Programación linealAnálisis de sensibilidad

Jesús Muñoz San Miguel

Curso 2020/21

EjemploUn taller de relojería vende relojes deportivos y de precisión a 30 y 55 euros res-pectivamente. Los relojes necesitan ser montados y ajustados. Tanto el taller demontaje como el de ajuste disponen de 8 horas de trabajo y se necesita 2 horas demontaje para ensamblar mil relojes de cualquier tipo pero su ajuste es diferente yel de mil relojes deportivos lleva una hora y el de mil relojes de precisión 3.a) Determinar el numero de relojes a fabricar de cada tipo para maximizar el ingreso.b) Analizar la sensibilidad de la solución a los cambios en la disponibilidad de horas

en cada taller (lado derecho de las restricciones).c) Analizar la sensibilidad de la solución a los cambios en el precio unitario de los

relojes (coeficientes de la función objetivo).

Modelo matemáticomax 30x1 + 55x2

2x1 + 2x2 ≤ 8x1 + 3x2 ≤ 8x1, x2 ≥ 0

donde x1 y x2 son el número de miles de relojes deportivos y de precisión, resp.

SoluciónPara resolver el problema representamos las curvas de nivel de la función objetivocomo funciones implícitas y construimos el conjunto factible como una región delplano, teniendo en cuenta que las variables no pueden ser negativas.

Como las curvas de nivel son rectasy su valor aumenta a medida que nosalejamos del origen (donde la curvavale cero y corresponde al mínimo glo-bal), el máximo se alcanza en el vér-tice de la región factible en el que secortan las rectas correspondientes alas restricciones.

El punto lo podemos determinar resolviendo el sistema formado por las ecuacionesde las dos rectas (ejercicio) obteniendo que el valor máximo de los ingresos seconsigue fabricando dos mil relojes de cada tipo (x1 = 2 y x2 = 2) y es de 170.000euros (lo calculamos sustituyendo en la función).

Análisis de sensibilidad a la disponibilidad de horas (montaje)Si el número de horas disponibles en un taller aumenta el conjunto factible crece yel valor máximo de la función aumenta.

En el caso de que el taller de montajeamplíe el horario en una hora el má-ximo cambia y corresponde al vérticede la nueva región factible en el queel ingreso aumenta a 178.750 eurosy se consigue fabricando 2.750 relojesdeportivos y 1.750 relojes de precisión(x1 = 2,75 y x2 = 1,75).

La tasa a la que cambian los ingresos a consecuencia del cambio en el horario deltaller recibe el nombre de precio sombra del recurso y corresponde al preciomáximo que estaríamos dispuestos a pagar para obtener una unidad más derecurso, en este caso, una hora más de taller de montaje

4z4b = 178,750− 170,000

9− 8 = 8,750 euros/hora

El precio sombra permite relacionar los cambios en el ingreso óptimo debidos alaumento en el horario del taller de montaje.De este modo, si, por ejemplo, ampliamos el horario en dos horas los ingresosaumentarán en 17.500 euros y serán de 187.500 euros

187500 = 170000 + 2 ∗ 8750

Este cálculo se puede hacer mientraslos incrementos o disminuciones delhorario del taller mantengan la curvade nivel entre los vértices correspon-dientes a los cortes con los ejes dela recta que limita la otra restricción:(0, 8/3), en el que se usan 5, 33 ho-ras de taller de montaje, y (8, 0), enel que se usan 16 horas.

Por tanto, el precio sombra de la hora de taller de montaje será válido mientrasmantengamos su horario entre 5,33 y 16 horas, intervalo que recibe el nombre deintervalo de factibilidad.

Análisis de sensibilidad a la disponibilidad de horas (ajuste)Si el taller que amplia su horario en una hora es el de ajuste la solución óptimatambién cambia.

El nuevo máximo se alcanza en el vér-tice de la región factible en el quese cortan las rectas correspondientesa las restricciones. El ingreso aumen-ta a 182.500 euros y se consigue fa-bricando 1.500 relojes deportivos y2.500 relojes de precisión (x1 = 1,5y x2 = 2,5)

La tasa a la que cambian los ingresos debido al cambio en el horario del taller,precio sombra, es

4z4b = 182,500− 170,000

9− 8 = 12,500 euros/hora

En este caso, el cálculo se puede hacermientras los incrementos o disminu-ciones del horario del taller manten-gan la curva de nivel entre los vérti-ces correspondientes a los cortes conlos ejes de la recta que limita la otrarestricción: (0, 4), en el que se usan12 horas de taller de ajuste, y (4, 0),en el que se usan 4 horas.

Por tanto, el precio sombra de la hora de taller de ajuste será válido mientrasmantengamos su horario entre 4 y 12 horas (intervalo de factibilidad).

Por ejemplo, podemos ampliar el horario a diez horas y los ingresos serán de 195.000euros (ampliamos dos horas)

195000 = 170000 + 2 ∗ 12500

Análisis de sensibilidad a los cambios en el precio de los relojesSi cambian los precios de venta de los relojes el ingreso también lo hace y puedencambiar tanto el ingreso óptimo como el punto en el que se alcanza.

Como los coeficientes de la funciónobjetivo modifican la pendiente de lascurvas de nivel de la función de ingre-sos, si la curva de nivel correspondien-te al punto óptimo actual se mantie-ne entre las rectas que definen ambasrestricciones el punto en el que se al-canza el óptimo no cambia, aunquecambien los ingresos.

Para determinar la relación entre los coeficientes de la función objetivo que haceque se mantenga inalterable el punto en el cual se alcanza el óptimo consideramosuna función con coeficientes genéricos

I(x , y) = c1x1 + c2x2

La solución óptima permanecerá en el punto mientras la pendiente de la rectacorrespondiente a la curva de nivel quede entre las pendientes de las dos rectas quedefinen las restricciones

−2/2 ≤ −c1/c2 ≤ −1/3 ⇐⇒ 1/3 ≤ c1/c2 ≤ 1

Si el precio del reloj deportivo se mantiene en su valor actual de 30 euros estarelación se cumplirá si

1/3 ≤ 30/c2 ≤ 1 ⇐⇒ 30 ≤ c2 ≤ 90

Si el precio del reloj de precisión se mantiene en su valor actual de 55 euros estarelación se cumplirá si

1/3 ≤ c1/55 ≤ 1 ⇐⇒ 55/3 ≤ c1 ≤ 55

Los intervalos [55/3, 55] y [30, 90] reciben el nombre de intervalos de optimali-dad para c1 y c2 respectivamente y nos indican los valores que mantienen el óptimoproduciendo 2.000 relojes de cada tipo cuando cambia un coeficiente y el otro per-manece constante (el valor de los ingresos cambia cuando cambian los coeficientes).

Coste reducidoCuando en el método del simplex se fuerza a una variable con valor cero hacia unasolución óptima en la que tenga valor positivo el coste reducido de la variablemide el aumento o disminución por unidad que se produce en el valor de la funciónobjetivo y refleja el atractivo de la variable a la hora de considerarla para la solucióndel problema de optimización.

En el caso particular de un problema de maximización de ingresos el costereducido de una variable corresponde a la diferencia entre el ingreso obtenido porcada unidad utilizada y el coste asociado al consumo que se hace de los recursos.Para que en la solución óptima la variable sea positiva el coste reducido debe sercero e igualarse el ingreso que produce con el coste asociado a su uso.

• Si en la solución óptima una variable es positiva su coste reducido es cero.• Si en la solución optima una variable es cero y tiene coste reducido ceroexiste una solución alternativa al problema en la que la variable es positiva.• Si en la solución optima una variable es cero y tiene coste reducido no nulo sepuede conseguir una solución óptima en la sea positiva modificando sucoeficiente en la función objetivo en la cantidad opuesta (aumentándolo si esnegativo y disminuyéndolo si es positivo).

Resolución con SolverTomamos como variables las celdas B2 y C2 (inicializadas a 1) e introducimos losdatos:• ingresos unitarios en las celdas B4 y C4 (precios relojes)• horas de montaje por cada mil relojes en las celdas B5 y C5• horas de ajuste por cada mil relojes en las celdas B6 y C6

Introducimos la función objetivo y las funciones correspondientes a las restricciones,que calculamos directamente con la función SUMAPRODUCTO (multiplica el númerode miles de relojes de cada tipo por los correspondientes coeficientes y suma losresultados).

Resolución con SolverEstablecemos el objetivo, introducimos las restricciones y resolvemos el problema(al ser un problema lineal utilizamos el método del simplex).

Una vez resuelto el problema las varia-bles de decisión cambian a sus valoresóptimos.El ingreso y las horas de cada taller tam-bién quedan modificadas a sus valoresóptimos

Informes de SolverSolver permite crear distintos informes sobre la solución óptima (si no encuentrauna solución la opción no está disponible).Para ello, después de que Solver encuentre una solución se selecciona el informeen el cuadro Informes y éste se crea en una nueva hoja de cálculo del libro. Losinformes disponibles son tres• Informe de respuesta• Informe de sensibilidad• Informe de límites

.

Informe de respuestaEn el informe de respuesta se presenta la solución óptima y los correspondientesvalores de la función objetivo y de las restricciones

Informe de límitesEn el informe de límites se analizan los valores que puede tomar cada variablecuando se mantienen fijas las restantes

Informe de sensibilidadEn el informe de sensibilidad se analiza la sensibilidad de la solución óptima a loscambios tanto en los recursos como en los precios.

Ejemplo

Una empresa de marketing diseña una campaña publicitaria para lanzar un nuevoproducto, que se puede publicitar en cuatro medios: televisión, prensa, radio e in-ternet. La empresa dispone de 80.170 euros y quiere repartirlos de forma que seconsiga la mayor audiencia posible. Determinar y analizar este reparto con los datosde la siguiente tabla, que muestra para cada medio la audiencia potencial, el costeen euros de un anuncio y el número máximo de anuncios que el medio permitecontratar.

Televisión Prensa Radio InternetAudiencia 5000 8500 2400 2800Precio 600 925 290 380

Número máximo 30 60 60 80

EjercicioUna empresa fabrica dos productos en dos máquinas. Una unidad del producto 1requiere 2 dos horas en la máquina 1 y una hora en la máquina 2. Una unidad delproducto 2 requiere una hora en la máquina 1 y tres horas en la máquina 2. Losingresos por unidad de los productos 1 y 2 son de 30e y 20e, respectivamente. Eltiempo de procesamiento diario total disponible en cada máquina es de 8 horas.a) Determinar las cantidades diarias que hay que producir de cada uno de los

productos para que el ingreso sea el máximo posible.b) Si la empresa pudiera incrementar la capacidad de ambas máquinas, ¿qué

máquina tendría la prioridad?, ¿sería aconsejable si esto supone un costeadicional de 10e/h en cada máquina?

c) Si la capacidad de la máquina 1 se incrementa de 8 a 13 horas, ¿cómoimpactará este incremento al ingreso óptimo?. ¿Qué sucedería si se incrementaa 20 horas?

d) Si el ingreso unitario del producto 2 se fija a su valor actual, ¿cuál es elintervalo de optimalidad asociado al ingreso unitario del producto 1 quemantendrá el óptimo sin cambio?.

e) ¿Permanecerá igual el óptimo actual si los ingresos unitarios producidos para elproducto 1 cambian a 35e?. ¿Y si los del producto 2 cambian a 25e?.

EjercicioUna empresa utiliza tres operaciones para armar trenes, camiones y coches de ju-guete. Los ingresos y tiempos de operación unitarios para cada juguete, así comolos tiempos diarios disponibles para cada operación, aparecen en la siguiente tabla:

Trenes Camiones CochesIngreso (euros) 3 2 5 Disponible

Operación 1 (minutos) 1 3 1 430Operación 2 (minutos) 2 no se usa 4 460Operación 3 (minutos) 1 2 no se usa 420

a) Determinar las cantidades diarias de unidades a armar de cada uno de los ju-guetes para obtener el máximo ingreso posible

b) Determinar si es económicamente ventajoso utilizar tiempo extra en cada unade las operaciones si el coste de la hora extra, que incluye tanto la mano de obracomo la operación de la máquina, es de 50e, 55e y 30e, respectivamente. .

c) Determinar el efecto en el ingreso diario si el encargado de la operación 2 haacordado trabajar 2 horas de tiempo extra diarias

d) Determinar si es económicamente ventajoso mantener las cantidades producidasen el óptimo si el precio de los trenes se reduce un 5%. ¿Y si aumenta un 10%?.