antena de media onda
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Republica Bolivariana de VenezuelaUniversidad del ZuliaFacultad Experimental de CienciasSector Básico SectorialDepartamento de FísicaCátedra: Electromagnetismo II
Radiación desde una superficie reflectora paraboidal: Método de
Corriente inducido.
Antena de Media onda yTeorema de Reciprocidad Amortiguada
Bachiller Alvarado R. Junior G. 16.988.267
Maracaibo, marzo del 2008
INTRODUCCION
Las antenas de transmisión son sistemas que se utilizan para terminar una
línea de transmisión o una guía de ondas con el propósito de enviar ondas
electromagnéticas de manera eficiente al espacio, y pueden considerarse
con fuentes de esas ondas.
Se utilizaran las ecuaciones de campo ya deducidas para un elemento de
corriente para encontrar el la antena de media onda el flujo de potencia de
radiación de dicha antena.
Ademas otra antena que desarrollaremos es la antena de superficie
paraboloidal por el método de corriente inducida y finalmente el teorema
de reciprocidad para un movimiento amortiguado.
Antena de Media Onda
Durante años se ha usado comúnmente la antena de alambre delgada de media onda,
alimentada por una fuente de voltaje aplicada en un espacio localizado en algún punto a
lo largo del alambre. El propósito de este estudio es la predicción de los campos
radiados a distancias lejanas utilizando los campos conocidos d un elemento oscilante
de corriente.
El resultado del análisis de un elemento de corriente junto con la teoría de superposición
pueden ser herramientas indispensables en los campos radiantes por la estructura de la
antena conociendo la distribución de la corriente.
Continuación se muestra la antena de media onda:
Fig.: “Antena de Media Onda”
La antena de media onda consiste en dos conductores lineales estrechos cada una con
longitud 4
0λ y conectados a dos líneas de transmisión del centro. La resistencia de la
antena se define equivalentemente a la potencia total radiada expresada en términos de
potencia absorbida y expresa como:
)1(21 2
00 rPIR =
Para esta antena la resistencia del radiador es de 73.13 ohms. Con este valor es posible
una buena eficiencia. Comparada con la potencia perdida en los conductores.
Experimentalmente se ha observado que la corriente a lo largo de la antena tiene que
tener una forma de variación senoidal de la forma:
)2(cos0tj
otj zekIIe ωω =
Donde 0I es la amplitud de la corriente del punto de alimentación. El hecho de que la
corriente tiene que tener la forma de arriba se debe a:
La corriente a través de la fuente de excitación debe de tener continuidad, que es
consecuencia del requerimiento de que debe de salir tanta corriente de una
Terminal del generador como la que entra por la otra.
Si los extremos de la antena están abiertos, debe desvanecerse la corriente en los
extremos. Esto sigue de la conservación de la carga.
Las distribuciones de la corriente a ambos lados del girador deben de ser ondas
estacionarias sinusoidales con una constante de fase oβ en el espacio vació,
satisfaciendo las condiciones de frontera de las reglas anteriores.
El campo radiado por un elemento de corriente como el de arriba en dirección a z es:
)3(cos4
sin0
0000 dzzekR
IZjkdE Rjk−=
πθ
θ Y
)4(0 θφ dEYdH =
Por las leyes de los cósenos encontramos que:
( ) )5(cos2
1cos22
1
2
22
122
+
−≈−+=
rz
rz
rrzzrR θθ
Donde lo hemos expresado en términos de potencia rz utilizando el teorema binomial,
ya que 0λ>>r es asumido, entonces podemos dar θcoszrR −= , este resultado puede
ser explicado geométricamente como equivalente a la que las partes desde cada
elemento diferencial al punto de campo distante son paralelas. En el denominador de
θdE podemos remplazar R por r, pero in la exponencial deberíamos usar la expresión
de θcoszrR −= . El campo eléctrico total radiado es:
)6()coscos(cos24
sincos
4sin 4
000
0004
4
)cos(0
000
0
0
0
0
0 ∫∫ −
−
−− ==
λλ
λ
θθ θ
πθ
πθ
dzzkzker
IZjkdzzek
rZIjk
E rjkzrjk
Donde la integral restante que contiene el término )cossin( 0 θzk se aproxima a cero
ya que la integral de la función es impar. Para resolver la integral de arriba utilizaremos
la identidad geométrica:
[ ] [ ]{ } )7()cos1(cos)cos1(cos21
)coscos(cos 0000 θθθ −++= zkzkzkzk
Sustituyendo en la ecuación 6 nos queda:
[ ] [ ]{ } →−++= ∫− dzzkzker
IZjkE rjk
4
000
000
0
0 )cos1(cos)cos1(cos21
24
sinλ
θ θθπ
θ
[ ] [ ] =
+−++= ∫ ∫−
4
0
4
000
000
0 0
0 )cos1(cos)cos1(cos8
sinλ λ
θ θθπ
θdzzkdzzke
rIZjk
E rjk
Por un cambio de variables y evaluando la integral nos da finalmente:
)8(sin
cos2
cos
2cos1
)cos1(2
sin
cos1
)cos1(2
sinsin
400 0000
θ
θπ
πθ
θπ
θ
θπ
θπθ
=
−
−+
+
+= −− rjkrjk e
rZjI
erZjI
E
La potencia total radiada es obtenida integrando un medio de la parte real del vector de
poynting complejo 20 θφθ EYHE =∗ sobre una esfera de radio r. nos da:
)9(sin
cos2
cos
4sin
cos2
cos
8 0
2
020
2
0 0
2
20
20 θ
θ
θπ
πφθ
θ
θπ
π
ππ π
dZI
ddZI
Pr ∫∫ ∫
=
=
Por un apropiado cambio de variables la integral es transformada a:
[ ] )10(2ln)2(781.1ln8
cos18 2
020
2
020
20 ππ
ππ
π
+−=−= ∫ CiZI
duu
uZIPr
Donde:
0226.0)2(cos
)(0
−=→−= ∫∞
πCiduu
uxCi Esta integral esta tabulada.
Sustituyendo la ecuación de arriba en 10 finalmente nos da:
)11(57.36 20IPr =
Si para un caso general la frecuencia es de 10 gigaciclos y la admitancia
característica es de 200 ohms cuya corriente es de la forma de la ecuación 2 podemos
encontrar la potencia radiada.
Calcularemos la resistencia del radiador por:
→= 20
200 57.362
1 IIR ohmsR 13.7357.26.20 ==
El campo de la zona cercana para el dipolo de media onda no contribuye a la potencia
radiada. Esto se debe a que el campo de zona cercana representa la energía almacenada
reactiva en el espacio inmediato que rodea a la antena. Esta energía reactiva da un
término reactivo en la impedancia de entrada de la antena del alimentador de la línea de
transmisión. Las energías almacenada en el campo eléctrico y magnético de la zona
cercana puede ser igual y el termino reactivo de entrada desaparecería.
La directividad del dipolo de media onda es dada por:
( ) )12(sin
cos2
cos
57.3660
2
=θ
θπ
θD
Fig.: “Patrón de Radiación en el plano E de la Antena de Media Onda”
Radiación desde una superficie reflectora paraboidal: Método de
Corriente inducido.
Un alimentador con amplitud del plano igual a E y H y patrones de fase en el cual
satisface las condiciones:
Con polarizacion transversa cero. Guía de onda circular un
alimentador coaxial excitado por los modos mixtos mTE1 y mTM 1 produce un patrón
primario de la forma:
Donde )()( '''' θθ φθ ee ∧ dependen del alimentador particular y la excitación usada. En
la discusión de abajo asumimos que el patrón de alimentador es de esta forma. El
sistema de coordenada utilizado es el que se muestra a continuación:
Figura: “sistema de coordenada que describe el campo asociado en una antena
paraboloidal”
El eje polar para describir el patrón del alimentador es dirigido hacia el reflector, el cual es usado para describir el campo radiado. En coordenadas rectangulares le campo del alimentador es dado por:
Note que 'φφ −= y 'θπθ −= como se muestra en la figura de arriba,
asumimos que en theta es igual a cero el campo esta polarizado a lo largo de y, y en
θφ ee = en theta igual a cero. En el plano 0=φ o el plano H el patrón de alimentador
es proporcional a:
Y en 2πφ = o el plano E el patrón del alimentador es proporcional a:
Los patrones de los planos E y H son igual si )()( θθ φθ ee = para todos los
valores de theta. El patrón de polarizacion transversa entonces es igual a cero para todos
los valores de θ y φ.
El campo magnético incidente en el paraboloide es ff EaYH ×= ϕ0 . En la
superficie del paraboloide se cumple que:
( )2seccos12 '2 θ
θϕ f
f =+
=
Si cada porción de la superficie del paraboloide es tratada como una superficie
reflectora, entonces la corriente producida por el paraboloide es:
En términos de la corriente que es llamado la corriente óptica física, el campo
eléctrico radiado es:
Donde 'r es el vector posición al punto el paraboloide. Utilizando las dos
últimas ecuaciones he integrando sobre φ obtenemos:
Donde 2
tansin2'
01
θθfkv = y '
'
02 cos1coscos1
2θ
θθ+
+= fkv y ψθ =02 es la
apertura angular del paraboloide con longitud focal f
En el método de campo de apertura el campo reflejado en la superficie apertura es
primero encontrado desde la relación:
nEnEE ffr .2+−=
Este campo se asumió que se propaga como una onda plana a la superficie de
apertura, el cual será tomado como en el plano Z=0. la longitud de la parte total es 2f, y
primero encontramos las componentes x Y y del campo apertura que son:
El campo eléctrico radiado es:
Si la formulación en términos de los campos eléctricos y magnéticos en la apertura
es usada, este resultado es el promedio de la ecuación de arriba. En varias formulaciones
se da los mismos resultados para el campo de radiación copolarizada pero muestra una
diferencia mas pronunciada para el campo radiado polarizado transverso, que es lo que
se vera después.
En la región cerrada de los ejes, que es theta pequeña, el uso de la aproximación
1cos =θ en 2v es igual a fk 02 .la diferencia en la función de fase en la formulación
de la corriente superficial y que en el método del campo de apertura s debido a la
diferencia de partes de longitud, como se muestra a continuación:
En el método de campo de apertura la propagación desde la superficie paraboidal a
la superficie de apertura es alo largo de la parte paralela al eje z en concordancia con la
teoría de la óptica geométrica que es el usado para determinar el campo de apertura. La
diferencia de fase entre estos dos métodos es:
( )'
'
020 cos1coscos1
22θ
θθ+
−=− fkvfk
El patrón del alimentador esta dado por:
El campo copolarizado en el plano 4πφ = esta dado por:
El campo polarizado transverso esta dado por:
Teorema de Reciprocidad
Metodología: Calcularemos el teorema de reciprocidad para un movimiento amortiguado que lo que haremos es seguir el mismo procedimiento que el hecho en clase pero con permitividad y permeabilidad complejas de la forma:
)1(''' εεε j−= Y )2(''' µµµ j−=
Las ecuaciones de Faraday y AmperMaxwell para los dos campos electromagnéticos 11, HE y 22 , HE están dada por:
)3(11 HjE ωµ−=×∇
)4(111 EEjH σω ε +=×∇
)5(22 HjE ω µ−=×∇)6(222 EEjH σω ε +=×∇
Por lo que:)7(... 211221
∗∗∗×∇−×∇=
×∇ HEEHHE
)8(... 122112∗∗∗
×∇−×∇=
×∇ HEEHHE
Sustituyendo en las ecuaciones 7 y 8 las cantidades:
)9(2*
2**
2*
EEjH σω ε +−=×∇
)10(11*
1* ++ +−=×∇ EEjH σω ε
Además de sustituir las ecuaciones 3 y 5 en 7 y 8 nos da que:
( ) ( )=+−−−=
×∇∗∗
2*
2**
11221 ... EEjEHjHHE σωεωµ
)11(... 2*
12*
1*
12 EEEEjHHj σω εω µ −+−=∗ y
( ) ( )=+−−−=
×∇∗∗
1*
1**
22112 ... EEjEHjHHE σωεωµ
)12(... 1*
21*
2*
21 EEEEjHHj σω εω µ −+−=∗
Así que en definitiva: )13(.... 2
*12
*1
*1221 EEEEjHHjHE σωεωµ −+−=
×∇
∗∗
)14(.... 1*
21*
2*
2112 EEEEjHHjHE σωεωµ −+−=
×∇∗∗
Nótese que estas ecuaciones no son las mismas, si y solo si los campos electromagnéticos fueran cantidades reales entonces el teorema de reciprocidad se cumpliría de esta forma:
0.1221 =
×−×∫ dSHEHES
CONCLUSION
Encontramos que el campo eléctrico y magnético de un dipolo de
media onda se asemeja al de un dipolo de elemento de corriente, este
trabajo se refirió al análisis de los campos de radiación que se obtiene de
las fuentes típicas de las antenas
Se describen los campos E y H partir de las ecuación de Maxwell y del
uso de los potenciales vectoriales y escalares; se deducen las soluciones de
los campos E y H para distinto tipo de antena, para la antena de media onda
y la antena de superficie paraboloidal. Al extenderse las ecuaciones de
Maxwell a un conjunto simétrico que utiliza cargas y corrientes magnéticas
postuladas, junto con las condiciones de frontera, se forma la base para
predecir los campos de radiación de las antenas relacionadas del tipo de
apertura.