APLICACIÓN DE LA VARIABLE COMPLEJA EN MODULACION DIGITAL

Una de las principales aplicaciones de la variable compleja es el tratamiento de las señales por medio de diagramas fasoriales, ubicados en el plano complejo (coordenadas), para la explicación de esto vamos a trabajar con el sistema de modulación QPSK que es una modulación digital aplicada en las telecomunicaciones.

Modulación Digital

Es el proceso en el que se varían los parámetros de una señal análoga sinodal de alta frecuencia en función de una señal digital de baja frecuencia.

QPSK (Quadrature Phase-Shift Keying)

Desplazamiento de fase de 4 símbolos, desplazados entre sí 90º. Normalmente se usan como valores de salto de fase 45º, 135º, - 135º, y - 45º. Cada símbolo aporta 2 bits. Suele dividirse el flujo de cada bit que forman los símbolos como I y Q.

El diagrama de constelación muestra 4 símbolos equiespaciados. La asignación de bits a cada símbolo suele hacerse mediante el código Gray, que consiste en que entre dos símbolos adyacentes los símbolos solo se diferencian en 1 bit. Esto se escoge así para minimizar la tasa de bits erróneos.

Diagrama de constelaciones (Reprecentacion grafica sobre el plano complejo alredor del circulo |Z|=1)

Con la teoría anterior lo que se desea explicar es la aplicación de los números complejos como herramienta para calcular los desfases de la señal modulada.

A continuacion se muestra el diagrama típico del modulador QPSK.

La entrada es una señal digital sin retorno a cero (NRZ) de la siguiente forma:

El bloque I/Q es un conversor serial-paralelo que simplemente se encarga de descomponer la señal en palabras de 2 bits asignado “1” para voltajes positivos y “0” para los voltajes negativos.

1 lógico= 1V

0 lógico= -1V

Dichas datos de voltaje son multiplicados con una señal portadora, el canal “I” utiliza una señal seno pura mientras el canal “Q” la desfasa 90°, la siguiente tabla muestra las combinaciones de bits y su manejo fasorial en el plano complejo:

Q I Canal Q Canal I Rectangular Q

Rectangular I

Suma (I+Q)

Representacion Polar

0 0 -cos(wt) -sen(wt) 0-i -1+0i -1-i √2(Cos(5π/4)+isen(5π/4))0 1 -cos(wt) sen(wt) 0-i 1+0i 1-i √2(Cos(7π/4)+isen(7π/4)1 0 cos(wt) -sen(wt) 0+i -1+0i -1+i √2(Cos(3π/4)+isen(3π/4))1 1 cos(wt) sen(wt) 0+i 1+0i 1+i √2(Cos(π/4)+isen(π/4))

Finalizando el diagrama notamos que se suman las señales resultantes de del canal “I” y el canal ”Q”. Como podemos observar en la suma final el argumento general corresponde a: π/4+2Kπ; con K perteneciente a los reales.

Los cuatro puntos indicados en el diagrama representan el ángulo de desfase en el proceso de modulación y la utilidad del plano complejo en el proceso.