 creó su filial UBM Hotels Management GmbH que le permitió agrupar el

conocimiento necesario para la gestión hotelera y combinar las operaciones de

arrendamiento de UBM.

Desde 2016, la empresa está dirigida por un comité ejecutivo presidido

por Thomas G. Winkler (CEO), Martin Löcker (COO) y Patric Thate (CFO) junto

con otros 17 directores gerentes de los principales mercados y divisiones. (UBM,

s.f.)

El organigrama actual de la empresa presenta la siguiente forma:

Gráfico 1. Organigrama actual UBM Development.

Fuente: Elaboración propia a partir de datos de extraídos de la página web de UBM (UBM, s.f.)

2.1.3.- Estrategia de la Empresa

La estrategia de UBM se concentra en torno a su negocio principal: el

desarrollo inmobiliario. Su actividad tiene un enfoque geográfico dirigido hacia

las principales ciudades europeas, lo que le ha permitido desarrollar proyectos

en áreas metropolitanas como Viena, Berlín, Múnich o Praga. Alemania y Austria

absorben un 40% de sus inversiones. Su actividad se centra fundamentalmente

en la construcción de activos residenciales, oficinas y hoteles en zonas con

una ubicación privilegiada y basándose en los principios Green and Smart.

Podemos observar en el gráfico siguiente el pipeline de la empresa clasificado

por tipo de activo:

UBM Development AG

UBM Development Deutschland

UBM Development

Osterreich

UBM Development

Polska

UBM Development

CzechiaUBM Hotels

alba Bau | Projekt Management


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Gráfico 2. Distribución del pipeline de la empresa en 2020

Fuente: Elaboración propia a partir de datos de extraídos de la página web de UBM

2.2.- Análisis Económico y financiero

Para esta sección, se han utilizado los datos más actualizados hasta la

fecha que ofrece la propia empresa en su página web a través de sus cuentas

anuales. Utilizaremos las cuentas anuales desde 2017 hasta 2019 y las

publicadas hasta el tercer trimestre de 2020 para hacer la comparativa, ya que

las anuales no se publicarán hasta el 23/04/2020.

A lo largo de los últimos años, UBM ha seguido una evolución muy positiva de

su negocio. El 2018 supuso un año record en la historia de UBM mientras que

2019 no hizo más que confirmar la tendencia marcando un nuevo record de

ingresos (Annual Report, 2018). Durante este año, las ganancias por acción

alcanzaron los 7€ creciendo más de un 30%. Sin embargo, la euforia generada

por estos años se vio frenada con la crisis del Covid-19, hecho repentino e

inesperado para la empresa, que acabaría marcando el devenir del año 2020.

A raíz de la crisis del Covid-19, UBM se ha visto obligado a enfocar su negocio

hacia activos de tipo residencial. El 50% de los proyectos en desarrollo se

corresponden con proyectos residenciales mientras que las oficinas y hoteles se

ven reducidos al 30% y 15% respectivamente. (Q3 Report, 2020) Si atendemos a la

tabla siguiente, podemos ver la distribución de outputs totales en función del tipo

de activo en la que observamos cómo la tasa de variación de activos

residenciales en septiembre de 2020 se ha visto incrementada un 69,5% en

comparación con el mismo mes del año anterior. Por el contrario, el porcentaje

de hoteles se ha reducido drásticamente en un 80%.

Residencial50%

Oficinas29%

Hoteles15%

Other6%

PIPELINE


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Output Total por activos

In €m 01.09.2020 01.09.2019 Variación

Residencial 109,1 64,4 69,5%

Oficinas 70,6 72,7 -2,9%

Hoteles 40,0 147,9 -79,9%

Otros 24,2 133,5 -81,8%

Servicios 48,1 41,9 14,6%

TOTAL 292,1 460,4 -36,6%

Tabla 1. Output total por activos

Fuente: Elaboración propia a partir de datos de extraídos de las cuentas anuales Q3 2020.

(Q3 Report, 2020)

2.2.1.- Resumen de los estados financieros.

Principales apartados del Balance de Situación

Q3 2020 Variación

2019

2018 2017

Activo Total

1.387,6 5,41% 1.316,4 1.234,7 1.130,9

Activo Corriente

497,9 7,07% 465 453 444,3

Activo no corriente

889,7 4,50% 851,4 781,7 686,6

Caja

232,7 9,61% 212,3 200,44 75,204

Patrimonio

475,8 2,88% 462.5 436,3 355,4

Ratio de Patrimonio

34,3% 0,8 pb 35,1% 35,3% 31,4%

Deuda Neta

509,2 15,10% 442,4 421,9 477,9

Pasivo no Corriente

710,8 11,49% 637,6 477,8 502,9

Pasivo Corriente

200,9 -7,12% 216,3 320,6 272,6

Fondo de Maniobra

297 19,42% 248,7 132,4 171,7

Tabla 2. Principales apartados del balance de situación

Fuente: elaboración propia a partir de datos extraídos de las cuentas anuales de UBM

El activo total del Grupo UBM creció 71,2 € Millones desde 31 de diciembre de

2019 hasta alcanzar la cifra de 1.387,6 € Millones, destacando el incremento del


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fondo de maniobra (19,42%) que alcanzaría la cifra de 297 € Millones en

septiembre de 2020, siendo significativa la posición de caja de la compañía por

importe de 232,7 € Millones. Esto demuestra que los gestores han realizado en

los primeros nueve meses de 2021 una excelente gestión de la posición

financiera de la compañía, asegurándose la caja suficiente para continuar con

sus actividades a pesar de los efectos negativos derivados de la pandemia del

Covid-19 y contemplar posibles adquisiciones a precios competitivos sin

necesidad de recurrir a fuertes endeudamientos.

El Grupo UBM presenta una sólida estructura financiera con una ratio de fondos

propios del 34,3% a 30 de septiembre del 2020, partiendo de un ratio de fondos

propios del 35,1 % a 31 de diciembre del 2019. Contemplando este ratio junto

con la variación positiva experimentada por los pasivos corrientes, pone de

manifiesto que la compañía ha incrementado sus activos mediante la emisión o

contratación de obligaciones financieras a largo plazo, medida muy adecuada en

entornos de extraordinaria incertidumbre como los que se han vivido en 2020. El

patrimonio de la compañía se incrementó en este período en 13,3 € Millones una

vez descontado el dividendo pagado en junio de 2020 de 16,4 € Millones.

El endeudamiento neto subió en los nueves primeros meses del ejercicio 2020

hasta 509,2 € Millones derivado básicamente de las necesidades financieras

para acometer las nuevas inversiones de la compañía y a los pagos de 22,6 €

millones de impuesto sobre sociedades y 16,4 € Millones de dividendos pagados

en este período, aún así la posición de caja mejoró en 20,4 € Millones.

Principales Partidas de la Cuenta de Pérdidas y Ganancias (€ Millones)

Q3 2020 Variación Q3 2019 2019 2018 2017

Ventas

126,8 -30,79 % 183,2 242 514 364,7

Beneficio antes de impuestos

51,0 10,39% 46,2 70,5 55,5 50,5

Beneficio Neto

33,3 -12,59% 38,1 50,1 39,5 37,0

Tabla 3. Principales partidas de la Cuenta de Pérdidas y Ganancias

Fuente: elaboración propia a partir de datos extraídos de las cuentas anuales de UBM

(Q3 Report, 2020)

En relación con la tabla anterior, cabe destacar los siguientes puntos:

o La bajada de ventas respecto a los nueve primeros meses del ejercicio

anterior vienen motivadas principalmente por la venta de determinados

activos en los nueve primeros meses del 2019 y los efectos negativos


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derivados de la pandemia del Covid-19 en el segmento operativo de

gestión hotelera.

o El beneficio antes de impuestos mejoró no obstante un 10,39% hasta

alcanzar los 51 € Millones frente a los 46,2 € Millones de los primeros

nueve meses del ejercicio anterior.

o Sin embargo, el beneficio neto del período desciende 4,8 € Millones

debido a un incremento importante del gasto por impuesto sobre

sociedades que asciende en el período a 17,7 € Millones, siendo la tasa

fiscal actual del 34,7 % frente al 17,4% del mismo período del ejercicio

anterior por un incremento de las actividades en países con tasas

impositivas superiores a las de las operaciones realizadas en el ejercicio

anterior.

3. Análisis descriptivo de los datos

Como hemos comentado anteriormente, el objetivo de este trabajo se

centra en realizar el análisis econométrico y estadístico de la evolución del precio

de las acciones de la compañía UBM Development AG. Para la realización del

análisis se han obtenido las cotizaciones bursátiles tanto de UBM como del

índice de referencia del mercado austriaco (ATX). La serie temporal esta

compuesta por un conjunto de datos mensuales comprendidos entre enero de

2005 y febrero de 2021 lo que hace un total de 194 observaciones. Estos datos

han sido obtenidos de Yahoo Finance (Finance, s.f.)

3.1.- Evolución histórica de la rentabilidad de ambos índices

En primer lugar, analizaremos la evolución histórica de la cotización del

mercado y la empresa. Será interesante observar el efecto de la crisis del

Covid-19 sobre la cotización de ambos índices.

Si atendemos a la Imagen 1 podemos dividir el periodo abarcado en varias

etapas de forma que podamos realizar el análisis de forma más clara y precisa:

o Años previos a la crisis financiera (2005 – 2007): esta etapa se

caracteriza por ser un periodo relativamente estable. La cotización de

UBM sigue una tendencia más volátil en comparación con la del mercado

que se presenta más estable a lo largo de este mismo periodo. Cabe

destacar junio de 2005 donde encontramos un pico máximo de

rentabilidad que alcanzó el 23.48%.

o Crisis financiera de 2008: Como bien sabemos, a finales de 2007 y

principios de 2008 estalló la crisis financiera de las hipotecas subprime y

la caída de Lehman Brothers provocó un terremoto que se expandió

rápidamente a lo largo del planeta. Si nos fijamos nuevamente en la

Imagen 1, podemos observar el enorme impacto que provocó la crisis


9

tanto en la rentabilidad de la empresa como en la del mercado. En octubre

de 2008, UBM presentaba una rentabilidad mínima de –44.89% mientras

que el mercado se frenó en el -32.59%. UBM se vio más afectada por la

crisis financiera que el mercado. A partir de este momento, como

podemos ver en el anexo 2 y 3, el mercado no se recuperaría hasta varios

meses después.

o Años posteriores a la crisis financiera (2010 – 2015): durante esta

etapa, la rentabilidad de UBM se caracteriza por seguir una tendencia

alcista marcando varios máximos a lo largo de los años. Esta tendencia

positiva marcaría su máximo en febrero de 2015 cuando marca un 25.95%

de rentabilidad. En este último año, UBM oficializa la fusión con PIAG

Immobilien AG.

o Periodo 2015-2019: esta década se caracteriza principalmente por ser

una etapa estable en la que mercado y empresa se mueven siguiendo un

patrón similar siendo nuevamente más volátil la rentabilidad de UBM. Sin

embargo, si nos fijamos en el anexo 3 podemos ver como la cotización de

UBM continua con la tendencia alcista que hemos comentado en el

análisis financiero y que pondría fin el estallido de la crisis del covid-19 en

2020.

o Crisis Covid-19: al igual que pasaría con la crisis financiera, la aparición

del covid-19 y su posterior expansión por el mundo, supuso un duro golpe

para los mercados mundiales. En nuestro caso, podemos observar como

tanto el mercado como nuestra empresa UBM sufrieron una caída sólo

comparable con la mencionada crisis financiera. En marzo de 2020, UBM

y ATX marcaban una rentabilidad de -42.71% y 33.11% respectivamente.

Imagen 1: Evolución de las rentabilidades 2005-2021

Fuente: elaboración propia


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3.2.- Indicadores estadísticos sobre la cotización de ambos índices

En este apartado, trataremos de presentar por medio de una tabla una

serie de indicadores estadísticos con el fin de estudiar la dispersión de las

cotizaciones de ambos índices para el periodo seleccionado.

Cotización UBM

Cotización ATX

Media

19,147 2855,006

Mediana

14,134 2609,41

Máximo

46,105 4885,38

Mínimo

7,649 1481,67

Desviación típica

19,669 756,072

Varianza 113,835 571644,8

Coeficiente de variación

0,557 0,264

Tabla 4: Medidas estadísticas sobre la cotización de UBM y ATX

Fuente: elaboración propia.

La Tabla 4 anterior muestra una serie de medidas estadísticas sobre la

cotización de UBM y el mercado ATX durante el periodo de 2005 a 2020.

Podemos distinguir medidas de centralización como la media y la mediana; y

medidas de dispersión como la desviación típica, la varianza y el coeficiente de

variación, utilizadas para cuantificar la variabilidad de los datos de la muestra.

Si nos centramos en la cotización de UBM, podemos observar como se

ha obtenido una cotización media de 19,147 €/acción, muy alejada de los 14,134

€/acción que marca la mediana. Esta diferencia de 5.013€ se debe

principalmente a que la media se ve afectada por los valores extremos de la

muestra. Por el otro lado, la cotización media de ATX es de 2855,006 un tanto

superior a la mediana. Podemos comparar ambas distribuciones de forma más

visual y directa por media del diagrama de cajas presentado en el Anexo 5 y

Anexo 6.

En cuanto a las medidas de dispersión, más allá de la desviación típica y

la varianza de los datos, cabe destacar el coeficiente de variación ya que nos

permite comparar directamente las dispersiones entre ambos índices. En nuestro

caso, vemos como la cotización de UBM presenta un valor de 0,557 muy superior

a los 0,264 marcado por la cotización de ATX. Vemos por tanto que, para el

periodo seleccionado, el valor de la acción de UBM ha tenido una mayor

variación por lo que podemos decir que la acción de UBM es más volátil que el

mercado.


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4. El modelo CAPM: Capital Asset Pricing Model

4.1.- Modelo CAPM teórico

Como bien hemos comentado en las páginas anteriores, este trabajo

pretende analizar el riesgo de las acciones de UBM respecto al mercado en el

que opera (ATX). Para ello, utilizaremos el modelo Capital Asset Pricing Model,

conocido por sus siglas CAPM. Este modelo fue desarrollado simultáneamente

por los economistas William Sharpe, John Lintner y Jan Mossin influenciados por

la Teoría del Portafolio de H. Markowitz. Este modelo es una de las herramientas

más utilizadas para determinar la tasa de retorno exigida a un activo financiero.

La fórmula matemática del modelo presenta la siguiente forma:

𝑅𝐴 = 𝑅𝐹 + 𝛽(𝑅𝑀 − 𝑅𝐹)

De donde:

o 𝑅𝐴 es el rendimiento esperado del activo

o 𝑅𝐹 es el rendimiento de un activo libre de riesgo

o 𝑅𝑀 es el rendimiento esperado del mercado

El presente trabajo se ha desarrollado a partir de la prima del activo (𝑃𝐴) y la

prima del mercado (𝑃𝑀). Para establecer dichas primas se calcula la diferencia

entre la rentabilidad del activo correspondiente y la rentabilidad del activo libre

de riesgo (𝑅𝐹).

De esta forma, la ecuación final del modelo econométrico quedaría de la

siguiente manera:

𝑅𝐴 − 𝑅𝐹 = 𝛼 + 𝛽(𝑅𝑀 − 𝑅𝐹) + 𝜀

De donde:

o 𝑅𝐴 − 𝑅𝐹 es la prima esperada de UBM, la variable dependiente y que, por

tanto, pretendemos explicar

o 𝑅𝑀 - 𝑅𝐹 es la prima esperada del mercado ATX

o 𝛼 es la constante del modelo

o ß mide la variación de la prima del activo con respecto a la prima del

mercado

o 𝜀 son los residuos o perturbaciones del modelo


12

Además, cabe mencionar que, para la realización de este modelo, se han

transformado las series de precios en tasas de variación logarítmicas del activo

para finalmente calcular las primas correspondientes necesarias para nuestro

modelo.

Presentamos a continuación por medio de la Imagen 2 la relación existente entre

la prima de riesgo del mercado ATX y la prima de riesgo de UBM. Como se puede

ver, estas dos variables presentan una relación lineal positiva relativamente

débil.

Imagen 2: Correlación lineal entre las primas de riesgo de UBM y ATX


Por otro lado, mostramos la distribución de la prima de riesgo de UBM en la

Imagen 3 de forma que podamos hacernos una primera idea de la distribución

que presenta la variable objeto del análisis que se pretende realizar. Intuimos de

nuevo la presencia de atípicos que deberán ser analizados a lo largo del estudio.

En el Anexo 4 mostramos la distribución correspondiente a la prima del mercado

ATX.

Imagen 3: Distribución de la prima de riesgo del índice de UBM



13

4.2.- Estimación por mínimos cuadrados (MCO)

El modelo CAPM que se va a estimar se realizará por medio de Mínimos

Cuadrados Ordinarios (MCO) que busca minimizar el sumatorio de las

perturbaciones al cuadrado.

El modelo inicial sobre el que desarrollaremos el análisis mencionado presenta

la siguiente forma:

𝑃𝑈𝐵𝑀 = 0,65824 + 0,66516 𝑃𝐴𝑇𝑋 + 𝜀𝑡

Imagen 4: Modelo inicial CAPM estimado por RStudio

De un primer vistazo, observamos como el coeficiente 𝛼 de la ecuación tiene un

valor de 0,65824 y un p-valor del 24,3% lo que nos índice que no es significativa

para nuestro modelo y que no existen factores exógenos que puedan afectar a

la rentabilidad de nuestra empresa. Sin embargo, el coeficiente ß sí que es

relevante para nuestro modelo. Podemos afirmar que, si la prima del mercado

aumentase en 100 puntos básicos, la prima de UBM esperada aumentaría 66

pb.

Sin embargo, antes de continuar con el análisis correspondiente, hemos de

asegurarnos de que los residuos de nuestro modelo cumplen con los supuestos

básicos sobre “ruido blanco”. Los supuestos que han de cumplirse son los

siguientes:


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I. Hipótesis 1. Las perturbaciones tienen media igual a cero.

𝐸[𝜀𝑡] = 0 ∀𝑡.

Esta hipótesis en concreto no se puede comprobar ya que, en el modelo

con término constante, las perturbaciones tienen ya de por sí media igual

a cero.

II. Hipótesis 2. Las perturbaciones siguen una distribución Normal.

Para comprobar que se cumple esta hipótesis utilizaremos el estadístico

de Jarque-Bera.

III. Hipótesis 3. Las perturbaciones del modelo tienen varianza constante.

𝑉𝑎𝑟[𝜀𝑡] = constante ∀𝑡.

En este caso, lo que se pretende verificar es si los residuos presentan un

problema de heterocedasticidad. De este modo, utilizaremos el contraste

de White para ver si los residuos de nuestro modelo tienen la misma

varianza o no.

IV. Hipótesis 4. Las perturbaciones son independientes entre sí, es decir,

no existe correlación entre ellas.

𝐶𝑜𝑣[𝜀𝑡 , 𝜀𝑠 ] = 0 ∀𝑡 ≠ 𝑠

Por último, para verificar la independencia de las variables de nuestro

modelo utilizaremos, en primer lugar, el estadístico Durbin-Watson para

estudiar la dependencia de 𝜀𝑡 con su pasado. En segundo lugar,

utilizaremos el contraste de Breusch-Godfrey para verificar la ausencia de

correlación estacional dentro de nuestro modelo.

Las dos últimas hipótesis son determinantes a la hora de poder utilizar el modelo

por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) o si, por el contrario, tendríamos que

estimar nuestro modelo por Newey-West. Si nuestro modelo presenta un

problema de heterocedasticidad y/o autocorrelación, las desviaciones típicas, los

estadísticos t y sus correspondientes p-values serán incorrectos por lo que no se

podrán utilizar para estimar nuestro modelo.


15

4.2.1.- Análisis de los residuos

Como hemos comentado, lo primero que debemos realizar antes de

empezar a estimar nuestro modelo es verificar que cumple con los cuatro

supuestos básicos comentados en el punto anterior. Para realizar dicha

comprobación, haremos un estudio de los residuos del modelo. Mostramos en la

Imagen 5 la variación de los residuos a lo largo del periodo.

Imagen 5: Residuos del modelo CAPM.

Fuente: elaboración propia por medio de RStudio

Procedemos a continuación a realizar el estudio de los supuestos comentados

anteriormente:

4.2.1.- Estudio de la normalidad

En primer lugar, para comprobar si los residuos de nuestro modelo siguen una

distribución normal, realizaremos el test de normalidad por medio del

estadístico de Jarque-Bera.

Hipótesis nula (𝐻𝑜): Los residuos siguen una distribución normal

Hipótesis alternativa (𝐻1): Los residuos no siguen una distribución normal


16

La prueba de Jarque-Bera nos indica el valor del estadístico de 288,974 y un p-

valor de 0 por lo que rechazamos la hipótesis nula. Los residuos no se

comporta bajo el supuesto de normalidad. Tendremos que analizar los

residuos en busca de atípicos que estén distorsionando nuestro modelo. En la

Imagen 8 realizaremos la explicación y posterior tratamiento de los atípicos

encontrados. Vemos en la Imagen 6 la distribución actual de los residuos del

modelo.

Imagen 6: Distribución de los residuos. Jarque – Bera

Fuente: elaboración propia mediante RStudio

4.2.2.- Análisis de la heterocedasticidad

Realizamos el análisis de la heterocedasticidad utilizando el Test de White que

nos indique si nuestros residuos presentan la misma varianza. Las hipótesis

planteadas en este caso son las siguientes:

Hipótesis nula (𝐻𝑜): Los residuos tienen la misma varianza (homocedasticidad)

Hipótesis alternativa (𝐻1): Los residuos tienen varianza distinta

(Heterocedasticidad)

El Test de White presenta un estadístico con valor 50,347 y un p-valor de 0,00

que nos lleva a rechazar la hipótesis y, por tanto, afirmar que los residuos tienen

distinta varianza. Nuestro modelo presenta un problema de

heterocedasticidad.


17

Estadístico 50,34779

P-valor 0,000000

Parámetros 2

Método Test de White

Tabla 5: Test de White

4.2.3.- Análisis de autocorrelación

Por último, queremos verificar que los residuos de nuestro modelo son

independientes entre sí, es decir, no presentan correlación entre ellos. En este

caso, las hipótesis planteadas son las siguientes:

Hipótesis nula (𝐻𝑜): Los residuos no presentan autocorrelación

Hipótesis alternativa (𝐻1): Los residuos siguen un modelo de autocorrelación AR(1)

En este primer contraste utilizamos el Test de Durbin-Watson para estudiar la

dependencia de los residuos con su pasado. El estadístico Durbin-Watson

presenta un valor de 2.376 con un p-valor inferior a 0.05 por lo que, nuevamente,

rechazamos la hipótesis nula de no correlación.

Lag 1

Autocorrelación -0,1909626

Estadístico D-W 2.376365

P-valor 0,002

Tabla 6: Test de Durbin – Watson

El contraste anterior nos sirve como hemos comentado, para analizar la

dependencia de los residuos con su pasado. Sin embargo, se trata de un

contraste limitado ya que sólo nos permite realizar comparaciones con el mes

anterior. De esta forma, utilizaremos el contraste LM de Breusch-Godfrey para

estudiar la dependencia con dos meses AR(2) y doce meses AR(12).

Lags 2 Lags 12

Estadístico 9,7637 Estadístico 14,878

P-valor 0,007583 P-valor 0,2482

Tabla 7: Contraste Breusch-Godfrey


18

Como hemos comentado, buscamos estudiar la correlación estacional por un

lado con dos meses y, por el otro lado, con 12 meses. En el primer caso, el

contraste de Breusch-Godfrey nos indica un estadístico con valor igual a 9,7637

y un p-valor de 0,007583 lo que nos lleva a rechazar la hipótesis nula. Los

residuos del modelo presentan correlación a dos meses. En el segundo caso, el

valor del estadístico es de 14,878 y un p-valor de 0,2482 por lo que aceptamos

la hipótesis nula de que no existe autocorrelación a doce meses.

El modelo presenta un problema de autocorrelación.

4.2.4.- Conclusión análisis de residuos

En los últimos cuatro puntos hemos tratado de verificar el cumplimiento

de los supuestos básicos del modelo: media cero, normalidad, homocedasticidad

y ausencia de correlación. De esta forma, para concluir el análisis de los residuos

de nuestro modelo, podemos afirmar que las perturbaciones de nuestro modelo

tienen media cero cumpliendo con la Hipótesis 1.

Sin embargo, no podemos confirmar que nuestro modelo cumpla con los

supuestos básicos que hacen referencia a las Hipótesis 2, 3 y 4. En primer lugar,

el test de Normalidad efectuado sobre las perturbaciones de nuestro modelo nos

ha hecho ver que no se comportan bajo el supuesto de normalidad debido a

la presencia de atípicos dentro de la muestra (véase apartado 4.4. Análisis de

Intervención).

En segundo lugar, el modelo presenta un problema de heterocedasticidad por

lo que las perturbaciones presentan distinta varianza. Por último, hemos

estudiado la dependencia de las perturbaciones con su pasado realizando el

análisis para un mes, dos meses y 12 meses. Tanto el contraste de el modelo

AR(1) como el de AR(2) nos dio un p-valor inferior a 5% por lo que no podemos

afirmar que nuestro modelo no presente un problema de autocorrelación.

De este modo, no podemos considerar que los residuos del modelo actual sean

“ruido blanco”. Para resolver estos problemas de autocorrelación y

heterocedasticidad estimaremos un nuevo modelo CAPM por el método Newey-

West.

4.3- Modelo CAPM: Newey – West

Cuando un modelo presenta problemas de heterocedasticidad y

autocorrelación, la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores no es

fiable puesto que está mal calculada y, por tanto, no podremos usar las

desviaciones típicas, estadísticos o p-valores calculados para realizar nuestros

contrastes de hipótesis. El método de Newey-West nos permite solucionar los


19

problemas mencionados estimando de manera más consistente las matrices

correspondientes.

Una vez estimado el modelo por Newey-West queda de la siguiente manera:

𝑃𝑈𝐵𝑀 = 0,65824 + 0,66516 𝑃𝐴𝑇𝑋 + 𝜀𝑡

Imagen 7: Modelo CAPM estimado por Newey-West mediante RStudio

Si comparamos la Imagen 7 con lo presentado en la Imagen 4 veremos como la

estimación de los coeficientes es la misma. Sin embargo, tanto los estadísticos t

como las desviaciones típicas y sus p-valor correspondientes presentan una

ligera variación.

Finalmente, mantenemos la interpretación de cada coeficiente:

o El coefiente 𝛼 no es significativo para nuestro modelo.

o El coeficiente ß es muy relevante y afectará a la rentabilidad de nuestra

empresa.

4.4.- Análisis de Intervención

A lo largo de este apartado lo que se pretende es llevar a cabo un análisis

de intervención sobre los atípicos del modelo. Para ello, identificaremos las

posibles fechas donde encontremos valores atípicos para su posterior

intervención y análisis de cara a su posible efecto en la estimación del modelo.

Una vez identificadas estas fechas no representativas, analizaremos su causa

económica, corporativa o financiera y las introduciremos en el modelo por medio

de la creación de variables ficticias (dummy) para su estudio.

En la Imagen 8 siguiente se muestra la distribución de los residuos

estandarizados para el periodo fruto del estudio (2005 – 2020). Se ha establecido

una línea de color rojo que marca el límite de ±3 veces la desviación típica y que

marcará la existencia de atípicos.


20

Imagen 8: Análisis de residuos estandarizados

Una vez observada la distribución de los residuos, identificamos hacia finales del

año 2008, un atípico que supera los límites establecidos. Esta fecha, diciembre

de 2008, presenta un valor de -3.083345 y se corresponde con los efectos de la

crisis provocada por Lehman Brothers. Unos años más tarde, en septiembre de

2014, vemos nuevamente un valor que prácticamente roza el límite establecido

(2,97187) y que, como tal, no será intervenido. En este caso, se debe al repunte

de la cotización de UBM provocada por el anuncio de la fusión de PIAG

Immobilien AG.

Una vez se ha identificado la fecha atípica que deseamos intervenir, procedemos

a introducirla en el modelo como variable explicativa y estimarlo de nuevo. En la

Imagen 9 vemos el modelo intervenido con los valores atípicos.

Imagen 9: Modelo CAPM estimado con variables Dummy mediante RStudio


21

Del modelo intervenido que acabamos de estimar podemos sacar varias

conclusiones:

a. La constante 𝛼 sigue sin ser significativa para el modelo.

b. La ß disminuye ligeramente con respecto a la obtenida en el

modelo sin intervenir. Cuando la prima del ATX aumenta en 100

puntos básicos se espera que la prima de nuestra empresa

aumente 66 pb.

c. La variable dummy creada para el atípico de diciembre de 2008

nos da un valor de -14,27800 siendo significativa. La crisis

financiera de 2008 generó un efecto negativo sobre la prima de

UBM de -14,278%

4.5.- Crisis de la Covid-19: cambio estructural en el modelo

Como todos sabemos, en marzo de 2020 estalló la crisis provocada por la

expansión a todo el mundo del coronavirus. A lo largo de este apartado, se

pretende estudiar el posible impacto de la crisis en el modelo econométrico que

venimos estudiando. De esta forma, analizaremos si nuestro modelo ha sufrido

un cambio estructural a raíz de la pandemia.

La presencia de un cambio estructural indica que se ha producido un

cambio inesperado a lo largo de la serie del tiempo y, por tanto, conduciría a

errores en la estimación del modelo. Para analizar la posible existencia del

comentado cambio, introducimos en el modelo una nueva variable con la fecha

identificada a partir de la cual se inicia la pandemia (marzo de 2020) creando una

variable dummy con ceros en los meses hasta la fecha marcada y una serie de

unos hasta el final de la pandemia.

Una vez tenemos introducida la variable en el modelo procedemos a realizar el

Test de Chow que nos indica si el modelo se comporta de la misma manera antes

y después del inicio de la pandemia y, en consecuencia, si nuestro modelo se ha

visto afectado por el Covid provocando un cambio estructural. El test de Chow

muestra un p-valor de 3,10% lo que nos indica que efectivamente hay cambio

estructural en marzo de 2020 (ir al Anexo 8 para ver los resultados). En la

Imagen 10 vemos el modelo una vez estimado con el cambio estructural:


22

Imagen 10: Modelo CAPM estimado con cambio estructural

Como podemos observar, la constante vuelve a no ser significativa indicando

que no ha habido factores exógenos que puedan afectar a la rentabilidad de

nuestra empresa. Sin embargo, la ß si que es significativa con un p-valor de

0,00239. Si nos fijamos, antes del covid-19 la ß de la empresa era de 0,492

mientras que, una vez estalla la pandemia, la ß se aumenta un 0,8435 hasta

situarse en una ß de 1,3355 lo que nos indica que la empresa tiene ahora un

riesgo muy superior.

4.6.- Modelo con variables exógenas

Para finalizar el estudio econométrico sobre la evolución del precio de las

acciones de UBM, hemos incluido en el modelo dos variables externas más para

analizar su efecto sobre la rentabilidad de la empresa. En primer lugar, se ha

añadido la tasa de empleo mensual de Austria para el mismo periodo como

variable macroeconómica que pudiera haber afectado al modelo. Para ello, se

ha realizado la correspondiente transformación logarítmica que nos permita

apreciar su tasa de variación a lo largo del periodo. En segundo lugar, se ha

incluido al modelo la prima de riesgo de una empresa de la competencia

(Immofinanz AG) para analizar el impacto de la competencia sobre UBM

Development.

Como podemos ver en la Imagen 11 mostrado a continuación, ninguna de las

dos variables introducidas en el modelo es significativas y, por tanto, no explican

el comportamiento de nuestra variable objetivo. La prima de la empresa

Immofinanz AG (pImmo) nos da un valor de 0.988 mientras que la variable que

hace referencia al desempleo en Austria (rEmpleoAust) muestra un p-valor de

0,4926. De esta forma, procedemos a eliminar ambas variables del modelo.


23

Imagen 11: Modelo CAPM estimado con variables externas

4.7.- Modelo de Fama y French

Finalmente, como último modelo estimado, hemos querido estudiar el efecto

sobre nuestro modelo de la teoría de los Tres Factores de Fama y French. Este

modelo fue desarrollado por el Premio Nobel Eugene Fama y el investigador

Kenneth French en 1993 para la valoración de activos y la gestión de carteras y

estrategias de inversión. (Anon., 2019)

Este nuevo modelo consiste en añadir al modelo utilizado anteriormente dos

nuevas variables adicionales (HML y SMB) para tratar de explicar el

comportamiento de un activo financiero. Fama y French detectaron a partir de

su estudio que el modelo CAPM se quedaba corto a la hora de valorar

determinadas características de las empresas que cotizan en los mercados

bursátiles. Características como el tamaño de la empresa, su valoración o

liquidez no estaban representadas. De esta manera, para dotar de mayor

robustez al modelo tradicional añadieron estas dos variables:

o SMB (Small menos Big) mide el riesgo adicional que presenta una

empresa por su tamaño y se calcula como el retorno generado por tres

portafolios con capital pequeño menos el correspondiente a tres

portafolios con capitalización grande. (Anon., 2019)

o HML (High menos Low) es un ajuste por el valor. Pretende comparar una

estrategia de valor (value) frente a una de crecimiento (growth). (Anon.,

2019)

Una vez realizada la estimación, podemos concluir que ninguna de las variables

añadidas al modelo es significativa ya que tanto la variable HML como SMB

presentan un p-valor superior al 5%. El modelo estimado con las nuevas

variables se puede observar en la imagen siguiente:


24

Imagen 12: Modelo CAPM estimado con Fama y French

Por último, se muestra en la Imagen 13, el modelo definitivo que se ha obtenido

una vez terminado el estudio. Queda de la siguiente forma:

Imagen 13: Modelo CAPM definitivo

5. Conclusiones

Una vez finalizado el estudio de la empresa UBM, tras haber analizado

detalladamente su evolución a lo largo de los años desde 2005, podemos afirmar

que el grupo ha pasado por diferentes etapas en las que se ha visto afectado en

mayor o menor medida a pesar de su evolución y expansión constante. Como

hemos visto, la cotización de UBM se ha incrementado hasta prácticamente

cuadriplicar el precio por acción que tenía en enero de 2005. Especialmente

destacable el crecimiento experimentado desde 2013 hasta principios de 2020.

Sin embargo, como hemos comprobado, la empresa ha atravesado dos

momentos críticos donde su rentabilidad se ha visto muy afectada: la crisis

financiera de 2008 y la crisis provocada por la expansión del coronavirus. En

ambos casos se alcanzaron mínimos históricos en cuanto a la rentabilidad de la

empresa. Si nos centramos únicamente en la crisis actual, UBM no sólo se ha


25

visto afectada a nivel bursátil si no que se ha visto obligada a transformar

considerablemente su negocio, centrándose mayoritariamente en la

construcción de edificios residenciales y dejando en un segundo plano su

negocio hotelero. Sin embargo, la gestión de la directiva ha sido adecuada en

este periodo de crisis manteniendo unos niveles de caja muy significativos. De

esta manera se aseguran tener caja suficiente para continuar con sus actividades

a pesar de los efectos negativos del coronavirus y contemplar posibles

adquisiciones que surjan a raíz de estos.

Respecto al modelo econométrico estudiado por medio de Mínimos Cuadrados

Ordinarios (MCO), hemos visto gracias al análisis de los residuos que se trataba

de un modelo con problemas de normalidad, heterocedasticidad y

autocorrelación. De este modo, acudiendo al método de Newey-West para

solucionar estos problemas y realizar el análisis de intervención para eliminar los

atípicos de la muestra, el modelo estimado ha dado el siguiente resultado: PUBM

= 0,73321 + 0,66070*PATX -14,2780*D200812, de donde se intuye que cuando la

prima del ATX aumenta en 100 puntos básicos se espera que la prima de nuestra

empresa aumente 66 pb. Además, se observa como la crisis financiera de 2008

afectó de forma muy negativa a la rentabilidad de la empresa.

Por otro lado, atendiendo al modelo estimado se puede afirmar que la volatilidad

del Grupo UBM es superior a la del mercado ATX para este periodo y, por tanto,

su rentabilidad es mayor. De esta forma, los inversores de UBM habrán obtenido

una rentabilidad media superior.

Adicionalmente, hemos estudiado los efectos que la crisis del coronavirus ha

provocado en la rentabilidad de la empresa. La expansión del Covid-19 ha

generado un cambio estructural en marzo de 2020, de forma que el modelo no

se comporta de la misma manera antes y después del inicio de la pandemia.

Tras el covid-19 la empresa UBM muestra una ß de 1,3358 que nos indica que

la empresa tiene ahora un riesgo superior al del mercado. De este modo, cuando

la prima de ATX se incrementa en 100 puntos básicos, la prima de UBM se

espera que suba 133,58 pb.

Finalmente, se consideró adecuado estudiar el posible efecto que otras variables

externas pudiesen causar sobre la prima de la empresa. Para ello, se

introdujeron al modelo tanto la tasa de variación del empleo en Austria como la

prima de riesgo de una empresa de la competencia (Immofinanz AG). En ambos

casos, se obtienen unos resultados que no son significativos para el modelo y

que, por tanto, no afectan a la prima de UBM. Efecto similar el que nos

encontramos al añadir al modelo los Factores de Fama y French donde tanto

HML como SMB arrojan resultados no relevantes para explicar el

comportamiento de la prima de riesgo de la empresa.


26

6. Bibliografía

Annual Report, 2018. UBM Development. [En línea] Available at: https://www.ubm-development.com/investor-relations/publications/financial-reports/ [Último acceso: 30 marzo 2021].

Annual Report, 2019. UBM Development. [En línea] Available at: https://www.ubm-development.com/investor-relations/publications/financial-reports/ [Último acceso: 30 marzo 2021].

Anon., 2019. Esan. [En línea] Available at: ://www.esan.edu.pe/apuntes-empresariales/2019/05/el-modelo-de-tres-factores-de-fama-french-para-la-valoracion-de-acciones/ [Último acceso: 5 Abril 2021].

Finance, Y., s.f. Yahoo Finance. [En línea] Available at: https://es.finance.yahoo.com/quote/UBS.VI/history?p=UBS.VI [Último acceso: 15 Febrero 2021].

Gujarati, D., 2004. Econometría. 4ª edición ed. s.l.:McGraw Hill.

Q3 Report, 2020. UBM Development - Financial Reports. [En línea] Available at: https://www.ubm-development.com/investor-relations/publications/financial-reports/ [Último acceso: 28 marzo 2021].

UBM, s.f. Ubm Development. [En línea] Available at: https://www.ubm-development.com/company/ [Último acceso: 20 febrero 2021].

7. Índice de gráficos, tablas e imágenes

Gráfico 1. Organigrama actual UBM Development ……………………………….4

Gráfico 2. Distribución del pipeline de la empresa en 2020………………………5

Imagen 1. Evolución de las rentabilidades 2005 – 2020………………………….9

Imagen 2. Correlación lineal entre las primas de riesgo de UBM y ATX………12

Imagen 3. Distribución de la prima de riesgo del índice de UBM…………….…13


27

Imagen 4. Modelo inicial CAPM estimado por Rstudio…………………………..13

Imagen 5. Residuos del modelo CAPM……………………………………………15

Imagen 6. Distribución de los residuos. Jarque-Bera…………………………….16

Imagen 7. Modelo CAPM estimado por Newey-West mediante RStudio……...19

Imagen 8. Análisis de residuos estandarizados…………………………………..20

Imagen 9. Modelo CAPM estimado con variables Dummy mediante Rstudio...21

Imagen 10. Modelo CAPM estimado con cambio estructural…………………...22

Imagen 11. Modelo CAPM estimado con variables externas…………………...23

Imagen 12. Modelo CAPM estimado con Fama y French……………………….24

Imagen 13. Modelo CAPM definitivo……………………………………………….24

Tabla 1. Output total por activos …………………………………………………….6

Tabla 2. Principales apartados del balance de situación………………………….6

Tabla 3. Principales partidas de la Cuenta de Pérdidas y Ganancias …………..7

Tabla 4. Medidas estadísticas sobre la cotizacón de UBM y ATX……………...10

Tabla 5. Test de White………………………………………………………………17

Tabla 6. Test de Durbin-Watson……………………………………………………17

Tabla 7. Contraste de Breusch-Godfrey…………………………………………..18

8. Anexos:

Anexo 1. Output por región

Output Total por región

In €m 01.09.2020 01.09.2019 Variación

Alemania 98,6 140,4 -29,8%

Austria 123,0 180,9 -32.0

Polonia 55,9 52,9 5,8%

Otros mercados 14,5 86,2 -83,2%

TOTAL 292,1 460,4 -36,6%


28

TFG ANÁLISIS FINANCIERO

Javier Acevedo Monar

3/2/2021

Carga de los datos

En primer lugar, leemos los datos de UBM desde el fichero excel TFG_datos. Lo llamaremos Datos_UBM de aquí en adelante. Recoge los datos mensuales de la cotización de UBM Development y ATX desde 2005 hasta finales de 2020.

Datos_UBM <- read_excel("~/Documents/CUNEF/Cunef 2020:2021/TFG/TFG_2021/TFG_datos.xlsx") Datos_UBM <- rename(Datos_UBM, UBM = 'UBS') head(Datos_UBM)

## # A tibble: 6 x 8 ## Date UBM ATX SMB HML Rf Immofinanz EmpleoAust ## <dttm> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 2005-01-01 00:00:00 9.42 2494. 3.56 1.57 0.16 39.2 5.4 ## 2 2005-02-01 00:00:00 9.40 2704. 0.77 1.04 0.16 39.2 5.7 ## 3 2005-03-01 00:00:00 9.54 2633. -0.17 0.24 0.21 38.8 6 ## 4 2005-04-01 00:00:00 9.81 2566 0.54 -0.11 0.21 39.2 5.7 ## 5 2005-05-01 00:00:00 10.9 2791. -1.66 1.18 0.24 40.7 5.7 ## 6 2005-06-01 00:00:00 13.8 3050. 0.95 1.64 0.23 42.0 5.6

Lo primero que hacemos es convertir el DataFrame en Serie Temporal para poder trabajar con los datos.

tsUBM <- tsibble(mes=yearmonth(Datos_UBM$Date),Datos_UBM[,2:8],index=mes)

Preparación de los datos.

A continuación, calculamos en nuevas variables las rentabilidades tanto para nuestra empresa UBM (rUBM) como para el mercado (rATX). A su vez, introducimos dos variables más al modelo con las primas tanto de UBM como del mercado (pUBM y pATX).


29

tsUBM <- tsUBM %>% add_column(rUBM=100*difference(log(.$UBM)), rATX =100*difference(log(.$ATX)), RFm=.$Rf/12, rImmo =100*difference(log(.$Immofinanz)), rEmpleoAust =100*difference(log(.$EmpleoAust))) autoplot(tsUBM,.vars=`rEmpleoAust`)

Evolución de la variación de la tasa de desempleo en Austria

tsUBM <- tsUBM %>% add_column(pUBM=.$rUBM-.$RFm, pATX=.$rATX-.$RFm, pImmo =.$rImmo-.$RFm )

Vamos a graficar las primas. Primero creamos un gráfico de líneas con las series temporales originales. Podemos ver por separado las cotizaciones mensuales de UBM y ATX en el mercado entre los años enero de 2005 y diciembre de 2020. A continuación, mostramos conjuntamente la prima de riesgo de UBM y ATX para que se pueda apreciar su evolución histórica durante estos años. Cabe señalar tres momentos destacados: 1. En primer lugar, la notable caída experimentada durante la crisis financiera de 2008 que afectó considerablemente al mercado, pero más aún a UBM Development. Al ser una empresa dedicada a real estate, su actividad se vió afectada sobremanera como se refleja en el gráfico. 2. En segundo lugar, destacar el incremento de la cotización de UBM a partir de 2014, año en el que se anuncia la fusión con la empresa PIAG immobilien AG que se hizo efectiva en la primavera de 2015. 3. Por último, mencionar el efecto que la crisis por la pandemia de la Covid-19 ha provocado tanto en el índice del mercado como en la empresa. Se observa como a principios del año 2020, ambos elementos empeizan a caer hasta alcanzar su mínimo en marzo de 2020, fecha en la que se decreta el inicio


30

de la pandemia. Sin embargo, con el paso de los meses, se han ido recuperando hasta situarse en números similares a los de pre-covid.

Gráfico de líneas Serie Temporales Originales:

autoplot(tsUBM,.vars=`ATX`)+ scale_x_yearmonth(date_breaks="1 year",date_labels="%Y")+ ggtitle("Cotización ATX")+ xlab("")+ ylab("")

Anexo 2. Evolución de la cotización de ATX para el periodo 2005-2020

autoplot(tsUBM,.vars=UBM)+ scale_x_yearmonth(date_breaks="1 year",date_labels="%Y")+ ggtitle("Cotización UBM Development")+ xlab("")+ ylab("")


31

Anexo 3. Evolución de la cotización de UBM para el periodo 2005 - 2020

ggplot(tsUBM)+ geom_line(aes(x = mes, y = rUBM, color = "UBM"))+ geom_line(aes(x = mes, y = rATX, color = "ATX"))+ ggtitle("Rentabilidad UBM y ATX")+ scale_y_continuous( "UBM", sec.axis = sec_axis(~ . /4, name = "ATX") )+ xlab("")+ ylab("")

Gráfico 3. Evolución de las rentabilidades 2005-2020


32

Medidas estadísticas sobre la cotización de UBM y el mercado ATX

stats = Datos_UBM %>% select(Date, UBM, ATX) %>% summarise(MediaUbm = round(mean(UBM),3), MediaATX = round(mean(ATX, na.rm = TRUE ),3), MedianaUBM = median(UBM), MedianaATX = median(ATX, na.rm = TRUE), Desv.TipUBM = round(sd(UBM),3), Desv.TipATX = round(sd(ATX, na.rm = TRUE),3), varUBM = var(UBM), varATX = var(ATX, na.rm = TRUE), Coef_variacion_UBM = Desv.TipUBM / abs(MediaUbm), Coef_variacion_ATX = Desv.TipATX / abs(MediaATX), MáximoUBM = max(UBM), MáximoATX = max(ATX, na.rm = TRUE), MínimoUBM = min(UBM), MínimoATX = min(ATX, na.rm = TRUE))

Gráfico XY + Línea de Regresión:

ggplot(tsUBM)+geom_point(aes(x=pATX,y=pUBM))+ ggtitle("Prima de Riesgo UBM vs ATX")+ xlab("ATX")+ ylab("UBM")

ggplot(tsUBM)+ geom_point(aes(x=pATX,y=pUBM))+ geom_smooth(aes(x=pATX,y=pUBM),method="lm",formula="y~x",se=F)+


33

ggtitle("Prima de Riesgo UBM vs ATX + Regresión lineal")+ xlab("ATX")+ ylab("UBM")

Gráfico 5. Correlación lineal entra las primas de riesgo de UBM y ATX

Graficamos, por otro lado, el histograma de las cotizaciones de ubm y el índice del mercado. Intuímos por primera vez la presencia de atípicos que deberemos estudiar más adelante para garantizar los supuesto de nuestro modelo.

ggplot(tsUBM) + geom_histogram(mapping = aes(x = pUBM, y=..density..), fill="steelblue", colour="black", binwidth = 1) + ggtitle("Histograma de la prima UBM") + stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = mean(tsUBM$pUBM,na.rm=T), sd = sd(tsUBM$pUBM,na.rm=T)),color="red",size=1.5) + xlab("UBM") + ylab ("Densidad")

Gráfico 6. Distribución de la prima de riesgo del índice de UBM


34

ggplot(tsUBM) + geom_histogram(mapping = aes(x = pATX, y=..density..), fill="steelblue", colour="black", binwidth = 1) + ggtitle("Histograma de la prima del mercado ATX") + stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = mean(tsUBM$pATX,na.rm=T), sd = sd(tsUBM$pATX,na.rm=T)),color="red",size=1.5) + xlab("ATX") + ylab ("Densidad")

Anexo 4. Distribución de la prima de riesgo del mercado ATX

boxplot(Datos_UBM$UBM, horizontal = TRUE, xlab = "Cotización UBM")


35

boxplot(Datos_UBM$ATX, horizontal = TRUE, xlab = "Cotización ATX")

Anexo 5. Diagrama de cajas de la cotización de UBM

Anexo 6. Diagrama de cajas de la cotización de ATX

Modelo CAPM inicial

Para realizar el análisis de las cotizaciones de UBM Development, vamos a partir del Modelo CAPM que indicamos a continuación.

modelo_CAPM <- lm(pUBM~pATX,data=tsUBM) summary(modelo_CAPM)

## ## Call: ## lm(formula = pUBM ~ pATX, data = tsUBM) ## ## Residuals: ## Min 1Q Median 3Q Max ## -23.8750 -4.6621 0.0412 4.3687 23.0119 ## ## Coefficients: ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) 0.65824 0.56177 1.172 0.243 ## pATX 0.66516 0.08089 8.223 3.12e-14 *** ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ## ## Residual standard error: 7.764 on 189 degrees of freedom ## (3 observations deleted due to missingness)


36

## Multiple R-squared: 0.2635, Adjusted R-squared: 0.2596 ## F-statistic: 67.62 on 1 and 189 DF, p-value: 3.121e-14

residuos_modelo_CAPM <-tsibble(mes=tsUBM$mes,Residuos=c(NA, NA, NA, modelo_CAPM$residuals),index=mes)

Para comprobar que nuestro modelo CAPM cumple con los principios de ruido blanco realizaremos la verificación con los residuos. Con la finalidad de comprobar estos principios, realizaremos las siguientes verificaciones: 1. Test de normalidad con el estadístico Jarque-Bera. 2. Ausencia de heterocedasticidad con el contraste de White. 3. Independencia de las variables entre sí, es decir, ausencia de correlación. Para ello utilizaremos el estadístico Durbin-Watson.

A la hora de comprobar estos supuestos del modelo, en primer lugar, crearemos una nueva variable para almacenar nuestros residuos. Vemos en el gráfico con los residuos estandarizados a lo largo de los años de la muestra. Fijamos, además, un límite superior e inferior que se situa en tres veces la desviación típica de la muestra. Este límite nos servirá para determinar los atípicos que debemos estudiar.

Residuos estandarizados con límite superior e inferior.

residuos_modelo_CAPM <- residuos_modelo_CAPM %>% add_column(ResiduosSD=.$Residuos/sd(.$Residuos,na.rm=T)) autoplot(residuos_modelo_CAPM,.vars=(ResiduosSD),color="blue")+ geom_hline(yintercept=0)+ scale_x_yearmonth(date_breaks="1 year",date_labels="%Y")+ ggtitle("Residuos Modelos CAPM")+ xlab("")+ ylab("")

Gráfico 8. Residuos del modelo CAPM.


37

autoplot(residuos_modelo_CAPM,.vars=(ResiduosSD),color="blue")+ geom_hline(yintercept=0)+ geom_hline(yintercept=-3, color="red")+ geom_hline(yintercept=3, color="red")+ scale_x_yearmonth(date_breaks="1 year",date_labels="%Y")+ ggtitle("Residuos Modelos CAPM")+ xlab("")+ ylab("")

Gráfico 14. Análisis de residuos estandarizados

atipicos <- residuos_modelo_CAPM %>% filter(ResiduosSD>3 |ResiduosSD< -3) atipicos


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## # A tsibble: 1 x 3 [1M] ## mes Residuos ResiduosSD ## <mth> <dbl> <dbl> ## 1 2008 dic -23.9 -3.08

Una vez realizado el estudio de atípicos, podemos ver hacia finales del año 2008, un atípico que supera los límites marcados. Este atípico, diciembre de 2008, presenta un valor de -23,875 y se corresponde con los efectos de la crisis provocada por Lehman Brothers. Unos años más tarde, en septiembre de 2014, vemos nuevamente un valor que casi roza el límite establecido. Hablamos en este caso del repunte de la cotización de UBM provocada por el anuncio de la fusión de PIAG immobilien AG.

Análisis de los residuos

Procedemos a continuación al estudio de los supuestos comentados anteriormente: - Test de Normalidad. Como hemos indicado anteriormente, utilizamos el estadístico Jarque-Bera que nos da un valor de 289,209 y un p-valor de 0 por lo que rechazamos la hipótesis nula. Nuestro modelo actual no se comporta bajo el supuesto de normalidad. Tendremos que eliminar el atípico encontrado anteriormente y volver a hacer el estudio.

ggplot(residuos_modelo_CAPM) + geom_histogram(mapping = aes(x = Residuos, y=..density..), fill="steelblue", colour="black", binwidth = 1) + ggtitle("Histograma") + stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = 0, sd = sd(residuos_modelo_CAPM$Residuos,na.rm=T)),color="red",size=1.5)

Gráfico 9. Distribución de los residuos: Jarque - Bera

ED(residuos_modelo_CAPM$Residuos)

## Estadisticos Valores ## 1 Media 2.050788e-16 ## 2 Desviación Típica 7.743225e+00 ## 3 Mediana 4.115019e-02 ## 4 Cuartil 1 -4.662093e+00


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## 5 Cuartil 3 4.368740e+00 ## 6 Mínimo -2.387504e+01 ## 7 Máximo 2.301189e+01 ## 8 Curtosis 3.680679e+00 ## 9 Asimetría 2.889743e-02 ## 10 JB Test 3.713870e+00 ## 11 P-Value 1.185000e-01

• Test heterocedasticidad. Realizamos el test de white para hacer el estudio de homocedasticidad. En nuestro caso, el modelo presenta heterocedasticidad puesto que el p-valor nos lleva a rechazar la hipótesis.

white_lm(modelo_CAPM, interactions = TRUE)

## # A tibble: 1 x 5 ## statistic p.value parameter method alternative ## <dbl> <dbl> <dbl> <chr> <chr> ## 1 50.3 1.17e-11 2 White's Test greater

• Test Autocorrelación. Por último, procedemos a analizar la dependencia de nuestras variables entre sí. Para ello utilizamos el estadístico Durbin-Watson que presenta un valor de 2.376365 con un p-valor inferior a 0.05 por lo que, nuevamente rechazamos la hipótesis nula de no correlación. Hacemos además el contraste LM con 2 y 12 saltos para estudiar la correlación estacional. Con dos saltos, el p-valor nos indica que rechazamos la hipótesis. Sin embargo, en cuanto al correlación estacional a 12 meses vemos que el p-valor es de 0.2482 que nos lleva a aceptar la hipótesis nula de no correlación estacional.

•

durbinWatsonTest(modelo_CAPM)

## lag Autocorrelation D-W Statistic p-value ## 1 -0.1909626 2.376365 0.012 ## Alternative hypothesis: rho != 0

bgtest(modelo_CAPM,order=2)

## Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 2 ## ## data: modelo_CAPM ## LM test = 9.7637, df = 2, p-value = 0.007583

bgtest(modelo_CAPM,order=12)

## ## Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 12


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## ## data: modelo_CAPM ## LM test = 14.878, df = 12, p-value = 0.2482

-Newey West. Para eliminar los problemas encontrados anteriormente con el análisis de los supuestos básicos, eleboramos un nuevo modelo con Newey West que es el que utilizaremos a ahora en adelante.

NeweyWest(modelo_CAPM)

## (Intercept) pATX ## (Intercept) 0.188277627 -0.003940583 ## pATX -0.003940583 0.019228102

coeftest(modelo_CAPM, vcov = vcovHC(modelo_CAPM, type="HC0"))

## ## t test of coefficients: ## ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) 0.65824 0.56057 1.1742 0.2418 ## pATX 0.66516 0.14556 4.5696 8.804e-06 *** ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Modelo estimado por Newey - West + dummy de diciembre 2008

Crearmos una Variable dummy con los atípicos. En nuestro caso, con diciembre de 2008.

tsUBM <- tsUBM %>% add_column(D200812=1*(.$mes==atipicos$mes[1])) #tsUBM$mes==yearmonth("2008/12/01")

Estimación del modelo

mod_CAPM_d <- lm(pUBM~pATX+D200812,data=tsUBM) summary(mod_CAPM_d)

Call: ## lm(formula = pUBM ~ pATX + D200812, data = tsUBM) ## Residuals: ## Min 1Q Median 3Q Max ## -24.096 -4.568 0.000 4.298 22.902 ## ## Coefficients: ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) 0.73321 0.55971 1.310 0.1918 ## pATX 0.66070 0.08042 8.216 3.33e-14 *** ## D200812 -14.27800 7.73855 -1.845 0.0666 .


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## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ## ## Residual standard error: 7.715 on 188 degrees of freedom ## (3 observations deleted due to missingness) ## Multiple R-squared: 0.2766, Adjusted R-squared: 0.2689 ## F-statistic: 35.94 on 2 and 188 DF, p-value: 6.047e-14

coeftest(mod_CAPM_d, vcov = vcovHC(mod_CAPM_d, type="HC0"))

## ## t test of coefficients: ## ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) 0.73321 0.55907 1.3115 0.1913 ## pATX 0.66070 0.14628 4.5168 1.107e-05 *** ## D200812 -14.27800 0.77715 -18.3722 < 2.2e-16 *** ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

res_mod_CAPM_d <-tsibble(mes=tsUBM$mes,Residuos=c(NA,NA, NA, mod_CAPM_d$residuals),index=mes)

Estadisticos Residuos + Histograma

ED(res_mod_CAPM_d$Residuos)

## Estadisticos Valores ## 1 Media 1.828271e-17 ## 2 Desviación Típica 7.674058e+00 ## 3 Mediana -3.996803e-15 ## 4 Cuartil 1 -4.567939e+00 ## 5 Cuartil 3 4.297684e+00 ## 6 Mínimo -2.409549e+01 ## 7 Máximo 2.290158e+01 ## 8 Curtosis 3.766564e+00 ## 9 Asimetría 2.837172e-02 ## 10 JB Test 4.702106e+00 ## 11 P-Value 7.650000e-02

ggplot(res_mod_CAPM_d) + geom_histogram(mapping = aes(x = Residuos, y=..density..), fill="steelblue", colour="black", binwidth = 1) + ggtitle("Histograma") + stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = 0, sd = sd(res_mod_CAPM_d$Residuos,na.rm=T)),color="red",size=1.5)


42

Test Cusum

OLS_CUSUM <- efp(mod_CAPM_d,data=tsUBM, type = "OLS-CUSUM") plot(OLS_CUSUM)

sctest(OLS_CUSUM)

## ## OLS-based CUSUM test ## ## data: OLS_CUSUM ## S0 = 0.54237, p-value = 0.9303

#Recursivo recursivo <- efp(mod_CAPM_d,data=tsUBM, type = "Rec-CUSUM") plot(recursivo)


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Anexo 7. Test Cusum para ver la estabilidad del modelo

sctest(recursivo)

## ## Recursive CUSUM test ## ## data: recursivo ## S = 0.43489, p-value = 0.773

A continuación, vamos a realizar el Test de Chow para comprobar si ha habido cambio estructural provocado por la pandemia de la covid-19. Basicamente le indicamos las fecha en la que el covid afectó a nuestro modelo y comprobamos si se ha comportado de la misma manera tanto antes como después de esta fecha. Como vemos a continuación, el Test de Chow da un valor de 0.03106 lo que nos indica que hay cambio estructural en marzo. Como sulucion, podríamos estudiar el modelo con cada parte por separado o estudiarlo todo de una añadiendo otra variable con valores 1 desde aquella fecha en la que la pandemia empezó a afectar a nuestra empresa (marzo 2020).

Test de Chow

Anexo 8. Test de Chow FechaCambio <- yearmonth("2020/03/01") smT <- summary(mod_CAPM_d) SRR <- smT$df[2]*smT$sigma nobs <- smT$df[1]+smT$df[2] k <- smT$df[1] sm1 <- summary(lm(pUBM~pATX,data=filter(tsUBM,mes<FechaCambio))) SRR1 <- sm1$df[2]*sm1$sigma sm2 <- summary(lm(pUBM~pATX,data=filter(tsUBM,mes>=FechaCambio))) SRR2 <- sm2$df[2]*sm2$sigma F <- ((SRR-(SRR1+SRR2))/k)/((SRR1+SRR2)/(nobs-2*k)) PvalueF=pf(F,k,nobs-2*k,lower.tail = FALSE) cat("Test de Chow, Fecha:",format(FechaCambio, format = "%b %Y"),"\n")


44

## Test de Chow, Fecha: mar 2020

cat("F: ",F,"\n")

## F: 3.020528

cat("P-Valor: ",PvalueF,"\n")

## P-Valor: 0.03106441

if (PvalueF>0.1) cat("No hay Cambio Estrutural en: ",format(FechaCambio, format = "%b %Y")) if (PvalueF<=0.1) cat("Hay Cambio Estrutural en: ",format(FechaCambio, format = "%b %Y"))

## Hay Cambio Estrutural en: mar 2020

Regresión con cambio estructural

tsUBM <- tsUBM %>% add_column(Escalon=1*(.$mes>=FechaCambio)) mod_CAPM_c <- lm(pUBM~pATX+D200812+Escalon+I(Escalon*pATX),data=tsUBM) summary(mod_CAPM_c)

## ## Call: ## lm(formula = pUBM ~ pATX + D200812 + Escalon + I(Escalon * pATX), ## data = tsUBM) ## ## Residuals: ## Min 1Q Median 3Q Max ## -29.7023 -4.3700 0.0852 3.7997 21.4582 ## ## Coefficients: ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) 0.84068 0.54958 1.530 0.128 ## pATX 0.49201 0.08591 5.727 4.05e-08 *** ## D200812 -14.86298 7.39756 -2.009 0.046 * ## Escalon -1.81559 2.39542 -0.758 0.449 ## I(Escalon * pATX) 0.84357 0.19222 4.389 1.91e-05 *** ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ## ## Residual standard error: 7.373 on 186 degrees of freedom ## (3 observations deleted due to missingness) ## Multiple R-squared: 0.3463, Adjusted R-squared: 0.3323 ## F-statistic: 24.64 on 4 and 186 DF, p-value: 2.24e-16

coeftest(mod_CAPM_c, vcov = vcovHC(mod_CAPM_c, type="HC0"))


45

## ## t test of coefficients: ## ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) 0.84068 0.53445 1.5730 0.117420 ## pATX 0.49201 0.15981 3.0787 0.002394 ** ## D200812 -14.86298 0.79490 -18.6979 < 2.2e-16 *** ## Escalon -1.81559 3.15151 -0.5761 0.565243 ## I(Escalon * pATX) 0.84357 0.19293 4.3725 2.042e-05 *** ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Modelo con variables externas.

Con este modelo se pretende estudiar el posible efecto sobre la rentabilidad de nuestra empresa de variables externas. Se analiza dicho efecto añadiendo al modelo la prima de una empresa de la competencia y la tasa de variación del desempleo en Austria.

mod_CAPM_e <- lm(pUBM~pATX+D200812+Escalon+I(Escalon*pATX)+pImmo+rEmpleoAust,data=tsUBM) coeftest(mod_CAPM_e, vcov = vcovHC(mod_CAPM_e, type="HC0"))

## ## t test of coefficients: ## ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) 0.836148 0.520772 1.6056 0.1100781 ## pATX 0.494467 0.133637 3.7001 0.0002845 *** ## D200812 -14.602457 2.697400 -5.4135 1.911e-07 *** ## Escalon -1.710027 3.129503 -0.5464 0.5854385 ## I(Escalon * pATX) 0.848112 0.170983 4.9602 1.595e-06 *** ## pImmo -0.001316 0.087703 -0.0150 0.9880439 ## rEmpleoAust -0.047942 0.069730 -0.6875 0.4926072 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Modelo de tres Factores de Fama y French

Para finalizar el análisis que hemos realizado a lo largo de este trabajo, añadimos al modelo los factores de Fama y French junto con las variables significativas que ya teníamos anteriormente.

mod_CAPM_fm <- lm(pUBM~pATX+D200812+Escalon+I(Escalon*pATX)+HML+SMB,data=tsUBM) coeftest(mod_CAPM_fm, vcov = vcovHC(mod_CAPM_fm, type="HC0"))

## ## t test of coefficients: ##


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## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) 0.75166 0.54172 1.3875 0.1669573 ## pATX 0.53701 0.15734 3.4130 0.0007901 *** ## D200812 -13.54184 1.18121 -11.4643 < 2.2e-16 *** ## Escalon -3.04291 2.92583 -1.0400 0.2996967 ## I(Escalon * pATX) 0.87019 0.20813 4.1811 4.483e-05 *** ## HML -0.39021 0.24867 -1.5692 0.1183171 ## SMB 0.43034 0.31383 1.3713 0.1719654 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1