anwendungen tunneleffekt in beispielen: 11.5.1. alpha zerfall von kernen 11.5.2. raster tunnel...
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Anwendungen Tunneleffekt in Beispielen:
11.5.1. Alpha Zerfall von Kernen11.5.2. Raster Tunnel Mikroskop
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http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/alptun2.html#c1
11.5.1. Alpha Zerfall: Pollonium 212Po -> + 208Pb + 8.78 MeV
208Pb
He
Kernkräfte
Coulombabstossung
1012 Tunnel-wahrscheinlichkeit
Coulomb versus Kasten!
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11.5.2. Raster Tunnel Mikroskop siehe: 3.4.
•Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional•Dämpfung!!!•Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation)
Elektronen in Metallspitzequasi frei
Wand: Potentialstufe
Zwischenraum: Potentialbarriere
x
0 a
Spitze
Substrat
Zwischenraum
Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanicshttp://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html
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11.5.2. Raster Tunnel Mikroskop siehe: 3.4.
•Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional•Dämpfung!!!•Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation)
STM-still07_18a.mov
STM-scanning07_18c.mov
Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanicshttp://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html
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11.6. Der Harmonische Oszillator
Klassische Lösung: harmonische SchwingungOszillation zwischen Ekin und Epot
Stationäre Schrödingergleichung:
Potential:
Enn2
E(x
)E0
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11.6. Der Harmonische Oszillator
Klassische Lösung: harmonische SchwingungOszillation zwischen Ekin und Epot
Stationäre Schrödingergleichung:
Potential:
Substituiere:
Lösung für C=1
E=1/2 ~
(x)
(x)|2
Gausskurve:1. Tunnels in den klassich verbotenen Bereich2. Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei 0 (Hier ist klassisch ein Minimum!)
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11.6. Der Harmonische Oszillator
Klassische Lösung: harmonische SchwingungOszillation zwischen Ekin und Epot
Stationäre Schrödingergleichung:
Potential:
Substituiere:
Lösung für C=1
E=1/2 ~
Hermitesche Polynome
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Harmonischer Oszillator:1. Energieniveus äquidistant (~)2. Nullpunkstenergie 1/2 (~)
Kastenpotential:En n2
Bohrsche Atom: En 1/n2
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Plancksches StrahlungsgesetzRayleigh, Jeans Strahlungsgesetzt
Plancks Annahme: harmonischer Oszillator kann nicht kontinuierlich absorbieren, sonder nur E= nh diskret
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Vergleich QM – Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit
=20
=4
=0
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Überlagerung von Zuständen 0,1
Ort
Impuls
05_03c.mov
Merke:Grosse Auslenkung
Kleiner Impuls!
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Kohärenter Zustand: Versuch den klassischen Oszillator nachzubilden
Gauss:läuft NICHT ausseinander(dank Potential)
Wellenpaket im Impuls undOrtsraum
05_10c.mov
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12. Das Wasserstoff Atom12.1. Bewegung im Zentralfeld
Stationäre Schrödingergleichung in 3 Dimensionen
Sphärische PolarkoordinatenKugelkoordinaten:x=r sin cosy= r sin sinZ=r cos
(x,y,z) ! ( R,,)
„Breitengrade“
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Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten
Produktansatz: (r,,)= R(r) T() P()
Hängt nur von r, ab Hängt nur von ab
) Beide Seiten müssen konstant sein C1
Lösung:
Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P()=P( + n)
Teilen durch Ganzzahlig (m)
m 2 Z
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Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten
Hängt nur von r, ab Hängt nur von ab
) Beide Seiten müssen konstant sein C1
Lösung:
Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P()=P( + n)
Teilen durch Ganzzahlig (m)
m Z
C1 = ml2
umsortieren, nach r und
hängt nur von r ab hängt nur von ab
) Beide Seiten müssen konstant sein C2
substituiere =cos! Legendresche Differentialgleichung
Allgemeine Lösung: Zugeordnete Kugelfunktionen Plm
C2 = l(l+1), l 2 NT=Plm (cos())
T() P() = Plm (cos()) eimYl
m(,) Kugelflächenfunktionen
Produktansatz: (r,,)= R(r) T() P()
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Zwischenbetrachtung: Drehimpuls in der Quantenmechanik
Physikalische Größe Operator
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Zwischenbetrachtung: Drehimpuls in der Quantenmechanik
Physikalische Größe Operator
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l = 0,1,2,3 .... Drehimpulsquantenzahl -l<ml<l Magnetische Quantenzahl
lz lx > ~ lz ly > ~ lx lx > ~
Unschärferelation im Drehimpuls:
2 dimensionale Welt?m~
zx,y Komponente unbestimmt
Beispiel l=2 m=-2,-1,0,1,2
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1. Länge des Drehimpulsvektors ist quantisiert!2. kann nicht beliebig im Raum stehen:
Richtung ist quantisiert!
Was ist die z (Quantisierungsachse)?
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Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten
Produktansatz: (r,,)= R(r) T() P()
Hängt nur von r, ab Hängt nur von ab
) Beide Seiten müssen konstant sein C1
Lösung:
Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P()=P( + n)
Teilen durch Ganzzahlig (m)
m Z
C1 = ml2
umsortieren, nach r und
hängt nur von r ab hängt nur von ab
) Beide Seiten müssen konstant sein C2
substituiere =cos! Legendresche Differentialgleichung
Allgemeine Lösung: Zugeordnete Kugelfunktionen Plm
C2 = l(l+1), l 2 NT=Plm (cos())
T() P() = Plm (cos()) eimYl
m(,) Kugelflächenfunktionen
C2 = l (l+1)
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auflösen
Für r! 1 vernachlässige 1/r und 1/r2
Vollständige Lösung (Laguerre Polynome):
negativ
hängen von n&l ab
Beschränkung für ll<0,1,2,... n
Wie Bohrmodel! hängtNICHTvon l ab
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nlm(r,,)= Rnl(r) T()lm Pm() = Rnl(r) Ylm( )
Hauptquantenzahl n = 1,2,...
Drehimpuls l = 0,1,2,3,4... (n-1)
magnetisch(Projektion desDrehimpulses)
-l · m · l
Quantenzahlen: Symbol
s,p,d,f
Grundzustand n=1 l=0 m=0 keine Bohrsche Kreisbahn! KEIN Drehimpuls.
n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1
“Entartet” (gleiche Energie)
n2 Möglichkeiten
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nlm(r,,)= Rnl(r) T()lm Pm() = Rnl(r) Ylm( )
|Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einem Volumenelement am Abstand r zu finden
r|Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einer Kugelschale bei r zufinden
Höchste Dichte am Kern!
Maximum beim Bohrschen Radius
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nlm(r,,)= Rnl(r) T()lm Pm() = Rnl(r) Ylm( )
|Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einem Volumenelement am Abstand r zu finden
r|Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einer Kugelschale bei r zufinden
1 Knoten!
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klassisch verbotener
Bereich
Tunneln
Fragen:Wie kommen die e wieder zurück?Sind sie dort schnell oder langsam?
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Y00 = C1
Y10= C2 cosY11= C3 sin ei
Y20=C4(2cos2 –sin2)Y21=C5(cos –sin ei
Y22=C6 sin2 e2i
nlm(r,,)= Rnl(r) T()lm Pm() = Rnl(r) Ylm( )
Polardarstellung:Abstand von (0,0) ist Funktionswert
Z-Achse(Quantizierungsachse)
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Y00 = C1
Y10= C2 cosY11= C3 sin ei
Y20=C4(2cos2 –sin2)Y21=C5(cos –sin ei
Y22=C6 sin2 e2i
nlm(r,,)= Rnl(r) T()lm Pm() = Rnl(r) Ylm( )
Polardarstellung:Abstand von (0,0) ist Funktionswert
Z-Achse(Quantizierungsachse)
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Verbreitete Darstellung:
Form nur „Stilisiert“
Sind nicht gleichzeitig messbar
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Vergleich Bohrsches Atommodell - Quantenmechanik
verschmiert Planetenbahnen
rn=a0/Z n2
kann bei r=0 maximal sein 0 bei r=0
rn
Drehimpuls
r-Abhängigkeit
Radius
Dichte
BohrQuantenmechanik
L=n~