antologia fisica

FÍSICA

Escuela Náutica “Cap. Alt. Fernando Siliceo y Torres”

Autor: Piloto Naval Adriana Cañedo Sarabia

FISICA

Escuela Náutica Mercante

Cap. Alt. “Fernando Siliceo y Torres”

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JUSTIFICACIÓN: Proporcionar a los estudiantes, los fundamentos indispensables para cursar otras asignaturas de la carrera como son Mecánica, Termodinámica, Electricidad, Electrónica, Motores, Calderas, Teoría del Buque y otras.

OBJETIVO GENERAL: Al terminar el curso, el alumno conocerá los principios de la física en

que se basa el comportamiento del buque y el medio ambiente en que se desplaza; así como, el funcionamiento de los diversos equipos que encontrará a bordo; e interpretara especificaciones técnicas.

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PROGRAMA

INDICE PAG. 1. MEDICIONES

1.1 Describirá las unidades básicas del sistema internacional (SI) 8 1.2 Unidades derivadas del sistema internacional 8 1.3 Unidades básicas del sistema inglés 9 1.4 Unidades derivadas del sistema inglés 9 1.5 Múltiplos y submúltiplos del sistema internacional y del sistema inglés 9 1.6 Equivalencias entre unidades del sistema internacional y el sistema inglés 10 1.7 Cantidades escalares y vectoriales 13

1.8 Fuerzas y vectores 15 1.9 Método de componentes para la suma y resta de vectores 18

2. CINEMATICA EN UNA DIMENSION

2.1 Explique los conceptos de distancia recorrida, desplazamiento y sus unidades 26 2.2 Explique los conceptos de rapidez y velocidad 26

2.3 Explique los conceptos de velocidad instantánea, velocidad media y sus unidades 28 2.4 Describa el concepto de aceleración y sus unidades 30 2.5 Explique el concepto de movimiento uniformemente acelerado 31 2.6 Deduzca las ecuaciones que describen el movimiento uniformemente acelerado 31 2.7 Distinga el concepto de aceleración de la gravedad y su valor en los SU 32 2.8 Analice las características movimiento de caída libre 33 2.9 Reconozca las características del movimiento de tiro vertical 34 2.10Resuelva problemas de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, caída libre y tiro vertical empleando dos diferentes sistemas de unidades

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3. CINEMATICA EN DOS DIMENSIONES

3.1 Explique el efecto de la gravedad en la trayectoria de un cuerpo con tiro horizontal 40 3.2 Determine las ecuaciones que interrelacionan los parámetros del tiro horizontal 41 3.3 Calcule los parámetros (posición, velocidad en “x”, “y” y ángulo en cualquier “t”) 41 3.4 Resuelva problemas que involucren tiro horizontal (movimiento horizontal inicial) utilizando los diferentes sistemas de unidades

42

3.5 Explique la trayectoria seguida por el cuerpo lanzado con componentes iníciales de velocidad en dos dimensiones (tiro parabólico)

43

3.6 Determine las ecuaciones que caracterizan un tiro parabólico 44 3.7 Calcule los parámetros (posición, componentes de la velocidad en “x”, “y” y ángulo ) de una trayectoria parabólica en cualquier tiempo dado

44

3.8 Resuelva problemas relacionados con tiro parabólico empleando los diferentes sistemas de unidades

44

4. MOVIMIENTO CIRCULAR

4.1 Defina el concepto de desplazamiento angular, sus unidades (revolución, radián, vuelta, grados.) y las conversiones entre ellos

48

4.2 Establezca la relación entre los desplazamientos angular y lineal, partiendo de la definición de radián

49

4.3 Derive el concepto de velocidad angular constante como una analogía con la velocidad constante y sus unidades

50

4.4 Demuestre la relación entre velocidad angular constante y velocidad tangencial constante derivando su ecuación

51

4.5 Resuelva problemas relacionados con el movimiento circular a velocidad constante, utilizando las diferentes unidades que lo caracterizan

51

4.6 Identifique los conceptos de velocidad angular, instantánea y media 51

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4.7 Infiera el concepto de aceleración angular constante como el cambio de la velocidad angular de un cuerpo respecto al tiempo y sus unidades

51

4.8 Derive las ecuaciones que describen el movimiento circular uniformemente acelerado como una analogía con las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, haciendo un análisis dimensional

52

4.9 Derive la relación entre aceleración tangencial y aceleración angular a partir de los conceptos de velocidad tangencial y aceleración lineal

52

4.10 Defina los conceptos de fuerza centrípeta y centrifuga, obteniendo sus ecuaciones 55 4.11 Defina el concepto de aceleración centrípeta, obteniendo sus ecuaciones 56

4.12 Resuelva problemas que involucren movimiento circular uniformemente acelerado en sus diferentes unidades

58

5. GRAVITACION UNIVERSAL

5.1 Enuncie e interprete la ley de gravitación universal de Newton y la ecuación que la representa

59

5.2 Describa el experimento de Cavendish para la determinación del valor de “g”. Explique el fenómeno de las mareas en términos de la ley de gravitación universal

61

5.3 Describa la utilidad de la aplicación de la ley de gravitación universal. 62 5.4 Explique el concepto de campo gravitacional 63 5.5 Aplique el concepto de gravitación a la resolución de problemas 64

6. TRABAJO, ENERGIA Y POTENCIA 6.1 Defina el concepto de trabajo mecánico 65 6.2 Identifique la ecuación que representa el trabajo mecánico y sus unidades en los diferentes sistemas de medición

66

6.3 Interprete el efecto de las fuerzas de fricción en la realización de un trabajo mecánico 67 6.4 Resuelva problemas relacionados con el concepto de trabajo mecánico, utilizando análisis dimensional

70

6.5 Defina el concepto de energía mecánica y su división en energía cinética y potencial 72 6.6 Identifique las ecuaciones que representan la energía cinética y potencial, así como sus unidades en los diferentes sistemas de medición

73

6.7 Resuelva problemas relacionados con el principio de la conservación de la energía mecánica utilizando análisis dimensional

74

6.8 Defina el concepto de potencia, constante, así como sus unidades 75 6.9 Resuelva problemas que involucren energía cinética y potencial, utilizando análisis dimensional

76

6.10 Defina el principio de la conservación de la energía 77 6.11 Exprese la ecuación de la conservación de la energía mecánica de un sistema y sus unidades en los diferentes sistemas de medición

78

6.12 Exprese las ecuaciones que representan a la potencia en función del trabajo y velocidad en los diferentes sistemas de medición

78

6.13 Resuelva problemas que involucren potencia utilizando análisis dimensional 78 7. IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO 7.1 Explique el concepto de impulso 80 7.2 Identifique la ecuación que define al impulso, así como sus unidades en los diferentes sistemas de medición

81

7.3 Resuelva problemas relacionados con impulso, utilizando análisis dimensional 81 7.4 Explique el concepto de cantidad de movimiento como el producto de la masa por la velocidad de un cuerpo

81

7.5 Identifique la ecuación que expresa la cantidad de movimiento de un cuerpo y sus unidades en los diferentes sistemas de medición

82

7.6 Explique cómo el aplicar impulso a un cuerpo genera una variación en su cantidad de movimiento

82

7.7 Movimiento de un sistema, tanto de masa constante como de masa variable (cohetes) 83 7.8 Derive la expresión que representa la segunda ley de Newton a partir de: impulso igual a la variación de la cantidad de movimiento

83

7.9 Defina el principio de conservación de la cantidad de movimiento 83

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7.10 Identifique la ecuación que representa el principio de la conservación de la cantidad de movimiento de un sistema de masa constante y aplicarla a la resolución de problemas dados

83

7.11 Explique los conceptos de choque elástico e inelástico, en base al principio de la conservación de la cantidad de movimiento, en una o dos dimensiones

84

7.12 Defina el concepto de coeficiente de restitución como una cantidad adimensional e identificar sus expresiones matemáticas

85

7.13 Resuelva problemas relacionados con el principio de conservación de la cantidad de movimiento en una o dos dimensiones utilizando el coeficiente de restitución

86

8. ESTADO FISICO DE LOS CUERPOS 8.1 Definirá cohesión y adherencia 91 8.2 Distinguirá entre densidad, densidad relativa, y peso especifico relativo 91 8.3 Enunciará el concepto de elasticidad 92 8.4 Definirá la ley de hooke 92 8.5 Establecerá limite de elasticidad 93 8.6 Obtendrá el modulo de Young 93 8.7 Resolverá problemas relacionados con el estado físico de los cuerpos 94 9. TEMPERATURAS Y DILATACION TERMICA 9.1 Identificará los termómetros con sus respectivas escalas y la relación entre ellas 96 9.2 Definirá el concepto de temperatura 97 9.3 Establecerá el concepto de dilatación o expansión lineal de un sólido y su coeficiente 98 9.4 Explicará la dilatación o expansión superficial de un sólido y sus coeficientes 100 9.5 Inferirá el concepto de dilatación o expansión volumétrica de un sólido y para los líquidos así como su coeficiente

101

9.6 Resolverá los problemas relacionados con temperaturas realizando conversiones de un sistema a otro

102

9.7 Resolverá problemas que involucren a las dilataciones lineales, superficial y volumétricas empleando tablas respectivas de coeficiente de dilatación

102

10. MOVIMIENTO ONDULATORIO 10.1 Calculará la velocidad de onda 105 10.2 Explicará el movimiento ondulatorio periódico al definir, relacionar y aplicar el significado de los términos frecuencia, longitud de onda y velocidad

106

10.3 Definirá el concepto de onda mecánica 107 10.4 Distinguirá una onda transversal y una onda longitudinal 108 10.5 Identificará las ondas estacionarias 108 10.6 Deducirá las condiciones para la resonancia 109 10.7 Resolverá problemas relacionados con el movimiento ondulatorio 110 10.8 Interpretará el principio de superposición de las ondas 110 10.9 Distinguirá la existencia de interferencia de ondas 110 11. ACUSTICA 112 11.1 Definirá el sonido 112 11.2 Calculará la velocidad del sonido en metales, líquidos y gases 113 11.3 Identificará ondas sonoras audibles 113 11.4 Interpretará y distinguirá las condiciones en que se presenta el efecto doppler 113 11.5 Resolverá problemas relacionados con el sonido y su velocidad así como el efecto Doppler

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INTRODUCCION Física es la ciencia que investiga los conceptos fundamentales de la materia, la energía y el espacio, y las relaciones entre ellos. El conocimiento de la física es esencial para comprender nuestro mundo. Ninguna otra ciencia ha intervenido en forma tan activa para revelarnos las causas y efectos de los hechos naturales. Los científicos han logrado encontrar leyes fundamentales que tienen amplias aplicaciones en ingeniería mecánica. La investigación acerca de la electricidad y el magnetismo ha producido nuevas fuentes de energía y métodos novedosos para distribuirla, a fin de que el ser humano la aproveche. La comprensión de los principios físicos que rigen la producción de calor, luz y sonido nos ha aportado innumerables aplicaciones que nos permiten vivir con más comodidad y aumentar nuestra capacidad para adaptarnos al medio ambiente. Es difícil imaginar siquiera un producto, de los que disponemos hoy en día, que no sea una aplicación de algún principio físico. Esto significa que, independientemente de la carrera que se haya elegido, siempre es necesario entender la física por lo menos hasta cierto punto. Aún cuando resulta claro que algunas ocupaciones y profesiones no requieren una comprensión tan profunda como la que exigen las aplicaciones de ingeniería, la verdad es que en todos los campos de trabajo se usan y aplican estos conceptos. Dotado de sólidos conocimientos de mecánica, calor, sonido, electricidad, etc., usted contará con los elementos necesarios para cimentar cualquier profesión. Además, si antes o después de graduarse le fuera necesario cambiar de carrera, sabrá que cuenta con un conocimiento básico de ciencias y matemáticas en general. Si usted toma con seriedad este curso y dedica s su estudio una dosis especial de tiempo y energía, tendrá menos problemas en el futuro. Así en los cursos posteriores, y en el trabajo, podrá viajar sobre la cresta de la ola en lugar de mantenerse simplemente a flote en un mar tormentoso.

La física, para todo el mundo, puede considerarse como la vida misma. Si se pudiera, desde los colegios y escuelas le cambiaría el nombre a esa materia, y en lugar de decir, por ejemplo, “clases de física”, diría “clases de vida”. Porque en la vida, usted está compartiendo o utilizando la física por todas partes: cuando se viste, cuando enciende el radio o el televisor, cuando toma una taza de café, cuando se seca el pelo o se afeita, o aborda un autobús... siempre, y por todos lados, usted utiliza y es, la física. Desgraciadamente la física ha adquirido fama de difícil lo cual hace que con su sola mención a muchos se les revuelva el estómago. Esto no debería ser así. Toda la física consiste solamente en conocer y manipular no más de cinco o seis conceptos básicos del mundo, el tiempo, el espacio, el trabajo o la energía, la potencia, la electricidad, las formas geométricas, y eso es más o menos todo. E igual sucede con las matemáticas. Parecen difíciles, y la física las utiliza a fondo porque las matemáticas son un lenguaje muy económico y ordenado que permite llegar a conclusiones importantes de manera rápida y apropiada. De hecho, todo lo que se dice con ecuaciones matemáticas se puede decir con un discurso de literatura, pero ¡nos demoraríamos siglos!

Las matemáticas cumplen múltiples propósitos. Son a la vez filosofía, arte, metafísica y lógica. Sin embargo, todos estos aspectos se subordinan a su función principal, que es ser una herramienta para el científico, el ingeniero o el técnico. Una de las recompensas del estudio de un primer curso de física es darse cuenta con más claridad de la importancia de las matemáticas. Al estudiar física

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se hace patente la aplicación práctica de las matemáticas básicas. Podemos darnos cuenta de que las matemáticas son útiles para obtener fórmulas que nos permiten describir hechos físicos con precisión. Las matemáticas desempeñan un papel todavía mayor en la aplicación de esas fórmulas para encontrar cantidades específicas.

Este curso se basa en la llamada Física clásica y la Física de Einstein, aunque es necesario puntualizar el fenómeno ocasionado con la llamada Física Cuántica, que prácticamente fundamenta los misterios del universo, con la Física Cuántica queda demostrado por parte de la arquitectura científica que el Universo, la “realidad allá afuera de uno” no es algo que acaezca por sí solo. Yo, como individuo, yo, como colectividad, influyo decisivamente en ella, estoy implicado en su devenir, interactúo con su transformación.

¿Cómo se debe estudiar física?

Se debe tener disposición y una actitud positiva para aprender los fundamentos de esta ciencia, así como mente abierta y presta para desarrollar habilidades y destrezas, echar a volar la imaginación tratando de ser creativos e ingeniosos, no desanimarse si el camino es arduo, al contrario redoblar esfuerzos; recordar que el conocimiento cuesta, la mayor de las veces, tiempo y esfuerzo, si usted está dispuesto a pagar el precio, seguramente tendrá éxito, pero si lo toma como algo que debe aprender a fuerza y estudia solo para aprobar, seguramente, el camino se le complicará… Recuerde que debe ser emocionalmente inteligente en todos los aspectos de su vida para ser una persona exitosa, armoniosa y sobre todo, para evitarse muchos dolores de cabeza, en palabras de Daniel Goleman, “La inteligencia emocional es la capacidad de entender, tomar conciencia y manejar nuestras emociones y las de terceras personas.” El rendimiento escolar del estudiante depende del más fundamental de todos los conocimientos, aprender a aprender . Hoy sabemos que la inteligencia es mucho más que una determinada función de la mente humana medida en términos de C.I. (Cociente Intelectual); el ser humano, a la hora de actuar de alguna manera y de tomar determinadas decisiones, no lo hace tanto guiado por su inteligencia cognitiva, sino sobre todo a impulsos de sus emociones y sentimientos que deben ser guiados, orientados, controlados y expresados mediante los dictados de una sana inteligencia emocional. A la hora de decidir en asuntos cruciales de la vida, por ejemplo la elección de pareja, no lo hacemos guiados por el frío intelecto sino por la calidad e intensidad de los sentimientos que en ese momento nos embargan. Moraleja: ¡Ojo con las emociones! Ellas pueden cond ucirnos, mucho más que nuestro juicioso análisis, al éxito o al fracaso por un cam ino mucho más rápido.

Ver videos: REDES Los enigmas que oculta el universo 1 de 3 http://mx.youtube.com/watch?v=XacERoHUj2A REDES Los enigmas que oculta el universo 2 de 3 http://mx.youtube.com/watch?v=HcRxgxywYT8&feature=r elated REDES Los enigmas que oculta el universo 3 de 3

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http://mx.youtube.com/watch?v=AOz-ibLZ5LE&feature=r elated 1. MEDICIONES La aplicación de la física, ya sea, en el taller o en un laboratorio técnico, requiere siempre algún tipo de medición. Un mecánico automotriz puede medir el diámetro o vaso de un cilindro de motor. Los técnicos en refrigeración tal vez necesiten hacer mediciones de volumen, presión y temperatura. Los electricistas usan instrumentos para medir la resistencia eléctrica y la corriente, y los ingenieros mecánicos se interesan en los efectos de fuerzas cuyas magnitudes deben ser determinadas con precisión. En realidad, es difícil imaginar una ocupación en la que no se requiera la medición de alguna cantidad física. El desplazamiento de un pistón (volumen), es un ejemplo de cantidad física y debe notarse que esta cantidad se define mediante la descripción de sus proceso de medición. En física, todas las cantidades se definen de esta forma. Otros ejemplos de cantidades físicas son: longitud, peso, tiempo, velocidad, fuerza y masa. Una cantidad física se mide comparándola con un patrón previamente conocido. Por ejemplo, supongamos que se desea determinar la longitud de una barra metálica. Con los instrumentos adecuados se puede determinar que la longitud de la barra es de 4 metros. No es que la barra contenga 4 cosas llamadas “metros”, sino simplemente que se ha comparado con la longitud de un patrón conocido como “metro”. La magnitud de una cantidad física se especifica completamente con un número y una unidad; por ejemplo, 20 metros o 40 litros. Hay que recordar que la cantidad física se define indicando cómo se mide. Un estándar, norma o patrón es un registro físico permanente, o fácil de determinar, de la cantidad que implica una unidad de medición determinada. Por ejemplo, el estándar para medir la resistencia eléctrica es el ohm, puede definirse por medio de una comparación con un resistor estándar cuya resistencia se conoce con precisión. A continuación se definen conceptos de común aplicación: Cantidad fundamental .- Es un número pequeño de cantidades, tales como longitud y tiempo, a partir de las cuales se pueden derivar todas las demás cantidades físicas. Cantidad derivada.- De acuerdo a lo anterior, se puede decir que la velocidad es una cantidad derivada (longitud/tiempo) y que la longitud y el tiempo, son unidades fundamentales.

Actividades para el alumno:

• Expondrá en un foro en Athenea sus comentarios sobre física y sus expectativas

• Analizará el contenido de la dirección: http://descartes.cnice.mec.es/index.html

• Investigara ¿qué es medir y qué son las mediciones?

• Dará ejemplos de cantidades fundamentales

• Dará ejemplos de cantidades derivadas

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• Sugerirá direcciones web relacionadas con el tema de mediciones

1.1 Describirá las unidades básicas de sistemas int ernacionales (SI) El sistema internacional de unidades se llama Systéme International d´Unités (SI) y es en esencia el mismo que se conoce como sistema métrico. El Comité Internacional de Pesas ha establecido siete cantidades básicas y ha asignado unidades básicas oficiales a cada cantidad. Un resumen de estas cantidades, con sus unidades básicas y los símbolos para representar esas unidades, se muestran en la siguiente tabla: Unidades básicas del SI para siete cantidades básic as o fundamentales Cantidad Unidad básica Símbolo

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Corriente eléctrica Ampere A

Temperatura Kelvin K

Intensidad luminosa Candela cd

Cantidad de sustancia mol mol

1.2 Unidades derivadas del sistema internacional

Las combinaciones de las cantidades fundamentales se denominan cantidades derivadas, y se miden en unidades derivadas. A continuación se tiene una tabla con unidades derivadas más comunes: Cantidad Unidad derivada Símbolo

Área Metro cuadrado m2

Volumen Metro cúbico m3

Velocidad Metro sobre segundo m/s

Fuerza Newton N

Trabajo, energía Joule J

Potencia Watt W

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1.3 Unidades básicas del sistema inglés Las unidades del SI no se han incorporado en forma total en muchas aplicaciones industriales. En los Estados Unidos se está avanzando hacia la adopción de las unidades del SI. No obstante, las conversiones a gran escala son costosas, sobre todo en el caso de muchas aplicaciones mecánicas y térmicas, en vista de esto, la conversión total al sistema internacional tardará todavía algún tiempo. Por esto es necesario familiarizarse con las unidades de este sistema para la medición de cantidades físicas, como a continuación se presenta: Cantidad Unidad básica Símbolo

Longitud pies ft

Masa slug slug

Tiempo segundo s

Temperatura Grado Rankine R

1.4 Unidades derivadas del sistema inglés

Así como en el sistema SI se tienen unidades derivadas, se tienen en el sistema inglés, como a continuación se observa: Cantidad Unidad derivada Símbolo

Área pie cuadrado ft2

Volumen pie cúbico ft3

Velocidad pie sobre segundo ft/s

Fuerza libra lb

Trabajo, energía libra pie lb ft

1.5 Múltiplos y submúltiplos del sistema internacio nal y del sistema inglés Una de las ventajas del sistema métrico sobre otros sistemas de unidades es el uso de prefijos para indicar los múltiplos de la unidad básica, como se muestra en la tabla siguiente, en donde se define los prefijos aceptados y demuestra su uso para indicar múltiplos y subdivisiones del metro. A partir de la tabla, se puede determinar que: 1 metro (m) = 1000 milímetros (mm) = 100 centímetros (cm) 1 kilometro (km) = 1000 metros (m)

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Múltiplos y submúltiplos de unidades del SI Prefijo Símbolo Multiplicador Ejemplo

Tera T 1012 1 terametro (Tm)

Giga G 109 1 gigametro (Gm)

Mega M 106 1megametro (Mm)

Kilo k 103 1 kilometro (km)

Centi c 10-2 1 centímetro (cm)

Mili m 10-3 1 milímetro (mm)

Micro µ 10-6 1 micrómetro (µm)

Nano n 10-9 1 nanómetro (nm)

A 10-10 1 angstrom (A)

Pico p 10-12 1 picometro (pm)

1.6 Equivalencias entre unidades del sistema intern acional y el sistema inglés

Entre las equivalencias más comunes entre ambos sistemas se encuentran las siguientes: 1 pulgada (in) = 25.4 milímetros (mm)

1 pie (ft) = 0.3048 metros (m)

1 yarda (yd) = 0.914 metros (m)

1 milla (mi) = 1.61 kilómetros (km)

Conversión de un sistema de unidades a otro Hay muchas situaciones en las que es necesario convertir unidades de un sistema a otro, porque al momento no hay una completa estandarización. A continuación se presenta un ejemplo: ¿Cuál es el peso en Newton de un objeto que posee u na masa de…?

a) 8 kg b) 0.04g Solución

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a) Peso = W = mg = 8kg (9.81 m/s2) = 78.5 N b) Peso = W = mg = [(0.04g x 1kg) / 1000g] (9.81 m/s2) = 3.92 x 10-4 N Problemas propuestos P1.1. La madera tiene una densidad de 4.70 slug/pie3. ¿Cuál es su densidad expresada en unidades SI? R= 2.42 Mg/m3

P1.2. Represente cada una de las siguientes cifras como un número entre 0.1 y 1000 utilizando el prefijo apropiado: a) 45320 kN → 45.3 MN b) 568(105) mm → 56.8 km c) 0.00563 mg → 5.63 µg P1.3. El pascal (Pa9 es en realidad una unidad de presión muy pequeña. Para mostrar lo anterior, convierta 1 P = 1 N/m2 a libras/pie3. La presión atmosférica al nivel del mar es de 14.7 libras/pul2. ¿A cuántos pascales equivale? R=0.0209 lb/pies2; 101 kPa P1.4. Convierta: a) 20 libras pie a Nm → 27.1 Nm b) 450 libras/pie3 a kN/m3

→ 70.7 kN/m3

c) 15 pies/h a mm/s → 1.27 mm/s P1.5. Determine el número de milímetros cúbicos contenidos en una pulgada cúbica. R=16.4(103)mm3

P1.6. Un disco de acero tiene un diámetro de 500 mm y un espesor de 70 mm. Si la densidad del acero es de 7850 kg/m3, determine el peso del disco en libras. R=238 lb P1.7. Si un objeto posee una masa de 40 slugs, determine su masa en kilogramos. R=584 kg P1.8. Si un hombre pesa 155 libras en la Tierra, exprese (a) su masa en slugs, (b) su masa en kilogramos y (c) su peso en newtons. Si el hombre estuviera en la Luna, en donde la aceleración debida a la gravedad es de gm

= 5.30 pies/s2, determine (d) su peso en libras y (e) su masa en kilogramos. (a) 4.81 slug, b) 70.2 kg, c) 689 N, d) 25.5 lb, e) 70.2 kg P1.9. Un campo de futbol tiene 100m de largo y 60m de ancho. ¿Cuáles son la longitud y la anchura del campo en pies? R= 328 ft, 197 ft P1.10. Un cubo mide 5 in por lado. ¿Cuál es el volumen en unidades SI? R= 0.00205 m3 P1.11. Un motor Nissan tiene un desplazamiento del émbolo (volumen) de 1600 cm3 y un diámetro del cilindro de 84 mm. Exprese estas mediciones en pulgadas cúbicas y en pulgadas.R= 97.6 in3, 3.31 in P1.12. Una pieza de metal tiene 40 cm de largo y 20 cm de ancho. Exprese el área de esta pieza en unidades del SI.

P1.13. Una llave inglesa tiene una agarradera de 8 in. ¿Cuál es la longitud del mango en centímetros?

P1.14. El límite de velocidad en una carretera interestatal es de 65 mi/h.

a) ¿Cuál es la equivalencia de esta velocidad en kilómetros por hora?

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b) ¿En pies por segundo?

P1.15. Un galón estadunidense es un volumen equivalente a 231 in3. Suponga que el tanque de gasolina de

un automóvil equivale aproximadamente a un paralelepípedo de 18 in de largo, 16 in de ancho y 12 in de altura. ¿Cuántos galones puede contener este tanque? R= 15.0 gal

Actividades para el alumno:

• Analizará el contenido de la dirección:

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medellin/nivelacion/uv00004/index.html

• Investigara sobre las unidades básicas y derivadas de los sistemas SI e inglés

• Dará ejemplos de unidades básicas y derivadas en ambos sistemas

• Investigara sobre los múltiplos y submúltiplos de SUEU

• Investigara y complementara la relación de equivalencias entre los sistemas SI y

SUEU

• Sugerirá direcciones web relacionadas con el tema de unidades y equivalencias

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• Estas actividades se desarrollaran en la plataforma de Athenea 1.7 Cantidades escalares y vectoriales Cantidad escalar .- Se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una unidad, por ejemplo: velocidad (15 mi/h); distancia (12 km); volumen (200 cm3). Cantidad vectorial.- Se especifica totalmente por una magnitud y una dirección (dando por supuesto un sentido sobre la recta que determina la dirección), por ejemplo: desplazamiento (20m, norte); velocidad (40 mi, 30°N).

Vector.- Expresión matemática que tiene una magnitud, dirección y sentido, que se suma por la ley del paralelogramo. Una fuerza se representa matemáticamente por medio de vectores. Entendiéndose por magnitud, dirección, sentido y punto de aplicación: 1. Magnitud o Intensidad: Es el valor de fuerza relacionada con sus unidades, tales como toneladas (ton), kilogramos (kgf), etc. 2. Dirección: Es la orientación de su línea de acción. 3. Sentido: Indica hacia donde se dirige. 4. Punto de Aplicación: Es su posición; es decir su localización

Figura 1. Representación de una fuerza o vector. El alumno consultará las siguientes direcciones: www.xtec.es/~jbartrol/vectores /index.html

Magnitud

Dirección

Línea de acción

Sentido

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SUMA O ADICION DE VECTORES POR METODOS GRAFICOS

El método del polígono es el más útil, ya que puede aplicarse fácilmente a mas de dos vectores. El método del paralelogramo es conveniente para sumar solo dos vectores a la vez. En ambos casos, la magnitud de un vector se indica a escala mediante la longitud de un segmento de recta. La dirección se marca colocando una punta de flecha en el extremo del segmento de dicha línea.

Pasos para resolver problemas por medio del método del polígono :

1. Elija una escala y determine la longitud de las flechas que corresponden a cada vector. 2. Dibuje a escala una flecha que represente la magnitud y dirección del primer vector. 3. Dibuje la flecha del segundo vector de modo que su terminación coincida con la punta de la

flecha del primer vector. 4. Continúe el proceso de unir el origen de cada vector con las puntas de flechas hasta que la

magnitud y la dirección de todos los vectores quede bien representada. 5. Dibuje el vector resultante con el origen (punto de partida) y la punta de flecha unida a la

punta del último vector. 6. Mida con regla y transportador para determinar la magnitud y dirección del vector

resultante.

Ejemplo: Un barco recorre 100 km hacia el norte durante el primer día de viaje, 60 km al noreste el segundo día, y 120 km hacia el este el tercer día. Encuentre el desplazamiento resultante con el método del polígono.

Los métodos gráficos pueden usarse para hallar la resultante de todo tipo de vectores. No se limitan solamente a la medición de desplazamiento. Método del paralelogramo, en éste método que solo es útil para sumar dos vectores a la vez, éstos se dibujan a escala con sus orígenes en un mismo punto, como en el siguiente ejemplo:

45°

Punto de partida

θ

R = 216 km, 41°

Desplazamiento resultante

°

120 kilómetros

60 kilómetros

100 kilómetros

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Los dos vectores forman dos lados adyacentes de un paralelogramo. Los otros dos lados se construyen trazando líneas paralelas de igual longitud. La resultante se representa mediante la diagonal del paralelogramo, a partir del origen entre los vectores. En la figura anterior se construyó un paralelogramo, dibujando a escala las dos fuerzas a partir de un origen común y con un ángulo de 120°. Al completar el paralelogramo se puede dib ujar la resultante como una diagonal desde el origen. Al medir R y θ con una regla y un transportador se obtienen 53 lb para la magnitud 1 19° para la dirección. Por consiguiente:

R = (53 lb, 19°)

1.8 Fuerza y vectores. A la acción de empujar o tirar que tiende a generar un movimiento se le llama fuerza, en el SI, el newton (N) es la unidad de fuerza. Su relación con la unidad SUEU, es la libra (lb), y se tiene:

1 N =0.225 lb 1 lb = 4.45 N

Si una fuerza se representa gráficamente por su magnitud y un ángulo (R, θ), se pueden determinar sus componentes a lo largo de las direcciones x y y. Una fuerza F actúa con un ángulo θ sobre la horizontal, como se muestra a continuación:

La fuerza resultante , es la fuerza individual que produce el mismo efecto, tanto en la magnitud como en la dirección, que dos o más fuerzas concurrentes. Las fuerzas resultantes pueden calcularse gráficamente representando cada fuerza concurrente como un vector. Con el método del polígono o del paralelogramo para sumar vectores se obtiene la fuerza resultante.

FY F

FX

x O

A

Representación gráfica de las componentes x y y de F

20 lb

60 lb

θ

120° R

40 30 20 10 0

0 1 2 3 4

lb

cm

y

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A partir de la ley del paralelogramo se determina l a ley del triángulo:

Para lo cual se debe considerar la Ley de los cosenos:

R = P12+P2

2-2 P1 P2 , y la Ley de los senos :

Observe que hay un error.

Ley de los senos: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medelli n/nivelacion/uv00004/index.html Ley de los cosenos: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medelli n/nivelacion/uv00004/index.html

Ejemplo: Determine la magnitud y dirección de la resultante de las dos fuerzas dadas, empleando la ley del triángulo.

P1

P2

R

θ A

B

20 N

60°

15 N

R = 30.4 N, 34.7°

34.7°

Resultante de dos fuerzas de 20 N y 15 N que actúan a un ángulo de 60° entre si

1500 N

2000 N

30°

45° 45°

30°

135°

2000 N

1500 N

A

B

C

∞

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Solución.- 1.- Conocidos 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos, aplicar la ley de los cosenos: R = R = 3239.23 N 2.- Posteriormente aplicar la ley de los senos:

, , A= 19.11°, por lo tanto, ∞= 180°-19.11°-30°= 130.89° TRIGONOMETRIA Y VECTORES El tratamiento gráfico de los vectores es conveniente para visualizar las fuerzas, pero con frecuencia no es muy preciso. Un método mucho más útil es aprovechar la trigonometría del triángulo rectángulo simple. El conocimiento básico del teorema de Pitágoras y cierta experiencia en el manejo de las funciones seno, coseno y tangente es todo lo que se requiere para su aplicación. Los métodos trigonométricos pueden mejorar la precisión y la rapidez al determinar el vector resultante o para encontrar las componentes de un vector. En general, podemos escribir las componentes x y y de un vector en términos de su magnitud F y su dirección θ.

FX = F cos θ FY = F sen θ

Donde θ es el ángulo entre el vector y el eje x positivo, medido en dirección contraria a las agujas del reloj. El signo de una componente dada se puede determinar a partir de un diagrama de vectores. Las cuatro posibilidades se muestran en la siguiente figura. La magnitud de la componente puede hallarse utilizando el ángulo agudo Φ cuando el ángulo θ es mayor de 90°.

Con la calculadora científica, tanto la magnitud como el signo de FX y FY se obtienen en forma directa utilizando el ángulo θ.

FY F

FX

θ Φ

θ

Φ

F

FY

FX

180°

180°

270°

θ

F FY

FX

0°

90°

θ FX

FY

F

Φ

360°

270°

+

+ -

-

90°

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La trigonometría también es útil para calcular la fuerza resultante. En el caso especial en que dos fuerzas FX y FY son perpendiculares entre si, como se muestra en la siguiente figura, la resultante se puede hallar a partir de:

R = √FX2 + FY

2 tan θ = FY / Fx

El signo (o dirección) de la fuerza FX y FY determina cuál de los cuatro cuadrantes se va a utilizar, obteniéndose la siguiente expresión:

tan Φ = Valor absoluto de F Y / Fx

1.9 Método de componentes para la suma o adición de vectores. Con frecuencia actúan sobre un cuerpo diversas fuerzas con magnitudes, direcciones y puntos de aplicación diferentes. Las fuerzas que se intersecan en un punto común o que tienen el mismo punto de aplicación se denominan fuerzas concurrentes, cuando tales fuerzas no son perpendiculares entre si, puede ser más difícil calcular la resultante, por lo que, se sugiere utilizar el citado método para facilitar la solución de los problemas.

1. Dibuje cada vector partir del cruce de los ejes imaginarios x y y. 2. Encuentre las componentes x y y de cada vector. 3. Determine la componente x de la resultante, sumando las componentes x de todos los

vectores. 4. Determine la componente y de la resultante, sumando las componentes y de todos los

vectores. 5. Finalmente , determine la magnitud y dirección de la resultante a partir de sus

componentes perpendiculares RX y Ry

R = √RX2 + RY

2 tan θ = RY / Rx

R FY

FX

θ

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PROBLEMAS PROPUESTOS Suma de vectores por métodos gráficos P1.16. Una mujer camina 4 km hacia el este y luego 8 km al norte.

a) Mediante el método del polígono, encuentre el desplazamiento resultante de la mujer, b) Compruebe el resultado por el método del paralelogramo.

R= 8.94 km, 63.4° N de E

P1.17. Las siguientes tres fuerzas actúan simultáneamente sobre el mismo objeto: A= 300N, 30° N de E; B=

600 N, 270° y C= 100N hacia el este. Represente cada fuerza como un vector y determine la resultante por el método del polígono para sumar vectores. R= 576 N, 51.4° S de E

P1.18. Dos cuerdas se han atado a un mismo gancho que cuelga del techo. La fuerza de la cuerda de la

derecha es de 80 lb y la fuerza de la cuerda de la izquierda es de 120lb. Si las cuerdas forman un ángulo de 60° entre sí, encuentre la magnitud de la fuerza resultante sobre el gancho utilizando el método del paralelogramo. R= 174 lb

Trigonometría y vectores P1.19. Encuentre las componentes de “x” y “y” de:

a) Un desplazamiento de 200 km, a 34° b) Una velocidad de 40 km/h, a 120° y c) Una fuerza de 50 N a 330°

R= 166 km, 112 km; -20km7h, 34.6 km/h; 43.3 N, -25N

P1.20. Al sacar un clavo se aplica una fuerza de 260 N con un martillo, en la dirección que se muestra en la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de estas fuerzas? FX = -67.29 N FY = 251.14 N

P1.21. Un rio fluye hacia el sur con una velocidad de 20 k7h. Un bote tiene una velocidad máxima de 50 km/h en aguas quietas. ¿Cuál es la velocidad máxima que puede alcanzar el bote en este río, cuando se dirige directamente al oeste? ¿En qué dirección viajará el bote? (Represente cada velocidad como un vector y encuentre la resultante). R= 53.9 km7h, 21.8° S de O

260 N 15°

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P1.22. Se requiere una fuerza hacia arriba de 80N para levantar una ventana ¡Qué fuerza hay que ejercer a lo largo del poste, para que forme un ángulo de 34° con la pared, para elevar la ventana? R= 96.5N P1.23. La resultante de las fuerzas A y B es de 400N a 210°. Si las fuerza A es de 200N a 270°, cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza B?

P1.24. Dos remolcadores A y C, arrastran un barco B. La tensión en el cable AB es 4000 lb, y la resultante de las dos fuerzas aplicadas en B está dirigida a lo largo del eje del barco. Determinar por trigonometría: (a) la tensión en el cable BC, 2830 lb, 12.59 kN (b) la magnitud de la resultante de las dos fuerzas aplicadas en B. 5460 lb, 24.3 kN

El método de las componentes para sumar vectores P1.25. Encuentre la resultante de las siguientes fuerzas perpendiculares:

a) 400N, 0° b) 620N, 270° c) 650N, 180° d) 500N, 90°

R= 406N, 232° P1.26. Dos fuerzas actúan sobre un automóvil como muestra la figura. La fuerza A es igual a 120N al oeste, y la fuerza B es de 200N a 60°N de O. ¿Cuál es la resultante de estas dos fuerzas? R= 280N, 38.2° N de O

45°

A

C

30°

B

60° W

N

120N

200N

S

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P1.27. Determine la fuerza resultante sobre el tornillo de la siguiente figura. R= 69.6 lb, 154.1°

P1.28. Tres embarcaciones ejercen fuerzas sobre un gancho de amarre. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el gancho si la embarcación A ejerce una fuerza de 420N, la embarcación B ejerce una fuerza de 150N, y la embarcación C, ejerce una fuerza de 500N?

R= 853N, 101.7° P1.29. Determine la resultante de las siguientes fuerzas por el método de las componentes: A = (200lb, 30°); B = (300lb, 330°) y C= (400lb, 250°)

P1.30. Cuatro cuerdas se han atado a un anillo formando ángulos rectos entre sí. Las tensiones son, en orden, 40lb, 80lb, 70lb y 20lb. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante sobre el anillo? PROBLEMAS ADICIONALES P1.31. Encuentre las componentes horizontal y vertical de los siguientes vectores: A= (400 lb, 37°) B= (90 m, 320°) C= (70 km/h, 150°)

60° 40

A

C

B

40 lb

20°

60 lb

50 lb

60°

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P1.32. Determine la resultante R= A+B para los siguientes pares de fuerzas: a) A=520 N, sur, B= 269 N, oeste b) A= 18 M/S, norte, B= 15 m/s, oeste R= a) 585 N, 242.6°; b) 23.4 m/s, 129.8° P1.33. Determine el vector diferencia (A-B) para los pares de fuerzas del problema P1.34. P1.34. ¿Qué tercera fuerza debe añadirse a las siguientes dos fuerzas, de modo que la fuerza resultante sea cero: 40 N, 110° y 80 N, 185°? R= 98.3N, 341.8° P1.35. ¿Cuáles son la magnitud F y la dirección θ de la fuerza necesaria para tirar del barco directamente al este con una fuerza resultante de 400 lb?

P1.36. Un semáforo está atado en la parte media por una cuerda, de modo que cada segmento forma un ángulo de 10° con la horizontal. La fuerza resultante es cero. ¿Cuál será el peso del semáforo si la tensión encada segmento de cuerda es de 200 N? R= 69.44 N

P1.37. Un avión intenta seguir su ruta hacia el oeste con rumbo a un aeropuerto. La velocidad del avión es de 600 km/h. Si el viento tiene una velocidad de 40 km/h y sopla en una dirección de 30° S de O, ¿En qué dirección se orientará el avión y cuál será su velocidad relativa respecto al suelo?

F

θ

Este

200 lb

20°

200 lb 200 lb

10° 10°

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P1.38. Un cable está atado al extremo de una viga. ¿Qué tirón con un ángulo de 40° se requiere para producir una fuerza efectiva de 200 N a lo largo de la viga? R= 216 N P1.39. Determine la resultante de las fuerzas que aparecen en la siguiente figura:

P1.40. Un bloque de 200 N descansa sobre un plano inclinado con un ángulo de 30°. Si el peso del bloque se puede representar como si actuara en forma vertical hacia abajo, ¿Cuáles son las componentes del peso hacia abajo del plano y perpendicularmente al plano?

P1.41. La tensión en el cable del soporte AB es 650 N. Determinar las componentes horizontal y vertical de la fuerza que actúa sobre el pasador en A. R= +250 N, -600 N

P1.42. Calcule la resultante de las siguientes fuerzas de: 220 lb, 60°; 125 lb, 210° y 175 lb, 340°.

P1.43. ¿Cuál es la resultante de una fuerza de 5N dirigida horizontalmente a la derecha y una fuerza de 12 N dirigida verticalmente hacia abajo? R= 13 N, 292.62°

A= 420 lb

C= 410 lb

B= 200 lb

70°

63°

1.2 m

A

B

0.5 m

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P1.44. Una fuerza de 2.5 kN se aplica por medio de un cable al soporte como se indica en la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza? R= -2.35kN, +0.855kN

P1.45. Determine la resultante de las fuerzas que aparecen en la siguiente figura: R= 225 N, 124.6°

P1.46. Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas mostradas.

(20 lb) +17.32 lb, -10 lb; (25 lb) +8.55 lb, -23.5 lb (30 lb9 -23.0 lb, -19.28 lb

P1.47. Las componentes de la fuerza F se indican en la figura. Determinar la magnitud y dirección de la fuerza F. R= 200 lb, 184.3°

15 lb

200 lb

25 N

30°

20 N 30 N

40°

50°

2.5 kN

20°

A= 200 lb

C= 155 lb

B= 300 lb

45°

55°

30°

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P1.48. Dos elementos estructurales B y C están remachados al soporte A. Si la tensión en el elemento B es de 6 kN y la tensión en C es de 10 kN, determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el soporte. R= 14.31 kN, 19.91°

P1.49. Determine gráficamente la magnitud y dirección de la resultante de las dos fuerzas dadas, empleando en cada problema: a) La ley del paralelogramo b) la regla del triángulo

P1.50. Se arrastra un automóvil por medio de dos cables, como se aprecia en la figura. Si la resultante de las dos fuerzas ejercidas por los cables es una fuerza de 300 lb, paralela al eje del automóvil, calcular: (a) la

tensión en cada cable, sabiendo que ∞=30°, (b) el valor de ∞ para que la tensión en el cable 2 sea mínima.

(a) T1=195.8 lb, T2=133.9 lb; (b) ∞=70°

20°

T2

T1

∞

700lb

35° 1000 lb

60°

15°

40°

C 10 kN

B 6 kN

A

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2. CINEMATICA EN UNA DIMENSION La cinemática parte de la mecánica, relacionada con las descripciones analíticas y matemáticas de toda clase de movimientos sirve como punto de partida de la mecánica. 2.1 Explique los conceptos de distancia recorrida, desplazamiento y sus unidades

En el lenguaje ordinario los términos distancia y desplazamiento se utilizan como sinónimos, aunque en realidad tienen un significado diferente. La distancia recorrida por un móvil es la longitud de su trayectoria y se trata de una magnitud escalar .

En cambio el desplazamiento efectuado es una magnitud vectorial . El vector que representa al desplazamiento tiene su origen en la posición inicial, su extremo en la posición final y su módulo es la distancia en línea recta entre la posición inicial y la final.

Observa que los valores de la distancia recorrida y el desplazamiento sólo coinciden cuando la trayectoria es una recta. En caso contrario, la distancia siempre es mayor que el desplazamiento.

Investigue las unidades de distancia recorrida y desplazamiento

2.2 Explique los conceptos de rapidez y velocidad

Rapidez y velocidad son dos magnitudes cinemáticas que suelen confundirse con frecuencia. Recuerde que la distancia recorrida y el desplazamiento efectuad o por un móvil son dos magnitudes diferentes. Precisamente por eso, cuando las relacionamos con el tiempo, también obtenemos dos magnitudes diferentes.

La rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo.

La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de posición (o desplazamiento) con el tiempo.

Unidades

Tanto la rapidez como la velocidad se calculan dividiendo una longitud entre un tiempo, sus unidades también serán el cociente entre unidades de longitud y unidades de tiempo. Por ejemplo:

• m/s • cm/año • km/h

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En el Sistema Internacional, la unidad para la rapidez media es el m/s (metro por segundo). ¿Cuál de las siguientes medidas representa una rapidez?

A. 10 m B. 2 s/m C. 6 m/s D. 3 m/s²

Rapidez media

La rapidez media de un cuerpo es la relación entre la distancia que recorre y el tiempo que tarda en recorrerla. Si la rapidez media de un coche es 80 km/h, esto quiere decir que el coche recorre una distancia de 80 km en cada hora. Decir que la rapidez media es la relación entre la distancia y el tiempo, es equivalente a decir que se trata del cociente entre la distancia y el tiempo. Por ejemplo, si un coche recorre 150 km en 3 horas, su rapidez media es:

150 km / 3h = 50 km/h

¿Podrías calcular la distancia que recorrería el coche anterior en media hora?

Velocidad media

La velocidad media relaciona el cambio de la posición con el tiempo empleado en efectuar dicho cambio.

Consulte la siguiente dirección:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso1999/2premio/di

stancia.html

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2.3 Explique los conceptos de velocidad instantánea , velocidad media y sus unidades.

Velocidad media

La velocidad media relaciona el cambio de la posición con el tiempo empleado en efectuar dicho cambio.

Velocidad instantánea y rapidez instantánea

Ya sabemos que si realizamos un viaje de 150 km y tardamos dos horas en recorrer esa distancia podemos decir que nuestra rapidez media ha sido de 75 km/h. Es posible que durante el viaje nos hayamos detenido a echar gasolina o a tomar un bocadillo y sabemos que al atravesar las poblaciones hemos viajado más lento que en los tramos de carretera. Nuestra rapidez, por tanto, no ha sido siempre de 75 km/h sino que en algunos intervalos ha sido mayor y en otros menor, incluso ha sido de 0 km/h mientras hemos estado detenidos.

Esto nos obliga a distinguir entre rapidez media y rapidez instantánea:

Rapidez instantánea: la rapidez en un instante cualquiera.

Rapidez media: es la media de todas las rapideces instantáneas y la calculamos dividiendo la distancia entre el tiempo.

Determinar con exactitud la rapidez instantánea de un cuerpo es una tarea complicada, aunque tenemos métodos para aproximarnos a su valor. Supón que queremos conocer la rapidez de una piragua justamente en el instante de cruzar la meta. Si la carrera es de 1000 m y recorre esa distancia en 40 s, obtendríamos un valor de 25 m/s para la rapidez media, pero sería una mala aproximación al valor de la rapidez instantánea. El problema es que la piragua se mueve más lentamente al principio de la carrera que al final. Podemos entonces colocar una célula fotoeléctrica en la meta y otra 100 m antes para medir en tiempo que emplea en recorrer los últimos 100 m y calcular así la rapidez media en los últimos 100 m. El valor obtenido se aproximará más que antes al valor de la rapidez instantánea en el momento de cruzar la meta.

¿Y si hacemos lo mismo para el último metro, o para el último centímetro, o para....?

Se puede determinar la rapidez instantánea de un móvil calculando su rapidez media para un pequeño tramo y usando esta aproximación como rapidez instantánea. Si al valor de la rapidez instantánea le unimos la dirección , entonces tendremos una medida de la velocidad instantánea.

Curiosamente lo que solemos conocer como velocímetro no mide la velocidad instantánea sino la rapidez instantánea ya que no nos dice nada acerca de la dirección en la que se mueve el vehículo en ese instante.

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En resumen, rapidez y velocidad son dos magnitudes relacionadas con el movimiento que tienen significados y definiciones diferentes. La rapidez, magnitud escalar, es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado. La rapidez no tiene en cuenta la dirección. La velocidad sí que tiene en cuenta la dirección. La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el desplazamiento o cambio de la posición con el tiempo.

Rapidez constante

Si un cuerpo se mueve y su rapidez instantánea es siempre la misma, se está moviendo con rapidez constante . Lo mismo podemos decir para la velocidad. En este caso los valores medio e instantáneo de cada magnitud coinciden.

Dirección de la velocidad

Hemos dicho que para especificar la velocidad de un móvil necesitamos dos informaciones: su rapidez y su dirección. Hay muchas formas de especificar la dirección según que los movimientos sean de una, dos o tres dimensiones.

Por ejemplo, para los movimientos en un plano se suele expresar la dirección mediante un ángulo u otra referencia:

• Dirección: 30º • Dirección: Norte

En el caso de los movimientos rectilíneos es mucho más sencillo. Las velocidades en el sentido positivo son positivas y las velocidades en el sentido negativo son negativas: el signo nos informa de la dirección.

Este signo es un convenio, así decimos que si un móvil se mueve hacia la derecha su velocidad es positiva y si se mueve hacia la izquierda es negativa o por ejemplo, consideramos positivo, hacia arriba y negativo, hacia abajo en los movimientos verticales. Pero no hay ninguna razón para hacer esto, es simplemente un acuerdo.

Investigue las unidades de velocidad instantánea y velocidad media

Consulte la siguiente dirección:

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/Dist-

desplaz/despl_applets.html

2.4 Describa el concepto de aceleración y sus unida des.

En mecánica, se define como aceleración a la magnitud vectorial que nos indica el ritmo o cambio con la que aumenta o disminuye la velocidad de un móvil en función del tiempo. Sus dimensiones son longitud/tiempo² y como unidades, según el sistema internacional, se utiliza el m/s².

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Un objeto no puede seguir una trayectoria curva a menos que esté sufriendo una cierta aceleración, ya que si ésta no existiese su movimiento sería rectilíneo. Asimismo, el que un objeto incremente o disminuya su velocidad implica necesariamente la presencia de una aceleración (positiva si acelera, negativa si frena).

No debe confundirse la aceleración con la velocidad, puesto que, aunque son conceptos estrechamente relacionados, son distintos: Mientras la velocidad indica la variación de la posición de un cuerpo respecto al tiempo, la aceleración nos muestra la variación de dicha velocidad. Además, no han de compartir forzosamente ni dirección ni sentido.

Algunos ejemplos del concepto de aceleración serían:

• La llamada gravedad de la tierra, que es una aceleración cuyo valor en la superficie del planeta es, aproximadamente, de 9,8 m/s². Esto quiere decir que si se dejara caer libremente un objeto, aumentaría su velocidad de caída, aproximadamente, 9,8 m/s por cada segundo que pasara siempre que omitamos la resistencia aerodinámica del aíre. El objeto caería, por tanto, cada vez más rápido, respondiendo dicha velocidad a la ecuación v = a·t = g·t = 9,8·t.

• O una maniobra de frenada de un vehículo, que se correspondería con una aceleración de signo negativo, o deceleración, al oponerse a la velocidad que ya tenía el vehículo. Si el vehículo adquiriera más velocidad, a dicho efecto se le llamaría aceleración y, en este caso, sería de signo positivo.

Aceleración constante

La siguiente tabla muestra datos de un movimiento de caída libre, donde observamos que la rapidez cambia en 10 m/s cada segundo, es decir que tiene una aceleración de 10 m/s/s o 10 m/s².

Intervalo Rapidez media

durante el intervalo Distancia recorrida durante el intervalo

Distancia total (desde t = 0)

0 - 1 s 5 m/s 5 m 5 m

1 s - 2 s 15 m/s 15 m 20 m

2 s - 3 s 25 m/s 25 m 45 m

3 s - 4 s 35 m/s 35 m 80 m

Como el cambio de la velocidad en cada intervalo es siempre el mismo (10 m/s/s), se trata de un movimiento de aceleración constante o uniformemente acelerado.

Ver la siguiente animación relacionada a la aceleración constante:

http://www.walter-fendt.de/ph11s/acceleration_s.htm

2.5 Explique el concepto de movimiento uniformement e acelerado

El Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) o también Movimiento Unidimensional con Aceleración Constante es aquél en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta y con aceleración constante. Esto implica que para cualquier intervalo de tiempo, la aceleración del móvil tendrá

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siempre el mismo valor. Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre, en el cual la aceleración considerada constante es la correspondiente a la gravedad.

El movimiento uniformemente acelerado (MUA) presenta tres características fundamentales:

1. La aceleración siempre es la misma es decir es constante 2. La velocidad siempre va aumentando y la distancia recorrida es proporcional al cuadrado

del tiempo. 3. El tiempo siempre va a continuar, y no retrocederá debido a que es la variable

independiente

En un movimiento uniformemente acelerado podemos calcular:

• Velocidad • Aceleración • Tiempo • Distancia

En este tipo de movimiento sobre la partícula u objeto actúa una fuerza que puede ser externa o interna.

En este movimiento la velocidad es variable, nunca permanece constante; lo que si es constante es la aceleración.

Entenderemos como aceleración la variación de la velocidad con respecto al tiempo. Pudiendo ser este cambio en la magnitud, en la dirección o en ambos.

Velocidad inicial Vo (m/s) Velocidad final Vf (m/s) Aceleración a (m/s2) Tiempo t (s) Distancia s (m)

Consulte la dirección:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/practica/practica1.htm

2.6 Deduzca las ecuaciones que describen el movimie nto uniformemente acelerado

Formulas: a = (vf – vo) / t s = ((vf + vo) /2) * t Vf= Vo + at s= Vot + 1/2 at2

2as =vf2 – vo

2

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2.7 Distinga el concepto de aceleración de la grave dad y su valor en los Sistemas de Unidades

Newton en base a los descubrimientos de Galileo Galilei, Kepler, Brahe y otros científicos que lo antecedieron deduce la Ley de Gravitación Universal, contribuyendo grandemente a la Física, ya que con esta ley explica el movimiento permanente de los planetas alrededor del Sol. Mediante esta Ley, Newton descubrió una propiedad más de la materia, en efecto, la materia además de ocupar un lugar en el espacio, de ser inerte, porosa, maleable, dúctil, etc., tiene una propiedad más que es la mutua atracción. Según el razonamiento de Newton, entre el Sol y los planetas existe una atracción mutua, atracción que es mayor cuanto mayor sea la masa del planeta, y es menor cuanto mayor sea el cuadrado de su distancia al Sol. Sintetiza este planteamiento en la Ley de Gravitación Universal. Ley de Gravitación Universal "La fuerza de atracción entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa".

Campo Gravitatorio Es el espacio dentro el cual un cuerpo es capaz de atraer a otro. La Tierra tiene su campo gravitatorio terrestre que es el espacio dentro el cual se manifiesta la gravedad. La Luna, como todos los demás cuerpos, tiene su propio campo gravitatorio, una prueba de la existencia de este campo es la atracción que ejerce la Luna sobre los mares, originando las mareas. El valor del campo gravitatorio es numéricamente igual a la aceleración de la gravedad y puede representarse como un vector dirigido hacia el objeto que produce el campo.

g = F/m

Gravedad Es la fuerza de atracción (G) que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que se encuentran dentro de su campo gravitatorio en virtud de la cual éstos caen hacia el centro de la Tierra. Este término "gravedad" se suele confundir con el concepto de aceleración de la gravedad (g), la aceleración de la gravedad es la variación de la velocidad de caída de un cuerpo hacía la Tierra y es consecuencia de la fuerza de atracción terrestre (gravedad). g = 32 ft / s2

g = 9.8 m / s2

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Masa y Peso de los Cuerpos Es común confundir la masa y el peso de los cuerpos debido a la costumbre de expresar el peso de los cuerpos en gramos y en kilogramos, en este sentido es fundamental definir masa y peso, así como establecer sus diferencias para poder comprender la teoría de la gravitación universal. Masa (m), de forma elemental, se define como la cantidad de materia que posee un cuerpo mientras que Newton establece que la masa de un cuerpo es la medida cuantitativa de la inercia de dicho cuerpo, es decir, a mayor masa a éste le corresponde mayor inercia. La unidad de medida de la masa es el kilogramo (kg). Peso (p), es la fuerza con que es la Tierra atrae a un cuerpo como acción de la gravedad; así, el peso es una fuerza igual a la masa (m) del cuerpo por la aceleración de la gravedad (g), en consecuencia:

p = m . g

En otras palabras, el peso es una fuerza ocasionada por la atracción que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que se encuentran en su superficie o en su campo gravitatorio y su unidad de medida es el Newton (N). 2.8 Analice las características del movimiento de c aída libre Para tratar el tema de la caída de los cuerpos se han despreciado totalmente los efectos de la fricción debida al aire. En estas circunstancias, la aceleración gravitacional corresponde a un movimiento uniformemente acelerado, esta aceleración se representa con la letra “g”, en el vacio todos los cuerpos caen con la misma aceleración. Puesto que la aceleración gravitacional es una aceleración uniforme, se aplican las mismas ecuaciones generales del movimiento. Sin embargo, uno de los parámetros se conoce de antemano y no necesita darse como dato del problema. Si la constante “g” se incluye en las ecuaciones generales, resultan para el movimiento de caída libre las siguientes ecuaciones:

s = ((v f + vo) /2) * t Vf= Vo + gt s= Vot + 1/2 gt 2

2gs =v f2 – vo

2 Antes de utilizar estas ecuaciones, es conveniente hacer algunos comentarios generales. En problemas que tratan con cuerpos en caída libre, es sumamente importante elegir una dirección como positiva y seguir este criterio en forma consistente al sustituir valores conocidos. El signo de la respuesta es necesario para determinar la localización de un punto o la dirección de la velocidad en tiempos específicos. Por ejemplo, la distancia “s” en las ecuaciones anteriores representa el desplazamiento arriba o abajo del origen. Si la dirección ascendente se elige como positiva, un valor positivo para “s” indica un desplazamiento por arriba del punto de partida; si “s” es negativo, representa un deslazamiento por debajo del punto de partida. En forma similar, los signos de “vo” , “vf” y “g” indican sus direcciones. Ver las siguientes direcciones:

http://www.educaplus.org/movi/4_2caidalibre.html

http://www.her.itesm.mx/academia/profesional/cursos /fisica_2000/Fisica1/F%C3%ADsica/ftema3_cl.html

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2.9 Reconozca las características del movimiento de tiro vertical Al igual que la caída libre, es un movimiento uniformemente acelerado, sujeto a la aceleración de la gravedad, solo que ahora la aceleración se opone al movimiento inicial del móvil. En este tipo de movimiento la gravedad se considera negativa y se utilizan las mismas fórmulas que en la caída libre. Ir a: http://genesis.uag.mx/edmedia/material/fisica/movim iento6.htm 2.10 Resuelva problemas de movimiento rectilíneo un iformemente acelerado, caída libre y tiro vertical empleando dos diferentes sistemas de unidades Problemas propuestos Rapidez y velocidad P2.1 Un automóvil recorrió una distancia de 86 km. Si la rapidez media fue de 8 m/s, ¿cuántas horas duró el viaje? R = 2.90 h

P2.2 El sonido viaja a través del aire con una rapidez media de 340 m/s. Una niña suelta una piedra desde un puente hasta el agua que pasa 20 m abajo. Después de que la piedra golpea el agua, ¿cuánto tiempo tardará el sonido de la piedra al tocar el agua en llegar hasta el oído de la niña? R = 0.059 s

P2.3 Un camión recorrió 640 mi de Atlanta a Filadelfia. El viaje total duró 14 h, pero el conductor hizo dos escalas de 30 min para comer, ¿Cuál fue su velocidad media? R = 45.7 mi/h

P2.4 Una persona corre durante 15 min con una rapidez media de 12 mi/h. ¿Cuál debe ser su rapidez media los siguientes 45 min, si la rapidez media para la hora completa es de 9 mi/h? R = 8 mi/h

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P2.5 Un astronauta circunda el planeta Marte a 100 km de su superficie en 1 h 42 min y 6s. Si el radio medio de Marte es de 3332 km. ¿Cuál será la rapidez del astronauta en m/s? R = 3521 m/s

Aceleración uniforme P2.6 Una flecha sale disparada 0.5 s después de estar en posición de martillado. Si alcanza una rapidez de 40 m7 en ese tiempo, ¿cuál fue su aceleración media? R = 80 m/s2

P2.7 Un camión que viaja con una rapidez de 60 mi/h repentinamente frena y se detiene. Se observa que las huellas de las llantas que patinaron cubren 180 ft de longitud. ¿Cuál era la aceleración media? ¿Cuánto tiempo transcurrió hasta que se detuvo? R = -21.5 ft/s2, 4.09 s

P2.8 En una prueba de frenado, un automóvil se detiene en 3 s. Si su velocidad inicial era de 60 km/h, ¿cuál fue su distancia de frenado? R = -5.56 m/s2, 25 m

P2.9 Una pelota rueda hacia arriba de un plano inclinado como se muestra en la figura 2.9. Tenía una velocidad inicial de 16 m/s en la parte inferior del plano. Dos segundos después aún viajaba hacia arriba del plano con una velocidad de solo 4 m/s. a) ¿Cuál es la aceleración? R = -6 m/s2

b) ¿Cuál es el máximo desplazamiento desde la parte inferior del plano para estas condiciones? R = 21.3 m c) ¿Cuál es la velocidad 4 s después de empezar a subir por el plano? R = -8 m/s P2.10 La pelota de la figura 2.9 rueda ahora libremente con una aceleración de 4 m/s2 dirigiéndose hacia abajo del plano. En un tiempo t =0, su velocidad es de 8 m/s hacia arriba del plano. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar una velocidad de 6 m7s dirigiéndose hacia abajo del plano? R = 3.5 s

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P2.11 Un tren monorriel que viaja a 80 km debe ser detenido en una distancia de 40 m. ¿Qué aceleración media se requiere? ¿Cuál es el tiempo de frenado? R = -6.17 m/s2, 3.6 s

P2.12 Partiendo del reposo, al final de la carrera de despegue, un móvil adquiere una velocidad de 85 m/s en 48 s. Hallar: a) La aceleración y. R = 1771 m/s2

b) La distancia recorrida. R = 2040 m c) La distancia recorrida en los dos primeros segundos. R = 88.6 m

P2.13 Un tren de carga con una velocidad de 12 m7s al final de una larga pendiente adquiere una velocidad de 88 m7s, cuando alcanza el final de la misma 4 min 36 s más tarde. Considerando la aceleración constante, hallar: a) La aceleración y. R = 0.2754 m/s2

b) La distancia recorrida. R = 10490 m

FIGURA 2.9

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P2.14 Un avión, inicialmente en reposos, es catapultado al aire a la velocidad de 55 m/s en 2.20 s. Calcular: a) La aceleración y. R = 25 m/s2

b) La longitud de la catapulta. R = 60.5 m

Gravedad, caída libre y tiro vertical de los cuerpo s

P2.15 Partiendo del reposo, se suelta una pelota que cae durante 5 s ¿Cuál es su posición y su velocidad en ese instante?

P2.16 Partiendo del reposo se deja caer un cuerpo cerca de la superficie de la Tierra. ¿Cuándo alcanzará la posición de 18 m por debajo del punto en que fue soltada? ¿Cuál será su velocidad en ese instante? R = 1.92 s después de soltarla, -18.8 m/s

P2.17 Se lanza hacia abajo un ladrillo desde lo alto de un edificio de 80 ft. Justo antes e que se estrelle contra el piso, tiene una velocidad descendente de 90 ft/s. ¿Cuál era la velocidad inicial del ladrillo? Vo = 54.6 ft/s

P2.18 Un proyectil es arrojado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 15 m/s. ¿Cuáles son su posición y su velocidad después de 1 s y después de 4s? R = 5.2 m/s, -24.2 m/s

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P2.19 Una flecha es disparada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 80 ft/s. a) ¿Cuánto tiempo se elevará? R = 2.5 s b) ¿Qué altura alcanzará? R = 100 ft c) ¿Cuáles son su posición su velocidad después de 2s? R = 96 ft, 16 ft/s d) ¿Cuáles son su posición y su velocidad después de 6s? R = -96 ft, -112 ft/s

P2.20 Un martillo es arrojado verticalmente hacia arriba hasta un techo de 50 ft de altura. a) ¿Cuál fue la mínima velocidad inicial requerida? R = 56.6 ft b) ¿Qué tiempo fue necesario? R = 1.77 s

PROBLEMAS ADICIONALES

P2.21 Un cohete que viaja en el espacio a 60 m/s, repentinamente es acelerado. Si alcanza una velocidad de 140 m/s en 8 s, ¿cuál fue la aceleración media? ¿Cuánto se alojó en ese tiempo?

P2.22 Un furgón de ferrocarril cargado con carbón pate del reposo y rueda libremente hacia abajo por una pendiente suave. Si la aceleración media es de 4 ft/s2, ¿cuál será la velocidad del furgón en 5 s? ¿Qué distancia habrá recorrido en ese tiempo? R = 20 ft7s, 50 ft

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P2.23 Considere las dos pelotas A y B que se muestran en la siguiente figura. La pelota A tiene una aceleración uniforme de 4 m/s2 con una dirección a la derecha, y la pelota B tiene una aceleración uniforme de 2 m/s2 dirigida a la izquierda. La pelota A inicialmente se desplazaba a la izquierda a 2 m/s, mientras que la pelota B inicialmente iba hacia la izquierda a 5 m/s. ¿En qué tiempo t después de t = o chocarán las pelotas? R = 2.00 s

P2.24 Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 23 m/s. ¿Cuál es su posición y velocidad después de 2, 4 y 8 s? P2.25 Un objeto se arroja verticalmente hacia arriba y llega hasta una altura máxima de 16 m. ¿Cuál fue la velocidad inicial y cuánto tiempo tardó en llegar hasta arriba? 17.7 m/s, 1.81 s P2.26 Una pelota se suelta, partiendo del reposo desde lo alto de un edificio de 100 m. En el mismo instante una segunda pelota se lanza hacia arriba desde la base del edificio, con una velocidad inicial de 50 m/s. ¿Cuándo chocarán las dos pelotas y a qué distancia arriba de la calle lo harán? P2.27 Una pelota rueda hacia arriba por un plano inclinado, de tal modo que llega a la parte superior en 3 s. La velocidad de la pelota cambia 4 m/s cada segundo de recorrido. ¿Cuál es la longitud del plano inclinado y cuál fue la velocidad inicial de la pelota? 12 m/s, 18 m P2.28 Una pelota se deja caer desde la ventana de un rascacielos, y 2 s después se arroja verticalmente hacia abajo una segunda pelota. ¿Cuál debe ser la velocidad inicial de la segunda pelota si alcanza a la primera justamente al chocar el suelo, 400 m abajo? P2.29 El tripulante de un globo que se eleva verticalmente con una velocidad de 4 m/s deja caer una bolsa de arena en el instante en que el globo se encuentra a 16 m de altura sobre el suelo. a) Calcule la posición y la velocidad de la bolsa de arena (en relación con el suelo) después de 0.3 s y 2 s. b) ¿Cuántos segundos después de haberla soltado llegará al suelo? c) ¿Con qué velocidad llega al suelo? a) 16.8 m, 1.06 m/s, 4.40 m/s, -15.6 m, b) 2.26 s, c) -18.2 m/s P2.30 Desde un puente se arroja una piedra verticalmente hacia abajo. Cuatro segundos después cae al agua con una velocidad final de 60 m/s. ¿Cuál era la velocidad inicial de la piedra? ¿A qué altura sobre el agua está el puente? P2.31 Una flecha es disparada en dirección vertical hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. Tres segundos después se dispara otra flecha, también hacia arriba, con una velocidad de 60 m/s. ¿Al cabo de cuánto tiempo y en qué posición se encontrarán las dos flechas? 5.54 s, 80.6 m

A B 2 m/s 5 m/s

18 m

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3. CINEMATICA EN DOS DIMENSIONES Al completar el estudio de esta unidad el alumno podrá:

1. Explicar con ecuaciones y diagramas el movimiento vertical y horizontal de un proyectil lanzado con diferentes ángulos.

2. Determinar la posición y velocidad de un proyectil cundo se conocen su velocidad inicial y su posición.

3. Determinar el alcance, la altura máxima y el tiempo de vuelo de un proyectil cuando se conocen la velocidad inicial y su ángulo de proyección.

3.1 Explique el efecto de la gravedad en la trayect oria de un cuerpo con tiro horizontal Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia recibe el nombre de proyectil. Si se desprecia la resistencia ejercida por el aire, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso, W, que hace que su trayectoria se desvíe de la línea recta. El proyectil experimenta una aceleración constante hacia abajo por efecto de la gravedad, pero esa difiere de los movimientos estudiados previamente. En general, la dirección de la gravedad no coincide con la dirección de la velocidad inicial. El proyectil tiene una velocidad horizontal constante y su velocidad vertical cambia uniformemente por la influencia de la gravedad. Si un objeto se lanza horizontalmente, es más fácil describir su movimiento si se consideran por separado su movimiento horizontal y el vertical. Por ejemplo, en la siguiente figura se deja caer una pelota al mismo que otra que se lanza horizontalmente. La velocidad horizontal de la segunda permanece constante durante toda su trayectoria, tal como se representa por medio de las flechas de igual tamaño en la figura.

0 s 1 s 2 s 3 s 0 s

VX

VX

VX VY

VY

2 s VY

1 s VY

3 s VY

VY VY

Y = ½ gt2

Y = ½ gt2

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Por otra parte, la velocidad vertical inicialmente es cero y aumenta en forma uniforme de acuerdo con las ecuaciones que se dedujeron anteriormente en relación con la caída de los cuerpos. Las pelotas llegarán al agua en el mismo instante, aun cuando una de ellas también se está desplazando horizontalmente. Así pues, los problemas se simplifican mucho si se resuelven por separado sus componentes horizontal y vertical. Observe la siguiente dirección: http://www.educaplus.org/movi/4_4thorizontal.html 3.2 Determine las ecuaciones que interrelacionan lo s parámetros del tiro horizontal. Las expresiones matemáticas para este movimiento son:

X = V0X t y = ((V0y + VY) /2) * t VY= V0Y + gt Y= Voyt + 1/2 gt 2

2gy =VY2 – V0Y

2

Donde y = posición vertical V0y = velocidad inicial vertical g = aceleración vertical Para los problemas donde la velocidad inicial es horizontal, la posición final se ubicará por debajo del origen, y la velocidad final irá directamente hacia abajo. Puesto que la aceleración gravitacional también está dirigida hacia abajo, conviene elegir la dirección hacia abajo como positiva.

V0x = VX V0Y = 0

Dado que la velocidad horizontal es constante y la velocidad inicial vertical es igual a cero. Por lo tanto, las posiciones vertical y horizontal en cualquier instante están dadas por

X = V0X t posición horizontal Y = ½ gt 2

De manera similar, las componentes vertical y horizontal de la velocidad en cualquier instante están dadas por

VX = V0X velocidad horizontal V Y = gt velocidad vertical

Tanto la velocidad final como la velocidad se calculan a partir de sus componentes. En todas las fórmulas anteriores se debe sustituir un valor positivo de g si se elige como positiva la dirección vertical hacia abajo. 3.3 Calcule los parámetros (posición, velocidad en “x”, “y” y ángulo en cualquier tiempo.)

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3.4 Resuelva problemas que involucren tiro horizont al (movimiento horizontal inicial) utilizando los diferentes sistemas de unidades. Problemas 3.4.1 Se lanza una caja de provisiones desde un avión ubicado a una distancia vertical de 340 m por encima de un lago. Si el avión lleva una velocidad horizontal de 70 m7s respecto al suelo. ¡Qué distancia horizontal recorrerá la caja antes de caer al agua? 583 m

3.4.2 Una grúa viajera tiene un electroimán a 80 ft por encima del suelo. El operador de la grúa desea depositar una pieza de chatarra en un punto situado 60 ft más allá del final de la vía de la grúa. ¡Qué velocidad horizontal debe tener la grúa cuando llegue al final de la vía?

3.4.3 Se descargan troncos horizontalmente desde una canal engrasada situada 20 m arriba de un estanque de un aserradero. Si los troncos salen de la canal con una velocidad horizontal de 15 m/s, ¿qué tan lejos llegarán los troncos antes de llegar al agua?

3.4.4 Un balín de acero cae desde el borde de una mesa de 6 ft de altura. Si el balín golpea el piso a una distancia de 5 ft de la base de la mesa, ¿cuál era su velocidad en el momento de caer de la mesa?

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3.4.5 Desde la parte más alta de un edificio se laza horizontalmente una piedra con una velocidad inicial de 200 m/s. En el mismo instante se deja caer otra piedra partiendo del reposo: a) Calcule la posición y la velocidad de la segunda piedra después de 3 s. b) ¿Qué tan lejos llegó la primera piedra en su recorrido horizontal durante estos 3 s? c) ¿Cuánto viajó verticalmente? d) ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la velocidad de la primera piedra después de 3s? a) -44.1 m, -29.4 m/s; b) 600 m; c) -44.1 m; d) 200 m/s, -29.4 m/s 3.5 Explique la trayectoria seguida por el cuerpo l anzado con componentes iníciales de velocidad en dos dimensiones (tiro parabólico). El caso más general del movimiento de proyectiles se presenta cuando el proyectil se lanza con cierto ángulo. Este problema se ilustra con la siguiente figura:

Donde el movimiento de un proyectil lanzado con un ángulo θ con una velocidad inicial v0 se compara con el movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba. Una vez más, es fácil notar la ventaja de tratar los movimientos horizontal y vertical por separado. En este caso se pueden utilizar las ecuaciones ya estudiadas anteriormente, considerando la dirección hacia arriba como positiva. Por lo tanto, si la posición vertical “y” esta por arriba del origen, será positiva; si esta por debajo del origen, será negativa. En forma similar, las velocidades hacia arriba serán positivas. Puesto que la aceleración siempre se dirige hacia abajo, debemos darle a “g” un valor negativo.

V0X = VX

V0X

V0Y

V0

θ

VY

VX Y MAX

VX

θ

VX

VY

VY = 0

V0Y

Alcance

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3.6 Determine las ecuaciones que caracterizan un ti ro parabólico.

1. Descomponiendo la velocidad inicial v0 en sus componentes “x” y “y”

V0x = V0 cos θ V0y = V0 sen θ

2. Las componentes horizontal y vertical del desplazamiento en cualquier instante están dados por:

X = V0X t Y = V0Y t + ½ g t 2

3. Las componentes horizontales y verticales de la velocidad en cualquier instante están dadas por:

VX = V0X VY = V0Y + g t

4. La posición y la velocidad finales pueden determinarse a partir de sus componentes. 5. Recordar que la gravedad “g” puede ser positiva o negativa, dependiendo de su elección

inicial.

3.7 Calcule los parámetros (posición, componentes d e la velocidad en “x”, “y” y ángulo) de una trayectoria parabólica en cualquier tiempo dado . Vea: http://www.walter-fendt.de/ph11s/projectile_s.htm

3.8 Resuelva problemas relacionados con tiro parabó lico empleando los diferentes sistemas de unidades. Vea los siguientes videos:

http://es.youtube.com/watch?v=Pt0-fgIvkpA&feature=r elated http://es.youtube.com/watch?v=fkMSmJLzddY&feature=r elated

http://es.youtube.com/watch?v=bU3Lx1U kSDI&feature=related 3.8.1 Se arroja una piedra a un ángulo de 58° con una velocidad inicial de 20 m/s. ¿Cuál es su posición horizontal y vertical después de 3 s? ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de su velocidad después de 3 s?

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3.8.2 Una flecha se dispara al aire con una velocidad de 120 ft/s y un ángulo de 37° respecto a la horizontal. a) ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de su velocidad inicial? 95.8 ft/s, 72.2 ft/s b) ¿Cuál es su posición (horizontal y vertical) después de 2 s? 192 ft, 80.4 ft c) Determine las componentes de su velocidad después de 2 s. 95.8 ft/s, 8.22 ft/s d) ¿Cuál es la magnitud y dirección de su velocidad resultante después de 2 s? 96.2 ft/s, 4.90° 3.8.3 Suponga que una flecha se dispara con un ángulo de 40° respecto a la horizontal y una velocidad de 30 m/s. Encuentre las posiciones horizontal y vertical de la flecha después de 4 s. ¿Cuál es la velocidad resultante?

3.8.4 Un proyectil se lanza con un ángulo de 30° y una velocidad inicial de 20 m/s. a) ¿Cuál es el punto más alto de la trayectoria? 5.10 m b) ¿Cuál es su alcance horizontal? 35.3 m c) Si el vuelo se toma en relación con el suelo, ¿cuánto tiempo estuvo el proyectil en el aire? 2.04 s

3.8.5 Una pelota de beisbol es golpeada por un bate, adquiriendo una velocidad de 35 m/s y un ángulo de 32° ¿Cuál es el punto más alto de su trayectoria?

3.8.6 La pelota de beisbol del problema anterior se eleva y cae, golpeando un marcador que se encuentra a 8 m de altura sobre el campo de juego. ¿Cuál fue el tiempo de vuelo? ¿Qué tan lejos llego el golpe de la pelota horizontalmente? 3.29 s, 97.6 m

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PROBLEMAS ADICIONALES

3.1 Una flecha es disparada al aire con una velocidad de 46 m/s y con un ángulo de elevación de 70°. Hallar: a) su tiempo de vuelo. 8.63 s b) la altura máxima alcanzada. 91.2 m c) el recorrido. 132.8 m 3.2 Una manguera contra incendios a 18 m sobre el suelo lanza un chorro de agua horizontal con una velocidad de 18 m/s. Hallar: a) el tiempo que tardará el agua en tocar el suelo en segundos. 1917 s b) la distancia horizontal recorrida. 34.51 m c) la velocidad vertical. 18.79 m/s d) la velocidad de impacto. 26.01 m/s a 43.8° con la vertical

3.3 Una flecha es disparada al aire a una velocidad de 50 m/s. Si alcanza una altura máxima de 120 m, a) ¿a qué ángulo fue proyectada? 75.9° b) ¿cuál es el tiempo de vuelo? 9.90 s c) ¿y cuál es el camino recorrido? 120.4 m d) trace un diagrama de la trayectoria 3.4 Una jabalina es lanzada al aire con una velocidad de 50 m/s y un ángulo de elevación de 75°. Hallar: a) el tiempo de vuelo 9.86 s b) su altura máxima 119 m c) el desplazamiento 127.6 m Al cabo de 2 s, hallar: d) la distancia desde el punto de partida y, 25.88 m e) la distancia vertical. 77 m Al cabo de 7 s, hallar: f) su velocidad vertical, -20.3 m g) su velocidad horizontal y, 12.94 m/s h) su dirección. 57.5° por debajo de la horizontal i) Trace un diagrama de la trayectoria

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3.5 Dos edificios altos están separados 400 ft entre ellos. Una pelota se arroja horizontalmente desde la azotea del primer edificio situada a 1700 ft del suelo. ¿Con qué velocidad horizontal debe haberse arrojado la pelota si logra entrar por una ventana del segundo edificio situada a 800 ft del suelo? 53.3 ft/s

3.6 Se desea dar en el blanco, cuyo alcance horizontal es de 12 km, utilizando un proyectil. El ángulo de elevación es de 35°. a) Determine la velocidad necesaria en la boca del arma, suponiendo que no hubiera resistencia del aire. 354 m/s. b) ¿Cuál es el tiempo de recorrido hasta el blanco? 41.4 s

3.7 En un campo de golf, un hoyo está situado a 240 ft horizontalmente y a 64 ft verticalmente del montículo de disparo inicial. ¿Cuál debe ser la magnitud y la dirección de la velocidad inicial, si una pelota golpea el césped en este lugar después de 4 s? 100 ft/s, 53.1°

3.8 Una pelota se lanza desde la mano de un jugador, a 2 m del suelo, con una velocidad inicial de 14 m/s y un ángulo de 42° respecto a la horizontal. ¿Cuánto tiempo se elevará? 0.956 s ¿Cuál es su velocidad en el punto más alto de su trayectoria? 10.4 m/s ¿Qué tan alto está en ese instante respecto al suelo? 6.48 m ¿Cuál es su alcance horizontal respecto al pie del jugador? 21.9 m

3.9 Dos niños que andan en bicicleta se dirigen el uno hacia el otro con velocidades constantes de 20 y 19 ft/s. Cada niño suelta una pelota a 6 ft de altura del suelo con una velocidad horizontal de 40 ft/s en relación con la bicicleta. Si las dos pelotas chocan a 1 ft de altura sobre el suelo, ¿cuál era su separación cuando fueron soltadas inicialmente?

3.10 Un jabalí embiste directamente a un cazador con una velocidad constante de 60 ft/s. En el instante en que el jabalí se encuentra a 100 yd, el cazador dispara una flecha con un ángulo de 30° respecto al suelo. ¿Con qué velocidad debe salir disparada la flecha del arco a 30° para que dé en el blanco? Suponga que el arco y el jabalí están en la misma posición vertical.

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4. MOVIMIENTO CIRCULAR Al completar el estudio de esta unidad el alumno podrá:

1. Definir el desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular, y aplicar estos conceptos a la solución de problemas físicos.

2. Escribir y aplicar las relaciones entre la velocidad o aceleración lineales y la velocidad o aceleración angulares.

3. Demostrar por medio de definiciones y ejemplos su comprensión de los conceptos de aceleración centrípeta y fuerza centrípeta.

4. Aplicar su conocimiento sobre fuerza centrípeta y aceleración centrípeta para resolver problemas.

5. Definir y aplicar los conceptos de frecuencia y periodo de rotación, y relacionarlos con la velocidad lineal de un objeto en el movimiento circular uniforme

Hasta el momento se ha considerado únicamente el movimiento traslacional, en el que la posición de un objeto cambia a lo largo de una línea recta. Pero es posible que un objeto se mueva en una trayectoria curva o que tenga un movimiento rotacional. Por ejemplo, las ruedas, ejes, poleas, giróscopos y muchos otros dispositivos mecánicos giran sobre su eje sin que haya movimiento traslacional. La generación y transmisión de potencia casi siempre depende de algún tipo de movimiento rotacional. Es esencial que usted sea capaz de predecir y controlar este tipo de movimiento. Los conceptos y fórmulas que se verán en esta unidad serán útiles para que adquiera estas habilidades esenciales. Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme es aquel movimiento circular en el que un cuerpo se desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal manera que en tiempos iguales recorra espacios iguales. No se puede decir que la velocidad es constante ya que, al ser una magnitud vectorial, tiene módulo, dirección y sentido: el módulo de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento pero la dirección está constantemente cambiando, siendo en todo momento tangente a la trayectoria circular. Esto implica la presencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.

4.1 Defina el concepto de desplazamiento angular, s us unidades (revolución, radián, vuelta, grados) y las conversiones entre ellos. El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación. Si el punto A en el disco de la siguiente figura:

Gira sobre un eje hasta el punto B, el desplazamiento angular se denota con el ángulo θ. Hay varias formas de medir éste ángulo. Recordando la relación entre grados y revoluciones:

B

A

D

C

θ

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1 rev = 360°

Ninguna de estas unidades es útil para describir la rotación de cuerpos rígidos. Una medida más fácil de aplicar el desplazamiento angular es el radián (rad). Un ángulo de 1 rad es un ángulo central cuyo arco s es igual en longitud al radio R, de acuerdo a la siguiente figura:

Es más común que el radián se defina por la siguiente ecuación:

θ = s / R

donde s es el arco de un círculo descrito por el ángulo θ. Puesto que el cociente s entre R es la razón de dos distancias, el radián es una cantidad sin unidades. Vea la dirección: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medelli n/nivelacion/uv00004/lecciones/unidades/cinematica/circular/concepto/index00.htm 4.2 Establezca la relación entre los desplazamiento s angular y lineal, partiendo de la definición de radián. El factor de conversión que permite relacionar radianes con grados se encuentra considerando un arco de longitud s igual a la circunferencia de un círculo 2Πr. Dicho ángulo en radianes se obtiene:

θ = 2ΠR / R = 2Πrad

Así tenemos: 1 rev = 360° = 2Π rad

De donde se observa que

1 rad = 360° / 2Π = 57.3°

Ejemplo: Si la longitud del arco s es de 6 ft y el radio es de 10 ft, calcule el desplazamiento angular en radianes, grados y revoluciones.

θ

s R

R

θ = s /R

(a)

s = R

1 Rad

R

1 rad = 57.3°

(b)

1 rev

1°

1° = (1/360) rev

(c)

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Solución Sustituyendo directamente en la ecuación θ = s / R

θ = s / R = 6 ft / 10 ft = 0.6 rad , en grados se tiene θ = (0.6 rad) 57.3° / 1 rad = 34.4°, y ya que 1 rev = 360° θ = (34.4°) 1 rev / 360° = 0.0956 rev 4.3 Derive el concepto de velocidad angular constan te como una analogía con la velocidad constante y sus unidades. A la razón de cambio del desplazamiento angular respecto al tiempo se le llama velocidad angular. Por lo tanto, si un objeto gira a través de un ángulo θ en un tiempo t, su velocidad angular media está dada por:

ω= θ / t El símbolo omega se usa para denotar la velocidad rotacional. Aún cuando la velocidad angular puede expresarse en revoluciones por minuto o revoluciones por segundo, en la mayoría de los problemas físicos es necesario utilizar radianes por segundo para adaptarse a fórmulas más convenientes. Puesto que la velocidad de rotación o frecuencia en gran número de problemas técnicos se expresa en términos de la frecuencia, la siguiente relación será de utilidad:

ω = 2 π f = 2 π / T

donde ω se mide en radianes por segundo y f se mide en revoluciones por segundo, siendo T el periodo o tiempo necesario para completar un ciclo o giro. Si relacionamos la velocidad lineal con la angular, llegamos a:

v = R θ / t = R θ/t y reemplazando θ/t por ω, se tiene:

v = R ω Ejemplo: La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66 cm y da 40 revoluciones en 1 minuto: a) ¿Cuál es su velocidad angular? b) ¿Qué distancia lineal se desplazará la rueda) Solución a) La velocidad angular depende tan sólo de la frecuencia de rotación, considerando que 1 rev = 2 π radianes

f = (40 rev / min) (1 min / 60 s) = 0.667 rev /s, y

ω = (2 π rad) (0.667 rev/s) = 4.19 rev / s b) El desplazamiento lineal s se puede calcular a partir del desplazamiento angular θ en radianes.

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Θ = (2 π rad / 1 rev) (40 rev) = 251 rad

Despejando s de la ecuación s = θ R

s = θ R = (251 rad) (0.33 m) = 82.8 m

Revise la siguiente dirección: http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angular

4.4 Demuestre la relación entre velocidad angular c onstante y velocidad tangencial constante derivando su ecuación. 4.5 Resuelva problemas relacionados con el movimien to circular a velocidad constante, utilizando las diferentes unidades que lo caracteri zan. 4.5.1 Un motor eléctrico gira a 600 rpm. ¿Cuál es su velocidad angular? ¿Cuál es el desplazamiento angular después de 6 s? 62.8 rad/s, 377 rad 4.5.2 Una polea que gira completa 12 rev en 4 s. Determine la velocidad angular media: a) en revoluciones por segundo b) en revoluciones por minuto c) en radianes por segundo 4.6 Identifique los conceptos de velocidad angular, instantánea y media. Si se considera el concepto de velocidades angulares iníciales y finales, podemos expresar la velocidad angular media en términos de sus valores iníciales y finales, así como una expresión más útil para el desplazamiento angular:

�ω = (ωf + ω0) / 2

θ = � ω t = ((ωf + ω0) / 2) t

4.7 Infiera el concepto de aceleración angular cons tante como el cambio de la velocidad angular de un cuerpo respecto al tiempo y sus unida des. Al igual que el movimiento lineal, el movimiento rotacional puede ser uniforme o acelerado. La rapidez de la rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión resultante. Por ejemplo, si la velocidad angular cambia de un valor inicial ω0 a un valor final ωf en un tiempo t, la aceleración angular es:

∞ = (ωf – ω0) / t

La letra griega ∞ (alfa) denota la aceleración angular. Una forma más útil de ecuación es:

ωf = ω0 + ∞t

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4.8 Derive las ecuaciones que describen el movimien to circular uniformemente acelerado como una analogía con las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, haciendo un análisis dimensional.

Comparación de la aceleración lineal y la aceleración angular

Aceleración lineal constante Aceleración angular constante s = v t = (( v f + v0 ) / 2) / t Θ = ω t = (( ωf + ω0 ) / 2) / t

vf = v0 + at ωf = ω0 + ∞ t

s = v0 t + ½ a t 2 Θ = ω0 t + ½ ∞t2

2 as = v f2 - v0

2 2∞ Θ = ωf

2 - ω02

4.9 Derive la relación entre aceleración tangencial y aceleración angular a partir de los conceptos de velocidad tangencial y aceleración lin eal. Considerando que una partícula se mueve en un círculo de radio R y suponiendo que la velocidad lineal cambia de cierto valor inicial v0 al valor final vf en un tiempo t. La aceleración tangencial aT de dicha partícula está dada por:

aT = (vf - v0 ) / t

Podemos expresar también la aceleración tangencial en términos de un cambio en la velocidad angular:

aT = (( ωf - ω0 ) R) / t o bien aT = ∞R

Se debe tener cuidado en distinguir entre la aceleración tangencial y la aceleración centrípeta definida por: aC = v2 / R. La aceleración tangencial representa un cambio en la velocidad lineal, mientras que la aceleración centrípeta representa tan solo un cambio en la dirección del movimiento, esto se observa en la siguiente figura, la aceleración resultante puede determinarse calculando el vector suma de las aceleraciones tangencial y centrípeta.

Ver el video fuerza de aceleración angular http://mx.youtube.com/watch?v=Cga3dxebN4c&feature=r elated

aT = ∞R

ac a aC = V

2 / R

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Problemas propuestos

• Una piedra de 4 kg al final de un alambre gira en un círculo de radio 0.850 m con una velocidad angular de 120 rpm. Determinar a) la velocidad angular. 12.57 rad/s b) la velocidad de un punto en el borde. 10.68 m/s

• Una muela de esmeril en forma de disco uniforme, con una masa de 2.40 kg y un diámetro de 28 cm,

gira a 4500 rpm. Hallar a) la velocidad angular b) la velocidad lineal de la periferia

• Un cable esta enrollado alrededor de un cilindro de 80 cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones de este cilindro harán que un objeto amarrado al cable se mueva una distancia lineal de 2 m? ¿Cuál es el desplazamiento angular en radianes? 0.796 rev, 5 rad

• Una rueda de bicicleta tiene 26 in de diámetro. Si la rueda da 60 revoluciones, ¿qué distancia lineal se habrá desplazado?

• Un punto al borde de una gran rueda cuyo radio es de 3 m se mueve a través de un ángulo de 37°. Encuentra la longitud del arco descrito por el punto. 1.94 m

• Un punto al borde de una plataforma giratoria de 6 ft de diámetro se mueve a través de una distancia de 2 ft. Calcule el desplazamiento angular en radianes, en grados y en revoluciones.

• Un volante parte del reposo y alcanza una velocidad rotacional final de 900 rpm en 4 s. Determine la aceleración angular y el desplazamiento angular después de 4 s. 23.6 rad/s2, 188 rad

• El ciclo de giro de una lavadora de ropa baja de 900 rpm a 300 rpm en 50 rev. ¿Cuál es la aceleración angular y el tiempo requerido para hacerlo?

• Una rueda que gira inicialmente a 6 rev/s tiene una aceleración angular de 4 rad/s2. ¿Cuál es la velocidad anular después de 5 s? ¿Cuántas revoluciones dará? 57.7 rad/s, 38 rev

• Una rueda de esmeril se frena en 40 rev. Si l aceleración de frenado fue de -6 rad/s2, ¿cuál fue la frecuencia inicial de revoluciones en rev/s?

V = 10.68 m/s 4 kg

ω = 12.57 rad/s

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• Una pieza cilíndrica para almacenamiento de 6 in de diámetro gira en un torno a 800 rpm. ¿Cuál es la velocidad lineal en la superficie del cilindro? 20.9 ft/s

• La velocidad tangencial apropiada para maquinar acero es de aproximadamente 70 cm/s. ¿A cuántas rpm debe hacerse girar en el torno un cilindro de acero de 8 cm de diámetro?

• Una polea de 32 cm de diámetro y que inicialmente gira a 4 rev/s recibe una aceleración angular constante de 2 rad/s2. a) ¿Cuál es la velocidad inicial de una banda enrollada alrededor de la polea después de 6 s? 6.58 m/s b) ¿Cuál es la aceleración tangencial de la correa? 0.320 m/s2

• Una mujer que está de pie en una plataforma giratoria a 4 m del centro de rotación recorre una distancia de 100 m en 20 s. Si partió del reposo, ¿cuál es la aceleración angular de la plataforma? ¿Cuál es la velocidad angular después d 20 s?

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4.10 Defina los conceptos de fuerza centrípeta y c entrífuga, obteniendo sus ecuaciones. Movimiento en una trayectoria circular.- La primera Ley de Newton nos dice que todos los cuerpos que se mueven en línea recta, con velocidad constante, mantendrán inalterada su velocidad a menos que actúe sobre ellos una fuerza externa. La velocidad de un cuerpo es una cantidad vectorial definida por su rapidez y su dirección. Igual que se requiere una fuerza resultante para cambiar su rapidez, se tiene que aplicar una fuerza resultante para cambiar su dirección. Siempre que esa fuerza actúa en una dirección diferente de la dirección original del movimiento, provoca un cambio en la trayectoria de la partícula en movimiento. El movimiento más sencillo en dos dimensiones se produce cuando una fuerza externa constante actúa formando ángulos rectos respecto a la trayectoria de la partícula en movimiento. En este caso la fuerza resultante producirá una aceleración que altera tan sólo la dirección del movimiento, manteniéndose la rapidez constante. Este tipo de movimiento se conoce como movimiento circular uniforme. El movimiento circular uniforme es un movimiento en el cual la velocidad no cambia, pues solo hay un cambio en la dirección. Ir a: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/circular 1/circular1.htm

Fuerza centrípeta.- Se llama así a la fuerza que tira de un objeto hacia el centro de un camino circular mientras que el objeto sigue dicha trayectoria a una rapidez constante (siendo la rapidez la magnitud de la velocidad).

El término centrípeta proviene de las palabras latinas centrum (centro) y petere (dirigirse hacia...), y puede ser derivada a partir de las leyes descubiertas por Isaac Newton.

La fuerza centrípeta siempre actúa en forma perpendicular a la dirección de movimiento del cuerpo sobre el cual se aplica. En el caso de un objeto que se mueve en trayectoria circular con rapidez cambiante, la fuerza neta sobre el cuerpo puede ser descompuesta en un componente perpendicular que cambia la dirección del movimiento y uno tangencial, paralelo a la velocidad.

De acuerdo a la segunda Ley de Newton del movimiento, la magnitud de esta fuerza debe ser igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta. O sea:

FC = m aC = mv2 / R, la unidad en el SI es el Newton (N)

Para problemas en los que la velocidad rotacional se expresa en términos de la frecuencia, la fuerza centrípeta se puede determinar a partir de:

FC = mv2 / R = 4 π2 f2 m R

Ir a: http://www.walter-fendt.de/ph11s/carousel_s.htm

Fuerza centrífuga.- Es la que tiende a alejar los objetos del centro de rotación mediante la velocidad tangencial, perpendicular al radio, en un movimiento circular.

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4.11 Defina el concepto de aceleración centrípeta, obteniendo sus ecuaciones. La segunda ley de Newton del movimiento establece que una fuerza resultante debe producir una aceleración en la dirección de la fuerza. En el movimiento circular uniforme, la aceleración cambia la velocidad de una partícula que se mueve, alterando su dirección. La posición y la velocidad de una partícula en movimiento que sigue una trayectoria circular de radio R se muestra en dos instantes en las siguientes figuras.

Cuando la partícula se encuentra en el punto A, su velocidad s representa por el vector v1. Después del intervalo de tiempo ∆t, su velocidad se representa por el vector v2 . La aceleración por definición, es el cambio de velocidad por unidad de tiempo. Por lo tanto:

a = ∆v / ∆t = (v2 – v1) / ∆t

El cambio en la velocidad ∆v se representa gráficamente en la figura (b). La diferencia entre los dos vectores v2 y v1 se construye de acuerdo con los métodos presentados anteriormente. Puesto que las velocidades v2 y v1 tienen la misma magnitud, forman los lados de un triángulo isósceles BPQ cuya base es ∆v. Si se construye un triángulo similar ABC, se puede observar que la relación entre la magnitud de ∆v y la magnitud de cualquiera de las velocidades es la misma que la relación entre la cuerda s y el radio R. Esta proporcionalidad se enuncia simbólicamente así:

∆v / v = s / R

Donde v representa la magnitud absoluta de v1 o de v2. La distancia que recorre realmente la partícula desde el punto A hasta el punto B no es la distancia s, sino la longitud del arco de A a B. Mientras más corto es el intervalo de tiempo ∆t, más cerca están estos puntos hasta que, en el

V2

V1

B

A

S

R

C

V2 P

B

A

R

C

∆ v -VF

Q

S

(a) Ay B son las posiciones en dos instantes separados por un intervalo de tiempo ∆t. (b)

el cambio de velocidad v se representa gráficamente. El vector apuntará directamente

hacia el centro si ∆t es lo sufrientemente pequeño para que la cuerda s sea igual al arco

que une los puntos Ay B.

Figura a Figura b

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límite, la longitud de la cuerda se iguala con la longitud del arco. En este caso, la longitud s está dada por:

s = v ∆t

La cual, puede expresarse como: ∆v / v = v ∆t / R, reordenándose se tiene, ∆v / ∆t = v2 / R, por consiguiente la razón del cambio de velocidad, o la aceleración centrípeta, está dada por:

aC = v2 / R = m / s 2

donde v es la rapidez lineal de una partícula que se mueve en una trayectoria circular de radio R. Si definimos como período el tiempo para completar una revolución y lo designamos con la letra T, la velocidad lineal puede calcularse dividiendo la circunferencia entre el período. Por lo tanto:

v = 2 π R / T

Otro parámetro útil en problemas de ingeniería es la velocidad rotacional, expresada en revoluciones por minuto (rpm) o revoluciones por segundo (rev/s). Esta cantidad se llama frecuencia de rotación y es la reciproca del período.

f = 1 / T

Utilizando este término, se tiene: v = 2 π f R PERALTE DE CURVAS Cuando un automóvil toma una curva cerrada en una carretera perfectamente horizontal, la fricción entre las llantas y el pavimento genera una fuerza centrípeta como se muestra en la figura:

Para esto se tiene:

v = (µS g R)1/2

tan θ = v2 / Rg

Ver el video fuerza centrifuga http://mx.youtube.com/watch?v=qv_O1Cz7pwo

R

Centro de curvatura

fS

W = m g

N

fS

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4.12 Resuelva problemas que involucren movimiento c ircular uniformemente acelerado en sus diferentes unidades. Aceleración centrípeta 4.12.1 Una pelota se encuentra atada al extremo de un cordel de 1.5 m de largo. La pelota gira en un círculo horizontal con una velocidad de 8 m/s. ¿Cuál es la aceleración centrípeta? ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia de rotación? 42.7 m/s2, 1.18 s, 0.849 rev/s 4.12.2 Un objeto gira en un círculo de 3 m de diámetro a una frecuencia de 6 rev/s. ¿Cuál es el periodo de revolución? ¿Cuál es la velocidad lineal? ¿Cuál es la aceleración centrípeta? 4.12.3 Una polea motriz de 6 cm de diámetro está adaptada para girar a 9 rev/s. ¿Cuál es la aceleración centrípeta en el borde de la polea? ¿Cuál es la velocidad lineal de una banda que pasa por la polea? 95.9 m/s2,

1.70 m/s 4.12.4 Un carrusel gira con un periodo de 6 s. ¿Qué tan lejos del centro debe uno sentarse para experimentar una aceleración centrípeta de 12 ft/s2? Fuerza centrípeta 4.12.5 Una piedra de 3 kg gira en un círculo horizontal por medio de una cuerda de 2 m, de modo que completa una revolución en 0.3 s. ¿Cuál es la fuerza centrípeta sobre la piedra? ¿Actúa también una fuerza hacia afuera sobre la piedra? 2630 N, no 4.12.6 Una pesa de 8 lb gira en un círculo horizontal con una velocidad lineal de 95 ft/s ¿Cuál es el radio de la trayectoria si la fuerza centrípeta es de 2000 lb? 4.12.7 Un objeto de 4 lb se ata a un cordel y se hace girar en un círculo cuyo radio es de 3 ft. Si no toma en cuenta los efectos de la gravedad y supone una frecuencia de 80 rpm. a) ¿cuál es la aceleración centrípeta? 211 ft/s2

b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda? 26.3 lb c) ¿Qué sucede si la cuerda se rompe? 4.12.8 Dos masas de 8 kg están atadas al extremo de un rodillo delgado de 400 mm de longitud. El rodillo está apoyado en su parte media y gira en un círculo. Suponga que el rodillo no puede soportar una tensión mayor que 80 N. ¿Cuál es la máxima frecuencia de revoluciones que soporta? 4.12.9 Una moneda está en reposo sobre una plataforma giratoria a una distancia de 12 cm del centro de rotación. Si el coeficiente de fricción estática es de 0.6. ¿Cuál es la máxima frecuencia de rotación para que la moneda no se deslice? 1.11 rev/s 4.12.10 Una camisa húmeda de 4 lb gira en el ciclo de exprimido de una lavadora a 300 rpm. El diámetro del tambor giratorio es de 27 in. ¿Cuál es la fuerza centrípeta? ¿La fuerza que actúa sobre la camisa se dirige hacia adentro o hacia afuera? Ver el video Fuerza centrípeta experimento http://es.youtube.com/watch?v=0x9U4tghkfE

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5. GRAVITACION UNIVERSAL 5.1 Enuncie e interprete la ley de gravitación univ ersal de Newton y la ecuación que la representa. La tierra y los planetas siguen órbitas aproximadamente circulares alrededor del Sol. Newton sugirió que la fuerza hacia el centro que mantiene el movimiento planetario es tan sólo un ejemplo de la fuerza universal llamada gravitación. La cual actúa sobre todas las masas del universo. El enunció su tesis en la ley de gravitación universal: “Toda partícula en el universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas” Esta proporcionalidad suele enunciarse en forma de una ecuación:

F = G (m1 m2 / r2)

donde m1 y m2 son las masas de cualquier par de partículas separadas por una distancia r, como se muestra en la siguiente figura:

La constante de proporcionalidad G es una constante universal igual a:

G = 6.67 x 10-11 N * m2/kg2

G = 3.44 x 10-8 lb * ft2/slug2

Ejemplo: Dos pelotas, una de 4 kg y otra de 2 kg, están colocadas de tal modo que sus centros quedan separados por una distancia de 40 cm. ¿Cuál es la fuerza con la que se atraen mutuamente?

F = G (m1 m2 / r2) = (6.67 x 10-11 N * m2/kg2) (4 kg)(2kg) / (0.40 m) 2

F = 3.34 x 10-9 N La fuerza gravitacional es en realidad una fuerza pequeña. Debido a que la masa de la Tierra es relativamente grande en comparación con la de los objetos que se encuentran en su superficie,

F = G (m1 m2 / r2) m1 m2

r

LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL

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con frecuencia suponemos que las fuerzas gravitacionales son muy grandes. Sin embargo, si consideramos dos canicas muy cercanas entre sí, sobre una superficie horizontal, nuestra experiencia nos permite comprobar que la atracción gravitacional es débil. Ver video de: Isaac Newton http://mx.youtube.com/watch?v=Q2AoPbQ6JHs&feature=r elated Gravitación universal http://mx.youtube.com/watch?v=I_BRXBQcXiA&feature=r elated De newton a Einstein http://mx.youtube.com/watch?v=39aT9Db9iYE Ir a: Gravitación universal http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen 1/ciencia2/50/html/sec_3.html Monografías Gravitación universal http://www.monografias.com/trabajos5/graviuni/gravi uni.shtml Gravedad http://es.wikipedia.org/wiki/Atracci%C3%B3n_gravita toria Constante de gravitación universal http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_gravitaci %C3%B3n_universal

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5.2 Describa el experimento de Cavendish para la de terminación del valor de “g”. Explique el fenómeno de las mareas en términos de la ley de gra vitación universal.

El experimento de Cavendish o de la balanza de torsión constituyó la primera medida de la constante de gravitación universal y, por ende, a partir de la Ley de gravitación universal de Newton y las características orbitales de los cuerpos del Sistema Solar, la primera determinación de la masa de los planetas y del Sol.

Una versión inicial del experimento fue propuesta por John Michell, quien llegó a construir una balanza de torsión para estimar el valor de la constante de gravedad. Sin embargo, murió en 1783 sin poder completar su experimento y el instrumento que había construido fue heredado por Francis John Hyde Wollaston, quien se lo entregó a Henry Cavendish.

Cavendish se interesó por la idea de Michell y reconstruyó el aparato, realizando varios experimentos muy cuidadosos con el fin de determinar G. Sus informes aparecieron publicados en 1798 en la Philosophical Transactions de la Royal Society. El valor que obtuvo para la constante de gravitación difería del actual en menos de un 1%.

Descripción general

El instrumento construido por Cavendish consistía en una balanza de torsión con una vara horizontal de seis pies de longitud en cuyos extremos se encontraban dos esferas metálicas. Esta vara colgaba suspendida de un largo hilo. Cerca de las esferas Cavendish dispuso dos esferas de plomo de unos 175 kg cuya acción gravitatoria debía atraer las masas de la balanza produciendo un pequeño giro sobre esta. Para impedir perturbaciones causadas por corrientes de aire, Cavendish emplazó su balanza en una habitación a prueba de viento y midió la pequeña torsión de la balanza utilizando un telescopio.

A partir de las fuerzas de torsión en el hilo y las masas de las esferas Cavendish fue capaz de calcular el valor de la constante de gravitación universal. Dado que la fuerza de la gravedad de la Tierra sobre cualquier objeto en su superficie puede ser medida directamente, la medida de la constante de gravitación permitió determinar la masa de la Tierra por primera vez. Igualmente fue posible determinar las masas del Sol, la Luna y los diferentes cuerpos del Sistema Solar.

Cavendish realizando experimentos en su laboratorio

Ver video de Experimento de Cavendish : http://mx.youtube.com/watch?v=vWlCm0X0QC0

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Formulación matemática

El objetivo del experimento es medir el giro en la balanza de torsión producido por la fuerza de gravedad ejercida entre las esferas externas y las masas dispuestas en los extremos. La fuerza de recuperación en la balanza puede escribirse en función del ángulo girado sobre la posición de equilibrio, θ

.

El ángulo θ puede ser medido mediante un espejo situado en la fibra de torsión. Si M representa la masa de las esferas exteriores y m la masa de las esferas en la balanza de torsión, se puede igualar la fuerza de torsión con la fuerza de la gravedad ejercida por las esferas mediante la fórmula:

,

donde G es la constante de gravitación universal, L la distancia entre el hilo de torsión y las esferas m y r la distancia entre los centros de las esferas M y m. Por lo tanto,

.

Dado que k puede medirse a partir del periodo de oscilación de la balanza de torsión, T, G puede escribirse de la siguiente manera:

. Ir a: La experiencia de Cavendish http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/constante /constante.htm Ir a: El fenómeno de las mareas http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/mareas/ma reas.htm Ver video de: Mareas bajas y altas http://mx.youtube.com/watch?v=IcIg6YLcLS8&feature=r elated 5.3 Describa la utilidad de la aplicación de la ley de gravitación universal.

La Ley de Gravitación Universal tiene diversas aplicaciones en la tecnología e investigación espacial, así tenemos la puesta en órbita de satélites artificiales alrededor no sólo de nuestro planeta sino también alrededor de otros planetas, los lanzamientos de naves espaciales fuera del campo gravitatorio de la Tierra, etc.

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Podemos utilizar la Ley de Gravitación Universal para hallar el valor de la aceleración de la gravedad a diversas alturas.

5.4 Explique el concepto de campo gravitacional. El campo gravitacional y el peso La atracción que cualquier masa esférica grande (como la Tierra) ejerce sobre otra masa localizada por fuera de la esfera puede calcularse suponiendo que la masa total de la esfera grande se concentra en su centro. Suponga que una masa m está ubicada en la superficie de la Tierra, cuya

masa es me. Al establecer que el peso mg es igual a la fuerza gravitacional, se obtiene:

mg = Gmm e / Re2

El radio de la Tierra se representa con el símbolo Re. Ahora, si simplificamos respecto a la masa m, tenemos el siguiente valor para la aceleración debida a la gravedad.

g = Gme / Re2

La gravedad y, por tanto, el peso de un objeto dependen de su ubicación sobre la superficie de la Tierra.

Ejemplo : ¿A qué distancia por arriba de la superficie de la Tierra se reducirá el peso de una persona hasta la mitad del valor que tiene estando en la superficie?

Puesto que el peso mg es proporcional a la masa, el peso se reducirá a la mitad cuando g = ½ (9.8 m/s2) o 4.90 m/s2. Representando con r la distancia por encima de la superficie terrestre. Entonces:

g = Gme / (Re + r)2 = 4.90 m/s2

Re + r = 9.02 x 106 m

r = 2.64 x 106 m

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Si conocemos la aceleración de la gravedad en cualquier sitio de la superficie terrestre, podemos determinar la fuerza gravitacional (peso) que actúa sobre el objeto. La dirección de esta fuerza hacia el centro de la Tierra. Observe la siguiente figura, resulta conveniente definir el campo gravitacional como la fuerza por unidad de masa en un lugar determinado.

La magnitud de este campo es simplemente la aceleración debida a la gravedad:

g = Fg/m = G m e / R

Donde R es la distancia del centro de la Tierra al punto donde se va a determinar la gravedad. Debe observarse que el campo gravitacional es una propiedad del espacio y existe hasta cierto punto por arriba de la Tierra, exista o no masas situada en ese punto. Conociendo el campo gravitacional o la aceleración de la gravedad en un punto, inmediatamente podemos determinar el peso de una masa dada colocada en ese punto. 5.5 Aplique el concepto de gravitación a la resoluc ión de problemas. 5.5.1 En la superficie de la Tierra, la aceleración de la gravedad es de 9.8 m/s2. Si el radio de la Tierra es de 6.38 x 106 m, calcule la masa de la Tierra. 5.98 x 1024 kg 5.5.2 Una masa de 4 kg está separada de otra 2 kg por una distancia de 8 cm. Calcule la fuerza gravitacional de atracción entre las dos masas. 8.34 x 10-4 N 5.5.3 ¿A qué distancia deben estar dos cuerpos de 2 ton de peso y de 3 ton de peso si su fuerza de atracción mutua es de 4 x 10-4 lb? 5.5.4 En un planeta distante, la aceleración de la gravedad es igual a 5.0 m/s2 y el radio del planeta es de 4560 km. Utilice la ley de la gravitación para calcular la masa de este planeta. 1.56 x 1024 kg 5.5.5 Una masa de 3 kg se localiza a 10 cm de una masa de 6 kg, ¿Cuál es la fuerza gravitacional resultante sobre una masa de 2 kg situada a la mitad de distancia entre las dos masas? 5.5.6 La masa de la Tierra es aproximadamente 81 veces mayor que la masa de la Luna. Si el radio de la Tierra es 4 veces mayor que el de la Luna. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna?

g = Fg /m

m

me

R g = Gme /R

2

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6. TRABAJO, ENERGIA Y POTENCIA Después de de completar esta unidad, el alumno podrá:

i. Definir y escribir las fórmulas matemáticas para trabajo, energía potencial, energía cinética y potencia.

ii. Aplicar los conceptos de trabajo, energía y potencia para resolver problemas. iii. Definir y demostrar por medio de ejemplos su conocimiento de las siguientes unidades:

joule, libra pie, caballo de fuerza y libra pie por segundo. iv. Analizar y aplicar sus conocimientos sobre la relación entre la realización de un trabajo y el

cambio correspondiente en la energía cinética. v. Analizar y aplicar su conocimiento del principio de la conservación de la energía mecánica. vi. Determinar la potencia de un sistema y comprender su relación con el tiempo, la fuerza, la

distancia y la velocidad.

6.1 Defina el concepto de trabajo mecánico. Siempre que una fuerza actúa a distancia se realiza un trabajo. La capacidad de realizar trabajo se define como energía y el ritmo al cual se lleva a cabo es definido como potencia. En la actualidad, el uso y el control de la energía es el principal interés de la industria, por lo que es esencial comprender a fondo los conceptos de trabajo, energía y potencia. Trabajo Cuando tratamos de arrastrar un bloque con una cuerda, como se ve en la siguiente figura (a), no pasa nada.

Estamos estableciendo una fuerza y sin embargo el bloque no se ha movido. Por otra parte si incrementamos en forma continua esta fuerza, llegará un momento en que el bloque se desplazará. Este logro se define en física como trabajo. El término trabajo tiene una definición operacional explícita, cuantitativa. Para que se realice trabajo se deben cumplir tres requisitos:

1. Debe haber una fuerza aplicada. 2. La fuerza debe actuar a través de cierta distancia, llamada desplazamiento. 3. La fuerza debe tener una componente a lo largo del desplazamiento.

θ θ

F F F

S = 0 FX

θ

FX

s

FX FY

(a) Trabajo = 0 (b) Trabajo = F cos θ * s

El trabajo realizado por una fuerza F provoca un desplazamiento “s”

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Suponiendo que se cumplen estas condiciones, se puede dar una definición de trabajo: Trabajo es una cantidad escalar igual al producto de las magnitudes del desplazamiento y de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento”

Trabajo = Componente de la fuerza x desplazamiento Trabajo = F X s

Ver video Trabajo y energía : http://mx.youtube.com/watch?v=P8JnJGQdT7w 6.2 Identifique la ecuación que representa el traba jo mecánico y sus unidades en los diferentes sistemas de medición. En la ecuación anterior, FX es la componente de F a lo largo del desplazamiento s. En la figura anterior, FX contribuye al trabajo. Su magnitud puede determinarse por trigonometría, y el trabajo pude expresarse en términos del ángulo θ formado entre F y s:

Trabajo = (F cos θ) s

Con mucha frecuencia, la fuerza que realiza el trabajo está dirigida íntegramente a lo largo del desplazamiento. Esto sucede cuando un peso es elevado en forma vertical, o cuando una fuerza horizontal arrastra un objeto por el piso. En estos casos FX = F y el trabajo es simplemente el producto de la fuerza por el desplazamiento:

Trabajo = F s Otro caso especial se presenta cuando la fuerza aplicada es perpendicular al desplazamiento. En esta situación, el trabajo será cero, puesto que FX = 0. Un ejemplo es el movimiento paralelo a la superficie terrestre, en el cual la gravedad actúa verticalmente hacia abajo y es perpendicular a todos los desplazamientos horizontales. En estos casos la fuerza de gravedad no influye. Unidades Si el trabajo se mide en el sistema SI, sus unidades serán newtons metro (N * m). Por convención esta unidad combinada se llama joule y se representa con el símbolo J.

Un Joule (1 J) es igual al trabajo realizado por una fuerza de un newton al mover un objeto a través de una distancia paralela de un metro.

En los Estados Unidos, la unidad de trabajo correspondiente se llama libra pie (ft lb).

Una libra pie (1 lb ft) es igual al trabajo realizado por una fuerza de una libra al mover un objeto a través de una distancia paralela de un pie.

No hay un nombre especial para esta unidad. Factores de conversión: 1 J = 0.7376 lb ft 1 lb ft = 1.356 J

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6.3 Interprete el efecto de las fuerzas de fricción en la realización de un trabajo mecánico. Ver video Fricción, ventajas y desventajas: http://mx.youtube.com/watch?v=emHAZF19m2c

Se define como fuerza de rozamiento o fuerza de fricción entre dos superficies en contacto, a la fuerza que se opone al movimiento de una superficie sobre la otra (fuerza de fricción dinámica) o a la fuerza que se opone al inicio del movimiento (fuerza de fricción estática). Se genera debido a las imperfecciones, especialmente microscópicas, entre las superficies en contacto. Estas imperfecciones hacen que la fuerza entre ambas superficies no sea perfectamente perpendicular a éstas, sino que forma un ángulo φ con la normal (el ángulo de rozamiento). Por tanto, esta fuerza resultante se compone de la fuerza normal (perpendicular a las superficies en contacto) y de la fuerza de rozamiento, paralela a las superficies en contacto.

Suponga que se ejerce una fuerza sobre un bloque que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal, como se muestra en la siguiente figura:

Al principio el bloque no se mueve, debido a la acción de una fuerza llamada fuerza de fricción estática Fs. Pero a medida que aumenta la fuerza aplicada llega un momento en que el bloque se pone en movimiento; a esta fuerza de fricción ejercida por la superficie horizontal mientras se mueve el bloque se le llama fuerza de fricción cinética Fk. Para determinar las expresiones matemáticas en las que interviene el fenómeno de fricción, se deben considerar todas las fuerzas involucradas, de tal manera, que se tienen las siguientes expresiones:

FS = µs N y Fk = µk N

En donde:

µs es una constant de proporcionalidad llamada coeficiente de fricción estática µK es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de fricción cinética N es una fuerza normal perpendicular al cuerpo Trabajo resultante Cuando consideramos el trabajo de varias fuerzas que actúan sobre el mismo objeto, con frecuencia es útil distinguir entre el trabajo positivo y el negativo. Consideremos que el trabajo de una fuerza particular es positivo, si la componente de la fuerza se encuentra en la misma dirección que el desplazamiento. El trabajo negativo lo realiza una componente de fuerza que se opone al desplazamiento real. Un ejemplo importante de trabajo negativo es el que se realiza mediante una fuerza de fricción que se opone a la dirección del desplazamiento.

FS

F1 F2

FK

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Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo en movimiento, el trabajo resultante (trabajo total) es la suma algebraica de los trabajos de las fuerzas individuales. Esto también será igual al trabajo de la fuerza resultante. La realización de un trabajo neto requiere la existencia de una fuerza resultante. Ejemplo: Una fuerza de impulsión de 80 N mueve un bloque de 5 kg hacia arriba por un plano inclinado a 30°, como muestra la siguiente figura. El coeficien te de fricción cinética es de 0.25 y la longitud del plano es de 20m. a) Calcule el trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan sobre el bloque. b) Demuestre que el trabajo neto realizado por estas fuerzas tiene el mismo valor que el trabajo de la fuerza resultante.

Solución Son 4 fuerzas las que actúan sobre el bloque: N, P, FK y W, la fuerza normal N no realiza trabajo alguno porque no tiene una componente a lo largo del desplazamiento

(Trabajo)N = 0

La fuerza de impulsión P se ejerce por completo a lo largo del desplazamiento y en la dirección de dicho desplazamiento, o sea,

(Trabajo)P = PS = (80 N) (20 m)

Para calcular el trabajo de la fuerza de fricción FK y el trabajo del peso W, primero se debe determinar las componentes del peso tanto a lo largo del plano como perpendicularmente e él.

W = mg (5 kg) (9.8 m/s2) = 49 N WX = (49 N) sen 30° = 24.5 N WY = (49 N) cos 30° = 42.4 N

Pero la fuerza de fricción FK = µk N y N= µk WY, así que:

FK = µk N = µk Wy = - (0.25) (42.4 N) = -10.6 N

30° W

P

FK

N

FK

P N x

WX

WY

W

30°

y

Trabajo que se requiere para empujar un bloque hacia arriba por un plano inclinado a 30°

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El signo menos indica que la fuerza de fricción se dirige hacia abajo del plano. Por lo tanto, el trabajo será negativo, puesto que el desplazamiento se dirige hacia arriba del plano.

(Trabajo)F = FK s = (-10.6 N) (20 m) = -212 J

El peso W del bloque también realiza un trabajo negativo, ya que su componente WX tiene dirección opuesta al desplazamiento.

(Trabajo)W = - (24.5 N) (20 m) = - 490 J

Problemas 6.3.1 Se aplica una fuerza horizontal de 40 N para empezar a mover un trineo de 600 N a través de nieve compacta. Después de que empieza a moverse, tan sólo se necesitan 10 N para conservar su movimiento a velocidad constante, a) ¿Cuáles son los coeficientes de fricción estática y cinética? 0.0667, 0.0167 b) Si se le añaden al trineo 200 N de provisiones, ¿qué nueva fuerza se requiere para arrastrar el trineo a velocidad constante? 13.3 N 6.3.2 El coeficiente de fricción estática entre madera y madera es 0.7 y el coeficiente de fricción cinética es 0.4. ¿Qué fuerza horizontal se requiere para empezar a mover un bloque de madera de 50 N a lo largo de un piso de madera? ¿Qué fuerza lo mantendrá e movimiento después de que la fricción estática ha sido contrarrestada? 25 N, 20 N 6.3.3 Un bloque de 60 N es arrastrado a lo largo del piso horizontal a velocidad constante. Una cuerda atada a él forma un ángulo de 35° con el piso y tiene una tensión de 40 N. Trace un diagrama de cuerpo libre de todas las fuerzas que actúan sobre el bloque. Suponiendo que alcanza el equilibrio (velocidad constante), determine la fuerza de fricción y la fuerza normal. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética? 32.8 N, 37.1 N, 0.885 6.3.4 Suponga que W = 60 N, θ = 43° y µk = 0.3 en la figura:

¿Cuál es la fuerza normal sobre el bloque?, 43.9 N ¿Cuál es la componente del peso con dirección hacia abajo del plano?, 40.9 N ¿Qué fuerza de empuje P dirigida hacia arriba del plano hará que el bloque suba por el plano con velocidad constante? 54.1 N

θ W

P

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6.3.5 El coeficiente de fricción estática para madera sobre madera es 0.7 ¿Cuál es el ángulo máximo para un plano inclinado de madera si un bloque de madera permanece en reposo sobre él? 35° 6.3.6 Se instala un techo de madera con una pendiente de 40°, ¿cuál es el máximo coeficiente de fricción estática entre la suela del zapato del instalador del techo y el techo, para evitar un resbalón? 6.3.7 Un bloque de 70 N descansa sobre un plano inclinado a 40°, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción estática dirigida hacia arriba del plano? ¿Es ésta necesariamente la fuerza máxima de fricción estática? ¿Cuál es la fuerza normal a este ángulo? 45.9 N, No, 52.8 N 6.3.8 Un bloque de hielo se desliza a velocidad constante sobre un piso de madera (µk = 0.1) en el momento en que se le aplica una fuerza horizontal de 8 lb, ¿Cuál es el peso del trozo de hielo? 6.3.9 Se ha determinado experimentalmente que una fuerza horizontal de 20 lb mueve una podadora de césped de 60 lb a velocidad constante. El mango de la podadora forma un ángulo de 40° con el piso. a) ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética? 0.333 b) ¿Qué fuerza a lo largo del mango moverá la podadora hacia adelante a velocidad constante? 36.2 lb c) ¿Cuál es la fuerza normal durante el movimiento hacia adelante? 83.3 lb 6.4 Resuelva problemas relacionados con el concepto de trabajo mecánico, utilizando análisis dimensional. 6.4.1 Un baúl, que tiene una masa de 100 Kg es arrastrado 20 m por encima del piso con una cuerda que forma un ángulo de 35° con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento por deslizamiento es 0.25, encontrar el trabajo realizado. 4177 J 6.4.2 Un contenedor con una masa de 4500 kg es levantado con una grúa verticalmente a una altura de 60 m. ¿Cuánto trabajo se ha efectuado? 6.4.3 Un automóvil es cargado sobre la cubierta de un barco de transporte. Si la masa del automóvil es de 2200 kg y es levantado a una distancia de 15 m, determine el trabajo efectuado. 6.4.4 Un remolcador ejerce una fuerza constante de 4000N sobre un barco y lo mueve una distancia de 15 m a través del puerto. ¿Qué trabajo realizó el remolcador? 60 000 J 6.4.5 Se aplica un trabajo externo de 400 ft lb al levantar un motor de 30 lb a velocidad constante. Si todo este trabajo se aprovecha para ese desplazamiento, ¿a qué altura se podrá levantar el motor? 6.4.6 Un martillo de 12 lb tiene una masa de 5.44 kg. Si el martillo se eleva hasta una altura de 3 m, ¿cuál es el trabajo mínimo que se requiere para hacerlo, en joule y en libras pie? 160 J, 118 lb ft 6.4.7 Un baúl es arrastrado 24 m por el suelo, usando una cuerda que forma un ángulo θ con la horizontal como se muestra en la siguiente figura. La tensión en la cuerda es de 8 N. Compare el trabajo realizado para ángulos de 0, 30 y 60 °.

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6.4.8 Se aplica una fuerza de 30 lb sobre el mango de una segadora de césped, haciendo que ésta recorra una distancia de 40 ft a lo largo del prado. Si el mango forma un ángulo de 30° con el suelo, ¿qué trabajo se realizó en virtud de la fuerza de 30° así aplicada? 1040 lb ft Trabajo resultante 6.4.9 Una fuerza horizontal de 20 N arrastra un pequeño trineo a través del terreno, con velocidad constante. La velocidad es constante debido a que la fuerza de fricción permite equilibrar exactamente la tracción de 20 N. Si se recorre una distancia de 42 m, ¿cuál es el trabajo desarrollado por la fuerza de tracción? ¿Cuál es el trabajo de la fuerza de fricción? ¿Cuál es el trabajo neto o total que se ha realizado? 6.4.10 Una fuerza media de 40N hace que un resorte se comprima 6 cm. a) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza de 40 lb? 2.4 J b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza de reacción del resorte? -2.4 J 6.4.11 Un bloque de 10 kg es empujado una distancia de 8 m, a lo largo de una superficie horizontal, por una fuerza constante de 30 N. Si µk =0.2 ¿Cuál es el trabajo resultante? ¿Qué aceleración recibirá el bloque? 6.3.11 Una cuerda arrastra un bloque de 10 kg una distancia de 20 m por el piso contra una fricción constante de 30 N. La cuerda forma un ángulo de 35° con el piso y tiene una tensión de 60 N. a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza de 60 N? 983 J b) ¿Cuál es el trabajo desarrollado por la fuerza de fricción? -600 J c) ¿Qué trabajo resultante se ha desarrollado? 383 J d) ¿Cuál es el coeficiente de fricción? 0.472 6.3.12 Un trineo de 40 kg es arrastrado horizontalmente una distancia de 500 m sobre la nieve (µk = 0.2). a) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza de arrastre si la velocidad es constante? b) ¿Qué trabajo fue realizado por la fuerza de fricción? 6.3.13 Una caja de 12 kg se empuja por un plano inclinado a un ángulo de 32° hasta que llega a la parte más alta, recorriendo una distancia de 16 m a partir de su punto más bajo. Al mismo tiempo por una caja idéntica de 12 kg es elevada verticalmente hasta la misma altura. Si no hay fricción, demuestre que el trabajo de la fuerza externa ha sido el mismo en cada caso. ¿Se seguiría requiriendo el mismo trabajo si se tomaran en cuenta las fuerzas de fricción? 1880 J, No

θ

8 N

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6.5 Defina el concepto de energía mecánica y su div isión en energía cinética y potencial. Puede pensarse en la energía como en algo que se puede convertir en trabajo o la capacidad que poseen los cuerpos con masa de efectuar un trabajo. En mecánica, se denomina energía mecánica a la suma de las energías cinética y potencial. Para lo cual se tiene:

EMECANICA = EC + Ep = K

Energía cinética E C.- Energía que tiene un cuerpo en virtud de su movimiento. Energía potencial E p.- Energía que tiene un sistema en virtud de su posición o condición.

La energía cinética de un cuerpo es una energía que surge en el fenómeno del movimiento. Está definida como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa dada desde su posición de equilibrio hasta una velocidad dada. Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética sin importar el cambio de la rapidez. Un trabajo negativo de la misma magnitud podría requerirse para que el cuerpo regrese a su estado de equilibrio.

Energía cinética de una partícula

En mecánica clásica, la energía cinética de un objeto puntual (un cuerpo tan pequeño que su dimensión puede ser ignorada), o en un sólido rígido que no rote, está dada la ecuación

donde m es la masa y v es la rapidez (o velocidad) del cuerpo.

En mecánica clásica la energía cinética se puede calcular a partir de la ecuación del trabajo y la expresión de una fuerza F dada por la segunda ley de Newton:

Ejemplos:

Calcule la energía cinética de un mazo de 4 kg en el instante en que su velocidad es de 24 m/s.

Aplicando la ecuación: = ½ (4 kg) (24 m/s)2 = 1152 J

Calcule la energía cinética de un automóvil de 3200 lb que viaja a 60 mi/h (88 ft/s).

= ½ (W/g) v2 = ½ (3200 lb / 32 ft/s2) = 3.87 x 105 ft lb

¿Qué fuerza media F es necesaria para detener una bala de 16 g que viaja a 260 m/s y que penetra una distancia de 12 cm en Madera? F = -4510 N

Energía potencial

La energía potencial es la capacidad que tienen los cuerpos para realizar un trabajo ( ), dependiendo de la configuración que tengan en un sistema de cuerpos que ejercen fuerzas entre sí. Puede pensarse como la energía almacenada en un sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar.

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Hay varios tipos de energía potencial: gravitacional, elástica, eléctrica, etc. De manera general podemos decir que la energía potencial EP es la energía que tiene un sistema en virtud de su posición o condición. Considerando en la siguiente figura a una grúa enterrando un pilote:

La fuerza F necesaria para elevar el cuerpo debe ser por lo menos igual al peso W. Entonces, el trabajo realizado por el sistema está dado por:

Trabajo = W h = m g h

Esta cantidad de trabajo también puede ser realizado por el cuerpo después que ha caído una distancia h. Por lo tanto, el cuerpo tiene una energía potencial igual en magnitud al trabajo externo necesario para elevarlo. Esta energía no proviene del sistema Tierra – cuerpo, sino que resulta del trabajo realizado sobre el sistema por un agente externo. Solamente una fuerza externa como F en la figura anterior o la fricción, puede añadir o extraer energía del sistema formado por el cuerpo y la Tierra. A partir de este análisis, la energía potencial EP puede calcularse tomando como base:

EP = W h = m g h

La energía potencial depende de la elección de un nivel de referencia en particular. La energía potencial gravitacional en el caso de un avión en muy diferente cuando se mide respecto a la cima de una montaña, un rascacielos o el nivel del mar. La capacidad de realizar trabajo es mucho mayor si el avión cae al nivel del mar. La energía potencial tiene un significado físico cuando se establece un nivel de referencia.

6.6 Identifique las ecuaciones que representan la e nergía cinética y potencial, así como sus unidades en los diferentes sistemas de medición. Energía cinética: EC = ½ m v 2

Energía potencial: EP = W h = m g h

Las unidades de las energías cinética y potencial, son en el sistema internacional el Joule y en el inglés la lb ft.

Ejemplos Un carburador de 250 g se mantiene a 200 mm sobre un banco de trabajo que esta a 1 m del suelo. Calcule la energía potencial respecto a:

m mg

F

h

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a) la parte superior del banco b) el piso Solución a) EP = m g h = (0.25 kg) (9.8 m/s2) (0.2 m) = 0.49 J b) EP = m g h = (0.25 kg) (9.8 m/s2) 81.2 m) = 2.94 J Una unidad comercial de aire acondicionado de 800 lb es elevada por medio de un montacargas a 22 ft sobre el piso. ¿Cuál es la energía potencial respecto al piso? Solución EP = W h = (800 lb) (22 ft) = 17 600 lb ft 6.7 Resuelva problemas relacionados con el principi o de conservación de la energía mecánica utilizando análisis dimensional. Conservación de la energía mecánica: En ausencia de resistencia del aire o de otras fuerzas, la suma de las energías potenciales y cinéticas es una constante, siempre que no se añada ninguna otra energía al sistema.

Energía total = E P + EC = constante

(EP + EC) INI = (EP + EC) FIN

m g h O + ½ m v O2 = m g h F + ½ m v F

2

Cuando se plantea el caso de un objeto que cae a partir del reposo desde una posición inicial hO, la energía total inicial es igual a m g h O (vO = o) y la energía total final es ½ m vF

2 (h = 0).

m g h O = ½ m v F2

A partir de la expresión anterior, podemos determinar la velocidad final a partir de las consideraciones generales sobre la energía de un cuerpo que cae desde el reposo sin que le afecte la fricción:

VF = (2 g hO)1/2

Una gran ventaja de este método es que la velocidad final se determina a partir de los estados de energía inicial y final. La trayectoria real no tiene importancia cuando no hay fricción. Por ejemplo, se obtiene la misma velocidad final si el objeto sigue una trayectoria curva partiendo de la misma altura inicial hO.

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Problemas: 6.7.1 En la figura siguiente, una pesa de 64 lb se levanta hasta una altura de 10 ft y luego se deja caer libremente. ¿Cuál es la suma de las energías potencial y cinética en el punto más alto? Cuando la pesa se encuentra a 3 ft sobre el suelo, ¿Cuál será su energía cinética? ¿Cuál será su velocidad en el punto más bajo de su trayectoria? 6.7.2 ¿Qué velocidad inicial debe impartirse a una masa de 5 kg para que se eleve a una altura de 10 m? ¿Cuál es la energía total en cualquier punto durante su movimiento? 14 m/s, 490 J 6.7.3 Un péndulo simple de 1 m de longitud tiene un peso o grave de 8 kg. a) ¿Cuánto trabajo se requiere para mover el péndulo de su posición vertical a una posición horizontal? b) ¿Cuál es la energía total cuando el grave regresa a su punto más bajo? c) ¿Cuál es la velocidad del peso en el punto más bajo de su trayectoria? 6.7.4 Un trineo de 100 lb se desliza partiendo del reposo en la cima de una colina a 80 ft de altura y con una inclinación de 37°. Si no hubiera fricción, ¿cuál sería la velocidad del trineo al llegar hasta abajo? 6.7.5 l bloque de la siguiente figura tiene una masa de 8 kg y una velocidad de 7 m/s en el punto A. ¿Cuál será su velocidad cuando llegue al punto B? ¿Cuál será su velocidad en el punto C? Desprecie las fuerzas de fricción. 21 m/s, 16.9 m/s

6.7.6 Una joven que pesa 80 lb se sienta en un columpio cuyo peso es despreciable. Si su velocidad inicial en el columpio es de 20 ft/s, ¿a qué altura se elevará? 6.8 Defina el concepto de potencia, constante, así como sus unidades.

Potencia es la rapidez con la que se realiza un trabajo.

P = trabajo / tiempo La unidad del SI para la potencia es el joule por segundo, y se denomina watt (W)

1 W = 1 J / s

20 m 8 m

7 m/s

B

C

A

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En el sistema inglés se utiliza la libra-pie por segundo (lb.ft / s), esta unidad de potencia no recibe ningún nombre en particular. El watt y la libra.pie / s son unidades demasiado pequeñas para la mayoría de los propósitos industriales. Por lo tanto, se usan el kilowatt (kW) y el caballo de fuerza (hp), que se definen como:

1 Kw = 1000 W 1 hp = 550 ft.lb / s

1 hp = 746 W = 0.746 Kw 1 kW = 1.34 hp

Puesto que el trabajo se realiza con frecuencia de manera continua, es útil disponer de una expresión para la potencia que incluya velocidad. Así tenemos:

P = trabajo / t = F s / t , de donde

P = F (s/t) = F v

Donde v es la velocidad del cuerpo sobre la que se aplica la fuerza paralela F. 6.9 Resuelva problemas que involucren energía cinét ica y potencial, utilizando análisis dimensional. 6.9.1 Diga cuál es la energía cinética de: a) una bala de 5 g que se mueve a una velocidad de 200 m/s b) un proyectil de 64 lb cuando su velocidad es de 40 ft/s, c) un martillo de 6 kg que se mueve a 4 m/s 6.9.2 ¿Cuál es el cambio de energía cinética cuando un automóvil de 2400 lb aumenta su velocidad de 30 mi/h a 60 mi/h? ¿Qué trabajo resultante se requiere? Con fines comparativos, ¿cuál es el trabajo equivalente en joules? 218000 ft lb, 218 000 ft lb, 295 000 J 6.9.3 La cabeza de un martillo de 0.6 kg se mueve a una velocidad de 30 m/s en el momento en que golpea la cabeza de un cincel. ¿Cuál es la energía cinética de la cabeza del martillo justamente antes de golpear el cincel? ¿Qué trabajo realizó la cabeza del martillo sobre el cincel? 6.9.4 ¿Qué fuerza media se requiere para que un objeto de 2 kg aumente su velocidad de 5 m/s a 12 m/s en una distancia de 8 m? Verifique su respuesta calculando primero la aceleración y aplicando luego la segunda ley de Newton. 14.9 N 6.9.5 Un martillo de 12 lb se mueve a 80 ft/s al golpear un clavo. Si el clavo penetra en la pared una distancia de ¼ in, ¿cuál fue la fuerza media de frenado? 6.9.6 Un automóvil de 1500 kg recorre una carretera a una velocidad de 60 km/h. ¿Qué trabajo deben realizar los frenos para que el auto se detenga? Si µk =0.7. ¿Cuál es la distancia de frenado? 208,000 J, 20.2 m 6.9.7 Un libro de 2 kg reposa sobre una mesa a 80 cm del piso. Encuentre la energía potencial del libro en relación

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a) con el piso b) con el asiento de una silla c) con el techo, que está a 3 m del piso. 6.9.8 Una caja fuerte de 96 lb se empuja hacia arriba de un plano inclinado a 30° por una distancia paralela de 12 ft. ¿Cuál es el aumento de la energía potencial? ¿Sería igual ese cambio de energía potencial si una fuerza de fricción de 10 lb actuara durante toda la distancia? 576 ft lb, sí 6.9.9 En un momento dado, una granada de mortero tiene una velocidad de 60 m/s. Si su energía potencial es la mitad de su energía cinética en ese instante, ¿cuál es su altura durante toda la distancia? 6.9.10 Un trineo de 20 kg se empuja por una pendiente a 34° hasta llegar a una altura vertical de fricción constante de 50 N, ¿cuál es el incremento de la energía potencial’ ¿qué trabajo externo se requirió? 27 400 J, 40 000 J 6.10 Defina el principio de la conservación de la e nergía. “La energía total de un sistema es siempre constante, aún cuando se transforme la energía de una forma a otra dentro del sistema” En el mundo real no es posible dejar de considerar las fuerzas externas. Por lo tanto, un enunciado más general del principio de conservación de la energía toma en cuenta las pérdidas debidas a la fricción:

(EP + EC) INI = (EP + EC) FIN = ι pérdidas de energía ι

Los signos de valor absoluto asociados al término pérdidas de energía son un recordatorio de que no nos interesa el signo del trabajo realizado contra las fuerzas de fricción. Simplemente se lleva un recuento de la disponibilidad de toda la energía inicial. Si representamos el trabajo de una fuerza de fricción con el producto FK s, podemos escribir:

m g h O + ½ m v O2 = m g h F + ½ m v F

2 + ι FK s ι

Por su puesto, si un objeto parte del reposo desde una altura hO sobre su posición final, esta ecuación se simplifica y queda:

m g h O = ½ m v F2 + ι FK s ι

Ver videos: La conservación de la energía (1/3): http://mx.youtube.com/watch?v=xVxidC0-0fw La conservación de la energía (2/3): http://mx.youtube.com/watch?v=5wTu3bMEV_g&feature=related La conservación de la energía (3/3): http://mx.youtube.com/watch?v=iR2r-EIEtFk&feature=related Problemas propuestos: 6.10.1 Un bloque de 500 g se suelta desde el punto más alto de una pendiente de 30° y se deja que se deslice 160 cm hacia abajo hasta llegar al punto más bajo. Durante todo el recorrido actúa una fuerza de fricción constante de 0.9 N.

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a) ¿Cuál era la energía total en el punto más alto? 3.92 J b) ¿Cuánto trabajo se realizó en contra de la fricción? 1.44 J c) ¿Cuál será la velocidad final del bloque? 3.15 m/s 6.10.1 ¿Qué velocidad inicial hay que impartirle al bloque de 500 g del problema anterior para que llegue al punto más alto de la misma pendiente y allí se detenga? 6.10.2 Una carreta de 64 lb empieza a subir por una pendiente de 37° con una velocidad de 60 ft/s. Después de recorrer una distancia de 70 ft se detiene; ¿cuánta energía se perdió a causa de las fuerzas de fricción? 904 lb ft 6.10.3 Una pelota de 0.4 kg se deja caer y recorre una distancia vertical de 40 m. Si rebota hasta una altura de 16 m, ¿cuánta energía perdió al chocar contra el piso? 6.10.4 Un trineo de 200 lb empieza a bajar por una pendiente de 34° con una velocidad inicial de 10 ft/s. El coeficiente de fricción cinética es de 0.2 ¿Qué distancia recorrerá el trineo cuesta abajo hasta que su velocidad sea de 30 ft/s? 31.8 m 6.11 Exprese la ecuación de la conservación de la e nergía mecánica de un sistema y sus unidades en los diferentes sistemas de medición.

Energía total = E P + EC = constante

1 J = 0.7376 lb ft 1 lb ft = 1.356 J

6.12 Exprese las ecuaciones que representan la pote ncia en función del trabajo y velocidad en los diferentes sistemas de unidades.

P = trabajo / t = F s / t , de donde

P = F (s/t) = F v

6.13 Resuelva problemas que involucren potencia uti lizando análisis dimensional. 6.13.1 Un transportador de banda eleva 500 ton de mineral por hora a una altura de 90 ft. ¿Cuántos caballos de fuerza se requieren en promedio para su operación? 6.13.2 Una masa de 40 kg es elevada una distancia de 20 m en 3 s. ¿Qué potencia promedio se empleó? 2.61 kW 6.13.3 Un ascensor de 300 kg se eleva con velocidad constante hasta una distancia vertical de 100 m en 2 min, ¿cuánta potencia útil desarrolló el ascensor? 6.13.4 ¿A qué velocidad constante podría levantar un ascensor de 40 hp una carga d 2 ton, si fuera posible utilizar toda la potencia desarrollada? 5.50 ft/s

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6.13.2 Un motor de 0.5 kW tiene una eficiencia d 90 por ciento y con él se acciona una polea de 8 cm de diámetro. Si el eje de ésta gira a 1800 revoluciones por minuto (rpm), ¿cuánta fuerza será capaz de transmitir cuando se desliza la polea? PROBLEMAS ADICIONALES 6.1 Una masa desconocida se ata al extremo de una cuerda de 4 m de longitud. Luego se toman la masa y la cuerda, se colocan en posición horizontal y se sueltan desde un estado de reposo. ¿Cuál será la velocidad de la masa cuando pase por el punto más bajo de su recorrido? 8.85 m/s 6.2 El martinete de una máquina para clavar pilotes pesa 800 lb y cae libremente una distancia de 16 ft antes de golpear contra el pilote. Cada impacto hace que el pilote se hunda 6 in más en el terreno. A partir de las consideraciones acerca de la energía, calcule cuál es la fuerza media que el martinete ejerce sobre el pilote. 26 400 lb 6.3 Una pelota de 2 kg está suspendida de una cuerda de 3 m atada a una alcayata en la pared. Cuando la pelota cuelga verticalmente hace contacto con la pared. La pelota se aparta hasta que la cuerda forma un ángulo de 70° con la pared, y luego se suelta. Si se pierden 10 J de energía en la colisión contra la pared, ¿Cuál es el ángulo máximo entre la cuerda y la pared después del primer rebote? 59.2° 6.4 Un martillo de 5 lb se mueve horizontalmente a 25 ft/s al golpear un clavo. Si el clave encuentra una fuerza de resistencia media de 1200 lb, calcule la profundidad a la cual podrá penetrar. 0.488 in 6.5 Una masa de 10 kg se eleva a una altura de 20 m. ¿cuáles son la energía potencial, la energía cinética y la energía total a esa altura? Después la masa se suelta y se deja caer libremente. ¿Cuáles serán la energía total, la energía potencial y la energía cinética cuando la masa se encuentre a 5 m de altura sobre el piso? ¿Cuál será la velocidad en ese punto? (Desprecie la resistencia del aire) 6.6 Una caja es elevada a una velocidad constante de 5 m/s por medio de un motor cuya potencia es de 40 kW. ¿Cuál es la masa de la caja?

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7. IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Al finalizar la unidad, el alumno podrá:

1. Definir y dar ejemplos de impulso y cantidad de movimiento como cantidades vectoriales. 2. Escribir y aplicar la relación entre el impulso y el cambio resultante en la cantidad de

movimiento. 3. Enunciar la ley de la conservación de la cantidad de movimiento y aplicarla a la solución de

problemas físicos. 4. Definir y calcular el coeficiente de restitución para dos superficies. 5. Distinguir la diferencia entre choque elástico e inelástico, por medio de ejemplos y

definiciones. 6. Predecir las velocidades de dos cuerpos que chocan, después del impacto, cuando se

conocen el coeficiente de restitución, las masas y las velocidades iníciales. 7.1 Explique el concepto de impulso La energía y el trabajo son cantidades escalares que no informan absolutamente nada respecto a la dirección. La ley de la conservación de la energía describe tan sólo la relación entre los estados iníciales y finales; no dice nada acerca de cómo están distribuidas las energía. Por ejemplo, cuando chocan dos objetos, podemos decir que la energía total antes de la colisión debe ser igual a la energía después de la misma, si no tomamos en cuenta la fricción y otras perdidas de calor. Sin embargo, necesitaremos un nuevo concepto si vamos a determinar cómo se reparte la energía total entre los objetos, o incluso sus direcciones relativas después del impacto. Los conceptos de impulso y cantidad de movimiento que se observarán, añaden una descripción vectorial al estudio de la energía y el movimiento. “El impulso F ∆t es una cantidad vectorial de igual magnitud que el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo en el que actúa. Su dirección es la misma que la de la fuerza.”

“Se puede decir que el impulso es el cambio de la cantidad de movimiento”

∆ t

F m vF

Cuando un palo de golf golpea la pelota, una fuerza F actúa durante un intervalo de tiempo

∆ t y provoca un cambio en la cantidad de movimiento de la pelota

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7.2 Identifique la ecuación que define al impulso, así como sus unidades en los diferentes sistemas de medición.

F ∆t = m v F – m vO

F ∆t = m (v F – vO)

La unidad del SI del impulso es el newton –segundo (N * s). La unidad de la cantidad de movimiento es el kilográmetro por segundo (kg * m/s). Es conveniente distinguir estas unidades, aun cuando en realidad son iguales:

N * s = (kg * m / s 2) * s = kg * m/s

Las unidades en el sistema inglés son la libra-segundo (lb s) y el slug ft/s 7.3 Resuelva problemas relacionados con impulso, ut ilizando análisis dimensional “Un mazo de 3 kg se mueve a una velocidad de 14 m/s en el momento de golpear un cincel de acero. Se detiene a los 0.02 s. Determine la fuerza media sobre el cincel”

Solución Puesto que vF = o, se obtiene a partir de F ∆t = m (v F – vO) la expresión F ∆t = m v O, si consideramos que el mazo se mueve hacia abajo, sustituimos vO = - 14 m/s, lo cual nos da:

F = m vO / ∆t = - (3 kg9 (-14 m/s) / 0.02 s = 2100 N

Esta fuerza, ejercida sobre el mazo, es igual en magnitud de pero opuesta en dirección a la fuerza ejercida sobre el cincel. La fuerza determinada en esta forma es una fuerza media en algunos instantes la fuerza puede ser mucho mayor que 2100 N. 7.4 Explique el concepto de cantidad de movimiento como el producto de la masa por la velocidad de un cuerpo. “La cantidad de movimiento p de una partícula es una cantidad vectorial de igual magnitud que el producto de su masa por la velocidad v”

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7.5 Identifique la ecuación que expresa la cantidad de movimiento de un cuerpo y sus unidades en los diferentes sistemas de medición.

p = m v

SI: kg m/s Sistema inglés: slug ft/s 7.6 Explique cómo el aplicar impulso a un cuerpo ge nera una variación en su cantidad de movimiento. El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento, por lo cual el impulso también puede calcularse como:

I = ∆p

Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento, independientemente de su masa.

F ∆t = ∆p Problemas que implican impulso y cantidad de movimi ento 7.6.1 Una llave inglesa de 0.5 kg se deja caer desde una altura de 10m. ¿Cuál es el valor de su cantidad de movimiento un instante antes de tocar el suelo? 7 kg m/s, abajo 7.6.2 Calcule la cantidad de movimiento y la energía cinética de un automóvil de 2400 lb que se desplaza al norte a 55 mi/h. 7.6.3 Un camión de 2500 kg que circula a 40 km/h choca contra un muro de ladrillos y se detiene en 0.2 s: a) ¿Cuál es el cambio de la cantidad de movimiento? -2.78 x 104 kg m/s b) ¿Cuál es el impulso? -2.78 x 104 N c) ¿Cuál es la fuerza media sobre el muro durante el impacto? 1.39 x 105 N 7.6.4 ¿Cuál es la cantidad de movimiento de una bala de 3 g que se mueve a 600 m/s en una dirección de 30° sobre la horizontal? ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de esa cantidad de movimiento? 7.6.5 Una pelota de beisbol que pesa 0.2 kg llega al bateador con una velocidad de 20 m/s. Después de que es golpeada, sale a 35 m/s en dirección opuesta. Si la pelota ejerce una fuerza media de 8400 N, ¿por cuánto tiempo estuvo en contacto con el bate? 1.31 ms 7.6.6 Un bate ejerce una fuerza media de 248 lb sobre una pelota de 0.6 lb durante 0.01 s. Si la pelota llega al bate con una velocidad de 44 ft/s, ¿cuál será su velocidad al separarse del bate? 7.6.7 Un tren que pesa 8 x 106 lb viaja a 60 mi/h y frena hasta detenerse en una distancia de 600 ft: a) ¿Cuál es el impulso de frenado? 2.20 x 107 lb s b) ¿Cuál es la fuerza de frenado que se requiere? 1.61 x 106 lb

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7.7 Movimiento de un sistema, tanto de masa constan te como de masa variable (cohetes). 7.8 Derive la expresión que representa la segunda l ey de Newton a partir de: impulso igual a la variación de la cantidad de movimiento. Ver video: UPC 2008- Física – Impulso y cantidad de movimiento http://mx.youtube.com/watch?v=l88jx2UDYzo 7.9 Defina el principio de conservación de la canti dad de movimiento. “La cantidad de movimiento lineal total de los cuerpos que chocan es igual antes y después del impacto” 7.10 Identifique la ecuación que representa el prin cipio de la conservación de la cantidad de movimiento de un sistema de masa constante y aplica rla a la resolución de problemas dados. Analizando las condiciones, antes, durante y después del impacto, entre dos cuerpos:

Podemos considera lo siguiente:

m1 u1 + m2 u2 = m1 v1 + m2 v2

= Problemas que implican conservación de la cantidad de movimiento 7.10.1 Un resorte está fuertemente comprimido ente un bloque de 6 kg y un bloque de 2kg, los cuales están unidos entre sí por un cordel. Los bloques se encuentran en reposo sobre una superficie sin fricción. Cuando el cordel se rompe, el bloque de 2 kg se separa a una velocidad de 9 m/s. ¿Cuál es la velocidad del bloque de 6 kg? 3m/s 7.10.2 Dos niños, que pesan respectivamente 80 y 50 lb están de pie, en reposo, sobre patines de ruedas. Si el niño más grande empuja al otro de modo que éste se aleje a una velocidad de 6 mi/h, ¿cuál será la velocidad del niño más grande? 7.10.3 Cuando un petardo de 60 g explota, uno de sus trozos pesa 45 g y sale despedido hacia la izquierda y el otro sale a la derecha con una velocidad de 40 m/s. ¿Cuál es la velocidad del primer trozo? -13.3 m/s

U1 U2

m2 m1 m2

Antes del impacto

m1 U1 + m2 U2

m1 m1 m2 m2

F2 F1 V2 V1

Durante del impacto

F1 ∆t = - F2 ∆t

Después del impacto

m1 v1 + m2 v2

Cantidad de movimiento total

antes del choque

Cantidad de movimiento total

después del choque

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7.10.4 Una bala de 24 g es disparada a una velocidad de 900 m/s con un rifle de 5 kg. Determine la velocidad de retroceso del rifle. Calcule la relación entre la energía cinética de la bala y la del rifle. 7.10.5 Una esfera de 4 kg se mueve a una velocidad de 8 m/s y choca de frente con otra esfera, cuya masa es de 2 kg, que estaba inicialmente en reposo. Después del choque, la primera masa se sigue moviendo en la misma dirección, pero con una velocidad de sólo 4 m/s: a) ¿Cuál es la velocidad de la masa de 2 kg después del choque? 8 m/s b) ¿Cuánta energía se perdió durante el choque? -32 J 7.10.6 Una bola de masa de 5 kg que se mueve con velocidad de 20 m/s choca contra bola de masa de 10 kg que se mueve en el mismo sentido a lo largo de la misma línea con una velocidad de 10 m/s. Después del impacto, la primera masa está aún en movimiento en la misma dirección, pero con una velocidad de 8 m/s. Calcular la velocidad de la segunda masa después del impacto. 16 m/s 7.10.7 Una pelota de 5 kg moviéndose a una velocidad de 9 m/s colisiona de frente con otra bola con un masa de 2 kg, parada. Después del impacto de la primera bola invierte el sentido de su movimiento, pero con una velocidad de 5 m/s. Calcular: a) la velocidad de la segunda masa después del impacto. 10 m/s b) la energía cinética inicial. 202.5 J c) la energía cinética total después del impacto. 162.5 J d) la energía convertida en calor durante el impacto. 40 J e) la velocidad relativa después del impacto. 90 m/s f) la velocidad relativa después del impacto. 5 m/s 7.11 Explique los conceptos de choque elástico e in elástico, en base al principio de la conservación de la cantidad de movimiento, en una o dos dimensiones. Se puede suponer que la cantidad de energía cinética, al igual que la cantidad de movimiento, no cambia a causa de un choque o colisión. Sin embargo esta suposición sólo es aproximadamente cierta para los cuerpos duros, como los balines y las bolas de billar, pero no resulta verdadera en el caso de los cuerpos que rebotan con mucho mayor lentitud después de chocar. Durante el impacto, todos los cuerpos se deforman ligeramente y así se liberan pequeñas cantidades de calor. El vigor con el que un cuerpo recobra su forma original después de sufrir una deformación es una medida de su elasticidad o capacidad de restitución. Si la energía cinética permanece constante en un choque (el caso ideal), se dice que el choque es completamente elástico. En este ejemplo no de pierde ninguna energía en forma de calor o deformación en un choque. Una bola de acero templado que se deja caer sobre una placa de mármol se aproxima a lo que sería un choque completamente elástico. Cuando los cuerpos se adhieren ente ellos y se mueven como un solo cuerpo después del choque, se dice que éste último es completamente inelástico. Una bala que se incrusta en un bloque de madera es un ejemplo de este tipo de choque. La mayoría de los choques se encuentran entre estos dos últimos.

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En una colisión completamente elástica entre dos masas m1 y m 2, podemos decir que tanto la energía como la cantidad de movimiento no se alteran.

u1 + v1 = u2 + v2

v1 - v2 = u2 - u1 = - (u1 - u2)

Por consiguiente en el caso ideal de un choque completamente elástico, la velocidad relativa después del choque v1 - v2 es igual al valor negativo de la velocidad relativa antes del choque. Cuanto más parecidas sean estas cantidades, tanto más elástica será la colisión. La relación negativa después del choque éntrela velocidad relativa antes del choque nos da una medida de la elasticidad de un choque. Problemas de choques elásticos e inelásticos: 7.11.1 Un camión vacío que pesa 3 toneladas rueda libremente a 5 ft7s sobre una carretera horizontal y choca con un camión cargado que pesa 5 toneladas y está en reposo, pero en libertad para moverse. Si los dos camiones se enganchan entre ellos durante el choque, encuentre cuál es la su velocidad después del choque. Compare la energía cinética antes y después de la colisión. ¿Cómo se explica la disminución de energía? 7.11.2 Un niño que pesa 30 kg está de pie sobre una superficie de hielo sin fricción. Su padre le arroja una pelota de futbol de 0.8 kg con una velocidad de 15 m/s. ¿Cuál será la velocidad del niño después de atrapar la pelota? 0.390 m/s 7.11.3 Un trozo de arcilla de 2 kg se ata al extremo de un cordel, como se muestra en la figura. Una bola de acero de 0.5kg se mueve horizontalmente a una velocidad desconocida y se incrusta en la arcilla, haciendo que la bola se eleve junto con l arcilla a una altura de 20 cm, ¿cuál fue la velocidad de entrada de la bola de acero en la arcilla?

7.11.4 En el problema anterior, suponga que la bola de 0.5 kg atraviesa por completo la arcilla y sale con una velocidad de 10 m/s, ¿cuál habrá sido la velocidad de entrada en este caso si el trozo de arcilla alcanza la misma altura de 20 cm? 17.9 m/s 7.11.5 Una bola de billar se mueve a la izquierda con una velocidad de 30 cm/s y choca de frente con otra bola que se mueve hacia la derecha a 20 cm/s. las masas de las bolas son idénticas. Si el choque es perfectamente elástico, ¿cuál será la velocidad de cada bola después del choque?

U1

U1 = 0

0.2 m

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7.12 Defina el concepto de coeficiente de restituci ón como una cantidad adimensional e identifique sus expresiones matemáticas. “El coeficiente de restitución e es la razón o relación negativa de la velocidad relativa después del choque, entre la velocidad relativa antes del choque”

e = (v2 – v1) / (u1 – 21)

Si el choque es completamente elástico, entonces e =1. Si el choque es completamente inelástico, e = 0, los cuerpos salen despedidos con la misma velocidad, es decir, v2 = v1. En general, el coeficiente de restitución tiene un valor entre 0 y 1. Si se considera que una esfera cae sobre una placa fija a una altura h, tenemos:

El coeficiente resultante es una propiedad conjunta de la esfera y de la superficie sobre la cual rebota. En el caso de una superficie extremadamente elástica, e tiene un valor de 095 o mayor (acero o vidrio), mientras que para sustancias menos elásticas e puede ser sumamente pequeño. Es interesante observar que la altura del rebote es función del vigor con que la deformación por el impacto se restablece. Contrariamente a la creencia popular, una esfera de acero o una canica rebotan a mucha mayor altura que la mayoría de las pelotas de hule. 7.13 Resuelva problemas relacionados con el princip io de conservación de la cantidad de movimiento en una o dos dimensiones utilizando el c oeficiente de restitución. 7.13.1 Una bola de metal con una masa de 4.4 kg moviéndose a una velocidad de 6 m/s colisiona con otra bola de metal de masa de 5.6 kg, desplazándose en la misma dirección con una velocidad de 2 m/s. Si el coeficiente de restitución es de 0.85, hallar la velocidad de cada bola después del impacto. V1 = 1856 m/s, V2 = 5256 m/s 7.13.2 El coeficiente de restitución del acero es de 0.90. Si una bola de acero se deja caer desde una altura de 7 m, ¿a qué altura rebotará? 5.67 m 7.13.3 El coeficiente de restitución del acero es de 0.90. Si una bola de acero se deja caer desde una altura de 7 m, ¿a qué altura rebotará? ¿Cuánto tiempo transcurrirá entre el primer contacto con la superficie y el segundo contacto? 7.13.4 Una pelota en reposos se deja caer sobre una lámina horizontal fija y rebota a una altura que equivale al 81 por ciento de su altura original:

u1 v1

h1 h2

e = (h2 / h1)1/2

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a) Determine el coeficiente de restitución. 0.9 b) Calcule la velocidad vertical del impacto requerido para hacer que la pelota rebote hasta una altura de 8 m. 13.9 m/s 7.13.5 Un bloque de 300 g se mueve hacia el norte a una velocidad de 50 cm/s y choca con un bloque de 20 g que se mueve hacia el sur a 100 cm/s: a) ¿Cuáles serán sus velocidades finales si se adhieren durante el choque? b) ¿Cuál será la perdida de energía cinética en el choque? c) ¿Cuáles serán las velocidades finales si el choque es completamente elástico? 7.13.6 Dos pelotas de 5 y 12 lb se aproximan una a la otra con velocidades de 25 ft/s: a) ¿Cuál será su velocidad combinada después del choque, si éste es completamente inelástico? 10.3 ft/s b) ¿Cuáles serán sus respectivas velocidades después del impacto si el choque es perfectamente elástico? -45.6 ft/s, 4.41 ft/s PROBLEMAS ADICIONALES 7.1 Una pelota de 600 g y otra de 200 g están suspendidas por cuerdas de 2 m, de modo que hacen contacto cuando las dos cuerdas se encuentran en posición vertical. Ahora la pelota de 600 g se aparta de la otra hasta que su cuerda forma un ángulo de 30° con la vertical. Cuando se suelta esta pelota, ¿a qué altura se elevará la pelota de 200 g por arriba de su posición más baja? Suponga que el choque es completamente elástico. 7.2 Un bloque de 10 kg se encuentra en reposo sobre una superficie sin fricción. Una bala de 20 g, que se mueve a 200 m/s, golpea el bloque y lo atraviesa, saliendo de él con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuál será la velocidad del bloque después del impacto? ¿Cuánta energía cinética se perdió en el proceso? 0.380 m/s, 398 J 7.3 Un cuerpo de 60 g tiene una velocidad inicial de 100 cm/s hacia la derecha, y otro cuerpo de 150 g tiene una velocidad inicial de 30 cm/ hacia la izquierda. Si el coeficiente de restitución de ambos es de 0.80, encuentre sus velocidades y direcciones respectivas después del choque. ¿Qué porcentaje de la energía cinética inicial se perdió en el choque? 7.4 Dos esferas de madera de 2 kg están en reposo a 5 m de distancia una de otra en un carril sin fricción. Si una tercera parte de la misma masa golpea a la primera con una velocidad de 30 m/s, ¿en cuánto tiempo golpeará la primera esfera a la segunda? Suponga que e=1. 0.167 s 7.5 Una partícula atómica de masa 20 x 10-28 kg se mueve a una velocidad de 4 x 106 m/s y choca de frente con una partícula cuya masa es 12 x 10-28 kg, que estaba inicialmente en reposo, Suponiendo que la colisión sea completamente elástica, determine la velocidad de la partícula después del choque. 1 x 106 m/s 7.6 Una pelota de beisbol que pesa 0.30 kg se mueve a 40 m/s horizontalmente cuando es golpeada por un bate. Si la pelota se aleja del bate con una velocidad de 60 m/s, formando un ángulo de 30°, ¿cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza media ejercida por el bate? Suponga que el bate estuvo en contacto con la pelota durante 0.005 s. 5520 N, 1800 N

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8. ESTADO FISICO DE LOS CUERPOS

El estado físico de los cuerpos desde el punto de vista clásico, es sólido, líquido y gaseoso. Según la agrupación de sus moléculas, los cuerpos tienen cuatro estados diferentes: sólido, líquido, gaseoso y plasma.

Estado líquido

Al alcanzar la temperatura de fusión el sólido se va "descomponiendo" hasta desaparecer la estructura cristalina alcanzándose el estado líquido, cuya característica principal es la capacidad de fluir y adaptarse a la forma del recipiente que lo contiene. En este caso, aún existe una cierta ligazón entre los átomos del cuerpo, aunque de mucha menor intensidad que en el caso de los sólidos. El estado líquido presenta las siguientes características:

• Fuerza de cohesión menor (regular) • Movimiento-energía cinética. • Toma la forma del envase que lo contiene. • En frío se comprime. • Posee fluidez. • Puede presentar fenómeno de difusión.

Estado gaseoso

Por último, incrementando aún más la temperatura se alcanza el estado gaseoso. Los átomos o moléculas del gas se encuentran virtualmente libres de modo que son capaces de ocupar todo el espacio del recipiente que lo contiene, aunque con mayor propiedad debería decirse que se distribuye o reparte por todo el espacio disponible. El estado gaseoso presenta las siguientes características:

• Fuerza de cohesión casi nula. • Sin forma definida. • Toma el volumen del envase que lo contiene • Se puede comprimir fácilmente. • Ejerce presión sobre las paredes del recipiente que los contiene. • Los gases se mueven con libertad.

Plasma

Al plasma se le llama a veces "el cuarto estado de la materia", además de los tres "clásicos", sólido, líquido y gas. Es un gas en el que los átomos se han roto, que está formado por electrones negativos y por iones positivos, átomos que han perdido electrones y han quedado con una carga eléctrica positiva y que están moviéndose libremente.

En la baja atmósfera, cualquier átomo que pierde un electrón (p.e., cuando es alcanzado por una partícula cósmica rápida) lo recupera pronto o atrapa otro. Pero la situación a altas temperaturas, como las que existen en el Sol, es muy diferente. Cuanto más caliente está el gas, más rápido se mueven sus moléculas y átomos, y a muy altas temperaturas las colisiones entre estos átomos moviéndose muy rápidamente son lo suficientemente violentas como para liberar los electrones. En la atmósfera solar, una gran parte de los átomos están permanentemente "ionizados" por estas colisiones y el gas se comporta como un plasma.

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A diferencia de los gases fríos (p.e. el aire a la temperatura ambiente), los plasmas conducen la electricidad y son fuertemente influidos por los campos magnéticos. La lámpara fluorescente, muy usada en el hogar y en el trabajo, contiene plasma (su componente principal es el vapor de mercurio) que calienta y agita la electricidad, mediante la línea de fuerza a la que está conectada la lámpara. La línea hace positivo eléctricamente a un extremo y el otro negativo causa que los iones (+) se aceleren hacia el extremo (-), y que los electrones (-) vayan hacia el extremo (+). Las partículas aceleradas ganan energía, colisionan con los átomos, expulsan electrones adicionales y así mantienen el plasma, incluso aunque se recombinen partículas. Las colisiones también hacen que los átomos emitan luz y, de hecho, esta forma de luz es más eficiente que las lámparas tradicionales. Los letreros de neón y las luces urbanas funcionan por un principio similar y también se usan (o usaron) en electrónica.

Otro importante plasma en la naturaleza es la ionosfera, que comienza a unos 70-80 km por encima de la superficie terrestre. Aquí los electrones son expulsados de los átomos por la luz solar de corta longitud de onda, desde la ultravioleta a los rayos X: no se recombinan fácilmente debido a que la atmósfera se rarifica más a mayores altitudes y no son frecuentes las colisiones. La parte inferior de la ionosfera, la "capa D", a los 70-90 km, aún tiene suficientes colisiones como para desaparecer después de la puesta del sol. Entonces se combinan los iones y los electrones, mientras que la ausencia de luz solar no los vuelve a producir. No obstante, esta capa se restablece después del amanecer. Por encima de los 200 km, las colisiones son tan infrecuentes que la ionosfera prosigue día y noche

Propiedades específicas de los sólidos:

• Adherencia : Atracción o unión entre las moléculas próximas de los cuerpos. • Aleabilidad Propiedad que tienen los materiales para formar aleaciones que dan lugar a

nuevos materiales mejorando sus prestaciones. En todas las aleaciones un componente como mínimo tiene que ser un metal.

• Calor específico . La capacidad calorífica o calor específico de una sustancia es la cantidad de energía necesaria para aumentar 1 ºC su temperatura. Indica la mayor o menor dificultad que presenta dicha sustancia para experimentar cambios de temperatura bajo el suministro de calor.

• Capilaridad : Es la cualidad que posee una sustancia de absorber a otra. • Compresibilidad . Es una propiedad de la materia a la cual se debe que todos los cuerpos

disminuyan de volumen al someterlos a una presión o compresión determinada manteniendo constantes otros parámetros. Los sólidos a nivel molecular no se pueden comprimir

• Conductividad eléctrica . Es la capacidad de un cuerpo de permitir el paso de la corriente eléctrica a través de sí. Según esta condición los materiales se clasifican en conductores, aislantes y semiconductores .

• Conductividad térmica . La capacidad de los materiales para dejar pasar el calor • Dureza : Dificultad que oponen los cuerpos a ser rayados. Escala de Mohs. La dureza se

mide con unos instrumentos llamados durómetros y existen diferentes escalas de dureza Brinell, Rockwell, Vickers, etc

• Divisibilidad :- Propiedad en virtud de la cual los cuerpos sólidos pueden fraccionarse hasta el límite molecular.

• Ductilidad : Propiedad que tienen algunos metales y aleaciones cuando, bajo la acción de una fuerza, pueden estirarse sin romperse permitiendo obtener alambres o hilos. A los metales que presentan esta propiedad se les denomina dúctiles. Los metales más dúctiles son el platino, oro y cobre. El cobre se utiliza principalmente para fabricar cables eléctricos , porque a su buena ductilidad añade el hecho de que sea muy buen conductor de la electricidad

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• Elasticidad : Designa la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentra sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan

• Extensión .- Capacidad para ocupar una parte de espacio. (superficie, volumen, longitud) • Fragilidad : Propiedad de la materia que indica con que facilidad se puede romper un

cuerpo al sufrir un golpe ligero. la propiedad opuesta a la fragilidad es la tenacidad. • Impenetrabilidad :- Propiedad que impide que un cuerpo esté en el lugar que ocupa otro. • Inercia :- Resistencia que opone un cuerpo para salir de su estado de reposo, para cambiar

las condiciones de movimiento o cesar en él sin aplicación de alguna fuerza. • Magnetismo Propiedad que tienen algunos metales para a atraer al hierro. El acero puede

convertirse en imán si se desea. También se pueden producir electroimanes. • Maleabilidad : Propiedad que tienen algunos materiales para formar láminas muy finas. El

oro es un metal de una extraordinaria maleabilidad permitiendo láminas de solo unas milésimas de milímetros. La plata y el cobre también son muy maleables, así como la hojalata, que es una aleación de hierro y estaño

• Mecanibilidad Es la propiedad que tienen algunos materiales para ser mecanizados con procedimientos de arranque de viruta.

• óptica Determina como pasa la luz a través de los sólidos. Pueden ser transparente, traslúcido u opacos

• Ósmosis . Es un fenómeno que consiste en el paso del solvente de una disolución desde una zona de baja concentración de soluto a una de alta concentración del soluto, separadas por una membrana semipermeable.

• Peso específico . También se conoce con el nombre de densidad. Relación entre su peso y su volumen. Densidad= Peso/Volumen D=P/V. El peso específico de una sustancia se define como el peso por unidad de volumen.

• Plasticidad Propiedad mecánica de un material, biológico o de otro tipo, de deformarse permanentemente e irreversiblemente cuando se encuentra sometido a tensiones por encima de su rango elástico.

• Porosidad Propiedad de tener espacio libre entre sus moléculas y poder absorber líquidos o gases.

• Punto de congelación Temperatura a la cual un líquido se convierte en estado sólido • Punto de ebullición : Temperatura a la cual un líquido se convierte en gas • Punto de fusión . Es la temperatura a la cual una sustancia pasa del estado sólido al

estado líquido. • Resiliencia : Es la cantidad de energía que puede absorber un material, antes de que

comience la deformación irreversible, esto es, la deformación plástica. • Resistencia a la corrosión Comportamiento que tienen los materiales al tomar contacto

con productos químicos, especialmente ácidos. • Resistencia mecánica : Capacidad que tiene un material de soportar los distintos tipos de

esfuerzo que existen sin deformarse permanentemente. • Resistencia a la oxidación . Comportamiento que tienen los materiales ante el oxígeno de

la atmósfera y el contacto con el agua. • Soldabilidad Es la propiedad que tienen algunos materiales para poder ser soldados • Templabilidad Propiedad que tienen algunos metales para endurecerse por tratamientos

térmicos o químicos. • Tenacidad : Es la resistencia que opone un mineral u otro material a ser roto, molido,

doblado o desgarrado, siendo una medida de su cohesión. El acero es un material muy tenaz, especialmente alguna de sus aleaciones.

Ver video: Estados de la materia http://mx.youtube.com/watch?v=HcZfsId-zBA Ver video: Propiedades de la materia http://mx.youtube.com/watch?v=X9sKULfpQrs

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8.1 Definirá cohesión y adherencia Toda la materia está compuesta por átomos o moléculas iguales o diferentes. Las fuerzas que mantienen unidas entre sí las moléculas y los átomos son de tipo electrostático originadas por la carga eléctrica que poseen. Estas fuerzas de atracción disminuyen mucho con la distancia (Ley de Coulomb).

Se denomina cohesión a la fuerza de atracción entre las moléculas de una misma sustancia. Se denomina adherencia a la fuerza de atracción entre las moléculas de distinta sustancia.

Ir a: Fuerza de adherencia en líquidos http://contenidos.educarex.es/cnice/newton/escenas/ fuerzas_presiones/adherencia.htm Ver video: Neumáticos y adherencia http://mx.youtube.com/watch?v=20yfTk2Miec 8.2 Distinguirá entre densidad, densidad relativa, y peso específico relativo. Es importante entender la relación entre el peso de un cuerpo y su volumen. Por ejemplo, el plomo y el hierro son materiales “pesados”, mientras que el corcho y la madera son materiales “ligeros”. La cantidad que relaciona el peso de un cuerpo con su volumen se conoce como peso específico: El peso específico D de un cuerpo se define como la relación de su peso W entre su volumen V. Las unidades son el Newton por metro cúbico (N/m3) y la libra por pie cúbico (lb/ft3)

D = W / V W = D V

La densidad o masa específica ρ de un cuerpo se define como la relación de su masa m respecto a su volumen V.

ρ = m / V m = ρ V La relación entre el peso específico y densidad se determina recordando que W = mg, por consiguiente:

D = m g / v = ρ g Unidades: Peso especifico D lb / ft 3 N / m3

Densidad ρ slug / ft 3 kg / m 3

Otro método para indicar las densidades de las sustancias es por medio de su gravedad específica, la cual compara su densidad con la del agua. Por ejemplo, una sustancia que es la mitad de densa que el agua tendrá una gravedad específica de 0.5. La gravedad específica de una sustancia se define como la relación de su densidad respecto a la densidad del agua a 4 °C (1000 kg/m 3). Un mejor nombre para esta cantidad es densidad relativa.

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8.3 Enunciará el concepto de Hooke. Para tener una comprensión más amplia de la naturaleza, es necesario estudiar las propiedades mecánicas de la materia, por lo cual se deben analizar los conceptos de elasticidad, tensión y compresión. En la medida en que aumentan los tipos de aleaciones y la demanda de ellas es cada vez mayor, se vuelve más importante que conozcamos bien estos conceptos. Por ejemplo el esfuerzo al que se someten los vehículos espaciales o los cables de los puentes modernos es de una magnitud que hace apenas unos años era inconcebible. Definimos como cuerpo elástico aquel que recobra su tamaño y su fo rma originales cuando deja de actuar una fuerza deformante . Las bandas de hule, las pelotas de golf, los trampolines y los resortes son ejemplos de cuerpos elásticos. La masilla, la pasta y la arcilla son ejemplos de cuerpos inelásticos. Robert Hooke fue el primero en establecer la relación directa entre el estiramiento de un resorte y la fuerza aplicada, por medio de un volante de resorte para reloj. En términos generales, Hooke descubrió que cundo una fuerza F actúa sobre un resorte, produce en él un alargamiento s que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza.

8.4 Definirá la ley de Hooke. La ley de Hooke se representa como: F = k s La constante de proporcionalidad K varía mucho de acuerdo con el tipo de material y recibe el nombre de contante del resorte. La ley de Hooke no se limita al caso de los resortes en espiral; de hecho, se aplica a la deformación de todos los cuerpos elásticos. Para que la ley se pueda aplicar de un modo más general, es conveniente definir los términos esfuerzo y deformación. El esfuerzo se refiere a la causa de una deformación elástica, mientras que la deformación se refiere a su efecto. Un esfuerzo de tensión se presenta cuando fuerzas iguales y opuestas se apartan entre sí. En un esfuerzo de compresión las fuerzas son iguales y opuestas y se acercan entre sí. Un esfuerzo cortante ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas no tienen la misma línea de acción. Se puede decir que:

s

F

W

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Esfuerzo es la razón de una fuerza aplicada entre el área sobre la que actúa, por ejemplo, newtons por metro cuadrado o libras por pie cuadrado. El término deformación representa el efecto de un esfuerzo dado. Pudiendo definirse: Deformación es el cambio relativo en las dimensiones o en la forma de un cuerpo como resultado de la aplicación de un esfuerzo. Ver video Ley de Hooke http ://mx.youtube.com/watch?v=D0QIe3ITxFI&feature=relat ed 8.5 Establecerá el límite de elasticidad. El límite elástico es el esfuerzo máximo que puede sufrir un cuerpo sin que la deformación sea permanente. Dentro de los límites para un material dado, se ha comprobado experimentalmente que la relación de un esfuerzo determinado entre la deformación que produce es una constante. La ley de Hooke establece: “Siempre que no se exceda el límite elástico, una deformación elástica es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada por unidad de área (esfuerzo)” Si llamamos a la constante de proporcionalidad módulo de elasticidad, podemos escribir la ley de Hooke en su forma más general:

Módulo de elasticidad = esfuerzo / deformación 8.6 Obtendrá el módulo de Young. Si consideramos que los esfuerzos y deformaciones son longitudinales cuando se aplican a alambrees, varillas o barras. Por ejemplo, en la siguiente figura, una fuerza F se aplica al extremo de un alambre de sección transversal A. El esfuerzo longitudinal está dado por:

Esfuerzo longitudinal = F / A

La unidad métrica para el esfuerzo es el newton por metro cuadrado, que es idéntico al pascal:

1 Pa = 1 N / m2

F

∆ l

l

F A

A

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La unidad del esfuerzo para el sistema inglés es libra por pulgada cuadrada (lb / in2).

1 lb/in 2 = 6895 Pa = 6.895 kPa El efecto de tal esfuerzo es el alargamiento del alambre, o sea, un incremento en su longitud. Entonces, la deformación longitudinal puede representarse mediante el cambio de longitud por unidad de longitud. Expresándose:

Deformación longitudinal = ∆l / l

Donde l es la longitud original y ∆l es la elongación (alargamiento total). Se ha demostrado experimentalmente que hay una disminución similar en la longitud como resultado de un esfuerzo de compresión. Las mismas ecuaciones se aplican ya sea que se trate de un objeto a tensión o de un objeto sujeto a compresión. Si se define el módulo de elasticidad longitudinal como módulo d Young, Y, podemos escribir la ecuación:

Módulo de Young = esfuerzo longitudinal / deformac ión longitudinal

Y = (F/A) / (∆l / l) = Fl / A ∆l

Las unidades del módulo de Young son las mismas que la unidades de esfuerzo: libras por pulgada cuadrada o pascales. Ir a: Medida del módulo de elasticidad http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotaci on/alargamiento/alargamiento.htm Ver video: Young´s modulus http://mx.youtube.com/watch?v=mzb4Hpmrub4 8.7 Resolverá problemas relacionados con el estado físico de los cuerpos. Propiedades elásticas de la materia 8.7.1 Cuando una masa de 500 g se cuelga de un resorte, éste se estira 3 cm: a) ¿Cuál es la constante del resorte? 163 N/m b) ¿Cuánto se estirará si se colgara una masa adicional de 500 g? 3 cm adicionales 8.7.2 Un resorte de 6 in tiene colgando en uno de sus extremos una pesa de 4 lb, por lo cual alcanza una nueva longitud de 6.5 in. a) ¿Cuál es la constante del resorte? b) ¿Cuál es la deformación? 8.7.3 Se usa un resorte helicoidal para sostener una masa de 1.8 kg, lo cual produce en él una deformación de 0.10 ¿Cuánto se estira el resorte? ¿Cuál es la constante de dicho resorte? ¿Qué masa total debe colgarse de este resorte si se desea que se estire 4 cm? 1.2 cm, 14.7 N/cm, 6kg

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Módulo de Young 8.7.4 Un alambre de metal tiene un diámetro de 1 mm y una longitud de 2 m. Si se cuelga una masa de 500g en uno de sus extremos y el alambre se estira 1.40 cm, a) ¿cuál es el esfuerzo resultante? b) ¿cuál es la deformación? c) ¿cuál es el módulo de Young de ese metal? 8.7.5 Un alambre de 15 ft de largo y 0.1 in2 de sección transversal incrementa su longitud 0.01 ft bajo una tensión de 2000 lb. ¿Cuál es el módulo de Young para este alambre? 30x106 lb/in2

8.7.6 Un alambre cuya sección transversal es de 4 mm2 se estira 0.1 mm mediante cierto eso. ¿Qué tanto se estirara un alambre del mismo material y longitud si su sección transversal es de 8 mm2 y sostiene el mismo peso? 8.7.7 Un alambre de cobre del número 18 tiene un diámetro de 0.04 in y su longitud original es de 10 ft. a) ¿Cuál es la mayor carga que puede soportar este alambre sin exceder su límite de elasticidad? 28.9 lb b) Calcule el cambio de longitud del alambre a causa de esta carga. 0.0135 ft c) ¿cuál es la máxima carga que puede soportar el alambre sin que se rompa? 61.6 lb

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9. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA Después de completar el estudio de esta unidad el alumno podrá:

1. Demostrar que ha comprendido las escalas de temperatura Celsius, Fahrenheit, Kelvin y Rankin correspondientes en otras escalas.

2. Distinguir entre temperaturas específicas e intervalos de temperatura así como convertir un intervalo en una escala a su equivalente en otra escala.

3. Escribir las fórmulas para la dilatación lineal, la dilatación de área y la dilatación de volumen, y ser capaz de aplicarlas para la resolución de problemas.

Ir a: http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen 2/ciencia3/085/htm/sec_6.htm Ver video: El calor y la temperatura http://mx.youtube.com/watch?v=Zv0_ZVzZ3E0 9.1 Definirá el concepto de temperatura.

La temperatura es una magnitud referida a las nociones comunes de calor o frío. Por lo general, un objeto más "caliente" tendrá una temperatura mayor. Físicamente es una magnitud escalar relacionada con la energía interna de un sistema termodinámico. Más específicamente, está relacionada directamente con la parte de la energía interna conocida como "energía sensible", que es la energía asociada a los movimientos de las partículas del sistema, sea en un sentido traslacional, rotacional, o en forma de vibraciones. A medida que es mayor la energía sensible de un sistema se observa que está más "caliente" es decir, que su temperatura es mayor.

En el caso de un sólido, los movimientos en cuestión resultan ser las vibraciones de las partículas en sus sitios dentro del sólido. En el caso de un gas ideal monoatómico se trata de los movimientos traslacionales de sus partículas (para los gases multiatómicos los movimientos rotacional y vibracional deben tomarse en cuenta también).

El desarrollo de técnicas para la medición de la temperatura ha pasado por un largo proceso histórico, ya que es necesario darle un valor numérico a una idea intuitiva como es lo frío o lo caliente.

Multitud de propiedades fisicoquímicas de los materiales o las sustancias varían en función de la temperatura a la que se encuentren, como por ejemplo su estado (sólido, líquido, gaseoso, plasma...), su volumen, la solubilidad, la presión de vapor, su color o la conductividad eléctrica. Así mismo es uno de los factores que influyen en la velocidad a la que tienen lugar las reacciones químicas.

La temperatura se mide con termómetros, los cuales pueden ser calibrados de acuerdo a una multitud de escalas que dan lugar a las unidades de medición de la temperatura. En el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de temperatura es el kelvin. Sin embargo, fuera del ámbito científico el uso de otras escalas de temperatura es común el uso de la escala Celsius (antes llamada centígrada) y en los países anglosajones, la escala Fahrenheit. También existe la escala Rankine (°R) que establece su punto de referencia en el mi smo punto de la escala Kelvin

Conceptos empleados en el estudio de la temperatura:

Energía térmica .- Representa la energía interna total de un objeto: la suma de sus energías moleculares potencial y cinética.

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Equilibrio térmico. - Se dice que dos objetos se encuentran en equilibrio térmico si y solo si tienen la misma temperatura.

Calor .- Se define como la transferencia de energía térmica debido a una diferencia de temperatura.

9.2 Identificara los termómetros con sus respectiva s escalas y la relación entre ellas.

El termómetro es un instrumento de medición de temperatura; dispositivo que, mediante una escala graduada, indica su propia temperatura. Desde su invención ha evolucionado mucho, principalmente desde que se empezaron a fabricar los termómetros electrónicos digitales.

Los termómetros iníciales que se fabricaron se basaban en el principio de la dilatación, por lo que se prefiere el uso de materiales con un coeficiente de dilatación alto de modo que, al aumentar la temperatura, la dilatación del material sea fácilmente visible. El metal base que se utilizaba en este tipo de termómetros ha sido el mercurio encerrado en un tubo de cristal que incorporaba una escala graduada.

En el mes de julio de 2007 el Gobierno de España ha decretado la prohibición de fabricar termómetros de mercurio por su efecto contaminante.

El creador del primer termoscopio fue Galileo Galilei; éste podría considerarse el predecesor del termómetro. Consistía en un tubo de vidrio que terminaba con una esfera en su parte superior que se sumergía dentro de un líquido mezcla de alcohol y agua. Al calentar el agua, ésta comenzaba a subir por el tubo. Sanctorius incorporó una graduación numérica al instrumento de Galilei, con lo que surgió el termómetro.

Tipos de termómetros

• Termómetro de Cristal : es un tubo de vidrio sellado que contiene un líquido, generalmente mercurio, cuyo volumen cambia con la temperatura de manera uniforme. Este cambio de volumen se visualiza en una escala graduada que por lo general está dada en grados Celsius. El termómetro de mercurio fue inventado por Fahrenheit en el año 1714.

• Termómetro de resistencia : consiste en un alambre de platino cuya resistencia eléctrica cambia cuando cambia la temperatura.

• Termopar : un termopar es un dispositivo utilizado para medir temperaturas basado en la fuerza electromotriz que se genera al calentar la soldadura de dos metales distintos.

• Pirómetro : los pirómetros se utilizan para medir temperaturas elevadas. • Termómetro de lámina bimetálica : Formado por dos láminas de metales de coeficientes

de dilatación muy distintos y arrollados dejando el coeficiente más alto en el interior. Se utiliza sobre todo como sensor de temperatura en el termohigrógrafo.

• Termómetro de gas : Pueden ser a presión constante o a volumen constante. Este tipo de termómetros son muy exactos y generalmente son utilizados para la calibración de otros termómetros.

• Digitales : Incorporan un microchip que actúa en un circuito electrónico y es sensible a los cambios de temperatura ofreciendo lectura directa de la misma.

Escalas de temperatura

La escala más usada en la mayoría de los países es la escala centígrada (ºC), también llamada Celsius desde 1948, en honor a Anders Celsius (1701 - 1744). En esta escala, el Cero grados

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Celsius (0ºC), corresponde con el punto de congelación del agua y los cien grados corresponden con el punto de ebullición del agua, ambos a la presión de 1 atmósfera. Otras escalas termométricas son:

• Fahrenheit (ºF), propuesta por Gabriel Fahrenheit en 1724 que es la unidad de temperatura en el sistema anglosajón de unidades, utilizado principalmente en Estados Unidos.

• Kelvin (K) o temperatura absoluta, unidad de temperatura del Sistema Internacional de Unidades. Su cero es inalcanzable por definición y equivale a -273,15ºC.

• Rankine (°R)

Correspondencia entre escalas de temperaturas:

tc = 5/9 (tf – 32), tf = 9/5 tc + 32, TK = tc + 273, TR = tf + 460, 1 K = 1 °C, 1 °R = 1 °F

9.3 Establecerá el concepto de dilatación o expansi ón lineal de un sólido y su coeficiente. Ver video: Dilatación térmica http://mx.youtube.com/watch?v=Co51UxmixAs Ir a: Dilatación de cuerpos sólidos http://www.fisicanet.com.ar/fisica/termoestatica/ap 05_dilatacion.php

Se denomina dilatación al cambio de longitud, volumen o alguna otra dimensión métrica que sufre un cuerpo físico debido al cambio de temperatura que se provoca en ella por cualquier medio.

El efecto más frecuente producido por cambios de temperatura es un cambio en el tamaño. Con pocas excepciones todas las sustancias incrementan su tamaño cuando se eleva la temperatura. Los átomos de un sólido se mantienen juntos en un arreglo regular debido a la acción de fuerzas eléctricas. A cualquier temperatura los átomos vibran con cierta frecuencia y amplitud. A medida que la temperatura aumenta, se incrementa la amplitud (desplazamiento máximo) de las vibraciones atómicas. Esto da como resultado un cambio total en las dimensiones del sólido.

Un cambio de un sólido en una dimensión se llama dilatación lineal. Experimentalmente se ha encontrado que un incremento en una sola dimensión, por ejemplo, la longitud de una barra, depende de la temperatura original y del cambio de temperatura.

t

t0

L0

L

∆L

DILATACION LINEAL

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En la figura anterior, la longitud original es LO y la temperatura inicial to, cuando se calienta a una temperatura t, la nueva longitud de la barra se indica como L. Por lo tanto, un cambio en la temperatura ∆t = t - to, produce un cambio de longitud, ∆L = L - LO. El cambio de longitud proporcional está dado por:

∆L = ∞LO ∆t

Donde ∞ es la constante de proporcionalidad llamada coeficiente de dilatación lineal. Como un incremento en la temperatura no produce el mismo incremento en la longitud para todos los materiales, el coeficiente de ∞ es una propiedad del material:

∞ = ∆L / Lo ∆t

El coeficiente de dilatación lineal de una sustancia puede definirse como el cambio de longitud por unidad de longitud por cada grado que cambia la temperatura. Sus unidades son:

1 / °C ó 1/°F

Algunos coeficientes de dilatación ( ∞)

Sustancia 10-5 / °C 10-5 / °F

Aluminio Latón Concreto Cobre Vidrio, Pírex Hierro Plomo Plata Acero Zinc

2.4 1.8 0.7 – 1.2 1.7 0.3 1.2 3.0 2.0 1.2 2.6

1.3 1.0 0.4 – 0.7 0.94 0.17 0.66 1.7 1.1 0.66 1.44

La dilatación lineal tiene propiedades útiles y propiedades destructivas cuando se aplica a situaciones físicas. La dilatación predecible para algunos materiales se puede utilizar para abrir o cerrar interruptores a ciertas temperaturas, tales dispositivos se llaman termostatos. Otra expresión de dilatación lineal es:

L = LO + ∞ LO ∆t Ejercicio: Una tubería de hierro tiene 300 m de longitud a temperatura ambiente (20°C). Si la tubería se va a utilizar para conducir vapor, ¿cuál será la tolerancia para la dilatación y qué nueva longitud tendrá la tubería? 0.288 m, 300.29 m

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9.4 Explicará la dilatación o expansión superficial de un sólido y sus coeficientes. La dilatación lineal no se restringe a la dilatación de un sólido. Cualquier línea recta trazada a través del sólido aumenta su longitud por unidad de longitud con una velocidad dada por su

coeficiente de dilatación ∞. La dilatación del área de la siguiente figura:

Está en función del coeficiente de dilatación del área Ɣ (gamma) es aproximadamente el doble del coeficiente de dilatación lineal,

Ɣ = 2 ∞

Donde Ɣ es el cambio de área por unidad inicial de área por cada grado que cambia la temperatura. Usando esta definición, se pueden escribir las siguientes expresiones para la dilatación del área:

∆A = Ɣ AO ∆t

A = AO + Ɣ AO ∆t

Ejercicio: Un disco de latón tiene un agujero de 80 mm de diámetro en su entro a 70 °F. Si el disco se coloca en agua hirviente, ¿cuál será la nueva área del agujero? Área a 70°F = 5027 mm 2

Ɣ = 2 ∞= 2x10-5 / °F ∆A = Ɣ AO ∆t = 14.3 mm A = AO + ∆A = 5041.3 mm2

∆W

∆L

LO

L

W

WO

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9.5 Inferirá el concepto de dilatación o expansión volumétrica de un sólido y para los líquidos así como su coeficiente. La dilatación del material calentado es la misma en todas direcciones. Por lo tanto, el volumen de un líquido, gas o sólido tendrá un incremento en volumen predecible al aumentar la temperatura. Considerando lo anterior, se tienen las fórmulas para la dilatación de volumen:

∆V = β VO ∆t

V = VO + β VO ∆t

El símbolo β es el coeficiente de dilatación de volumen. Representa el cambio de volumen por unidad de volumen por cada grado que cambia la temperatura. Par materiales sólidos es aproximadamente el triple del coeficiente de dilatación lineal.

β = 3 ∞

Coeficiente de dilatación lineal β

Líquido 10-4 / °C 10-4 / °F

Alcohol etílico Benceno Glicerina Mercurio Agua

11 12.4 5.1 1.8 2.1

6.1 6.9 2.8 1.0 1.2

Ejercicio: Un bulbo de vidrio Pyrex se llena con 50 cm3 de mercurio a 20°C. ¿Qué volumen se derramará si e l sistema se calienta en forma uniforme a una temperatura de 60 °C.

Volumen derramado = Incremento de volumen del mercurio – incremento de volumen del vidrio

Vderramado = ∆Vm - ∆Vg Vderramado = βm Vm ∆t – βg Vg ∆t ∆Vm = 0.36 cm3 ∆Vg = 0.018 cm3 Vderramado = 0.342 cm3

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9.6 Resolverá los problemas relacionados con temper aturas realizando conversiones de un sistema a otro. La medición de la temperatura 9.6.1 La temperatura del cuerpo normal es 98.6 °F. ¿A qué temperatura corresponde en escala Celsius? 37 °C 9.6.2 El punto de ebullición del azufre es 444.5 °C. ¿A qué temperatura corresponde en °F? 9.6.3 Un riel de acero se enfría de 70 a 30 °C en 1 h. ¿Cuál es el cambio de temperatura en °F para el mismo periodo de tiempo? 72 °F 9.6.4 ¿A qué temperatura se obtendrá la misma lectura en las escalas Celsius y Fahrenheit? 9.6.5 Un trozo de carbón con una temperatura inicial de 180 °F experimenta un descenso en la temperatura de 120 °F. Exprese este cambio de temperatura en °C, ¿cuál es su temperatura final en la escala Celsius? 66.7 °C, 15.6 °C La escala de temperatura absoluta 9.6.6 La acetona hierve a 56.5 °C; el nitrógeno líquido hierve a -196 °C. Exprese estas temperaturas específicas en la escala Kelvin. ¿Cuál es la diferencia de estas temperaturas en kelvins? 9.6.7 El punto de ebullición del oxígeno es -2973.35 °F. Exprese esta temperatura en kelvins. Si el oxígeno se enfría de 120 a 70°F, ¿cuál es el cambio de temperatura en kelvins? 90.2 K, 27.8 K 9.6.8 El oro se funde a 1336 °K. ¿Cuál es la temperatura correspondiente expresada en grados Celsius y en grados Fahrenheit? 9.6.9 Un muro de ladrillos térmicos tiene una temperatura interior de 313 °F y una temperatura exterior de 73°F. Exprese la diferencia de temperatura en grados Celsius y kelvins. 133 °C, 133 °K 9.7 Resolverá problemas que involucren a las dilata ciones lineales, superficiales y volumétricas, empleando tablas respectivas de coefi ciente de dilatación. Dilatación lineal 9.7.1 Una pieza de tubería de cobre mide 6 m de largo a 20 °C. ¿Cuánto se incrementará su longitud cuando se calienta a una temperatura de 80 °C? 6.12 mm 9.7.2 Una barra de plata tiene 1 ft de longitud a 70 °F. ¿Cuánto aumentará su longitud cuando se sumerja en agua hirviendo (212 °F)? 9.7.3 El diámetro de un agujero que se encuentra en una lámina de acero es de 9 cm cuando la temperatura es de 20 °C. ¿Cuál será el diámetro de dicho agujero a 200 °C? 9.02 cm

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9.7.4 Una barra de latón tiene 2 m de largo a 15 °C. ¿A qué temperatura debe calentarse la barra para que su nueva longitud sea de 2.01 m? Dilatación de área 9.7.5 Una lámina cuadrada de cobre de 4 cm por lado a 20 °C, se calienta a 120 °C, ¿cuál es el incremento en el área de la lámina de cobre? 0.0544 cm2 9.7.6 Una perforación circular en una placa de acero tiene un diámetro de 20 cm a 27 °C, ¿a qué temperatura debe enfriarse la lámina si se desea que el área de la perforación sea de 314 cm2? Dilatación de volumen 9.7.7 ¿Cuál es el incremento en el volumen de 16 litros de alcohol etílico cuando se calienta de 2 0a 50 °C? 0.528 l 9.7.8 Un vaso de vidrio Pyrex tiene un volumen interior de 600 ml a 20 °C. ¿A qué temperatura estaría si el volumen interior fuera de 603 ml? 9.7.9 Si 200 cm3 de benceno llenan exactamente una taza de aluminio a 40 °C, y si luego el sistema se enfría a 18 °C, ¿cuánto benceno (a 18 °C) se le puede añadir a la taza sin que se derrame dicho líquido? 5.14 cm3

9.7.10 Un vaso de vidrio Pyrex se llena totalmente con 200 cm3 de mercurio a 20 °C, ¿cuánto mercurio se derramará si la temperatura del sistema aumenta 68 °C? Problemas adicionales

• Suponga que los extremos de una barra se fijan fuertemente entre dos muros para prevenir la dilatación con el aumento de la temperatura. A parir de la definición del módulo de Young y de sus conocimientos sobre dilatación lineal, demuestre que la fuerza de compresión F ejercida por los muros está dada por

F = ∞ A Y ∆t

Donde A = sección transversal de la barra Y = módulo de Young de la barra ∆t = incremento de temperatura de la barra

• La sección transversal de una barra de acero es de 2 in2, ¿Qué fuerza se necesita para prevenir que la barra se dilate a causa de la temperatura si esta última se incrementa de 70 a 120 °F? 1.98x104 lb

• Una lámina rectangular de aluminio mide 6 por 8 cm a 28 °C. ¿Cuál es el área a 0 °C?

• Un tapón de latón tiene un diámetro de 8.001 cm a 28 °C. ¿A qué temperatura debe enfriarse el tapón si se desea ajustarlo en un agujero de 8.00 cm? 21.1 °C

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• Una cinta de acero de 100 ft mide correctamente la distancia cuando la temperatura es de 20 °C. ¿Cuál es la verdadera medida si esta cinta indica una distancia de 94.62 ft en un día en que la temperatura es de 36 °C? 94.64 ft

• Demuestre que la densidad de un material cambia con la temperatura, de tal modo que la nueva densidad ρ está dada por

ρ = ρo / (1 + β ∆t)

ρo = densidad original β = coeficiente de dilatación del volumen ∆t = cambio en la temperatura

• La densidad del mercurio a 0 °C es de 13.6 g / cm3, ¿cuál es su densidad a 60 °C? 13.5 g / cm3

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10. MOVIMIENTO ONDULATORIO Después de completar el estudio de esta unidad el alumno podrá:

1. Demostrar por medio de definiciones y ejemplos que ha comprendido el movimiento ondulatorio transversal y longitudinal.

2. Definir, relacionar y aplicar el significado de los términos frecuencia, longitud de onda y velocidad para el movimiento ondulatorio.

3. Resolver problemas en los que intervengan la masa, la longitud, la tensión y la velocidad de onda, en el caso de ondas transversales en una cuerda.

La energía se puede transferir de un lugar a otro por diversos medios. Al golpear un clavo, la energía cinética del martillo se convierte en trabajo útil sobre el clavo. El viento, los proyectiles y la mayoría de las máquinas simples realizan trabajo a expensas del movimiento de la materia. Incluso la conducción de calor y la electricidad implican el movimiento de electrones. En esta unidad se estudiara la transferencia de energía de un punto a otro sin que se realice una transferencia física del material entre los puntos. Ir a: Movimiento ondulatorio http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/MovOndulatorio.html 10.1 Calculará la velocidad de onda A la propagación de la energía por medio de una perturbación en un medio y no por el movimiento del medio mismo, se le llama movimiento ondulatorio . Una onda mecánica es una perturbación física en un medio elástico. No todas las perturbaciones son necesariamente mecánicas, por ejemplo, las ondas luminosas, las ondas de radio y la radiación térmica propagan su energía por medio de perturbaciones eléctricas y magnéticas. La velocidad a la cual se mueve un pulso a través de un medio depende de la elasticidad del medio y de la inercia de las partículas del mismo. Los materiales más elásticos producen mayores fuerzas de restitución, cuando son distorsionados. Los materiales menos densos se resisten menos a moverse. En ambos casos, la capacidad de las partículas para propagar una perturbación a las partículas vecinas es mejor, y el pulso viaja a mayor velocidad. La velocidad del pulso transversal en una cuerda está dado por:

v = √F / µ = √F / (m/l)

La masa por unidad de longitud µ se conoce generalmente como densidad lineal de la cuerda. Si F

se expresa en Newtons y µ en kilogramos por metro, la velocidad estará expresada en metros por segundo. Ejemplo: La longitud l del cordel de la siguiente figura es de 2 m, y su masa es de 0.3 g. Calcule la velocidad del pulso transversal en el cordel si éste se encuentra bajo una tensión de 20 N.

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Primero se calcula la densidad lineal de la cuerda:

µ = m / l = 0.3 x 10 -3 kg / 2 m

µ = 1.5 x 10-4 kg / m

Por lo tanto: v = √F / µ = 365 m 10.2 Explicará el movimiento ondulatorio periódico al definir, relacionar y aplicar el significado de los términos frecuencia, longitud de onda y velocidad. A la propagación de la energía por medio de una perturbación en un medio y no por el movimiento del medio mismo, se le llama movimiento ondulatorio. Clases de movimientos ondulatorios:

• El movimiento ondulatorio transversal es aquél en el que la dirección de propagación es perpendicular a la dirección de vibración, tal como sucede en una cuerda, o las ondas electromagnéticas.

• En el movimiento ondulatorio longitudinal coinciden la dirección de vibración y de propagación, un ejemplo es el del sonido.

La distancia entre dos valles o crestas adyacentes en este tipo de tren de ondas se llama longitud de onda y se representa con λ.

F

l

v

F

W

Cálculo de la velocidad de un pulso transversal en una cuerda

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La velocidad de la onda v se puede relacionar con la longitud de onda λ y el periodo T con la ecuación:

v = λ / T La frecuencia f de una onda es el número de ondas que pasan por un punto determinado en la unidad de tiempo; es igual al reciproco del periodo (f = 1 / T). La unidad del SI que corresponde a la frecuencia es el hertz (Hz), el cual se define como un ciclo por segundo.

1 Hz = 1 ciclo / s = 1/s

La velocidad de una onda se expresa frecuentemente en términos de su frecuencia y no de su periodo. Por lo tanto, se puede escribir como:

v = f λ

Esta ecuación representa una importante relación física entre la velocidad, la frecuencia y la longitud de onda de cualquier onda periódica. Una ilustración de estas cantidades aparece en la siguiente figura:

Ejercicio Un hombre se sienta a pescar en el borde de un muelle y cuenta las ondas de agua que golpean uno de los postes de soporte de la estructura. Si una cresta determinada recorre 20 m en8 s, ¿cuál es la longitud de onda? f = 1.33 Hz v = 2.5 m/s λ = 1.88 m 10.3 Definirá el concepto de onda mecánica Una onda mecánica es una perturbación física en un medio elástico. No todas las perturbaciones son necesariamente mecánicas, por ejemplo, las ondas luminosas, las ondas de radio y la radiación térmica propagan su energía por medio de perturbaciones eléctricas y magnéticas.

f = ondas por segundo (Hz) v = velocidad (ft/s) λ = ondas por segundo (ft)

λ v =(s/t)

Relación entre la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de una onda transversal

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10.4 Distinguirá una onda transversal y una onda lo ngitudinal. Las ondas se clasifican de acuerdo con el tipo de movimiento que generan en una parte determinada del medio en el cual se producen, respecto a la dirección en la que se propaga la onda. En una onda transversal , la vibración de las partículas individuales del medio es perpendicular a la dirección de la propagación de la onda. En una onda longitudinal , la vibración de las partículas individuales es paralela a la dirección de la propagación de la onda. Ir a: http://www.ieslaasuncion.org/fisicaquimica/fislets/ ondas_L_T.html http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/doc ument/applets/Hwang/ntnujava/waveType/waveType_s.htm 10.5 Identificará las ondas estacionarias

Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda y frecuencia que avanzan en sentido opuesto a través de un medio.

Las ondas estacionarias permanecen confinadas en un espacio (cuerda, tubo con aire, membrana, etc.). La amplitud de la oscilación para cada punto depende de su posición, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren. Hay puntos que no vibran (nodos), que permanecen inmóviles, estacionarios, mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen con una amplitud de vibración máxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren, y con una energía máxima. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos. La distancia que separa dos nodos o dos antinodos consecutivos es media longitud de onda.

Se puede considerar que las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de la cuerda, el tubo con aire, la membrana, etc. Para una cuerda, tubo, membrana,... determinados, sólo hay ciertas frecuencias a las que se producen ondas estacionarias que se llaman frecuencias de resonancia. La más baja se denomina frecuencia fundamental, y las demás son múltiplos enteros de ella (doble, triple,...).

Una onda estacionaria se puede formar por la suma de una onda y su onda reflejada sobre un mismo eje.

La distancia entre nodos alternados o antinodos alternados en una onda estacionaria es una medida de la longitud de onda de las ondas componentes.

Ir a: http://www.ehu.es/acustica/bachillerato/suones/suon es.html

http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobar ra/ondas/estacionarias/estacionarias.html

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10.6 Deducirá las ondas estacionarias. La onda estacionaria más sencilla posible se presenta cuando las longitudes de onda de las ondas incidentes y reflejadas son equivalentes al doble de la longitud de la cuerda. La onda estacionaria consiste en un bucle que tiene puntos nodales en cada extremo, como se ve en la siguiente figura:

Este patrón de vibración se conoce como el modo fundamental de oscilación. Los modos superiores de oscilación se producirán para longitudes de onda cada vez más cortas. En la figura se observa que las longitudes de onda permitidas son las siguientes:

2l/1, 2l/2, 2l/3, 2l/4,… O, en forma de ecuación: λn = 2l/n, n=1, 2,3,… Las frecuencias correspondientes de vibración son, partiendo de que v = f λ,

fn = nv/2l = n (v/2l) n = 1, 2,3,…

Donde v es la velocidad de las ondas transversales. Esta velocidad es la misma para todas las longitudes de onda, puesto que depende tan sólo de las características del medio vibrante. A las frecuencias que se obtienen mediante la ecuación anterior se les llama frecuencias características de vibración. En términos de la tensión F de la cuerda y de la densidad lineal µ, las frecuencias características son las siguientes:

fn = (n/2l) √F/µ n = 1, 2,3,… La frecuencia más baja posible (v/2l) se conoce como frecuencia fundamental f1. Las otras frecuencias, que son múltiplos enteros de la fundamental, se conocen como sobretonos. La serie completa, fn = nf1 n = 1, 2,3,…está conformada por la frecuencia fundamental y sus sobretonos, y se conoce como serie armónica. La fundamental es la primera armónica; el primer sobretono (f2 = 2f1) es la segunda armónica, el segundo sobretono (f3 = 2f3) es la tercera armónica, etc.

a

d

c

b

l

λ4 = l/2 = 2l / 4

λ2 = l = 2l / 2

λ3 = (2/3)l = 2l / 3

λ1 = 2l = 2l / 1

Modelos posibles de ondas estacionarias en una cuerda vibrantes

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10.8 Interpretará el principio de superposición de ondas Cuando dos o más trenes de ondas existen simultáneamente en el mismo medio, cada onda recorre el medio como si las otras no estuvieran presentes. La onda resultante es una superposición de las ondas componentes. Es decir, el desplazamiento que resulta de una sola partícula en la cuerda que vibra es la suma algebraica de los desplazamientos que cada onda produciría, independientemente de las demás. Éste es el principio de superposición: Cuando dos o más ondas existen simultáneamente en e l mismo medio, el desplazamiento resultante en cualquier punto y en cualquier instan te es la suma algebraica de los desplazamientos de cada onda. Ir a: http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/ondas/interferencia/waveInterference.html 10.9 Distinguirá la existencia de interferencia de ondas Una característica muy importante del movimiento ondulatorio es el fenómeno de interferencia. Esto ocurre cuando dos o más ondas coinciden en el espacio y en el tiempo. Ir a: http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/ondas/interferencia/waveInterference.html 10.7 Resolverá problemas relacionados con el movimi ento ondulatorio Cálculos de velocidad de onda 10.7.1 Un alambre metálico de 500 g de masa y 50 cm de longitud está bajo una tensión de 80 N. ¿Cuál es la velocidad de una onda transversal en el alambre? Si la longitud se reduce a la mitad, ¿cuál será la nueva masa del alambre? Demuestre que la velocidad de una onda en el alambre no cambia. 8.94 m/s, 250 g 10.7.2 Una cuerda de 1.2 kg se estira a lo largo de una distancia de 5.2 m y se coloca bajo una tensión de 120 N. Calcule la velocidad de una onda transversal en la cuerda. 10.7.3 Una cuerda de 30 m bajo una tensión de 200 N sostiene una onda transversal cuya velocidad es d 72 m/s. ¿Cuál es la masa de la cuerda? 1.16 kg 10.7.4 Una cuerda de 200 cm de largo tiene una masa de 500 g. ¿Cuál es la tensión de la cuerda requerida para producir una velocidad de onda de 120 cm/s? 10.7.5 Una onda longitudinal tiene una frecuencia de 200 Hz y una longitud de onda de 4.2 m. ¿Cuál es la velocidad de las ondas? 840 m/s 10.7.6 Un madero flota en el extremo de un hilo de pescar y hace 8 oscilaciones completas en 10 s. Si tarda 3.6 s una sola onda en recorrer 11 m, ¿cuál es la longitud de onda de las ondas en el agua?

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Ondas estacionarias y frecuencias características 10.7.7 Una cuerda de 4 m de largo tiene una masa de 10 g y una tensión de 64 N. ¿Cuál es la frecuencia de su modo fundamental de vibración? ¿Cuáles son las frecuencias del primero y segundo sobretono? 20, 40 y 60 Hz 10.7.8 La segunda armónica de una cuerda vibrante es 200 Hz, Si la longitud de la cuerda es de 3 m y su tensión es de 200 N, calcule la densidad lineal de la cuerda. 10.7.9 Una cuerda de 4.3 m tiene una tensión de 300 N y una masa de 0.5 g. Si está fija en ambos extremos y vibra en tres segundos, ¿cuál es la frecuencia de las ondas estacionarias? 560 Hz 10.7.10 Una cuerda vibra con ondas estacionarias en cinco segmentos cuando la frecuencia es de 600 Hz. ¿Qué frecuencia originaría que la cuerda vibre en dos segmentos? Problemas adicionales 10.7.11 Un alambre tensor de acero que sirve de soporte a un poste tiene 18.9 m de longitud y 9.5 mm de diámetro. Su densidad lineal es de 0.474 kg/m. Se golpea en uno de sus extremos con un martillo y el pulso resultante regresa en 0.3 s. ¿Cuál es la tensión en el alambre? 7350 N 10.7.12 Un cable e 30 m cuyo peso es de 400 N se estira entre dos postes de teléfono con una tensión de 1800 N. ¿Cuánto tiempo se requiere para que el pulso efectúe un recorrido completo si se le da un tirón al cable en uno de sus extremos? ¿Qué intervalo de tiempo se requiere si la tensión en el cable se duplica? 10.7.13 Una cuerda de guitarra de 750 mm de longitud se estira con la suficiente tensión para producir una vibración fundamental de 220 Hz. ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda? 330 m/s 10.7.14 En una cuerda que vibra, las ondas transversales tienen una velocidad de 20 m/s y la tensión es de 8 N. ¿Qué tensión se requiere para que la velocidad de onda sea de 30 m/s en la misma cuerda? 10.7.15 En un experimento e laboratorio, un vibrador electromagnético se utiliza como fuente para generar ondas estacionarias en una cuerda. La densidad lineal de la cuerda es 0.006 g/cm. Un extremo de la cuerda se conecta a la lámina del vibrador. El otro extremo se hace pasar primero por una polea que se ha colocado a 1 m de distancia y se ata finalmente a una pesa colgante. Una masa de 392 g cuelga del extremo libre y hace que la cuerda vibre en tres segundos. ¿Cuál es la frecuencia del vibrador? 120 Hz 10.7.16 En el problema anterior, ¿qué masa se necesitaría para hacer que la cuerda vibrara en cuatro segmentos?

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11. ACUSTICA Después de completar el estudio de esta unidad, el alumno podrá:

• Definir el sonido y resolver problemas que impliquen su velocidad en metales, líquidos y gases.

• Usar condiciones de frontera para deducir y aplicar relaciones para calcular las frecuencias características para un tubo abierto y para un tubo cerrado.

• Calcular el nivel de intensidad en decibeles para un sonido cuya intensidad se expresa en watts por metro cúbico.

• Utilizar su comprensión del efecto Doppler para predecir el cambio aparente en la frecuencia que se presenta como resultado del movimiento relativo entre una fuente y un oyente.

11.1 Definirá el sonido Cuando se produce una perturbación periódica en el aire, se originan ondas sonoras longitudinales. El oído, que actúa como receptor de estas ondas periódicas, las interpreta como sonido. El término sonido se usa de dos formas distintas. Los fisiólogos definen el sonido en término de las sensaciones auditivas producidas por perturbaciones longitudinales en el aire. Para ellos, el sonido no existe en un planeta distante. En física, por otra parte, nos referimos a las perturbaciones por sí mismas y no a las sensaciones que producen.

El sonido humanamente audible consiste en ondas sonoras consistentes en oscilaciones de la presión del aire, que son convertidas en ondas mecánicas en el oído humano y percibidas por el cerebro. La propagación del sonido es similar en los fluidos, donde el sonido toma la forma de fluctuaciones de presión. En los cuerpos sólidos la propagación del sonido involucra variaciones del estado tensional del medio.

La propagación del sonido involucra transporte de energía sin transporte de materia, en forma de ondas mecánicas que se propagan a través de la materia sólida, líquida o gaseosa. Como las vibraciones se producen en la misma dirección en la que se propaga el sonido, se trata de una onda longitudinal.

Sonido es una onda mecánica longitudinal que se propaga a través de un medio elástico.

Un diapasón actúa en el aire como fuente de ondas longitudinales

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Deben existir dos factores para que exista el sonido. Es necesaria una fuente de vibración y también un medio elástico a través del cual se propague la perturbación. La fuente puede ser un diapasón, una cuerda que vibre o una columna de aire vibrando en un tubo de órgano. Los sonidos se producen por una materia que vibra. Ir a: http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/ondas/SONIDO/SONIDO.HTM Ir a: http://www.ayto-malaga.es/cultura/ContaminaWebFinal01/sonido.htm Ir a: http://www.rena.edu.ve/SegundaEtapa/tecnologia/elsonido.html 11.2 Calculará la velocidad del sonido en metales, líquidos y gases 487 11.3 Identificará ondas sonoras audibles 494 11.4 Interpretará y distinguirá las condiciones en que se presenta el efecto Doppler 498 11.5 Resolverá problemas relacionados con el sonido y su velocidad así como el efecto Doppler

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