Modelos y Optimización IModelos y Optimización I

Resolución de un ejercicio en LINDOResolución de un ejercicio en LINDOInterpretación del resultadoInterpretación del resultado

Ejercicio 2.2Ejercicio 2.2!! ““CopaniCopani””, una compa, una compañíñía dedicada a la minera dedicada a la mineríía, explota tres yacimientos (Sierra Alta, a, explota tres yacimientos (Sierra Alta,

Sierra Chica y El Abra), de cada uno de los cuales obtiene un miSierra Chica y El Abra), de cada uno de los cuales obtiene un mineral que contiene neral que contiene cuatro metales: Cobre, Estacuatro metales: Cobre, Estañño, Manganeso y Zinc. Con estos cuatro metales, y siguiendo o, Manganeso y Zinc. Con estos cuatro metales, y siguiendo las especificaciones que pueden verse en el cuadro que figura a las especificaciones que pueden verse en el cuadro que figura a continuacicontinuacióón, n, CopaniCopanielabora dos aleaciones: A y B.elabora dos aleaciones: A y B.

!! La proporciLa proporcióón de cada metal que estn de cada metal que estáá en el mineral depende del yacimiento del cual en el mineral depende del yacimiento del cual proviene ese mineral. La siguiente tabla indica esos datos, asproviene ese mineral. La siguiente tabla indica esos datos, asíí como los costos de como los costos de extracciextraccióón de mineral:n de mineral:

!! La aleaciLa aleacióón A se vende a $A por tonelada y la aleacin A se vende a $A por tonelada y la aleacióón B a $B por tonelada. Con la n B a $B por tonelada. Con la informaciinformacióón indicada, n indicada, ¿¿QuQuéé es lo mejor que puede hacer es lo mejor que puede hacer ““CopaniCopani””??

Planteo analíticoPlanteo analítico!! Objetivo: Determinar la cantidad de Objetivo: Determinar la cantidad de

minerales a extraer de cada mina y la minerales a extraer de cada mina y la cantidad de aleación a vender para cantidad de aleación a vender para maximizar la ganancia.maximizar la ganancia.

!! Hipótesis:Hipótesis:–– No hay costos de procesamiento.No hay costos de procesamiento.–– El mineral no utilizado para las aleaciones es El mineral no utilizado para las aleaciones es

desperdicio.desperdicio.–– Las aleaciones están formadas sólo por los Las aleaciones están formadas sólo por los

metales especificados.metales especificados.

Planteo AnalíticoPlanteo Analítico

!! Variables utilizadas:Variables utilizadas:–– A, B: Cantidad de cada aleación a producir A, B: Cantidad de cada aleación a producir

[ton][ton]–– MsaMsa, , MscMsc, , MabMab: Cantidad de mineral a extraer : Cantidad de mineral a extraer

de cada mina [ton]de cada mina [ton]–– Cu, Cu, ZnZn, , SnSn, , MnMn: Cantidad total de cada metal : Cantidad total de cada metal

utilizada [ton]utilizada [ton]–– SnASnA: Cantidad de estaño utilizada en la : Cantidad de estaño utilizada en la

aleación A [ton] (aleación A [ton] (Idem SnBIdem SnB, , ZnAZnA, , ZnBZnB) )

Planteo analítico Planteo analítico -- ModeloModelo

!! Objetivo:Objetivo:Z(Z(maxmax) = $A . A + $B.B ) = $A . A + $B.B –– 10 10 Msa Msa –– 40 40 Msc Msc –– 50 50 MabMab

!! Minerales:Minerales:Cu <= 0.2 Cu <= 0.2 Msa Msa + 0.1 + 0.1 Msc Msc + 0.05 + 0.05 MabMabSn Sn <= 0.1 <= 0.1 Msa Msa + 0.2 + 0.2 Msc Msc + 0.05 + 0.05 MabMabMn Mn <= 0.3 <= 0.3 Msa Msa + 0.3 + 0.3 Msc Msc + 0.7 + 0.7 MabMabZn Zn <= 0.3 <= 0.3 Msa Msa + 0.3 + 0.3 Msc Msc + 0.2 + 0.2 MabMabZn Zn = = Zna Zna + + ZnbZnbSnSn = = SnaSna + + SnbSnb

Planteo analítico Planteo analítico -- ModeloModelo

!! Proporciones:Proporciones:Cu <= 0.8 ACu <= 0.8 A 0.4 B <= 0.4 B <= Snb Snb <= 0.6 B <= 0.6 B Sna Sna <= 0.3 A<= 0.3 A Mn Mn >= 0.3 B>= 0.3 BZnA ZnA >= 0.5 A>= 0.5 A ZnB ZnB <= 0.7 B<= 0.7 B

A = Cu + A = Cu + Sna Sna + + ZnaZnaB = B = Snb Snb + + Mn Mn + + ZnbZnb

!! Disponibilidades:Disponibilidades:Msa Msa <= 1000<= 1000Msc Msc <= 2000<= 2000Mab Mab <= 3000<= 3000

Pasaje a LINDOPasaje a LINDO

!! Se deben Se deben reescribir reescribir las ecuaciones en las ecuaciones en formato estándar:formato estándar:–– Todas las variables con sus coeficientes a la Todas las variables con sus coeficientes a la

izquierda y una constante a la derecha.izquierda y una constante a la derecha.–– Calcular todos los coeficientes. El LINDO no Calcular todos los coeficientes. El LINDO no

acepta *, / ó ( )acepta *, / ó ( )–– Reemplazar las constantes por sus valores.Reemplazar las constantes por sus valores.–– Los nombres de variables deben comenzar con Los nombres de variables deben comenzar con

una letra y no tener más de 8 caracteres. una letra y no tener más de 8 caracteres.

Pasaje a LINDOPasaje a LINDO

!! Ejemplos:Ejemplos:Cu <= 0.2 Cu <= 0.2 MsaMsa + 0.1 + 0.1 MscMsc + 0.05 + 0.05 MabMab"" Cu Cu -- 0.2 0.2 Msa Msa -- 0.1 0.1 Msc Msc -- 0.05 0.05 MabMab <= 0<= 0

A = Cu + A = Cu + SnaSna + + ZnaZna"" A A –– Cu Cu –– Sna Sna –– Zna Zna = 0= 0

0.4 B <= 0.4 B <= SnbSnb <= 0.6 B<= 0.6 B"" Sn Sn –– 0.4 B >= 00.4 B >= 0

Sn Sn –– 0.6 B <= 00.6 B <= 0MsaMsa <= 1000<= 1000"" Msa Msa <= 1000<= 1000

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!! El objetivo:El objetivo:–– No puede incluir constantes.No puede incluir constantes.–– No incluir Z =....No incluir Z =....–– Debe ser la primera línea del modeloDebe ser la primera línea del modelo–– Colocar MAX (o Colocar MAX (o minmin), las variables con sus ), las variables con sus

coeficientes y ST (coeficientes y ST (subject to subject to = sujeto a)= sujeto a)–– A continuación, las restricciones.A continuación, las restricciones.–– El modelo finaliza con END (No es El modelo finaliza con END (No es

imprescindible)imprescindible)

El modelo en LINDOEl modelo en LINDOCualquier línea que comience con ! es

un comentario

Constantes. Aquí supuse $A=200 y

$B=300

Encabezado de filas

Correr el modeloCorrer el modelo

ResultadoResultadoVértices analizados hasta

llegar al óptimo

Valor del Z en el vértice óptimo

Valor de cada variable en el óptimo

Encabezados de las filas. Si no hay, las numera a partir

de 2 (La fila 1 es el objetivo)

Valor de la slack asociada a cada restricción