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00/8/4 物理数学的にみた土質力学 1

((A)A)土質力学の基礎土質力学の基礎2.2. 土質力学の問題設定土質力学の問題設定

2.12.1 土土--水連成挙動の支配方程式水連成挙動の支配方程式

防衛大学校

システム工学群

宮田喜壽[email protected]


講義の内容講義の内容

n 連成問題：６つの支配方程式

n これまでに説明された３つの支配方程式・釣り合い式・適合条件式・構成式

n ここで説明する３つの支配方程式・連続の式・ダルシー則・有効応力と間隙水圧

n Biot，Terzaghiの圧密方程式


飽和土の連続体近似飽和土の連続体近似

n 平均的な密度に着目して連続体に近似する

実際の土土骨格間隙水

固相連続体液相連続体２相混合体


液相の質量フラックス液相の質量フラックス

n 平均流速と実流速

n 質量フラックス

n Jはベクトル

　(Jx,Jy,Jz)

VvJ ñnñ ==

Jx(x-δx/2)

Jx(x+δx/2)

Jz(z-δz/2)

Jz(z+δz/2) Jy(y+δy/2)

Jy(y-δy/2)

断面積・時間

質量

断面積・時間

体積

体積

質量==J

Vv n=


貯留量と質量増加量の表現貯留量と質量増加量の表現

n 時間δ t 間の貯留量(x方向)

n ３方向の貯留量

n 液相の質量増加量

( ) ( ){ }

äxäyäzätx

J

tzy2dx/xJ2dx/xJÄJx

x

xx

∂∂

−=

+−−=

δδδ

( )äxäyäzät

t

n

∂∂ ρ

äxäyäzätz

J

y

J

x

JÄJ zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=

Jx(x-δx/2) Jx(x+δx/2)


液相の質量保存則液相の質量保存則

n 貯留量＝質量増加量

n 質量フラックスの代入

n 連続の式

( )t

ñn

z

J

y

J

x

J zyx

∂∂

=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−

( ) ( )0div =

∂∂

+t

ñnvρ

( ) ( ) ( )0

tñn

ñv,ñv,ñvz

,y

,xt

ñnzyx =

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂

=∂

∂T


特殊なケースに対する連続の式特殊なケースに対する連続の式

n 固相＝非圧縮

n 液相＝非圧縮

n 固相，流体＝非圧縮

( ) ( )0div =

∂∂

+t

ñnvρ

( ) 0div =∂∂

+t

ñnvρ

( ) 0div =∂∂

+t

nvρ

( ) 0div =∂∂

+∂∂

+t

ñn

t

nñvρ

( ) 0div =vρ

const=ρ

constn, =ρ

constn =


固相と液相の質量フラックス固相と液相の質量フラックス

飽和土の密度：

固相の質量フラックス：

液相の質量フラックス：

( ) wwssws ñnñnnññn-1 ñ +=+=

ssssss nññ VvJ ==

wwwùww nññ VvJ ==

密度体積比質量ﾌﾗｯｸｽ平均流速

固相 ρs ns=1－n Js vs

液相 ρw nw=n Jw vw


固相と液相の質量保存則固相と液相の質量保存則

n 各相ごとの質量保存則

n 各相とも非圧縮と仮定

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　より

( )0div =

∂∂

+t

ñn sssJ

( )0div =

∂∂

+t

ñn wwwJ

( ){ } 0divdiv =−+ sws n VVV

nnw =nns −= 1const, =ws ρρ


連続の式連続の式

n 　　　＝固相の体積変化

n 　　　　＝液相の固体に対する相対流速V

( ){ } 0divdiv =−+ sws n VVV

( )

dt

då

zu

y

u

x

u

dtd

u,u,uz

,y

,xdt

ddt

d

vzyx

zyx

Ts

s

−=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

==

divdivU

V

0div =+∂

∂− v

t

åv

sVdiv

sw VV −

0åv vii, =− &


ダルシー則ダルシー則((１次元１次元))

n 土中水は圧力の高い方から低い方に向かって，水頭勾配dh/dxに比例した速度で流れる．

n 全水頭＝圧力水頭+位置水頭

( ) ( ) ( )dx

dhk

dx

2dx/xh2dx/xhkxvx −=

−−+−=

x－dx/2 x＋dx/2

h(x－dx/2) h(x＋dx/2)

dx

Zã

ph

w

w +=


ダルシー則ダルシー則((３次元３次元))

n 平均相対流速は圧力勾配に比例

n 水圧は等方圧

hh

dzd

dyd

dxd

k00

0k0

00k

d

dhk,

d

dhk,

dx

dhk

v

v

v

z

y

x

zyx

z

y

x

grad

zy

T

Ê

v

−=

−=

−−−=

=

jiji h,kv −=


浸透流の基礎方程式浸透流の基礎方程式

n ダルシー則→連続の式

n 土の体積変化＝0，透水性＝等方

　　　　　　　　　　　ラプラス方程式

h grad Kv −= ( ) 0 grad div =+∂

∂h

t

åv K

0 z

hk

y

hk

x

hk

t

å2

2

z2

2

y2

2

xv =

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂

0 z

h

y

h

x

h2

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

0div =+∂

∂− v

t

åv


有効応力と間隙水圧有効応力と間隙水圧

n Terzaghiの有効応力

・１次元：

・３次元：

wpóó −′=

−

′′′′′′′′′

=

w

w

w

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

p00

0p0

00p

óóó

óóó

óóó

óóó

óóó

óóó

ijwijij äpóó −′=

σ

σ

σ'

σ'

pw

pw

= +


非排水条件での間隙水圧非排水条件での間隙水圧

n 飽和土の一軸圧縮変形

・釣り合い式

・構成則

・体積拘束条件

qpó

0pó

0pó

wzzzz

wyyyy

wxxxx

−=−′=

=−′=

=−′=

σ

σσ

( )( )zzyyxx

zzyyxx óóó

εεεµλ +++

=′+′+′

23

0=++ zzyyxx εεε 3qp

3qó

3qó

3qó

w

zz

yy

xx

=

−=′

=′=′

z -q

y

x


支配方程式のまとめ：１次元支配方程式のまとめ：１次元

nn 釣り合い式釣り合い式

nn 有効応力有効応力

nn 構成式構成式

0fz

ó=+

∂∂

póó −′=

Cåó =′

ε

σ' C

σ(z+dz)

dz σ(z)

z

uå

∂∂

=

0=∂

∂−

∂∂

t

å

z

v v

z

hkv

∂∂

−=

nn 適合条件適合条件

nn 連続の式連続の式

nn ﾀﾞﾙｼｰ則ﾀﾞﾙｼｰ則

u(z+dz)

u(z) dz

v(z+dz)

dz v(z)

h(z+dz)

h(z) dz

σ' pw


支配方程式のまとめ：３次元支配方程式のまとめ：３次元

nn 釣り合い式釣り合い式

nn 有効応力有効応力

nn 構成式構成式

nn 適合条件式適合条件式

nn 連続の式連続の式

nn ダルシー則ダルシー則

0ñfó ijji, =+

( )póó −′=

klijklij åCó =′

=+∂∂

0fz

ó


( )Cåó =′

∂∂

=z

uå( )ij,ji,ij uu

2

1å +=

0åv vii, =− &

=∂

∂−

∂∂

0t

å

z

v v

∂∂

−=z

hkvjiji h,kv −=


境界条件境界条件

n 問題を実際に解く手順

1) ６つの支配方程式→

変位や応力を未知数とする微分方程式

2) 微分方程式を所定の境界条件で解く

n 連成問題の境界条件

土　土骨格（固相）　力学的境界条件

　間隙水（液相）　水理学的境界条件


力学的・水理学的境界条件力学的・水理学的境界条件

n 力学的境界条件

変位境界

応力境界

n 水理学的境界条件

水頭境界

流量境界

応力境界

変位境界

水頭境界

流量境界


BiotBiotの圧密方程式の圧密方程式

n釣り合い式+有効応力式

n連続の式+ダルシー則

0ñfó ijji, =+


0pó iw,jji, =−′

jiji h,kv −=

0åv vii, =− &( ) 0åp

ã

kv

i,j,w

w

ij =−

− &

0x

p

x

ó

x

ó

x

ó wxzxyxx =∂

∂−

∂′∂

+∂

′∂+

∂′∂

( ) 0åååtz

p

y

p

x

p

ã

kzzyyxx2

w2

2w

2

2w

2

w

=++∂∂

−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−


例題：例題：TerzaghiTerzaghiの１次元圧密方程式の１次元圧密方程式

n 増分型の６つの方程式→１つの方程式

0z

ó=

∂∂ &

wpóó &&& −′= åCó && =′

( )tfó =& ( )tfpåC w =− &&

z

uå

∂∂

=&&

z

v

∂∂

=ε&z

hkv

∂∂

−=

∂∂

∂∂

−=z

p

ã

k

zå w

w

&

( )tfpz

p

ã

k

zC w

w

w

=−

∂∂

∂∂

− &

t

p

z

p

ã

k

zC ww

w ∂∂

=

∂∂

∂∂

wvwv

wv

w

ãm

k

ã

kCc,

z

p

zc

t

p==

∂

∂∂∂

=∂

∂

( ) 0=tf

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