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Antenas e Propagação
Artur Andrade [email protected]
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Agrupamentos de antenas– Em várias aplicações pretende-se obter diagramas de radiação
mais directivos ou com máximos e/ou nulos em direcções pretendidas que não se conseguem recorrendo apenas a um elemento radiante. Usam-se então agrupamentos de antenas idênticas e o diagrama obtido para o agrupamento depende de:
• tipo de elemento radiante utilizado
• configuração geométrica do agrupamento (ex. linear, circular, planar, etc.)
• distância entre elementos do agrupamento
• amplitudes e fases das correntes de alimentação de cada elemento
– Aplicando a sobreposição podemos obter o campo distante do agrupamento, num dado ponto do espaço, somando os campos produzidos nesse ponto por cada elemento do agrupamento.
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Agrupamentos de antenas
• Agrupamento de dois dipolos elementares horizontais– Geometria e aproximações para obter o campo distante
Nas fases
Nas amplitudes
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Agrupamentos de antenas– Supondo correntes de igual amplitude fases de valor ±β/2
podemos calcular o campo distante total recorrendo àsobreposição
– Aplicando as aproximações nas amplitudes e fases vem
Factor do elemento
EF(θ)
Factor de agrupamento
AF(θ)
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Agrupamentos de antenasExemplos
EF(θ) AF(θ)
Cardioide
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Agrupamentos de antenas
• Agrupamento linear uniforme
– Os N elementos constitutivos são colocados na mesma direcção, igualmente espaçados entre si de d, alimentados por correntes de igual amplitude I0 e cada elemento tem um avanço de fase constante de valor β sobre o seu precedente no agrupamento.
– A distância d e o desvio progressivo de fases β constituem as variáveis de controlo do factor de agrupamento.
– O campo distante total, num dado ponto do espaço, é obtido pela soma dos campos distantes devidos a cada elemento do agrupamento, usando-se as aproximações habituais nas amplitudes e nas fases.
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Agrupamentos de antenas
• Cálculo do factor de agrupamentoGeometria para cálculo
do campo distante
Progressão geométrica com N termos e razão ejψ
Soma fasorial
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Agrupamentos de antenas
• Cálculo do factor de agrupamento
– Escolhendo o centro do agrupamento para origem de fases vem
– Podemos ainda normalizar AF pelo seu valor máximo N
Aproximação válida para pequenos valores de ψ
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Agrupamentos de antenas– Propriedades da função AF(ψ)
|AF(ψ)|
• Periódica com período 2π
• Máximos de valor N em ψ = ±2n π, n = 0, 1, 2, …
(um lóbulo principal em cada período)
• N – 1 zeros em cada período
• N – 2 lóbulos secundários em cada período
• Lóbulo principal fica mais estreito quando Naumenta
• Máximos dos lóbulos secundários diminuem com o crescimento do valor de N
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Agrupamentos de antenas– Nulos de AF(ψ)
– Máximos deAF(ψ)
– Ponto 3 dB abaixo do máximo
– Máximo do primeiro lóbulo secundário
Da tabela de sin(x)/x
Para s = 1 temos
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Agrupamentos de antenas– Para determinarmos os máximos θm e nulos θn no diagrama de
radiação, devidos ao factor de agrupamento AF(ψ), temos de utilizar a relação entre ψ e θ,
ψ = Kdcosθ + β– Como θ varia entre 0º e 180º então a gama de valores possíveis
para ψ é
–Kd + β ≤ ψ ≤ Kd + β
que se denomina de janela ou região visível da função AF(ψ) – A distância d controla a dimensão da região enquanto β controla
a localização do centro da região– Uma escolha adequada de d e β permite então posicionar a
região visível para se ter o máximo principal de AF(ψ) segundo o ângulo θ pretendido no diagrama do factor de agrupamento
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Agrupamentos de antenas
• Cortina de radiação transversal (Broadside Array)– Pretendemos que máximo de AF(ψ) corresponda a θ = 90º
• Para não aparecerem máximos principais também para os ângulos θ = 0º e θ = 180º devemos limitar a largura da região visível usando valores de dinferiores a λ
Em ψ = 0 estamos no máximo de AF(ψ)
Máximos não pretendidos
Máximo em θ = 90º
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Agrupamentos de antenas
• Cortina de radiação longitudinal (End-fire Array)– Pretendemos que máximo de AF(ψ) corresponda só a θ = 0º, ou
só a θ = 180º ou ambos • Para θ = 0º
• Para θ = 180º
Máximo em θ = 0º Máximo em θ = 180º
• Para não aparecerem máximos principais também para o ângulo θ = 90º devemos limitar a largura da região visível usando valores de d inferiores a λ
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Agrupamentos de antenas
• Tabela resumo
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Agrupamentos de antenas
• Orientação do máximo numa direcção desejada– Para ter o máximo no ângulo θmax temos de impor um desvio de
fase que origina para θmax estarmos no máximo da função AF(ψ)
ψ = Kdcosθ max+ β = 0 => β = –Kdcosθmax
θ max
• Deve evitar-se lóbulos principais noutras direcções garantindo que os valores de θ = ±2nπ não são incluídos na região visível de AF(ψ).
• Uma variação contínua do desvio progressivo de fase β permite ir variando a direcção de máximo do diagrama de radiação, processo a que se dá o nome de “phasescanning”
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Agrupamentos de antenas
• Cortina longitudinal de Hansen-Woodyard– Hansen e Woodyard mostraram que é possível optimizar a
directividade na direcção de máximo se tomarmos um desvio progressivo de fases dado por
e uma distância entreelementos dada por
Máximo em θ = 0º
Máximo em θ = 180º
Para N elevado
Maior Directividade
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Agrupamentos de antenas
• Tabela resumo
Diagramas de radiação
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Agrupamentos de antenas
• Directividades dos agrupamentos lineares uniformes– Supomos radiadores isotrópicos calculando a directividade
devida apenas ao factor de agrupamento
• Cortina transversal– Intensidade é proporcional a |AFn(ψ)|2
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Agrupamentos de antenas
– Fazendo a mudança de variáveis seguinte
– Obtém-se
– Finalmente temos π
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Agrupamentos de antenas
• Cortina longitudinal– Procedendo de forma análoga obtém-se neste caso
• Cortina longitudinal de Hansen-Woodyard– Neste caso temos
O dobro da cortina transversal
1.8 vezes maior que cortina longitudinal
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Agrupamentos de antenas
• Método gráfico para obter diagrama de radiação a partir de |AF(ψ)|
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Agrupamentos de antenas
• Método gráfico (exemplos)
N = 4, d = 0.4λ e β = -kd N = 4, d = 0.4λ e β = 0
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Agrupamentos de antenas
• Agrupamentos lineares não uniformes
– Continuamos a considerar apenas o factor de agrupamento.
– De uma forma geral podemos variar quer a distância entre elementos do agrupamento, quer a amplitude e fase das correntes de alimentação de cada elemento. No entanto, na prática nem todos estes parâmetros são usados ao mesmo tempo como variáveis de controlo.
– Um caso importante ocorre quando o espaçamento é constante e as correntes de alimentação têm a mesma fase mas amplitudes distintas.
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Agrupamentos de antenas
• Factor de agrupamento– Espaçamento constante, correntes em fase mas com amplitudes
ai diferentes e com simetria em torno da origem
2M elementos 2M + 1 elementos
Com número ímpar de elementos o elemento central é alimentado pela corrente 2a1
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Agrupamentos de antenas– Se definirmos
e normalizarmos o factor de agrupamento dividindo por 2 vem
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Agrupamentos de antenas
• Cortina (de radiação transversal) binomial– As amplitudes das correntes são proporcionais aos coeficientes
do binómio de Newton, que se podem obter pelo triângulo de Pascal
– Se o número de elementos usados for elevado as correntes diferem muito, particularmente entre os elementos centrais e daspontas, o que origina problemas de implementação
Triângulo de Pascal
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Agrupamentos de antenas
• Cortina (transversal) binomial– No caso de d ≤ λ/2 não temos lóbulos secundários no factor de
agrupamento.
– Para o caso de d = λ/2 obtém-se
Diagramas do factor de agrupamento com 10 elementos
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Agrupamentos de antenas
• Cortina (transversal) de Dolph-Tschebyscheff– Como vimos, o factor de agrupamento é um somatório de
termos do tipo cos(mu) em que o valor mais elevado de m é o número de elementos do agrupamento menos um.
– Para cos(mu) podemos escrever
– Onde Tm(z) é um polinómio de Tschebyscheff de ordem m
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Agrupamentos de antenas– Polinómios de Tschebyscheff
Fórmula Recursiva
Propriedades dos polinómios:
1. Todos passam no ponto (1,1);
2. Todos são limitados a ±1 para |z| ≤ 1;
3. Na região |z| ≤ 1 todos os máximos valem 1 e os mínimos –1;
4. Todos os zeros ocorrem na região |z| ≤ 1;
5. Os polinómios de ordem par são funções pares e os de ordem ímpar são funções ímpares.
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Agrupamentos de antenas– A utilização dos polinómios de Tschebyscheff com uma escolha
adequada da região visível, vai permitir obter um factor de agrupamento com todos os máximos secundários de igual valor e R dB abaixo do máximo do lóbulo principal.
– As amplitudes das correntes de alimentação dos N elementos do agrupamento são obtidas forçando o factor de agrupamento a ser representado pelo polinómio de Tschebyscheff de grauN – 1.
– A relação de passagem da variável u = (πd/λ)cosθ para a variável z do polinómio é dada por
sendo z0 obtido por forma a que
Relação objectivo entre o máximo do lóbulo principal e os máximos dos lóbulos secundários
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Agrupamentos de antenasExemplo: considerar 10 elementos igualmente espaçados e uma
relação objectivo de R = 26 dB
1. O polinómio a usar será o de ordem N – 1 = 92. O factor de agrupamento é
3. Expande-se a expressão anterior
e substituem-se os termos cos(mu) pelo seu desenvolvimento em termos com apenas potências de cos(u)
4. A partir de R = 26 dB = 20 obtemos o valor de z0
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Agrupamentos de antenas5. Faz-se a mudança de variável cos(u) = z/z0 na expressão obtida
em 3. 6. Igualamos a expressão anterior ao polinómio T9(z) e calculamos
os coeficientes para serem iguais aos do polinómio, obtendo assim os valores das amplitudes das correntes dos elementos.
Normalizando por a1
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Agrupamentos de antenas– Note-se que não foi ainda escolhido o valor de d pelo que
poderão ocorrer máximos para direcções diferentes da desejada de θ = 90º. Temos de controlar a região visível usando valores de d inferiores a λ.
θ = 90º → z = z0Máximo transversalnão depende de d
Região visível para d = λ/2Região visível
para d = λ
d = λθ = 0º ou 180º
→ z= –z0
|z| ≤ 1 → lóbulos secundários
Máximo em θ = 0º ou 180º
Nota: este tipo de agrupamento conduz ao nível mais baixo de lóbulos secundários relativamente ao principal, para uma dada largura de feixe.
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Agrupamentos de antenas– Diagrama do factor de agrupamento e directividade
HPBW
Note-se os máximos dos lóbulos secundários todos iguais e R dB abaixo do máximo do lóbulo principal
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Agrupamentos de antenas
• Cortina de Dolph-TschebyscheffO estudo anterior foi feito para o caso mais usado na prática de radiação transversal (θmax = 90º e β = 0). Podemos estender este estudo para outras direcções de máximo se incluirmos um desvio progressivo de fase não nulo.
– Para o factor de agrupamento teremos
– Os cálculos são feitos da mesma forma mas usa-se a variável ψ/2 em vez de u, sendo a mudança de variáveis para z dada por
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Agrupamentos de antenasExemplo: retomando o caso de 10 elementos igualmente
espaçados e uma relação objectivo de R = 26 dB.
Usemos agora β = –kd= –π
θ0º90º180º
Região visível
ψ/2 = π/2cosθ – π/2
–π ≤ ψ/2 ≤ 0
z = z0cos(ψ/2)
–z0 ≤ z ≤ z0
Obtemos uma cortina de radiação longitudinal com máximos em 0º e 180º
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Agrupamentos de antenas
• Resumo comparativo
Agrupamento Menor HPBW Nível mais baixo dos lóbulos secundários
Nível mais baixo dos lób. sec. para uma
dada HPBW
Uniforme 1 3 3
Binomial 3 1 2
Dolph-Tschebyscheff 2 2 1
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Agrupamentos de antenas
• Agrupamentos planares uniformes– O factor do agrupamento normalizado é dado pelo produto dos
factores de agrupamento normalizados nas direcções x e y
Para evitar a ocorrência de máximos em direcções não desejadas devemos usar dx e dymenores que λ/2.
Agrupamento planar uniforme
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Agrupamentos de antenas– Como βx e βy são independentes podemos ter máximos em AFx
e AFy em direcções diferentes. No entanto, normalmente pretendemos uma única direcção de máximo (θ0 , φ0) pelo que devemos ter simultaneamente
• Directividade– Para um número elevado de elementos e com o máximo
próximo da radiação transversal, obtém-se
onde Dx e Dy são, respectivamente, as directividades das cortinas transversais segundo xx e yy.
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Agrupamentos de antenas– Exemplos de factores de agrupamentos planares uniformes
Nota: também podemos ter agrupamentos tridimensionais onde o factor total é o produto de três factores, em x, y e z.
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Agrupamentos de antenas
• Síntese de Schelkunoff– Neste método sintetiza-se um agrupamento de tal forma a que o
factor de agrupamento apresente nulos segundo direcções desejadas.
– Consideremos um agrupamento linear com N elementos igualmente espaçados e com um desvio progressivo de fase β; o factor de agrupamento é dado por
onde an representa a corrente de alimentação do elemento n.– Se fizermos a mudança de variável
o factor de agrupamento fica um polinómio em z de grau N – 1
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Agrupamentos de antenas– O polinómio tem N – 1 raízes zi e pode ser expresso de forma
factorizada
– O seu módulo é dado por
– Uma escolha adequada do posicionamento das raízes deste polinómio determina os nulos de AF(ψ), o que por sua vez determina também os nulos em de AF(θ), quando tomamos em AF(ψ) a sua região visível (depende dos valores de d e de β)
– A relação entre as variáveis z, ψ e θ é
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Agrupamentos de antenas– A variável z tem módulo unitário e fase ψ que depende de d, de
θ e de β; a região visível de ψ determina a região visível do círculo unitário onde z reside.Exemplos:
Região visívelRegião invisível
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Agrupamentos de antenas– A expressão
permite afirmar que, para cada valor de z, o módulo do factor de agrupamento normalizado por |an| é dado pelo produto das distâncias de z às raízes no círculo unitário, como se mostra na figura para três raízes
• Note-se que só podemos tomar os valores de z que estão na região visível.
• Isto também implica que só os nulos na região visível originam nulos em direcções θ no factor de agrupamento.
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Agrupamentos de antenasExemplo: pretende-se nulos nas direcções 0º, 90º e 180º, utilizar
um espaçamento de λ/4 e β = 0.� 3 nulos → polinómio de grau N – 1 = 3 → nº elementos N = 4
� θ1 = 0º → ψ1 = (2π/ λ)dcosθ1 + β = π/2 → z1 = ejπ/2 = j� θ2 = 90º → ψ2 = 0 → z2 = ej0= 1� θ3 = 180º → ψ3 = –π/2 → z3 = e –jπ/2 = – j
Correntes
Diagrama
Nulos nas direcções desejadas
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Agrupamentos de antenasExemplo: AFnorm(z) = z(z4 – 1), β = 0. Determinar:a) Número de elementos, sua posição ao longo do eixo do agrupamento
e amplitudes e fases das correntes de cada elemento;
b) Direcções dos nulos do factor de agrupamento se o comprimento total for 2λ.
Não confundir com variável z = ejψ
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Agrupamentos de antenas
• Síntese de Fourier– Consideremos um agrupamento linear de N = 2M + 1 elementos
uniformemente espaçados de d e com uma variação progressiva de fase de valor β. O factor de agrupamento é
– Se nesta expressão considerarmos que as correntes de alimentação satisfazem
então o somatório corresponde ao desenvolvimento em Série Exponencial de Fourier de AF(ψ), mas truncada pois não temos um número infinito de termos.
∑−=
+==M
Mm
jmm kdeAAF βθψψ
ψ cos,)(
)arg()arg( e * mmmmmm AAAAAA −−− −==⇒=
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Agrupamentos de antenas– Se tivermos uma função periódica AF(ψ), com período 2π,
podemos aproximá-la pela série exponencial de Fouriertruncada, sendo os coeficientes da série as correntes de alimentação dos elementos do agrupamento.
– Os coeficientes da série são dados por
– No caso do resultado do integral anterior ser indeterminado parao termo de ordem 0, o valor de A0 deve ser calculado por
ψψπ π
ψ deAFA jmm ∫−=
2
)(2
1
ψψπ π
dAFA ∫=2
0 )(2
1(Análogo ao cálculo do termo DC)
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Agrupamentos de antenas– A função AF(ψ) a aproximar é obtida a partir do diagrama do
factor de agrupamento que se pretende sintetizar, definido em função de θ, usando-se a mudança de variável habitual
– Quanto mais termos usarmos mais elementos teremos no agrupamento e também melhor será aproximação do diagrama pretendido
βθψ += coskd
Nota:
� Se d = λ/2 temos a função AF(ψ) completamente definida no seu período 2π.
� Se d < λ/2 temos AF(ψ) definida apenas numa parte do seu período; devemos usar então uma função de preenchimento para completar a definição de AF(ψ) no seu período e teremos resultados diferentes conforme a função de preenchimento escolhida; esta deve ser tal que a série seja convergente, isto é,a função AF(ψ) depois de preenchida deve satisfazer as condições de Dirichlet.
� Se d > λ/2 só em casos particulares se pode usar este método.
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