aplicaciones de ecuaciones diferenciales …...de una sustancia, m as estable es la sustancia....

Aplicaciones de Ecuaciones DiferencialesOrdinarias de Primer Orden

Prof. Luis Eduardo Lopez M.e-mail: [email protected]

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www.lelopezm.wordpress.com

Prof. Luis Eduardo López M.

Ecuaciones diferenciales de Variables Separables

Muchos fenomenos fısicos en la naturaleza se rigen por la siguienteley:

La rapidez de crecimiento o descomposicion de una sustancia varıa enforma proporcional a la cantidad presente

x(t) : Cantidad de una sustancia en tiempo tdxdt

: Rapidez de crecimiento (descomposicion) de x con respecto a t.

PVI

dx

dt= kx, k ∈ R (1)

x(0) = x0

Solucion

x(t) = x0ekt, t ≥ 0 (2)



Ejemplo: Crecimiento de BacteriasInicialmente un cultivo tiene 1000 bacterias. Al cabo de una hora sedetermina que el numero de bacterias es 1500. Si la razon decrecimiento es proporcional al numero de bacterias P (t) presentes enel tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique elnumero inicial de bacterias.

P (t) = 1000ekt, con P (1) = 1500.

P (1) = 1000ek = 1500

⇒ k = ln (3/2) ≈ 0.4055

P (t) = 1000(32

)tSi P (t) = 1000

(32

)t= 3000

⇒ t = 2.71 horas.



Vida Media

En fısica la vida media es una medida de la estabilidad de unasustancia radiactiva. La vida media es, simplemente, el tiempo quetarda en desintegrarse o transmutarse en otro elemento la mitad delos atomos en una muestra inicial. Mientras mayor sea la vida mediade una sustancia, mas estable es la sustancia.

Ejemplo: Un reactor de crıa convierte Uranio 238 relativamenteestable en el isotopo plutonio 239. Despues de 15 anos, se hadeterminado que 0.043 % de la cantidad inicial A0 de plutonio se hadesintegrado. Determine la vida media de ese isotopo, si la razon dedesintegracion es proporcional a la cantidad que queda.

A(t): cantidad de plutonio que queda al tiempo t.A(0) = A0

A(15) = 0.99957A0

A(t) = A0ekt k < 0



A(15) = A0e15k = 0.99957A0

⇒ e15k = 0.99957

⇒ k = 115ln 0.99957

Es decir:

A(t) = A0et15

ln 0.99957 = A0eln (0.99957)t/15 = A0(0.99957)

t/15

Ahora necesitamos hallar t de modo que A(t) = A0

2

A(t) = A0(0.99957)t/15 =

A0

2⇒ t =

−15 ln 2ln 0.99957

≈ 24174 anos



Ejemplo: Se encuentra que un hueso fosilizado contiene la milesimaparte de la cantidad de C-14 encontrada en la materia viva.Determine la edad del fosil si se conoce que el tiempo de vida mediade C-14 es 5600 anos.

C(t) : Cantidad de C-14 que queda en el hueso, en tiempo tEntonces, dC

dt= kC, con C(0) = C0

C(t) = C0ekt ⇒ C(5600) = 1

2C0 ⇒ C0e

5600k = C0

2⇒ k = − ln 2

5600

C(t) = C02−t/5600

Como C(t) = C0

1000⇒ C02

−t/5600 = C0

1000

t =5600 ln 1000

ln 2≈ 55800 anos.



Ley de Enfriamiento-Calentamiento de Newton

La rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo esproporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la delmedio que lo rodea, que se llama temperatura ambiente.

Sea T (t) la temperatura del cuerpo en un tiempo t.Sea Tm(t) la temperatura ambiente en un tiempo t.Entonces,

dT

dt= k(T (t)− Tm(t))

la cual es una EDO lineal que se escribe como:

dT

dt− kT (t) = kTm(t), con T (0) = T0

En el caso particular que Tm sea constante, la EDO

dT

dt= k(T (t)− Tm(t))

es de variables separables.



Ejemplo: Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 3000F .Tres minutos despues su temperatura es de 2000F . Determine latemperatura del pastel 5 minutos despues de sacado del horno, si seconoce que su temperatura ambiente permanece constante en 700F?

dT

dt= k(T − Tm), Tm = 70 y T0 = 300

⇒ dT

dt= k(T − 70) con T (0) = 300⇒ T (t) = 70 + 230ekt

como T (3) = 200 ⇒ e3k = 1323⇒ k = ln (13/23)

3

T (t) = 70 + 230

(13

23

)−t/3

Ası, T (5) ≈ 158.90F


Ecuaciones de Bernoulli

Crecimiento Logıstico

Supongase que un medio ambiente es capaz de sostener, comomaximo, una cantidad K de una determinada magnitud N . Lacantidad K se llama capacidad de sustento del ambiente.Entonces este fenomeno se modela mediante la ecuacion diferencial:

dN

dt= rN

(1− N

K

), N(0) = n0

donde r es la tasa de crecimiento de la magnitud N .

La solucion al PVI es:

N(t) =Kn0

(K − n0)e−rt + n0

Ejercicio: Resuelva el PVI parar = 1

2, K = 1 con N(0) = 1

2


Ecuaciones de Bernoulli

Ejemplo: Una enfermedad contagiosa, por ejemplo un virus de gripe,se propaga a traves de una comunidad por personas que han estadoen contacto con otras personas enfermas. Para este caso se suponeque la razon con la que se propaga la enfermedad es proporcional alnumero de encuentros, o interacciones, entre estos dos grupos depersonas.

x(t) : Numero de personas que han contraıdo la enfermedad.y(t) : Numero de personas que aun no han sido expuestas.N : Numero total (constante) de personas.

dx

dt= kxy

donde x+ y = N ⇒ y = N − x,

dx

dt= kx(N − x), con x(0) = 1

Ejercicio: Resuelva el problema para N = 1000, si x(0) = 1 yx(2) = 9. Estime x(5).


Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden

Ecuacion de Continuidad

Tasa de acumulacion = Tasa de entrada - Tasa de salida

Ejemplo: Mezcla homogeneaUna Salmuera (solucion de sal en agua), entra en un tanque a unavelocidad v1 galones de salmuera/minuto y con una concentracion dec1 lib. sal/gal. salmuera. Inicialmente el tanque tiene Q0 galones deagua en la cual estan disueltas x0 libras de sal. La mezcla bienhomogeneizada abandona el tanque a una velocidad de v2 galones desalmuera/min. Encontrar una ecuacion para determinar las libras desal que hay en el tanque en cualquier instante de tiempo t.x(t) : Cantidad de Libras de Saldxdt

: Tasa de acumulacion de sal.

dx

dt= v1c1 − v2c2,

c2 =x

Q+ (v1 − v2)t

Libras de sal

galones

Lb de sal

galones



De esta manera, x(t) satisface el siguiente PVI.

dx

dt+

v2Q+ (v1 − v2)t

x = v1c1, con x(0) = x0,

la cual es una EDO lineal con factor integrante

µ = (Q0 + (v1 − v2)t)v2

v1−v2 , v1 6= v2

cuya solucion particular es:

x(t) = c1 (Q0 + (v1 − v2)t)+(x0−c1Q0)Qv2

v1−v20 (Q0 + (v1 − v2)t)

v2v2−v1



Para el caso v1 = v2 = v, Q(t) = Q0 constante y,

x(t) = c1Q0 + (x0 − c1Q0)e− v

Q0t

Por ejemplo, si v1 = v2 = 3,c1 = 2,Q = 300 y P = 50. Entonces:

dx

dt+

1

100x = 6, con x(0) = 50.

cuya solucion es:

x(t) = 600− 550e−t/100



Circuito LR

Para un circuito en serie que solocontiene un resistor y un inductorla segunda ley de Kirchhoffestablece que la suma de la caıdade voltaje a traves del inductorLdi

dtmas la caıda de voltaje a

traves del resistor iR es igual alvoltaje aplicado E(t) al circuito.Ası:

Ldi

dt+Ri = E(t)

donde: L es la inductancia, R laresistencia e i(t) es la corriente entiempo t.

Por ejemplo, si L = 12

Henry,R = 10 Ohms y E(t) = 12 volts,

1

2

di

dt+ 10i = 12

se tiene que,

i(t) =6

5− 6

5e−20t



Circuito RC

La caıda de voltaje a traves de uncapacitor de capacitancia C esq(t)C

, donde q es la carga delcapacitor. Por tanto,

Ri+1

Cq = E(t)

Pero la corriente i y la carga qestan relacionadas por i = dq

dt, ası:

Rdq

dt+

1

Cq = E(t)

Por ejemplo, si R = 5 Ohms,C = 0.5 Microfaradios yE(t) = 12 volts, con t = 0, i = 0.

5dq

dt+

1

2q = 12

se tiene que,

q(t) = −24e−t/10 + 24



Caida libre con resistencia del aire

Bajo ciertas circunstancias, uncuerpo que cae de masa m,encuentra una resistencia del aireque es proporcional a su velocidadinstantanea V .Si en este caso,tomamos la direccion positivadirigida hacia abajo, entonces lafuerza neta que esta actuandosobre la masa esta dada porF = mg − kV . Aplicando lasegunda ley de Newton se tieneque:

mg − kv = md2S

dt2

Tomando dVdt

= d2Sdt2

se tiene que:

mdV

dt= mg − kV, V (0) = V0

Ejercicio: Resuelva el PVI param = 20kg, V0 = 3m/s yk = 19.6kg/s. ¿Cual es la maximavelocidad alcanzada por el cuerpo?


Bibliografıa

Boyce, DiPrima (2004). Ecuaciones Diferenciales y Problemas conValores en la Frontera. Cuarta Edicion. LIMUSA-WILLEY.

Jaime Escobar. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones en Maple.Universidad de Antioquia.

Dennis Zill (2009). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones deModelado. Novena Edicion.


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