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Apéndices

A. Algoritmo BCJR

En este apéndice se lleva a cabo el desarrollo del algoritmo BCJR tal ycomo se plantea en la mayoría de las referencias relacionadas [4,6]. Para faci-litar la explicación del mismo, consideraremos un canal con 2 taps, así comouna modulación binaria, lo que nos permitirá trabajar con p(bi = ±1|x,h)

en vez de p(ui = u|x,h). Partiendo de estas consideraciones, en la Figura 12podemos observar el Trellis que representa las transiciones de estados en estecanal

xi+1

... ...

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

si−1 si si+1 si+2Statesxi−1 xi

-1 1

xi xi+1 xi+2

Figura 12: Trellis para un canal de 2 taps.

El algoritmo BCJR calcula p(bi = ±1|x,h) para cada bit transmitido.En cada etapa del algoritmo, que corresponde con cada uno de los instan-tes i, la probabilidad a posteriori (APP) es obtenida como la suma de lasprobabilidades de las diferentes transiciones que pueden ser causadas por elbit transmitido b igual a +1 ó −1. Por ejemplo, para el caso de b = +1,y considerando el canal de 2 taps propuesto, la APP en cada instante i escalculada como:

p(bi = 1|x,h) = p(si−1 = −1, si = 1|x,h) + p(si−1 = 1, si = 1|x,h). (41)

Para el caso general de transición de una cierto estado p a otro q, cadauna de las probabilidades de transición en (41) es obtenida como:

p(si−1 = p, si = q|x,h) = p(si−1 = p, si = q,x|h)1

p(x|h), (42)

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y considerando que x = xi−11 ∪ xi ∪ xN

i+1:

p(si−1 = p, si = q|x,h) = p(si−1 = p, si = q,xi−11 , xi,x

Ni+1|h)

� �� �I

1

p(x|h). (43)

Desarrollando el término I en (43):

p(si−1 = p, si = q,xi−11 , xi,x

Ni+1|h) =

= p(xNi+1|si−1 = p, si = q,xi−1

1 , xi,h)� �� �

II

p(si−1 = p, si = q,xi−11 , xi|h)� �� �

III

,

(44)

Podemos simplificar el término II como:

p(xNi+1|si−1 = p, si = q,xi−1

1 , xi,h) = p(xNi+1|si = q,h), (45)

gracias a que algunas variables pueden ser eliminadas de la probabilidadcondicional ya que, gracias a la propiedad de Markov, toda la informaciónsobre las muestras recibidas y la evolución en el Trellis está contenida en elúltimo estado si = q. El término III se puede expresar como:

p(si−1 = p, si = q,xi−11 , xi|h) =

= p(si = q, xi|si−1 = p,xi−11 ,h)p(si−1 = p,xi−1

1 |h)

= p(si = q, xi|si−1 = p,h)p(si−1 = p,xi−11 |h), (46)

donde considerando Markovicidad se elimina el término xi−11 al no aportar

esta variable información dado el estado si−1 = p.

Cada uno de los términos en (45) y (46) es obtenido durante cada etapadel algoritmo BCJR, y estos son denominados generalmente como:

αi−1(p) = p(si−1 = p,xi−11 |h), (47)

βi(q) = p(xNi+1|si = q,h), (48)

γi(p, q) = p(si = q, xi|si−1 = p,h). (49)

Por tanto, (42) puede ser expresado como:

p(si−1 = p, si = q|x,h) = αi−1(p)γi(p, q)βi(q)1

p(x,h)(50)

Primero planteamos el cálculo del término γi(p, q). Éste puede ser expre-sado como:

γi(p, q) = p(si = q, xi|si−1 = p,h),

= p(si = q|si−1 = p,h)� �� �IV

p(xi|si = q, si−1 = p,h)� �� �V

, (51)

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El término IV es la probabilidad de evolucionar del estado p al q. Estaprobabilidad sólo depende del bit transmitido en el instante i que producedicha transición en el Trellis, y por tanto es independiente del valor del canalh. De ahí que se pueda expresar como::

p(si = q|si−1 = p,h) = p(si = q|si−1 = p) = p(bi = b(p,q)), (52)

donde bi = b(p,q) son todos los posibles símbolos que producen la transiciónde p a q. Asumiendo que los símbolos de la fuente son equiprobables y queb = ±1, (52) es igual a 1/2.

En la probabilidad condicional de xi dado si−1 = p, si = q y h, términoV, la transición de p a q nos da el bit transmitido en el instante i, y a su vezel estado si−1 contiene los anteriores L − 1 bits transmitidos que nos llevanhasta ese estado. De ahí que el término V pueda ser expresado como:

p(xi|si = q, si−1 = p,h) = p(xi|bi = b(p,q), bi−1, . . . , bi−L+1,h). (53)

Asumiendo un canal con ruido AWGN, (53) es Gaussiana con media yvarianza:

p(xi|bi = b(p,q), bi−1, . . . , bi−L+1,h) ∼ N (b�i h, σ2w). (54)

donde bi = [bi, bi−1, . . . , bi−L+1]�. Por tanto, γi(p, q) es obtenida finalmen-te como:

γi(p, q) = p(xi|bi,h)p(bi = b(p,q)). (55)

Para obtener los términos α y β en cada una de las etapas, i.e. en cada unode los instantes i, se hace uso de las recursiones hacia forward y backward.Mediante la primera de éstas es posible obtener el término αi(q):

αi(q) = p(si = q,xi1|h),

= p(si = q,xi−11 , xi|h),

=Q−1�

p=0

p(xi, si = q, si−1 = p,xi−11 |h),

=Q−1�

p=0

p(xi, si = q|si−1 = p,xi−11 ,h)p(si−1 = p,xi−1

1 |h), (56)

donde Q son los estados p en el instante i − 1 que, para cualquier valorde bi, terminan en el instante i en el estado q. En el primer término de (56)

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podemos eliminar la dependencia con xi−11 gracias a la propiedad de Markov,

ya que si−1 = p nos da toda la información de los instantes de tiempo antesde i. Por tanto, podemos finalmente expresar:

αi(q) =Q−1�

p=0

p(xi, si = q|si−1 = p,h)� �� �γi (p,q)

p(si−1 = p,xi−11 ,h),

=Q−1�

p=0

γi(p, q)αi−1(p). (57)

Para inicializar las recursiones en el Trellis, se asume que empezamosdesde un estado conocido o el todo cero. Entonces:

α0(p) = 1 p = {0, . . . , 2L−1}. (58)

De la misma manera, mediante la recursión backward, es posible obteneren cada etapa el término βi−1(p):

βi−1(p) = p(xNi |si−1 = p,h),

= p(xNi+1, xi|si−1 = p,h),

=Q−1�

q=0

p(xNi+1, xi, si = q|si−1 = p,h),

=Q−1�

q=0

p(xi, si = q|si−1 = p,h)p(xNi+1|xi, si = q, si−1 = p,h), (59)

donde Q son los diferentes estados q en el instante i en los que acabanlas transiciones desde el estado p en el instante i− 1, para todos los valoresde bi. De nuevo, por Markovicidad, es posible simplificar la expresión (59) yobtener:

βi−1(p) =Q−1�

q=0

p(xi, si = q|si−1 = p,h)� �� �γi (p,q)

p(xNi+1|si = q,h),

=Q−1�

q=0

γi(p, q)βi(q). (60)

La recursión hacia detrás parte del último estado asumiendo igualmenteque éste es conocido:

βN (q) = 1 q = {0, . . . , 2L−1}. (61)

Además, en cada etapa del algoritmo, la suma sobre todos los estados deαi−1(p) and βi(q) es normalizada a 1.

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B. Cálculo de la media y matriz de covarianza

En este apéndice se va llevar a cabo detalladamente el desarrollo para la

obtención del resultado de marginalizar h del producto de la verosimilitud y

el posterior del canal:

p(x|u,D) =

�p(x|u,h)p(h|D)dh. (62)

Considerando un vector de NS símbolos y un canal de L taps, se ha visto

previamente que ambos términos están distribuidos como:

p(x|u,h) ∼ N (UHh, σ2

wI) (63)

p(h|D) ∼ N (hh|D,Ch|D) (64)

Con el objetivo de simplificar los desarrollos, se va a considerar el caso del

canal sin memoria y una modulación BPSK. En esta caso, la marginalización

a desarrollar es:

p(xi|bi,D) =

�p(xi|bi, h)p(h|D)dh, (65)

la verosimilitud y el posterior se distribuyen como:

p(xi|bi, h) ∼ N (bih, σ2

w) (66)

p(h|D) ∼ N (hh|D, σh|D) (67)

Gracias al paralelismo entre las distribuciones en (63)-(64) y (66)-(67),

será posible generalizar las expresiones para obtener las correspondientes al

caso de un canal con L taps.

Ahora bien, teniendo en cuenta que ambos términos se distribuyen como

Gaussianas, el resultado de (65) también será Gaussiano. Para obtener la

media y la varianza de la distribución resultante, hemos de desarrollar el

producto de ambas expresiones hasta aislar dichos términos. Operando sobre

el producto de términos:

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p(bi|xi,D) ∝�

exp

�− 1

2σ2n

(xi − bih)2

�· exp

�− 1

2σ2h|D

�h− hh|D

�2

�dh

=

�exp

�−1

2

�σ−2

n (xi)2 + σ−2

n (bi)2h2 − 2xibihσ−2

n +

+ σ−2h|Dh2 + σ−2

h|Dh2h|D − 2hhh|Dσ−2

h|D

��dh

= exp

�−1

2

�σ−2

n (xi)2 + σ−2

h|Dh2h|D −

�xibiσ−2

n + σ−2h|Dhh|D

�2

σ−2n (bi)2 + σ2

h|D

��·

·�

exp

�− 1

2

�σ−2

n (bi)2 + σ−2

h|D

��h2 +

�xibiσ−2

n + σ−2h|Dhh|D

�2

�σ−2

n (bi)2 + σ−2h|D

�2 −

− 2h

�xibiσ−2

n + σ−2h|Dhh|D

�

σ−2n (bi)2 + σ−2

h|D

��dh (68)

Como vemos en (68), todos los términos dependientes de h se agrupansegún una distribución Gaussiana, la cual, al quedar integrada sobre h, resultaen un valor constante. De la misma manera, todos los términos fuera de laintegral pueden a su vez expresarse en función de x como una distribuciónGaussiana, lo que nos llevará finalmente a obtener el término de media yvarianza buscados:

p(bi|xi,D)∝ exp

−1

2

σ−2n (xi)

2 + σ−2h|Dh

2h|D −

�xibiσ−2

n + σ−2h|Dhh|D

�2

σ−2n (bi)2 + σ−2

h|D

(69)

= exp�−1

2

�σ−2

n − σ−4n (bi)2

σ−2n (bi)2 + σ−2

h|D

��(xi)

2 + σ−2h|Dh

2h|D−

− 2xi

biσ−2n σ−2

h|Dhh|D

σ−2n (bi)2 + σ−2

h|D+ . . .

��, (70)

donde no se han considerado el resto de productos cruzados resultantes dela fracción en (69) al no ser necesarios para obtener las expresiones de media yvarianza buscadas. Analizando por tanto la expresión (70), es posible obtenerlos términos de la media y varianza resultantes:

xb|x = bihh|D (71)

σ2b|x = (bi)

2σ2h|D + σ2

w (72)

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El cálculo de estas expresiones para el caso general implica un excelsotrabajo de manejo de vectores y matrices. Sin embargo, haciendo un para-lelismo entre las distribuciones para ambos escenarios, (63)-(64) y (66)-(67),vemos como en el caso general bi quedaría sustituido por UH, σ2

h|D por Ch|D,hh|D por hh|D y finalmente σ2

w por σ2

wI. Por tanto, esto nos lleva finalmentea las expresiones:

hx|u,D = UHhh|D. (73)

Cx|u,D = UHCh|DU + σ2

wI. (74)