2009/1C∙149

nalysisA

최근회전체의형상이복잡해짐에따라3차원유한요소법을활용하

고자 하는 노력들이 진행되고 있다. 이번 호에서는 ANSYS 사용자들

이 회전체 동역학(Rotor Dynamic) 해석에 한층 더 친숙할 후 있도록

해석 절차를 기술하 으며, 또한 벤치마킹 모델(Lalanne's Model)과

ANSYS 해석결과를비교함으로써해석결과의신뢰성에 해판단할

수있도록하 다.

해석 모델은 보 요소(Beam Element 188)와 부가 질량 요소(Mass

Element 21)를 사용한 모델과 솔리드 요소(Solid Element 186)을 사

용한 모델로 국한하 다. 물론 사용자에 따라 이 방법 이외에 다른 방

법들이있을것으로판단된다. 예를들면, 보요소와솔리드요소를동

시에 사용하는 경우가 있다. 보 요소를 사용한 모델의 경우 빠른 시간

내에해석결과를볼수있는장점이있으며, 솔리드요소를사용한모

델의경우는복잡한형상을정확하게모사할수있는장점이있다.

물론 이 모델들은 실제 모델과 비교할 때 단점도 가지고 있다. 하지

만이러한단점들을보완하기위해사용자들이해석모델을만들때얼

마든지반 할수있도록ANSYS에서지원하는기능들이있다.

회전체 문제는 일반적으로 공진회피설계를 목적으로 위험속도

(Critical Speed) 산정과위험속도선도를통한베어링지지강성선정,

안정성 평가 등을 수행하며, 진폭제어설계를 목적으로 불평형 응답해

석(Unbalanced Response Analysis)을 수행한다. 이번 호에서는 이

해석모델별로일정회전수에서위험속도를산정하여벤치마킹모델

과 비교하 으며, 보 요소와 부가 질량 요소를 이용한 모델을 가지고

ANSYS에서 Campbell 선도, 위험속도를 산정하는 과정, 임의의 불평

형력을부여하여응답을산출하는불평형응답해석과정을기술하 다.

벤치마킹모델

이번호에서는해석모델별결과를검증할수있는벤치마킹모델로

기존에 검증 결과가 제시되어 있는 Lalanne's 모델을 선정하 다. 이

선정된모델은<그림1>과같은기하학적형상과<표1>과같은제원을

가지고있다.

ANSYS Workbench를이용한해석성공사례

이번 호에서는 복잡한 형상을 가진 회전체의 동역학 해석에 앤시스 워

크벤치(ANSYS Workbench)를 활용한 사례에 해 소개한다.

ANSYS Rotor Dynamics 해석 절차 및 신뢰성

■ 신 수 철 ｜ 태성에스엔이창원사무소의과장이다.

E-Mail │ scshin@tsne.co.kr

홈페이지 │ http://www.tsne.co.kr

y

x

z

L1

베어링디스크1

디스크2 디스크3베어링

L2 L3 L4

그림 1. 벤치마킹 모델의 기하학적 형상

150∙C 2009/1

nalysisA

벤치마킹 모델의 고유진동수 해석은 비교적 오래 전부터 널리 사용

되어 오고 있는 전달행렬법(Transfer Matrix Method : TMM)을 이

용하여 25,000rpm에서의 고유진동수를 계산하 다. 전달행렬법은

복잡한선형탄성계를다수의요소로분할하고각요소사이의특성을

행렬의 형식으로 표시하여 행렬의 곱 계산을 실행, 계 전체의 특성을

나타내는 전체행렬을 구한 후 경계조건을 부여하여 계의 진동 특성을

구하는방법이다. 벤치마킹모델의계산결과는<표2>와같다.

보요소와부가질량을이용한해석모델

보 요소와 부가 질량을 이용한 해석 모델은 <그림 2>에서 보다시피

Beam 188번 요소와Mass 21번요소를사용하여모델링하 으며, 부

가질량은원판1(Disk1), 원판2(Disk2), 원판3(Disk3)의위치에반 하

으며 Mass 21번 요소의 요소 속성(Real Constant)으로 입력하

다. 요소속성은식(1)과식 (2)에따라질량과질량관성모멘트를계산

하여입력하 다.

여기서, ρ: 도, R : 원판의 반지름, H : 원판의 두께, M : 원판의

질량, Ix & Iy : 원판의축에 한관성모멘트, Ip : 회전축에 한관성

모멘트이다. 또한 지지 조건을 모사하기 위해 ANSYS에서 베어링 지

지조건을지원하고있는Combine 214번요소를사용하 다.

이번호에서는벤치마킹모델에서계산된결과와비교하기위해회

전수를25,000rpm으로국한하여결과를계산하 다. 해석결과고유

진동수는 <표 3>에 정리하 으며, 모드 형상은 <그림 3�5>에 정리하

다.

디스크 디스크1 디스크2 디스크3

두께(m) 0.05 0.05 0.06

내부 반지름 R1(m) 0.05 0.05 0.05

외부 반지름 R1(m) 0.12 0.20 0.20

축 L1 L2 L3 L4

길이(m) 0.2 0.3 0.5 0.3

반지름 R(m) 0.05 0.05 0.05 0.05

베어링

강성(MN/m) kxx = 50, kyy = 70, kxy = kxy = 0

댐핑(KN∙s/m) cxx = 0.5, cyy = 0.7, cxy = cxy = 0

재질 상수

탄성계수(Pa) 200×109

도(kg/m3) 7800

포와송비 0.3

표 1. 벤치마킹 모델의 제원

순서 고유진동수(Hz)

1차 백워드 55.39

1차 포워드 67.29

2차 백워드 158.01

2차 포워드 194.08

3차 백워드 248.82

3차 포워드 404.60

표 2. 25,000rpm에서 벤치마킹 모델의 고유진동수

순서 고유진동수(Hz)

1차 백워드 55.539

1차 포워드 67.404

2차 백워드 158.700

2차 포워드 195.065

3차 백워드 251.085

3차 포워드 411.721

표 3. 25,000rpm에서 보 요소와 부가질량을 이용한 모델의 고유진동수

M = ρ∙π∙R2 ∙H (1)

Ix = Iy = (M/12)∙(3R2 + H2 ) (2)

Ip = 0.5∙M∙R2 (3)

백워드훨링 포워드훨링

Beam 188번 엘리멘트

Combine 214번 엘리멘트

그림 2. 보 요소와 부가 질량을 이용한 해석 모델

Mass 21번 엘리멘트 Combine 214번 엘리멘트

55.539Hz

그림 3. 보 요소와 부가 질량을 이용한 해석 모델의 1차 모드 형상

67.404Hz

백워드훨링 포워드훨링

158.700Hz

그림 4. 보 요소와 부가 질량을 이용한 해석 모델의 2차 모드 형상

195.065Hz

2009/1C∙151

ANSYS Workbench를 이용한 해석 성공 사례

솔리드요소를이용한해석모델

솔리드 요소를 이용한 해석 모델은 <그림 6>에서 보다시피 Solid

186번요소를사용하 으며, 지지조건은보요소와부가질량요소를

이용한 해석 모델과 동일하게 Combine 214번 Element를 사용하

다, 또한 솔리드 모델과의 연결은 축 단면 중심의 절

점과연결하 다. 해석결과고유진동

수는 <표 4>에 정리하 으며, 모드

형상은 <그림 7~9>에

정리하 다.

해석모델들과벤치마킹모델의결과비교

벤치마킹 모델의 결과와 해석 모델들의 결과를 비교 시 <표 5>에서

보다시피보요소와부가질량을이용한해석모델이오차율이솔리드

모델을이용한해석모델에비해오차율이적었다. 따라서벤치마킹모

델은 유한 요소법을 이용하여 해석 시 보 요소와 부가 질량 요소를 이

용하는것이타당한것으로판단된다.

물론보요소와부가질량을이용한해석모델이항상타당하다고볼

수는 없다. 이것은 회전체의 기하학적 형상이나 비선형성을 고려해야

하는조립특성등을가지고있는회전체에 해서는보요소를사용했

을 경우 오차율이 클 수 있기 때문이다. 이와 같은 단점들을 보완하기

위해서는솔리드모델또는보요소와솔리드모델의혼합모델을이용

하여해석모델을만드는것이보다더타당할수있다. ANSYS에서는

이러한 해석 모델을 만들 수 있도록 지원하는 기능이나 엘리멘트들을

가지고있다.

백워드훨링 포워드훨링

251.085Hz

그림 5. 보 요소와 부가 질량을 이용한 해석 모델의 3차 모드 형상

411.721Hz

백워드훨링 포워드훨링

139.703Hz

그림 8. 솔리드 요소를 이용한 해석 모델의 2차 모드 형상

178.003Hz

백워드훨링 포워드훨링

215.827Hz

그림 9. 솔리드 요소를 이용한 해석 모델의 3차 모드 형상

380.014Hz

백워드훨링 포워드훨링

54.592Hz

그림 7. 솔리드 요소를 이용한 해석 모델의 1차 모드 형상

64.127Hz

그림 6. 솔리드 요소를 이용한 해석 모델

순서 진동수(Hz)

1차 백워드 56.379

1차 포워드 67.642

2차 백워드 154.792

2차 포워드 193.491

3차 백워드 235.069

3차 포워드 406.143

표 4. 25,000rpm에서 솔리드 요소를 이용한 해석 모델의 고유진동수

솔리드 보순서 TMM

고유진동수(Hz) 오차(%) 고유진동수(Hz) 오차(%)

1차 백워드 55.39 56.379 1.79 55.539 0.27

1차 포워드 67.29 67.642 0.52 67.404 0.17

2차 백워드 158.01 154.792 2.04 158.700 0.44

2차 포워드 194.08 193.491 0.30 195.065 0.51

3차 백워드 248.82 235.069 5.53 251.085 0.91

3차 포워드 404.60 406.143 0.38 411.721 1.76

표 5. 25,000rpm에서 해석 모델과 벤치마킹 모델과의 비교

152∙C 2009/1

nalysisA

위험속도산정

벤치마킹모델결과와잘부합하는보요소와부가질량요소를이용

한해석모델을가지고위험속도산정하는과정을기술하고자한다. 모

델링이완성되면솔루션단계에서ANSYS 명령어프롬프트에서다음

과같이입력하여Coriolis Effect를활성화한다.

다음 단계로 Solution > Analysis Type > Modal을 선택하고

Analysis Type > Analysis Option에서그림과같이설정한다.

다음으로그림과같이Calculate Complex Eigenvectors를Yes로

설정한다.

그리고다음과같이회전수에따른순

차적으로해석을수행하면된다. 여기서

각속도는사용자가범위및간격을정하

면된다.

또는 다음과 같이 반복적인 작업을 APDL(ANSYS Parametric

Design Language)을이용하여간단히해석을수행할수있다.

해석이 완료되면 켐벨선도(Campbell

Diagram)를 출력하기 위해 ANSYS 명

령어프롬프트에서다음과같이입력하면

<그림10>과같은켐벨선도를구할수있다.

이러한 과정으로부터 산출된 켐벨선도를 가지고 위험속도를 산출

하는 과정을 <그림 11>과 <표 6>에 정리하 다. 켐벨선도는 고유진동

수를 운전속도의 함수로 나타내는 것으로서 가진 주파수를 함께 나타

낸다. <그림 11>에서 좌표 원점으로부터 퍼지는 직선‘1.0 × Spin’은

1x 운전속도의가진주파수선이며이선과고유진동수선이교차하는

역이 잠재적인 공진 역을 나타낸다. 또한 교차점은 크리티컬 속도

(Critical Speed)를의미한다.

추가적으로 위험속도선도(Critical Speed Map)를 추출하 다. 이

는 비감쇠 위험속도선도로서 회전체의 감쇠와 연성효과를 무시한 설

계초기단계에서수행하는단순화된선도이다. <그림12>에서수평축

/SOLU

CORIOLIS, ON,,, ON

OMEGA, 0

SOLVE

OMEGA, 2000

SOLVE

OMEGA, 4000

SOLVE

.

.

.

*dim, spin,, 31

*do, i, 1, 31

spin(i)=(i-1)*2000

*ENDDO

.

.

.

/solu

*od, i, 1, 30

omega,,, (2*3.141592/60)*spin(i)

mxpand, 50

solve

*enddo

/post1

plcamp,, 1, rpm

그림 10. 보 요소와 부가 질량 요소를 이용한 해석 모델의 켐벨선도

0 6000 12000 18000 24000 30000

3000 9000 15000 21000 27000

회전속도(rpm)

주파수(H

z)

500

400

300

200

100

0

그림 11. 보 요소와 부가 질량 요소를 이용한 해석 모델의 켐벨선도

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

회전속도(rpm)

크리티컬 속도

운 속도

3FW

3BW

2FW

2BW

1FW 1BW

1.0x회전

주파수(H

z)

500

400

300

200

100

0

2009/1C∙153

ANSYS Workbench를 이용한 해석 성공 사례

은지지강성을나타내며수직축은회전속도를의미하고, 회전체의속

도에따라베어링지지강성이일정하다는가정하에위험속도를산출

하는과정을도식화하 다. 만약베어링지지강성이속도의함수가된

다면베어링지지강성의속도특성을반 해야한다.

불평형응답해석

일반적으로 회전체는 제작 오차 등으로 회전체의 질량 분포는 일정

하지 못하다. 이로 인해 회전체의 무게중심은 회전축으로부터 얼마만

큼 편심(eccentricity : e)되어 있고 이에 따라 F=meω2의 원심력이 발

생하며이힘이외력으로작용하게된다. 통상편심과질량의곱인me

를 불평형이라 한다. ANSYS에서는 이 불평형을 User가 원하는 위치

에, 원하는 값을, 원하는 방향으로 설정하여 불평형 응답해석을 할 수

있다. 불평형응답해석절차를아래와같이기술하 다.

모델링과정은이번호에서는생략한다. 모델링시회전하는요소는

미리컴포넌트로다음과같이지정한다.

ANSYS 메인화면 좌측의 트리메뉴에서 Solution으로 들어간 후

Analysis type > New analysis type > Harmonic을선택하고OK 버

튼을 클릭한다. 그리고 다음 그림과 같이 Load Step Opt >

Time/Frequency > Freq and Substps를실행후[HARFRQ]에원하

는 주파수 범위를 지정한다. 다음으로 [NSUBST]에 원하는 substep

수를지정한다. 다음으로[KBC]에Stepped로체크하고OK 버튼을클

릭한다.

ANSYS 명령어 입력 창에 synchro,,rotshaft를 입력한 후, 불평형

하중을원하는위치, 크기, 방향을다음과같이입력한다.

다음으로 ANSYS 명령어 입

력창에cmomega,,rotshaft,,,1

을 입력하면 Z축 기준으로 회전

한다. 다음으로 Solve를 입력하

여 계산을 수행한다. 계산이 완

료되면메인메뉴에서TimeHist

Postproc으로 들어간 후 다음과

같이입력하면<그림13>과같은응답그래프를출력할수있다.

궤적 결과를 확인하기 위해

General Postproc으로 들어간

후 ANSYS 명령어 입력 창에 다

음의 명령어를 이용하면 <그림

14>와 같이 원하는 주파수에서

의응답결과를궤적으로확인할

수있다.

맺음말

이번호에서는ANSYS를사용하여기존에검증된모델과해석모델

들의 해석 결과를 비교함으로써, 사용자들이 다양한 아이디어와 경험

을 가지고 해석 모델을 만들어 실제 회전체의 동 특성을 예측할 수 있

는방안을주고자하 다. 사용자들이회전체해석절차를용이하게이

해하고원활하게해석을진행할수있도록하고자한기 가이루어지

기를희망해본다.

그림 12. 보 요소와 부가 질량 요소를 이용한 해석 모델의 위험속도선도

103 104 105 106 107 108 109 1010 1011

베어링 강성(N/m)

크리티컬 속도

운 속도

4차

3차

2차

1차

고유진동수(cpm)

55,000

50,000

45,000

40,000

35,000

30,000

25,000

20,000

15,000

10,000

5,000

0

순서 및 훨링 모드 크리티컬 속도(rpm)

1차 백워드 훨링 3,629.28

1차 포워드 훨링 3,809.354

2차 백워드 훨링 10,069.386

2차 포워드 훨링 11,358.397

3차 백워드 훨링 16,845.006

3차 포워드 훨링 24,671.678

표 6. 보 요소와 부가 질량 요소를 이용한 해석 모델의 위험속도

cm, rotshaft, elem

set, 1, 42

plorb

f, 11, fx, 0.0025

f, 6, fy,, -0.005

f, 3, fx, -0.0025

nsol, 2, 7, uy

nsol, 3, 7, ux

plvar, 2, 3

그림 13. 절점 7에서의 X & Y 방향의 응답

그림 14. 420Hz에서의 응답 궤적