aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.docx
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DOR TAPIA, FERNANDO. CUBAS BENAVIDES, KEVIN . LORRN MUSAYN, LEONARDO. SAAVEDRA SALAZA
APLICACIONES DE LASECUACIONES
DIFERENCIALES
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DEDICATORIA
El presente trabajo de investigacin
lo dedicamos: A nuestros padres; a quienesles debemos todo lo que tenemos en estavida y nos brindan su amor y dedicacin .ADios, ya que gracias a l tenemos esospadres maravillosos, los cuales nos apoyanen nuestras derrotas y celebran nuestrostriunfos. A nuestro docente quien esnuestra gua en el aprendi!aje, d"ndonoslos #ltimos conocimientos para nuestrobuen desenvolvimiento en la sociedad, comoprofesiones a la vanguardia. $ a todo aquelque est dispuesto a seguir en la luc%aconstante de e&pandir sus conocimientos.
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AGRADECIMIENTO
A todas las personas que de una u otraforma nos proporcionaron losconocimientos necesarios para plasmarlos
en este trabajo, ya sea de manera fsica ovirtual, sin ellos nada de esto %ubiera sidoposible.
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OBJETIVO
'lantear ejercicios de aplicacin referentes al tema de lasEcuaciones Diferenciales aplicadas a nuestra carreraprofesional de (ngeniera )ivil.
Anali!ar y dar solucin a los problemas planteados conreferencia a las Ecuaciones Diferenciales, pertenecientes aeste tema de e&posicin.
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PREFACIO
El presente trabajo de investigacin esta dirigido a los alumnosque estudian su primer curso de ecuaciones diferenciales.
Debido a que el trabajo aqu presentado se ajusta totalmente al
contenido del curso de *atem"tica ((( de la Escuela 'rofesionalde (ngeniera )ivil, esperamos que tenga un gran alcance, dada laalta poblacin estudiantil con que cuenta nuestra Escuela'rofesional.
+os ejercicios resueltos cuentan con un te&to f"cil decomprender que le permitir"n obtener y desarrollar sus
%abilidades para plantear y resolver ecuaciones diferencialesaplicadas al campo que abarca nuestra carrera profesional de(ngeniera )ivil.
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NDICE
DED()A-(A................................................................................................0
A/ADE)(*(E0-.........................................................................................1
OBJETIVOS......................................................................................................@
CAPTULO I.....................................................................................................
CONCEPTOS BSICOS....................................................................................
Y DEMOSTRACIONES......................................................................................
1. )-0)E'-2 342()-2 $ DE*-2A)(-0E2..............................................
1.1. 'resin en los lquidos 5'6......................................................................
Demostracin.............................................................................................
1.7. Empuje 5E6..........................................................................................
1.8. 'eso Aparente 59a6.............................................................................
Demostracin...........................................................................................
1.. )entro de /ravedad...........................................................................
1..
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7..7 E2A3(+(DAD -A)(-0A+.....................................................01
7..7.1.? Estable.?..................................................................................01
7..7.7.? (nestable.?..............................................................................01
7..7.8.? (ndiferente.?...........................................................................0@7.= Estabilidad de un 3arco......................................................................0?
7.=.1. Demostracin................................................................................... 0?
'-3+E*A2 E2@E+-2..............................................................................1
'roblema 0 1.............................................................................................1
'roblema 0 7.............................................................................................10
'roblema 0 8.............................................................................................10
'roblema 0 .............................................................................................10
'roblema 0 .............................................................................................10
)-0)+@2(-0E2........................................................................................... 11
ANEOS........................................................................................................1@
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CAPTULO
I
EJERCICIOS SOBRE
ECUACIONESDIFERENCIALESAPLICADAS A LAINGENIERA CIVIL
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1. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
DE PRIMER ORDEN
1.1. Tanques agitados
)uando se agrega agua a un tanque agitado, tal como se muestra en lafigura inferior, se puede obetner una ecuacin diferencial de primer orden,tal ecuacin se puede obtener al momento de %acer un balance de masa,energa o momentum.
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Bamos a comen!ar con un ejemplo sencillo de llenado y vaciado de untanque cilindrico, agitado, como en que se muestra en la figura anterior,donde el vplumen del tanque vara seg#n los flujos de entrada y de salida altanque.
@n balance de masa en el tanque se obtiene al %acer un an"lisis de loque entra y sale del tanque, generando as el planteamiento de la siguienteecuacin:
Acumulacin de
masa enel tanque
Periodode tiempo
=Flujo msico que
entraal tanque
Periodode tiempo
Flujo msicoque
sale del tanque
Periododetiempo
!
Cantidad demasaque
se generaen eltanquePeriodode tiempo
Cantidad demasa que
se consume enel tanquePeriodo de tiempo
C5Ec. 16
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El an"lisis anterior se puede %acer sobre alg#n componente enparticular o sobre la masa total en cuestin, el mismo tipo de ecuacin aplicaen el caso de tratarse de un an"lisis de energa o de momentum.
'or ejempli, si utili!amos la ecuacin 516 de la figura anterior, y%acemos un balance total de masa tendremos:
d (V)dt
=FiFs+Fg+Fc
Donde :
Fi = )antidad de masa que entra al tanque.
Fs = )antidad de masa que sale del tanque.
Fg = )antidad de masa que se genera en el tanque.
Fc = )antidad de masa que se consume en el tanque.
t = iempo.
= Densidad de la me!cla del tanque.
V = Bolumen de la me!cla del tanque.
E"e#$%o 1&
2upongamos que se tiene un tanque agitado, al cual entra agua con unavelocidad de .7 m8s, y sale con una velocidad de .1 m8s. Determinae sila altura del tanque despus de que %an transcurrido 8 segundos, si laaltura inicial del tanque era de 1.F m, y el tanque tiene forma de un cilindrorecto, con un "rea de seccin transversal de 1. m7.
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So%u'i(n&
Al %acer un balance de masa, llegamos a la ecuacin 576, sin los trminos degeneracin ni consumo, pues no %ay reaccin qumica en el tanque, aspi quetenemos:
d (V)dt
=FiFs
+uego, sustituimos cantidades en esta ecuacin y obtenemos:
d (V)dt
=[0.2(m3
s)x1000(Kgm3 )][0.15( m3
s)x 1000(Kgm3 )]
d (V)
dt =0.05(1000)(Kgs)
d (V)
dt =50(Kgs)
As se tiene que:
d (V)dt
= 50
1000
d (V)dt =0.05
'or lo que esta #ltima ecuacin se resuelve f"cilmente por separacin devariables, dando como resultado:
V = 0.05t + C
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$ con la condicin inicial %56 G 1.F, se tiene entonces:
V = Ah = 0.05t + C
% G 1.F G0.05t+C
A 0.05(0)+C
1.5
As que:
) G 7.H y por lo tanto B G .;t I 7.H
Entonces el valor de % despus de que %an transcurrido 8 segundos es:
% G0.05(30 )+2.7
1.5
RPTA& +a altura del tanque despus de 8 segundos es ) = *.+ #
Ejemplo 2:
)onsidere los dos tanques de la figura. (nicialmente el tanque 1, contiene7 litros de solucin salina en la que se %an disuelto Jilos de sal. Eltanque 7, que tiene litros de capacidad, contiene 1 litros de solucin
salina con concentracin de sal de1
25 Jilos por litro. En el instante tG
se abren simult"neamente las llaves A, 3, ) y D. 'or Aentra solucin con
concentracin de
1
10 Jilos por litro a 1 litros por minuto. 'or 3pasa lasolucin del tanque 1 al tanque 7 a 1 litros por minuto. 'or ) entra aguapura a 7 litros por minuto y por D sale solucin a = litros por minuto.
Determinar la cantidad de sal en el tanque 1 en un tiempo t.
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Soluci!:
2ea x (t) la cantidad de sal en el tanque 1 en el instante t El ritmo de
entrada al tanque 1 es de K1
1010 Jilos de sal por minuto K y el ritmo de
salida es de K 1 litros por minuto porx (t)200 "
Entonces:d (x )
d (t)+
x
20
=1 Ecuaci n dierencial lineal!
2olucin de la Ecuacin Diferencial:
1 P (t)= 1
20"# ( t)=1
7 Lallamos el
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F ! $ !=et
20
8d
dt[e
t
20 ! x ]=1 ! et
20
ddt
[ et
20 ! x ] dt= et
20 dt
et
20 ! x=20et
20+C
x ( t)=20+C !et20
Como x (0 )=40
40=20+C !e0
De donde: C=20
RESPUESTA x (t)=20+20.et20
1.*. Le, de Ne-ton de en/ia#iento
+o ley de 0eMton de enfriamiento menciona que la velocidad con quese enfria un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura yla temperatura del medio donde se encuentra. 2upongamos que
representa la tempratura de un objeto en cual instante N ' O, entoncesd%
dt
es la velocidad con que se enfria el objeto, y est" dado por:
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d%
dt=&(%%m)
Donde J es una constante de proporcionalidad y %m es la temperatura delambiente.
Ejemplo "
@na varilla de acero corrugado a una temperatura de 1< se pone en uncuarto a una temperatura constante
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5t6 G c e&t
5t6 G 1 e&t
576 G ana6:
)2= C G 10
6(361117) G 106
. 244 de donde :
) - 103
. 15,6
Res$uesta& El campamento de base se encontraba
apro&imadamente a15.600
pies de altura.
Ejemplo &
2e est" celebrando una fiesta en una %abitacin que contiene 1800 pies
c#bicos de aire libre de mon&ido de carbono. En el instante t=0
variaspersonas empie!an a fumar. El %umo, que contiene un seis por ciento de
mon&ido de carbono, se introduce en la %abitacin a ra!n de 0,15 pies
c#bicos por minuto, y la me!cla, removida por ventilacin, sale a ese mismoritmo por una ventana entreabierta. P)u"ndo deber" abandonar una personaprudente esa fiesta, si el nivel de mon&ido de carbono comien!a a serpeligroso a partir de una concentracin de 0,00018 Q(ln0,99-0,003)
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Soluci!
2ea C( t) la cantidad de mon&ido de carbono presente en la %abitacin
en un instante t
El ritmo de entrada es 0.15 . 0,06 G 9 . 103
.
El ritmo de salida es0,15.C(t)
1800 G5C(t)
6.104 .
Entonces, C +( t) G 9 . 103
5C(t)
6.104
)omo esta es una ecuacin lineal, la solucin es:
C( t) G e 5dt
6.104
5 9 . 103
e 5dt
6.104
dt+C
G e 5dt
6.104
5 9
.10
3
e 5dt
6.104
dt+C
G54.10
5 I Ce5 t6.10
4
)omoC(0) G 0, C( t) G 1F 51 e
5t6.10
4
6
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+uego, 18 . 105
G
1
108
1800 e
5t6.10
4
, de donde
t G1
6.104 !5
ln 18
2!10
3
18.6
t G
16.10
4
5 ln 0,003
t =36
RESPUESTA& 'or lo tanto, una persona prudente debera
abandonar la fiesta a los 36 minutos
Ejemplo ':
2eg#n la +ey de orricelli, la rapide! con que baja el agua en un tanque enforma de cilindro vertical que se vaca es proporcional a la ra! cuadrada dela profundidad del agua en el tanque. (nicialmente, el agua tiene unaprofundidad de R pies y un tapn es retirado en el tiempo t=0 5%oras6.
Despus de una %ora la profundidad %a descendido a 4 pies. P)u"ntotiempo tardar" el agua en salir del tanqueQ
Soluci!:
Sea ) (t) la altura del agua en el tanque en el instante t !
Entonces, )+= &) , de donde 2)= &t+C !
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Como ) (0 )=9, tenemos que C=6
y como ) (1 )=4, &=2.
As, ) (t)=
62t1
2
t
32
Finalmente, ) ( t)=0 3t=0 t=3.
o! lo tanto, el tanque demo!a!" # $o!as en %acia!se&
Eejmplo (
2e sabe que un cierto material radioactivo se desintegra proporcionalmente
a la cantidad presente. 2i inicialmente %ay miligramos de materialpresente y despus de dos %oras se observa que el material %a perdido el1T de su masa original, %allar:
a6 @na e&presin para la masa de material presente en un momento t
b6 +a masa despus de cuatro %oras
c6 El tiempo para el cual el material se %a desintegrado en la mitad de sumasa inicial.
Soluci!:
a) '(t) = mili!amos de mate!ial en el instante t
dx
dt=&x ( t)
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dx
x (t)=&dt
ln
(x ( t)
)=&t+C
C e&t
x (0 )=50
x (0 )=50.50=C 45=50e2&
2&=ln|4550|&=0.0526803
x (2 )=4545=c e2&
x ( t)=50e0.0526803 t
*x (4 )=50e0.0526803x4=40.5miligramos
c) x ( t)=25
25=50e0.0526803 t
e0.0526803t=0.5
espuesta: 13.1576)oras!
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*. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
DE ORDEN SUPERIOR
Ejemplo )
Determinar la carga critica para una barra delgada articulada en lose&tremos, cargada con una fuer!a de compresin a&ial en cada e&tremo. +alnea de accin de las fuer!a pasa por el centro de gravedad de la seccinde la barra.
Soluci!:
+a carga critica se define como la fuer!a a&ial suficiente para mantener a labarra en una forma ligeramente deformada. 3ajo la accin de la carga ', labarra tiene la forma fle&ada representada en la figura.
'ara que se produ!ca la fle&in lateral es necesario, individualmente, que une&tremo de la pueda moverse a&ialmente respecto al otro. +a ecuacindiferencial de la curva deformada es:
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1
(=E$d
2/
dx2 6
Aqu, el momento flector en el punto A de coordenadas 5&,y6 no es m"s quele momento de la fuer!a ' aplicada en el e&tremo i!quierdo de la barra,respecto a un eje por el punto A perpendicular al plano.
El momento flector es:
(=P/
eempla!amos en 516:
2
P/=E$d
2/
d2x
6
2i %acemos que:
3
PE$
=K2 6
Esta ecuacin se transforma en:
d2/
dx2+&2 /=0 (4)
esolviendo la ecuacin:
/00+&2/=0Ecuacion1omog2nea deCoeicientesConstantes!
Ecuacin Au&iliar: m2+&2=0
m2=&2
m1=+&i"m2=&i
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)aso (((:
3 ! F ! 3 != {e0x
cos (&x )" e0x
sen(&x )}
/=C1cos (&x )+C2 sen ( &x) 6
Determinamos C1/C2 .
En el e&tremo i!quierdo de la barra, /=0 cuando x=0 , sustituyendolos valores en 56 se tiene:
0=C1 cos (&.0 )+C2 sen(&.0)
C1=0
En el e&tremo derec%o de la barra, /=0 cuando x=4 , sustituyendo lo
valores en 56 se tiene:
0=C1 cos (& ! 4 )+C2 sen(&4)
0=C2 sen(&4)
Evidentemente, C2=0 sen (&4 )=0 y es nulo en todos los puntos y tenemos
solamente el caso trivial de una barra recta, que es la configuracinanterior a producirse el pandeo. )omo esta solucin no es de nuestrointers, tomaremos:
sen (&4)=0(6)
'ara que sea cierto debemos tener:
&4=n5 radianes (n=1,2,3,4, )(7)
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2ustituyendo 586 en 5H6 obtenemos:
P
E$4=n5
P=n25
2E$
42
(8)
(ndudablemente, el menor valor de esta carga P corresponde a n=1 .
Entonces tenemos el primer modo de pandeo, en que la carga critica esta
dado por:Pcr=
52E$
42
(9)
Es la llamada carga de pandeo de Euler para una columna con e&tremosarticulados. +a forma fle&ada correspondiente a esta carga es:
/=C2! sen P
E$ x (10)
2ustituyendo en esta ecuacin el valor de 5R6, obtenemos:
/=C ! sen(5x4)(11)
'or tanto, la deformacin es un sinusoide. A causa de la apro&imacinadoptada en deduccin de la ecuacin 516, no es posible obtener la amplitud
del pandeo, representada por ) en la ecuacin 5116.
)omo se puede ver en la ecuacin R, el pandeo de la barra se producerespecto al eje de la seccin para el cual + adopta un valor mnimo.
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Ejemplo *+
@n cilindro circular recto de 7 metros de radio esta verticalmentesumergido en agua cuya densidad es 1 Jgm8. 2i se empuja %acia abajo yse suelta tiene un periodo de vibracin de 1 segundo. Lallar el peso delcilindro.
Soluci!:
2ea positiva la direccin %acia abajo. $ sea , metros el movimiento del
cilindro en el tiempo t. 2eg#n el principio de Arqumedes: odo cuerposumergido, total o parcialmente en un fluido e&perimente un empuje %aciaarriba igual al peso del fluido desalojado.
Entonces la variacin que corresponda a la fuer!a de flotacin es:
E==(5 r2/ )
E=
(1000
&g
m3
)(22m2) 5/
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E=40005/ &g
'or lo tanto por la ley del movimiento vibratorio:
6g
! d
2
/d
2x=E
6
9.8!d
2/
dx2=40005/
d2/
dx2+
39200
6 5/=0 Ec !di !lineal )omogenea de coeicientes constantes !
esolviendo:
Ecuacin )aracterstica:
m2+
39200
6 5=0
m2
=39200
6 5
m1=+39200 5
6 i" m2=
39200 5
6 i
)aso (((:
3 ! F ! 3 != {e0xcos (39200 5/6 t)"e0xsen(392005/6 t) }
/=C1cos (39200 5/6 t)+C2 sen (392005/6 t)
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+uego por ser Bibracin libre sin amortiguamiento se tiene que el periodo:
%= 2 5
39200 5/6
%=256
39200
1=256
39200
6=
39200
4 5
Res$uesta 6=3119.43&g !
Ejemplo **:
@na masa de 7lb que est" sujeta a un resorte elonga a un resorte =
pulgadas, luego se coloca la masa %acia un punto que est" ubicado a F
pulgadas por debajo de la posicin de equilibrio con una velocidad %acia
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arriba de4
3 t
s . Determinar la posicin de la masa despus de 7
segundos de soltar la masa.
Soluci!:
)onsideremos el siguiente esquema del problema:
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)omo se trata de un movimiento libre amortiguado, obedece a la siguiente ecuacion
diferencial:
d2x
d t2+
&
mx=0
A%ora para simplificar el ejercicio convertimos a las unidades deOt
N las
elongaciones
12=1
2t
66!1 t
12=2
3t
88!1 t
ambin tenemos otros datos del problema:
x+(0)=43t
x (0)=2
3t
A%ora, debemos determinar las magnitudes de N & y m N
U "2(3* * "( #*4%($'( ( $(/5%6/6 / '$/47" 6( 5/ 8/-%/, "%* / '$/47"6(5 "26*$, 6('($8%/#%9 : '$/&/;* 62$* P-%/
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'ara determinar la magnitud de & , consideraremos el siguiente diagrama
de cuerpo libre en la
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d2x
d t2+
4
1
16
x=0
d2x
d t2+64x=0
'rocedemos a solucionar la ecuacion diferencial:
2i decimos que P=dx
dt , tenemos:
P2+64=0
P2=64
64+
P=
8 i+
P=
E+ 2(2E*A
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x +( t)=8C1 sen 8t+8C2cos8 t
'ero por datos iniciales del problema tenemos que:
x ( t)=C1cos8t+C2 sen8 t , pero x (0)=2
3t
2
3=C1 cos (0)+C2 sen(0)
23=C1
Adem"s:
x +( t)=8C1 sen 8t+8C2cos8 t , pero x+(0)=4
3t x+(0)=4
3t x+(0)=4
3t
43=8C1 sen(0)+8C2 cos (0)
43=8C2
16=C2
$ la ecuacion diferencial queda de la siguiente manera:
x ( t)=2
3 cos8t1
6sen8 t
!E"#$%&%$ '()'*+ P-%/ 1
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