anna university of technology, coimbatore โฆ1 anna university of technology, coimbatore...
TRANSCRIPT
1
ANNA UNIVERSITY OF TECHNOLOGY, COIMBATORE
B.E./B.TECH. DEGREE EXAMINATIONS: NOV/DEC 2006
FIFTH SEMESTER : CSE
DISCRETE MATHEMATICS
Part-A (๐ ร ๐๐ = ๐๐)
1. If ๐ท,๐ธ and ๐น are statement variables, prove that
๐ท โง โผ ๐ท โง ๐ธ โจ โผ ๐ท โงโผ ๐ธ โ ๐น
Solution:
๐ โง โผ ๐ โง ๐ โจ โผ ๐ โงโผ ๐ โ ๐ โจ โผ ๐ โง ๐ โจโผ ๐
โ ๐ โง โผ ๐ โง ๐
โ ๐ โงโผ ๐ โ ๐น โ ๐ [โต ๐น ๐๐ ๐๐๐ฆ ๐ ๐ก๐๐ก๐๐๐๐๐ก ๐๐๐๐๐ข๐๐]
2. Prove that whenever ๐จ โง ๐ฉ โ ๐ช, we also have ๐จ โ ๐ฉ โ ๐ช and vice versa.
Solution:
Assume that ๐ด โง ๐ต โ ๐ถ. To prove ๐ด โ ๐ต โ ๐ถ . Suppose that ๐ด is True and ๐ต โ ๐ถ is False. Hence
๐ต is True and ๐ถ is False. โด ๐ด โง ๐ต is True but ๐ถ is False, which is contradiction to our assumption.
Assume that ๐ด โ ๐ต โ ๐ถ . To prove ๐ด โง ๐ต โ ๐ถ. Suppose that ๐ด โง ๐ต is True and ๐ถ is False. Hence
๐ด and ๐ต are True. โด ๐ด is True but ๐ต โ ๐ถ is False, which is contradiction to our assumption.
โด Whenever ๐ด โง ๐ต โ ๐ถ, we also have ๐ด โ ๐ต โ ๐ถ and vice versa.
3. Give an example to show that โ๐ ๐จ ๐ โง ๐ฉ ๐ need not be a conclusion from โ๐ ๐จ ๐
and โ๐ ๐ฉ ๐
Solution:
Let ๐ด = {1} and ๐ต = {2}
Let ๐ด ๐ฅ = ๐ฅ โ ๐ด and ๐ต ๐ฅ = ๐ฅ โ ๐ต
Since A and B are non empty, โ๐ฅ ๐ด(๐ฅ) and โ๐ฅ ๐ต(๐ฅ) are both true. Since ๐ด โฉ ๐ต = โ
โ๐ฅ ๐ด ๐ฅ โง ๐ต ๐ฅ is false.
โ๐ฅ ๐ด ๐ฅ โง ๐ต ๐ฅ need not be a conclusion from โ๐ฅ ๐ด ๐ฅ and โ๐ฅ ๐ต ๐ฅ .
4. Find the truth value of ๐ ๐ท โ ๐ธ ๐ โจ โ๐ ๐น ๐ where ๐ท: ๐ > 1, ๐ ๐ :๐ > 3, ๐ ๐ :๐ > 4
with the universe of discourse being ๐ฌ = ๐,๐,๐ .
Solution:
๐ is True and ๐(4) is false ๐ โ ๐(4) is false.
๐ฅ ๐ โ ๐ ๐ฅ is false
Since ๐ (2), ๐ (3), ๐ (4) are all false. โ๐ฅ ๐ ๐ฅ is false. Hence ๐ฅ ๐ โ ๐ ๐ฅ โจ โ๐ฅ ๐ ๐ฅ is false.
5. For any sets ๐จ, ๐ฉ and ๐ช, prove that ๐จ ร ๐ฉ โฉ ๐ช = ๐จ ร ๐ฉ โฉ ๐จ ร ๐ฉ .
Solution:
Let ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ด ร (๐ต โฉ ๐ถ)
โ ๐ฅ โ ๐ด ๐๐๐ ๐ฆ โ (๐ต โฉ ๐ถ)
โ ( ๐ฅ โ ๐ด ๐๐๐ ๐ฆ โ ๐ต) ๐๐๐ ( ๐ฅ โ ๐ด ๐๐๐ ๐ฆ โ ๐ถ)
โ ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ด ร ๐ต ๐๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ด ร ๐ถ
โ ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ด ร ๐ต โฉ (๐ด ร ๐ถ)
2
๐ด ร ๐ต โฉ ๐ถ = ๐ด ร ๐ต โฉ ๐ด ร ๐ต
6. The following is the Hasse diagram of a partially ordered set. Verify whether it is a Lattice.
Solution:
๐ and ๐ are upper bounds of ๐ and ๐. As ๐ and ๐ cannot be compared, the LUB of ๐, ๐ does not exist.
Therefore the Hasse diagram is not a Lattice.
7. If ๐:๐จ โ ๐ฉ and ๐: ๐ฉ โ ๐ช are mappings and ๐ โ ๐:๐จ โ ๐ช one-to-one, prove that ๐ is one-to-
one.
Solution:
Let us assume that ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฆ โ ๐ ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ ๐ฆ
โ ๐ โ ๐ ๐ฅ = ๐ โ ๐ ๐ฆ
โ ๐ฅ = ๐ฆ โต ๐ โ ๐ ๐๐ ๐๐๐ โ ๐ก๐ โ ๐๐๐
โด ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฆ โ ๐ฅ = ๐ฆ
โด ๐ is one-to-one.
8. If ๐๐จ(๐) denotes the characteristic function of the set ๐จ, prove that
๐๐จโช๐ฉ ๐ = ๐๐จ ๐ + ๐๐ฉ ๐ โ ๐๐จโฉ๐ฉ ๐
Solution:
๐๐ดโช๐ต ๐ฅ = 1 โฆ (1)
โ ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ต
โ ๐ฅ โ ๐ด ๐๐ ๐ฅ โ ๐ต
โ ๐๐ด ๐ฅ = 1 ๐๐ ๐๐ต ๐ฅ = 1
โ ๐๐ด ๐ฅ + ๐๐ต ๐ฅ โ ๐๐ด ๐ฅ . ๐๐ต ๐ฅ = 1
โ ๐๐ด ๐ฅ + ๐๐ต ๐ฅ โ ๐๐ดโฉ๐ต ๐ฅ = 1 โฆ (2)
๐๐ดโช๐ต ๐ฅ = 1 โฆ (3)
โ ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ต
โ ๐ฅ โ ๐ด ๐๐๐ ๐ฅ โ ๐ต
โ ๐๐ด ๐ฅ = 1 ๐๐๐ ๐๐ต ๐ฅ = 1
โ ๐๐ด ๐ฅ + ๐๐ต ๐ฅ โ ๐๐ด ๐ฅ . ๐๐ต ๐ฅ = 0
โ ๐๐ด ๐ฅ + ๐๐ต ๐ฅ โ ๐๐ดโฉ๐ต ๐ฅ = 0 โฆ (4)
From (1), (2), (3) and (4), we get
๐๐ดโช๐ต ๐ฅ = ๐๐ด ๐ฅ + ๐๐ต ๐ฅ โ ๐๐ดโฉ๐ต ๐ฅ
9. If ๐บ denotes the set of positive integers โค ๐๐๐, for ๐, ๐ โ ๐บ, define ๐ โ ๐ = ๐ฆ๐ข๐ง ๐, ๐ . Verify
whether ๐บ,โ is a Monoid assuming that โ is associative.
d
a b
e
c
3
Solution:
The identity element is ๐ = 100 exists. Since for ๐ฅ โ ๐, min ๐ฅ, 100 = ๐ฅ โ ๐ฅ โ 100 = ๐ฅ, โ ๐ฅ โ ๐
โด ๐,โ is a Monoid.
10. If ๐ฏ is a subgroup of the group ๐ฎ, among the right cosets of ๐ฏ in ๐ฎ, prove that there is only
one subgroup ๐ฏ.
Solution:
Let ๐ป๐ be a right coset of ๐ป in ๐บ where ๐ โ ๐บ. If ๐ป๐ is a subgroup of ๐บ,
Then ๐ โ ๐ป๐, where ๐ is the identity element in ๐บ. ๐ป๐ is an equivalence class containing a with
respect to an equivalence relation.
โด ๐ โ ๐ป โ ๐ป๐ = ๐ป๐. But ๐ป๐ = ๐ป
โด ๐ป๐ = ๐ป. This shows ๐ป is only subgroup.
Part-B (๐ ร ๐๐ = ๐๐)
11. (a)(i) Prove that ๐ท โ ๐ธ โง ๐ธ โ ๐น โ ๐ท โ ๐น
Solution:
To prove ๐: ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ is a Tautology.
๐ท ๐ธ ๐น ๐ท โ ๐ธ ๐ธ โ ๐น ๐ท โ ๐น ๐ท โ ๐ธ โง ๐ธ โ ๐น ๐บ
F F F T T T T T
F T F T F T F T
T F F F T F F T
T T F T F F F T
F F T T T T T T
F T T T T T T T
T F T F T T F T
T T T T T T T T
โด ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ is a Tautology
โด ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐
(ii) Find the principal conjunctive and principal disjunctive normal forms of the formula
๐บ โ ๐ท โ ๐ธ โง ๐น โง โผ ๐ท โ โผ ๐ธ โงโผ ๐น
Solution:
๐ โ ๐ โ ๐ โง ๐ โง โผ ๐ โ โผ ๐ โงโผ ๐
โ โผ ๐ โจ ๐ โง ๐ โง ๐ โจ โผ ๐ โงโผ ๐
โ โผ ๐ โจ ๐ โง โผ ๐ โจ ๐ โง ๐ โจโผ ๐ โง ๐ โจโผ ๐ ๐ค๐๐๐๐ ๐๐ ๐ถ๐๐น
โ โผ ๐ โจ ๐ โจ ๐น โง โผ ๐ โจ ๐น โจ ๐ โง ๐ โจโผ ๐ โจ ๐น โง ๐ โจ ๐น โจโผ ๐
โ โผ ๐ โจ ๐ โจ ๐ โงโผ ๐ โง โผ ๐ โจ ๐ โงโผ ๐ โจ ๐ โง ๐ โจโผ ๐ โจ ๐ โงโผ ๐
โง ๐ โจ ๐ โงโผ ๐ โจโผ ๐
โ โผ ๐ โจ ๐ โจ ๐ โง โผ ๐ โจ ๐ โจโผ ๐ โง โผ ๐ โจ ๐ โจ ๐ โง โผ ๐ โจโผ ๐ โจ ๐ โง ๐ โจโผ ๐ โจ ๐
โง ๐ โจโผ ๐ โจโผ ๐ โง ๐ โจ ๐ โจโผ ๐ โง ๐ โจโผ ๐ โจโผ ๐
โ โผ ๐ โจ ๐ โจ ๐ โง โผ ๐ โจ ๐ โจโผ ๐ โง โผ ๐ โจโผ ๐ โจ ๐ โง ๐ โจโผ ๐ โจ ๐
โง ๐ โจโผ ๐ โจโผ ๐ โง ๐ โจ ๐ โจโผ ๐ ๐ค๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ถ๐๐น.
โผ ๐ โก ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ฅ ๐ก๐๐๐๐
4
โผ ๐ โก ๐ โจ ๐ โจ ๐ โง โผ ๐ โจโผ ๐ โจโผ ๐
โผโผ ๐ โกโผ ๐ โจ ๐ โจ ๐ โง โผ ๐ โจโผ ๐ โจโผ ๐
๐ โก ๐ โง ๐ โง ๐ โจ โผ ๐ โงโผ ๐ โงโผ ๐ ๐ค๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ท๐๐น.
(b) (i) Using conditional proof, prove that
โผ ๐ท โจ ๐ธ, โผ ๐ธ โจ ๐น, ๐น โ ๐บ โ ๐ท โ ๐บ
Solution:
๐) โผ ๐ โจ ๐ ๐ ๐ข๐๐ ๐
๐๐) โผ ๐ โจ ๐ ๐ ๐ข๐๐ ๐
๐๐๐) ๐ โ ๐ ๐ ๐ข๐๐ ๐
๐๐ฃ) ๐ ๐ ๐ข๐๐ ๐ด๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐
๐ฃ) ๐ ๐ ๐ข๐๐ ๐, ๐, ๐๐ฃ ๐๐๐ ๐ท๐๐ ๐๐ข๐๐๐ก๐๐ฃ๐ ๐๐ฆ๐๐๐๐๐๐ ๐
๐ฃ๐) ๐ ๐ ๐ข๐๐ ๐, ๐๐, ๐ฃ ๐๐๐ ๐ท๐๐ ๐๐ข๐๐๐ก๐๐ฃ๐ ๐๐ฆ๐๐๐๐๐๐ ๐
๐ฃ๐๐) ๐ ๐ ๐ข๐๐ ๐, ๐๐๐, ๐ฃ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ข๐ ๐๐๐๐๐๐
๐ฃ๐๐๐) ๐ โ ๐ ๐ ๐ข๐๐ ๐ถ๐
(ii) By using truth tables, verify whether the following specifications are consistent; โWhenever
the system software is being upgraded users cannot access the file system. If users can access the
file system, then they can save new files. If users cannot save new files then the system software
is not being upgraded.
Solution:
Let P represents the system software is being upgraded.
Let Q represents users can access the file system.
Let R represents users can save the file.
๐ โโผ ๐, ๐ โ ๐ , โผ ๐ โโผ ๐
Let ๐ = ๐ โโผ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ( โผ ๐ โโผ ๐)
๐ท ๐ธ ๐น โผ ๐ท โผ ๐ธ โผ ๐น ๐ท โโผ ๐ธ ๐ธ โ ๐น โผ ๐น โโผ ๐ท ๐บ
F F F T T T T T T T
F T F T F T T F T F
T F F F T T T T F F
T T F F F T F F F F
F F T T T F T T T T
F T T T F F T T T T
T F T F T F T T T T
T T T F F F F T T F
From the truth table, ๐ has the truth value ๐ whenever all premises are assigned the truth value ๐.
โด The premises are consistent.
12.(a)(i) Use indirect method of proof to show that
๐ ๐ท ๐ โจ ๐ธ ๐ โ ๐ ๐ท ๐ โจ โ๐ ๐ธ ๐
Solution:
Let us assume that ยฌ ๐ฅ ๐ ๐ฅ โจ (โ๐ฅ)๐(๐ฅ) as additional premise
1. ยฌ ๐ฅ ๐ ๐ฅ โจ โ๐ฅ ๐ ๐ฅ ๐ด๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐
5
2. ยฌ ๐ฅ ๐ ๐ฅ โง ยฌ โ๐ฅ ๐ ๐ฅ 1, ๐ท๐ ๐๐๐๐๐๐โฒ๐ ๐๐๐ค
3. ยฌ ๐ฅ ๐ ๐ฅ ๐ ๐ข๐๐ ๐, 2
4. โ๐ฅ ยฌ ๐ ๐ฅ 3, ๐ท๐ ๐๐๐๐๐๐โฒ๐ ๐๐๐ค
5. ยฌ ๐ ๐ ๐ ๐ข๐๐ ๐ธ๐, 4
6. ยฌ โ๐ฅ ๐ ๐ฅ ๐ ๐ข๐๐ ๐, 2
7. ๐ฅ ยฌ ๐ ๐ฅ 6, ๐ท๐ ๐๐๐๐๐๐โฒ๐ ๐๐๐ค
8. ยฌ๐ ๐ ๐ ๐ข๐๐ ๐๐, 7
9. ยฌ ๐ ๐ โง ยฌ๐ ๐ 5,8, ๐๐๐๐๐ข๐๐๐ก๐๐๐
10. ยฌ ๐ ๐ โจ ๐ ๐ 9, ๐ท๐ ๐๐๐๐๐๐โฒ๐ ๐๐๐ค
11. (๐ฅ) (๐ ๐ฅ โจ (๐(๐ฅ)) ๐ ๐ข๐๐ ๐
12. ๐ ๐ โจ ๐ ๐ ๐ ๐ข๐๐ ๐๐, 11
13. ยฌ ๐ ๐ โจ ๐ ๐ โง ๐ ๐ โจ ๐ ๐ 11,12, ๐๐๐๐๐ข๐๐๐ก๐๐๐
14. ๐น ๐ ๐ข๐๐ ๐, 13
โด By the method of contradiction
๐ฅ ๐ ๐ฅ โจ ๐ ๐ฅ โ ๐ฅ ๐ ๐ฅ โจ โ๐ฅ ๐ ๐ฅ
(ii) Prove that โ๐ ๐ท ๐ โ ๐ ๐ธ ๐ โ ๐ ๐ท ๐ โ ๐ธ(๐)
Solution:
1. โ๐ฅ ๐ ๐ฅ โ ๐ฅ ๐ ๐ฅ ๐ ๐ข๐๐ ๐
2. ยฌ โ๐ฅ ๐ ๐ฅ โจ ๐ฅ ๐ ๐ฅ ๐ ๐ข๐๐ ๐, ๐๐๐๐๐ข๐๐ก๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐ก๐๐๐
3. ๐ฅ ยฌ๐ ๐ฅ โจ ๐ฅ ๐ ๐ฅ ๐ ๐ข๐๐ ๐, 2
4. (ยฌ๐ ๐ โจ ๐(๐)) ๐ ๐ข๐๐ ๐๐
5. ๐ ๐ โ ๐(๐) ๐ ๐ข๐๐ ๐, 2, ๐๐๐๐๐ข๐๐ก๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐ก๐๐๐
6. ๐ฅ ๐ ๐ฅ โ ๐(๐ฅ) ๐ ๐ข๐๐ ๐๐บ
(b) (i) Use conditional proof to prove that
๐ ๐ท ๐ โ ๐ธ(๐) โ ๐ ๐ท ๐ โ ๐ ๐ธ ๐
Solution:
1. ๐ฅ ๐(๐ฅ) ๐ด๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐
2. ๐ฅ ๐ ๐ฅ โ ๐(๐ฅ) ๐ ๐ข๐๐ ๐
3. ๐ ๐ โ ๐ ๐ ๐ ๐ข๐๐ ๐๐, 2
4. ๐ ๐ ๐ ๐ข๐๐ ๐๐, 1
5. ๐ ๐ ๐ ๐ข๐๐ ๐, 3,4, ๐๐๐๐ข๐ ๐๐๐๐๐๐
6. ๐ฅ ๐ ๐ฅ ๐ ๐ข๐๐ ๐๐บ ,5
7. ๐ฅ ๐ ๐ฅ โ ๐ฅ ๐ ๐ฅ ๐ ๐ข๐๐ ๐ถ๐
(ii) Prove that โ๐ ๐จ ๐ โจ ๐ฉ(๐) โ โ๐ ๐จ ๐ โจ โ๐ ๐ฉ(๐)
Solution:
Let us assume that ยฌ โ๐ฅ ๐ด ๐ฅ โจ (โ๐ฅ)๐ต(๐ฅ) as additional premise
1. ยฌ โ๐ฅ ๐ด ๐ฅ โจ (โ๐ฅ)๐ต(๐ฅ) ๐ด๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐
2. ยฌ โ๐ฅ ๐ด ๐ฅ โง ยฌ(โ๐ฅ)๐ต(๐ฅ) 1, ๐ท๐ ๐๐๐๐๐๐โฒ๐ ๐๐๐ค
3. ๐ฅ ยฌ๐ด ๐ฅ โง (๐ฅ)ยฌ๐ต(๐ฅ) 2, ๐ท๐ ๐๐๐๐๐๐โฒ๐ ๐๐๐ค
4. ยฌ๐ด ๐ โง ยฌ๐ต(๐) ๐ ๐ข๐๐ ๐๐, 3
5. ยฌ ๐ด ๐ โจ ๐ต(๐) 4, ๐ท๐ ๐๐๐๐๐๐โฒ๐ ๐๐๐ค
6. (โ๐ฅ)(๐ด ๐ฅ โจ ๐ต(๐ฅ)) ๐ ๐ข๐๐ ๐
7. ๐ด ๐ โจ ๐ต(๐) ๐ ๐ข๐๐ ๐ธ๐, 6
6
8. ยฌ ๐ด ๐ โจ ๐ต(๐) โง ๐ด ๐ โจ ๐ต(๐) 5,7, ๐๐๐๐๐ข๐๐๐ก๐๐๐
9. ๐น ๐ ๐ข๐๐ ๐, 8 ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐๐ ๐๐๐ค
โด By the method of contradiction
โ๐ฅ ๐ด ๐ฅ โจ ๐ต(๐ฅ) โ โ๐ฅ ๐ด ๐ฅ โจ โ๐ฅ ๐ต(๐ฅ)
13.(a)(i) Prove that distinct equivalence classes are disjoint.
Solution:
Let ๐ be an equivalence relation defined on set ๐.
Let ๐ฅ ๐ , ๐ฆ ๐ are two distinct equivalence classes on ๐
i.e., ๐ฅ๐ ๐ฆ
Let us assume that there is at least one element ๐ง โ ๐ฅ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ง โ ๐ฆ ๐
i.e., ๐ฅ๐ ๐ง ๐๐๐ ๐ฆ๐ ๐ง โ ๐ง๐ ๐ฆ(๐ต๐ฆ ๐ ๐ฆ๐๐๐๐ก๐๐๐)
โด ๐ฅ๐ ๐ง ๐๐๐ ๐ง๐ ๐ฆโ๐ฅ๐ ๐ฆ(๐ต๐ฆ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ก๐๐ฃ๐๐ก๐ฆ)
Which is a contradiction.
๐ฅ ๐ โฉ ๐ฆ ๐ = โ
โดDistinct equivalence classes are disjoint.
(ii) In a Lattice show that ๐ โค ๐ and ๐ โค ๐ implies ๐ โ ๐ โค ๐ โ ๐ .
Solution:
For any ๐, ๐, ๐ โ ๐ฟ
If ๐ ๐โ๐ โ ๐ โค ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ โค ๐ โ ๐ โฆ 1 (๐ต๐ฆ ๐ถ๐๐๐๐ข๐ก๐๐ก๐๐ฃ๐ ๐๐๐ค)
For any ๐, ๐, ๐ โ ๐ฟ
If ๐ ๐โ๐ โ ๐ โค ๐ โ ๐ โฆ (2)
From (1) and (2) we get
๐ โ ๐ ๐ โ ๐
(iii) In a distributive Lattice prove that ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ and ๐โจ๐ = ๐โจ๐ implies that ๐ = ๐.
Solution:
๐ โ ๐ โจ๐ = ๐ โ ๐ โจ๐ = ๐ โฆ 1 ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐๐ ๐๐๐ค
๐ โ ๐ โจ๐ = ๐โจ๐ โ ๐โจ๐ ๐ท๐๐ ๐ก๐๐๐๐ข๐ก๐๐ฃ๐ ๐๐๐ค
= ๐โจ๐ โ ๐โจ๐ = ๐โจ๐ โ ๐โจ๐ ๐โจ๐ = ๐ โจ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ข๐ก๐๐ก๐๐ฃ๐ ๐๐๐ค
= ๐ โ ๐ โจ๐ = ๐ โ ๐ โจ๐ = ๐โฆ (2) ๐ท๐๐ ๐ก๐๐๐๐ข๐ก๐๐ฃ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐๐ ๐๐๐ค
From (1) and (2) we get,
๐ = ๐
(b) (i) Let ๐ท = ๐, ๐ , ๐,๐ , ๐ be a partition of the set ๐บ = ๐, ๐,๐,๐, ๐ . Construct an
equivalence classes with respect to ๐น are precisely the members of ๐ท.
Solution:
Let ๐ = 1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 2, 2 , 3, 3 , 3, 4 , 4, 3 , 4, 4 , 5, 5
Since 1, 1 , 2, 2 , 3, 3 , 4, 4 , 5, 5 โ ๐
โด ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ฅ๐๐ฃ๐
๐น๐๐ 1, 2 , 3,4 โ ๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ 2, 1 , 4, 3 โ ๐
โด ๐ ๐๐ ๐๐ฆ๐๐๐๐ก๐๐๐
7
๐น๐๐ 1, 2 ๐๐๐ 2,1 โ ๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ 1, 1 โ ๐
๐น๐๐ 2, 1 ๐๐๐ 1,2 โ ๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ 2, 2 โ ๐
๐น๐๐ 3, 4 ๐๐๐ 4,3 โ ๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ 3, 3 โ ๐
๐น๐๐ 4, 3 ๐๐๐ 3,4 โ ๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ 4, 4 โ ๐
โด ๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ก๐๐ฃ๐
โด ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐๐
1 ๐ = 1,2 , 3 ๐ = 3,4 , 5 ๐ = 5
Equivalence classes with respect to ๐ = 1 ๐ , 3 ๐ , 5 ๐
The equivalence classes with respect to ๐ are precisely the members of ๐
(ii) Show that a chain with three of more elements is not complemented.
Solution:
Let ๐ฟ be a chain with 0 and 1. Let ๐ < ๐ < 1.
We show that โฒ๐โฒ has no element in ๐ฟ.
Let ๐ โ ๐ฟ and ๐ be a complement to ๐.
โด ๐ โ ๐ = 0 and ๐โจ ๐ = 1
Since ๐ฟ is a chain, either ๐ โค ๐ or ๐ โค ๐
If ๐ โค ๐, then 0 = ๐ โ ๐ = ๐. But ๐ > 0
Also if ๐ โค ๐, then 1 = ๐โจ๐ = ๐. But ๐ < 1
โด ๐ has no complement.
(iii) Establish DeMorganโs laws in a Boolean Algebra.
Solution:
(๐ โ ๐) โฒ = ๐โฒ โ ๐โฒ, โ ๐, ๐ ๐ฟ
๐ โ ๐ โ ๐โฒ โ๐โฒ = ๐ โ ๐โฒ โ ๐โฒ โ ๐ โ ๐โฒ โ ๐โฒ
= ๐ โ ๐โฒ โ ๐โฒ โ ๐โฒ โ๐โฒ โ ๐
= ๐ โ ๐โฒ โ ๐โฒ โ ๐โฒ โ ๐โฒ โ ๐
= 1 โ๐โฒ โ ๐โฒ โ 1 = 1 โ 1
๐ โ ๐ โ ๐โฒ โ ๐โฒ = 1 โฆ (1)
๐ โ ๐ โ ๐โฒ โ ๐โฒ = ๐ โ ๐ โ ๐โฒ โ ๐ โ ๐ โ ๐โฒ
= ๐ โ ๐ โ ๐โฒ โ ๐ โ ๐ โ ๐โฒ
= ๐ โ ๐ โ ๐โฒ โ ๐ โ ๐ โ ๐โฒ
= ๐ โ 0 โ ๐ โ 0 = 0 โ 0
๐ โ ๐ โ ๐โฒ โ ๐โฒ = 0 โฆ (2)
๐น๐๐๐ 1 ๐๐๐ 2 ๐ค๐ ๐๐๐ก,
๐ โ ๐ โฒ = ๐โฒ โ๐โฒ
By duality, ๐ โ ๐ โฒ = ๐โฒ โ ๐โฒ
14.(a)(i) Find all mappings from ๐จ = ๐,๐,๐ to ๐ฉ = ๐,๐ . Find which of them are one-to-one and
which are onto.
8
Solution:
None of the above mappings are one-to-one. (i) and (viii) are not onto mapping but the remaining
mappings are onto.
(ii) If ๐ = ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
๐๐ and ๐ =
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
๐๐ , are permutations, prove that
๐ โ ๐ โ๐ = ๐โ๐ โ ๐โ๐
Solution:
๐ โ ๐ = 1 2 34 3 2
41 โฆ (1)
๐โ1 = 1 2 33 2 1
44
๐โ1 = 1 2 34 1 2
43
๐โ1 โ ๐โ1 = 1 2 34 3 2
41 โฆ (2)
From (1) and (2), we get
๐ โ ๐ โ1 = ๐โ1 โ ๐โ1
(iii) If R denotes the set of real numbers and ๐: ๐น โ ๐น is given by ๐ ๐ = ๐๐ โ ๐, find ๐โ๐.
Solution:
๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฆ โ ๐ฅ3 โ 2 = ๐ฆ3 โ 2 โ ๐ฅ3 = ๐ฆ3 โ ๐ฅ = ๐ฆ
โด ๐ is one to one.
A B
3
2
1
5
4
B A
i) ii)
B A
B A B A B A
B A B A
iii)
iv) v) vi)
vii) viii)
1
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2 2
2 2
3
4
5 3
4
5
3
4
5 3
4
5 3
4
5
3
4
5 3
4
5
9
Let ๐ฆ โ ๐ .
๐ ๐ฅ = ๐ฆ โ ๐ฅ3 โ 2 = ๐ฆ โ ๐ฅ3 = ๐ฆ + 2 โ ๐ฅ = ๐ฆ + 2 13
Therefore for every image in R there is a pre-image in R.
โด ๐ is onto.
โด ๐โ1 exists.
๐โ1 ๐ฆ = ๐ฆ + 2 13
14.(b) (i) If ๐+ denote the set of positive integers and ๐ denote the set of integers. Let ๐: ๐+ โ ๐
be defined by
๐(๐) =
๐
๐ , ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐
๐โ๐
๐, ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐
. Prove that ๐ is a bijection and find ๐โ๐.
Solution:
To prove ๐ is one to one:
โ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐+
Case: 1 when ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฆ ๐๐๐ ๐๐ฃ๐๐
๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฆ โ๐ฅ
2=
๐ฆ
2โ ๐ฅ = ๐ฆ
Case: 2 when ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฆ ๐๐๐ ๐๐๐
๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฆ โ1 โ ๐ฅ
2=
1 โ ๐ฆ
2โ 1 โ ๐ฅ = 1 โ ๐ฆ โ ๐ฅ = ๐ฆ
โด From case: 1 and case: 2, ๐ is one to one.
To prove ๐ is onto:
๐๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ ๐๐ฃ๐๐
Let ๐ฆ =๐ฅ
2โ๐ฅ = 2๐ฆ
โ๐ฅ โ ๐, ๐ฅ = ๐ 2๐ฅ
โด โ๐ฅ โ ๐, ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ 2๐ฅ โ ๐+
๐๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ ๐๐๐
Let ๐ฆ =1โ๐ฅ
2โ1 โ ๐ฅ = 2๐ฆโ๐ฅ = 1 โ 2๐ฆ
โ๐ฅ โ ๐, ๐ฅ = ๐(1 โ 2๐ฅ)
โด โ๐ฅ โ ๐, ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ 1 โ 2๐ฅ โ ๐+
Every element has unique pre-image
โด ๐ is onto
โด ๐ is bijection โ ๐โ1 exists.
๐๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ ๐๐ฃ๐๐
Let ๐ฆ =๐ฅ
2โ๐ฅ = ๐โ1 ๐ฆ = 2๐ฆ
๐๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ ๐๐๐
Let ๐ฆ =1โ๐ฅ
2โ1 โ ๐ฅ = 2๐ฆโ๐ฅ = ๐โ1 ๐ฆ = 1 โ 2๐ฆ
๐โ1(๐) = 2๐ , ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ฃ๐๐
1 โ 2๐, ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐
10
(ii) Let ๐จ, ๐ฉ and ๐ช be any three non empty sets. Let ๐:๐จ โ ๐ฉ and ๐: ๐ฉ โ ๐ช be mappings. If ๐ and
๐ are onto, prove that ๐ โ ๐: ๐จ โ ๐ช is onto. Also give an example to show that ๐ โ ๐ may be onto
but both f and g need not be onto.
Solution:
Since ๐ โถ ๐ด โ ๐ต is onto
๐ ๐ฅ = ๐ฆ, โ๐ฅ โ ๐ด ๐๐๐ ๐ฆ โ ๐ตโฆ (1)
Since ๐ โถ ๐ต โ ๐ถ is onto
๐ ๐ฆ = ๐ง, โ๐ง โ ๐ถ ๐๐๐ ๐ฆ โ ๐ตโฆ (2)
โ๐ฅ โ ๐ด, ๐๐๐ ๐ฅ = ๐ ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฆ = ๐ง [๐๐๐๐ 1 ๐๐๐ 2 ]
โด โ๐ง โ ๐ถ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ฅ๐๐ ๐ก๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฅ โ ๐ด ๐ ๐ข๐๐ ๐ก๐๐๐ก ๐๐๐ ๐ฅ = ๐ง
โด ๐๐๐ โถ ๐ด โ ๐ถ is onto
For example
Let ๐ด = 1, 2 , ๐ต = ๐, ๐, ๐ ๐๐๐ ๐ถ = {๐, ๐}
๐ = 1, ๐ , 2, ๐ , ๐ = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐๐๐ 1 = ๐ ๐ 1 = ๐ ๐ = ๐
๐๐๐ 2 = ๐ ๐ 2 = ๐ ๐ = ๐
๐๐๐ = 1, ๐ , 2, ๐
The function ๐ is not onto because ๐ โ ๐ต does not have pre image.
The function ๐ is not onto because every element of ๐ถ have pre image but
it is not unique. ๐ โ ๐ถ ๐๐๐ฃ๐ ๐ก๐ค๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐, ๐ โ ๐ต
The function ๐๐๐ is onto because every element of ๐ถ have pre image and it is unique.
โด ๐ โ ๐ may be onto but both f and g need not be onto.
15.(a)(i) State and prove Lagrangeโs theorem for finite groups.
Statement:
The order of a subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group.
Proof:
Let ๐๐ป and ๐๐ป be two left cosets of the subgroup {๐ป,โ} in the group {๐บ,โ}.
Let the two cosets ๐๐ป and ๐๐ป be not disjoint.
Then let ๐ be an element common to ๐๐ป and ๐๐ป i.e., ๐ โ ๐๐ป โฉ ๐๐ป
โต ๐ โ ๐๐ป, ๐ = ๐ โ ๐1, ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐1 โ ๐ปโฆ (1)
โต ๐ โ ๐๐ป, ๐ = ๐ โ ๐2, ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐2 โ ๐ปโฆ (2)
From (1) and (2), we have
๐ โ ๐1 = ๐ โ ๐2
๐ = ๐ โ ๐2 โ ๐1โ1 โฆ (3)
Let ๐ฅ be an element in ๐๐ป
๐ฅ = ๐ โ ๐3, ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐3 โ ๐ป
= ๐ โ ๐2 โ ๐1โ1 โ ๐3, ๐ข๐ ๐๐๐ (3)
Since H is a subgroup, ๐2 โ ๐1โ1 โ ๐3 โ ๐ป
Hence, (3) means ๐ฅ โ ๐๐ป
Thus, any element in ๐๐ป is also an element in ๐๐ป. โด ๐๐ป โ ๐๐ป
Similarly, we can prove that ๐๐ป โ ๐๐ป
Hence ๐๐ป = ๐๐ป
Thus, if ๐๐ป and ๐๐ป are disjoint, they are identical.
The two cosets ๐๐ป and ๐๐ป are disjoint or identical. โฆ(4)
11
Now every element ๐ โ ๐บ belongs to one and only one left coset of ๐ป in ๐บ,
For,
๐ = ๐๐ โ ๐๐ป, ๐ ๐๐๐๐ ๐ โ ๐ป โ ๐ โ ๐๐ป
๐ โ ๐๐ป, since ๐๐ป and ๐๐ป are disjoint i.e., ๐ belongs to one and only left coset of
๐ป in ๐บ i.e., ๐๐ปโฆ (5)
From (4) and (5), we see that the set of left cosets of ๐ป in ๐บ form the partition of
๐บ. Now let the order of ๐ป be ๐.
Let ๐ป = ๐1,๐2, โฆ , ๐๐ ,๐ค๐๐๐๐ ๐๐ โฒ๐ are distinct
Then ๐๐ป = ๐๐1,๐๐2,โฆ , ๐๐๐
The elements of ๐๐ป are also distinct, for, ๐๐๐ = ๐๐๐ โ ๐๐ = ๐๐ , which is not
true.
Thus ๐ป and ๐๐ป have the same number of elements, namely ๐.
In fact every coset of ๐ป in ๐บ has exactly ๐ elements.
Now let the order of the group {๐บ,โ} be ๐, i.e., there are ๐ elements in ๐บ
Let the number of distinct left cosets of ๐ป in ๐บ be ๐.
โด The total number of elements of all the left cosets = ๐๐ = the total number
of elements of ๐บ. i.e., ๐ = ๐๐
i.e., ๐, the order of ๐ป is adivisor of ๐, the order of ๐บ.
(ii) Find all the non-trivial subgroups of ๐๐, +๐ .
Solution: ๐6 , +6 , ๐ = 0 ๐ข๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ฆ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐ +6 are trivial subgroups
+๐ [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[1] [1] [2] [3] [4] [5] [0]
[2] [2] [3] [4] [5] [0] [1]
[3] [3] [4] [5] [0] [1] [2]
[4] [4] [5] [0] [1] [2] [3]
[5] [5] [0] [1] [2] [3] [4]
๐1 = 0 , 2 , [4]
+๐ [0] [2] [4]
[0] [0] [2] [4]
[2] [2] [4] [0]
[4] [4] [0] [2]
From the above cayleyโs table,
All the elements are closed under the binary operation +๐
Associativity is also true under the binary operation +๐
[0] is the identity element.
Inverse element of [2] is [4] and vise versa
Hence ๐1 = 0 , 2 , [4] is a subgroup of (๐6 , +6)
12
๐2 = 0 , 3
+๐ [0] [3]
[0] [0] [3]
[3] [3] [0]
From the above cayleyโs table,
All the elements are closed under the binary operation +๐
Associativity is also true under the binary operation +๐
[0] is the identity element.
Inverse element of [3] is itself.
Hence ๐2 = 0 , 3 is a subgroup of (๐6 , +6)
Therefore ๐1 = 0 , 2 , [4] and ๐2 = 0 , 3 are non trivial subgroups of (๐6 , +6)
(b) If ๐ฏ =
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
is the parity check matrix, find the Hamming code generated by
H (in which the first three bits represent information portion and the next four bits are parity
check bits). If ๐ = (๐, ๐,๐, ๐,๐, ๐,๐) is the received word find the corresponding transmitted code
word.
Solution:
Here ๐: ๐ต3 โ ๐ต7
๐ป =
0 1 1 1 0 0 01 0 1 0 1 0 01 0 1 0 0 1 01 1 0 0 0 0 1
= ๐ด๐ |๐ผ๐โ๐ = ๐ด๐ |๐ผ4
The generator function is given by
๐บ = ๐ผ๐ |๐ด = ๐ผ3|๐ด = 1 0 00 1 00 0 1
0 1 11 0 01 1 1
110
๐ต3 โก 000, 001, 010, 100,011,101, 110, 111
๐ ๐ค = ๐ค. ๐บ
๐ 000 = 0 0 0 1 0 00 1 00 0 1
0 1 11 0 01 1 1
110 = 0 0 0 0 0 0 0
๐ 001 = 0 0 1 1 0 00 1 00 0 1
0 1 11 0 01 1 1
110 = 0 0 1 1 1 1 0
๐ 010 = 0 1 0 1 0 00 1 00 0 1
0 1 11 0 01 1 1
110 = 0 1 0 1 0 0 1
๐ 100 = 1 0 0 1 0 00 1 00 0 1
0 1 11 0 01 1 1
110 = 1 0 0 0 1 1 1
๐ 011 = 0 1 1 1 0 00 1 00 0 1
0 1 11 0 01 1 1
110 = 0 1 1 0 1 1 1
๐ 101 = 1 0 1 1 0 00 1 00 0 1
0 1 11 0 01 1 1
110 = 1 0 1 1 0 0 1
13
๐ 110 = 1 1 0 1 0 00 1 00 0 1
0 1 11 0 01 1 1
110 = 1 1 0 1 1 1 0
๐ 111 = 1 1 1 1 0 00 1 00 0 1
0 1 11 0 01 1 1
110 = 1 1 1 0 0 0 0
๐ป. ๐ฆ ๐ =
0 1 1 1 0 0 01 0 1 0 1 0 01 0 1 0 0 1 01 1 0 0 0 0 1
0111110
=
1001
๐๐๐๐๐, ๐ก๐๐ ๐ ๐ฆ๐๐๐๐๐๐
1001
๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ข๐๐ ๐๐ ๐ป, ๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ก
๐๐ ๐ก๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ก๐๐๐ ๐๐ ๐ฆ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐.
โด ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ค๐๐๐ ๐๐ 0011110 ๐๐๐ ๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐ 001.