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Aplicaciones de las integrales dobles
Las integrales dobles tienen multiples aplicaciones en fısica y en geometrıa. A con-tinuacion damos una relacion de alguna de ellas.
1. El area de una region plana R en el plano xy viene dada por una integral doble.
area(R) =∫∫
Rdxdy
2. El volumen V encerrado entre una superficie z = f(x, y)(> 0) y una region R en elplano xy es
V =∫∫
Rf(x, y)dxdy
3. Sea f(x, y) la funcion de densidad (=masa por unidad de area) de una distribucionde masa en el plano xy. Entonces la masa total de un trozo plano R es
M =∫∫
Rf(x, y)dxdy
4. El centro de gravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas x, ydonde:
x =1
M
∫∫
Rxf(x, y)dxdy, y =
1
M
∫∫
Ryf(x, y)dxdy
5. Los momentos de inercia Ix e Iy de la masa de R con respecto a los ejes x e yrespectivamente son:
Ix =∫∫
Ry2f(x, y)dxdy; Iy =
∫∫
Rx2f(x, y)dxdy
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES
En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como
geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y
para las integrales triples.
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES
Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las
aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se
encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de
volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas
están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas,
centros de masa y momentos de inercia para una región
bidimensional.
ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco
de la integral doble de una función f positiva en una región
bidimensional D, ( )D
f x, y dA∫∫ , como el volumen del sólido S
definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora,
si se considera que ( ), 1f x y = , entonces la integral anterior queda
como:
( )D D
f x, y dA dA=∫∫ ∫∫ (III.1)
Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene
que:
0 1 1
n m
ijD P i jdA Lim A
→ = =
= ∆∑∑∫∫ (III.2)
Recuerde que la integral doble ( )
Df x, y dA∫∫ ,
también puede escribirse como
( )0 1 1
n m* *
i j ijP i jLim f x , y A
→ = =
∆∑∑
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
donde ijA∆ es el área del rectángulo genérico denotado ijD , el
cual puede observarse en la figura 3.1
D
a = x0
y
xxi xn= bxi-1
c = y0
d = ym
yj-1
yjyj
xi (xi*,yj
*)
Dij
Figura 3.1
Región D dividida en subrectángulos ijD
En otras palabras, la integral D
dA∫∫ representa el volumen de un
sólido de sección transversal constante, cuya base es la región D
y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas
características, el volumen se obtiene como el producto del área
de la base y la altura del mismo.
A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una
región plana.
ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
Sea D una región bidimensional D , tal que 2D ⊆ . Sea A el
área de la región D , entonces:
DA dxdy= ∫∫ (III.3)
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Observe que si la región D es de tipo 1, la ecuación anterior
queda como:
( )
( ) [ ] ( )( )b g x b g x
f xa f x aA dydx y dx= =∫ ∫ ∫ (III.3)
( ) ( )b
aA g x f x dx= − ∫ (III.4)
Donde la última integral, representa el área comprendida entre las
gráficas de ( )y f x= y ( )y g x= en el intervalo cerrado [ ]a,b . Esta
integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II, dentro
de las aplicaciones de la integral definida.
Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales
dobles: D
dxdy∫∫ y D
dydx∫∫ , ( ){ }2 22 4D x, y x y y x y= ≥ − ∧ ≤ −
Figura 1
Ejercicio 1
Recuerde que la gráfica de la ecuación:
2x ay by c= + +
Es una parábola horizontal
Recuerde que una región D es de tipo 1 si se cumple:
( )( ) ( )
x, y a x bD
f x y g x
≤ ≤ ∧ = ≤ ≤
24x y= −
2 2x y y= −
D
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Para calcular el área de la región por medio de la integral doble
Ddxdy∫∫ , es necesario definir los límites de integración, que se
ilustran en la figura 3.3
Observe que la región D es una región tipo 2, por lo cual el área se obtiene empleando una sola integral doble de la forma
Ddxdy∫∫ .
Valor de x a la salida de D
24x y= −
D
Valor de x a la entrada de D
2 2x y y= −
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Dada la región D , determine las ecuaciones de las curvas que la
limitan y calcule su área empleando las integrales dobles: D
dxdy∫∫
y D
dydx∫∫ .
Figura 3.5
Región D del ejemplo 3.2
Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región D son:
1 16 20C : y x= +
2 2 20C : y x= − + y
23 4C : y x=
a) Para el cálculo del área de la región D por medio de la integral
doble D
dxdy∫∫ , se necesita saber que valor toma la variable x a la
entrada y salida de la región. En la figura 3.6 se pueden observar
estos valores.
Ejercicio 2
Las ecuaciones de las curvas en función de la variable y son:
120
16yC : x −
=
220
2yC : x −
=
1 2y
C : x = ±
C1
D
C3
C2
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Figura 3.6
Región D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2
Como 1 2 3D D D D= ∪ ∪ , entonces: 1 2 3D D D
A dxdy dxdy dxdy= + +∫∫ ∫∫ ∫∫
donde:
( )
( )
( )
1
2
3
0 42 2
20 4 1616 2
20 20 16 2016 2
y yD x, y x y
yyD x, y x y
y yD x, y x y
= − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
− − = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
La región D no es una región tipo 2, sin embargo se puede dividir en tres regiones: D1, D2 y D3., que sí lo son. Por esta razón, para resolver la integral doble
Ddxdy∫∫ se debe
emplear la propiedad aditiva respecto a la región de integración.
Valor de x a la salida de D3
202
yx −= D3
Valor de x a la entrada de D3
2016
yx −=
Valor de x a la salida de D2
2y
x =
D2
Valor de x a la entrada de D2
2016
yx −=
Valor de x a la salida de D1
2y
x = D1
Valor de x a la entrada de D1
2y
x = −
4y =
16y =
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre
dos círculos concéntricos de radios 2 y 4.
Considere una corona circular con centro en el origen del sistema
de coordenadas tal como se observa a continuación.
Figura 3.8
Región D del ejemplo 3.3
Como D
A dydx= ∫∫ y la región D es simétrica respecto al origen,
entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará
11 D
A dydx= ∫∫ , donde 1A es el área de la región D que se encuentra
en el primer cuadrante, denotada como 1D
14A A=
La región denotada como D1, se muestra en la figura 3.9.
La región D planteada en el ejemplo 3.3 recibe el nombre de corona circular, y su área es:
( )2 2A R rπ= −
donde R: Radio externo r: radio interno
Ejercicio 3
D 2 2 16x y+ =
2 2 4x y+ =
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Figura 3.9
Región 1D del ejemplo 3.3
Luego: 1. 1.
1A BD D
A dydx dydx= +∫∫ ∫∫ , donde:
( ){ }( ){ }
2 21
21
0 2 4 16
2 4 0 16
.A
.B
D x, y x x y x
D x, y x y x
= ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −
= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −
Valor de y a la salida de D1.A
216y x= −
Valor de y a la entrada de D1.A
24y x= −
D1.A
2x =
D1.B
Valor de y a la salida de D1.B
216y x= −
Valor de y a la entrada de D1.B
0y =
Para calcular el área de la región D1, se puede dividirla en dos regiones tipo 1:
1 1 1.A .BD D D= ∪
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
En el capítulo 1 de este trabajo, se determinó que la integral
( )D
f x, y dA∫∫ representa el volumen del sólido S definido sobre la
región D y bajo la gráfica de la función f ; sin embargo, la integral
doble también puede emplearse para determinar el volumen de un
sólido más general.
Dibuje el sólido S acotado por las superficies: 2 22z x y= + y
2 220z x y= − − y plantear su volumen empleando integrales
dobles.
En la figura 3.10 se muestra el sólido S de este ejemplo, donde la
superficie superior es 2 220z x y= − − y la superficie inferior viene
dada por la ecuación 2 22z x y= + .
VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Sean 2:f → y 2:g → dos funciones reales, continuas
en una región bidimensional D , tales que ( ) ( ), ,f x y g x y≤
( ),x y D∀ ∈ . Sea V el volumen del sólido acotado
superiormente por la gráfica de la función g y acotado
inferiormente por la gráfica de la función f, entonces:
( ) ( ), ,D
V g x y f x y dA= − ∫∫ (III.5)
Ejercicio 4
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Figura 3.10
Sólido S del ejemplo 3.4
El volumen del sólido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene
mediante la integral doble:
2 2 2 220 2D
V x y x y dA = − − − + ∫∫
donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta
proyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en
el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos
superficies:
2 22 2 2 2
2 2
22 20
20
z x yx y x y
z x y
= + ⇒ + = − −= − −
( )2 2 2 2 2 24 20 4x y x y x y+ = − − ⇒ + =
Entonces:
( ){ }2 2, 4D x y x y= + ≤
La superficie definida por la ecuación:
2 220z x y= − − Es una semiesfera (parte superior).
La superficie definida por la ecuación:
2 22z x y= + Es un cono .
S
Valor de z a la salida de S
2 220z x y= − −
Valor de z a la entrada de S
2 22z x y= +
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Figura 3.11
Región D del ejemplo 3.4
Es decir, ( ){ }2 2, 2 2 4 4D x y x x y x= − ≤ ≤ − − ≤ ≤ −
Volviendo a la integral de volumen, se tiene que:
2
2
2 4 2 2 2 2
2 420 2
x
xV x y x y dydx
−
− − − = − − − + ∫ ∫
Valor de y a la salida de D
24y x= −
Valor de y a la entrada de D
24y x= − −
D
Donde D es una región tipo 1 y también tipo 2, pero en este ejemplo se trabaja como una región tipo 1.
En el siguiente capítulo, se mostrará como resolver una integral de este tipo, empleando un cambio de variable apropiado.
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Dibuje el sólido S acotado por las superficies: 4z xy= + y 1z = y
dentro del cilindro 2 2 1x y+ ≤ , calcule su volumen empleando
integrales dobles.
En la figura siguiente se aprecia el sólido S, acotado por las
superficies 4z xy= + y 1z = y dentro del cilindro 2 2 1x y+ ≤ .
Figura 3.12
Sólido S del ejemplo 3.5
El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble:
[ ] [ ]4 1 3D D
V xy dA xy dA= + − = +∫∫ ∫∫
donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta
proyección, se observa en la figura 3.13
EJERCICIO 5
S 2 2 1x y+ =
Valor de z a la salida de S
4z xy= +
Valor de z a la entrada de S
1z =
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Figura 3.13
Región D del ejemplo 3.5
En este caso, la región D se define como:
( ){ }2 2, 1 1 1 1D x y y x y y= − − ≤ ≤ − − ≤ ≤
Dibuje el sólido S acotado por 3 31z x y xy= + + , 0z = , 3y x x= − y 2y x x= + y calcule su volumen empleando integrales dobles.
En la figura 3.14 se observa el sólido S, acotado superiormente por 3 31z x y xy= + + e inferiormente por 0z = ; mientras que las
superficies 3y x x= − y 2y x x= + definen las paredes de dicho
cuerpo tridimensional.
EJERCICIO 6
Valor de x a la salida de D
21x y= −
Valor de x a la entrada de D
21x y= − −
D En este ejemplo, la región D es de tipo 1 y también tipo 2, pero se trabaja como una región
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Figura 3.14
Sólido S del ejemplo 3.6
Donde, el volumen del sólido S, se obtiene como:
3 3 3 31 0 1D D
V x y xy dA x y xy dA = + + − = + + ∫∫ ∫∫
Al proyectar el sólido anterior en el plano xy, se obtiene la región
bidimensional D, la cual se aprecia en la figura 3.15
Figura 3.15
Región D del ejemplo 3.6
Valor de y a la salida de D
3y x x= −
Valor de y a la entrada de D
2y x x= +
D
En la figura 3.15, se observa que la región D del ejemplo 3.6 es una región de tipo 1.
S
Valor de z a la salida de S
3 31z x y xy= + +
Valor de z a la entrada de S
0z =
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Por lo tanto, la región D se define como:
( ){ }2 3, 1 0D x y x x x y x x= − ≤ ≤ + ≤ ≤ −
La integral de volumen queda como:
3
2
0 3 3
11
x x
x xV x y xy dydx
−
+− = + + ∫ ∫
13 90 11 8 7 6 3 2
1
7 5174 2 24 4 1260
x xV x x x x x x x dx−
= − + − − − + − − =
∫
MASA DE UNA FIGURA PLANA
A continuación, se explica como determinar la masa de una figura
plana no homogénea, de área D , como la región mostrada en la
figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en
cada punto ( )x, y D∈ .
Figura 3.16
Región D no homogénea
La densidad tiene unidades de masa por área unitaria. Para esta aplicación, considere que la función densidad ρ es continua en la región D .
En la figura 3.16 la región D es no homogénea, por lo cual su sombreado no es uniforme. Adicionalmente: ( ) ( )0x, y x, y Dρ = ∀ ∉
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Si se escoge un punto arbitrario ( )* *i j ijx , y D∈ , entonces la masa
de este subrectángulo, denotada como ijm , se obtiene como:
( )* *,ij i j ijm x y Aρ= ∆ (III.6)
Por lo tanto la masa de la placa plana de área A , se puede
estimar mediante la doble suma de Riemann:
( )* *
1 1,
n m
i j iji j
m x y Aρ= =
≈ ∆∑∑ (III.7)
Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la
norma de la partición P tienda a cero, se tiene:
( )* *
0 1 1,
n m
i j ijP i jm Lim x y Aρ
→= =
= ∆∑∑ (III.8)
( ) ( )* *
0 1 1, ,
n m
i j ij DP i jm Lim x y A x y dAρ ρ
→ = =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.9)
Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene
mediante:
MASA DE UNA FIGURA PLANA
Considere una lámina plana de densidad variable ( )x, yρ ,
que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa,
denotada m , se obtiene como:
( ),D
m x y dAρ= ∫∫ (III.10)
El cálculo de masa de una región D , también puede emplearse para calcular la carga eléctrica, Q, distribuida sobre una región D .
( ),D
Q x y dAσ= ∫∫
Donde σ es la función densidad de carga.
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas 2 1x y= − y 22 2x y= − , cuya densidad es igual a la unidad.
Recuerde que la densidad se calcula como ( ),D
m x y dAρ= ∫∫ , por
lo tanto para esta placa se tiene:
Dm dA= ∫∫
Ahora, se debe identificar la región D para definir los límites de
integración.
Figura 3.17
Región D del ejemplo 3.7
Entonces la región D está definida como:
( ){ }2 22 2 1 1 1D x, y y x y y= − ≤ ≤ − ∧ − ≤ ≤
EJERICIO 7
Valor de x a la salida de D
2 1x y= −
Valor de x a la entrada de D
22 2x y= −
D
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS
El momento estático de una partícula alrededor de un eje se
define como el producto de su masa y la distancia que la separa
de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los
momentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejes
coordenados.
Considere una lámina o placa plana D , dividida en
subrectángulos ijD , tal como se muestra en la siguiente figura:
Figura 3.20
Región general D no homogénea
Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada
subrectángulo ijD , denotado como ijxM , viene dado por:
( )* * *,ijx j i j ijM y x y Aρ= ∆ (III.11)
Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada
subrectángulo, se tiene que:
( )* * *
1 1,
n m
x j i j iji j
M y x y Aρ= =
≈ ∆∑∑ (III.13)
Los momentos estáticos son momentos de “equilibrio”.
xM es una medida de la tendencia a girar en torno al eje x, análogamente,
yM es una medida de la
tendencia a girar alrededor del eje y.
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta
en la expresión anterior:
( )* * *
0 1 1,
n m
x j i j ijP i jM Lim y x y Aρ
→ = =
= ∆∑∑ (III.14)
( ) ( )* * *
0 1 1, ,
n m
x j i j ij DP i jM Lim y x y A y x y dAρ ρ
→ = =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.15)
Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se
denota yM , se obtiene como:
( ) ( )* * *
0 1 1, ,
n m
y i i j ij DP i jM Lim x x y A x x y dAρ ρ
→ = =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.16)
MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS
Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la función 2:ρ → , la cual es continua
( )x, y D∀ ∈ , entonces el momento estático alrededor del eje x,
denotado xM , se obtiene como:
( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ (III.17)
Mientras que el momento estático alrededor del eje y,
denotado yM , se calcula como:
( ),y DM x x y dAρ= ∫∫ (III.18)
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el
ejercicio 7
Solución:
Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera:
( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ y ( ),y D
M x x y dAρ= ∫∫ .
Entonces:
( )2
2
1 1 1 2
1 2 2 11 0
y
x yM ydxdy y y dy
−
− − −= = − =∫ ∫ ∫
2
2
1 1 1 4 2
1 2 2 1
3 3 832 2 5
y
y yM xdxdy y y dy
−
− − −
= = − − + = − ∫ ∫ ∫
EJERCICIO 8
La región del ejemplo 3.7 se muestra a continuación
Y se encuentra acotada por las curvas 2 1x y= − y 22 2x y= − . La densidad es :
( ) 1x, yρ =
( ) 2 22 2 1
1 1
x, y y x yD
y
− ≤ ≤ − ∧ = − ≤ ≤
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
CENTRO DE MASA
El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P de
coordenadas ( )x , y D∈ , en el cual la región se equilibra
horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de
las ecuaciones:
yMx
m= (III.19)
xMym
= (III.20)
Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos
estáticos se calculan por medio de integrales dobles.
El centro de gravedad también es llamado centro de masa.
El significado físico del centro de gravedad, es que la lámina se comporta como si su masa estuviera concentrada en ese punto.
El centro de gravedad recibe el nombre de centroide cuando la densidad es constante.
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el
ejercicio 7
El centro de masa es un punto ( )P x , y D∈ , tal que sus
coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III.21 y
III.22. Como ya se calculó la masa y los momentos estáticos para
esta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones III.19
y III.20
865
4 53
yMx
m= = − = −
0 043
xMym
= = =
CENTRO DE MASA
Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la función 2:ρ → , la cual es continua
( )x, y D∀ ∈ , entonces el centro de gravedad viene dado por:
( )1 ,D
x x x y dAm
ρ= ∫∫ (III.21)
( )1 ,D
y y x y dAm
ρ= ∫∫ (III.22)
Donde m es la masa de la placa D , que se obtiene como
( ),D
x y dAρ∫∫ .
La región del ejemplo 3.7 está acotada por las curvas 2 1x y= − y
22 2x y= − . Su densidad es :
( ) 1x, yρ =
Y adicionalmente se obtuvo:
2
2
1 1
1 2 2
43
y
ym dxdy
−
− −= =∫ ∫
0
85
x D
y D
M ydA
M xdA
= =
= = −
∫∫
∫∫
EJERCICIO 10