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Ansatz zur Abbildung des Strukturverhaltensvon mechanischen Systemen auf Basis eines

Takagi-Sugeno Systems

B.Sc. Fabio Muratore

30.04.2015

Aufgabenstellung

Titel der Semesterarbeit:

Ansatz zur Abbildung des Strukturverhaltens von mechanischenSystemen auf Basis eines Takagi-Sugeno Systems

Inv.-Nr.: 055-MSAVerfasser: B.Sc. Fabio Muratore Betreuer: Dipl.-Ing. Sebastian J. PieczonaAusgabe: 03.11.2014 Abgabe: 30.04.2015

Ausgangssituation:An einem Punkt eines mechanischen Systems (z.B. einer Werkzeugmaschine) lässtsich das strukturdynamische Schwingungsverhalten anhand eines Nachgiebigkeits-frequenzgangs, der in Form eines Bode-Diagramms beschrieben werden kann, wie-dergeben. Unter Zuhilfenahme weiterer Frequenzgänge an anderen untersuchtenPunkten können Rückschlüsse auf das Schwingungsverhalten der ganzen Maschi-ne gezogen werden. Gegenwärtig wird für einen Reglerentwurf jedoch nur einNachgiebigkeitsfrequenzgang verwendet, wodurch ein Teil des Systemwissens unbe-rücksichtigt bleibt. Der TAKAGI-SUGENO (T-S) Formalismus erlaubt eine erweiterteSystembeschreibung und eignet sich daher zur Verknüpfung mehrerer Nachgiebig-keitsfrequenzgänge in einem dynamischen Modell.

Zielsetzung:Ziel der Semesterarbeit ist die Erarbeitung eines Ansatzes zur Beschreibung desstrukturdynamischen Verhaltens eines mechanischen Systems mithilfe eines T-SSystems. Dabei soll eine Variation des Anregungspunktes sowie des Messpunktesberücksichtigt werden. Zwischen diesen Punkten ist das Verhalten gemäß einesT-S Systems aus einer Systeminterpolation zu ermitteln. Die Funktionsfähigkeit derMethode soll zudem an gemessenen Daten überprüft werden.

I

Aufgabenstellung

Vorgehensweise und Arbeitsmethodik:

• Literaturrecherche zum Stand der Technik• Auswahl einer geeigneten analytischen Modelldarstellungsweise eines

Nachgiebigkeitsfrequenzgangs• Zusammenführung der Frequenzgänge zu einem T-S System• Nachweis am Versuchsstand• Erweiterung der Methode• Dokumentation

Vereinbarung:Mit der Betreuung von Herrn B.Sc. Fabio Muratore durch Herrn Dipl.-Ing. SebastianJ. Pieczona fließt geistiges Eigentum des iwb in diese Arbeit ein. Eine Veröffentli-chung der Arbeit oder eine Weitergabe an Dritte bedarf der Genehmigung durch denLehrstuhlinhaber.Der Archivierung der Arbeit in der iwb-eigenen und nur für iwb-Mitarbeiter zugäng-lichen Bibliothek als Bestand und in der digitalen Studienarbeitsdatenbank des iwbals PDF-Dokument stimme ich zu.

Garching, den 03.11.2014

Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Ing. B.Sc.Michael F. Zäh Sebastian J. Pieczona Fabio Muratore

II

Inhalt

Aufgabenstellung I

Abbildungsverzeichnis V

Tabellenverzeichnis VII

Abkürzungsverzeichnis IX

Formelzeichenverzeichnis XI

Abstract XV

1 Einleitung 11.1 Ausgangssituation und Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Vorgehensweise und Arbeitsmethodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Stand der Technik und Forschung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Theoretische Grundlagen 92.1 Modalanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Einmassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 Mehrmassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3 Experimentelle Ermittlung von Übertragungsfunktionen . . . 182.1.4 Modales Zustandsraummodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Takagi-Sugeno Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Formulierung des anwendungsspezifischen Takagi-Sugeno Systems 393.1 Stabilitätsnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Entwicklung der Zugehörigkeitsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 45

III

Inhalt

4 Anwendung 534.1 Aufbau und Durchführung der Messungen . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Auswertung der Messdaten und Rekonstruktion der

Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Berücksichtigung von Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4 Evaluierung des Ansatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Schlussbetrachtung 775.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Anhang 83A.1 Mathematische Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.1.1 Transformation der Schwingungsdarstellung . . . . . . . . . . 83A.1.2 Zusammenhang der unterschiedlichen Schreibweisen des

Nachgiebigkeitsfrequenzgangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85A.1.3 Eigenwerte der Dynamikmatrix des modalen

Zustandsraummodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86A.2 Ablaufbeschreibung der Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87A.3 Zusätzliche Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88A.4 Beiliegender Datenträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Literaturverzeichnis 95

Eidesstattliche Erklärung 99

IV

Abbildungsverzeichnis

2.1 Einmassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Mehrmassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Skizze der Messsignale bei der Bestimmung einer FRF . . . . . . . . . 192.4 Zeitverläufe verrauschter Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Auto- und Kreuzkorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Auto- und Kreuzleistungsdichtespektrum . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7 Beispielhafte Zugehörigkeitsfunktionen eines Fuzzy-Systems . . . . 37

3.1 Skizze der Testumgebung für die Funktionsprototypen . . . . . . . . 463.2 Zugehörigkeitsfunktionen - Konzept 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3 Zugehörigkeitsfunktionen - Konzept 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4 Zugehörigkeitsfunktionen - Konzept 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5 Zugehörigkeitsfunktionen - Konzept 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1 Fotografie des Messaufbaus 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Rekonstruktion der Punkt-FRF im Frequenzbereich - Amplitudengang 574.3 Rekonstruktion der Punkt-FRF im Frequenzbereich - Phasengang . . 574.4 Rekonstruktion der Punkt-FRF im Zeitbereich - Ausschnitt 1 . . . . . 594.5 Rekonstruktion der Punkt-FRF im Zeitbereich - Ausschnitt 2 . . . . . 594.6 Rekonstruktion einer FRF mit und ohne Residuen im Frequenzbereich 624.7 Rekonstruktion einer FRF mit und ohne Residuen im Zeitbereich . . 624.8 Skizze des Messobjektes Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.9 Beste T-S Näherung der Messreihe Balken . . . . . . . . . . . . . . . . 664.10 Schlechteste T-S Näherung der Messreihe Balken . . . . . . . . . . . . 664.11 Skizze des Messobjektes Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.12 Vergleich mehrerer FRFs mit G_pC_pO(ω) - Mode 6 und 7 . . . . . . 694.13 Vergleich mehrerer FRFs mit G_pC_pO(ω) - Vergrößerung Mode 6 . 694.14 Vergleich der Signale ypC(t), ypA(t) und yK3(t) - Ausschnitt 1 . . . . 754.15 Vergleich der Signale ypC(t), ypA(t) und yK3(t) - Ausschnitt 2 . . . . 75

V

Abbildungsverzeichnis

A.1 Transformation in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.2 CAD-Modell des Messobjektes Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88A.3 CAD-Modell des Messobjektes Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88A.4 Fotografie des Messaufbaus 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89A.5 Fotografie des Messaufbaus 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89A.6 Vergleich der Signale ypC(t), yk1(t) bis yK4(t) - Ausschnitt 1 . . . . . . 90A.7 Vergleich der Signale ypC(t), yk1(t) bis yK4(t) - Ausschnitt 2 . . . . . . 90A.8 Vergleich der Signale ypA(t) bis ypD(t) - Ausschnitt 1 . . . . . . . . . 91A.9 Vergleich der Signale ypA(t) bis ypD(t) - Ausschnitt 2 . . . . . . . . . 91

VI

Tabellenverzeichnis

2.1 Eigenschaften der Korrelationsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1 Symbole und Zahlenwerte der Simulation der Funktionsprototypen 47

4.1 Liste der verwendeten Messkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 Kennwerte der ersten T-S-basierten Approximation im Frequenzbereich 654.4 Kennwerte der ersten T-S-basierten Approximation im Frequenzbereich 684.5 Kennwerte des CFS im Zeitbereich - pC_pO . . . . . . . . . . . . . . . 72

A.1 Kennwerte des CFS im Zeitbereich - pA_pO . . . . . . . . . . . . . . . 92A.2 Kennwerte des CFS im Zeitbereich - pB_pO . . . . . . . . . . . . . . . 92A.3 Kennwerte des CFS im Zeitbereich - pD_pO . . . . . . . . . . . . . . . 93A.4 Kennwerte des CFS im Zeitbereich - pG_pO . . . . . . . . . . . . . . . 93

VII

Abkürzungsverzeichnis

CAD rechnerunterstütztes Konstruieren (engl. computer-aided design)CFS kontinuierliches Fuzzy-System (engl. continuous fuzzy system)DGL Differentialgleichungdof Anzahl der Freiheitsgrade (engl. degrees of freedom)FEM Methode der finiten Elemente (engl. finite element method)FFT schnelle FOURIER-Transformation (engl. fast fourier transform)FRF frequenzabhängige Übertragungsfunktion (engl. frequency response function)LDV Laser-DOPPLER-VibrometerLMI lineare Matrixungleichung (engl. linear matrix inequality)LTI linear und zeitinvariant (engl. linear time-invariant)PT2 proportionales Übertragungsverhalten mit Verzögerung 2. OrdnungRMS Wurzel der quadratischen Abweichungen (engl. root mean square)SNR Signal-Rausch Verhältnis (engl. signal to noise ratio)SISO Eingrößensystemen (engl. single input, single output)T-S TAKAGI-SUGENO; benannt nach TOMOHIRO TAKAGI und MICHIO SUGENO

ZRM Zustandsraummodell

IX

Formelzeichenverzeichnis

Zeichen Menge bzw.Bildmenge

Beschreibung

2.1.1 Einmassenschwinger

m R Masseq(t) R nodale Koordinated R viskose Dämpfungk R Federsteifigkeitf (t) R externe Kraftq R Scheitelwert der Verschiebungs C komplexe Variableωi R i-te ungedämpfte Eigenkreisfrequenzζ R Dämpfungsgrad bzw. LEHR’sches Dämpfungsmaßωd,i R i-te gedämpfte Eigenkreisfrequenzϕ R Phasenversatz

2.1.2 Mehrmassenschwinger

ndo f N Anzahl der Freiheitsgerade des SystemsM Rndo f×ndo f Massenmatrixq(t) Rndo f×1 nodale KoordinatenD Rndo f×ndo f DämpfungsmatrixK Rndo f×ndo f Steifigkeitsmatrixf (t) Rndo f×1 externe Kräftenin N Anzahl der Systemeingängenout N Anzahl der SystemausgängeB Rndo f×nin nodale Eingangsmatrixu(t) Rnin×1 Eingangsvektory(t) Rnout×1 AusgangsvektorC Rnout×ndo f nodale Ausgangsmatrixψi Rndo f×1 i-ter Eigenvektor bzw. i-te Moden N Anzahl der berücksichtigten ModenΨ Rndo f×n Matrix der Eigenvektoren bzw. Modalmatrix

XI


Mm Rn×n modale MassenmatrixKm Rn×n modale SteifigkeitsmatrixDm Rn×n modale DämpfungsmatrixΩ Rn×n Matrix der EigenkreisfrequenzenZ Rn×n Matrix der Dämpfungsgradeφi Rndo f×1 massennormierter i-ter Eigenvektor bzw.

massennormierte i-te ModeΦ Rndo f×n massennormierte Matrix der Eigenvektoren bzw.

massennormierte ModalmatrixI Rn×n Einheitsmatrixqm(t) Rn×1 modale KoordinatenBm Rn×nin modale EingangsmatrixCm Rnout×n modale Ausgangsmatrix

2.1.3 Experimentelle Ermittlung von Übertragungsfunktionen

α(ω) C Nachgiebigkeitsfrequenzgangα(ω) Cnout×nin Matrix der NachgiebigkeitsfrequenzgängeQ(ω) C FOURIER-Transformierte der VerschiebungF(ω) C FOURIER-Transformierte der externen KraftRxx(τ) R AutokorrelationRxy(τ) R KreuzkorrelationSNR R Signal-Rausch VerhältnisP R SignalleistungSx(ω) C AmplitudendichtespektrumSxx(ω) C AutoleistungsdichtespektrumSxy(ω) C KreuzleistungsdichtespektrumG(ω) C ÜbertragungsfunktionG1(ω) C untere Abschätzung der ÜbertragungsfunktionG2(ω) C obere Abschätzung der Übertragungsfunktionγ2(ω) R KohärenzfunktionGgm(ω) C Geometrisches Mittel von ÜbertragungsfunktionenGam(ω) C Arithmetisches Mittel von Übertragungsfunktionen

2.1.4 Modales Zustandsraummodell

x R2n×1 ZustandsraumkoordinatebT

m,i R1×nin i-te Zeile der modalen Eingangsmatrixcm,i Rnout×1 i-te Spalte der modalen Ausgangsmatrix

XII

A R2n×2n Dynamikmatrix des modalen ZustandsraummodellsB R2n×nin Eingangsmatrix des modalen ZustandsraummodellsC Rnout×2n Ausgangsmatrix des modalen ZustandsraummodellsΦZRM R2ndo f×2n massennormierte Modalmatrix des modalen

ZustandsraummodellsI R2n×2n Einheitsmatrix

2.2 Takagi-Sugeno Modellierung

U U (allg.) Grundmengeu U (allg.) Basisvariableµ(u) R (allg.) ZugehörigkeitsfunktionF U, R (allg.) Fuzzy-Menge

3 Formulierung des anwendungsspezifischen Takagi-Sugeno Systems

pe R3 Ortsvektor bzw. Basisvariable des Systemeingangspa R3 Ortsvektor bzw. Basisvariable des SystemausgangsLk R3, R linguistischer Wert des SystemeingangsLj R3, R linguistischer Wert des Systemausgangsnp R Anzahl der Anregungs- und Messpunkter R Anzahl der Regelnwi(pe, pa) R Erfüllungsgrad der i-ten Regelhi(pe, pa)) R normalisierter Erfüllungsgrad der i-ten Regel

3.1 Stabilitätsnachweis

V(x) R LJAPUNOW-FunktionP R2n×2n ZustandsgewichtungsmatrixQ R2n×2n Zustandsgewichtungsmatrix

3.2 Entwicklung der Zugehörigkeitsfunktionen

dIJ R Distanz der Punkte I und JdI R Distanzparameter der Fuzzy-Menge Iκ R Zusatzparameter

4.3 Berücksichtigung von Residuen

RM R Faktor des Massen-ResiduumsRK R Faktor des Steifigkeits-Residuums

XIII


4.4 Evaluierung des Ansatzes

ABSx R lineare Kennzahl für die Abweichung desSignals x von dessen Sollsignal

RMSx R nichtlineare Kennzahl für die Abweichung desSignals x von dessen Sollsignal

yi(t) R Zeitverlauf des Systems i

XIV

Abstract

In this study a novel approach of modelling a mechanical system’s structuralbehaviour is introduced. Therefore TAKAGI-SUGENO formalism is used to inter-polate between measured system parameters.At first, the necessary theoretical background is recalled. In the next step, the dy-namics of the mechanical system are expressed in a specific modal state space rep-resentation, which will be used for the interpolation by TAKAGI-SUGENO Systems.Using this state space model, the stability of an autonomous mechanical system isshown. Further the influence of the fuzzy-logic membership functions, which havebeen developed for this particular purpose, will be examined.After some preinvestigations, the approach is validated by the comparison of mea-sured and calculated system responses. This is done in the frequency as well as in thetime domain. Within the latter it will the found out whether the purposed approachis better than using the next known transfer function and how well the differentmembership functions serve their purpose.Finally conclusions are drawn and ideas for fututre work are purposed.

XV

1 Einleitung

Die Kenntnis des Schwingungsverhaltens eines mechanischen Systems ist in vielfa-cher Hinsicht von entscheidender Bedeutung für den Ingenieur. Durch sie könnenProbleme identifiziert, störende Schwingungen gedämpft und Aussagen über dieStabilität des Systems getroffen werden. Unkontrollierte oder nicht berücksichtigteSchwingungen können zu einer Reihe negativer Effekte führen. Das Beispiel derWerkzeugmaschine zeigt, dass „unausgewogene dynamische Eigenschaften einerMaschine zu Schwingungserscheinungen [führen], deren Folgen außer schlechterOberflächenqualität des Werkstücks und erhöhtem Maschinen- und Werkzeugver-schleiß auch Werkzeugbruch und Beschädigung von Werkstück und Werkzeugma-schine sein können“ (siehe WECK (1990, S. 109)). Wird darüber hinaus beispielhaftdas Automobil betrachtet, so sind Schwingungen im für den Menschen wahrnehm-baren Frequenzbereich maßgeblich für den Komfort und die empfundene Qualitätdes Produkts (vergleiche GENUIT (2010, S. Vf)).Allgemein gesprochen ist das Erreichen des gewünschten Schwingungsverhaltensvon grundlegendem Interesse für jegliche Anwendung im Bereich Maschinenbau.Um dieses zu erhalten bedarf es in erster Linie eines anwendungsspezifischenModells, welches die Wirklichkeit hinreichend genau abbildet. Darauf aufbauendwerden die Bewegungen des mechanischen Systems analysiert und durch Parameterbeschrieben, welche Rückschlüsse zulassen inwieweit das System die erwünschtenEigenschaften besitzt. Der Untersuchungsgegenstand kann anschließend im Hin-blick auf diese Parameter optimiert werden. Das geschilderte Vorgehen ist Teil der(experimentellen) Modalanalyse, welche in dieser Studienarbeit durch eine System-beschreibung mittels Fuzzy-Logik erweitert wird.Die folgenden Abschnitte stecken den Rahmen dieser Semesterarbeit ab und gebenAufschluss über den Ausgangspunkt, die erklärten Ziele sowie das gewählteVorgehen. Ferner wird der Stand der Technik und Forschung dargelegt, wobei einÜberblick über die behandelten Forschungsgebiete gegeben bzw. auf die relevantenVeröffentlichungen eingegangen wird. In diesem Zusammenhang werden insbe-sondere die Differenzen sowie Gemeinsamkeiten zwischen dem hier formuliertenAnsatz und einigen ausgewählten Publikationen erläutert.

1

1 Einleitung

1.1 Ausgangssituation und Zielsetzung

Aus der eingangs erwähnten Notwendigkeit eines adäquaten Modells herauswerden in der vorliegenden Arbeit die bekannten Konzepte der experimentellenModalanalyse und der Fuzzy-Logik miteinander verknüpft.Erstere ist ein, sowohl in der Forschung als auch in der Industrie, probates Mittel umdas Strukturverhalten von mechanischen Systemen zu erfassen und anschließendin sogenannten modalen Parametern auszudrücken. Die Fuzzy-Logik, auchunscharfe Logik genannt, lässt Aussagen über die Zugehörigkeiten von Variablen zu,welche mit der klassischen (BOOLE’schen) Logik unmöglich sind. Darüber hinausermöglichen die, unter den Begriff der Fuzzy-Logik fallenden, TAKAGI-SUGENO (T-S)Systeme die Modellierung von nichtlinearem Systemverhalten durch eine bedin-gungsabhängige Superposition linearer Subsysteme.1

Angestrebtes Ziel dieser Arbeit ist es einen Ansatz zu entwickeln, welcher dasStrukturverhalten linearer mechanischer Systeme durch die T-S Methodik und dieaus der Modalanalyse gewonnenen Parameter beschreibt. Dadurch soll erreichtwerden, dass das Übertragungsverhalten ausgehend von einem frei wählbarenPunkt auf der untersuchten Struktur zu einem anderen beliebigen Punkt durchInterpolation bekannter Übertragungsverhalten angenähert werden kann. Derresultierende Vorteil liegt in einer flächendeckenden Beschreibung des Schwingungs-verhaltens im Vergleich zu den punktweisen Informationen, welche bisher durchdie experimentelle Modalanalyse gegeben sind. Es gilt zu ermitteln ob es möglichist durch dieses Interpolationsverfahren Messungen einzusparen und somit denArbeitsaufwand der Modalanalyse zu reduzieren. Der verfolgte Ansatz soll auf eineraus Sicht der Regelungstechnik vorteilhaften Zustandsraumdarstellung des Systemsaufbauen, welche die modalen Parameter verwendet und somit die Vorzüge dermodalen Systembeschreibung integriert. Diese Darstellungsform wird sich ebenfallsfür eine Stabilitätsuntersuchungen mechanischer Systeme eignen.Bei dem Zusammenspiel aus Modalanalyse und der Modellbildung nachTAKAGI-SUGENO handelt es sich um ein Novum, welches in dieser Form noch nichtuntersucht wurde.

1 In der Fachliteratur wird der Terminus TAKAGI-SUGENO System bzw. Modell häufig als TAKAGI-SUGENO-KANG System bezeichnet. Im Folgenden wird der erstgenannte Ausdruck gewählt, da esTAKAGI und SUGENO waren, welche erstmals diese Form des Systembeschreibung publizierten.Für die detaillierte Klärung der beiden Begriffe sei an dieser Stelle auf TANAKA & WANG (2001,S. 8f) verwiesen.

2

1.2 Vorgehensweise und Arbeitsmethodik

1.2 Vorgehensweise und Arbeitsmethodik

Zu Beginn steht die Zusammenfassung des Forschungsstandes, welche einen Abrissder Entwicklung von Modalanalyse und Fuzzy-Logik gibt sowie im Anschluss aufForschungsbeiträge mit vergleichbaren Ansätzen zur Abbildung des Strukturverhal-tens mechanischer Systeme eingeht. Dabei liegt der Fokus auf den Gemeinsamkeitenbzw. Unterschieden zwischen dieser Arbeit und den ausgewählten Artikeln.Es folgt eine Einführung in die theoretischen Grundlagen, welche alle notwendi-gen Aspekte der Modalanalyse, der Ableitung von Übertragungsfunktionen sowieder T-S Systeme abdeckt. Dieses Kapitel hat den Anspruch einen Einstieg ohnethemenspezifisches Vorwissen zu ermöglichen. Einige Abschnitte werden durchMATLAB-Dateien unterstützt, welche im Anhang A.4 zu finden sind und die jeweili-ge Problemstellung anhand von Beispieldaten aufbereiten.In Kapitel 3 wird auf Basis der Systembeschreibung nach TAKAGI-SUGENO ein kon-tinuierliches Fuzzy-System (CFS) eingeführt, welches vier neuartige Konzepte vonZugehörigkeitsfunktionen beinhaltet. Darüber hinaus wird in diesem Kapitel dieasymptotische Stabilität eines mechanischen Systems unter Verwendung des einge-führten Modells nachgewiesen.Der zentrale Punkt dieser Studienarbeit ist das 4. Kapitel, in welchem der zuvor entwi-ckelte Ansatz an zwei realen mechanischem Systemen getestet wird. Hierfür werdendie Messdaten mithilfe des aus der Modalanalyse bekannten Vorgehens in Formvon Nachgiebigkeitsfrequenzgängen und modalen Systemparametern gespeichert.Vor der Evaluierung des erstellten T-S Systems werden einige Voruntersuchungendurchgeführt, die Auskunft über die zu wählende Modellierungsmethode geben.Ob sich der vorgestellte Ansatz zur Systembeschreibung schwingungsfähiger Kör-per eignet wird durch zwei verscheide Testverfahren geprüft: Zum einen werdendie frequenzabhängigen Übertragungsfunktionen (FRF), welche durch eine T-S Vor-schrift interpoliert wurden, mit denen der gemessenen Kontrolldaten verglichen.Zum anderen werden die gemessenen Schwingungsverläufe denen des modalenZustandsraummodells (ZRM) gegenübergestellt, dessen Parameter zuvor aus denKontrolldaten extrahiert wurden.Den Schluss bildet die Evaluierung, welche einerseits überprüft inwieweit dieeingangs gesteckten Ziele erreicht wurden und andererseits die Möglichkeitensowie Grenzen des Ansatzes aufzeigt. Abschließend steht ein Ausblick auf möglichezukünftige Forschungsprojekte.

3

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1 Einleitung

1.3 Stand der Technik und Forschung

Bei der Modalanalyse (engl. modal testing) handelt es sich um ein Forschungsgebiet,welches laut EWINS (1995, S. 2) bereits seit Mitte des letzten Jahrhunderts großeBeachtung findet. Ziel dieser Analysemethode ist die Beschreibung von Schwingun-gen bzw. Vibrationen durch ein mathematisches Modell. Da dieses in der Regel aufexperimentell erhobenen Parametern aufbaut, ist häufig von experimenteller Modal-analyse die Rede. In EWINS (1995, S. 3ff) wird ebenfalls erwähnt, dass die Ergebnissefür die Vorhersage von Schwingungsverhalten oder zur Validierung bestehenderFEM-Modelle eingesetzt werden können. Dies sind zwei der Gründe, weshalb dieexperimentelle Modalanalyse in der Forschung sowie in der Industrie eingesetzt wirdund mittlerweile zum Stand der Technik gehört. Bekannte Anwendungsgebiete sinddie in EWINS (1995) bzw. WECK (1990) angesprochene Entwicklung von Flugzeugensowie Werkzeugmaschinen.Durch die in der Vergangenheit betriebene Forschung stehen heute eine Reihe vonStandardwerken zur Verfügung, welche sowohl die Grundlagen als auch diverseSonderfälle abdecken. Im Bezug auf diese Arbeit sind dabei EWINS (1995), MAIA &MONTALVAO E SILVA (1997), GAWRONSKI (2004) sowie die deutschsprachigen WerkeIRRETIER (2000) und WECK (1990) zu nennen, wobei letzteres auf die Anwendung anWerkzeugmaschinen ausgerichtet ist.

Das Fundament der Fuzzy-Logik wurde durch LOTFI A. ZADEH gelegt, welcher inseinem Aufsatz ZADEH (1965) erstmals eine Theorie der unscharfen Mengen (engl.fuzzy sets) vorstellte. Daraus entwickelte sich die Fuzzy-Logik, welche im deutschenSprachraum auch als unscharfe Logik bekannt ist. Die Popularität dieser Logik er-klärt sich unter anderem durch die Möglichkeit einer mathematischen Modellierungvon Ungenauigkeiten und umgangssprachlichen Formulierungen. Ihr Charakteristi-kum ist die teilweise Zugehörigkeit von Variablen bzw. Zuständen zu sogenanntenFuzzy-Mengen und kann als Verallgemeinerung der zweiwertigen (BOOLE’schen)Logik verstanden werden.Heutzutage ist die Fuzzy-Logik bereits in vielen technischen Produkten des Alltagsintegriert. Ein Paradebeispiel hierfür ist die japanische U-Bahn Sendai, welche mitgroßem Erfolg nahezu vollautomatisch durch einen Fuzzy-Regler gesteuert wird (sie-he CHAOULI (1990)). Die Fuzzy-Logik kann demnach als Stand der Technik bezeich-net werden, ist jedoch gleichzeitig Gegenstand der aktuellen Forschung. Mit Blick aufdas Themengebiet der Werkzeugmaschinen dient JEE & KOREN (2004) als ein Beispiel,welches den Erfolg einer adaptiven Fuzzy-Regelung an einer Fräsmaschine zeigt.

4

1.3 Stand der Technik und Forschung

Das in diesem Beitrag geschilderte Vorgehen beinhaltet eine in Echtzeit erfolgendeAnpassung der Zugehörigkeitsfunktionen auf Basis gemessener und errechneterParameter. Im Vergleich der erreichten Oberflächengüten zeigt sich, dass die vorge-schlagene Methode einem PID-Regler überlegen ist.

Ein Meilenstein auf dem Forschungsgebiet der Fuzzy-Logik ist der Artikel TAKAGI

& SUGENO (1985), in welchem die bekannten T-S Systeme eingeführt werden. Sieunterscheiden sich grundsätzlich von den Fuzzy-Systemen nach MAMDANI, da imSchlussfolgerungsteil der Regeln keine unscharfen Mengen stehen, sondern Funk-tionen der Eingangsgrößen. Aufbauend auf dieser Systembeschreibung wurde einegroße Zahl von wissenschaftlichen Beiträgen veröffentlicht, welche verschiedene re-gelungstechnische Anwendungsmöglichkeiten der T-S Modellierung untersuchen.

In B.-S. CHEN et al. (1999) wird erstmals eine H∞-Regelung für nichtlineare Systemevorgestellt, welche auf der Systembeschreibung nach TAKAGI-SUGENO aufbaut.2

Die präsentierte Regelung ist robust gegenüber begrenzten Störeinflüssen und wirddurch das Lösen linearer Matrixungleichungen (LMI) implementiert. Dabei werdendie Ungleichungen mittels SCHUR-Komplement, derart formuliert, dass sie durch dasInnere-Punkte-Verfahren (engl. interior-point algorithm) effizient lösbar sind.3 Anhandeiner quadratischen LJAPUNOW-Funktion wird nachgewiesen, dass der Gleichge-wichtspunkt des resultierenden Systems (global) stabil ist, wobei zusätzlich zu derFuzzy-Regelung ein Fuzzy-Beobachter erstellt wird, welcher die nicht messbarenZustände schätzt. Die Validierung des Ansatzes erfolgt durch die Simulation eines,auf einem steuerbaren Wagen befestigten, inversen Pendels.Sieben Jahre später ist in C.-W. CHEN (2006) ein ähnliches Konzept zu finden, wel-ches auf B.-S. CHEN et al. (1999) aufbaut. Der markanteste Unterschied ist, dass indem erstgenannten Beitrag ein lineares mechanisches System untersucht wird. Dieabschließende Verifikation der Theorie erfolgt ebenfalls durch eine Zeitbereichssi-mulation. Das in B.-S. CHEN et al. (1999) vorgestellte Vorgehen ist auch in C.-W.CHEN et al. (2007) wiederzufinden, jedoch wird dort ein vierstöckiges Gebäude alsUntersuchungsgegenstand herangezogen.

2 Der Begriff H∞-Regelung beschreibt in B.-S. CHEN et al. (1999) eine Regelungsstrategie, bei welcherdie L2-Verstärkung, der Störgrößen auf die Zustände unterhalb eines vorgeschriebenen Zahlen-werts bleibt. Dabei wird die L2-Verstärkung durch das Verhältnis der gewichteten L2-Normen derZustände bzw. der Störgrößen errechnet.

3 Das SCHUR-Komplement K der Matrix M =

[Q SS R

]ist definiert als K = Q− SR−1ST (vergleiche

BOYD (1994, S. 7f)). In der referenzierten Anwendung steht eine Eigenschaft im Vordergrund, beiwelcher aus der positiven Definiertheit von R und K die positive Definiertheit von M folgt.

5

1 Einleitung

Die drei Veröffentlichungen B.-S. CHEN et al. (1999), C.-W. CHEN (2006) und C.-W.CHEN et al. (2007) verfolgen alle das Ziel das Verhalten von mechanischen Systemenüber den T-S Formalismus zu beschreiben. Die signifikanten Unterschiede zu dieserStudienarbeit sind, dass dieses zum einen nur im Zeitbereich analysiert wird undzum anderen nicht über ein modales Zustandsraummodell erreicht wird. Vielmehrgehen die zitierten Forschungsbeiträge von gewöhnlichen (nodalen) Bewegungsglei-chungen aus, welche für die strukturdynamische Untersuchung ungeeignet sind.Daraus leitet sich das Hauptziel dieser Arbeit ab: Eine im Sinne der Strukturdynamikvorteilhaftere (modale) Systembeschreibung, erweitert um die Interpolation mittelsTAKAGI-SUGENO System.

Die größte thematische Kongruenz mit dieser Semesterarbeit weist FERREIRA & LUIZ

DE OLIVEIRA SERRA (2011) auf. Dort werden im Kontext der Luftfahrt die frequenz-abhängigen Übertragungsfunktionen eines, an zwei Nylondrähten aufgehängten,Aluminiumbalkens untersucht. Eingangs wird ein sogenannter fuzzy c-means clus-tering Algorithmus eingesetzt um die Daten in Gruppen zu organisieren, welchenanschließend Zugehörigkeitsfunktionen zugewiesen werden. Die Kernaussage die-ses Artikels ist, dass sich die Amplituden- und Phasenverläufe der geschätzten bzw.interpolierten Übertragungsfunktionen innerhalb von Schranken bewegen, welchedurch die Frequenzgänge des mechanischen Systems aufgestellt werden. Dieser Faktist darauf zurückzuführen, dass es sich bei der durchgeführten Approximation um ei-ne Konvexkombination von Übertragungsfunktionen handelt. Veranschaulicht wirddie Kernaussage durch Fig. 7 in FERREIRA & LUIZ DE OLIVEIRA SERRA (2011).

Zusammenfassend ist zu sagen, dass der aktuelle Forschungsstand trotz einigerthematisch verwandter Beiträge noch keinen Ansatz beinhaltet, wie er in der vorlie-genden Studienarbeit präsentiert wird.

1.4 Notation

Der folgende Abschnitt erläutert die gewählte Notation, welche insbesondere für dieKapitel 3 und 4 von Bedeutung ist. Dabei wird anhand von Beispielen dargelegt, wiesich die Variablennamen ergeben. An dieser Stelle kommt es zu einem Vorgriff aufFachbegriffe, die im Verlauf der Arbeit eingeführt werden.Darüber hinaus wird eine Konvention zur Beschreibung der Definitheit von Matrizenfestgelegt.

6

1.4 Notation

Ein Mess- oder Anregungspunkt wird mit einem Großbuchstaben wie „A“ bezeichnet,wobei die zugehörige Fuzzy-Menge mit „A“ gekennzeichnet wird. Die Benennungeines Ecksystems leitet sich aus der Bezeichnung des Mess- sowie Anregungspunktsab. Beispielsweise steht pA_pO für ein System, bei welchem am Punkt O angeregtund am Punkt A gemessen wurde. Das Präfix „p“ weist hierbei darauf hin, dasses sich um einen Punkt und nicht um eine Fuzzy-Menge handelt. Der Name einerÜbertragungsfunktion setzt sich aus dem des Ecksystems sowie dem Formelzeichenfür Übertragungsfunktionen (G(ω)) zusammen. Die Punkt-FRF des Punktes O lautetsomit G_pO_pO(ω). Für die Untersuchung der Anwendbarkeit des vorgestelltenAnsatzes in Kapitel 4 werden die T-S Näherungen der Übertragungsfunktionenberechnet, welche durch das Suffix „TS“ gekennzeichnet sind.

Die Schreibweise M < 0 sagt aus, dass die Matrix M negativ definit ist, wohingegenM > 0 für eine positiv definite Matrix M steht. Liegt eine semidefinite Matrix M vor,so wird M ≤ 0 bzw. M ≥ 0 geschrieben.

7

2 Theoretische Grundlagen

In diesem Kapitel werden die zugrunde liegenden mathematischen Zusammenhängeder Modalanalyse sowie der TAKAGI-SUGENO Modellierung erläutert. Insbesonderewird unter Verwendung der Modaltransformation ein Zustandsraummodell ein-geführt, welches an die vorliegende Problemstellung angepasst ist. Dieses wirdanschließend als T-S System formuliert um darauf aufbauend in Kapitel 4 den Ansatzzur Abbildung des Strukturverhaltens von mechanischen Systemen zu untersuchen.Die Einführung in die Modalanalyse orientiert sich weitgehend an EWINS (1995),MAIA & MONTALVAO E SILVA (1997) und GAWRONSKI (2004), welche an dieser Stellezusammen mit IRRETIER (2000) als weiterführende Literatur empfohlen werden.Die dargelegte Theorie der T-S Systeme basiert hauptsächlich auf TANAKA & WANG

(2001), PALM et al. (1997), LUTZ & WENDT (2007) und TAKAGI & SUGENO (1985),auf welche als ergänzende Literatur verwiesen wird. Es ist jedoch auf die mitunterdeutlich abweichenden Notationen sowie Begriffe zu achten.4

2.1 Modalanalyse

Ziel der Modalanalyse ist die Beschreibung des dynamischen Verhaltens schwin-gungsfähiger Systeme mit Hilfe der modalen Parameter Eigen(kreis)frequenz, Eigen-vektor bzw. Eigenschwingungsform sowie Dämpfungsgrad.Die experimentelle Modalanalyse kann nach NATKE (1992, Abschnitt 5.2 und 5.3)entwicklungsgeschichtlich in Phasenresonanzverfahren und Phasentrennverfahrenunterteilt werden. Bei ersterem wird angestrebt mit einem oder mehreren abgestimm-ten harmonischen Erregern eine bestimmte Eigenschwingungsform anzuregen. Einbekanntes Beispiel der Phasenresonanzverfahren ist laut NATKE (1992) der Stand-schwingversuch. Die Phasentrennverfahren sind eine heutzutage vielfach angewen-dete Methode, bei welcher die durch eine Anregung hervorgerufenen Schwingungs-antworten zeitlich hintereinander an verschiedenen Messpunkten aufgezeichnetwerden. Aus diesen werden anschließend mittels diskreter FOURIER-Transformation

4 Die in dieser Arbeit verwendete Notation ist in Abschnitt 2.2 dargelegt und entspricht größtenteilsderjenigen aus LUTZ & WENDT (2007).

9


und curve fitting Algorithmen die Frequenzspektren bzw. die modalen Parametererrechnet.5 Dabei wird in dieser Arbeit die Annahme proportional-viskoser Dämp-fung getroffen, wie sie in MAIA & MONTALVAO E SILVA (1997, S. 51f) beschriebenist. Diese häufig verwendete Vereinfachung ist für geringfügige Dämpfung zulässigund wird damit gerechtfertigt, dass die Natur der Dämpfung nur grob abgeschätztwerden kann (GAWRONSKI (2004, S. 19)). Das geschilderte Verfahren ist auch zurIdentifikation nicht proportional gedämpfter Systeme anwendbar, welche jedochnicht Gegenstand der Untersuchungen sind, da sich die ausgewählten mechanischenSysteme durch die Annahme proportional-viskose Dämpfung beschrieben werdenkönnen. Wenn in dieser Studienarbeit von Modalanalyse gesprochen wird, so sinddamit immer die Phasentrennverfahren angesprochen.Ausgehend vom einfachsten schwingungsfähigen System, dem Einmassenschwin-ger, welches ein proportionales Übertragungsverhalten mit Verzögerung 2. Ord-nung (PT2) aufweist, werden in diesem Abschnitt die grundlegenden Zusammen-hänge der Modalanalyse hergeleitet.6 Darauf aufbauend wird die Verallgemeinerungfür Mehrmassenschwinger inklusive jener, für diese Arbeit erstellte, modale Zu-standsraumdarstellung eingeführt.

2.1.1 Einmassenschwinger

m

d

k

q(t)

f (t)

Abbildung 2.1:Einmassenschwinger

Ausgangspunkt ist das in Abbildung 2.1 dargestell-te Modell des Einmassenschwingers mit der Mas-se m, linearer viskoser Dämpfung d, linearer Fe-dersteifigkeit k und der Kraftanregung f (t). Ausdem Kräftegleichgewicht ergibt sich die inhomogeneDifferentialgleichung (DGL) zweiter Ordnung in derräumlichen (nodalen) Koordinate q(t):

mq(t) + dq(t) + kq(t) = f (t). (2.1)

Wie in ARENS et al. (2011, S. 452) beschrieben, besteht die Lösung einer inhomogenenDifferentialgleichung aus der Summe der Lösung der zugehörigen homogenen DGLund der partikulären Lösung der inhomogenen DGL. An dieser Stelle wird die

5 Der englische Begriff curve fitting bezeichnet eine mathematische Optimierungsmethode, welcheeinen vordefinierten Parametersatz derart anpasst, dass die verwendeten Messdaten den geringstenAbstand zu der, durch die Parameter bestimmte, Kurve aufweisen.

6 Im diskreten Zeitbereich sind bereits Systeme mit Verzögerung erster Ordnung schwingungsfähig.Dieser Bereich ist jedoch nicht Teil der vorliegenden Untersuchungen.

10

2.1 Modalanalyse

homogene Lösung der Gl. (2.1) ermittelt, indem f (t) = 0 gesetzt und anschließendder Ansatz q(t) = q est gewählt wird. Hierbei ist s eine komplexwertige Variable undq kann als Scheitelwert von q(t) verstanden werden. Es folgt

(ms2 + ds + k

)q est = 0. (2.2)

Die triviale Lösung est = 0 bleibt hier exkludiert, da das Szenario indem sich derSchwinger nicht bewegt irrelevant ist. Aus der Forderung, dass Gl. (2.2) für alle q est

gelten soll, ergibt sichms2 + ds + k = 0. (2.3)

Die Nullstellen dieser in s quadratischen Gleichung sind

s1,2 = − d2m±√

d2 − 4mk2m

= − d2√

mk

√km± i

√1− d2

4mk

√km

= −ζω± i√

1− ζ2ω

= −ζω± iωd; (2.4)

unter Verwendung der imaginären Einheit i, der ungedämpften Eigenkreisfre-

quenz ω = +(−)

√km , der gedämpften Eigenkreisfrequenz ωd =

√1− ζ2ω sowie des

LEHR’schen Dämpfungsmaßes ζ = d2√

mk.7 8 Ist letzteres größer oder gleich eins,

so ergeben sich rein reelle Nullstellen s1,2, welche zu einer aperiodischen Lösungführen. Dieser Fall wird aus der Betrachtung ausgeschlossen, da für schwingungs-fähige mechanische Systeme laut MAIA & MONTALVAO E SILVA (1997, S. 5) ζ < 1angenommen werden kann.In der englischsprachigen Literatur werden die Frequenzen ω und ωd meist alsnatural frequency bezeichnet (siehe EWINS (1995, Kapitel 2.7.1)). Des Weiteren seierwähnt, dass ein Unterschied zwischen der gedämpften Eigenkreisfrequenz ωd undder Resonanzkreisfrequenz ωres =

√1− 2ζ2 besteht. Nach WECK (1990, S. 111) ist

erstere die Frequenz mit der ein gedämpftes, frei schwingendes System ausklingt,wohingegen letztere den Punkt im Frequenzspektrum markiert, an dem ein Systemmit harmonischer Anregung die maximale dynamische Nachgiebigkeit aufweist.

7 Da negative Frequenzen keine physikalische Interpretation besitzen, wird die negative Lösung derEigenkreisfrequenzen nicht beachtet.

8 Nach der Nomenklatur dieser Semesterarbeit müsste die (un)gedämpfte Eigenkreisfrequenzaus Gl. (2.4) mit ω1 bzw. ωd,1 bezeichnet werden. Dies wird bewusst unterlassen, da derEinmassenschwinger nur eine (un)gedämpfte Eigenkreisfrequenz besitzt.

11


Für den Fall zweier ungleicher, komplexer Nullstellen führt der gewählte Ansatzzusammen mit Gl. (2.4) zu folgender Bewegungsgleichung:

q(t) = c1 es1t +c2 es2t . (2.5)

Die Koeffizienten c1 und c2 sind aus den jeweiligen Anfangsbedingungen der DGL(2.1) abzuleiten. Wie in Anhang A.1.1 beschrieben, kann die Gl. (2.5) zu nachstehen-dem Ausdruck umgeformt werden:

q(t) = e−ζω q cos(ωdt− ϕ) . (2.6)

Hieraus wird ersichtlich, dass die Schwingungen eines Einmassenschwingers, bzw.verallgemeinert die eines PT2-Systems, mittels einer Kosinus-Funktion in Verbin-dung mit der maximalen Amplitude q und dem Phasenversatz ϕ darstellbar sind.Abhängig von der Existenz einer Dämpfung tritt der Term e−ωζ auf, welcher einzeitliches Abklingen der Schwingung zur Folge hat.

2.1.2 Mehrmassenschwinger

Das zuvor dargestellte Modell lässt sich durch eine beliebige (endliche) Anzahl anMassen zu einem Mehrmassenschwingermodell verallgemeinern. Dieses findet mit-unter als Approximation von kontinuierlichen Schwingern Verwendung, indem dieAnzahl der Freiheitsgrade (dof) von unendlich auf einen begrenzten Wert reduziertwird, woraus ein massendiskretisiertes System resultiert. Abbildung 2.2 skizziertbeispielhaft einen Mehrmassenschwinger mit drei Freiheitsgeraden.

f1

q3

k1

d1

k2

d2

k3

d3

m2 m3m1

q2q1

f2 f3

Abbildung 2.2: Mehrmassenschwinger mit drei Freiheitsgeraden

12

2.1 Modalanalyse

Aus der DGL (2.1) entsteht durch Erweiterung auf ndo f gleichartige Differentialglei-chungen folgendes lineares Gleichungssystem:9

Mq + Dq + Kq = f = Bu, (2.7a)

y = Cq. (2.7b)

Hierbei repräsentiert die rechte Seite der Gl. (2.7a) eine Anregung über den Eingangu ∈ Rnin in Verbindung mit der Eingangsmatrix B ∈ Rndo f×nin . Die linke Seite be-schreibt die Zustandsänderung in Abhängigkeit von Massenmatrix M ∈ Rndo f×ndo f ,Dämpfungsmatrix D ∈ Rndo f×ndo f , Steifigkeitsmatrix K ∈ Rndo f×ndo f sowie der Koor-dinaten q ∈ Rndo f bzw. deren zeitlichen Ableitungen. Die anschließende Gl. (2.7b)gibt den Zusammenhang zwischen dem Systemausgang y ∈ Rnout und dem Produktaus der Ausgangsmatrix C ∈ Rnout×ndo f mit dem Koordinatenvektor an. Die Symbolenin und nout stehen dabei für die Anzahl der Ein- bzw. Ausgänge der mechanischenSystems. Ferner wird die Annahme getroffen, dass die im Gleichungssystem (2.7)vorkommenden Matrizen zeitlich konstant sind.Ausgehend von dem Fall ohne äußere Anregung vereinfacht sich Gl. (2.7a) zu

Mq + Dq + Kq = 0. (2.8)

Analog zu dem Vorgehen in Abschnitt 2.1.1 wird der, jetzt vektorielle, Ansatzq = q est in die Gl. (2.8) eingesetzt, sodass sich

(s2M + sD + K

)q = 0 (2.9)

ergibt. Die Lösung dieses komplexwertigen Eigenwertproblems besteht aus 2ndo f

Eigenwerten si, sj sowie 2ndo f zugehörigen Eigenvektoren ψi, ψj mit i = 1, ..., ndo f

und j = ndo f + 1, ..., 2ndo f . Ergänzend zu Ausführungen in dieser Arbeit wird derUnterabschnitt „Viscously damped MDOF systems “ in MAIA & MONTALVAO E SIL-VA (1997, S. 56ff) empfohlen. Aus der Reellwertigkeit aller Einträge von M, D und Kkann, wie in ARENS et al. (2011, S. 602) bewiesen, gefolgert werden, dass im Allge-meinen die Eigenwerte reell sind und die Eigenvektoren als komplex konjugiertesPaar auftreten. Vergleichbar mit Abschnitt 2.1.1 lauten die Eigenwerte

si = −ζiωi + i√

1− ζ2i ωi und sj = −ζ jωj − i

√1− ζ2

j ωj, (2.10)

9 Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird ab dieser Stelle auf die explizite Darstellung der Zeitab-hängigkeit verzichtet.

13


wobei si = s∗i+ndo fbzw. ψi = ψ∗i+ndo f

gilt. Das Aufgliedern des Eigenwertproblemliefert demnach die Gleichungen

(s2

i M + siD + K)

ψi = 0, (2.11a)(

s2j M + sjD + K

)ψj = 0. (2.11b)

Im nächsten Schritt wird Gl. (2.11a) mit ψTj von links multipliziert sowie Gl. (2.11b)

transponiert und anschließend mit ψi von rechts multipliziert.

Unter Berücksichtigung der Symmetrieeigenschaft der Matrizen folgen daraus

ψTj

(s2

i M + siD + K)

ψi = 0, (2.12a)

ψTj

(s2

j M + sjD + K)

ψi = 0. (2.12b)

Die Subtraktion der Gl.en (2.12a) und (2.12b) ergibt

ψTj

((s2

i − s2j )M + (si − sj)D

)ψi = 0, (2.13a)

(si + sj)(si − sj)ψTj Mψi + (si − sj)ψ

Tj Dψi = 0, (2.13b)

(si + sj)ψTj Mψi + ψT

j Dψi = 0, (2.13c)

unter der Bedingung si 6= sj.10 Durch Multiplikation von Gl. (2.12a) mit sj sowie Gl.(2.12b) mit si und anschließender Subtraktion der Zwischenergebnisse kann

ψTj

((s2

i sj − sis2j )M + (sj − si)K

)ψi = 0, (2.14a)

(sisj)(si − sj)ψTj Mψi + (si − sj)ψ

Tj Kψi = 0, (2.14b)

(sisj)ψTj Mψi + ψT

j Kψi = 0 (2.14c)

abgeleitet werden. Dabei bedingt die Division durch (si − sj), analog zu der Bestim-mung von Gl. (2.13c), dass si 6= sj gelten muss. Ohne Beschränkung der Allgemein-heit wird das Eigenwertproblem in den Konstellationen untersucht, bei welchen dieModen i und j ein komplex konjugiertes Paar bilden; demnach j = i + ndo f ist. Somitresultiert aus dem Einsetzen von Gl. (2.10) in Gl. (2.14c)

10 Obige Restriktion ist erfüllt solange ω 6= 0 und ζ 6= 1 gilt. Dies ist für einen schwingendes mechani-sches System wie den Mehrmassenschwinger der Fall; insbesondere wenn die Starrkörperbewegungnicht Gegenstand der Untersuchung ist.

14

2.1 Modalanalyse

(−ωiζi + iωi

√1− ζ2

i

)(−ωiζi − iωi

√1− ζ2

i

)ψ∗

T

i Mψi + ψ∗T

i Kψi = 0, (2.15a)((−ωiζi)

2 −(

iωi

√1− ζ2

i

)2)

ψ∗T

i Mψi + ψ∗T

i Kψi = 0, (2.15b)

(ω2

i ζ2i + ω2

i (1− ζ2i ))

ψ∗T

i Mψi + ψ∗T

i Kψi = 0, (2.15c)

ω2i ψ∗

T

i Mψi + ψ∗T

i Kψi = 0, (2.15d)

ω2i =

ψ∗T

i Kψi

ψ∗T

i Mψi=

ki

mi. (2.15e)

Mit Blick auf Gl. (2.13c) ergibt sich nach Einsetzten von Gl. (2.10)

(−ωiζi + iωi

√1− ζ2

i −ωiζi − iωi

√1− ζ2

i

)ψ∗

T

i Mψi + ψ∗T

i Dψi = 0, (2.16a)

−2ωiζiψ∗T

i Mψi + ψ∗T

i Dψi = 0, (2.16b)

2ωiζi =ψ∗

T

i Dψi

ψ∗T

i Mψi=

di

mi. (2.16c)

Woraus in gleicher Weise wie bei dem Einmassenschwinger ωi = +(−)√

kimi

bzw.

ζi =di

2√

mikihervorgehen. Für die Gleichungen (2.15e) und (2.16c) wurde die Kennt-

nis über die Orthogonalität der Eigenvektoren zu den Systemmatrizen verwendet,welche in EWINS (1995, S. 41f) gezeigt wird. Dieser Eigenschaft zufolge werden dieMatrizen M und K mittels der Modalmatrix

Ψ =[ψ1 . . . ψn

]=

ψ11 · · · ψ1n... . . . ...

ψndo f 1 · · · ψndo f n

(2.17)

der Dimension ndo f × n, mit n ≤ ndo f gleich der Anzahl an berücksichtigten Moden,wie folgt diagonalisiert:

Mm = ΨT MΨ, Km = ΨTKΨ. (2.18)

Hierbei sind die Ergebnisse Matrizen über der Menge Rn×n, welche nur Einträge aufihrer Hauptdiagonalen besitzen. Wird selbige Vorschrift auf die Dämpfungsmatrix Dangewandt, lautet das Ergebnis

Dm = ΨTDΨ, (2.19)

15


was im Allgemeinen keiner diagonalen Matrix entspricht. Um dennoch die vor-teilhafte Diagonalform zu erhalten, wird die Annahme der proportional-viskosenDämpfung getroffen. Eine in EWINS (1995, S. 41) beschriebene Folge dieser Hy-pothese ist, dass die Eigenvektoren des gedämpften Problems gleich denen desungedämpften sind.

Durch die Erkenntnisse aus Gl. (2.15e) und Gl. (2.16c) steht fest, dass die modalenParameter unabhängig von der Anzahl der Freiheitsgrade die selbe Bedeutung habenund auf den Mehrmassenschwinger erweiterbar sind. Dies gilt allgemein und somitauch bei proportional-viskoser Dämpfung. Ergänzend werden an dieser Stelle dieParametermatrizen

Ω =

ω1 0 · · · 0

0 ω2. . . ...

... . . . . . . 00 · · · 0 ωn

, Z =

ζ1 0 · · · 0

0 ζ2. . . ...

... . . . . . . 00 · · · 0 ζn

(2.20)

eingeführt, die lediglich eine Umstrukturierung der erwähnten Parameter darstellen.Des Weiteren wird die massennormierte Modalmatrix Φ ∈ Rndo f×n aus den bekann-ten Eigenvektoren ψr sowie der modalen Masse hergeleitet. Dabei steht der Indexr = 1, ..., n für die jeweilige, in der Modellierung mitberücksichtige, Eigenmode.Gleichbedeutend zu EWINS (1995, S. 41) gehen hier die Vektoren

φr =1√mr

ψr (2.21)

hervor, welche aufgrund der beliebigen Skalierbarkeit von Eigenvektoren ebenfallsLösungen des Eigenwertproblems (2.9) sind. Daraus folgt analog zu Gl. (2.17)

Φ =[φ1 . . . φn

]=

φ11 · · · φ1n... . . . ...

φndo f 1 · · · φndo f n

. (2.22)

Ebenfalls erhalten bleibt die Eigenschaft der Diagonalisierung von M, K und D durchΦ, wobei, wie zuvor bereits diskutiert, die Annahme der proportionalen viskosenDämpfung für die Diagonalisierbarkeit von D entscheidend ist. Bedingt durch denFaktor mit welchem die Vektoren der Eigenmoden multipliziert wurden, ergebensich neue, mit Gl. (2.18) bzw. Gl. (2.19) vergleichbare, Zusammenhänge

16

2.1 Modalanalyse

I = ΦT MΦ, (2.23)

Ω2 = ΦTKΦ, (2.24)

2ZΩ = diag (2ζrωr) = diag(

dr

mr

)= ΦTDΦ, (2.25)

mit I als Einheitsmatrix. Jedes der obigen Ergebnisse stellt eine n× n Matrix dar.Als vorerst letzte Größe wird die modale Verschiebung qm eingeführt, welche derBedingung

q = Φqm (2.26)

genügt. Demzufolge geht die modale Koordinate qm aus einer linearen Zustandstrans-formation der nodalen Koordinate q hervor. Wird diese Transformationsvorschriftin das Gleichungssystem (2.7) eingesetzt und zudem Gl. (2.7a) mit ΦT von linksmultipliziert, resultieren

ΦT MΦqm + ΦTDΦqm + ΦTKΦqm = ΦTBu, (2.27a)

y = CΦqm. (2.27b)

Weiter ergibt sich durch die Anwendung der Beziehungen in Gl. (2.23) bis Gl. (2.25)aus Gl. (2.27a)

Iqm + 2ZΩqm + Ω2qm = ΦTBu. (2.28)

Anschließend gestaltet sich unter Verwendung der Definitionen

Bm = ΦTB, (2.29)

Cm = CΦ, (2.30)

mit Bm ∈ Rn×nin bzw. Cm ∈ Rnout×n das Differentialgleichungssystem (2.27) zu

qm + 2ZΩqm + Ω2qm = Bmu, (2.31a)

y = Cmqm. (2.31b)

Diese Gleichungen stellen die Schwingungsdynamik eines proportional-viskos ge-dämpften mechanischen Struktur bis zur n-ten Eigenfrequenz dar und sind somiteine Approximation der realen Schwingungen. Eine gültige Interpretation des Ergeb-nisses ist, dass das modale Modell des Mehrmassenschwingers als ein System vonentkoppelten Einmassenschwingern verstanden werden kann, wobei hervorzuhebenist, dass es sich um eine Vereinfachung eines kontinuierlichen Schwingers handelt.Eine Berücksichtigung von Nichtlinearitäten oder einem anderen Dämpfungsmodell

17


hätte zur Folge, dass die Formulierung des Schwingungsverhaltens durch das Glei-chungssystem (2.31) nicht mehr haltbar ist; diese stellt jedoch die Dynamik desmodalen Zustandsraummodells in Abschnitt 2.1.4 dar.11 Demnach wird die Annah-me der proportional-viskosen Dämpfung auch für die folgenden Teile der Arbeitgetroffen.

2.1.3 Experimentelle Ermittlung von Übertragungsfunktionen

Die frequenzabhängigen Übertragungsfunktionen bilden den Ausgangspunkt fürdie Betrachtung des dynamischen Systemverhaltens im Frequenzbereich, wodurchsie zu einem zentralen Instrument dieser Studienarbeit werden. Je nach Anwendungist eine frequenzabhängige Übertragungsfunktion (FRF) unterschiedlich definiert. Sowird in MAIA & MONTALVAO E SILVA (1997, S. 38) zwischen

• Akzeleranz bzw. Beschleunigbarkeit (engl. accelerance) A(ω) =Beschleunigung

Kraft ,

• Beweglichkeit (engl. mobility) Y(ω) =Geschwindigkeit

Kraft ,

• Nachgiebigkeit (engl. receptance) α(ω) =Verschiebung

Kraft

und deren Inversen unterscheiden.12 Aus diesen Definitionen ergibt sich

A(ω) = iωY(ω) = −ω2α(ω). (2.32)

Im Allgemeinen sind A(ω), Y(ω) und α(ω) Matrizen, welche ein lineares Übertra-gungsverhalten von einem Eingangsvektor auf einen Ausgangsvektor abbilden. Umdie mathematischen Grundlagen und das prinzipielle Vorgehen zu erläutern genügtjedoch die eindimensionale Betrachtungsweise. Da der Fokus auf den Zusammen-hang zwischen Kraft und Verschiebung liegt, werden die folgenden Untersuchungenanhand des Nachgiebigkeitsfrequenzgangs α(ω) durchgeführt. Unter Verwendungder bisher eingeführten Nomenklatur lautet der Ausgangspunkt

Qj(ω) = αjk(ω)Fk(ω), (2.33)

11 Unter der Annahme eines LTI-Systems ist Vorgehensweise des Abschnitts 2.1.4 auch bei einem alter-nativen Dämpfungsmodell korrekt. Dadurch würden sich jedoch die Einträge der Dynamikmatrixändern, welche auf das Dämpfungsmodell zurückzuführen sind.

12 Der Autor DAVID J. EWINS verwendet anstatt accelerance den Begriff inertance. Dies wird laut NUNO.M. M. MAIA UND JULIO M. MONTALVAO E SILVA nicht empfohlen, da der Ausdruck mit demBegriff acoustic inertance kollidiere und zudem eine falsche Bedeutung impliziere. Dennoch ist dieVerwendung des Terms inertance weit verbreitet.

18

2.1 Modalanalyse

wobei Qj(ω) die FOURIER-Transformierte der Verschiebung am Ausgang j und Fk(ω)

die FOURIER-Transformierte der Kraft am Eingang k ist. Der Ausdruck FOURIER-Transformierte bezeichnet hier das Ergebnis der nach JOSEPH FOURIER benanntendiskreten FOURIER-Transformation, welche Signale vom Zeitbereich in den Frequenz-bereich transformiert. Die Kenntnis der FOURIER-Analyse sowie der Unterschiedezwischen FOURIER-Reihe, kontinuierlicher FOURIER-Transformation und diskreterFOURIER-Transformation werden als Grundkenntnisse vorausgesetzt. Nachlesbarsind diese Grundlagen unter anderem in ARENS et al. (2011, Abschnitt 33.3 bzw.30.4). Ergänzend sei angemerkt, dass vor allem die diskrete FOURIER-Transformation,welche durch den FFT-Algorithmus effizient implementiert wird, zentral für diemoderne Signalverarbeitung ist, da sie eine Umwandlung von zeitdiskreten Signalenermöglicht.

Ausgehend von dem in Abbildung 2.3 dargestellten Modell soll analog zu MAIA

& MONTALVAO E SILVA (1997, S. 102f) der Zusammenhang zwischen der Übertra-gungsfunktion und den sogenannten Leistungsdichtespektren hergeleitet werden.Die Darstellung zeigt, dass sich die gemessenen Ein- und Ausgangssingle e(t) bzw.a(t) sich aus der Summe des idealen („wahren“) Signals und einem Störsignal erge-ben, wobei der Zusammenhang zwischen ew(t) und aw(t) durch die Übertragungs-funktion G(ω) gegeben ist.

ew(t)

m(t)

SystemG(ω)

aw(t)

n(t) a(t)+ + + +

e(t)

Abbildung 2.3: Skizze der Messsignale bei der Bestimmung einer FRF

Um eine FRF aus den zugehörigen Leistungsdichtespektren zu errechnen werdenzuvor noch die notwendigen Begriffe und Formeln eingeführt.

Korrelationsfunktionen

Im Sinne der Signalverarbeitung gibt die Korrelationsfunktion an, wie stark zweiSignale miteinander verwandt sind. Die Definition der kontinuierlichen Korrelati-onsfunktion für zwei reellwertige Signalverläufe x(t), y(t) lautet

19


Rxy(τ) = limT→∞

1T

T2∫

− T2

x(t)y∗(t + τ)dt =

= limT→∞

1T

T2∫

− T2

x(t)y(t + τ)dt = E[x(t)y(t + τ)], (2.34)

wobei T für das betrachtete Zeitintervall und E[·] für den Erwartungswertopera-tor steht. Das Ergebnis Rxy(τ) hängt nicht mehr von der physikalischen Zeit t ab,sondern von der neuen Zeitvariablen τ, welche umgangssprachlich auch als Ver-schiebezeit bezeichnet wird. Gilt x(t) ≡ y(t), so wird das Ergebnis der Gleichung(2.34) Autokorrelationsfunktion Rxx bzw. Ryy genannt; andernfalls heißt es Kreuz-korrelation Rxy.Da bei einer technischen Anwendung der Korrelationsfunktion die Integration überein unendlich langes Zeitintervall unmöglich ist, wird die Ergodizität zur Voraus-setzung für die Berechnung von Rxy.13 Ein Prozess heißt ergodisch, wenn dessenZufallsvariablen, sowohl durch die Mittelung aller Funktionen einer Schar zu einembestimmten Zeitpunkt, als auch durch die zeitliche Mittelung eines Repräsentantender Funktionsschar bestimmbar sind. Ein simples Beispiel ist der Würfelwurf. DerErwartungswert der Augenzahl lässt sich entweder dadurch ermitteln, dass einWürfel n mal geworfen wird (zeitliches Mittel), oder indem n Würfel mit unterschied-lichen Ausgangszuständen geworfen werden (Scharmittel). Weitere Voraussetzungenfür die Errechnung von Rxy sind die Konvergenz des Integrals aus Gl. (2.34) sowiestationäres Verhalten der Zufallsgrößen. Ein uneigentliches Integral über eine be-liebige Funktion f (x) konvergiert, wenn das Integral der Betragswerte | f (x)| einenendlichen Grenzwert ε ∈ R hat:

v∫

u

| f (x)| dx < ε. (2.35)

Dabei gilt u ∈ R bzw. v ∈ R. Der Begriff stationäres Verhalten ist aus der Statistikentnommen und bedeutet, dass die statistischen Kenngrößen der Signalverläufezeitunabhängig sind.

13 In der Praxis werden die Korrelationsfunktionen sowie die Leistungsdichtespektren durch eineFolge von Samples der Messsignale errechnet. Für weitere Informationen zur zeitdiskreten Berech-nung werden PHILLIPS et al. (2008) und MARPLE (1987) empfohlen, wobei bei letzterem Werk aufdie abweichende Konvention zu achten ist.

20

2.1 Modalanalyse

In der Praxis liegen endliche zeitdiskrete Signale vor, wodurch die vorkommendenIntegrale zu endlichen Summen werden. Sowohl die Korrelationsfunktionen als auchdie im Anschluss eingeführten Leistungsdichtespektren besitzen ein zeitdiskretesAnalogon, welches in PHILLIPS et al. (2008, S.660 - S.667) erläutert wird.

Die Abbildungen 2.4 und 2.5 zeigen beispielhaft zwei verrauschte Signalverläufesowie deren Autokorrelations- bzw. Kreuzkorrelationsfunktion. Diese transientenSignale stellen den Eingang e(t) und Ausgang a(t) eines nicht näher spezifizierten,fiktiven Systems dar, welche nach dem in Abbildung 2.3 skizzierten Schema erfasstwurden. Im letztgenannten Bild wird zur leichteren Unterscheidung der Verläufe dasunskalierte Ergebnis der Korrelationsfunktionen verwendet. Bei dem überlagertenRauschsignalen handelt es sich um normalverteiltes, weißes Rauschen mit einemSignal-Rausch Verhältnis (SNR) von SNRe ≈ 72, 6 bzw. SNRa ≈ 46, 0, wobei diesesals Verhältnis der quadratischen Effektivwerte definiert wurde:14

SNRx =x(t)2

e f f ,Signal

x(t)2e f f ,Rauschen

, (2.36)

mit x(t)e f f ,Signal als Effektivwert eines (verrauschten) Signals bzw. x(t)e f f ,Rauschen alsEffektivwert der Störung.15 Ein Vorteil der Korrelationsanalyse ist, dass sich, wiehier in Abbildung 2.5, die Totzeit tT von 3 Zeiteinheiten sowie der Skalierungsfaktorc = 0, 8 deutlich leichter herauslesen lässt, als in den Zeitverläufen aus Abbildung 2.4.Zudem eignet sie sich zur Bestimmung von Periodenlängen sowie zum Auffindenvon Signalmustern. Die leichte, spitzförmige Überhöhung bei Ree(0) und Raa(0) istcharakteristisch für die Korrelationsfunktion verrauschter Signale.Darüber hinaus ist anhand des Verlaufs von Rmn zu erkennen, dass die beidenRauschsignale m(t) und n(t) nahezu unkorreliert sind. Er kann jedochnicht alsvollständig unkorreliert bezeichnet werden, da. Dies gilt gleichermaßen für e(t) undn(t) sowie für a(t) und m(t), deren Kreuzkorrelationsfunktionen aus Gründen derÜbersichtlichkeit nicht in Abbildung 2.5 dargestellt wurden.

14 Der Terminus weißes Rauschen bezeichnet Rauschprozesse mit einem konstanten Leistungsdich-tespektrum. Diese müssen in der Praxis als bandbegrenzt angenommen werden, da sie sonsteine unendlich hohe Leistung hätten. In diesem Beispiel wurde das weiße Rauschen mit einemZahlengenerator erzeugt, welcher pseudozufällige normalverteilte Gleitkommazahlen ausgibt.

15 An dieser Stelle ist anzumerken, dass verschiedene Definitionen des Signal-Rausch Verhältnis ge-bräuchlich sind. Es wurde diese Definition gewählt, da das Quadrat des Effektivwertes proportionalzu der Leistung bzw. der Energie eines Signals ist.

21


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1

−0.75

−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

Zeit t

Am

plit

uden

e(t)

,a(t)

e(t) = eζωt sin(ωdt) +m(t)a(t) = c eζωt sin(ωd(t − tT)) +n(t)

Abbildung 2.4: Zeitverläufe der Signale e(t) und a(t)

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50−3

−2

−1

0

1

2

3

Zeit τ

Kor

rela

tion

Rij(τ)

Ree(τ)Raa(τ)Rea(τ)Rmn(τ)

Abbildung 2.5: Auto- bzw. Kreuzkorrelation der Signale e(t), a(t), m(t) und n(t)

22

2.1 Modalanalyse

Mit Verweis auf Gleichung (5.51) in PHILLIPS et al. (2008, S. 258) gilt für ein beliebigesuntersuchtes Signal x(t)

P = limT→∞

1T

T2∫

− T2

|x(t)|2dt = Rxx(0), (2.37)

wobei P für die gesamten Signalleistung steht. Die Korrelationsfunktionen verfü-gen über eine Reihe an interessanten Eigenschaften, die auch für komplexwertigeSignale gelten. Tabelle 2.1 gibt einen Überblick über einige aus MARPLE (1987, S. 116)ausgewählte Eigenschaften.

Tabelle 2.1: Eigenschaften der Korrelationsfunktionen

Rxx(τ = 0) ≥ Rxx(τ 6= 0)

Rxx(−τ) = R∗xx(τ)

Rxx(τ = 0)Ryy(τ = 0) ≥ |Rxy(τ)|2

Rxy(−τ) = R∗yx(τ)

Leistungsdichtespektren

Leistungsdichtespektren, auch verkürzt Leistungsspektren genannt, geben die aufdie Frequenz bezogene Leistung eines Signals an. Das komplexwertige Amplitu-dendichtespektrum Sx(ω) ist das lineare Spektrum von x(t) und wird durch diekontinuierliche FOURIER-Transformation errechnet:16

Sx(ω) = F (x(t)) = X(ω) =

+∞∫

−∞

x(t) e−iωt dt. (2.38)

Analog dazu wird in PHILLIPS et al. (2008, S. 264) das Auto- und Kreuzleistungsdich-tespektrum Sxx(ω) bzw. Sxy(ω) folgendermaßen definiert:

16 Besondere Aufmerksamkeit ist bei dem skalaren Faktor der FOURIER-Transformation geboten.In den Naturwissenschaften hat sich die Konvention durchgesetzt, dass die Transformation inden Frequenzbereich nicht skaliert wird, wohingegen die Rücktransformation mit dem Faktor 1

2πmultipliziert wird. In einigen Nachschlagewerken wird jedoch eine Konvention verwendet, welchebeide Transformationen mit 1√

2πskaliert.

23


Sxx(ω) = limT→∞

1T

X∗(ω)X(ω) = limT→∞

1T|X(ω)|2, (2.39)

Sxy(ω) = limT→∞

1T

X∗(ω)Y(ω). (2.40)

Es ist hervorzuheben, dass Sxx(ω) ∈ R gilt, jedoch Sxy(ω) ∈ C ist, da X(ω)∗ undY(ω) im Allgemeinen nicht konjugiert komplex zueinander sind. Gleichbedeutendzu Gl. (2.39) und Gl. (2.40) können die Leistungsdichtespektren, wie in MAIA &MONTALVAO E SILVA (1997, S. 26) beschrieben, über die FOURIER-Transformationder Korrelationsfunktionen definiert werden:

Sxx(ω) =

+∞∫

−∞

Rxx(τ) e−iωτ dτ, (2.41)

Sxy(ω) =

+∞∫

−∞

Rxy(τ) e−iωτ dτ. (2.42)

Die Synonymität zwischen diesen Gleichungen ist auch als WIENER-CHINTSCHIN

Theorem oder CHINTSCHIN-KOLMOGOROW Theorem bekannt. Die Berechenbarkeitder Spektren unterliegt der Voraussetzung, dass es sich bei x(t) und y(t) um statio-näre Signale handelt deren Integrale konvergieren. Aus letzterem folgt durch denersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, dass die Stammfunktiondifferenzierbar ist (siehe ARENS et al. (2011, S. 289)). Demnach sind die Korrelations-funktionen stetig und beschränkt, wodurch die Integrale der Gl.en (2.41) und (2.42)ebenfalls konvergieren. Andererseits ist durch die Gl.en (2.39) und (2.40) zu erkennen,dass die Anwendbarkeit FOURIER-Transformation auf x(t) sowie y(t) ebenfalls alsVoraussetzung genügt.Die Abbildung 2.6 zeigt die zu den Signalen aus den vorhergehenden Abbildungen2.4 bzw. 2.5 zugehörigen einseitigen Auto- und Kreuzleistungsdichtespektren.17 Zuerkennen ist, dass für unkorrelierte Signale wie beispielsweise n(t) und m(t) dasKreuzleistungsdichtespektrum nahezu identisch Null ist. Dies ergibt sich auch ausder Tatsache, dass die Leistungsdichtespektren durch FOURIER-Transformation ausden Korrelationsfunktionen hervorgehen, welche für unkorrelierte Signalverläufezu allen Zeitpunkten Null sind. Des Weiteren fällt auf, dass die übrigen abgebilde-ten Spektren ein deutliches Maximum bei ω = 1

2 π haben, was der ungedämpftenEigenkreisfrequenz der simulierten Schwingungen entspricht.

17 Die Spektren werden als einseitig bezeichnet, da sie in dieser Arbeit lediglich für Kreisfrequenzengrößer Null betrachtet werden. Im Allgemeinen sind Leistungsdichtespektren auch für negativeFrequenzen definiert.

24

2.1 Modalanalyse

0 14 π 1

2 π 34 π π · · · 20π

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Kreisfrequenz ω

Leis

tung

sdic

hte|S

ij(ω

)|

|See(ω)||Saa(ω)||Sea(ω)||Smn(ω)|

Abbildung 2.6: Auto- bzw. Kreuzleistungsdichtespektrum der Signalee(t), a(t), m(t) und n(t)

Ermittlung der Übertragungsfunktion

Von hier ab werden nicht mehr zwei beliebige Zeitsignale x(t) und y(t) betrachtet,sondern ein Eingangs- sowie ein Ausgangssignal, e(t) bzw. a(t), eines schwingungs-fähigen mechanischen Systems, wie es in Abbildung 2.3 eingeführt wurde. Zudemhandelt es sich bei den Leistungsdichtespektren um das Resultat einer arithmeti-schen Mittelung im Frequenzbereich, wobei auf eine gesonderte Kennzeichnungverzichtet wird. Durch die Mittelung mehrerer Messergebnisse wird der Einfluss vonunkorrelierten Störungen reduziert.Die Seiten 26 bis 29 in MAIA & MONTALVAO E SILVA (1997) leiten den folgendenZusammenhang her:

Saa(ω) = G(ω)G∗(ω)See = |G(ω)|2See. (2.43)

Diese Gleichung stellt eine Beziehung zwischen dem Autoleistungsspektrum desSystemeingangs und dem des Systemausgangs her, in welcher der Betrag der komple-xen Übertragungsfunktion G(ω) quadratisch wirkt. Die Formulierung aus Gl. (2.43)

25


eignet sich jedoch nicht um G(ω) zu bestimmen, da sie keine Phaseninformationenthält. Stattdessen werden die Gl.en (1.96) und (1.97) aus MAIA & MONTALVAO E

SILVA (1997, S. 29) herangezogen:

Sea(ω) = G1(ω)See(ω), (2.44)

Saa(ω) = G2(ω)Sae(ω). (2.45)

Sie ermöglichen eine untere G1(ω) sowie eine obere Abschätzung G2(ω) der Übertra-gungsfunktion G(ω) durch die Messung und Transformation der Ein- und Ausgangs-signale. Im Idealfall sind G1(ω) und G2(ω) identisch. Ein Maß für die Abweichungvon diesem störungsfreien linearen Systemverhalten ist die Kohärenzfunktion

γ2(ω) =|Sea(ω)|2

See(ω)Saa(ω)=

Sea(ω)S∗ea(ω)

See(ω)Saa(ω)=

Sea(ω)

See(ω)

Sae(ω)

Saa(ω)=

G1(ω)

G2(ω). (2.46)

Sie gibt an, inwieweit die gemessene Ausgangsleistung durch die eingebrachteEingangsleistung hervorgerufen wird. Es gilt γ2 ∈ [0; 1], wobei γ2 = 1 ideal linearesVerhalten anzeigt. Abweichungen von diesem Wert können laut EWINS (1995, S.131f) und MAIA & MONTALVAO E SILVA (1997, S. 103) durch folgende Gründehervorgerufen werden:

• Die Frequenzauflösung ist zu niedrig, sodass der Kurvenverlauf von G(ω) nichtausreichend korrekt abgebildet werden kann. Dies ist meist bei den Frequenzenzu beobachten an denen eine Resonanz oder Antiresonanz vorliegt.

• Die Antwort a(t) wird durch einen andere Anregung als e(t) hervorgerufen.Diese Fehlerquelle kann bei SISO-Systemen nicht auftreten.

• Störungen durch die Umwelt, welche die FRF-Messungen verschlechtern.

• Das System bzw. das Übertragungsverhalten ist nichtlinear.

Die angegebenen Quellen erläutern ebenfalls, dass sich im Fall der Divergenz derbeiden Abschätzungen G1(ω) besser zur Beschreibung von Antiresonanzen eignet,wohingegen G2(ω) bessere Resultate bei der Abbildung von Resonanzen liefert.Um die Übertragungsfunktion G(ω) zu erhalten, kann der Quotient der FOURIER-Transformierten von Systemausgang zu Systemeingang gebildet werden. DiesesVorgehen modelliert jedoch keinerlei Störungen und wird für eine Anwendung un-ter realen Bedingungen nicht empfohlen. Dagegen hat sich in der experimentellenModalanalyse die Ermittlung der Übertragungsfunktionen über Leistungsdichte-spektren etabliert und wird daher auch in dieser Studienarbeit eingesetzt.

26

2.1 Modalanalyse

Identisch zu Gleichung (2.51) in MAIA & MONTALVAO E SILVA (1997, S. 108) werdendie beiden Abschätzungen G1(ω) und G2(ω) zu einem geometrischen Mittel

Ggm(ω) =√

G1(ω)G2(ω)

= G(ω)

√(1 +

Smm(ω)

Sewew(ω)

)−1(1 +

Snn(ω)

Sawaw(ω)

)(2.47)

verrechnet, welcher zusammen mit dem, aus MITCHELL (1982, S. 279) entnommenen,arithmetischen Mittelwert

Gam(ω) =G1(ω) + G2(ω)

2

=G(ω)

2

((1 +

Smm(ω)

Sewew(ω)

)−1

+

(1 +

Snn(ω)

Sawaw(ω)

))(2.48)

für die Berechnung der FRFs durch die MATLAB-Funktion FRF_via_Lstspktr.m her-angezogen wird. Alternativ dazu kann auch nur die obere Abschätzung G2(ω)

Übertragungsfunktionen verwendet werden, welche, wie in MITCHELL (1982, S. 279)erläutert, ein besseres Ergebnis an den Resonanzstellen liefert. Aus Gl. (2.47) so-wie Gl. (2.48) ist zu entnehmen, dass für hohe SNR-Werte Ggm(ω) ≈ G(ω) bzw.Gam(ω) ≈ G(ω) gilt, was die geschilderte Vorgehensweise rechtfertigt.

Es gelten die Ungleichungen

G1(ω) ≤ G(ω) ≤ G2(ω), (2.49)

G1(ω) ≤ Ggm(ω) ≤ G2(ω), (2.50)

G1(ω) ≤ Gam(ω) ≤ G2(ω) und (2.51)

Ggm(ω) ≤ Gam(ω), (2.52)

wobei die letzte Ungleichung eine Konsequenz des in der Mathematik als Unglei-chung vom arithmetischen und geometrischen Mittel bekannten Satzes ist.Für die Untersuchung des T-S-basierten Ansatzes dieser Arbeit werden ausschließlichNachgiebigkeitsfrequenzgänge bestimmt, welche durch Gl. (2.33) beschrieben sind.Diese Übertagungsfunktionen von Kraft auf Verschiebung erfüllen zwei Aufgaben:Zum einen ermöglichen sie den in Kapitel 4 angestellten Vergleich im Frequenz-bereich, zum anderen werden aus ihnen die im folgenden Abschnitt benötigtenmodalen Parameter extrahiert.

27


Erweiterte Methoden für die Bestimmung der Übertragungsfunktion sowie tiefergehende Erläuterungen sind in MAIA & MONTALVAO E SILVA (1997, Abschnitt 2.3.1)und MITCHELL (1982) zu finden.

2.1.4 Modales Zustandsraummodell

Aufbauend auf dem Wissen aus Abschnitt 2.1.2 wird in diesem Unterkapitel dasGleichungssystem (2.31) in die sogenannte modale Zustandsraumdarstellung über-führt. Diese Darstellungsform ist das Fundament für die im Verlauf dieser Arbeitetablierten Systembeschreibung, da sie als Schnittstelle zu den für lineare Systemeentworfenen Methoden fungiert. So ist die Erkenntnis dieses Abschnitts in Gestaltder MATLAB-Funktion modalesZRM.m ein zentrales Element der Untersuchungen inKapitel 4 und wird dort anhand der erhobenen Messdaten validiert.

Zu Beginn steht die Definition des neuen Zustandsvektors

x = [x1 x2 · · · xn ]T

= [qm,1 qm,1 qm,2 qm,2 · · · · · · qm,n qm,n]T (2.53)

identisch zu GAWRONSKI (2004, S. 38), woraus sich das lineare Zustandsraummodell(ZRM) für die r-te Mode ergibt:

xr =

[qm,r

qm,r

]=

[xr2

bTm,ru−ω2

r xr1 − 2ζrωrxr2

]

=

[0 1−ω2

r −2ζrωr

] [xr1

xr2

]+

[0T

bTm,r

]u

= Arxr +Bru, (2.54a)

yr =[cm,r 0

]xr = Crxr. (2.54b)

Dabei repräsentiert der Zeilenvektor bTm,r die r-te Zeile aus Bm bzw. der Spaltenvek-

tor cm,r die r-te Spalte aus Cm. Das Formelzeichen yr steht für den Anteil der r-tenMode am Vektor y und ist nicht mit dem Ausgangswert der r-ten Koordinate zuverwechseln. Die Gleichung (2.54b) legt die Position bzw. Verschiebung als Aus-gangsgröße fest. Analog dazu könnte durch Umstrukturierung der Cr Matrizen dieGeschwindigkeit als Systemausgang gewählt werden.

28

2.1 Modalanalyse

Angestrebtes Ziel ist es, die Zustandsraumdarstellung eines linearen zeitinvarianten(LTI) Systems zu erhalten:

x = Ax +Bu, (2.55a)

y =n

∑r=1

yr = Cx. (2.55b)

Um dies zu erreichen müssen die Systemmatrizen wie folgt definiert werden:

A =

A10 00 0

· · · · · ·· · · · · ·

0 00 0

0 00 0

A2

. . . . . .

. . . . . .

......

......

......

......

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

0 00 0

0 00 0

· · · · · ·· · · · · ·

0 00 0

An

, (2.56)

B =

B1...Bn

=

0T

bTm,1......

0T

bTm,n

, (2.57)

C =[C1 · · · Cn

]=[cm,1 0 · · · · · · cm,n 0

], (2.58)

mit den 2× 2 Matrizen A1 bis An, welche nach Gl. (2.54a) berechnet werden sowiejenen, aus den Gl.en (2.54) bekannten, Vektoren bT

mr und cmr. Daraus resultieren dieDynamikmatrix A ∈ R2n×2n, die Eingangsmatrix B ∈ R2n×nin und die Ausgangs-matrix C ∈ Rnout×2n, welche, in Kombination mit dem 2n-dimensionalen Zustands-vektor x, dem nin-dimensionalen Eingangsvektor u sowie dem nout-dimensionalenAusgangsvektor y, das neue ZRM beschreiben.Da eine direkte Verbindung zwischen den nodalen Systemmatrizen B und C des Glei-chungssystems (2.27) und denen des modalen Gleichungssystems (2.55) erwünschtist, wird die Modalmatrix Φ zu ΦZRM umformuliert:

29


ΦZRM =

φ11 0 · · · · · · φ1n 00 φ11 · · · · · · 0 φ1n...

... . . . . . . ......

...... . . . . . . ...

...φndo f 1 0 · · · · · · φndo f n 0

0 φndo f 1 · · · · · · 0 φndo f n

. (2.59)

Unter Anwendung dieser Definition ergeben sich die Bestimmungsgleichungen derEin- und Ausgangsmatrizen des Zustandsraummodells zu

B = ΦTZRM

0T

bT1......

0T

bTndo f

, (2.60)

C =[c1 0 · · · · · · cndo f 0

]ΦZRM, (2.61)

welche das Analogon zu Gl. (2.29) bzw. (2.30) bilden. Im Unterschied zu GAWRONSKI

(2004) wurde für diese Arbeit die Ausgangsmatrix C-Matrix so gewählt, dass nur diePositionen in y erfasst werden, wobei dieser Entschluss im Wesentlichen durch zweiFakten begründet ist: Zum einen lässt sich die Geschwindigkeit im Nachhinein durchUmstrukturierung der Ausgangsmatrix aus der Position ableiten, zum anderen wirdeine Vereinfachung der C-Matrix erreicht, welche bei diesem Ansatz eine größereVerwandtschaft zur B-Matrix aufweist.

Ausgehend von dieser Zustandsraumdarstellung berechnet sich die komplexe Über-tragungsmatrix von einer eingehenden Kraft auf die daraus resultierende Verschie-bung, welche wie in Abschnitt 2.1.3 beschrieben auch als Nachgiebigkeitsfrequenz-gang bekannt ist, zu

α(ω) =Y(ω)

U(ω)= C (jωI −A)−1 B (2.62)

mit Y(ω), U(ω) als FOURIER-Transformierte des Aus- bzw. Eingangsvektors sowieI als 2n-dimensionaler Einheitsmatrix und α ∈ Rnout×nin .18

18 Allgemein beinhaltet Gleichung (2.62) noch eine Durchgriffsmatrix, welche hier jedoch gleich derNullmatrix ist und daher weggelassen wurde.

30

2.1 Modalanalyse

Dies kann aufgrund der blockdiagonalen Form von jωI −A in eine Summe vonÜbertragungsfunktionen aufgeteilt werden:19

α(ω) =n

∑r=1

αr(ω) =n

∑r=1

cm,rbTm,r

ω2r −ω2 + i2ζrωrω

. (2.63)

Hierzu sei erwähnt, dass es sich bei cm,rbTm,r um ein dyadisches Produkt handelt,

dessen Ergebnis eine Matrix ist. Die um die Geschwindigkeitsebene verallgemeinerteDarstellung von Gl. (2.63) wird in GAWRONSKI (2004, S. 40) dargestellt. Es wurdean dieser Stelle bewusst die Darstellung gewählt, welche lediglich die Position bein-haltet, da dadurch entstehenden Terme deutlich einfacher sind und eine größereÄhnlichkeit zwischen den Matrizen B und C besteht. Falls der Geschwindigkeitsver-lauf von Interesse sein sollte, so kann dieser stets durch eine minimale Abänderungder Definition in Gl. (2.54b) berechnet werden.Ein einzelnes Element der Matrix α beschreibt die Übertagungsfunktion vom Anre-gungsort k zum Messpunkt j folgendermaßen:

αjk(ω) =n

∑r=1

αr,jk(ω) =n

∑r=1

cm,jrbm,rk


, (2.64)

wobei cm,jr die Komponente der j-ten Zeile und r-ten Spalte aus Cm, bzw. bm,rk dieKomponente der r-ten Zeile und k-ten Spalte aus Bm ist. Dieser Ausdruck für αjk(ω)

lässt sich in die Gleichung (2.49) aus EWINS (1995, S. 47) überführen, welche sich ins-besondere für die Extraktion der modalen Parameter eignet. Die dafür notwendigenUmformungen und Voraussetzungen werden in Anhang A.1.2 erläutert.Bei linearem Übertragungsverhalten und symmetrischen Dämpfungs- bzw. Steifig-keitseigenschafen gilt α(ω) = αT(ω). Dies ist in der Praxis von sehr großem Nutzen,da es zur Folge hat, dass es keinen Unterschied macht, ob am Punkt k angeregt undam Punkt j gemessen wird, oder umgekehrt. Somit wird die Anzahl der notwendigenMessungen von Ordnung O(n2

p) auf O(np) gesenkt, wobei np die Zahl der definier-ten Mess- bzw. Anregungspunkte ist. Eingeschränkt wird dieser Vorteil dadurch,dass es an jeder realen mechanischen Struktur Stellen gibt, welche ungeeignet sinddie Anregungsenergie in das System einzubringen. Ein Beispiel hierfür sind dieLagerstellen des in Kapitel 4 untersuchten Balkens (siehe Abbildung A.2).

An diesem Punkt wird über eine, aus den Differentialgleichungen hergeleitete, ent-koppelte Zustandsraumdarstellung eines schwingungsfähigen mechanischen Sys-tems mit bekannter linearer Übertragungsfunktion verfügt. Auf dieses ZRM kann

19 Die Inverse einer blockdiagonalen Matrix ist ebenfalls blockdiagonal (ARENS et al. (2011, S. 526)).

31


nun die gesamte Vielfalt der Werkzeuge angewendet werden, welche für LTI-Systemeentwickelt wurden. Dabei sei hervorgehoben, dass es sich bei den bisherigen Ergeb-nissen des Kapitels in zweifacher Hinsicht um eine Approximation des realen Schwin-gungsverhaltens handelt. Einerseits wird in den Bewegungsdifferentialgleichungenein lineares Masse-Feder-Dämpfer Verhalten angenommen, andererseits wird nureine begrenzte Zahl an Freiheitsgeraden berücksichtigt. Diese Näherungen werdenbewusst gewählt, da eine analytische Lösung für komplexe Strukturen im Allgemei-nen nicht möglich ist und ein nichtlinearer Masse-Feder-Dämpfer Zusammenhangden Rechenaufwand drastisch erhöhen würde.


Das Prinzip der Fuzzy-Logik ist es, physikalische Eingangsgrößen durch linguistischeVariablen sowie deren Zugehörigkeitsfunktionen auszudrücken und anschließend in,unter anderem durch Expertenwissen festgelegte, Regeln miteinander zu verrechnen.Das Resultat ist die Kombination der Einzelergebnisse aller Regeln.Nach LUTZ & WENDT (2007, S. 981) wird zwischen zwei grundlegenden Typen vonFuzzy-Systemen unterschieden:

• Relationale Fuzzy-Systeme nach MAMDANI, die durch Schlussfolgerungenunscharfe Mengen erzeugen, aus denen mittels Defuzzifizierungsverfahrenscharfe Größen abgeleitet werden.

• Funktionale Fuzzy-Systeme nach TAKAGI und SUGENO, welche mit scharfenSchlussfolgerungen Ergebnisse als Funktionen der Eingangsgrößen bilden.Diese werden mit den Erfüllungsgraden der Regeln gewichtet, so dass dasEndergebnis eine scharfe Größe ist.

Der in dieser Arbeit vorgestellte Ansatz basiert auf Vorgehen nach TAKAGI-SUGENO

und zählt somit zu den funktionalen Fuzzy-Systemen.Generell gilt: „Zur Lösung von Problemstellungen mit unscharfen, ungenauen Aus-sagen kann die unschafe Logik (Fuzzy-Logik) verwendet werden. Die Methodender Fuzzy-Logik sind exakt. Die klassische zweiwertige (scharfe) Logik ist in derunscharfen enthalten.“ (LUTZ & WENDT (2007, S. 901))

Die Vielzahl der existierenden, multilingualen Begriffe dieses Themengebietes machteine Klärung bzw. Festlegung dieser notwendig. Angelehnt an die zu Beginn derKapitels referenzierten Literaturquellen werden an dieser Stelle die Grundbegriffe der

32


Fuzzy-Logik dargelegt. Zu diesem Zweck beinhaltet der Abschnitt eine Auflistungder zentralen Begriffe sowie ein illustrierendes Beispiel. Das Schema der Liste ist, dassauf den hervorgehobenen Terminus ein in eckigen Klammern stehender Zusatz folgt,welcher gegebenenfalls Synonyme sowie den englischen Fachbegriff enthält. Die imFolgenden eingeführten Definitionen sind in LUTZ & WENDT (2007) zu finden.

Grundmenge [Basismenge (engl. universe of discourse)]Die Grundmenge U beschreibt die Menge aller beachteten Zahlenwerte einerlinguistischen Variable, welche in der Regel rationale Zahlen sind.

Basisvariable [(engl. base variable)]Die Basisvariable u ∈ U ist die numerische Repräsentation einer linguistischenVariable, welche ein Wort, Satz oder Satzteil ist (ZADEH (1975, S. 1)).

Zugehörigkeitsfunktion [(engl. membership function)]Die Zugehörigkeitsfunktion µ(u) bildet die Werte u der Grundmenge U aufdas Zahlenintervall I ∈ R ab:

µ : U → I , mit I = [0, 1]. (2.65)

Dabei gibt µ(u) für jeden Wert u aus U den Zugehörigkeitsgrad von u zueiner Fuzzy-Menge an. Es kann unter anderem aus linearen, quadratischen,exponentiellen oder sigmoidalen Zugehörigkeitsfunktionen gewählt werden,wobei die auf Eins normierten Dreiecks- und Trapezfunktionen sehr häufigsind. Prinzipiell ist jede Funktion zulässig, die der Gl. (2.65) genügt.

Fuzzy-Menge [unscharfe Menge (engl. fuzzy set)]Die Fuzzy-Menge F wird durch die Zugehörigkeitsfunktion µF(u) und dieWerte u der Grundmenge U wie folgt definiert:

F = (u, µF(u)) | u ∈ U . (2.66)

Somit enthält die Mengendefinition den Wert und den Zugehörigkeitsgrad. DieEigenschaften der Fuzzy-Mengen hängen von den Zugehörigkeitsfunktionenund deren Parametern ab. Es existiert eine gleichwertige Schreibweise zu Gl.(2.66), welche häufig bei Mengen mit einer unendlichen Anzahl von Elementenverwendet wird:

F =∫

UµF(u)/u. (2.67)

33


Hierbei symbolisiert das Integrationszeichen den kontinuierlichen Werteverlaufvon u und der Schrägstrich fungiert als Trennzeichen.20

Kern [Toleranz (engl. core)]Der Kern core(F) einer Fuzzy-Menge F wird durch die Menge bestimmt, inwelcher die Zugehörigkeitsfunktion µF den Zahlenwert Eins annimmt:

core(F) = (u | u ∈ U , µF(u) = 1 . (2.68)

Demnach ist der Kern genau die Menge an Werten der Basisvariablen, welcheden maximalen Zugehörigkeitsgrad zu der Fuzzy-Menge F aufweist.

Stützmenge [Einflussbreite (engl. support)]Die Stützmenge supp(F) einer Fuzzy-Menge F ist das Intervall, in dem dieZugehörigkeitsfunktion µF(u) Zahlenwerte größer Null annimmt:

supp(F) = (u | u ∈ U , µF(u) > 0 . (2.69)

Umformuliert bedeutet dies, dass nur die Zahlenwerte von u für die Fuzzy-Menge F relevant sind, welche Teil der Stützmenge sind.

linguistischer Wert [Term (engl. fuzzy value, term)]Dem linguistischer Wert L wird durch seine Zugehörigkeitsfunktion µL eineMenge aus der Grundmenge U zugewiesen. Dieser Begriff hängt sehr eng mitdem der Fuzzy-Menge zusammen und kann als eine anwendungsbezogeneKonkretisierung einer unscharfen Menge gesehen werden.

linguistische Variable [Fuzzy-Variable (engl. linguistic variable)]Nach ZADEH (1975, S. 1) wird eine linguistische Variable durch fünf Punktecharakterisiert:

• Den Namen der Variable X ,

• Die Grundmenge U mit der Basisvariablen u,

• Den Vektor T(X ) (engl. term set), der enthaltenden linguistischen Werte,welche Fuzzy-Mengen der Grundmenge sind,

• Die syntaktischen Regel, welche die Namensgebung der Terme bestimmt,

20 Es gibt noch eine weitere gleichwertige Schreibweise, welche bei Mengen mit einer endlichenAnzahl von diskreten Elementen verwendet werden kann. Sie ist identisch mit Gl. (2.67), außerdass das Integrationszeichen durch ein Summenzeichen ersetzt wird.

34


• Die semantischen Regel, die jedem linguistischen Wert eine Zugehörig-keitsfunktion zuweist.

Die linguistische Variable dient in der Fuzzy-Logik dazu sprachliche Ausdrückeals mathematische Variablen zu definieren.

Operator [Fuzzy-Operator, Verknüpfung (engl. operator)]Die zentralen Operatoren der Logik sind der Durchschnitts- (UND),Vereinigungs- (ODER) und Komplementsoperator (NICHT), wobei für diehier angewandte T-S Methodik vor allem der erste von Interesse ist. Damit einOperator als solcher bezeichnet werden kann, muss dieser gewisse Voraus-setzungen erfüllen, welche in LUTZ & WENDT (2007, S. 922) nachlesbar sind.Die als t-Normen und s-Normen (auch t-Konormen) bekannten Operatorengenügen diesen Ansprüchen und werden als Fuzzy-UND-Operator bzw. Fuzzy-ODER-Operator eingesetzt. Durch die auf diesem Gebiet geleistete Forschungstehen eine Reihe von Auswahlmöglichkeiten zur Verfügung, welche in den Ta-bellen 15.2-3 sowie 15.2-4 in LUTZ & WENDT (2007, S. 926) festgehalten sind. Indieser Studienarbeit wird, in Übereinstimmung mit TANAKA & WANG (2001),der UND- bzw. ODER-Operator zweier Fuzzy-Mengen A und B definiert als:

µUND(u) = µA(u) · µB(u) (2.70)

µODER(u) = µA(u) + µB(u)− µA(u) · µB(u) (2.71)

Für zusätzliche Informationen zum Thema t- und s-Norm wird auf den Ab-schnitt 15.2.2.3 in LUTZ & WENDT (2007, S. 924-928) verwiesen.

Regel [(engl. rule)]Jede Regel eines Fuzzy-Systems besteht aus einem WENN- sowie einem DANN-Teil, welche auch Prämisse bzw. Konklusion genannt werden. Im WENN-Teilwerden die Zugehörigkeitsgrade der scharfen Eingangsgrößen bestimmt, dieanschließend mit den gewählten Operatoren verknüpft werden. Das Ergebnisist der Aktivierungsgrad, welcher als Gewichtungsfaktor des DANN-Teils derbetrachteten Regel dient. Allgemein lässt sich eine Regel wie folgt formulieren:

WENN <Prämisse> DANN <Konklusion>,mit <Prämisse> als Platzhalter für einen Ausdruck wie beispielsweiseu1 = LA <Operator> u2 = LB <Operator> . . . <Operator> up = LP, wobeidas Gleichheitszeichen die Abfrage nach dem Zugehörigkeitsgrad der Prämis-senvariable zum jeweiligen linguistischen Wert symbolisiert. Die Anzahl derberücksichtigten Prämissenvariablen kann für jede Regel anders sein.

35


Erfüllungsgrad [Aktivierungsgrad (engl. activision degree)]Der Erfüllungsgrad w ≥ 0 einer Regel gibt an, wie stark diese Regel für einenSatz von Prämissenvariablen zutrifft. Er errechnet sich durch die Verknüpfungder jeweiligen Zugehörigkeitsgrade mit Operatoren des WENN-Teils.

Inferenz [(engl. inference)]Der Prozess von der Prämissenauswertung bis zur Überlagerung der Konklu-sionen, deren Ergebnis wieder eine scharfe Größe ist, wird Inferenz genannt.

Das nachstehende, fiktive Beispiel verdeutlicht die zuvor definierten Begriffe.Abbildung 2.7 zeigt die Zugehörigkeit der linguistischen Variable Baumhöhe, mitder Basisvariable h, zu den unscharfen Mengen L1 bis L5. Die Zugehörigkeitsfunk-tionen µL1(h) bis µL5(h) besitzen einen beliebig gewählten Verlauf und sollen dieunterschiedlichen Möglichkeiten der Definition selbiger veranschaulichen. Im All-gemeinen ist es nicht notwendig, dass die Summe aller Zugehörigkeitsfunktionengleich eins ist. Einen Spezialfall stellt die Funktion µL3(h), dar welche an exakt einerStelle den Wert Eins annimmt und sonst Null. Dieser Funktionstyp heißt Singleton.Die Begriffe Kern und Stützmenge lassen sich gut an L4 verdeutlichen. Aus demzuvor genannten Bild kann core(L4) = 70 sowie supp(L4) = [55, 85] entnommenwerden.

Angenommen es soll ein T-S System erstellt werden, welches aus der Baumhöhesowie der Baumstammdicke das Alter eines Baumes berechnet bzw. abschätzt. Dielinguistischen Werte L1 bis L5 können ohne Weiteres in Ausdrücke wie „klein“,„mittelgroß“, „exakt 60 m“ „groß“ und „riesig“ umbenannt werden. Zusätzlich wirddie Fuzzy-Variable Baumstammdicke mit ihren Termen „dünn“ und „dick“ ,derBasisvariablen d sowie der Grundmenge D eingeführt. Es kann nun beispielhaft dieRegel aufgestellt werden:

WENN h = mittelgroß UND d = dick DANN a = fm,d(h, d),

wobei a für das nach dieser Regel errechnete Alter steht, welches durch eine Funktionfm,d(h, d) bestimmt wird, die für Bäume zutrifft welche zugleich mittelgroß unddick sind. Die Bestimmung dieser Funktion, der Zugehörigkeitsfunktionen sowieder Wahl der Operatoren setzt Expertenwissen voraus, wodurch die Erstellung einesaussagekräftigen Fuzzy-Systems zu einer Herausforderung wird. Um das Endergeb-nis zu erhalten, müssen alle Regeln ausgewertet und mit ihren Erfüllungsgradengewichtet werden. Hierzu existiert eine Vielzahl an Methoden, welche in den zuvorreferenzierten Quellen nachlesbar sind.

36


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Basisvariable h [m]

Zug

ehör

igke

itsg

erad

eµ

L i(h)[−

]

µL1(h)µL2(h)µL3(h)µL4(h)µL5(h)

Abbildung 2.7: Beispielhafte Zugehörigkeitsfunktionen eines Fuzzy-Systems

Die in Abbildung 2.7 dargestellte Definition der linguistischen Werte ist nicht reprä-sentativ für eine technische Problemstellung. Für den in dieser Arbeit untersuchtenAnsatz werden jegliche Zugehörigkeitsfunktionen nach den in Abschnitt 3.2 erläuter-ten Restriktionen definiert. Zwei der Konsequenzen sind, dass die Bildmengen derZugehörigkeitsfunktionen das gesamte Intervall ]0, 1[ abdecken, d.h. sich den WertenNull und Eins bis auf eine infinitesimale Schranke nähern, sowie die Begrenzung desKerns auf genau einen (scharfen) Wert. Umformuliert besagt die zweite Eigenschaft,dass es nur einen Zahlenwert der Basisvariablen gibt, welche die volle Zugehörigkeitzu dem linguistischen Wert erreicht. Im Bezug auf das oben beschriebene Beispielkann aus Abbildung 2.7 abgelesen werden, dass die Aussage „Die Baumhöhe ist L4“nur für exakt 70 m völlig zutrifft.Diese Eigenschaft der Zugehörigkeitsfunktionen ist sowohl im folgenden Kapi-tel als auch in nahezu allen wissenschaftlichen Veröffentlichungen zum ThemaTAKAGI-SUGENO Systeme zu finden, welche die Modellierung eines mechanischenSystems behandeln.

37

3 Formulierung des anwendungsspezifischenTakagi-Sugeno Systems

Im Folgenden wird das in Abschnitt 2.1.4 hergeleitete modale Zustandsraummodellin den T-S Formalismus überführt. Darauf aufbauend wird anhand des entwickeltenModellierungsansatzes die Stabilität eines beliebigen mechanischen Systems nach-gewiesen. Abschließend werden im Rahmen einer Simulation vier verschiedenePrototypen von Zugehörigkeitsfunktionen dahingehend untersucht, ob sie den pos-tulierten Restriktionen genügen.Die zur mathematischen Beschreibung gewählte Konvention ist an TANAKA & WANG

(2001) und PALM et al. (1997) orientiert, weicht jedoch aufgrund der Spezialisierungauf das Anwendungsgebiet an einigen Stellen von den genannten ab.

Das in dieser Studienarbeit verwendete zeitkontinuierliche Fuzzy-System (CFS)besteht aus r Regeln, die mit Blick auf das Gleichungssystem (2.55) folgende Strukturausweisen:21

Regel i :

WENN pe = Lk UND pa = Lj DANN

x = Ax +Biuy = C ix

(3.1)

Dabei stehen die Basisvariablen pe, pa ∈ R3 für den geometrischen Ort (Punkt) derSystemein- bzw. Systemausgänge, welche Fuzzy-Variablen des T-S Systems sind. DieSymbole Lk und Lj geben die linguistischen Werte der Systemdynamik an, wobeidie Indizes k und j im Allgemeinen für jede Regel alle definierten Anregungs- undMesspunkte durchlaufen. Dies bedeutet, dass die Terme Lk und Lj das aus Mess-daten ermittelte Systemverhalten repräsentieren. Entscheidend hierfür ist, wo sichdie zuvor festgelegten Punkte befinden, an denen die exakte Information über dieÜbertragungsfunktionen bzw. Systemdynamik vorliegt und wie die Zugehörigkeits-funktionen definiert sind, die den Zugehörigkeitsgrad eines räumlichen Punktes zuder jeweiligen Dynamik angeben. Die Ein- und Ausgangsmatrizen des SubsystemsBi und C i berechnen sich nach Gl. (2.60) bzw. Gl. (2.61).

21 Generell sind die Basisvariablen pe, pa als zeitabhängige Variablen zu betrachten. Aus Gründen derÜbersichtlichkeit wird jedoch auf eine explizite Darstellung der Zeitabhängigkeit verzichtet.

39


Unter der Voraussetzung, dass der untersuchte Körper in dem Sinne vollständig ver-messen ist, dass von jedem Anregungs- bzw. Messpunkt eine Übertragungsfunktionzu jedem Anregungs- bzw. Messpunkt existiert, gilt bei np Punkten für die Anzahlder Regeln des CFS:

r =np(np + 1)

2. (3.2)

Somit steigt die Zahl der Regeln bzw. Subsysteme quadratisch mit der Zahl der defi-nierten Punkte. Als Sub- oder auch Ecksysteme werden die LTI-Systeme bezeichnetzwischen denen das T-S Modell nach Gl. (3.1) interpoliert. Diese Gleichung offenbartdie Charakteristika des hier implementierten CFS. Es fällt auf, dass die Dynamik-matrix A für alle Regeln gleich bleibt, was aus der zugrundeliegenden modalenSystembeschreibung resultiert. Im Gegensatz dazu sind die Ein- und Ausgangsmatri-zen Bi und C i abhängig von den Anregungs- bzw. Messpunkten. Das erstellte T-SSystem verknüpft die Variablen der Prämisse, wie in Gl. (2.70) beschrieben, mit einemUND-Operator, dessen Ergebnis das Produkt der Zugehörigkeitsgrade ist. DieserZahlenwert kann als Erfüllungsgrad wi des WENN-Teils bzw. der Regel identifiziertwerden. Allgemein ist dieser definiert als

wi(p) =p

∏l=1

µil(pl), (3.3)

mit p als Vektor der Basisvariablen der i-ten Prämisse, p als (maximale) Anzahl derVariablen in den Prämissen und µil(pl) als Zugehörigkeitsfunktion des l-ten Termsder i-ten Regel. In diesem Anwendungsfall vereinfacht sich die Definition zu:

wi(pe, pa) = µik(pe)µij(pa), (3.4)

mit µik(pe) und µij(pa) als Zugehörigkeitsfunktionen der Terme Lk und Lj aus Gl.(3.1), welche angeben, inwieweit das betrachtete Paar von Punkten pe und pa mitden Anregungs- bzw. Messpunkten k und j übereinstimmt. Daraus lässt sich der aufdie Gesamtheit der Regeln normalisierte Erfüllungsgrad

hi(pe, pa) =wi(pe, pa)

r∑

i=1wi(pe, pa)

(3.5)

ableiten, welcher ein Maß dafür ist, wie stark die i-te Regel für einen gegebenen Satzvon Prämissenvariablen im Verhältnis zu den anderen Regeln des CFS zutrifft.

40


Aus den vorherigen Erkenntnissen lässt sich das Gleichungssystem des durch Super-position entstandenen T-S Systems herleiten:

x =

r∑

i=1wi(pe, pa)(Ax +Biu)

r∑

i=1wi(pe, pa)

=r

∑i=1

hi(pe, pa)(Ax +Biu) (3.6a)

y =

r∑

i=1wi(pe, pa)C ix

r∑

i=1wi(pe, pa)

=r

∑i=1

hi(pe, pa)C ix (3.6b)

Das Resultat ist eine Linearkombination der Subsysteme Ax + Biu bzw. C ix. Dahierbei der Zusammenhang

r

∑i=1

hi = 1 (3.7)

existiert, handelt es sich um den Spezialfall der Konvexkombination, wie er in ARENS

et al. (2011, S. 638) geschildert wird. Es ist die charakteristische Eigenschaft einerKonvexkombination, dass das Ergebnis durch die kombinierten Elemente, welche indiesem Fall die Subsysteme sind, beschränkt wird. Darüber hinaus wird der normali-sierte Erfüllungsgrad für den anschließenden Stabilitätsnachweis verwendet.


Der Nachweis von Stabilität ist bei schwingungsfähigen mechanischen Systemen vongrundlegendem Interesse, weil daraus das Abklingen der Schwingungsbewegunggefolgert werden kann.Mit Bezug auf TANAKA & WANG (2001, S.31 und S.38) und C.-W. CHEN (2006, S. 627)ist die Ruhelage eines allgemeinen T-S Systems mit Regelung global asymptotischstabil, wenn es eine positiv definite Matrix P = PT > 0 gibt, sodass gilt:

(Ai − BiKh)TP + P(Ai − BiKh) < 0 und (3.8)

HTihP + HihP < 0 mit (3.9)

Hih =(Ai − BiKh) + (Ah − BhKi)

2, (3.10)

u = −r

∑i=1

hi(p)Kix, (3.11)

i < h ≤ r. (3.12)

41


Dabei ist Ai die Dynamikmatrix, Bi die Eingangsmatrix und Ki die Rückführmatrixdes Regelungsgesetzes aus Gl. (3.11) der i-ten Regel.22 Das Zeichen p steht für dieVariablen des WENN-Teils, P für die Zustandsgewichtungsmatrix und Hih für eineHilfsmatrix, welche die Notation verkürzt.Der zugehörige Beweis geht von der direkten Methode nach LJAPUNOW aus, welcheeine sogenannte LJAPUNOW-Funktion V(x) verwendet um die Stabilität eines belie-bigen Systems nachzuweisen. Diese wird, unter Verweis auf LUTZ & WENDT (2007)und FÖLLINGER & KONIGORSKI (2013), wie folgt eingeführt:Sei xRL eine Ruhelage des Systems x = f (x) und V : X → R eine auf X stetigdifferenzierbare Funktion, für die

V(xRL) = V und V(x) > V, x 6= xRL (3.13)

ist. Ferner nehme V(x) durch die vektorielle DGL x = f (x) monoton ab:

V(x) =∂V(x)

∂xf (x) ≤ 0. (3.14)

Dann ist V(x) eine LJAPUNOW-Funktion und xRL stabil im Sinne LJAPUNOWs.Nimmt die Funktion streng monoton ab, d.h.

V(x) < 0, x 6= xRL, (3.15)

so ist die Ruhelage xRL asymptotisch stabil.23 Handelt es sich um ein lineares System,dann ist dieses mit der Erfüllung von Gl. (3.14) bzw. Gl. (3.15) (asymptotisch) stabil.

Für den Stabilitätsbeweis des im Gleichungssystem (3.6) beschriebenen CFS wird diequadratische LJAPUNOW-Funktion

V(x) = xTPx (3.16)

mit der konstanten Zustandsgewichtungsmatrix P ∈ R2n×2n herangezogen. Diezeitliche Ableitung dieser Funktion lautet:

V(x) = xTPx + xTP x. (3.17)

22 Das Regelgesetz in Gl. (3.11) wird in der englischsprachigen Fachliteratur parallel distributed com-pensation genannt und ist ein weit verbreitetes Reglerkonzept der Fuzzy-Logik. Da sich dieseStudienarbeit auf die Modellbildung beschränkt wird an dieser Stelle für weiterführende Informa-tionen auf TANAKA & WANG (2001) verwiesen.

23 Der Begriff stabil gleicht dem der Zustandsstabilität, wie er in LUNZE (2010, S. 377) definiert ist.

42


Das Einsetzen der Systemdynamik aus Gl. (3.6a) in Gl. (3.17) führt zu

V(x) =r

∑i=1

hi(pe, pa)((Ax +Biu)TPx + xTP(Ax +Biu)

)(3.18)

=r

∑i=1

hi(pe, pa)(

xTATPx + uTBTi Px + xTPAx + xTPBiu

). (3.19)

An dieser Stelle wird in B.-S. CHEN et al. (1999), C.-W. CHEN (2006) oder DIEPOLD &PIECZONA (2012) von dem geschlossenen Regelkreis ausgehend die Stabilität der Ru-helage nachgewiesen. Das hier gewählte Vorgehen unterscheidet sich dahingehend,dass von einem autonomen System, d.h. u ≡ 0, mit beliebiger Anfangskonfigurationx(t = 0) ausgegangen wird. Begründet wird diese Abweichung damit, dass nicht ei-ne Regelungsstrategie, sondern eine Methode zur Beschreibung der Systemdynamikuntersucht wird. Demnach ergibt sich aus Gl. (3.19)

V(x) =r

∑i=1

hi(pe, pa)(

xTATPx + xTPAx)

. (3.20)

Da A,P und x für alle Regeln gleich sind, kann unter Verwendung von Gl. (3.7) dieSummation weggelassen werden. Der Ausdruck reduziert sich zu:

V(x) = xT(ATP +PA

)x. (3.21)

Nach LJAPUNOW ist das betrachtete System stabil, wenn V(x) ≤ 0 gilt. Da es sich beiGl. (3.21) um eine in x quadratische Gleichung handelt, kann die Stabilität für

ATP +PA ≤ 0 (3.22)

garantiert werden. Das Resultat weist markante Unterschiede zu den Gl.en (3.8)bis (3.12) auf, welche auf die modale Zustandsraumdarstellung des T-S Systemssowie die zuvor getroffenen Annahmen zurückzuführen sind. Ausgehend von dieserUngleichung kann analog zu B.-S. CHEN et al. (1999) bzw. C.-W. CHEN (2006) mittelsInnere-Punkte-Verfahren eine Matrix P gefunden werden, welche den Stabilitäts-nachweis abschließt.Gleichzeitig lässt sich die Ugl. (3.22) ohne Beschränkung der Allgemeinheit zu

ATP +PA+Q = 0, (3.23)

mit der Matrix Q = QT ≥ 0, umschreiben und ist unter dem Namen LJAPUNOW-

43


Gleichung bekannt. Ein Systems ist genau dann asymptotisch stabil, wenn es positivdefinite Matrix P gibt, welche die Gl. (3.23) für positiv definite Q erfüllt (sieheLUNZE (2010, S. 288)). Für positiv semidefinite Q ist das System stabil, wobei dieMatrix P in beiden Fällen eindeutig ist.

Alternativ kann argumentiert werden, dass unter der oben erwähnten Hypotheseeines autonomen Systems mit beliebigem Anfangszustand die vektorielle Differenti-algleichung x = Ax asymptotisch stabil ist, falls alle 2n Eigenwerte der Matrix Anegative Realteile haben.In einem kurzen Einschub sollen zwei elementare Eigenschaften quadratischer Ma-trizen rekapituliert werden. Laut ARENS et al. (2011, S. 607) ist die Summe derEigenwerte einer Matrix M gleich der, mit spur (M) bezeichneten, Spur von M unddas Produkt aller Eigenwerte der Matrix M gleich der Determinanten det (M).Zuerst wird eine modale Dynamikmatrix nach (2.54a) untersucht, welche lediglichdas Strukturverhalten einer einzelnen Mode r abbildet:

Ar =

[0 1−ω2

r −2ζrωr

]. (3.24)

Die Eigenwerte dieser Matrix errechnen sich wie folgt:

det (srI −A) = det

([sr −1ω2

r sr + 2ζrωr

])= s2

r + 2ζrωrsr + ω2r = 0 (3.25)

⇒ sr,1 = −ζrωr + i√

1− ζ2r ωr, (3.26)

sr,2 = −ζrωr − i√

1− ζ2r ωr (3.27)

und decken sich mit der Gl. (2.10). Bestätigt wird dies durch

spur (Ar) = −2ζrωr = sr,1 + sr,2 sowie (3.28)

det (Ar) = ω2r = sr,1sr,2. (3.29)

Da der Realteil beider Eigenwerte negativ ist, steht fest, dass die DGL xr = Arxr

asymptotisch stabil ist. Wird das System auf n berücksichtigte Moden erweitert, sogilt dies ebenfalls für die übrigen n − 1 Moden, da der Dämpfungsgrad und dieEigenkreisfrequenz nicht-negative Parameter sind.Aufgrund der Definition in Gl. (2.56) weist die Dynamikmatrix A eine blockdia-gonale Gestalt auf, wodurch ihre Eigenwerte die Vereinigung der Eigenwerte derSubmatrizen A1 bis An. Dieser Zusammenhang wird in Anhang A.1.3 bewiesen.Damit ist die Stabilität des CFS unter den getroffenen Annahmen nachgewiesen.

44



Das Interpolationsverhalten des in Gl. (3.1) beschrieben T-S Systems wird maßgeb-lich von den gewählten Zugehörigkeitsfunktionen sowie den Regelnder Inferenzbestimmt. Gleichzeitig existiert ein großer Gestaltungsfreiraum bei der Wahl derFunktionen. Im Rahmen dieser Studienarbeit sollen verschiedene Prototypen mit-einander verglichen werden, wobei nur auf eine kleine Teilmenge der möglichenZuordnungsvorschriften eingegangen werden kann. Bei der Erstellung passenderZugehörigkeitsfunktionen

µ : R3 → I , mit I = [0, 1] (3.30)

werden zusätzliche Restriktionen eingeführt, welche die in Abschnitt 2.2 verfassteDefinition ergänzen:

• Die Zugehörigkeitsfunktionen µ(p) seien stetig.

• Die Bildbereich der Zugehörigkeitsfunktionen µ(p) erstrecke sich mindestensüber das Intervall ]0, 1[, d.h. die Zugehörigkeitsgrade können bis auf eineinfinitesimale Schranke die Werte Null und Eins annehmen. Beispielsweisesind Funktionen unzulässig, die lediglich auf das Intervall [0, 1

2 ] abbilden.

• Der Kern einer Fuzzy-Menge umfasst genau ein Element. Auf die Anwendungbezogen bedeutet dies, dass jedem linguistischen Wert genau ein Punkt imRaum zugeordnet wird, welcher einen Zugehörigkeitsgrad von Eins hat. Umge-kehrt soll zudem gelten, dass das Element dieses Kerns nicht Teil des Kerns deranderen Terme sein darf. Übersetzt auf das verwendete CFS bedeutet dies, dassder geometrische Punkt mit maximaler Zugehörigkeit für jeden linguistischenWert einzigartig sein muss. Sinnvollerweise ist dieser Punkt der Ort an demdas Übertragungsverhalten experimentell bestimmt wurde.

• Nimmt der geometrische Abstand zwischen dem betrachteten Punkt und einemder festgelegten Anregungs- bzw. Messpunkte monoton ab, so soll der Zugehö-rigkeitsgrad zu der Fuzzy-Menge monoton steigen, welche diesen Anregungs-bzw. Messpunkt repräsentiert.

45


An die genannten Bedingungen gebunden, werden vier verschiedene Konzepte vonZugehörigkeitsfunktionen vorgestellt, welche in einer Simulation auf ihr Verhaltenhin untersucht wurden.24

Die Abbildung 3.1 zeigt ein beliebiges Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C sowiedem Umkreismittelpunkt M. Dessen Eigenschaft ist es, dass er zu allen Eckpunkteneines Dreiecks den gleichen euklidischen Abstand hat. Ein Zugehörigkeitsmaß, dasauf der räumlichen Entfernung basiert sollte demnach für diesen Punkt den gleichenZugehörigkeitsgrad zu den Fuzzy-Mengen A, B und C ergeben. Ebenfalls in derSkizze zu erkennen sind der Vektor r welcher die Richtung angibt, in die der PunktT im Laufe der Simulation bewegt wird sowie der Ursprung O. Als Punkt werdenmit Ausnahme von O, M, und T, nur die Punkte bezeichnet, welche der Kern einerFuzzy-Menge sind. Beliebige Punkte innerhalb oder außerhalb des Dreiecks bzw.Körpers sind davon ausgeschlossen.Ferner erklärt die Tabelle 3.1 die für diese Simulation und die Analyse der verschie-denen Konzepte verwendeten Symbole.

O

A = T(t = 1)

B

C

M = T(t = 0)

dAC

dABdBC

r

Abbildung 3.1: Skizze der Testumgebung für die Funktionsprototypen

Ziel dieser Untersuchung ist es, anhand eines zweidimensionalen Beispieles zueruieren, wie die verschiedenen Funktionstypen einen geometrischen Abstand ineinen Zugehörigkeitsgrad umwandeln. Dazu wird der Punkt T in dem Zeitinter-vall t ∈ [0, 1] von M nach A bewegt. Zu jedem der Punkte A, B und C existiert

24 Die erwähnte Simulation wird durch das SIMULINK-Modell SA_Abs_32.slx implementiert, die vonden MATLAB-Skripten SA_Abs_32_init.m und SA_Abs_32_stop.m unterstützt, welche die Abbildun-gen 3.2 bis 3.5 erzeugen.

46


Tabelle 3.1: Symbole und Zahlenwerte der Simulation der Funktionsprototypen

Punkte A, B, C, M, T, O

Ortsvektor pI mit I ∈ A, B, C, M, T, O

Ortsvektoren der Eckpunkte pA =

[0

70

], pB =

[5010

], pC

[9060

]

Ortsvektor des Umkreismittelpunkts pM ≈[

43, 8055, 82

]

Distanz bzw. Abstand zweier Punkte dIJ mit I, J ∈ A, B, C, M, T, O

Verschiebungsrichtung von T r ≈[−43, 80

14, 18

]

Fuzzy-Mengen A, B, C

Zugehörigkeitsfunktionen µA(pT), µB(pT), µC(pT)

Distanzparameter dA = dB = dC = 65

Zusatzparameter κ = 100

eine Fuzzy-Menge A, B bzw. C, welche durch ihre Zugehörigkeitsfunktion µA(pT),µB(pT) bzw. µC(pT) den Zugehörigkeitsgrad des Ortsvektors pT zu dieser Fuzzy-Menge bestimmt. Die Ortsvektoren der Punkte A, B und C sind die Kerne dergleichnamigen Fuzzy-Mengen. Um die Simulation so allgemein wie möglich zuhalten, werden dimensionslose Längen- und Zeiteinheiten verwendet.

Im Folgenden werden die vier Konzepte der Zugehörigkeitsfunktionen eingeführtund anschließend anhand der Simulationsergebnisse miteinander verglichen. DieGrundlage des simulierten CFS ist die Regelbasis aus Gl. (3.1).

Konzept 1 Es sei T der zu untersuchende Punkt, mit dem Ortsvektor pT undT(X ) ∈ Rnset der Vektor aller berücksichtigten Fuzzy-Mengen. Dabei heiße daserste der nset Elemente A und das letzte Z. Dann ist die Zugehörigkeitsfunktionender Fuzzy-Menge I, mit I, J, K ∈ T(X ) definiert als

µI(pT) =

Z∏

J=AJ 6=I

dJT

Z∑

K=A

Z∏

J=AJ 6=K

dJT

. (3.31)

47


Anders ausgedrückt besagt Gl. (3.31), dass sich der Zugehörigkeitsgrad eines PunktesT zu jener, durch den Punkt I definierten, Fuzzy-Menge I über das Verhältnis ausdem Produkt der Abstände aller anderen Punkte des T-S Systems zu dem Punkt Tzu der Summe dieser Produkte der Abstände errechnet. Darüber hinaus impliziertdie Gestaltung der Funktion

C

∑I=A

µI(pT) = 1. (3.32)

Dieser Zusammengang erleichtert die Bildung eines größeren T-S Modells in SIMU-LINK enorm, da er, in Gl. (3.5) eingesetzt, zu

hi(pe, pa) = wi(pe, pa) = µik(pe)µij(pa) (3.33)

führt. Deshalb werden mit Blick auf für die Untersuchungen des Kapitels 4 auch dieanderen Konzepte mit dieser Eigenschaft versehen.Für die Simulation von Konzept 1 ist der Verlauf von µI(pT) mit I ∈ A, B, C in Ab-bildung 3.2 dargestellt. Die Funktion kann als nichtlinear klassifiziert werden. Es fälltauf, dass der Zugehörigkeitsgrad zu Beginn (T(t = 0) = M) für alle Fuzzy-Mengengleich ist. Der Grund dafür ist, dass es sich bei M um den Umkreismittelpunktdes Dreiecks handelt. Am Ende der Simulation gilt µA(pT) = 1, µB(pT) = 0 undµC(pT) = 0. Dies ist konsistent, da zu dem Zeitpunkt t = 1 der Testpunkt T mit demEckpunkt A kongruent ist (T(t = 1) = A).

Konzept 2 Es sei T der zu untersuchende Punkt, mit dem Ortsvektor pT undT(X ) ∈ Rnset der Vektor aller berücksichtigten Fuzzy-Mengen. Dabei heiße daserste der nset Elemente A und das letzte Z. Dann ist die Zugehörigkeitsfunktionender Fuzzy-Menge I, mit I, J ∈ T(X ) definiert als

µI(pT) =e−dIT

Z∑

J=Ae−dJT

. (3.34)

Umformuliert bedeutet Gl. 3.34, dass der Zugehörigkeitsgrad eines Punktes T zu der,durch den Punkt I definierten, Fuzzy-Menge I aus dem Verhältnis des Abstandeszwischen I und T zu der Summe der Abstände aller Punkte zum Punkt T abgeleitetwird, wobei die negativen Abstandswerte als Argument der Exponentialfunktiondienen. Ein theoretischer Nachteil dieses Konzeptes ist, dass dieser Bruch niemals dieWerte Null oder Eins annimmt. Dadurch haben die Fuzzy-Mengen keinen Kern, waseiner der zuvor formulierten Bedingungen widerspricht. Da sich die Zugehörigkeits-grade in einer realen Anwendung wie in Kapitel 4 jedoch bis auf etwa 10−6 bis 10−15

48


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeit t

Zug

ehör

igke

itsg

rad

µI(

p T)

µA(pT)µB(pT)µC(pT)

Abbildung 3.2: Zugehörigkeitsfunktionen - Konzept 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeit t

Zug

ehör

igke

itsg

rad

µI(

p T)



49


an Null bzw. Eins annähern, wird die Bedingung dennoch als erfüllt angesehen.25

Außerdem gilt aufgrund des Nenners in der Funktionsdefinition der Zusammenhangaus Gl. (3.32).Das Simulationsergebnis von Konzept 2 ist in Abbildung 3.3 zu sehen. Im Bezugauf den Kurvenverlauf der Zugehörigkeitsfunktionen können die von Konzept 1geschilderten Beobachtungen übernommen werden. Es fällt auf, dass die Funktionendieses Typs wesentlich schneller gegen ihren Endwert konvergieren.

Konzept 3 Es sei T der zu untersuchende Punkt, mit dem Ortsvektor pT undT(X ) ∈ Rnset der Vektor aller berücksichtigten Fuzzy-Mengen. Zudem existiereein Parameter dI ∈ R, der die Distanz angibt, ab welcher der Punkt T keine Zu-gehörigkeit zur Fuzzy-Menge I hat. Dann ist die Zugehörigkeitsfunktionen derFuzzy-Menge I,J mit I, J ∈ T(X ) definiert als

µI(pT) =

1− dITdI

Z∑

J=A1− dJT

dJ

für dIT ≤ dI

0 für dIT > dI

. (3.35)

Charakteristisch für dieses Konzept ist die ermöglichte individuelle Behandlungjeder Fuzzy-Menge. Dies setzt jedoch ein Vorwissen über das System voraus, dadie Wahl der Distanzparameter dI gravierenden Einfluss auf das Resultat nimmt.Insbesondere gilt es zu vermeiden, durch eine ungenügende Parameterwahl rele-vante Bereiche des Körpers von der Untersuchung auszuschließen, indem sie zukeiner der möglichen Stützmengen gehören. In der Praxis zeigte sich, dass die Wahlvon dI zwischen dem minimalen und dem maximalen Abstand zweier Messpunktezu guten Ergebnissen führt, wobei die Parametrierung für jeden Anwendungsfalleinzeln diskutiert werden sollte.Die Division durch die Summe aller Zugehörigkeitsmaßzahlen hat zwei Konsequen-zen: Zum einen überträgt sich die Eigenschaft aus Gl. (3.32) auf diesen Prototyp, zumanderen wird der Verlauf von µI(pT) den Stellen nicht mehr differenzierbar, wo dieDistanz zu einem Punkt J größer als der, zur Fuzzy-Menge J gehörige, Parameter dJ

wird. Zu sehen ist dies in Abbildung 3.4, welche den Zeitverlauf der Zugehörigkeits-grade für Konzept 3 zeigt, bei t = 0, 43 sowie t = 0, 65. Entgegen dem Augenscheinist auch dieser Funktionstyp im Allgemeinen nichtlinear, da die Berechnung deseuklidischen Abstandes durch die Wurzel der Summe der quadrierten Differenzenerfolgt. Ein Spezialfall wäre der Verlauf des Punktes T auf einer Geraden zwischen

25 Die Schranke bis zu welcher der Zugehörigkeitsgrad sich den Zahlenwerten Null bzw. Eins annähertist für Konzept 2 abhängig vom Längenmaß. Dies gilt nicht für das Konzept 4.

50


zwei Punkten, welche jeweils eine Fuzzy-Menge definieren, ohne die Beteiligungweiterer Fuzzy-Mengen. Dadurch würde sich der Testpunkt auf einer Linie bewe-gen, die senkrecht auf den Kurven gleichen Abstandes der beiden anderen Punkteverläuft.

Konzept 4 Es sei T der zu untersuchende Punkt, mit dem Ortsvektor pT undT(X ) ∈ Rnset der Vektor aller berücksichtigten Fuzzy-Mengen. Dabei heiße daserste der nset Elemente A und das letzte Z. Dann ist die Zugehörigkeitsfunktionender Fuzzy-Menge I,J mit I, J ∈ T(X ) definiert als

µI(pT) =e−(

ln(κ) dITdI

)

Z∑

J=Ae−(

ln(κ)dJTdJ

) =κ− dIT

dI

Z∑

J=Aκ− dJT

dJ

. (3.36)

Dieser Prototyp kombiniert die Konzepte 2 und 3, um sowohl eine gesonderte Hand-habung der Fuzzy-Mengen als auch einen differenzierbaren Verlauf der Zugehörig-keitsfunktionen zu sichern. Hinzu kommt der neue Parameter κ anhand dessen diezwei zentralen Merkmale dieses Funktionstyps deutlich werden. Ist der Ortsvektorvon T gleich dem Kern von I, so gilt κ0 = 1. Befindet sich der Testpunkt in einemAbstand dI vom Punkt I so ist der Zählerin Gl. (3.36) gleich κ−1. Der letztgenannteFakt kann für die Wahl des Zusatzparameters κ eingesetzt werden. Des Weiterengelten die Aussagen bezüglich des Konvergenzverhaltens zu Null und Eins ausKonzept 2 sowie die Gl. (3.32).Grafisch dargestellt wird das Simulationsergebnis für Konzept 4 in Abbildung 3.5,welche die Verwandtschaft zu den Konzepten 2 und 3 sowie die zuvor beschriebenCharakteristika sichtbar macht.

Zusammenfassend erfüllen alle vier Funktionsprototypen die postulierten Bedingun-gen, bzw. sämtliche Ausnahmen davon lassen sich rechtfertigen. Ihr unterschiedlichesVerhalten wurde anhand einer Simulation untersucht und visualisiert.

Somit steht am Ende dieses Kapitels ein stabiles modales Zustandsraummodell(Gl. (2.55) bis (2.58)), welches zusammen mit den Konzepten der Zugehörigkeitsfunk-tionen (Gl. (3.31), (3.34) und (3.35)) die Grundlage für das in dieser Studienarbeiteingeführte CFS (Gl. (3.1)) darstellt. Im anschließenden Kapitel wird der bisher theo-retisch untersuchte Modellierungsansatz an realen mechanischen Körpern getestet.

51


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeit t

Zug

ehör

igke

itsg

rad

µI(

p T)



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeit t

Zug

ehör

igke

itsg

rad

µI(

p T)



52

4 Anwendung

In diesem Kapitel wird anhand zweier Messreihen untersucht, ob der vorgestell-te Ansatz zur Abbildung des Strukturverhaltens mechanischer Systeme geeignetist. Zu diesem Zweck wurden Schwingungsmessungen an einem Stahlbalken undeiner Stahlplatte durchgeführt, wobei ersterer die Körper mit einer dominantenSchwingungsrichtung vertritt und letztere die Klasse der näherungsweise zweidi-mensionalen Körper repräsentiert.Vor der Evaluierung des T-S Systems, wird in den anschließenden Abschnitten dergewählte Messaufbau, die Versuchsdurchführung sowie die Extraktion der modalenParameter beschreiben. Dabei befindet sich zusätzlich zu den dort präsentiertenBildern und Daten weitere in Anhang A.4. Im Anschluss daran wird in einem Exkursdie Berücksichtigung sogenannter Residuen eruiert.Zu Beginn des Abschnitts 4.4 steht eine erste Untersuchung des prinzipiellen Vorge-hens am Messobjekt Balken. Aufbauend auf den daraus gewonnen Erkenntnissenwird das Vorgehen auf ein zweidimensionales Muster von Messpunkten erweitert.Hierbei werden die Ergebnisse des erstellten CFS mit den Resultaten der Ecksystemeverglichen, die das aus den zuvor extrahierten modalen Parametern rekonstruierteStrukturverhalten des betrachteten Punkts exakt abbilden. Ferner werden Kennzah-len definiert, welche die Güte der Approximationen beschreiben.

4.1 Aufbau und Durchführung der Messungen

Die im Rahmen dieser Semesterarbeit getätigten Messungen gleichen sich bis aufden Untersuchungsgegenstand und wenige Parameter. Aufgrund dieser großen Ähn-lichkeit werden der Versuchsaufbau sowie die Versuchsdurchführung einmalig fürein generisches Messobjekt beschrieben.Ziel der Messungen war es die frequenzabhängigen Übertragungsfunktionen zwi-schen den Anregungs- bzw. Messpunkten zu erhalten. Umgangssprachlich formu-liert, wurde dadurch eine Spalte der Übertragungsmatrix α bestimmt, aus welcherdie übrigen Einträge berechenbar sind. Voraussetzung dafür sind die Zeitverläufevon Systemeingang und -ausgang, welche durch die im Folgenden geschilderte

53

4 Anwendung

Versuchsdurchführung gewonnen wurden. Die Abbildungen 4.1, A.4 und A.5 zeigenFotografien des Messaufbaus. In diesem Kontext listet Tabelle 4.1 alle benötigtenKomponenten mit einer kurzen Beschreibung auf.

Tabelle 4.1: Liste der verwendeten Messkomponenten

Komponente Beschreibung

Messobjekt Balken oder Platte

Laptop/PC Mit der Software MATLAB undiwb FRF-Aufnahmetool

LDV mit Controller Firma POLYTEC, Modell OFV-505

Impulshammer mit Kraftsensor Firma KISTLER, Modell 9722A500

Signalverarbeitungsbox Firma NATIONAL INSTRUMENTS,Modell NI USB-4431

Anschlusskabel LDV-Controller,Signalverarbeitungsbox-Controller,Signalverarbeitungsbox-Hammer,Signalverarbeitungsbox-Laptop/PC

Der Systemausgang wurde mittels Laser-DOPPLER-Vibrometer (LDV) erfasst, wel-ches die Schwingungsgeschwindigkeit über den DOPPLER-Effekt misst. Dieser stellteine lineare Beziehung zwischen der Geschwindigkeit eines Objektes und der Fre-quenzverschiebung des auf dieses Objekt gerichteten Laserstrahls her. Die Messrich-tung war hierbei normal zum Versuchsobjekt, bzw. entgegengesetzt zur Richtung derKraftanregung, welche mittels Impulshammer durchgeführt wurde, da diese Metho-de einen weiten Frequenzbereich abdeckt und zugleich flexibel einsetzbar ist. Mit derWahl der roten Hammerspitze (siehe Abbildung 4.1) erstreckte sich der angeregteFrequenzbereich zwischen 0 rad

s und ca. 1200 rads . Die Amplitude der Anregungskraft

wird mit einem im Impulshammer verbauten Kraftsensor gemessen. Im Wesentli-chen handelt es sich dabei um einen Piezo-Kristall, welcher die durch den Schlaghervorgerufene mechanische Spannung in ein elektrisches Messsignal umwandelt.Eine detaillierte Versuchsablaufsbeschreibung ist in Anhang A.2 dargelegt.Aus dem Zeitverlauf des Systemeingangs und -ausgangs kann der für die Untersu-chungen in Abschnitt 4.4 des T-S Systems relevante Nachgiebigkeitsfrequenzgangerrechnet werden. Die gewonnenen Daten befinden sich im Anhang A.4 in denDateiordnern Messung_Balken_23_02 und Messung_Platte_30_03.

54

http://www.polytec.com/de/produkte/schwingungsmesssysteme/einpunkt-vibrometer/

http://www.kistler.com/de/de/produkte/komponenten/kraftsensoren/

http://www.ni.com/usb/d/

4.2 Auswertung der Messdaten und Rekonstruktion derÜbertragungsfunktion

Impulshammer

Balken

LDV

Stativ

Messpunkt

Abbildung 4.1: Fotografie des Messaufbaus 1

4.2 Auswertung der Messdaten und Rekonstruktion der

Übertragungsfunktion

Aus den zuvor beschriebenen Schwingungsmessungen werden die modalen Parame-ter Eigenkreisfrequenz, Eigenvektor und Dämpfungsgrad entweder durch das MAT-LAB-Skript Parameterextraktion.m oder mittels des Polymax Algorithmus der FirmaLMS berechnet. Gespeichert sind die Ergebnisse im Anhang A.4.26 Die Daten unter-scheiden sich durch das Messobjekt und dahingehend, dass bei dem letztgenanntenParametersatz nur die Punkt-FRF (engl. direct FRF), d.h. die Übertragungsfunktion

26 Die Resultate liegen als Matrizen in den MATLAB-Dateien modaleParam_Balken_2Moden_alle.mat,modaleParam_Platte_alle.mat und modaleParam_Platte_nur_direct.mat vor.

55

http://www.plm.automation.siemens.com/en_us/products/lms/engineering/index.shtml

4 Anwendung

vom Anregungsort zum selbigen, berücksichtigt wird. Dagegen wurden bei denmit „alle“ gekennzeichneten Parametersätzen sämtliche Übertragungsfunktionen zurExtraktion der modalen Parameter miteinander verrechnet.Bei der Messreihe an der Stahlplatte fällt auf, dass durch das Einwirken nichtlinearerEffekte bzw. durch die Suboptimalität mancher Messungen, die Eigenkreisfrequen-zen einzelner Moden um bis zu 0,04 rad

s divergieren. Zudem tritt die in EWINS (1995,S. 84 Abbildung 2.27) geschilderte nichtlineare Abhängigkeit von der Anregungs-kraft auf. Durch die Beschränkung auf eine Einzelmessung kann der erstgenannteEffekt eliminiert werden, was insbesondere bei der Evaluierung im Zeitbereich vonBedeutung ist. Aus diesem Grund wird für die exemplarische Rekonstruktion einesMesssignals durch das modale Zustandsraummodell nur die Messung der Punkt-FRFherangezogen.

Für die vorangestellten Untersuchungen im Frequenzbereich sind die MATLAB-Funktionen FFT_Int_Vis.m sowie FRF_via_Lstspktr.m von grundlegender Bedeutung,da sie die in Abschnitt 2.1.3 erklärten Transformationen und Berechnungen durchfüh-ren, deren Resultate für eine Vielzahl an MATLAB-Skripten benötigt werden. Darunterist die im Folgenden beschriebene Simulation, welche die aus den modalen Parame-tern der Platte rekonstruierte FRF der aus den ursprünglichen Messdaten gewon-nenen FRF gegenüberstellt. Als Systemeingang wird die aufgezeichnete Anregungmittels Impulshammer verwendet. Daraus ergeben sich zum einen die Abbildungen4.2 sowie 4.3, die den Vergleich im gesamten modellierten Frequenzbereich von2π rad

s bis 560π rads illustrieren, zum anderen die Abbildungen 4.4 und 4.5, welche

die Ähnlichkeit der Signale in einem Ausschnitt des Zeitbereichs zeigen.Dem Amplitudengang ist zu entnehmen, dass die Spitzen (engl. peaks) der elfberücksichtigten Moden sehr gut wiedergegeben werden, wohingegen die Anti-resonanzen teilweise verschoben sind. Diese Tatsache ist jedoch vernachlässigbar fürdie Approximation des Systemverhaltens, da das Zeitverhalten, welches im Fokusjeder regelungstechnischen Anwendung liegt, durch die Resonanzen geprägt wird.Die größte Ungenauigkeit tritt bei Frequenzen unter 20π rad

s auf, welche die Starrkör-perbewegungen der Platte beschreiben. Der Fehler liegt, anders als bei dem Versuchs-objekt Balken, in einem tolerierbaren Bereich. Für die in Abschnitt 4.4 angestelltenUntersuchungen spielen die aufgezeigten Approximationsfehler des Amplituden-verlaufs keine Rolle, da die Evaluierung der vorgestellten T-S basierten Methodikkeinen Vergleich mit den Originalsignalen vornimmt.

56

4.2 Auswertung der Messdaten und Rekonstruktion der Übertragungsfunktion

2π 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 560π10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

Kreisfrequenz[

rads

]

Nac

hgie

bigk

eit[

m N

]

MessungRekonstruktion

Abbildung 4.2: Platte: Rekonstruktion der Punkt-FRF im Frequenzbereich - Amplitudengang

2π 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 560π

−180

−150

−120

−90

−60

−30

0

Kreisfrequenz[

rads

]

Phas

e[]

Rekonstruktion

Abbildung 4.3: Platte: Rekonstruktion der Punkt-FRF im Frequenzbereich - Phasengang

57

4 Anwendung

Der Phasengang des rekonstruierten Signals in Abbildung 4.3 ist konsistent zu des-sen Amplitudengang. Jede Resonanz entspricht einem Phasenversatz von -180 ,bzw. jede Antiresonanz einem Phasenversatz von +180 . Der Phasenverlauf desMesssignals wurde nicht dargestellt, weil die interne Logik der Winkelverarbeitungkomplexer Zahlen in MATLAB für diesen Fall ein schwer lesbares Ergebnis ausgibt.Bei genauerer Betrachtung des resultierenden Phasengangs kann festgestellt wer-den, dass dieser mit den Ausgangsdaten übereinstimmt. Aufgrund des geringenFrequenzabstands sind die Resonanzen bei 115 rad

s 117 rads im Phasengang nicht als

zwei separate Phasensprünge zu unterscheiden.Die Zeitbereichsanalyse zeigt, dass die Rekonstruktion dem Originalsignal folgt,wobei die Nichtberücksichtigung von Moden ab 560π rad

s sowie Ungenauigkeitenin der Parameterbestimmung zu Abweichungen führen. Durch den Vergleich derAbbildungen 4.4 und 4.5 wird die Verschlechterung der Qualität des rekonstruier-ten Schwingungsverlaufs nach 5 s ersichtlich. Dies setzt sich ebenfalls für spätereZeiten fort, dennoch bleibt die Grundform der Schwingung auch bei zunehmendenAbweichungen erhalten. Bei der Auswertung der Simulation ist zu beachten, dassdie integrierten Messwerte einen Drift, d.h. eine stetig wachsende Abweichung,beinhalten. Dieses Problem ließe sich durch eine Gegenüberstellung auf Geschwin-digkeitsebene umgehen. Da sich der Nachgiebigkeitsfrequenzgang eines Sub- bzw.Ecksystems des in Abschnitt 4.4 untersuchten T-S Systems jedoch aus der Beziehungin Gl. (2.33) ableitet, wird der Positionsverlauf benötigt.Bei der gewählten Platte handelt es sich um einen Untersuchungsgegenstand, wel-cher über eine große Anzahl vergleichbar ausgeprägter Resonanzen verfügt. DieFolgen der nicht modellierten Moden sind besonders gut in Abbildung 4.5 bei ca.5,25 s zu sehen. An dieser Stelle des Zeitverlaufs kann beobachtet werden, dass derhochdynamische Anteil der Schwingung nicht abgebildet wird. Die Begründungdieser Aussage ist das Fehlen lokaler Maxima und Minima im Amplitudengang. Beiden in Abbildung 4.5 auftretenden Abweichungen kann nicht eindeutig bestimmtwerden, ob einer der modalen Parameter in besonderem Maße fehlerhaft ist.

Unter Berücksichtigung der Abweichungen wird sowohl die Rekonstruktion imFrequenzbereich als auch die im Zeitbereich als zufriedenstellend eingestuft. Somitwurde an diesem Punkt belegt, dass die Beschreibung der Schwingung des vorlie-genden mechanischen Systems durch das in Abschnitt 2.1.4 eingeführte, modaleZustandsraummodell zutreffend ist. Das Modell gilt damit als validiert.

58

4.2 Auswertung der Messdaten und Rekonstruktion der Übertragungsfunktion

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

·10−4

Zeit [s]

Am

plit

ude[m

]


Abbildung 4.4: Platte: Rekonstruktion der Punkt-FRF im Zeitbereich - Ausschnitt 1

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5−3

−2

−1

0

1

2

3·10−4

Zeit [s]

Am

plit

ude[m

]


Abbildung 4.5: Platte: Rekonstruktion der Punkt-FRF im Zeitbereich - Ausschnitt 2

59

4 Anwendung


Im vorherigen Unterkapitel wurde die Rekonstruktion der Systemdynamik im Fre-quenzbereich mittels der Daten des Messobjektes Platte vollzogen. Daran anknüp-fend soll untersucht werden inwiefern die Modellierung sogenannter Residuendas Ergebnis beeinflusst. Residuen sind Terme, die zu einer frequenzabhängigenÜbertragungsfunktion addiert werden können um den Einfluss von Moden abzubil-den, welche nicht durch die bisherige Systembeschreibung berücksichtigt werden. InAnalogie zu Gl. (4.20) aus EWINS (1995, S. 172) kann ein Nachgiebigkeitsfrequenz-gang durch den Ausdruck

αjk(ω) ≈ − 1ω2RM,jk

+nhoch

∑r=ntie f

αr,jk(ω) +1

RK,jk

≈ − 1ω2RM,jk︸︷︷︸

a

+nhoch

∑r=ntie f

φjrφkr


︸︷︷︸b

+1

RK,jk︸︷︷︸c

(4.1)

approximiert werden. Dabei steht der erste Summand a für den Residuumsterm,welcher das Übertragungsverhalten im niederfrequenten Bereich manipuliert, wohin-gegen der letzte Summand c aus der Sicht der Regelungstechnik als Systemdurchgrifffungiert. Die Symbole RM,jk und RK,jk sind skalare Faktoren, welche sich nach EWINS

(1995, Abschnitt 4.5) bestimmen lassen.27 Der Index r durchläuft die n modelliertenSchwingungsmoden des Systems. Davon ausgehend, dass die niedrigste berücksich-tigte Mode ntie f ungleich der ersten auftretenden Eigenmode ist, approximiert dermittlere Summand b in Gl. (4.1) nur eine Auswahl der Eigenschwingungsformen,welche bis zur Mode nhoch reicht.Im Bezug auf den entwickelten Ansatz zur Abbildung des Strukturverhaltens mecha-nischer Systeme stellt sich die Frage, ob eine Modellierung von Residuen vorteilhaftwäre. Um dies zu beantworten wird die Messreihe des Stahlbalkens herangezogen,wobei die Messdaten den Rekonstruktionen mit und ohne Residuen gegenüberge-stellt werden. Für die Beschreibung des Schwingungsverhaltens in der gewähltenKoordinatenrichtung sind die zwei dominantesten Moden bei 1712 rad

s und 4682 rads

von Interesse. 28

27 Die beiden Terme RM,jk und RK,jk werden in EWINS (1995, S. 172) auch als „redidual mass“ bzw.„redidual stiffness“ bezeichnet. Diese Begriffe verdeutlichen das physikalische Analogon, welcheshinter den Summanden a und c steht.

28 Das MATLAB-Skript SA_Abs_43.m vergleicht die aus modalen Parametern rekonstruierte FRF mitder um Residuumsterme erweiterten FRF anhand der Frequenz- und Zeitverläufe.

60


Die Ergebnisse im Bereich zwischen 20π rads und 2000π rad

s bzw. zwischen 0 s und1 s sind in den Abbildungen 4.6 sowie 4.7 festgehalten. Erstere zeigt, dass der Am-plitudengang der Übertragungsfunktion mit Residuen deutlich näher an der ausden Messungen errechneten FRF liegt. Besonders positiv fällt die Verbesserung imFrequenzband von ca. 300 rad

s bis ca. 1500 rads auf, in welchem eine zusätzliche An-

tiresonanz erscheint. Die Verschiebung der zweiten Antiresonanz bei 4570 rads ist

akzeptabel, weil die resultierende FRF dennoch näher am Sollverlauf liegt. Bei sehrhohen Frequenzen ab ca. 5000 rad

s ist der als Durchgriff wirkende Residuumstermrelevant für die verringerte Abweichung. Auf die Grafik übertragen verschiebt derSummand c aus Gl. (4.1) die gesamte Kurve hin zu höheren Nachgiebigkeitswerten.Aufgrund der logarithmischen Skalierung der Grafik ist dieser Effekt für kleinereZahlenwerte stärker sichtbar. Auf den ersten Blick scheint die Berücksichtigung vonResiduumstermen der zuvor angewandten Vorgehensweise überlegen. Der evidenteNachteil dieser Methode offenbart sich im niederfrequenten Bereich, wo die Nach-giebigkeit enorm ansteigt, bis sie bei etwa 0,3 rad

s einen Wert größer Eins erreicht.29

Die Konsequenz dieser überhöhten FRF-Werte wird in Abbildung 4.7 illustriert, inwelcher die erste halbe Sekunde der Systemantworten beider Modellierungsansätzezu sehen ist. Als Systemeingang wurde die zur verwendeten Geschwindigkeitsmes-sung zugehörige Impulsanregung gewählt. Um die visuelle Nebeneinanderstellungzu ermöglichen, wurde das Vergleichssignal mit dem Faktor 103 skaliert. Dabeiwird ersichtlich, dass die Übertragungsfunktion ohne Residuen zu einer abklingenSchwingung führt, wohingegen die um Residuumsterme erweiterte Variante einfalsches Systemverhalten abbildet. Deren Zeitverlauf ist zu entnehmen, dass sichder Messpunkt kontinuierlich in die negative Koordinatenrichtung, d.h. in Richtungdes Hammerschlags, bewegt. Diese Bewegung beinhaltet ebenfalls eine abklingendeSchwingung, welche jedoch aufgrund der verhältnismäßig marginalen Amplitude inAbbildung 4.7 nicht zu erkennen ist. Der nachteilige Drift wird von dem Summan-den a in der Gl. (4.1) hervorgerufen, welcher zugleich hauptverantwortlich für diesignifikante Verbesserung im Frequenzbereich ist. Dagegen spielt der Residuums-term 1

RK,jkin dieser Untersuchung eine untergeordnete Rolle. Er verfälscht jedoch

die modellierte Systemdynamik, da ein mechanisches System bei der vorliegendenBetrachtungsweise keinen Durchgriff besitzt.

Das Resümee dieses Abschnitts lautet, dass die Berücksichtigung der Residuen imFrequenzbereich das Resultat deutlich verbessert, jedoch die Betrachtung im Zeitbe-reich unbrauchbar werden lässt. Da die Zeitverläufe für das in dieser Studienarbeit

29 Dieser Bereich nicht in der Abbildung 4.6 dargestellt, da er zu einer unvorteilhaften Skalierung derGraphen führen würde.

61

4 Anwendung

20π 1000 2000 3000 4000 5000 600010−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

Kreisfrequenz[

rads

]

Nac

hgie

bigk

eit[

m N

]MessungRekonstruktion ohne ResiduumRekonstruktion mit Residuum

Abbildung 4.6: Balken: Rekonstruktion einer FRF mit und ohne Residuen im Frequenzbereich

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5·10−2

Zeit [s]

Am

plit

ude[m

]

Rekonstruktion ohne Residuum(skaliert mit 103)Rekonstruktion mit Residuum(unskaliert)

Abbildung 4.7: Balken: Rekonstruktion einer FRF mit und ohne Residuen im Zeitbereich

62


erstellte CFS sowie dessen Evaluierung den zentralen Untersuchungsgegenstandbilden, wird auf die Modellierung von Residuen verzichtet. Zur besseren Abbildungdes Systemverhaltens im Frequenz- und Zeitbereich wird empfohlen die Anzahl derim Modell erfassten Moden zu erhöhen.


Dieser Abschnitt bewertet das in Kapitel 3 aufgestellte CFS mittels der Messreihenam Stahlbalken und an der Stahlplatte. Dabei werden anhand des MessobjektesBalken konzeptionelle Voruntersuchungen durchgeführt, deren Ergebnisse die Legiti-mation darauf aufbauender Untersuchungen an der Platte sind. Den zentralen Punktbilden dabei die Vergleiche der Schwingungsverläufe der verschiedenen Konzeptevon Zugehörigkeitsfunktionen sowie der benachbarten Ecksysteme mit den, aus denMessdaten der Platte rekonstruierten, Sollverläufen.Die im Folgenden durchgeführten Analysen gliedern sich in Betrachtungen desFrequenz- und des Zeitbereichs. Um die Übersichtlichkeit zu verbessern wird derText mittels Piktogrammen gegliedert, welche Informationen über den Versuchsge-genstand sowie den betrachteten Bereich (F/Z) liefern.

F

Z

Durch die Abbildung 4.8 wird die Ausgangssituation grafischaufbereitet. Der Skizze ist zu entnehmen, dass 27 Messungenmittig entlang der x-Koordinate in einem Abstand von 20 mmdurchgeführt wurden. Aus diesen Daten werden die Übertra-gungsfunktionen vom Anregungspunkt bei p0 = 0 zum jeweili-

gen Messpunkt sowie eine simple Näherung durch die Übertragungsfunktionen derbenachbarten Ecksysteme errechnet.30 Diese Approximation ist das eindimensionaleÄquivalent des untersuchten T-S Systems aus Gl. (3.1) mit einer der vier Prototypenvon Zugehörigkeitsfunktionen.31

Die FRF des i-ten Subsystems wird durch

Gi(ω) =Gi−1(ω) + Gi+1(ω)

2(4.2)

30 Diese sowie die folgenden Berechnungen auf Basis der Messreihe am Balken werden im MATLAB-Skript Evaluierung_Messung_23_02.m ausgeführt.

31 Die Wahl des Prototypen ist unerheblich, da alle vier Konzepte den gleichen Zugehörigkeitsgradergeben, wenn jeder betrachtete Punkte die gleiche Entfernung zum Testpunkt hat. Zu sehen istdies bspw. in den Abbildungen 3.2 bis 3.5 bei t = 0.

63

4 Anwendung

1000 mm

20 mm520 mm

50 mm

100m

m

zxMesspunkte

Abbildung 4.8: Skizze des Messobjektes Balken

approximiert. Anschließend werden die 25 Resultate mit der, aus den Messdatenermittelten, FRF des jeweiligen Subsystems verglichen.Die Güte der Näherung wirddurch zwei Maßzahlen ausgedrückt. Zum einen

ABSx =1N

N

∑i=1|xi − xsoll,i| , (4.3)

welche die Absolutwerte der Differenzen aller Einträge zweier zeitdiskreter Signalex und xsoll aufsummiert und durch die Anzahl der Einträge N dividiert. Diese Kenn-zahl ist mit der für zeitkontinuierliche Signale gebräuchlichen L1-Norm verwandt(siehe ARENS et al. (2011)). Die zweite Maßzahl errechnet sich aus der Wurzel derquadratischen Abweichungen zweier zeitdiskreter Signale und wird mit RMS (engl.root mean square) abgekürzt. Unter Verwendung der Formelzeichen aus Gl (4.3) lautetdie Definition:

RMSx =

√√√√ 1N

N

∑i=1

(xi − xsoll,i)2. (4.4)

Analog zum ABS-Wert leitet sich diese Zahl von der L2-Norm ab (siehe ARENS et al.(2011)). Die im Rahmen der Evaluation vorgenommenen Einstufungen „gut“ bzw.„schlecht“ beziehen sich auf die Werte der Maßzahlen ABS und RMS. In diesemSinne sind hohe Zahlenwerte schlechter, da sie synonym für eine größere durch-schnittliche Abweichung vom Sollsignal sind.Werden die Definitionen aus Gl. (4.3) und (4.4) auf die resultierenden Übertragungs-funktionen angewandt, führt dies zu den in Tabelle 4.3 zusammengefassten Er-gebnissen. Die Symbole ABSmin, ABSmitt, ABSmax, RMSmin, RMSmitt und RMSmax

stehen für die jeweiligen Minimal-, Mittel- bzw. Maximalwerte der Kennzahlen allerapproximierten Nachgiebigkeitsfrequenzgänge. Aus der Tabelle kann die größte Ab-weichungsmaßzahl abgelesen werden. Sie beträgt 5, 045 · 10−7 m

N und sagt aus, dassdie schlechteste Approximation einer FRF (Ecksystem p100_p0) durchschnittlich

64


Tabelle 4.3: Balken: Kennwerte der ersten T-S-basierten Approximation im Frequenzbereich

T-S Näherung ABS[10−8 m

N

]RMS

[10−7 m

N

]

G_p320_p0_TS(ω) 1,072 1,202

Mittelwert aller 3,855 2,691

G_p100_p0_TS(ω) 8,031 5,045

um 5, 045 · 10−7 mN abweicht.32 Dies entspricht dem Faktor 5,045·10−7 m

N2,152·10−7 m

N≈ 2, 344 der

arithmetisch gemittelten Amplitudenwerte von G_p100_p0(ω). Diese scheinbargroße Abweichung wird durch die folgenden Fakten kompensiert: Wird der WertABSmax = ABSG_p100_p0_TS dem arithmetischen Mittelwert des diskreten Signals ge-

genübergestellt so ergibt sich das Verhältnis 8,031·10−8 mN

2,151·10−7 mN≈ 0, 373, welches für die

schlechteste Näherung zufriedenstellend ist. Bei der Approximation einer Übertra-gungsfunktion sind insbesondere die Resonanzstellen von übergeordneter Priorität.Wird der RMSmax-Wert ins Verhältnis zur maximalen Nachgiebigkeit der dominantes-

ten Resonanz dieser FRF gesetzt, so beträgt der Faktor lediglich 5,045·10−7 mN

2,275·10−5 mN≈ 0, 022.

Abschließend kann zur Betrachtung der markanten Resonanz bei 1712 rads vermerkt

werden, dass der Unterschied zwischen dem Sollwert und der T-S Näherung durch-schnittlich bei 20,20 % liegt und mit einer Ausnahme stets unter 30 % ist.Ergänzend ist der Vergleich der besten und der schlechtesten Approximation zudem jeweiligen Sollverlauf in den Abbildungen 4.9 bzw. 4.10 festgehalten. Aus die-sen wird ersichtlich, dass die schlechteren Werte des Subsystems p100_p0 durchdie stärkere Abweichung bei Frequenzen unter 1000 rad

s begründet sind. Dennochliegen beide Näherungen über ein weites Frequenzspektrum nahe an jenen, aus denMessungen bestimmten, Nachgiebigkeitsfrequenzgängen. Dies beinhaltet sowohldie vorkommenden Antiresonanzen als auch die in dieser Messrichtung geringerausgeprägten Moden bei 3242 rad

s und 5139 rads .

Es stellte sich heraus, dass eine reine Mittelung bzw. T-S Approximation der Am-plitudengänge der Übertragungsfunktionen mit separater Betrachtung der Phasen-information zu einem anderen Resultat führt als der Zusammenhangs aus Gl. (4.2).Einerseits kann dieses Vorgehen besser sein, da eine Verschiebung der Resonanz-überhöhung um wenige rad

s , welche gelegentlich durch Ungenauigkeiten in den Mes-sungen hervorgerufen wird, weniger gravierend für die Güte der Approximation ist.

32 Bei dieser Aussage muss berücksichtigt werden, dass der RMS-Wert größere Abweichungen stärkergewichtet, als die Maßzahl ABS. Der Begriff „durchschnittliche Abweichung“ ist für diesen Fallnicht im linearen Sinne zu verstehen.

65

4 Anwendung

20π 1000 2000 3000 4000 5000 600010−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

Kreisfrequenz[

rads

]

Nac

hgie

bigk

eit[

m N

]

G_p320_p0(ω)G_p320_p0_TS(ω)

Abbildung 4.9: Beste T-S Näherung der Messreihe Balken

20π 1000 2000 3000 4000 5000 600010−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

Kreisfrequenz[

rads

]

Nac

hgie

bigk

eit[

m N

]

G_p100_p0(ω)G_p100_p0_TS(ω)

Abbildung 4.10: Schlechteste T-S Näherung der Messreihe Balken

66


Andererseits geht bei diesem Ansatz die Fähigkeit zur Nachbildung von Antireso-nanzen, wie sie in den Abbildungen 4.9 und 4.10 zu sehen ist, verloren. Darüberhinaus berechnet sich das arithmetische Mittel komplexer Zahlen nach Gl. (4.2) undnicht durch die getrennte Mittelung von Betrag und Phase.

Begleitet werden die gewonnenen Erkenntnisse durch den Kommentar, dass es eineMinderheit an Ecksystemen gibt, welche überdurchschnittlich schlechte Kennzahlenaufweist. Es wird angenommen, dass diese Fehlerquelle durch eine erneute Messungreduziert werden kann.

F

Z

Die zuvor beschrieben Untersuchungen bilden das Fundamentfür die Verallgemeinerung auf eine mehrdimensionale Betrach-tungsweise. Dabei stellen die Analysen anhand der Stahlplatteden ersten Schritt dieser Verallgemeinerung dar, indem dieMesspunkte innerhalb einer Ebene liegen. Die Abbildung 4.11

skizziert das Messobjekt Platte sowie den gewählten Messbereich in einer vergrö-ßerten Ansicht. Hierbei bilden die Eckpunkte A, E und G ein gleichseitiges Dreieckmit der Kantenlänge 100 mm. Die Strecken von D nach C, bzw. von nach B messen25 mm, alle anderen 50 mm. Angeregt wird die Platte stets am Punkt O, mit dem

Ortsvektor pO =[10 mm 10 mm

]T, welcher in der Vergrößerung nicht sichtbar ist.

Bevor das T-S System im Zeitbereich untersucht werden kann, sollen die Ergebnisseder Frequenzbereichsanalyse des Balkens auf diese Messreihe überragen werden. Dasbei der Modellierung berücksichtigte Frequenzspektrum erstreckt sich von 2π rad

s biszu 540π rad

s und umfasst die ersten elf Moden des schwingungsfähigen Systems.Im Folgenden wird die frequenzabhängige Übertragungsfunktion des betrachte-ten Ecksystems mit denen der T-S Näherung, der zwei benachbarten Ecksystemesowie der aus den modalen Parametern rekonstruierten FRF verglichen. Dabei be-schränkt sich die Betrachtung auf den Amplitudengang und auf die Ermittlung derAbweichungsmaßzahlen.An dieser Stelle wird exemplarisch auf den im Zentrum liegenden Punkt C eingegan-gen, wobei die generierten Resultate des Programms durch Tabelle 4.4 bzw. die Ab-bildungen 4.12 und 4.13 zusammengefasst werden.33 Bezogen auf den durchschnitt-lichen und den maximalen Nachgiebigkeitswert (1, 089 · 10−5 m

N bzw. 5, 963 · 10−3 mN )

des aus den Messdaten berechneten Sollverlaufs befinden sich die Kennzahlen derAbweichungen in der gleichen Größenordnung, wie die des Balkens. Mit Blick auf dieTabelle 4.4 kann behauptet werden, dass die simple T-S Näherung eine Verbesserung

33 Das MATLAB-Skript Evaluierung_Messung_30_03.m ist in der Lage, die beschriebenen Aufgaben fürjeden Punkt des Messdreiecks durchzuführen. Hierfür muss lediglich die Variable pkt gleich demgewünschten Untersuchungspunkt gesetzt werden.

67

4 Anwendung

Vergrößerungy

600m

mx

Messpunkte

AB

C

D

G

F

E

O

800 mm

Abbildung 4.11: Skizze des Messobjektes Platte

gegenüber den beiden anderen Ecksystemen darstellt. Dazu sei angemerkt, dasses mehrere Punkte innerhalb der Messreihe gibt für die der RMS-Wert der Appro-ximation größer ist als jener der benachbarten Ecksysteme. Dies lässt sich durcheine Verschiebung einzelner Resonanzstellen um etwa 0,1 rad

s bis 0,2 rads erklären.

Die Folge ist, dass die leicht fehlerhafte Messung die Mittelung im Frequenzbereichgravierend verringert. Da im Gegensatz zum RMS die Kennzahl ABS keine Qua-drierung der Abweichungen beinhaltet, hat dieser Effekt weniger Einfluss auf daslineare Maß. Dadurch liegen mit Ausnahme von einem Untersuchungspunkt alleABS-Werte der T-S Näherungen unterhalb der Vergleichswerte.Die suboptimale Qualität der aus den modalen Parametern rekonstruierten FRFlässt sich durch die Argumentation aus dem Abschnitt 4.2 erklären. Dabei sind zweiFaktoren hervorzuheben. Zum einen die Wirkung nichtlinearer Effekte und zumanderen die Wahl des Parametersatzes. Durch die simultane Berücksichtigung al-ler Frequenzgänge bei Extraktion der modalen Parameter in der Analysesoftwaresind die Ergebnisse weniger gut auf ein spezielles Ecksystem angepasst. Für dieFolgeuntersuchung im Zeitbereich verursachen die Abweichungsmaßzahlen der Re-konstruktion aus Tabelle 4.4 keinerlei Probleme, da die aus den modalen Parameternerrechnete Systemdynamik den Sollverlauf vorgibt.

Tabelle 4.4: Platte: Kennwerte der ersten T-S-basierten Approximation im Frequenzbereich

Übertragungsfunktion ABS[10−6 m

N

]RMS

[10−5 m

N

]

G_pC_pO_TS(ω) 1,991 3,581

G_pB_pO(ω) 2,407 4,172

G_pD_pO(ω) 3,185 5,546

G_pC_pO_ZRM(ω) 18,31 20,08

68


720 740 760 780 800 820 840 860 88010−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

Kreisfrequenz[

rads

]

Nac

hgie

bigk

eit[

m N

]

G_pC_pO(ω)G_pC_pO_TS(ω)G_pB_pO(ω)G_pD_pO(ω)G_pC_pO_ZRM(ω)

Abbildung 4.12: Vergleich mehrerer FRFs mit G_pC_pO(ω) - Mode 6 und 7

754 755 756 757 758 759 760 761 76210−7

10−6

10−5

10−4

Kreisfrequenz[

rads

]

Nac

hgie

bigk

eit[

m N

]

G_pC_pO(ω)G_pC_pO_TS(ω)G_pB_pO(ω)G_pD_pO(ω)G_pC_pO_ZRM(ω)

Abbildung 4.13: Vergleich mehrerer FRFs mit G_pC_pO(ω) - Vergrößerung Mode 6

69

4 Anwendung

Visualisiert werden die resultierenden Nachgiebigkeitsfrequenzgänge in den Abbil-dungen 4.12 und 4.13. Um die Unterschiede der verschieden Signalverläufe sichtbarerzu gestalten, wurde ein charakteristischer Frequenzbereich ausgewählt. Die erstge-nannte Grafik zeigt, dass auch unter dem Einfluss von Signalrauschen bereits diesimple Näherung dem Sollsignal des Ecksystems pC_pO besser folgt als die Über-tragungsfunktionen aus denen sich die Näherung zusammensetzt. Das deutlichunterschiedliche Verhalten der beiden nächstliegenden Ecksysteme wird als schlüs-sig erachtet, da die Platte nicht quadratisch ist und das vermessene Muster an einerbeliebigen Stelle platziert wurde. Dies spiegelt sich auch in den Abweichungskenn-zahlen in Tabelle 4.4 wieder.Die in Abbildung 4.13 dargestellte Vergrößerung der Resonanz bei 757,8 rad

s legt dar,dass die Näherung um ein Vielfaches besser ist als die Vergleichssysteme. Ermöglichtwird das durch die Berücksichtigung der Phaseninformation in der Gl. (4.2), welchedie Berechnungsgrundlage der Approximation darstellt. Würde die T-S Näherungnur auf Basis der Amplitudengänge gebildet werden, so befände sich der Verlauf derzugehörigen FRF immer zwischen denen beider Ecksysteme.Es gibt jedoch auch Resonanzstellen bei denen die FRF eines der beiden Ecksystemenäher am Sollverlauf ist als die Approximation. Ohne diesen Fakt wäre die getätigteBeobachtung unmöglich, dass der RMS-Werte eines Vergleichssystems niedrigerals derjenige der T-S Näherung ist. Dennoch ist das in Abbildung 4.13 aufgezeigteVerhalten kein Sonderfall und bestätigt das simple T-S Modell.

Somit sind alle für die Zeitbereichsanalyse notwendigen Voruntersuchungenabgeschlossen. Anschließend folgt die Evaluierung des vollständigen CFS nachGl. (3.1) mit den vier verschiedenen Konzepten von Zugehörigkeitsfunktionen ausAbschnitt 3.2.

F

Z

Der zentrale Unterschied dieser Untersuchung zu den vorher-gegangenen ist, dass von hier ab die Sollverläufe gleich denZeitverläufen sind, welche sich aus der Rekonstruktion durchdie extrahierten modalen Parameter ergeben. Ziel dieser Analy-se ist herauszufinden ob, das erstellte T-S System besser als die

Wahl eines der benachbarten Subsysteme ist und welche Zugehörigkeitsfunktion be-sonders geeignet ist.34 Darüber hinaus sollen auftretende Parameterabhängigkeiteneruiert werden.

34 Das SIMULINK-Modell SA_Abs_44.slx erzeugt zusammen mit den Skripten SA_Abs_44_init.m undSA_Abs_44_stop.m alle im Folgenden diskutierten Daten.

70


Analog zur Untersuchung im Frequenzbereich wird das Ecksystem pC_pO als Appro-ximationsziel vorgegeben. Die Ergebnisse werden für verschiedene Parameterwertevon κ und dI , mit I ∈ A, B, D, E, F, G in die Tabelle 4.5 eingetragen und farblich ge-kennzeichnet. Während die grüne markierte Kennzahl die beste T-S Näherung desDurchlaufs kennzeichnet, gilt für die rote Markierung das Gegenteil. Zusätzlich wirddas Ergebnis mit der niedrigsten Abweichungsmaßzahl aller Systeme eines Durch-laufs hervorgehoben. Der Distanzparameter wird absichtlich für jede Fuzzy-Mengegleich gewählt, damit die Anzahl der zu untersuchenden, parameterbedingten Vari-anten überschaubar bleibt. Gerechtfertigt wird diese Entscheidung damit, dass esnicht das Ziel der vorliegenden Arbeit ist, die optimalen Parameter zu ermitteln. Umjedoch Aussagen darüber treffen zu können, ob eine Zugehörigkeitsfunktion bzw. einSubsystem besser zur Beschreibung des gesamten Zeitbereichs der Schwingung oderder ersten Sekunden geeignet ist, wurden die Auswertung jeweils für den Bereicht ∈ [0 s, 15 s] sowie für t ∈ [0 s, 150 s] durchgeführt.35 Der Zeitpunkt t = 15 s istinsofern markant, als dass die Schwingungsamplitude zu diesem Zeitpunkt auf unter50 % des Maximalwerts gesunken ist. Dies gilt für alle Messpunkte des Dreiecks.Die Nomenklatur der Tabelle 4.5 ergibt sich aus der bereits verwendeten Symbolen.Das Formelzeichen y(t) steht für den Zeitverlauf eines Systemausgangs, wobei derName des Ausgangs in verkürzter Form als Index hinzugefügt wird. Beispielsweisesteht yK1(t) für den Ausgangssignal des CFS wenn das Konzept 1 ausgewählt wurde.Da alle untersuchten Systeme am Punkt O angeregt wurden, wird dieser nicht in denSignalnamen integriert.Zur Interpretation der Resultate in Tabelle 4.5 sind die letzten vier Spalten als zweiseparate Durchläufe für tmax = 15 s sowie tmax = 150 s zu betrachten. Aufgrundihrer Parameterabhängigkeit treten die Ausgänge der Funktionsprototypen 3 und4 wiederholt auf, wohingegen die Konzepte 1 und 2 sowie die Vergleichssystemeeinmalig gelistet sind. Der Distanzparameter dI gilt hierbei auch für die Ergebnissedes Konzeptes 4 der zwei folgenden Zeilen. Als Referenz der in Tabelle 4.5 zusam-mengefassten Abweichungsmaßzahlen werden der durchschnittliche sowie der maxi-male Amplitudenwert der Schwingung ypC(t) mit 1, 708 · 10−5 m bzw. 2, 867 · 10−4 mangegeben.Bis auf eine Ausnahme sind die Abweichungskennzahlen des T-S Systems für dasSollsystem pC_pO kategorisch besser als die der drei räumlich nächsten Ecksys-teme. Der Wert ABSypA(t) bei tmax = 150 s ist niedriger als sämtliche ABS-Werte

35 Der Zeitpunkt t = 150 s wird als Endpunkt der Betrachtung gewählt, da die Amplitude weniger als2 % des Scheitelwerts beträgt. Zudem sinkt der Bertag innerhalb der folgenden 50 s lediglich um ca.50 % auf 1 % des Maximalwerts.

71

4 Anwendung

Tabelle 4.5: Platte: Kennwerte des CFS im Zeitbereich - pC_pO

Parameter Signal ABS[10−6 m] RMS[10−6 m]tmax = 15 s tmax = 150 s tmax = 15 s tmax = 150 s

− ypA(t) 10,82 1,870 13,77 4,686ypB(t) 10,85 3,317 13,73 5,463ypD(t) 12,26 3,762 15,46 6,172

− yK1(t) 8,167 2,457 10,47 4,093yK2(t) 10,05 3,356 12,32 5,175

dI = 51 mm yK3(t) 8,663 2,816 10,77 4,426κ = 10 yK4(t) 8,280 2,598 10,45 4,191κ = 50 yK4(t) 8,838 2,866 11,00 4,513



der verschiedenen Zugehörigkeitsfunktionen. Wird jedoch die Maßzahl RMS desDurchlaufs betrachtet, so stellt sich heraus, dass bis auf Konzept 2 alle Varianten desCFS besser als das Ecksystem pA_pO sind. Dieser Sachverhalt kann so interpretiertwerden, dass die Abweichungen der Konzepte 1,3 und 4 zwar im arithmetischenMittel größer als die des besten Ecksystems sind, jedoch dieses über Spitzen imAbweichungsverlauf verfügt, welche das quadratische Maß stärker ansteigen lassenals bei den drei genannten Varianten des CFS. Auf diese Weise kann ein Signal,dass einen niedrigeren ABS-Wert als das Vergleichssignal besitzt, trotzdem einenhöheren RMS-Wert aufweisen. Es liegt im Ermessen des Anwenders, welche Art derAbweichung aussagekräftiger für die untersuchte Problemstellung ist.Die Abweichungsmaßzahlen der Durchläufe mit tmax = 15 s liegen immer überdenen mit tmax = 150 s. Dies ist konsistent, weil die Schwingungen exponentiellabklingen und dadurch die Absolutwerte der Verschiebung wesentlich kleiner sindals zu Beginn. Gleichzeitig verdreifacht sich die Signallänge N durch welche beider Berechnung von ABS und RMS geteilt wird. Unabhängig vom analysiertenEcksystem konnte beobachtet werden, dass die Maßzahlen der Vergleichssystememit der Erweiterung des Zeitintervalls stärker abfallen, als die der vier CFS Varianten.Durch Manipulation von tmax zeigte sich, dass die T-S Näherungen besonders fürdie Beschreibung innerhalb der ersten 50 s geeignet sind, wohingegen die Vergleichs-

72


systeme durch eine Verlängerung des untersuchten Zeitraums mehr profitieren. DieAuswirkungen dieses Effekts sind jedoch relativ gering und werden daher nichtweiter behandelt.Generell formuliert führen die Parameter dI = 101 mm ∨ 151 mm zu kleinerenKennzahlen als dI = 51 mm. Eine plausible Begründung dafür ist, dass die Mit-einbeziehung weiter entfernter Subsysteme vorteilhaft für die Modellierung desSchwingungsverhaltens am Punkt C ist. Diese Aussage weist jedoch keinen allge-meingültigen Charakter auf, was die Untersuchung anderer Messpunkte zeigte. Wirdbeispielsweise das Ecksystem pG_pO als Ziel der Approximation gewählt, so führtdI = 51 mm zu besseren Ergebnissen. Dies ist damit verknüpft, dass sich das Subsys-tem pF_pO dem Schwingungsverlauf des Sollsystems sehr genau annähert und indiesem Fall jede der zur Verfügung stehenden Messungen zu einer Verschlechterungdes Resultates führt. Dies gilt in abgemilderter Weise auch für die anderen beidenEckpunkte des Messdreiecks aus Abbildung 4.11, wobei dort die besten Kennzahlendes CFS meistens so gut sind, wie die des besten Vergleichssystems. Unter bestimm-ten Umständen stellt das entwickelte T-S System weder eine Verbesserung noch eineVerschlechterung gegenüber den nächstliegenden Subsystemen dar. Dem entgegensteht die Erkenntnis, dass für die übrigen untersuchten Punkte sich jede der vier vor-gestellten Zugehörigkeitsfunktionen nahezu ausnahmslos besser zur Approximationdes Sollverlauf eignet als jedes der benachbarten Ecksysteme.Die im Bezug auf den Zusatzparameter κ gelisteten Ergebnisse der Tabelle 4.5 deckensich mit den nicht dokumentierten Erfahrungen, dass eine Wahl von κ ≥ 50 zuschlechteren Abweichungsmaßzahlen führt. Nur in wenigen Fällen konnte durchden Parameter κ = 1000∨ 5000 ein besseres Resultat erzielt werden, als durch κ = 10.Wird ausschließlich die T-S Näherung des Ecksystems pC_pO betrachtet, so scheintder Funktionsprototyp 2 unbrauchbar. Es stellt sich jedoch heraus, dass sobald dienur die räumlich nächsten Subsysteme zu einer Verbesserung der Approximationbeitragen und die anderen verfügbaren Subsysteme am besten unberücksichtigtbleiben, das Konzept 2 den übrigen klar überlegen ist.36 Auffällig wird dies beider Untersuchung der Eckpunkte A, E und G, bei denen im schlechtesten Fall nurdieser Funktionstyp so gut wie das beste Vergleichssystem ist. Allgemein haben dieZugehörigkeitsfunktionen des Typs 1 und 2 den Vorteil, dass sie keine Parameterbenötigen und somit flexibler und schneller einsetzbar sind.

36 Der beschriebene Ausblendungseffekt entfernter Ecksysteme kann auch durch die Zugehörigkeits-funktion des Konzeptes 2 hervorgerufen werden. Dies setzt jedoch voraus, dass das Problem erfasstworden ist und die entsprechenden Parameter bekannt sind.

73

4 Anwendung

Für die in Tabelle 4.5 festgehaltene Auswertung ist yK3(t) mit dI = 101 mm die besteNäherung des Sollsignals ypC(t). Daher werden die beiden Signale zusammen mitdem des besten Ecksystems ypA(t) für die Visualisierung in den Abbildungen 4.14und 4.15 ausgewählt. Aus diesen ist zu entnehmen, dass beide Approximationendem Sollsignal ypC(t) mit langsamerer Dynamik folgen, d.h. die Schwingung desZielsystems wird in einer geglätteten Form wiedergegeben. Gut zu erkennen ist diesin Abbildung 4.14 bei t ≈ 0, 09 s, wo yK3(t) die Maxima und Minima nicht erfasst,sondern stattdessen den Sollverlauf etwa an den Wendepunkten durchkreuzt. Dasbeschriebene Verhalten unterscheidet sich von dem des Ecksystems pA_pO, welchesdurchaus über eine schnellere Dynamik verfügt, jedoch diese der Solldynamik nurgleicht, da sich die Schwingungsformen der Messpunkte ähnlich sind. Die geschilder-ten Beobachtungen sind für die Abbildung 4.15 nur teilweise zutreffend. Zum einendurchkreuzt der Verlauf von yK3(t) nicht mehr den von ypC(t), zum anderen besitzennun alle drei Systeme eine eng verwandte Dynamik. Begründet werden kann dieseFeststellung mit der starken Abnahme des Einflusses der höheren Moden nach 15 s.Das Schwingungsverhalten wird somit im Wesentlichen durch die niederfrequentenResonanzstellen bestimmt, deren Ausprägung bei den drei Systemen ähnlicher istals die des hochfrequenten Übertragungsverhaltens.Die ergänzenden Abbildungen A.6 bis A.9 zeigen die zuvor diskutierten Signalver-läufe in einem leicht veränderten Kontext. Dieser vergleicht den Sollverlauf jeweilsmit allen Konzepten der Zugehörigkeitsfunktionen oder mit den drei benachbartenEcksystemen. Bei gleicher Skalierung der Achsen wird ersichtlich, dass die Zeit-verläufe der vier Varianten des CFS deutlich näher beieinander liegen als die derVergleichssysteme. Dies ist konsistent, da es sich bei den implementierten T-S Nähe-rungen um eine Konvexkombination der Subsysteme handelt, deren Begrenzungen,wie in Gl. (3.7) bzw. ARENS et al. (2011, S. 638) dargelegt, durch die kombiniertenElemente d.h. durch die Subsystem gebildet werden.

Im Anhang A.3 sind vier zusätzliche Tabellen mit der Auswertung weiterer Ecksyste-me zu finden. Dabei sind die Analysen der Systeme pD_pO und pG_pO aufgrundihrer Gegensätzlichkeit besonders interessant. Während die Tabelle A.3 die Stärkendes vorgestellten Ansatzes darlegt, zeigt die Tabelle A.4 das Versagen des selbigenam nachteiligsten Beispiel der aufgenommenen Datensätze. Die erwähnten Ergeb-nistabellen bilden die Bewertungsgrundlage für das eingeführte T-S System. Siebelegen die Anwendbarkeit der Methode an einem mechanischen System sowiedie erreichbaren Verbesserungen bei der Modellierung des Systemverhaltens imVergleich zu den benachbarten Ecksystemen.

74


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−3

−2

−1

0

1

2

3·10−4

Zeit [s]

Am

plit

ude[m

]

ypC(t)ypA(t)yK3(t)

Abbildung 4.14: Platte: Vergleich der Signale ypC(t), ypA(t) und yK3(t) - Ausschnitt 1

14.75 14.8 14.85 14.9 14.95 15

−1

−0.5

0

0.5

1

·10−4

Zeit [s]

Am

plit

ude[m

]

ypC(t)ypA(t)yK3(t)

Abbildung 4.15: Platte: Vergleich der Signale ypC(t), ypA(t) und yK3(t) - Ausschnitt 2

75

4 Anwendung

Abschließend sei darauf hingewiesen, dass die Gesamtheit der Auswertungen dasKonzept 3 leicht favorisiert. Dies ist jedoch nicht eindeutig, da der Funktionsproto-typ in einigen Fällen sowohl das beste als auch das schlechteste Resultat erzeugt.Vielmehr ist die Wahl der Parameter sowie die räumliche Position des approximier-ten Systems bzw. die Präsenz weiterer Ecksysteme mit ähnlicher Systemdynamikausschlaggebend. Die Parameterabhängigkeit kann beispielsweise durch die Verwen-dung des Konzeptes 1 eliminiert werden, dessen Abweichungskennzahlen in Tabelle4.5 weniger als 6 % von den besten des Prototyps 3 divergieren. Bei der Beachtung an-derer Ecksysteme treten größere Abweichungen zwischen den Funktionsprototypenauf, welche die Einführung des zusätzlichen Distanzparameters rechtfertigen.

Weitere Untersuchungsergebnisse befinden sich auf dem beiliegenden Datenträgerim Ordner Eval_Messung_Platte_30_03. Dabei enthalten die Dateinamen alle verwen-deten Parameter.

76

5 Schlussbetrachtung

Das Resümee dieser Studienarbeit gliedert sich in drei Teile. Im Ersten steht dieKurzfassung, welche die durchgeführten Arbeitsschritte wiedergibt. Darauf folgtim zweiten Teil die Bewertung der gewonnenen Erkenntnisse über die Anwendbar-keit der vorgestellten Systemmodellierung, welche insbesondere auf die Resultateder Untersuchungen des Abschnitts 4.4 eingeht. Den Abschluss bildet die Voraus-schau auf zukünftige Forschungsmöglichkeiten. Diese richtet sich zum einen aufdie Erweiterung der bereits getätigten Analysen, zum anderen gibt sie Anregungenfür neuartige Forschungsarbeiten, welche im Zusammenhang zu dem präsentiertenAnsatz der Systembeschreibung stehen.

5.1 Zusammenfassung

Nach einem Überblick über den Stand der Forschung mit Fokus auf thematischverwandte Veröffentlichungen, wurde in Kapitel 2 das benötigte Vorwissen ver-mittelt, welches sowohl die Herleitung der Bewegungsdifferentialgleichungen, dieexperimentelle Ermittlung von frequenzabhängigen Übertragungsfunktionen sowiedie Aufstellung des modalen Zustandsraummodells abdeckt.Letzteres eignet sich besonders für das in dieser Arbeit entwickelte CFS, da die Dy-namikmatrix für alle Subsysteme identisch ist. Zusammen mit der Normalisierungder Erfüllungsgrade auf Ebene der Zugehörigkeitsfunktionen ermöglichte dies eineeffiziente Implementierung des in Kapitel 3 formulierten T-S Systems, welches aufdie Beschreibung mechanischer Schwingungen spezialisiert ist. Unter Verwendungder modalen Zustandsraumdarstellung wurde im Abschnitt 3.1 die asymptotischeStabilität eines autonomen, schwingungsfähigen, mechanischen Systems mit be-liebigem Anfangszustand nachgewiesen. Der anschließende Abschnitt führte vierverschiedene Konzepte von Zugehörigkeitsfunktionen ein, welche den Zugehörig-keitsgrad eines Punktes im dreidimensionalen Raum zu einer Fuzzy-Menge auf Basisdes euklidischen Abstandes ermitteln.Zu Beginn des Kapitels 4 wurden Aufbau und Vorgehensweise der durchgeführtenMessungen erläutert. Dabei gingen der finalen Anwendung bzw. Evaluierung des

77


T-S Systems diverse Untersuchungen voraus. Zu erst wurden in Abschnitt 4.2 dieErgebnisse der Messreihen mit deren Rekonstruktion aus den modalen Parameternverglichen. Dies geschah im Frequenzbereich anhand der FRF sowie im Zeitbereichmittels des Schwingungsverlaufs und validierte zudem das modale Zustandsraum-modell. Darauf aufbauend wurde durch das in Abschnitt 4.3 gewählte Beispiel derEinfluss von Residuumstermen auf die frequenzabhängige Übertragungsfunktionanalysiert. Nach Vervollständigung dieser Sondierungen waren die gewünschtenErkenntnisse gesammelt und es wurde die einfachste Grundform des T-S Modellsanhand des Messobjektes Balken evaluiert. Hierbei wurden in Abschnitt 4.4 jene fürdiese Studienarbeit herangezogenen Abweichungsmaßzahlen definiert und in einVerhältnis zu den Messdaten gesetzt. Die positiven Resultate der Frequenzbereichs-analyse im eindimensionalen Versuchsaufbau ermöglichten die nächste Komplexitäts-stufe. Eine weitere Untersuchung der frequenzabhängigen Übertragungsfunktionenan der, als zweidimensional behandelten, Stahlplatte versicherten die Anwendbar-keit der Grundform des T-S Systems. Den Abschluss der Evaluierung bildete dieGegenüberstellung der vier Zugehörigkeitsfunktionen des CFS mit den Ecksyste-men der nächstliegenden Messpunkte im Zeitbereich. Zu diesem Zweck wurde dieSystemdynamik des mittleren Punkts aus dem Messdreieck als Approximationszielvorgegeben. Das zentrale Argument für die Validierung der in dieser Semesterarbeiteingeführten Systembeschreibung waren die im Bezug auf die Abweichungskenn-zahlen beinahe ausnahmslos überlegenen Ergebnisse des erstellten CFS gegenüberden Vergleichssystemen.

5.2 Fazit

Die Rekapitulation des Forschungsstandes zeigte, dass das in dieser Arbeit verhan-delte Thema eine neuartige Kombination von Modalanalyse und TAKAGI-SUGENO

Modellierung ist. Zwar existiert eine Vielzahl an Forschungsbeiträgen zu den jeweili-gen Themengebieten, jedoch stellt die Vereinigung beider ein Novum dar.

Der fundamentale Baustein des in Kapitel 3 vorgestellten CFS sind die vier Proto-typen der Zugehörigkeitsfunktionen. Es wurden sowohl parameterabhängige alsauch -unabhängige Varianten entwickelt, welche ein breites Spektrum an Kurven-verläufen abbilden können. Dabei wurde die Erfüllung eigens formulierter Kriteriensichergestellt sowie eine Normalisierung umgesetzt, durch welche die Summe derZugehörigkeitsgrade über alle Fuzzy-Mengen gleich Eins ist. Diese zusätzliche Bedin-gung ermöglichte eine wesentlich effizientere und übersichtlichere Implementierung

78

5.2 Fazit

des T-S Systems. Konkret bedeutet das für die Umsetzung in der Simulation, dassanstelle von mehreren separaten Systemen mit anschießender Zusammenführungein einzelner State-Space System genügte. Die beschriebene Vorgehensweise wurdemittels der aufgezeichneten Messdaten verifiziert.

Die Resultate des Kapitels 4 belegten die Anwendbarkeit des präsentierten Ansatzeszur Abbildung von Strukturverhalten für die ein- und zweidimensionale Betrach-tungsweise mechanischer Körper. Aufgrund ihrer großen Bedeutung wurden imersten Schritt die modalen Systemparameter aus den Messreihen extrahiert. Daraufaufbauend wurden diese Parameter in das modale Zustandsraummodell integriertund damit das Ausgangssignal rekonstruiert. In diesem Kontext offenbarten sichSchwierigkeiten aufgrund einer leicht nichtlinearen Systemdynamik der Stahlplattesowie der vielen dicht beieinanderliegenden Moden des Balkens im niederfrequen-ten Bereich. Dennoch konnte das Messsignal der Platte mit hinreichender Güterekonstruiert werden. In Abschnitt 4.3 stellte sich heraus, dass die Erweiterung derSystembeschreibung um Residuumsterme die Qualität der FRF in weiten Teilen desFrequenzspektrums deutlich verbesserte jedoch zu unbrauchbaren Zeitverläufenführte. Weil die Evaluierung des endgültigen CFS im Zeitbereich stattfand, wurdeeine Verwendung von Residuen ausgeschlossen.Eingangs wurde in Abschnitt 4.4 eine vereinfachte Form des CFS aus Kapitel 3untersucht. Bestärkt durch die Tatsache, dass die schlechteste T-S Näherung desBalkens eine maximale lineare Abweichung von ca. 37 % der durchschnittlichenNachgiebigkeitswerts hatte, bzw. die beste Näherung eine von ca. 5 %, wurden dieUntersuchungen mit vergleichbaren Ergebnissen an der Stahlplatte fortgesetzt.Der Kern dieser Arbeit ist die Gegenüberstellung der Systemantworten des CFS mitden Schwingungsverläufen der nächstliegenden Subsysteme. Anhand dieses Ver-gleichs konnte gezeigt werden, dass die Approximationsgenauigkeit des T-S Systemsin der Regel besser als die der anderen Systemen war. Diese Überlegenheit gilt jedochnicht allgemein, da es vereinzelte Testfälle gab, in denen die geeignetste Zugehörig-keitsfunktion schlechter als das beste Ecksystem ausfiel. In einer großen Mehrheitder betrachteten Fälle waren die Abweichungskennzahlen der unterschiedlichenVarianten des CFS mindestens so klein wie die des besten Vergleichssystems.Bei der Betrachtung mehrerer Punkte des Messdreiecks fiel auf, dass die vier Pro-totypen der Zugehörigkeitsfunktionen verschiedene Vor- und Nachteile aufweisen.Beispielsweise ist das Konzept 2 am geeignetsten, wenn nur die räumlich nächstenSubsysteme zu einer Verbesserung der Approximation führen und eine Ausblen-dung der anderen verfügbaren Ecksysteme vorteilhaft ist. Zu beobachten war diesbei der Untersuchung des Subsystems pG_pO. Dagegen schnitt dieses Konzept bei

79


der Approximation des Ecksystems pC_pO schlecht ab, da dort die Berücksichtigungmehrerer Systeme vorteilhaft war. Ein gemeinsame Stärke der Funktionsprototypen1 und 2 ist, dass sie keinerlei Parameter benötigen und daher schnell und flexibeleinsetzbar sind. Dem entgegen steht die Beobachtung, nach welcher die Konzepte3 und 4 häufiger zu niedrigen Abweichungsmaßzahlen führten. Dies gilt insbeson-dere für die Subsysteme, welche nicht an den Ecken des Messmusters liegen. Daeine fortgeschrittene Anwendung garantiert mehr als neun Messpunkte beinhaltet,wird dieser Vorteil für zukünftige Untersuchungen ausgeprägter sein. Des Weiterenwird angenommen, dass im Fall eines bewegten Aktors der differenzierbare Zuge-hörigkeitsgradverlauf des Konzeptes 4 dem stetigen, jedoch nicht differenzierbaren,Verlauf des Konzeptes 3 überlegen sein wird. Insgesamt kann jedoch keiner derFunktionstypen als eindeutiger Favorit für alle Situationen benannt werden.Die anfänglich in Aussicht gestellte Reduzierung der Messpunkte kann nicht garan-tiert werden, da sich die Eigenschwingformen für jeden Untersuchungsgegenstandstark unterscheiden und somit keine generelle Aussage möglich ist.Zudem ist unklar, inwieweit suboptimale Parameterwerte die geschilderten Resul-tate beeinflussten. Es ist jedoch davon auszugehen, dass sich die in dieser Studieherausgearbeiteten Tendenzen nicht ändern. Dies könnte durch Anwendung derMethode auf die Ergebnisse einer FEM-Simulation nachgewiesen werden.

Schlussendlich lautet das Fazit, dass der vorgestellte Ansatz auf Basis eines TAKAGI-SUGENO Systems ein neuartiges und vielversprechendes Werkzeug zur Abbildungdes Strukturverhaltens mechanischer Systeme ist. Er kann speziell dort angewandtwerden, wo das Schwingungsverhalten zwischen vermessenen Ecksystemen gefragtist. Damit schafft diese Methode eine Approximation an Orten, an denen nach einerSchwingungsmessung sonst kein Wissen über die Systemdynamik existiert.

5.3 Ausblick

Mit Abschluss dieser Studienarbeit ergibt sich eine Vielzahl neuer Fragestellungen.So könnten zukünftige Forschungsarbeiten klären, ob der vorgestellte Ansatz auchfür dreidimensionale Testkörper anwendbar ist. Ausgehend von einer komplexenräumlichen Geometrie kann angenommen werden, dass die Prototypen der reinabstandsbasierten Zugehörigkeitsfunktionen, wie Konzept 1 und 2 aus Abschnitt 3.2,suboptimal sind. Dadurch müssten die Funktionsprototypen auf ihre Anwendbarkeitim dreidimensionalen Raum hin analysiert werden. Denkbar wäre beispielsweise,

80

5.3 Ausblick

dass der räumliche Körper auf zweidimensionale Mannigfaltigkeiten zurückgeführtwird, auf welche die in dieser Arbeit eingeführte Systembeschreibung anwendbar ist.Alternativ könnten neuartige Zugehörigkeitsfunktionen entwickelt werden, welchenicht auf dem euklidischen Abstand basieren.Darüber hinaus könnte eine anschließende Untersuchung den Einfluss der Anre-gungsformen behandeln. Theoretisch sollte die Validität des präsentierten T-S Mo-dells unabhängig vom Systemeingang sein, jedoch wurde dies noch nicht praktischuntersucht.

Unter der Voraussetzung, dass sich das Schwingungsverhalten ausreichend genaudurch die modalen Parameter beschreiben lässt, d.h. der Zeitverlauf einer Schwin-gung lässt sich durch eine Rekonstruktion aus den modalen Parametern hinreichendgut approximieren, können die hier präsentierten Forschungsergebnisse in der um-gekehrten Richtung angewandt werden:Es stehe ein vollständig vermessener mechanischer Körper zur Verfügung.37 Dem-nach kann ein CFS erstellt werden, dass eine Vielzahl an Subsystemen beinhaltet,welche die gesamte Körperoberfläche abdecken. Würde das System nun an einemunbekannten Punkt angeregt, so könnten die abstandsbasierten Zugehörigkeitsgradeals Parameter behandelt werden, welche initialisiert und durch ein Gütemaß derartangepasst werden, dass daraus der Ort der Anregung bestimmbar wird. Das verwen-dete Gütemaß könnte sich aus der quadratischen Abweichung von dem Messsignalund der Antwort des implementierten T-S Systems errechnen. Auf diese Weise kön-nen die Zugehörigkeitsgrade durch Optimierungsalgorithmen adaptiert werden,woraus sich, unter Verwendung eines der in Abschnitt 3.2 vorgestellten Konzepte,die Position der Anregung ermitteln lässt. Theoretisch würde dafür die Messung derSystemantwort ein einem Punkt genügen, jedoch ist davon auszugehen, dass sichdas Resultat verbessert, wenn mehrere Systemausgänge berücksichtigt werden, dasowohl Anregungs- als auch Messort eine große Rolle spielen. Für diese Art der Un-tersuchung würde sich das Geschwindigkeitssignal des Laser-DOPPLER-Vibrometersbesser eignen, da es keinen Sensordrift erfährt.Das Ergebnis könnte beispielsweise eine Anwendung sein, bei welcher ein beliebigesObjekt mit dem zuvor analysierten Untersuchungsgegenstand in Kontakt tritt unddurch die verursachten Schwingungen die Position des Objektes auf dem bekanntenGegenstand berechenbar ist. Dies wäre weitgehend unabhängig von einem direktenSichtkontakt oder der Temperatur möglich.

37 In Übereinstimmung mit Kapitel 3 wird ein Untersuchungsgegenstand als vollständig vermessenbezeichnet, wenn von jedem Anregungs- bzw. Messpunkt eine Übertragungsfunktion zu jedemAnregungs- bzw. Messpunkt bekannt ist.

81

Anhang

A.1 Mathematische Umformungen

A.1.1 Transformation der Schwingungsdarstellung

Es folgen die in Abschnitt 2.1.1 ausgelassenen Schritte, welche von Gleichung (2.5)zu (2.6) führen. Die dabei gewählte Vorgehensweise orientiert sich an CRAIG (2005,267f) . Ausgangspunkt ist der Term

q(t) = c1 es1t +c2 es2t, (A.1)

wobei die Variablen s1 und s2 aus Gleichung (2.4) stammen und durch

s1 = λ + iµ, (A.2a)

s2 = λ− iµ (A.2b)

abgekürzt werden können.38 Durch Einsetzen von (A.2) in (A.1) und Ausklammerndes in beiden Summanden vorkommenden Faktors eλt folgt

q(t) = eλt(

c1 eiµt +c2 e−iµt)

. (A.3)

Im nächsten Schritt werden die im Allgemeinen komplexen Faktoren c1 und c2 durchc1 = a

2 +b2i sowie c2 = a

2 − b2i substituiert, wobei a, b ∈ < gilt. Daraus resultiert der

Ausdruck

q(t) = eλt((

a2+

b2i

)eiµt +

(a2− b

2i

)e−iµt

)

= eλt(

a2

(eiµt + e−iµt

)+

b2i

(eiµt− e−iµt

)). (A.4)

38 Die Zuweisung der Vorzeichen in den Gleichungen A.2 kann ohne Beschränkung der Allgemeinheitpermutiert werden.

83

Anhang

Die oben stehende Gleichung lässt sich durch die aus ARENS et al. (2011, S. 271)entnommenen Beziehungen

cos(x) =eix + e−ix

2sowie sin(x) =

eix− e−ix

2i(A.5)

zwischen Exponentialfunktion und Sinus- bzw. Kosinus-Funktion umschreiben zu

q(t) = eλt (a cos(µt) +b sin(µt)) . (A.6)

l b

a

φ

x1

x2

Abbildung A.1:Transformation inPolarkoordinaten

Ausgehend von der Betrachtungsweise, dass es sich beia und b um ein in kartesischen Koordinaten dargestell-tes Tupel handelt, kann dieses ebenfalls in einem polarenKoordinatensystem durch die Länge l und den Winkel ϕ

ausgedrückt werden. Zur grafischen Verdeutlichung die-ses Gedankenganges dient Abbildung A.1. Mittels einerzweiten Substitution wird a = l cos(ϕ) bzw. b = l sin(ϕ)

in A.6 eingesetzt, was zu dem Term

q(t) = eλt (l cos(ϕ) cos(µt) +l sin(ϕ) sin(µt)) (A.7)

führt. Die rechte Seite dieser Gleichung wird, nach Ausklammern des Faktors l,mithilfe des zugehörigen Additionstheorems A.8 aus ARENS et al. (2011, S. 116)umgeformt:

cos(x + y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y) . (A.8)

Schlussendlich resultiertq(t) = eλ l cos(µt− ϕ) . (A.9)

Dieses Ergebnis deckt sich mit der Gleichung (2.6), wobei l = q ist, da sowohl lals auch q die maximale Schwingungsamplitude angeben. In leicht abgewandelterDarstellung ist die hier hergeleitete Erkenntnis in MAGNUS & POPP (2005, S. 173)nachzulesen.

84

A.1 Mathematische Umformungen

A.1.2 Zusammenhang der unterschiedlichen Schreibweisen des

Nachgiebigkeitsfrequenzgangs

In Abschnitt 2.1.4 wurde die Behauptung aufgestellt, dass sich die hier eingeführ-te Schreibweise für αjk(ω) aus Gleichung (2.64) auf die in Gleichung (2.49) ausEWINS (1995, S. 47) zurückführen lässt. Um dies zu beweisen wird die letztgenannteGleichung zuerst durch die Zusammenhänge aus EWINS (1995, S. 47) sowie derMassennormierung aus (2.21) zu

αjk(ω) =n

∑r=1

ψjrψkr

kr −ω2mr + iω2ζr√

krmr

=n

∑r=1

φjrφkr


(A.10)

umgeformt, mit φjr und φkr gleich dem j-tem bzw. k-tem Element der r-ten Spalte ausder massennormierten Modalmatrix. Unter der Voraussetzung, dass alle Einträgevon B und C derart gestaltet sind, dass in jeder Zeile sowie in jeder Spalte nur eineEins steht und alle anderen Komponenten der Wert Null haben, so kann (A.10) zunachstehender Gleichheit umgeschrieben werden:

αjk(ω) =n

∑r=1

cm,jrbm,rk


. (A.11)

was identisch mit (2.64) ist. Anschaulich formuliert wird durch die geforderte Be-schaffenheit von B und C, in Kombination mit den Definitionen Bm = ΦTB bzw.Cm = CΦ, die i-te Zeile, wobei i = 1, ..., ndo f die Zeilenindices der Elemente gleichEins von B durchläuft, der Modalmatrix in die Spalte Bm geschrieben, in welcherdie Eins in B steht. Analog wird die i-te Zeile der Modalmatrix, mit i = 1, ..., ndo f alsSpaltenindices der Komponenten gleich Eins von C, in die Zeile von Cm übertragen,in der die Eins in C steht.Ist die Ein- oder Ausgangsmatrix des nodalen Systems beliebiger Natur, so ergibtsich eine Linearkombination der Zeilen von Φ für die Spalten von Bm bzw. fürdie Zeilen von Cm, was die Transformation zwischen den genannten Schreibwei-sen verkompliziert. Die hier geschilderten Sachverhalte wurden in der MATLAB-Datei SA_Abs_A12.m, zu finden im Anhang A.4, anhand eines generischen Beispielesaufbereitet.

85

Anhang

A.1.3 Eigenwerte der Dynamikmatrix des modalen

Zustandsraummodells

In Abschnitt 3.1 wurde die These aufgestellt, dass die Eigenwerte der Dynamikma-trix des modalen Zustandsraummodells A die Gesamtmenge der Eigenwerte derSubmatrizen A1 bis An ist. Dies soll im Folgenden bewiesen werden.

Gegeben sei eine blockdiagonale Matrix M ∈ R2n×2n mit n SubmatrizenM1, ..., Mn ∈ R2×2, deren übrige Einträge gleich Null sind. Es bezeichnen Λ1, ..., Λ2n

die Eigenwerte der Matrix M sowie λi,1 und λi,2 die Eigenwerte der Submatrix Mi.

Nach ARENS et al. (2011, S. 607) gilt wie in Abschnitt 3.1 bereits erwähnt

det (Mi) =2

∏j=1

λi,j, (A.12)

spur (Mi) =2

∑j=1

λi,j. (A.13)

Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist

det (M) =n

∏i=1

det (Mi) . (A.14)

Darüber hinaus gilt offensichtlich

spur (M) =n

∏i=1

spur (Mi) . (A.15)

Durch Einsetzten von (A.12) in (A.14) bzw. von (A.13) in (A.15) resultiert:

2n

∏k=1

Λi = det (M) =n

∏i=1

2

∏j=1

λi,j, (A.16)

2n

∑k=1

Λi = spur (M) =n

∑i=1

2

∑j=1

λi,j. (A.17)

In Worten formuliert besagen diese Gleichungen, dass das Produkt aller Eigenwerteder Submatrizen Mi gleich dem Produkt aller Eigenwerte der blockdiagonalen MatrixM ist und dass die Summe aller Eigenwerte der Submatrizen Mi gleich der Summealler Eigenwerte der blockdiagonalen Matrix M ist. Daraus folgt, dass die Eigenwerteidentisch sind.

86

A.2 Ablaufbeschreibung der Messungen

A.2 Ablaufbeschreibung der Messungen

Die folgende Beschreibung der Versuchsdurchführung dient dem Zweck der Wieder-holbarkeit der Messergebnisse. Alle in dieser Studienarbeit erhobenen Messungenwurden nach diesem Schema durchgeführt.

Der Versuchsablauf gliedert sich in fünf Schritte:

1. Aufbau und Anschluss der in Tabelle 4.1 gelisteten Komponenten2. Präparation der Messpunkte mit Reflektions-Klebestreifen, wodurch die

Leistung des vom LDV gemessenen optischen Signals auf einem hohen Ni-veau bleibt

3. Start des iwb FRF-Aufnahmetools mit den für das Messobjekt und die Anregungs-art spezifischen Einstellungen

4. Tätigung der Messung4.1. Spannungseinstellung der ICP-Kanäle überprüfen und anschließend den

Button Output generieren klicken4.2. Anweisungen der Signalverarbeitungsbox befolgen4.3. Hammerschlag ausführen4.4. Auf den Signalton der Signalverarbeitungsbox warten, welcher nach der

zuvor eingestellten Messdauer ertönt4.5. Nächste Messung aufnehmen, bis die Anzahl der Mittelungen erreicht ist4.6. Begutachtung der im iwb FRF-Aufnahmetool errechneten Größen; gegebe-

nenfalls Wiederholung der Messung5. Speichern der Messdaten

87

Anhang

A.3 Zusätzliche Abbildungen

Abbildung A.2: CAD-Modell des Messobjektes Balken

Abbildung A.3: CAD-Modell des Messobjektes Platte

88


Abbildung A.4: Fotografie des Messaufbaus 2

Abbildung A.5: Fotografie des Messaufbaus 3

89

Anhang

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−3

−2

−1

0

1

2

3·10−4

Zeit [s]

Am

plit

ude[m

]

ypC(t)yK1(t)yK2(t)yK3(t)yK4(t)

Abbildung A.6: Platte: Vergleich der Signale ypC(t), yk1(t) bis yK4(t) - Ausschnitt 1

14.75 14.8 14.85 14.9 14.95 15

−1

−0.5

0

0.5

1

·10−4

Zeit [s]

Am

plit

ude[m

]

ypC(t)yK1(t)yK2(t)yK3(t)yK4(t)

Abbildung A.7: Platte: Vergleich der Signale ypC(t), yk1(t) bis yK4(t) - Ausschnitt 2

90


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−3

−2

−1

0

1

2

3·10−4

Zeit [s]

Am

plit

ude[m

]

ypC(t)ypA(t)ypB(t)ypD(t)

Abbildung A.8: Platte: Vergleich der Signale ypA(t) bis ypD(t) - Ausschnitt 1

14.75 14.8 14.85 14.9 14.95 15

−1

−0.5

0

0.5

1

·10−4

Zeit [s]

Am

plit

ude[m

]

ypC(t)ypA(t)ypB(t)ypD(t)

Abbildung A.9: Platte: Vergleich der Signale ypA(t) bis ypD(t) - Ausschnitt 2

91

Anhang

Tabelle A.1: Platte: Kennwerte des CFS im Zeitbereich - pA_pO


− ypB(t) 10,91 2,979 13,92 5,301ypC(t) 10,82 1,870 13,78 4,686ypD(t) 18,35 4,204 23,23 8,351

− yK1(t) 15,01 2,864 19,12 6,611yK2(t) 10,80 1,866 13,77 4,684

dI = 51 mm yK3(t) 10,81 1,728 13,73 4,653κ = 10 yK4(t) 12,70 2,531 16,16 5,630

dI = 101 mm yK3(t) 12,65 2,579 16,08 5,629κ = 10 yK4(t) 14,22 2,764 18,10 6,278

dI = 151 mm yK3(t) 15,19 2,904 19,35 6,694κ = 10 yK4(t) 14,96 2,867 19,05 6,592

Tabelle A.2: Platte: Kennwerte des CFS im Zeitbereich - pB_pO


− ypA(t) 10,91 2,979 13,92 5,301ypC(t) 10,85 3,317 13,73 5,463ypE(t) 11,72 1,896 15,02 5,111

− yK1(t) 9,076 2,271 11,43 4,230yK2(t) 10,85 3,317 13,73 5,463

dI = 51 mm yK3(t) 10,06 3,041 12,74 5,047κ = 10 yK4(t) 8,452 2,280 10,70 4,056

dI = 101 mm yK3(t) 8,441 2,086 13,73 4,089κ = 10 yK4(t) 8,788 2,189 11,43 3,917

dI = 151 mm yK3(t) 9,277 2,202 11,65 4,242κ = 10 yK4(t) 9,102 2,203 11,44 4,191

92


Tabelle A.3: Platte: Kennwerte des CFS im Zeitbereich - pD_pO


− ypA(t) 18,35 4,204 23,23 8,351ypC(t) 12,26 3,762 15,46 6,172ypG(t) 12,64 3,601 15,80 6,166

− yK1(t) 8,396 2,614 10,47 4,246yK2(t) 12,26 3,762 15,46 6,172

dI = 51 mm yK3(t) 11,53 3,565 14,50 5,818κ = 10 yK4(t) 9,136 2,883 11,37 4,639

dI = 101 mm yK3(t) 8,293 2,615 10,30 4,210κ = 10 yK4(t) 8,355 2,617 10,40 4,233

dI = 151 mm yK3(t) 7,963 2,460 9,936 4,017κ = 10 yK4(t) 8,114 2,520 10,12 4,100

Tabelle A.4: Platte: Kennwerte des CFS im Zeitbereich - pG_pO


− ypC(t) 17,44 2,809 21,13 7,469ypD(t) 12,64 3,601 15,80 6,166ypF(t) 9,818 1,821 12,34 4,269

− yK1(t) 15,34 3,025 19,00 6,629yK2(t) 10,55 2,579 13,12 4,840

dI = 51 mm yK3(t) 10,55 2,579 13,12 4,840κ = 10 yK4(t) 12,86 2,684 15,92 5,622

dI = 101 mm yK3(t) 12,95 2,644 16,23 5,633κ = 10 yK4(t) 14,55 2,904 18,01 6,301

dI = 151 mm yK3(t) 15,47 3,033 19,16 6,678κ = 10 yK4(t) 15,25 3,006 18,89 6,592

93

Anhang

A.4 Beiliegender Datenträger

Diese Semesterarbeit inkludiert eine DVD, auf welcher sich alle referenzierten Datei-en sowie die PDF-Version dieses Dokuments befinden. Darüber hinaus beinhaltet derDatenträger weitere Datensätze, welche im Rahmen dieser Studienarbeit erhoben,jedoch nicht verwendet wurden sowie sämtliche MATLAB und SIMULINK Dateien.Alle beiliegenden MATLAB-Skripte und Funktionen verfügen über eine integrierteund eine separate Dokumentation, welche im Ordner Doku zu finden ist.

94

Literaturverzeichnis

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98

Eidesstattliche Erklärung

Ich erkläre hiermit eidesstattlich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig ange-fertigt habe. Die aus fremden Quellen direkt oder indirekt übernommenen Gedankensind als solche gekennzeichnet.Die Arbeit wurde bisher keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegt.

Garching, den 30.04.2015

Fabio Muratore

99

ansatz zur abbildung des strukturverhaltens von ... · aufgabenstellung titel der semesterarbeit:...

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