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ECUACIONES

Ecuaciones de primer gradoSimilar al ejercicio 1 propuestoSimilar al ejercicio 2 propuestoSimilar al ejercicio 3 propuesto

Problemas para resolver con ecuaciones de primer gradoSimilar a los problemas 4 y 5 propuestosSimilar a los problemas 6 y 7 propuestosSimilar a los problemas 8 y 9 propuestosSimilar a los problemas 10 y 11 propuestosSimilar a los problemas 12 y 13 propuestos

Ecuaciones de segundo gradoSimilar al ejercicio 14 propuestoSimilar al ejercicio 15 propuestoSimilar al ejercicio 16 propuesto

Problemas para resolver con ecuaciones de segundo gradoSimilar al problema 19 propuestoSimilar al problema 20 propuesto

Fin

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ECUACIONES

Resuelve: 3x – 5 = 7x + 1

Hay que agrupar las incógnitas a un lado del igual y los términos independientes alotro lado del igual.Los monomios que están sumando se escriben al otro lado del igual restando.

3x – 7x =

El 3x se copia y el 7x que tiene signo positivo se pasa a la izquierda del igual restando.

1 + 5

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Los monomios que están restando se escriben al otro lado del igual sumando.

El 1 se copia y el 5 que tiene signo negativo se pasa a la derecha del igual sumando.

Vamos a poner las incógnitas a la izquierda y los términos independientes a la derecha.

Se hacen las operaciones de cada miembro de la ecuación.

– 4x = 6

El –4 que está multiplicando pasa al otro lado dividiendo.

x = –– 6

–4

Se simplifica el resultado.

: 2

: 2= – ––

3

2

Esta misma ecuación se puede resolver poniendo las incógnitas a la derecha.

3x – 5 = 7x + 1

– 5 – 1 = 7x – 3x

– 6 = 4x

––– = x– 6

4

– ––6

4

: 2

: 2= – –– = x

3

2

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ECUACIONES

= +2

– 6x + 5x =

1

Resuelve: 1 + 3(1 – x) = 6 + (6x + 5) – 5(x + 3)

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El 1 y el 3 no se pueden sumar, antes hay que quitar los paréntesis. Se copia el 1.

sumandos que hay dentro del paréntesis.

El primer paréntesis se multiplica por 3.

+ 3 – 3x =

El segundo paréntesis no está multiplicado por nada, se quita sin problema.

6

El monomio que multiplica a un paréntesis hay que multiplicarlo por cada uno de los

+ 6x + 5

El tercer paréntesis se multiplica por –5 teniendo mucho cuidado con los signos.

– 5x – 15

Hay que juntar las incógnitas a un lado del igual y los términos independientes al otro.

– 3x

– 4x = – 8

6 + 5 – 15 – 1 – 3

El 6 no está multiplicando al segundo paréntesis. El 6 se copia.

El –3x se copia y se cambian de signo el +6x y el –5x al pasarlos a la izquierda.El 6 se copia junto con el +5 y el –15. Se cambian de signo el 1 y el +3 al pasarlos a la

x = –––8

–4

derecha.Se hacen las sumas y las restas de cada miembro de la ecuación.

El –4 que está multiplicando pasa dividiendo.

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ECUACIONES

Resuelve: 7 2z – 5 3z + 1

10 5 45(3z + 1)

––––––––––– = ––––––––––––4(2z – 5)

20 20

_1

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20·z

A z se le pone denominador 1.

20:10 = 2 se apunta 2·7Se copia la resta que hay entre las fracciones.

2·7 –

por el numerador correspondiente.

20:5 = 4 se apunta 4(2z – 5)20:1 = 20 se apunta 20·z

14

El mínimo común múltiplo de todos los denominadores es 20.Se escribe una única fracción con denominador 20 en cada miembro de la ecuación.El 20 se divide por cada denominador y el resultado se apunta para multiplicarlo después

–– – ––––– = z – –––––

Se copia la resta que hay entre las fracciones.

–

20:4 = 5 se apunta 5(3z + 1)Se quitan los denominadores.Se hacen todas las multiplicaciones teniendo mucho cuidado con los signos.

– 8z + 20 = 20z –15z – 5

14 + 20 + 5 = 20z – 15z + 8z

39 = 13z

39

13–– = z

3 = z

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ECUACIONES

1·x

3 3 –––––––– = ––––––––

x

3–– =5 +

x = número

Encuentra un número tal que sumando cinco a su tercera parte resulte igual a dicho número más uno.

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mcm = 3

Se llama x a lo que se pide calcular.

x + 1

Se resuelve la ecuación.Se va leyendo la condición y se va traduciendo al lenguaje algebraico.

–––––––––––– ––––––––––––––– –––––––––– –––––– –––––– –––––––

_1

_1

_1

3·13·x3·5 +

15

+

+ x = 3x + 3

x – 3x = 3 – 15

– 2x = – 12

–12

–2x = ––– = + 6

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ECUACIONES

= + 3´60€

– 6x =3x + 2x

6·0´602·x ––––––––––––––– = ––

6·x

x

2––

Si llevo la mitad del dinero en el bolsillo derecho, la tercera parte en el izquierdo y sesenta céntimos en la mano, ¿cuánto dinero tengo?

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6 6

x

3+ ––

x = dinero que tengo

mcm = 6

Se llama x a lo que se pide calcular.

+ 0´60 = x

Se resuelve la ecuación.

Se van leyendo los datos y se van traduciendo al lenguaje algebraico.

–––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––––––

___ 1

_1

+3·x +

3x + 2x + 3´6 = 6x

– 3´6

– x = – 3´6

–3´6

–1x = ––––

La suma de todas las cantidades da el total que es x.

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ECUACIONES

–––

2(48 + x)Ahora Después

Ana

Miguel

Ana tiene 48 años y su hijo Miguel 23. ¿Cuántos años han de pasar para queel doble de la edad de Ana sea el triple de la de su hijo?

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Se llama x a lo que se pregunta.

x = años que han de pasar

Se hace una tabla con las edades actuales y las edades futuras.

48

23

Cuando pasen x años Ana tendrá 48 + x años y Miguel tendrá 23 + x años.

48 + x

23 + x

Se escribe en lenguaje algebraico lo que ocurrirá.

= 27 años

– 27=

2x

=

– 3x

= 3(23 + x)

––––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––

69 + 3x96 + 2x

= 69 – 96

– x–27

–1x = ––––

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ECUACIONES

x – 14 + x = 36

El año pasado Agustín leyó 14 libros menos que María. Si entre los dos leyeron 36libros, ¿cuántos leyó cada uno?

Hay que calcular dos cantidades.

Libros que leyó Agustín =

x puede ser cualquiera de las dos cosas y dependiendo a cuál se asigne será másfácil o más difícil establecer la otra.Vamos a llamar x a los libros que leyó María para que resulte más fácil.

––––––––––––––––––––––––––––––––

Libros que leyó María = x

A partir del enunciado se establece la otra cantidad.

x – 14

La suma de todas las cantidades es el total.

= 25

(x – 14) + x = 36

x + x = 36

2x = 50

50

2x = ––

+ 14

Ahora se calculan las cantidades de cada uno de ellos.

= 25= 11

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ECUACIONES

1·x ––––––––––––––– = ––––

2 2

_1

_1

Arturo, Luis y Raúl se quieren repartir 30€ de manera que Arturo reciba la mitad de dinero que Luis, y que Luis se quede con 3€ menos que Raúl. ¿Con cuánto dinero se quedará cada uno de ellos?

––––––––––––––––––––––––––––––

Hay que calcular tres cantidades.

Dinero de Arturo =

x puede ser el dinero de cualquiera de los tres y dependiendo a quién se asigne serámás fácil o más difícil establecer las otras cantidades.Vamos a llamar x al dinero de Luis.

––––––––––––––––––––

Dinero de Luis =Dinero de Raúl =

x

A partir del enunciado se terminan de establecer las cantidades.

––––––––––––

x / 2

x + 3

Entonces Raúl tendrá 3€ más que Luis.

La suma de todas las cantidades es el total.

= 10´8

= 60x + 2x + 2x

2·x2·x +

x

2–– + x + x + 3 = 30

mcm = 2

++

x + 2x + 6 = 60

– 6

5x = 54

54

5x = ––

_1

__ 1

2·3 2·30

+ 2x

Ahora se calculan las cantidades de cada uno de ellos.

= 10´80€= 5´40€

= 13´80€

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ECUACIONES

–––––––

+ 9 + 15

18–––––––

+ 9= –––––––-––––––

x = –––––––––––––– (–9)–

Resuelve: 9x2 – 9x – 4 = 0

Primero se escriben los valores de a, b y c.

a =

a es el coeficiente de x2. a vale 9 (no se apunta el signo positivo). b es el coeficiente de x. b vale –9.c es el término independiente. c vale –4.

b =c =

9

Se utiliza la fórmula para resolver la ecuación.

–9–4

Se cambian las letras por sus respectivos valores escribiéndolos entre paréntesis

·9(–9)2 ·(–4)– b ± b2 – 4ac

2a= –––––––-–––––––––––––

– 4±=

2·9

cuando sean negativos.

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ax2 + bx + c = 0

81 + 144±

18

+ 9= ––––––––––

225±

18

+ 9= –––––––

15±

18=

+ 9 – 15

18

24

18= ––

–6

18= ––

:6

:6

4

3= ––

:6

:6

–1

3= ––

Al no salir un número entero se simplifica la fracción.

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ECUACIONES

= 49

––

Resuelve: 5x2 – 6 = x2 + 43

En la ecuación sólo hay x2, no aparece x, y se resuelve despejando x2.

– x2

El cuadrado se pasa al otro lado del igual haciendo la raíz cuadrada. Delante de la raízcuadrada hay que escribir ±.

= 43 + 6

4x2

x =

x2 =

± ––

49

4

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5x2

49

4

x = ± –7

2

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ECUACIONES

x( ) = 0

5x2 + x

– 2x = 0

5x

Resuelve: 5x2 + x = 3x

En la ecuación hay x2 y x pero no hay términos independientes. Se resuelve pasando

– 3x

todos los términos a un miembro de la ecuación.Ahora se saca factor común de x.

= 0

5x2

– 2

x = 0

x = –2

5

Cuando se multiplican dos números y el resultado es cero es porque alguno de losnúmeros era cero. En este caso x es cero o bien 5x – 2 es cero.

5x – 2 = 0

5x = 2

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ECUACIONES

xLos números son x + 1

x + 2

±= –––––––-––––––

·(–48)= –––––––-––––––––––––––

– 4

Encuentra tres números consecutivos tales que el producto del menor por el mediano, menos el triple del mayor, sea 42.

xNúmeros consecutivos x + 1

x + 2

–––––––––––––––––––––––––– –––––––

x·(x + 1)

––––––––––––––––––––

– 3·(x + 2)

––––––

= 42

x2 + x – 3x – 6 = 42x2 + x – 3x – 6 – 42 = 0

x2 – 2x – 48 = 0

–––––––

+ 2 + 14

2–––––––

+ 2

x = –––––––––––––– (–2)–a =

b =c =

1–2–48

·1(–2)2– b ± b2 – 4ac

2a

±=

2·1

4 + 192±

2

+ 2= ––––––––––

196

2

+ 2= –––––––

14±

2=

+ 2 – 14

2

16

2= ––

–12

2= –––

= 8

= –6

= 8= 8 + 1 = 9= 8 + 2 = 10

x O bien x + 1

x + 2

= –6= –6 + 1 = –5= –6 + 2 = –4

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ECUACIONES

72´9 – 12´1

2

±72´972´972´9 – 5168

·1292– 4·1= –––––––-––––––––––––––––––

(–72´9)2–

±= ––––––––––––––––––

Una parcela con forma rectangular, que tiene una superficie de 1292m2, se ha cercado con 145´8m de valla. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?

El perímetro, 145´8m, es la suma de los cuatro lados.

1292 = x·(72´9 – x)

1292 = 72´9x – x2

x2 – 72’9x + 1292 = 0

––––––––

72´9 +12´1

2––––––––

x = –––––––––––––– (–72´9)a =

b =c =

1–72´91292

– b ± b2 – 4ac

2a

±=

2·1

5314´41±

2= –––––––––––

146´41

2= ––––––––

12´1

2=

85

2= ––

60´8

2= –––

= 42´5

= 30´4

La mitad del perímetro es la suma del largo y el ancho.

145´8 : 2 = 72´9m = largo + ancho

Si el largo es x el ancho es 72´9 – x.x

72´9 – x

El área se obtiene multiplicando el largo por el ancho.

Largo = 42´5m Ancho = 72´9 – 42´5 = 30´4mVolver al menú