anum 8&9 - optimization, constrained optimization
DESCRIPTION
Tugas 8&9 Analisa Numerik & Pemodelan (dengan Matlab)TRANSCRIPT
MAKALAH
OPTIMIZATION
CONSTRAINED OPTIMIZATION
Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Analisa Numerik & Pemodelan
Oleh:
NO NAMA NIM
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Rifky Wijaya
Ginanjar Saputra
Hany Kusumawati
M. Kidam Hady
Merliana Krisencia
Dea Anggraheni P.
3334130273
3334130779
3334131303
3334132302
3334132309
3334132493
JURUSAN TEKNIK METALURGI
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASA
CILEGON – BANTEN
2014
2
Rifky, Ginanjar, Hany, Kidam, Merliana, Dea
Analisa Numerik & Pemodelan (B)
OPTIMIZATION
Optimasi adalah metode yang digunakan untuk mengetahui kondisi optimum (solusi
optimal) dari suatu permasalahan matematis. Optimasi dikategorikan menjadi maksimasi dan
minimasi. Dalam optimasi, ada beberapa istilah yang perlu diketahui, di antaranya:
1. Objective function. Fungsi yang hendak dimaksimumkan atau diminimumkan.
2. Decision variable. Harga-harga yang berpengaruh dan bisa dipilih.
3. Constraints. Kendala/batasan dalam optimasi.
Secara analitik, nilai maksimum atau nilai minimum suatu persamaan y = f(x) dapat diperoleh
jika x memenuhi ( )
. Secara numerik, optimasi dapat dilakukan
melalui beberapa pendekatan, yaitu dengan:
1. Unconstrained Optimization
Golden Search Method
Quadratic Approximation Method
Nelder-Mead Method
Steepest Descent Method
Newton Method
Conjugate Gradient Method
Simulated Annealing Method
Genetic Algorithm
2. Constrained Optimization
Lagrange Multiplier Method
Penalty Function Method
CONTOH 1
Menentukan nilai minimum dari fungsi objektif berikut menggunakan metode golden section:
( ) ( )
di mana xL = 0 dan xU = 3
Secara Analitik
Syarat, jika:
(1) ( ) ( ), maka , , dan √
( )
(2) ( ) ( ), maka , , dan √
( )
Diketahui ( ) ( )
, interval [ ] [ ]
√
( )
√
( )
√
( )
√
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) , syarat 2 untuk iterasi berikutnya
Iterasi 1
3
Rifky, Ginanjar, Hany, Kidam, Merliana, Dea
Analisa Numerik & Pemodelan (B)
√
( )
√
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) , syarat 1 untuk iterasi berikutnya
Iterasi 2
√
( )
√
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) , syarat 2
Iterasi 3
√
( )
√
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) , syarat 2
Iterasi 4
√
( )
√
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) , syarat 1
Iterasi 5
√
( )
√
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) , syarat 2
4
Rifky, Ginanjar, Hany, Kidam, Merliana, Dea
Analisa Numerik & Pemodelan (B)
Iterasi 6
√
( )
√
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) , syarat 1
Iterasi 7
√
( )
√
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) , syarat 1
Setelah iterasi dihentikan, hasilnya dapat ditabulasi seperti berikut:
i a b p f(p) q f(q)
1 1.1459 3 1.8541 -0.9605 2.2918 -0.804
2 1.1459 2.2918 1.5836 -0.7217 1.8541 -0.9605
3 1.5836 2.2918 1.8541 -0.9605 2.0213 -0.9991
4 1.8541 2.2918 2.0213 -0.9991 2.1246 -0.967
5 1.8541 2.1246 1.9574 -0.9964 2.0213 -0.9991
6 1.9574 2.1246 2.0213 -0.9991 2.0607 -0.9924
7 1.9574 2.0607 1.9969 -1 2.0213 -0.9991
Diperoleh informasi bahwa:
Nilai minimum berada di interval [ ]
Titik minimum berada di
( ) ( )
( )
Menggunakan Bantuan MATLAB
Terlebih dahulu menyusun function script untuk perhitungan optimasi golden section pada
tab Editor seperti berikut: function [xo,fo] = opt_gs(f,a,b,r,TolX,TolFun,k) h = b - a; rh = r*h; c = b - rh; d = a + rh; fc = feval(f,c); fd = feval(f,d); if k <= 0 || (abs(h) < TolX && abs(fc - fd) < TolFun) if fc <= fd, xo = c; fo = fc; else xo = d; fo = fd; end if k == 0, fprintf('Just the best in given # of iterations'), end else
5
Rifky, Ginanjar, Hany, Kidam, Merliana, Dea
Analisa Numerik & Pemodelan (B)
if fc < fd, [xo,fo] = opt_gs(f,a,d,r,TolX,TolFun,k - 1); else [xo,fo] = opt_gs(f,c,b,r,TolX,TolFun,k - 1); end end
Menuliskan script berikut untuk memasukkan parameter-parameter yang diperlukan dalam
metode golden section: %to perform the golden search method f = inline('(x.*x-4).^2/8-1','x'); a = 0; b = 3; r =(sqrt(5)-1)/2; TolX = 1e-4; TolFun = 1e-4; MaxIter = 100; [xo,fo] = opt_gs(f,a,b,r,TolX,TolFun,MaxIter);
(sumber: Applied Numerical Methods Using MATLAB (Yang, 2005, USA: Wiley))
Memasukkan perintah [xo,fo] pada Command Window untuk menjalankan function script
opt_gs yang telah dibuat tadi sehingga diperoleh hasil:
CONSTRAINED OPTIMIZATION
Dalam pengertiannya yang paling sederhana, constraints adalah batasan. Optimasi
terkendala (constrained optimization) adalah penentuan kondisi optimum suatu permasalahan
dengan mempertimbangkan berbagai kendala/batasan yang ada. Dalam metode numerik,
constraint optimization dapat diselesaikan dengan bantuan metode Lagrange Multiplier atau
Penalty Function.
CONTOH 1
Mengetahui nilai minimum dari fungsi objektif ( )
yang memiliki equality
constraint ( ) dengan menggunakan Lagrange Multiplier Method
Secara Analitis
Fungsi objektif ( )
Equality constraint
( ) ( ) ( ( ))
( )
( )
( )
( )
( )
Dengan mensubstitusi x1 dan x2 terhadap constraint, diperoleh lambda
Sehingga diperoleh nilai sebagai berikut:
6
Rifky, Ginanjar, Hany, Kidam, Merliana, Dea
Analisa Numerik & Pemodelan (B)
( )
( )
Dengan tiap-tiap x yaitu 2.4 dan 1.6, diperoleh nilai minimum sebesar:
( ) ( ) ( )
Menggunakan Bantuan MATLAB
1 2