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Aplicaci´ on de t´ ecnicas de control predictivo al seguimiento de referencias en una planta de cuatro tanques. Mar´ ıa Cristina Mart´ ın Macareno 7-2-2011

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Aplicacion de tecnicas de control predictivo al seguimiento de

referencias en una planta de cuatro tanques.

Marıa Cristina Martın Macareno

7-2-2011

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INDICE

Indice

1. Introduccion. 2

1.1. Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Estructura del documento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Sistema a controlar: planta de los cuatro tanques. 3

2.1. Descripcion del sistema a controlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Modelo dinamico del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. MPC en espacio de estados 10

3.1. Problema de regulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.1. Prediccion a lo largo del horizonte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.2. Funcion de coste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.3. Restricciones en los estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.4. Restricciones en las entradas en el horizonte de prediccion. . . . . . . . . 14

3.1.5. Restricciones genericas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Problema de seguimiento de referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1. Reformulacion del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.2. Consideraciones practicas a tener en cuenta para trabajar con nuestro

sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. MPC en espacio de estados con efecto integral. 21

4.1. MPC con efecto integral en el modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.1. Prediccion a lo largo del horizonte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.2. Funcion de coste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.3. Restricciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.4. Problemas de este planteamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2. MPC con efecto integral fuera del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5. Simulaciones. 26

5.1. MPC en espacio de estados sin efecto integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.1.1. Influencia de un tiempo de muestreo y un horizonte de prediccion adecuados. 26

5.1.2. Influencia de los cambios en las matrices de coste. . . . . . . . . . . . . . 29

5.2. Efecto integral VS no efecto integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6. Conclusiones y posibles ampliaciones. 39

6.1. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2. Lıneas de trabajo futuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

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INDICE DE FIGURAS

Indice de figuras

1. Planta de los cuatro tanques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Cambio de referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Esquema de planta controlada en Simulink. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5. Evolucion de alturas con Ts = 15 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10. . . . . . . . . 27

6. Evolucion de los caudales con Ts = 15 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10. . . . . . . 27

7. Evolucion de alturas con Ts = 15 N = 60 Q = 1 R = 0,01 P = 10. . . . . . . . . 28

8. Evolucion de los caudales con Ts = 15 N = 60 Q = 1 R = 0,01 P = 10. . . . . . . 28

9. Evolucion de alturas con Ts = 15 N = 30 Q = 1 R = 0,01 P = 10. . . . . . . . . 29

10. Evolucion de los caudales con Ts = 15 N = 30 Q = 1 R = 0,01 P = 10. . . . . . . 29

11. Evolucion de alturas con Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 V = 44,43. . . 30

12. Evolucion de los caudales con Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 V = 44,43. 30

13. Evolucion de alturas con Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,1 P = 10 V = 55,27. . . . 31

14. Evolucion de los caudales con Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,1 P = 10 V = 55,27. 31

15. Evolucion de alturas Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 1 P = 10 V = 174,48. . . . . . . 32

16. Evolucion de los caudales Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 1 P = 10 V = 174,48. . . . 32

17. Evolucion de alturas Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 10 P = 10. . . . . . . . . . . . . 33

18. Evolucion de los caudales Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 10 P = 10. . . . . . . . . . 33

19. Evolucion de alturas Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,01. . . . . . 34

20. Evolucion de los caudales Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,01. . . 34

21. Evolucion la integral del error Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,01. 35

22. Evolucion de alturas Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,05. . . . . . 35

23. Evolucion de los caudales Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,05. . . 36

24. Evolucion la integral del error Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,05. 36

25. Evolucion de alturas Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,1. . . . . . . 37

26. Evolucion de los caudales Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,1. . . . 37

27. Evolucion la integral del error Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,1. 38

Indice de cuadros

1. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Valores de los parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Restricciones en las senales de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Punto de operacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5. Restricciones en variables de pequena senal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2

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INDICE DE CUADROS

6. Constantes de tiempo del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

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1. Introduccion.

1. Introduccion.

1.1. Objetivos.

Mediante este trabajo aplicaremos a un sistema real los conocimientos adquiridos a lo largo

del Master en Automatica, Robotica y Telematica. Como veremos a continuacion, gracias a este

trabajo nos plantearemos una serie de aspectos basicos, como son:

trabajar con un sistema multivariable no lineal, linealizandolo respecto a un punto de

operacion.

discretizar un sistema no lineal y ver la importancia de la eleccion de un tiempo de muestreo

adecuado.

programar un MPC (Model Predictive Control) en espacio de estados para el seguimiento

de referencias.

anadir un termino integral al MPC que anule el error en regimen permanente, planteandolo

de una manera distinta a la estudiada en la asignatura.

la importancia de una adecuada sintonizacion de un MPC, mediante el ajuste de unas

ciertas matrices de costes y la correcta eleccion del horizonte de prediccion.

trabajar con sistemas con ceros de fase no mınima.

1.2. Estructura del documento.

El documento tendra la estructura que se detalla a continuacion. En primer lugar presen-

taremos el sistema que vamos a controlar, detallando como se obtiene su modelo dinamico,

remarcando las caracterısticas que lo hacen interesante para ser controlado. Posteriormente,

describiremos como expresar el problema de control en el espacio de estados, para regulacion

y seguimiento de referencias, y como anadir un termino integral que anule el error en regimen

permanente. En tercer lugar, mostraremos las simulaciones realizadas, que ilustran como afecta

al control el cambio de sus parametros y el hecho de que posea o no efecto integral. Por ultimo,

presentaremos las conclusiones extraıdas, presentando una serie de ampliaciones futuras que

serıan interesantes llevar a cabo.

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2. Sistema a controlar: planta de los cuatro tanques.

2. Sistema a controlar: planta de los cuatro tanques.

2.1. Descripcion del sistema a controlar.

La planta de los cuatro tanques es un banco de ensayo para la implementacion de estrategias

de control planteado en el ano 2000 por [1]. En este, se describe una planta constituida por

cuatro depositos de agua interconectados como se muestra en la Figura 1:

Figura 1: Planta de los cuatro tanques.

Nuestro objetivo sera controlar los niveles de los depositos inferiores, el 1 y el 2, mediante la

manipulacion de los caudales de las bombas. Como podemos ver, las bombas extraen agua del

deposito inferior, repartiendola entre cuatro tanques interconectados. De esta forma, la bomba

A vierte el agua en los depositos 1 y 4, mientras la bomba B vierte el agua en los depositos 2 y

3. Los depositos se descargan por efecto de la gravedad, y como supondremos que la salida de

los depositos es encanonada, obviaremos el efecto de la friccion en la salida.

Esto supone que el deposito 3 se descarga sobre el deposito 1 y el deposito 4 se descarga

sobre el deposito 2, mientras los depositos 1 y 2 se descargan sobre el deposito inferior.

Una diferencia significativa de nuestra planta con la planteada en [1], es que nuestras senales

de control son los caudales de cada bomba, mientras en dicho artıculo las entradas al sistema

son los voltajes aplicados a estas.

Consideraremos que trabajamos con valvulas de tres vıas ideales, con lo que los caudales de

cada deposito son:

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2.2 Modelo dinamico del sistema.

Q1 = γaQa (1)

Q2 = γbQb (2)

Q3 = (1− γb)Qb (3)

Q4 = (1− γa)Qa (4)

Observando estas ecuaciones, podemos comprobar que una de las dificultades de controlar

este sistema es el acoplamiento existente, ya que cuando modificamos uno de los caudales,

afectamos simultaneamente a las dos alturas a controlar. Por ejemplo, si hemos conseguido el

nivel adecuado en el tanque 2, y posteriormente solo queremos modificar el nivel del tanque 1,

no bastara con aplicar un caudal Qa, ya que parte de este ira al tanque 4, perturbando al tanque

2. La ley de control que apliquemos debera tener en cuenta este acoplamiento.

Este sistema tendra una serie de cualidades que lo hacen interesante a la hora de ensayar

estrategias de control:

es un sistema facil de construir, ya que se basa en la superposicion de dos procesos de dos

tanques de agua, muy comunes en cualquier laboratorio de control, con lo que es ideal para

probar experimentalmente estrategias de control. En concreto, el laboratorio de nuestro

departamento dispone de uno.

todas las variables de estado son accesibles, ya que las alturas de los lıquidos pueden ser

medidas.

las variables a controlar estan fuertemente acopladas.

como veremos a continuacion, dependiendo de los valores de los parametros de las valvulas,

γa y γb, el sistema multivariable poseera un cero de transmision de fase mınima o no

mınima.

2.2. Modelo dinamico del sistema.

El modelo dinamico de este sistema se obtiene aplicando la ecuacion de balance de masas y

la ecuacion de Bernoulli a cada uno de los tanques. Como resultado obtendremos las siguientes

ecuaciones dinamicas:

dh1dt

= − a1A1

√2gh1 +

a3A1

√2gh3 +

γ1A1qa (5)

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2.2 Modelo dinamico del sistema.

dh2dt

= − a2A2

√2gh2 +

a4A2

√2gh4 +

γ2A2qb (6)

dh3dt

= − a3A3

√2gh3 +

1− γbA3

qb (7)

dh4dt

= − a4A4

√2gh4 +

1− γaA4

qa (8)

Donde:

Ai son las areas de los depositos.

ai son las areas de descarga de los depositos.

hi son las alturas de los depositos.

g es la aceleracion de la gravedad.

qa y qb son los caudales de las bombas A y B.

γa y γa son parametros adimensionales que caracterizan a cada valvula, fijando la propor-

cion de agua que va por cada rama.

Como podemos comprobar, se trata de un sistema no lineal, en el que los estados son las

alturas de cada deposito, y las entradas los caudales aplicados a cada valvula. Como disponemos

de dos entradas manipulables, solo controlaremos las alturas de los tanques inferiores.

Como es bien conocido, los puntos de equilibrio de un sistema son aquellos en los que el

estado permanece constante, es decir:

dhidt

= 0, i = 1, ..., 4 (9)

Como es bien conocido, el modelo lineal incremental respecto a un punto de equilibrio tiene

la siguiente forma:

dx

dt= Ax +Bu (10)

y = Cx +Du (11)

donde:

xi = hi − h0i , i = 1, 2, 3, 4 (12)

ui = qi − q0i , i = 1, 2 (13)

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2.2 Modelo dinamico del sistema.

Para obtener la matriz A no tendremos mas que realizar un desarrollo en serie de Taylor

de las ecuaciones dinamicas del sistema, mientras la matriz B se determina de forma directa.

Las matrices C y D las obtendremos de que, como ya hemos mencionado, consideraremos como

variables controladas las alturas de los tanques 1 y 2, que son los dos primeras variables del

vector de estados.

dx

dt=

− 1T1

0 A3A1T3

0

0 − 1T2− A4A2T4

0

0 0 − 1T3

0

0 0 0 − 1T4

x+

γ1A1

0

0 γ2A2

0 1−γ2A3

1−γ1A4

0

u (14)

y =

[1 0 0 0

0 1 0 0

]x (15)

Donde los Ti son parametros positivos que dependen del punto de operacion:

Ti =Aiai

√2hig≥ 0, i = 1, ..., 4. (16)

Viendo la estructura de la matriz se puede deducir que los autovalores del sistema son −1Ti

,

con lo que el sistema es estable en bucle abierto.

Si pasamos al dominio de Laplace, podemos ver que el sistema linealizado posee la siguiente

matriz de funciones de transferencia:

[X1

X2

]=

γ1c1(1+sT1)

(1−γ2)c1(1+sT1)(1+sT3)

(1−γ1)c2(1+sT2)(1+sT4)

γ2c2(1+sT2)

(17)

Si calculamos su determinante, veremos que el sistema posee dos ceros para cada punto de

operacion. No detallaremos este desarrollo, solo presentaremos las conclusiones mas significati-

vas. Mientras uno de los ceros siempre tiene parte real negativa, la naturaleza del otro, si bien

es independiente del punto de operacion, viene determinado por los valores de los parametros

adimensionales que caracterizan las valvulas.

Si 0 ≤ γa + γb < 1, el sistema posee un cero de fase no mınima, es decir, en el semiplano

derecho.

Si 1 < γa + γb ≤ 2, el sistema posee un cero de fase mınima, es decir, en el semiplano

izquierdo.

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2.2 Modelo dinamico del sistema.

Como bien es sabido, los ceros de transmision en el semiplano derecho, si bien no inestabilizan

el sistema, plantean problemas en la respuesta transitoria. Por ello, para que el problema que

planeamos resulte mas interesante desde punto de vista del control, optaremos por usar unos

valores de γa y γb que garanticen un cero de una naturaleza tan conflictiva.

A continuacion, en la tabla 1, podemos ver las restricciones fısicas que existentes en nuestro

problema, respecto a los valores maximos y mınimos de las variables de control y controladas.

Estas vendran dadas por limitaciones en el espacio fısico de la planta, de los intrumentos de

medida, en la apertura de las valvulas, etc. Para los valores que cumplan estas restricciones

sera valido el modelo no lineal que hemos planteado.

Valor Unidad Descripcion

H1max 1,36 m Altura maxima del deposito 1

H2max 1,36 m Altura maxima del deposito 2

H3max 1,30 m Altura maxima del deposito 3

H4max 1,30 m Altura maxima del deposito 4

Hmin 0,30 m Altura mınima de los depositos

Q1max 2,8 m3/h Caudal maximo al deposito 1

Q2max 2,45 m3/h Caudal maximo al deposito 2

Q3max 2,3 m3/h Caudal maximo al deposito 3

Q4max 2,4 m3/h Caudal maximo al deposito 4

Qmin 0 m3/h Caudal mınimo en todos los casos

Cuadro 1: Restricciones

Si bien hemos detallado en la tabla 1 los valores maximos de los caudales que pueden ir

a cada deposito, lo que realmente nos interesara a la hora de imponer restricciones a nuestro

controlador seran los caudales maximos que puede proporciona cada una de las bombas. Para

obtenerlas no hay mas que analizar de que valvula proviene el caudal que va por cada rama, y

ver cual es la condicion mas restrictiva.

qamax = mın(q1maxγa

,q3max1− γa

) (18)

qbmax = mın(q2maxγb

,q4max1− γb

) (19)

La tabla 2 presenta los valores de los parametros que caracterizan el sistema. Es importante

insistir de nuevo en el hecho de que escogeremos unos valores de los parametros de las valvulas

que hacen que el sistema posea ceros de fase no mınima, y que estos son adimensionales:

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2.2 Modelo dinamico del sistema.

Valor Unidad Descripcion

a1 1,341e− 4 m2 Constante de descarga del deposito 1

a2 1,533e− 4 m2 Constante de descarga del deposito 2

a3 9,061e− 5 m2 Constante de descarga del deposito 3

a4 9,061e− 5 m2 Constante de descarga del deposito 4

A 0,06 m Seccion de todos los depositos

γa 0,3 Parametro de la valvula de 3 vıas

γb 0,45 Parametro de la valvula de 3 vıas

Cuadro 2: Valores de los parametros

Sustituyendo los parametros de la tabla 2 en las ecuaciones 18 y 19, obtenemos:

Valor Unidad Descripcion

Qamax 3,2857 m3/h Caudal maximo de la bomba A

Qbmax 4 m3/h Caudal maximo de la bomba B

Qamin 0 m3/h Caudal mınimo al deposito A

Qbmin 0 m3/h Caudal mınimo al deposito B

Cuadro 3: Restricciones en las senales de control

Trabajaremos en un punto de operacion situado en una zona intermedia de las restricciones,

hop1 = 0,65, hop2 = 0,65.

Los valores hop3 , hop4 , qopa y qopb vendran determinados por la resolucion del sistema de ecua-

ciones dado por la condicion que debe cumplir todo punto de equilibrio, dada por la expresion

9. Mostraremos sus valores en la tabla 4:

Valor Unidad Descripcion

hop1 0,65 m Altura de equilibrio del deposito 1

hop2 0,65 m Altura de equilibrio del deposito 2

hop3 0,68 m Altura de equilibrio del deposito 3

hop4 0,636 m Altura de equilibrio del deposito 4

qopa 1,6422 m3/h Caudal de equilibrio de la valvula A

qopb 2,0508 m3/h Caudal de equilibrio de la valvula B

Cuadro 4: Punto de operacion

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2.2 Modelo dinamico del sistema.

Como trabajaremos sobre un modelo lineal respecto a este punto de operacion, es decir,

un modelo de pequena senal, en realidad habra reescribir las restricciones respecto al punto de

operacion:

−0,45 < x1 < 0,71

−0,45 < x2 < 0,71

−0,4859 < x3 < 0,6141

−0,4336 < x4 < 0,664

−1,6422 < ua < 1,7864

−2,0508 < ub < 1,7825

Cuadro 5: Restricciones en variables de pequena senal

Estas restricciones quedan en forma matricial de la siguiente forma:[I4

−I4

]h ≤

[Hmax −Hop

−(Hmin −Hop)

](20)

[I2

−I2

]q ≤

[Qmax −Qop−(Qmin −Qop)

](21)

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3. MPC en espacio de estados

3. MPC en espacio de estados

3.1. Problema de regulacion

Sea un sistema descrito en espacio de estados como:

x+ = Ax+Bu (22)

x ∈ X → Gx ≤ g (23)

u ∈ U → LB ≤ u ≤ UB (24)

Se pretende minimizar la siguiente funcion de coste:

V =N−1∑k=0

(xTkQxk + uTkRuk) + xTNPNxN (25)

Las matrices Q, R y P son las matrices de coste, y se encargaran de penalizar en mayor o

menor medida los estados y las entradas aplicadas, respectivamente.

Ası, en cada instante de control, nuestro problema consistira en encontrar una secuencia de

futuras entradas u = [u0, u1, ..., uk−1] que minimice la funcion de coste V,

s.a.

xk+1 = Axk +Buk (26)

x0 = x (27)

xk ∈ X → Gxk ≤ g (28)

uk ∈ U → LB ≤ uk ≤ UB (29)

Es importante recordar que, si bien calcularemos la secuencia de control a lo largo de todo

el horizonte de control, solo nos quedaremos con su primer elemento, el elemento u0, que sera el

que apliquemos a la planta.

Para resolver este problema, lo reescribiremos en forma cuadratica (QP), con lo que podremos

resolverlo en Matlab sin mas que aplicar las funciones quadprog o cvx. Esta formulacion es:

mınu

1

2UTHU + fTU,Ru ≤ r (30)

12

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3.1 Problema de regulacion

3.1.1. Prediccion a lo largo del horizonte.

Lo primero que debemos hacer es desarrollar las ecuaciones dinamicas del sistema en el

horizonte de prediccion N :

k = 0→ x0 = x

k = 1→ x1 = Ax+Bu0

k = 2→ x2 = Ax1 +Bu1 = A(Ax+Bu0) +Bu1 = A2x+ABu0 +Bu1

k = 3→ x3 = Ax2 +Bu2 = A(A2x+ABu0 +Bu1) +Bu2 = A3x+A2Bu0 +ABu1 +Bu2

.

.

.

k = N → xN = AxN +∑N−1

k=0 AN−1−kBuk

(31)

Estas expresiones podemos escribirlas en forma matricial:

x0

x1

x2

.

.

.

xN

=

I

A

A2

.

.

.

AN

x+

0 0 . . .

B 0 . . .

AB B . . .

.

.

.

AN−1B AN−2B . . B

u0

u1

u2

.

.

.

uN−1

(32)

Es decir, hemos expresado el estado del sistema a lo largo del horizonte de prediccion en

funcion del estado inicial y de la secuancia de control futura, nuestra incognita:

X = Gxx+GuU (33)

Es importante remarcar que el estado y la entrada no tiene por que ser monodimensionales.

Para un problema generico con nx estados y nu entradas, los estados y entradas en el instante

k-esimo, xk y uk, tienen dimension [nx × 1] y [nu × 1], respectivamente.

13

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3.1 Problema de regulacion

x1(0)

x2(0)

.

xnx(0)

x1(1)

x2(1)

.

xnx(1)

.

.

x1(N)

x2(N)

.

xnx(N)

︸ ︷︷ ︸

X

=

I

A

A2

.

.

.

AN

︸ ︷︷ ︸Gx

x+

0 0 . . .

B 0 . . .

AB B . . .

.

.

.

AN−1B AN−2B . . B

︸ ︷︷ ︸

Gu

u1(0)

u2(0)

.

unu(0)

u1(0)

.

.

u1(N − 1)

u2(N − 1)

.

.

xnu(N − 1)

︸ ︷︷ ︸

U

3.1.2. Funcion de coste.

Si desarrollamos la funcion de coste:

∑N−1k=0 (xTkQxk + uTkRuk) + xTNPNxN =

xT0Qx0 + uT0Ru0 + xT1Qx1 + uT1Ru1 + xT2Qx2 + uT2Ru2+

...+

xTN−1QxN−1 + uTN−1RuN−1 + xTNPxN

(34)

tambien podemos expresarla de forma matricial:

V = XT

Q 0 0 ... 0

0 Q 0 ... 0

0 0 Q ... 0

...

0 0 0 ... P

X + UT

R 0 0 ... 0

0 R 0 ... 0

0 0 R ... 0

...

0 0 0 ... R

U = XT QX + UT RU (35)

Como establecimos en la ecuacion 33, la anterior expresion se transforma en:

∑N−1k=0 (xTkQxk + uTkRuk) + xTNPNxN =

xT0Qx0 + uT0Ru0 + xT1Qx1 + uT1Ru1 + xT2Qx2 + uT2Ru2+

...+

xTN−1QxN−1 + uTN−1RuN−1 + xTNPxN

(36)

14

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3.1 Problema de regulacion

(Gxx+GuU)T Q(Gxx+GuU) + UT RU =[(Gxx)T Q+ (GuU)T Q

](Gxx+GuU) + UT RU =

(Gxx)T Q(Gxx) + (Gxx)T Q(GuU) + (GuU)T QGxx+ (GuU)T QGuU + UT RU

(37)

Veamos como podemos simplificar y agrupar algunos terminos para obtener la formulacion

deseada:

el primer termino, (Gxx)T Q(Gxx), es constante, por lo que no afectara en la minimizacion

de la funcion. Por ello, no lo tendremos en cuenta.

al ser los terminos escalares, podemos transponerlos, aplicando que (escalar)T = escalar.

Al transponer el tercer termino, vemos que resulta identico al segundo termino, con lo que

podremos sumarlos y dejar mas compacta la ecuacion, obteniendo un termino lineal en U.

si desarrollamos el cuarto termino, (GuU)T QGuU = UTGuT QGuU . Podemos agruparlo

con el ultimo termino de la ecuacion, resultando el termino cuadratico en U que nece-

sitabamos.

Gracias a esto, la funcion escalar a minimizar ha pasado a depender exclusivamente de la

secuencia de control futura:

mın 2xTGTx QGuU + UT (GuT QGu+R)U = mınxTGTx QGuU +1

2UT (GuT QGu+R)U (38)

Comparando con los argumentos de entrada del quadprog, podemos ver que

H = GuT QGu+ R (39)

fT = xTGTx QGu (40)

Es importante destacar el hecho de que el termino H es independiente del estado actual, con

lo que no serıa necesario calcularlo en cada instante de tiempo, se puede calcular fuera de lınea.

3.1.3. Restricciones en los estados.

Veamos como expresar de forma matricial las restricciones en el horizonte de prediccion:

Gxk ≤ g (41)

15

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3.1 Problema de regulacion

donde g es un vector de longitud igual al numero de restricciones al estado en cada instante.

G =

[I4

−I4

](42)

g =

[Hmax −Hop

−(Hmin −Hop)

](43)

G 0 0 ... 0

0 G 0 ... 0

0 0 G ... 0

...

0 0 0 ... G

x0

x1

x2

.

.

xN

g

g

g

.

.

g

(44)

Si desarrollamos esta desigualdad matricial empleando la ecuacion 33,

GX ≤ g =

G(Gxx+GuU) ≤ g =

GGuU ≤ g − GGxx(45)

3.1.4. Restricciones en las entradas en el horizonte de prediccion.

Kuk ≤ k (46)

K =

[I2

−I2

](47)

k =

[Qmax −Qop−(Qmin −Qop)

](48)

K 0 0 ... 0

0 K 0 ... 0

0 0 K ... 0

...

0 0 0 ... K

u0

u1

u2

.

.

uN−1

k

k

k

.

.

k

(49)

KU ≤ k (50)

16

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3.2 Problema de seguimiento de referencias.

Por ello, podemos agrupar las restricciones de los estados y las de la senal de control matri-

cialmente de la siguiente forma: [GGu

K

]U ≤

[g − GGxx

k

](51)

Los parametros relativos a las restricciones de quadprog o cvx :

A =

[GGu

K

](52)

b =

[g − GGxx

k

](53)

3.1.5. Restricciones genericas.

Podıamos partido de una forma mas general de expresar las restricciones:

Arx+Bru ≤ bmax (54)

I4

−I402×4

02×4

h1

h2

h3

h4

+

04×2

04×2

I2

−I2

[qa

qb

]≤

[g

k

](55)

GX + KU ≤ b (56)

G(Gxx+GuU) + KU ≤ b (57)

(GGu + K)︸ ︷︷ ︸arg1

U ≤ b− GGxx︸ ︷︷ ︸arg2

(58)

3.2. Problema de seguimiento de referencias.

3.2.1. Reformulacion del problema.

Hasta ahora hemos definido el problema de control como el de regulacion, en el cual el objetivo

es hacer que las variables de estado, que representan desviaciones respecto a valores nominales,

evolucionen desde valores iniciales (alcanzados por el efecto de perturbaciones externas) hasta

un valor nulo en el que se anula el efecto de la perturbacion [2].

17

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3.2 Problema de seguimiento de referencias.

Sin embargo, el problema con el que nosotros lidiaremos sera el de seguimiento de referencias,

xref , en el que la senal de control se genera a partir del error de seguimiento en cada instante

de muestreo, xk −xrefk. Tambien sera necesario especificar una urefk, que se correspondera con

la entrada que corresponde a la xrefk especificada.

Figura 2: Cambio de referencias.

Es importante incidir que, trabajaremos siempre respecto al mismo punto de operacion

(hop, qop), con lo que xref y uref que les pasamos a nuestro controlador seran incrementales

respecto a este:

xref = href − hop (59)

uref = qref − qop (60)

Y las senales de control que se aplican al sistema seran:

uplanta = uMPC + qop (61)

Para aclarar el esquema de control para seguimiento de referencias mostraremos el diagrama

Simulink correspondiente, que es empleado para trabajar con la planta real.

18

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3.2 Problema de seguimiento de referencias.

Figura 3: Esquema de planta controlada en Simulink.

La funcion de coste sera equivalente a la del problema de regulacion (ver ecuacion 25) te-

niendo en cuenta lo anterior.

V =N−1∑k=0

((xk − xrefk)TQ(xk − xrefk) + (uk − urefk)TR(uk − urefk)) + xTNPNxN (62)

V = (X −Xref )T Q(X −Xref ) + (U − Uref )T R(U − Uref ) (63)

Si procedemos de la misma forma que en el caso de regulacion, podremos comprobar que el

termino cuadratico en U se mantiene igual. En cambio, deben anadirse dos nuevos terminos a

la funcion lineal, dependientes de Xref y Uref :

H = GuT QGu+ R (64)

fT = xTGTx QGu −XTref QGu − UTref R (65)

3.2.2. Consideraciones practicas a tener en cuenta para trabajar con nuestro sis-

tema.

En todo el desarrollo hemos impuesto que disponemos de un modelo lineal del sistema,

caracterizado por una matrices A y B, sin tener en cuenta las matrices C y D para imponer los

19

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3.2 Problema de seguimiento de referencias.

estados controlados. Esto lo haremos usando una matriz Q que solo pondere los dos estados a

controlar, las alturas de los tanques 1 y 2, haciendo nulos los otros elementos de la diagonal de

la matriz Q correspondientes a los estados no controlados:

Q =

q11 0 0 0

0 q22 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

(66)

Consideraremos varios cambios en las referencias que debera seguir nuestro controlador,

dentro del espacio de restricciones de nuestro sistema.

Figura 4: Referencias.

Para calcular el controlador, linealizaremos el sistema en torno al punto de operacion definido

por la primera referencia, R1.

hop = href

qop = qref(67)

Conocidos hop1 y hop2 , los caudales qopa y qopb y los niveles de los otros depositos, hop3 y hop4 , se

calcularan de la ecuacion 9, traducida a tiempo discreto, que resulta en:

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3.2 Problema de seguimiento de referencias.

h1op

h2op

h3op

h4op

= A

hop1

hop2

hop3

hop4

+B

[qopa

qopb

](68)

[A− I B

] [hopqop

]= 0 (69)

Consideraremos que este modelo es valido para todas las referencias, en vez de linealizar el

sistema en cada uno de los cambios. Ello conllevara un problema. La aproximacion de un sistema

no lineal por un modelo lineal solo es valida para un entorno pequeno respecto al punto respecto

al que se linealiza. Cuando cambie las referencias en los estados h1ref y h2ref , deberemos calcular

los caudales de referencia correspondientes, qaref y qbref . Como conocemos los valores de h1ref y

h2ref , de hop y qop, obtendremos el siguiente sistema de ecuaciones con tantas incognitas como

ecuaciones.

[A− I B

] [href − hopqref − qop

]= 0 (70)

Resolviendo este sistema obtendremos 4h3ref , 4h4ref , 4qaref y 4qbref . Las totales se ob-

tendran de:

h3ref = 4h3ref + hop3ref ; (71)

h4ref = 4h4ref + hop4ref ; (72)

qaref = 4qaref + qoparef ; (73)

qbref = 4qaref + qopbref ; (74)

El no poseer el modelo real para calcular los caudales de referencia necesarios producira una

inexactitud que se traducira en un error a la salida. Es decir, le estaremos diciendo al sistema

que se vaya a una referencia que no es exactamente la apropiada.

21

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3.2 Problema de seguimiento de referencias.

Sintonizacion del MPC. Una vez programado el MPC, deberemos sintonizarlo para que

funcione de forma adecuada. Para ello, deberemos ajustar una serie de parametros:

el tiempo de muestreo del sistema. Su eleccion es muy importante, ya que determinara la

dinamica del sistema muestreado. El tamano del horizonte de prediccion estara ıntima-

mente ligado al horizonte de prediccion, ya que ambos determinaran cuanta informacion

futura usamos del sistema. Por esta mala sintonizacion hemos perdido una cantidad de

tiempo bastante considerable.

las matrices de costes Q, R y P , que determinan lo que se poderan los errores en los

estados, la senal de control y el estado terminal. Ası, cuanto mayores sean los elementos

dispuestos en la diagonal de estas matrices, mas penalizaremos esas senales.

Analizaremos esto con detalle en el apartado de simulaciones.

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4. MPC en espacio de estados con efecto integral.

4. MPC en espacio de estados con efecto integral.

Para eliminar los errores en regimen permanente, anadiremos un efecto integral al controlador

predictivo en espacio de estados planteado en el apartado anterior.

Una primera opcion a la hora de introducir efecto integral es anadirlo dentro del modelo,

calculando el controlador incrementos respecto a la senal de control total aplicada en el instante

anterior, 4uk [3].

uk = uk−1 +4uk (75)

Una segunda opcion es introducir el efecto integral fuera del modelo, poniendo en paralelo

de nuestro MPC un controlador PI.

4.1. MPC con efecto integral en el modelo.

Como ya sabemos, las ecuaciones de un modelo lineal son:

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) (76)

Aplicando la ecuacion 75, la ecuacion anterior puede reescribirse como:

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k − 1) +B(u(k)− u(k − 1)) (77)

u(k) = u(k − 1) + I(u(k)− u(k − 1)) (78)

De tal manera, obtenemos una formulacion incremental de las ecuaciones dinamicas:[x(k + 1)

u(k)

]=

[A B

0 I

][x(k)

u(k − 1)

]+

[B

I

]4u(k) (79)

Podemos ver que el problema se reformula con unas nuevas matrices A y B, con un nuevo

estado expandido, que incluye el estado actual y la actuacion en el instante anterior, y una nueva

senal de control, el incremento en la actuacion al sistema de un instante al siguiente:

A =

[A B

0 I

](80)

B =

[B

I

](81)

x(k + 1) =

[x(k + 1)

u(k)

](82)

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4.1 MPC con efecto integral en el modelo.

4u(k) = u(k)− u(k − 1) (83)

x(k + 1) = Ax(k) + B4u(k) (84)

4.1.1. Prediccion a lo largo del horizonte.

El hecho de que la expresion que modela el comportamiento dinamico del sistema tenga la

misma estructura que en el caso de regulacion, solo que con matrices y variables distintas, se

traducira en que las expresiones que modelan la evolucion del estado expandido a lo largo del

estado de prediccion sean las mismas (ver ecuacion 31).

x0

x1

x2

.

.

.

xN

=

I

A

A2

.

.

.

AN

x+

0 0 . . .

B 0 . . .

AB B . . .

.

.

.

AN−1B AN−2B . . B

4u04u14u2.

.

.

4uN−1

(85)

X = Gxx+ Gu4U (86)

4.1.2. Funcion de coste.

Nuestro problema tendra la misma estructura que el apartado de regulacion, solo que ahora

consistira en encontrar en cada instante de tiempo una secuancia de incrementos de control,

[4u0,4u1,4u2, ...,4uN−1], que minimice la funcion de coste:

J =N−1∑k=0

(xTkQIxk +4uTkRI4uk) + xTNPNxN (87)

De esta secuencia de incrementos de control, nos quedarıamos solo el primer elemento, 4u0,aplicando al sistema en el instante k-esimo la senal de control:

uk = uk−1 +4u0 (88)

Podemos expresar la matriz de coste, QI , que penaliza el estado extendido, con las que

usamos en el problema de regulacion:

24

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4.1 MPC con efecto integral en el modelo.

QI =

[Q 0

0 R

](89)

La ventaja de esta formulacion de QI es que, de esta manera, imponiendo R = 0 tendrıamos

un poblema equivalente al del MPC sin integrador y podrıamos ver si funciona bien nuestro

controlador integral comprobando si ambos proporcionan los mismos resultados.

N−1∑k=0

(xTkQxk + uTkRuk) (90)

Pero, serıa mas logico poner la siguiente matriz, que no pondere la senal de control anterior,

que no le interesa para nada a nuestro controlador integral, que calcula 4u.

QI =

[Q 0

0 0

](91)

La matriz que pondera la senal 4u, RI sera una matriz diagonal con elementos altos, de

forma que ası penalicemos el incremento en la senal de control respecto al instante anterior:

RI =

[100 0

0 100

](92)

4.1.3. Restricciones.

En cada instante de tiempo, el sistema debe cumplir las siguientes restricciones:

Gxk + K4uk ≤ ¯bmax (93)

Si aplicamos estas restricciones a nuestra planta, quedan de la siguiente manera:

I4 04×2

−I4 04×2

02×4 I2×2

02×4 −I2×2

h1

h2

h3

h4

qa

qb

+

04×2

04×2

I2×2

−I2×2

[4qa4qb

]≤

hmax − hop

−(hmin − hop)qmax − qop

−(qmax − qop)

(94)

Para el horizonte de prediccion resultarıa:

GX + K4U ≤ b (95)

Como tiene la misma estructura que en el apartado de regulacion, podemos ver que nos

queda la siguiente expresion:

25

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4.2 MPC con efecto integral fuera del modelo.

(GGu + K)︸ ︷︷ ︸arg1

U ≤ b− GGxx︸ ︷︷ ︸arg2

(96)

Y obtenemos los argumentos de restricciones que necesita quadprog.

4.1.4. Problemas de este planteamiento.

Al llevar a la practica esta alternativa se sucedieron multiples problemas. El problema fun-

damental es que no se apreciaba ninguna mejora controlando con el efecto integral, llegando

incluso a obtener peores resultados que los obtenidos con el controlador que no tenıa efecto

integral.

Tras estudiar las posibles motivos que podıan plantear este problema, incidiendo en si es-

taban bien programadas las restricciones matriciales, en el tiempo de muestreo, el horizonte de

prediccion, nos dimos cuenta que el motivo era que el problema no estaba bien planteado.

El problema tal y como lo habıamos planteado era completamente equivalente al del MPC

sin integrador, ya que, si bien nuestro problema consistıa en hallar una variable distinta, el

incremento en la senal de control en vez de la senal de control total, no imponıamos ninguna

restriccion en el incremento de la senal de control.

4.2. MPC con efecto integral fuera del modelo.

Plantearemos una forma menos ortodoxa de incluir un efecto integral en nuestro MPC.

Como bien sabemos, una ley de control proporcional respecto a un punto de operacion tiene

la siguiente expresion:

u(t) = uop +Kpe(t) (97)

Un controlador PI se obtiene de sumarle (es decir, poner en paralelo) a este termino propor-

cional al error un termino integral, que pondera los errores anteriores:

u(t) = uop +Kpe(t) +1

TI

∫ t

0e(τ)dτ (98)

Un MPC calcula una ganancia adecuada en cada instante de tiempo basandose simplemente

en el error entre su estado y la referencia a la que quiere llegar. Es decir, no es mas que un

controlador proporcional que tiene en cuenta la futura evolucion del sistema.

Por lo tanto, podemos implementar un MPC integral un PI en paralelo al MPC en espacio

de estados desarrollado, que modifique en cada instante de tiempo la senal de control aplicada.

Podemos verlo como que en cada instante modificamos la uop:

26

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4.2 MPC con efecto integral fuera del modelo.

u(t) = uop +1

TI

∫ t

0e(τ)dτ︸ ︷︷ ︸

uopmodificadaporPI

+ Kpe(t)︸ ︷︷ ︸MPC(x(t))

(99)

Existen otras formas de introducir efecto integral de forma externa al modelo que emplea el

MPC. Por ejemplo, modificando en cada instante el estado de referencia, que es la que usaremos

en las simulaciones.

Xref (t) = Xrealref (t) +

1

TI

∫ t

0(Xreal

ref (τ)−X(τ))dτ (100)

De esta forma, enganamos al MPC diciendole que llegue a una altura algo superior a la que

realmente debe llegar.

Xref (t) = Xrealref (t) +

1TI

0 0 0

0 1TI

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

∫ t

0(Xreal

ref (τ)−X(τ))dτ (101)

27

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5. Simulaciones.

5. Simulaciones.

A continuacion simularemos los controladores descritos. En cada uno de los subapartados

iremos modificando parametros para ver como afectan al funcionamiento del controlador.

5.1. MPC en espacio de estados sin efecto integral.

5.1.1. Influencia de un tiempo de muestreo y un horizonte de prediccion adecuados.

La eleccion adecuada de estos parametros determinara de forma fundamental el buen fun-

cionamiento de nuestro MPC.

Como pudimos ver en la ecuacion 17 los polos del sistema son 1Ti

. Es decir, nuestras constantes

de tiempo son:

T1 T2 T3 T4

162,96 142,55 240,81 238,11

Cuadro 6: Constantes de tiempo del sistema

Como podemos ver, tienen un valor elevado, con lo que nuestro sistema sera muy lento.

Si consideramos un tiempo de muestreo Ts = 15 segundos (un poco mas de la decima parte de

la constante de tiempo mas rapida del sistema), y un horizonte de prediccion N = 10, podremos

ver que nuestros MPC no sigue las referencias. Nuestro controlador es capaz de ver hacia delante

con estos parametros 15 ∗ 10 = 150, y no es suficiente.

28

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5.1 MPC en espacio de estados sin efecto integral.

Figura 5: Evolucion de alturas con Ts = 15 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10.

Figura 6: Evolucion de los caudales con Ts = 15 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10.

En cambio, si usamos el mismo Ts, pero aumentamos el horizonte de prediccion a N = 60,

controlamos bien el sistema. En realidad, estamos mirando hacia delante 15∗60 = 900 segundos.

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5.1 MPC en espacio de estados sin efecto integral.

Figura 7: Evolucion de alturas con Ts = 15 N = 60 Q = 1 R = 0,01 P = 10.

Figura 8: Evolucion de los caudales con Ts = 15 N = 60 Q = 1 R = 0,01 P = 10.

Y con un horizonte de prediccion a N = 30 tambien va bien. 15 ∗ 30 = 450 segundos.

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5.1 MPC en espacio de estados sin efecto integral.

Figura 9: Evolucion de alturas con Ts = 15 N = 30 Q = 1 R = 0,01 P = 10.

Figura 10: Evolucion de los caudales con Ts = 15 N = 30 Q = 1 R = 0,01 P = 10.

5.1.2. Influencia de los cambios en las matrices de coste.

Partiremos de Q = 1, R = 0,01. Al ser la matriz R pequena, penalizamos poco las senales

de control y dejamos que el caudal pueda crecer mucho, llegando incluso a saturar el caudal en

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5.1 MPC en espacio de estados sin efecto integral.

un par de ocasiones.

Figura 11: Evolucion de alturas con Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 V = 44,43.

Figura 12: Evolucion de los caudales con Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 V = 44,43.

Dejaremos constante Q e iremos aumentando la matriz R. Ası, al penalizar mas la senal de

control podremos observar como esta se hace menos agresiva (pegara saltos mas pequenos), lo

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5.1 MPC en espacio de estados sin efecto integral.

que se traducira en que crezca el error en regimen permanente y se ralentice respuesta. Ademas

el coste (V ) crecera considerablemente.

Figura 13: Evolucion de alturas con Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,1 P = 10 V = 55,27.

Figura 14: Evolucion de los caudales con Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,1 P = 10 V = 55,27.

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5.1 MPC en espacio de estados sin efecto integral.

Figura 15: Evolucion de alturas Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 1 P = 10 V = 174,48.

Figura 16: Evolucion de los caudales Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 1 P = 10 V = 174,48.

En las siguientes figuras con Q = 1, R = 10, se penaliza tanto la senal de control, que en este

caso el controlador ni actua, se va directamente a la referencia. Incluso ası, el coste es enorme

(V = 1,37 ∗ 103).

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5.2 Efecto integral VS no efecto integral.

Figura 17: Evolucion de alturas Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 10 P = 10.

Figura 18: Evolucion de los caudales Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 10 P = 10.

5.2. Efecto integral VS no efecto integral.

Iremos aumentando el parametro 1TI

. De tal manera veremos como se va reduciendo el error

en regimen permanente, a costa de una mayor sobreoscilacion y de un incremento en el tiempo

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5.2 Efecto integral VS no efecto integral.

de establecimiento. En el primer caso 1TI

= 0,01, el efecto integral es tan pequeno que no se

aprecia.

Figura 19: Evolucion de alturas Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,01.

Figura 20: Evolucion de los caudales Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,01.

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5.2 Efecto integral VS no efecto integral.

Figura 21: Evolucion la integral del error Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,01.

Figura 22: Evolucion de alturas Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,05.

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5.2 Efecto integral VS no efecto integral.

Figura 23: Evolucion de los caudales Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,05.

Figura 24: Evolucion la integral del error Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,05.

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5.2 Efecto integral VS no efecto integral.

Figura 25: Evolucion de alturas Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,1.

Figura 26: Evolucion de los caudales Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,1.

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5.2 Efecto integral VS no efecto integral.

Figura 27: Evolucion la integral del error Ts = 50 N = 10 Q = 1 R = 0,01 P = 10 1TI

= 0,1.

En los dos ultimos caso podemos ver como la integral del error se estabiliza a un valor

constante.

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6. Conclusiones y posibles ampliaciones.

6. Conclusiones y posibles ampliaciones.

6.1. Conclusiones.

Este trabajo ha resultado muy instructivo, ya que ha permitido llevar a la practica gran

cantidad de conceptos que, hasta el momento de su realizacion se presentaban a la alumna

ciertamente ambiguos, solo considerados en un marco teorico.

Esto, unido a que el sistema en cuestion haya resultado de por sı muy ilustrativo, ha hecho

que la realizacion haya sido muy agradable.

6.2. Lıneas de trabajo futuras.

Las posibilidades de seguir trabajando con este sistema son infinitas, dada la versatilidad

que posee, como sistema multivariable, no lineal, ...

Por ello, planteamos las siguientes lıneas de trabajo a realizar en un futuro:

implementar lo simulado en la planta real y comparar sus resultados. Ası, podrıamos ver

las diferencias existentes entre el modelo no lineal que poseemos del sistema y el sistema

real.

plantear este problema desde el punto de vista de un MPC distribuido.

plantear estrategias para la satisfaccion robusta de restricciones.

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REFERENCIAS

Referencias

[1] Johansson, K. H.: The quadruple-tank process: A multivariable laboratory process with

an adjustable zero. IEEE Trans. on Control Systems Technology, vol 8, no 3, may, pp.

456-465.2000.

[2] Ollero, A.: Control por computador: descripcion interna y diseno optimo. Marcombo.1991.

[3] Camacho, E. F; Bordons, C: Model Predictive Control. Springer.2nd edition. 2004.

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