aplicaciones del teorema chino de los restos
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y
TECNOLOGÍA
ESCUELA DE MATEMÁTICA
Monografía del Seminario de Tesis
Tópico de Teoría de Números
Facilitador: Dr. Jaime Gutiérrez
Panamá, 22 Julio de 2011
AGRADECIMIENTO
Agradecimiento a Dios Todo poderoso por haberme permitido cumplir con
esta meta.
Muy especialmente al Dr. Jaime Gutiérrez, por su tiempo, su orientación y su
excelente disposición.
INDICE GENERAL
Página
Aplicaciones del teorema Chino de los restos……………………………. 1
Introducción …………………………………………...……………………………… 2
CAPÍTULO I
1. ASPECTOS GENERALES DEL TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS Y
CONGRUENCIAS.
1.1 Contenido …………………………………………………………………………. 3
1.2 Antecedentes Históricos…….……………………………………………………… 4
1.3 Nociones básicas de la teoría de congruencia……………………………………… 6
1.3.1 Propiedades de las congruencias. ………………………………………. 7
1.4 Sistemas completos de restos………………………………………………………. 15
1.5 Congruencia lineal……………………………………………………………….... 17
CAPÍTULO II
2. APLICACIONES DEL TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS
2.1 Teorema Chino de los Restos ……………………………………………………… 23
2.2 Ejemplos de aplicaciones del Teorema Chino de los Restos……………………… 25
2.2.1 Solución del Problema 1872 propuesto por Gregor Olsavsky…………. 31
2.3 Congruencias cuadráticas…………………………………………………………… 33
2.4 Criptografía…………………………………………………………………………. 37
2.4.1 Cifrado monográfico ……………………………………………………. 37
Conclusión……………………………………………………………………………… 41
Referencias Bibliográficas…....………………………………………………………… 42
INDICE TABLAS
Página
1. Tabla N°1 Equivalente numérico ……………………………………... 45
2. Tabla N°2 Cifrado C ≡ P + 3(mód 27)………………………………… 45
3. Tabla.3 Inversos mód 27 de los números positivos < 27 primos relativos... 47
4. Tabla 4. Muestra en porcentaje la frecuencia de ocurrencias más usadas en
español, en orden decreciente ……………............................. 48
INDICE ILUSTRACIONES
Página
1. Fotografía de Sun Tzu………………………………………………………. 9
2. Ilustración de las tropas combatientes Sun Tzu…………………………….. 9
3. Fotografía Qin Jiushao……………………………………………………… 10
APLICACIONES DEL TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS
MANUEL NAVARRO, ROMERO
INTRODUCCIÓN
La presente monografía que presentamos a consideración del lector es un resultando
importante de la teoría de números, el Teorema chino de los restos.
Nuestro propósito es dar a conocer, que a través de las propiedades de congruencias y
linealidad, resolveremos sistemas de congruencias lineales mediante el Teorema Chino de
los restos con diversas aplicaciones.
Se inicia con el origen histórico, contribuciones relevantes de Sun Tzu , Qin Jiushao,
nociones básicas de la teoría de congruencias, definiciones, proposiciones, ejemplos,
congruencias lineales, cuadráticas y finaliza con aplicaciones a la criptografía de Cifrados
monográficos.
En el primer capítulo desarrollaremos las principales propiedades de congruencias con
ejemplos, que nos ayudará a simplificar, determinar si una congruencia posee o no solución
y calcular problemas referentes a la teoría de números.
Veremos, como resolver congruencias lineales mediante propiedades de congruencias y
aplicando el algoritmo extendido de Euclides.
En el segundo capítulo utilizaremos el método del teorema chino de los restos para resolver
sistemas de congruencias lineales, algunas aplicaciones a la solución de ecuaciones
cuadráticas y aplicación a la criptografía en el cifrado monográfico.
Esta monografía brinda la oportunidad de ampliar los conocimientos referentes al Teorema
Chino de los restos. Esperamos que este trabajo sea de ayuda y motivación para aquellas
personas que desean conocer más de la matemática, especialmente del teorema Chino de
los restos para ampliar nuestro conocimiento y además llenar el propósito con que se ha
escrito.
CAPÍTULO I
ASPECTOS GENERALES DEL TEOREMA CHINO DE
LOS RESTOS
1.1 Contenido
El Teorema Chino de los restos es un resultado de la teoría elemental de números
relacionados con propiedades de linealidad. Consiste en que un sistema de dos o más
congruencias lineales resueltas por separado con solución única, se puede resolver
simultáneamente si los módulos son relativamente primos dos a dos.
Este teorema básicamente dice que es posible reconstruir un entero en cierto rango a partir
de los residuos de una pareja de factores del entero relativamente primos.
De esta forma se obtiene una representación distinta del número en forma más reducida del
número.
Aporta una forma sencilla de manipular números módulo n muy grande en forma de
números menores.
El teorema tiene dos aplicaciones importantes:
§ Es estructural, en el sentido que describe a la estructura de idéntica a la del
producto cartesiano realizando la suma y multiplicación de la
i-ésima componente módulo ni.
§ Da lugar a algoritmos muy eficientes puesto que es mejor calcular en cada
subsistema que hacerlo módulo n.
La formulación precisa del teorema chino de los restos la trataremos más adelante,
ahora nos ocuparemos de los antecedentes históricos.
1.2 Antecedentes Históricos
Sun Tzu, Nacimiento: 544 a.C Defunción: 496 a.C. Fue Escritor,
pensador, político y militar chino, autor del más antiguo y
brillante tratado militar. Sun Tzu, procedía del estado de Ch’i
y gracias a su libro "el arte de la guerra" adquirió fama entre
los señores feudales, en especial para el rey de Wu. Sun Tzu
pudo ser un general chino del siglo V a.C., la época de los
Reinos Combatientes, que escribió El arte de la guerra, uno
de los libros más antiguos que se conocen y un clásico de la
literatura china. El arte de la guerra es un compendio de
doctrinas básicas sobre táctica y estrategia militar, basándose en dos principios
fundamentales: el engaño y el sometimiento del enemigo sin recurrir a la lucha. El libro ha
sido de gran influencia en estadistas posteriores como Maquiavelo, Napoleón o Mao
Zedong, y en los últimos años ha tenido gran influencia en la formación de directivos para
numerosas multinacionales al transpolar sus enseñanzas al terreno de los negocios.
La obra de Sun Tzu llegó por primera vez a Europa en el periodo anterior a la Revolución
Francesa, en forma de una breve traducción realizada por el sacerdote jesuita J. J. M.
Amiot. En las diversas traducciones que se han hecho desde entonces, se nombra
ocasionalmente al autor
como Sun Wu o Sun Tzi.
Sun Tzu utilizo El teorema
Chino de los restos para
ordenar sus tropas.
Qin Jiushao Nacimiento: 1202 Defunción: 1261. Fue
el primer matemático chino del siglo XII, escribió
el tratado Shushu Jiuzhang, este contiene un gran
trabajo del teorema chino de los restos y solución
de ecuaciones de hasta grado diez. Qin Jiushao o
Ts'in Kieu-shao; Sichuan, hacia 1202 - Meixian,
hacia 1261 Matemático chino. Debe su fama a un
importante libro: el Tratado de matemáticas en
nueve capítulos (1247). Cada capítulo de este
libro consta de dos secciones, y cada sección
contiene nueve problemas. El tratado cubre una amplia gama de temas; aunque la mayor
parte está dedicada a temas puramente matemáticos, como el análisis indeterminado, y a la
solución de ecuaciones lineales, se ocupa también de muchas aplicaciones de las
matemáticas, como la astronomía, el calendario, la geodesia, la arquitectura y el comercio.
En él resolvió más de veinte ecuaciones utilizando un método análogo al descubierto por
Ruffini en el siglo XIX, y es la obra más antigua en que aparece el cero.
Qin explica por primera vez como expertos chinos calculaban datos astronómicos según el
ritmo del solsticio de invierno. Entre de sus logros está la introducción de una técnica para
solucionar ecuaciones, hallar sumas de series aritméticas y solucionar sistemas lineales.
Puesto que también hace comentarios prácticos sobre las matemáticas, el libro de Qin
proporciona una valiosa información sobre las condiciones sociales y económicas en China
durante el siglo XIII. Qin desarrolló su talento en muchas otras áreas además de las
matemáticas, como en la música, tiro con arco, esgrima, poesía y arquitectura.
1.3 Nociones básicas de la Teoría de Congruencias.
En su obra Disquisitiones Arithmeticae, publicada en el año 1801, Gauss (uno de los
matemáticos más grande de todos los tiempos) introdujo en las matemáticas el concepto de
congruencia. En vez de decir que 3 es el residuo cuándo se divide por 7, escribimos
10≡3(mód 7)
Vamos a estudiar los números enteros en relación con los restos de la división de los
mismos por un entero positivo m dado, al cual lo llamaremos módulo.
Definición y propiedades básicas de las congruencias, semejantes a las propiedades de
las igualdades.
Comenzamos definiendo el concepto central del tema, y analizando sus propiedades con
ejemplos que aclararan los conceptos que se definen permitiendo una aplicación directa de
las propiedades.
1.1 Definición:
Sea m un entero positivo a, b dos números enteros. Diremos que a y b son congruentes
módulo m si m divide a a-b. Utilizaremos la notación a b(mód m), es decir,
a b(mód m) m | a – b
Ejemplo 1.2
Encontrar tres números enteros distintos, cada uno de los cuales sea congruente con
11(mód12).
a ≡11 (mód 12) ↔a =11+12q, con q ℤ
Si ahora tomamos, por ejemplo, q = -1, 0, 1 tendremos los tres números buscados:
a=11+12(-1)=-1
a=11+12(0)=11
a=11+12(1)=23
1.3.1 Propiedades de las Congruencias
A continuación damos una serie de propiedades de las congruencias, con frecuencias
son muy útiles.
Ejemplo 1.1
12 -3(mód 5), ya que 5|15
-5 -25(mód 10), ya que 10|20
17≢ 10(mód 4), ya que 4∤7
Para todo par de enteros a y b, tenemos a ≡ b(mód 1)
80≡20 (mód 15), ya que 15|60
24≡13 (mód 11), ya que 11|11
Proposición. 1. 1
La congruencia módulo m es una relación de equivalencia sobre ℤ.
Sean a, b, c y m son tres enteros con m>0. Se verifica:
a. Reflexiva. a a(mód m)
b. Simétrica. Si a b(mód m), entonces b a(mód m)
c. Transitiva, Si a b(mód m) y b c(mód m), entonces a c(mód m)
Demostración
Utilizaremos las propiedades de divisibilidad.
a) a a(mód m)
Teniendo en cuenta que m≠0,
m|0 ↔ m|a-a ↔ a a (mód m)
b) Si a b (mód m), entonces b a(mód m). En efecto,
a b (mód m) m|a-b m| (-1) (a-b) → m|b-a b a(mód m)
c) Si a b(mód m) y b c(mód m), entonces a c(mód m). En efecto,
a b mód m) m|a b
b c mód m) m|b c
→ | ) ) → | → a c mód m)
Las principales consecuencias de esta proposición son:
1- Podemos sustituir cualquier entero de la congruencia por un entero congruente.
Por ejemplo para mostrar que 992 1 mód100) lo más fácil es sustituir 99 por -1 y
calcular (-1)2 = 1.
2- Podemos sumar o restar el mismo entero a ambos miembros de una congruencia.
3- Podemos multiplicar ambos miembros de una congruencia por el mismo entero.
4- Podemos simplificar o dividir ambos miembros de la congruencia por el mismo entero
cuando (a, m) = 1.
Por ejemplo, 30 6 mód8) dividido por 3 tenemos 10 2 mód 8) es correcto
porque m.c.d (3,8)=1
A continuación damos una serie de propiedades de las congruencias, relacionadas con la
suma y el producto de números enteros.
Proposición 1.2
Si a ≡ b(mód m) y c ≡ d(mód m), entonces
i) Para todo par de enteros α y β, aα + xβ ≡bα + yβ (mód m)
ii) a + b ≡ c +d (mód m)
iii) ac ≡ bd (mód m)
iv) Para todo entero positivo n, an ≡ b
n (mód m)
v) f(a) ≡ f(b) (mód m) para todo polinomio f con coeficientes enteros.
Demostración:
i) a ≡ b(mód m) → m | a – b
→ α(a-b)
→ aα – αb
es decir, αa ≡ αb (mód m) (*)
y x ≡ y (mód m) → m | x – y
→ m | βx - βy
→ βx ≡ βy(mód m) (**)
Por (*) y (**) se tiene αa + βx ≡αb + βy (mód m).
ii) a b mód m) m | a – b
c d mód m) m | c – d
→ m |(a – b) + (c - d) → m |(a + c) - (b + d)
luego, a + c ≡ b +d(mód m)
iii) a b mód m) m|a – b → m|ac – bc
c d mód m) m|c – d → m|bc – bd
→m|(ac–bc)+(bc - bd) → m|ac-bd
por lo tanto, ac ≡ bd(módm).
iv) Inducción /n
a ≡ b(mód m)
→ a1 ≡b
1 (mód m)
Si an-1
≡bn-1
(mód m) (Hipótesis de inducción)
→ an-1
.a ≡ bn-1
.b (mód m) por (iii)
→ an ≡b
n (mód m)
v) Sea f(x) = c0 + c1x + c2x2 +… +cnx
n un polinomio con coeficientes enteros.
Así, f(a) = c0 + c1a + c2a2 +… +cna
n y f(b) = c0 + c1b + c2b
2 +… +cnb
n .
Por (iv) ai ≡b
i (mód m) para cualquier entero i > 0 entonces ci a
i ≡ci b
i (mód m)
luego,
c0 + c a
c b
(mód m) y por lo tanto f(a) ≡ f(b) (mód).
Ejemplo.1.3
Demostrar que el cuadrado de cualquier número entero es divisible por 3 o es congruente
con 1 módulo 3.
a ≡ 0(mód 3) → a2 ≡ 0(mód 3) (i)
↔ 3|a2
↔ a2 es divisible por 3
ó
a ≡ 1(mód 3) → a2 ≡ 1(mód 3) (i)
ó
a ≡ 2(mód 3) → a2 ≡ 4(mód 3) (i)
↔ 3|a2-4
↔ a2 – 4 = 3q
↔ a2 = 3q+4
↔ a2
= 3(q+1) + 1
↔ 3|a2 – 1
↔ a2 ≡ 1(mód 3)
Luego a2 es divisible por 3 o es congruente con 1 módulo 3.
Ejemplo.1.4
9 ≡ 5(mód 4)
6 ≡ 2(mód 4)
54 ≡ 10(mód 4)
Ejemplo.1.5
9 ≡ 5(mód 2) → 95 ≡ 5
5(mód 2)
La recíproca no es verdadera
72 ≡ 5
2(mód 4) pero 7
≡ 5(mód 4) es falso ya
que 2 no es divisible entre 4.
Proposición 1. 3
Sean a, b, c, d, p y m, enteros con p≠0 y m>0. Se verifica:
i) Si a ≡ b(mód m), entonces pa ≡ pb(mód m)
ii) Si ac ≡ bc(mód m) y d(m,c) entonces a ≡ b ó
iii) Si a ≡ b(mód m) y d|a, d|m, entonces d|b.
iv) Si p|a, p|b, m.c.d. (p, m) = 1 y a ≡ b (mód m), entonces
ó ).
Demostración:
i) Si a ≡ b(mód m), entonces pa ≡ pb(mód m). En efecto,
a ≡ b(mód m) ↔ m|a-b →m|p(a-b) → m|pa-pb ↔ pa ≡ pb(mód m)
Observación: Los factores comunes de los miembros de una congruencia pueden
cancelarse si el módulo es divisible por estos factores comunes.
ii) Ley de la simplificación
Si ac ≡ bc(mód m) y d(m,c) entonces a ≡ b ó
Un factor común c se puede simplificar si el módulo se divide por d≡(m,c)
En efecto,
Dado ac ≡ bc(mód m) tenemos m|c(a-b) o sea | ). Pero (
, c(d)) =1
y por tanto | )
Observación: La ley de cancelación puede ser utilizada cuándo el módulo no es
divisible por un factor común de los miembros de una congruencia.
iii) Si a ≡ b(mód m) y d|a, d|m, entonces d|b.
En efecto,
a ≡ b(mód m) ↔ m|a-b.
y como d|m, por la transitividad de la relación de divisibilidad, d|a-b. A sí pues,
| |
→ | ) → |
iv) Si p|a, p|b, m.c.d. (p, m) = 1 y a ≡ b (mód m), entonces
ó ). En
efecto,
| |
→ |
a b mód m) m|a b q ℤ a b mq
→
p|mq1
Pues bien, si p|mq1, como m.c.d.(p,m) = 1, tendremos que p|q1, es decir, q1 = pq
con q entero, Entonces
→ →
|
En consecuencia,
ó )
Ejemplo.1.6
Como 12 ≡ 3(mód 9), 12a ≡ 3a(mód 9) ℤ.
En particular, a=6, 12x6≡3x6(mód 9), es decir,
72 ≡ 18(mód 9)
Ejemplo.1.7
La congruencia 112 ≡ 72(mód 10) según ( ii)
m=10, c=4, y d=2 así, 28(4)≡18(4)(mód 10)
luego,
28 ≡ 18 (mód 10)
Ejemplo.1.8
Demostrar que para cualquier entero positivo n, el número 10n (9n-1) + 1 es divisible por 9.
En efecto, 10 ≡ 1(mód 9) → 10n ≡ 1(mód 9)
y
9n ≡ 0(mód 9) ↔9n ≡ 1 – 1(mód 9) ↔ 9n – 1 ≡ -1(mód 9)
luego,
10n(9n-1) ≡ -1(mód 9)
Por lo tanto,
10n(9n-1) + 1 ≡ 0(mód 9)
Y, consecuentemente, el resto de dividir el número dado entre 9 es cero.
Proposición 1.4
Si a ≡ b(mód m) entonces (a, m) = (b, m) es decir los números que son congruentes módulo
m tienen igual m.c.d con m.
Demostración
Se tiene que b – a = mc para algún entero c; puesto que (a, m) | a y (b, m) | b se tiene
(a,m)|b y de aquí que (a, m) | (b, m).
De la misma forma se demuestra que (b,m) | (a,m)
En consecuencia (a, m) = (b, m). Esto es verdadero ya que solamente estamos considerando
máximo común divisor positivo.
Proposición 1.5
Si a ≡ b(mód m) y, 0 ≤ │a – b│< m entonces , a = b
Demostración:
Como a ≡ b(mód m) entonces, m| a – b luego, m|│a – b│ y m > │a – b│, con lo que,
a – b=0, así a = b.
Proposición 1.6
a ≡ b(mód m) sii, a y b al dividirlo por m dan el mismo resto.
Demostración
Sean a = mq1 + r1 y, b = mq2 + r2 donde, 0 ≤ r1 < m y 0 ≤ r2 < m. entonces,
a – b ≡ r1 – r2 (mód m) con 0 ≤ │r1 – r2│< m. Luego, por la Proposición 1.5, se tiene que
r1= r2.
Por otro lado, si a = mq1 + r y, b = mq2 + r
entonces, a – b = m(q1 – q2 ) por lo que, a ≡ b(mód m) .
1.4 Sistema Completo de Restos.
Definición
Una clase residual a, (mód m) que denotaremos ā, consta de los enteros que son
congruentes entre sí módulo m. Así, x , sii x≡a(mód m).
consiste de todos los enteros de la forma a + mq.
Ejemplo: 1.9
Bajo la relación de congruencia módulo 5, las cinco clases residuales constan de los enteros
0+5k; 1+5k; 2+5k; 3+5k y 4+5k, respectivamente, donde k es un entero, esto es, las cinco
clases residuales son:
{…,-10, -5, 0, 5, 10,…}
{…,-9, -4, 1, 6, 11,…}
{…,-8, -3, 2, 7, 12,…}
{…,-7, -2, 3, 8, 13,…}
{…,-6, -1, 4, 9, 14,…}
Cada clase residual módulo m puede ser representada por uno cualquiera de sus miembros;
por lo general se representa cada clase por el menor entero no negativo que pertenezca a esa
clase.
Definición
Para m > 0, todo conjunto de m, donde cada elemento pertenece a una sólo una de las
clases residuales 0 1 1 , se denominará Sistema Completo de Restos, módulo m.
Existe un número infinito de sistemas completos de restos módulo m, siendo otro ejemplo
el conjunto 1,2,…,m.
Proposición 1.7
Si { a1, a2,… , am } es un conjunto completo de restos m y, (k,m) = 1, el sistema
{ ka1,…, kam } es también un sistema completo de restos módulo m.
Demostración
Si suponemos que kai = kaj (mód m) como, (k,m) = 1 entonces, por el teorema (1.3 ii),
ai ≡ aj (mód m). Luego, dado dos elementos del conjunto { ka1,…, kam } estos son
incongruentes módulo m y dado que hay m elementos en este conjunto, este forma un
sistema completo de restos.
1.5 Congruencia Lineal
Conceptos fundamentales
Nuestro próximo objetivo es el estudio de las congruencias de la forma general:
f(x) ≡ 0(mód m). (1)
f(x) un polinomio con coeficientes enteros y m un entero positivo.
Definición 1.2
Un entero x que satisfaga la congruencia polinomial (1) es la solución de la congruencia.
Si f(x) = ax + c, la congruencia f(x) ≡ 0(mód m) toma la forma ax ≡ b(mód m); donde b= -c
se llama congruencia lineal.
La ecuación ax ≡ b(mód m), también se puede escribir
a ∙ x - m∙y = b
Las siguientes proposiciones describen una completa teoría de las congruencias lineales.
Proposición 1.8
Si (a,m) = 1 entonces, la congruencia lineal
ax ≡ b(mód m) (2)
tiene una solución.
Demostración
Basta probar el conjunto 1,2,…, m pues ellos constituyen un sistema completo de restos
módulo m. Consideremos los productos a, 2a, …, ma. Como (a,m) = 1 estos números
también constituyen un sistema completo de restos.
Proposición 1.9
La congruencia ax ≡ b(mód m) (3)
tiene solución sii d = (a,m) es un divisor de b.
En este caso la congruencia tiene exactamente d soluciones incongruentes.
Demostración
Si existe una solución para ax ≡ b(mód m) entonces, b = ax + mt. Como d|m y d|a entonces
d|b. Recíprocamente, si d|b por la proposición 1.1 la congruencia:
tiene solución puesto que los enteros a | d y m | d son primos relativos, y
esta solución es también solución de (3).
Proposición 1.10
La ecuación
ax + by = c (4)
tiene solución si y sólo si d | c donde d= (a,b)
Demostración
Notemos en primer lugar, d | a y d | b. Por lo tanto, si la ecuación (4) tiene solución (x, y)
se tiene que d | ax + by , y luego d | c.
Recíprocamente, supongamos que d | c. Dividiendo entre d la ecuación original, nos da
a’x + b’y = c’ (4.1)
donde a’ = a | d, b’ = b | d y c’ = c | d. Es claro que si (4.1) tiene solución, entonces (4)
también tiene solución y viceversa, luego ambas ecuaciones son equivalentes.
Se observa que (a’,b’) = 1, y por lo tanto existen enteros x’0 e y’0 tales que
a'0x’0 + b’0 = 1
es fácil verificar que x0 = c’x0 e y0 = c’y´0 son soluciones de 4.1 y por ende soluciones de
(4)
Proposición 1.11
Supongamos que d = (a,m). Si d ⫮ b la congruencia
ax ≡ b (mód m)
no tiene soluciones, mientras que si d | b la congruencia tiene exactamente d soluciones
módulo m que vienen dadas por
x1, x1+m1,…,x1 + (d – 1) m1,
donde x1 es la solución de la congruencia a1x ≡ b1 (mód m1) y a1 = , b1 =
,
Demostración:
Si la congruencia tiene alguna solución entonces, como d | a y d | b, necesariamente
tendría que dividir a b.
Cualquier solución x de ax ≡ b (mód m) debe serlo también de a1x ≡ b1(mód m1). Pero
como (a1, m1) = 1 la solución x1 es única módulo m1. Sin embargo la clase residual
módulo m1 a la que pertenece x1 consta de d clases residuales distintas módulo m, es decir
las clases que pertenecen los números x1, x1 + m1,….x1 + (d – 1)m1. Por lo tanto la
congruencia ax ≡ b (mód m) tiene exactamente d soluciones distintas.
Ejemplo.1.10
Dada la congruencia
10x ≡ 3 (mód12)
a = 10, b = 3 y n = 12, por lo que d = (10,12) = 2; como no divide a 3, no existen
soluciones.
Ejemplo 1.11
Dada la congruencia
10x ≡6 (mód12)
a = 10, b = 6 y n = 12, por lo que d = (10,12) = 2; como divide a 6 si existen dos soluciones.
Podemos tomar x0 = 3 como solución particular para expresar la solución general de la
forma x = x0 +
= 3 +
= 3 + 6t con t Ζ.
Podemos decir que las congruencias lineales ax ≡ b (mód m), se reducen a resolver
congruencias donde el módulo y el coeficiente de la x son primos entre sí.
Una manera de resolver esta ecuación consiste en resolver primero la ecuación
ax ≡ 1 (mód m) utilizando el algoritmo de Euclides y multiplicar dicha solución por b.
Veamos un ejemplo que nos ilustre, esta forma de dar solución a ax ≡ b (mód m).
Ejemplo. 1.12
Resolver la ecuación 51x ≡ 27 (mód 123)
El máximo común divisor de (51,123) = 3 y 3 divide a 27.
Dividiendo por 3 toda la congruencia nos resulta
17x ≡ 9 (mód 41) (1)
Debido a que el máximo común divisor es tres entonces tendrá 3 soluciones que serán
x1, x1+41, x1+82 donde x1 es la solución de la congruencia:
Para resolver esta congruencia (1) resolvemos primeros la congruencia
17x ≡ 1 (mód 41)
con el algoritmo de Euclides tendríamos:
41 = 2∙17 + 7
17 = 2∙7 + 3
7 = 2∙3 + 1
Regresando
1 = 7 - 2∙3 = 7 – 2(17 - 2∙7) = 5∙7 - 2∙17 = 5(41 - 2∙17) - 2∙17 = 5∙41 - 12∙17
Es decir 1 = 5∙41 - 12∙17 se puede escribir 17∙(-12) ≡ 1 (mód 41 ),
Multiplicando por 9 17∙(-12∙9) ≡ 9 (mód 41 ) se observa x = -12
Remplazando x = -12 en a ∙ x - m∙y = b, entonces b = 15
Luego x1 = -108 ≡ 15 (mód 41), y las tres soluciones de la congruencia original son
15, 15 + 41, 15 + 82 = 15, 56 y 97.
Ejemplo 1.13
Resolver 30x ≡ 15 (mód 21)
Solución:
Obsérvese que (30,21) = 3, y 3 divide a 15. Luego la ecuación tiene solución. El número de
soluciones módulo 21 será igual a (21, 30) = 3.
Con el objetivo de encontrar una solución particular, procederemos a dividir entre 3 la
ecuación. Luego
10x ≡ 5 (mód 21)
esto es
3x ≡ 5 (mód 7)
Por simple inspección, calculamos una solución x ≡ 4 (mód 7). Luego las tres soluciones
distintas son módulo 21 son: 4, 11 y 18.
Ejemplo. 1.14
Daremos ahora el problema de resolver una ecuación de congruencia con más de una
variable.
Resolver 3x + 4y ≡ 11 mód 14 (1)
En primer lugar, observamos que 14 = 7 ∙ 2. Luego es posible trabajar con módulo 7 ó 2,
para encontrar las soluciones de (1). Escogemos el 2 por ser menor. Luego tomando la
misma ecuación módulo 2 se obtiene
3x + 4y ≡ 11 mód 2
O sea 3x ≡ 1 mód 2
De esta ecuación provienen 7 soluciones distintas módulo 14 para x, las cuáles son:
1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13. Al sustituir cada una de éstas en la ecuación original, se obtendrán
las correspondientes soluciones para y.
Por ejemplo, si se considera x ≡ 1 mód 14, se tendrá
3x + 4y ≡ 11 mód 14
o bien
4y ≡ 8 mód 14
Notemos que (14, 2) = 2, luego podemos simplificar:
2y ≡ 4 mód 7
Luego las soluciones de y módulo 14 son 2 y 9.
Usando pares ordenados para indicar las soluciones de la ecuación (2, 7), donde la primera
y segunda componente respectivamente es el valor de x e y. De esta forma se obtienen las
soluciones (1,2) y (1,9). Las restantes soluciones son:
(3,4), (3, 11), (5, 6), (5, 13), (7, 1), (7, 8), (9, 3), (9, 10), (11, 5), (11, 12), (13, 7), (13, 14).
CAPÍTULO II
APLICACIONES DEL TEOREMA CHINO DE LOS
RESTOS
2.1 Teorema Chino de los restos
Tanto en teoría y práctica se presentan problemas de encontrar un número que tiene restos
prescrito cuando es dividido por dos o más módulos. Tales problemas aparecen en
adivinanzas chinas antiguas y su solución es conocida como teorema chino de los restos.
El teorema chino de los restos -conocido por Sun Tse (alrededor del año 250 después de
J.C)- dice lo siguiente:
Un sistema de dos o más congruencias que pueden resolverse separadamente con solución
única, pueden resolverse también simultáneamente si lo módulos son relativamente primos
dos a dos.
Teorema chino de los restos
Dados dos números enteros positivos n1,n2,…,nr ( r > 2) que cumplen ( ni, nj) = 1 para i ≠ j,
los enteros a1,a2,…, ar ,existe x tal que
(1)
a mód n )
a mód n )
a mód n )
Tiene una solución única módulo n= n1 n2 …nm
x = a1N1y1 + a2N2y2 + … +anNnyn
donde Nk =
y además Nkyk ≡ 1 (mód nk)
Además, si y es otro entero que satisface todas las congruencias en (1), entonces
y ≡ x( mód n1 n2 … n3).
Demostración
En efecto, hagamos, para k = 1,…,r,
Ak = n1 n2 … k … nr
En donde el “sombrero” encima de nk indica que el producto Ak no aparece este factor.
Entonces las congruencias Ak xk ≡ 1 (mód nk) poseen, cada una, única solución xk ,
módulo nk(k=1,…,r), en virtud de los resultados de la proposición 1.1
Si tomamos por x la expresión
x ≡ A1x1a1 + A2x2a2 + … + Arxrar ,
es sencillo verificar ahora que x satisface todas y cada una de las congruencias de la
proposición 1.1 esto demuestra la primera afirmación del teorema.
Para la segunda afirmación, supongamos y ≡ ak( mód nk) para k = 1, ...., r ; es claro
entonces que x ≡ y( mód nk) para k = 1, ...., r ; es decir , nk | x – y para cada k. Pero como
(n1, n2) = 1 es claro que n1n2 | x – y ; también, en vista de que (n1 n2, n3) = 1, resulta que
n1n2 n3 | x – y ; y recurrentemente, n1n2 n3 … nr | x – y , o sea x ≡ y( mód n1n2 n3 … nr ), tal
como se afirmaba.
2.1 Ejemplos de Aplicaciones del Teorema Chino de los Restos.
Ejemplo 2.1
Ahora planteamos un problema de la antigua china, que data del año 1275 d.c.
“Hallar el número que al ser dividido por siete da uno como residuo, al ser dividido por
ocho da dos como residuo y al ser dividido por nueve da tres como residuo.”
Solución:
Podemos plantear el problema en términos de congruencia de la siguiente manera; sea x el
número buscado, entonces
(1) 1 mód 7)
2 mód 8)
3 mód 9)
De la primera ecuación obtenemos
x = 1 + 7k
Sustituyendo en la segunda ecuación
1 + 7k ≡ 2 mód 8
de donde
7k ≡ 1 mód 8
Luego
k ≡ 7 mód 8,
y por lo tanto k = 7 + 8l. Sustituyendo en la expresión de x nos da: x = 50 + 56l. Este último
valor de x lo sustituimos en la tercera ecuación para obtener
50 + 56l ≡ 3 mód 9
y después de reducir el módulo 9 nos queda: l = 8 + 9j
Finalmente remplazando el valor
x = 50 + 56(8 + 9j) = 498 + 504j
de donde se concluye
x ≡ 498 mód 504
Ejemplo 2.2
El teorema Chino de los restos puede ser utilizado para resolver una congruencia particular.
2x ≡ 4(mód 2∙3) ; (2, 3) = 1
De esta manera tenemos que x1 y x2 son enteros tales que
2x1 ≡ 4(mód 2) (1)
y
2x2 ≡ 4(mód 3) (2)
De (1) y (2) tenemos
x1 ≡ 2(mód 2) (3)
x2 ≡ 2(mód 3) (4)
Luego de (3) y (4) par del Teorema Chino de los restos
x ≡ 2(mód 6)
Observamos que 2 es solución de 2x ≡ 4(mód 2∙3)
Ejemplo 2.3
Determinar las soluciones del sistema
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 7)
Solución:
m=3 * 5 * 7 = 105
M1= = 35, M2 =
=21, M3=
=15
2 es inverso de M1 (mód 3)
1 es inverso de M2 (mód 5)
1 es inverso de M3 (mód 7)
Soluciones son aquellos x tales que
x = a1 M1 y1 + a1 M2 y2 + a3 M3 y3
x = 2 ∙35 ∙2 + 3 ∙21∙1 + 2 ∙15 ∙1
x = 233
233 =23 (mód 105)
23 es el entero positivo más pequeño cuyo residuo es 2 cuando se divide por 3, tiene resto 3
cuando se divide por 5 y tiene resto 2 cuando se divide por 7.
Ejemplo 2.4
Problema del cocinero chino
Una Banda de 17 piratas se robó un botín de piezas de oro de
igual valor. Los piratas deciden repartirse el botín en partes
iguales y dar el resto al cocinero chino. Este recibirá en tal caso 3
piezas de oro. Pero los piratas se pelean entre ellos y seis de ellos
son asesinados el cocinero entonces recibirá 4 piezas. En un
naufragio posterior sólo se salvan el botín, seis piratas y el cocinero y en tal caso la
repartición del botín le dejaría al cocinero 5 piezas de oro.
¿Cuál es entonces la fortuna mínima que puede esperar tener el cocinero cuando este
decide envenenar a los seis piratas que quedan?
Solución:
Nosotros podemos inmediatamente reducir esto al problema de resolver el sistema de
congruencias, considerando x como la cantidad de piezas de oro.
(1) 3 mód 17)
4 mód 11)
5 mód 6)
De (1) obtenemos
x = 17t + 3 (*)
17t + 3 ≡ 4(mód 11)
17t ≡ 4 – 3(mód 11)
17t ≡ 1(mód 11)
t = 17-1
(mód 11)
t = 6-1
(mód 11)
t = 2(mód 11)
t = 11s + 2
Remplazando t en (*), obtenemos:
x = 17(11s + 2) + 3
x = 17(11s) + 34 + 3
x = 187s + 37 (**)
Luego remplazando esta x en la congruencia (3), tenemos:
187s + 37 ≡ 5(mód 6)
186s + s + 37 – 62 ≡ 5 - 6
2
s + 1 ≡ - 31(mód 6)
s ≡ 4(mód 6)
s = 6u + 4
Remplazando esta, s en (**), tenemos:
x = 187(6u + 4) + 37
x = 1122u + 748 + 37
x = 1122u + 785
Así el mínimo valor para x, sería cuando u = 0; es decir
x = 1122(0) + 785
x = 785
Respuesta: La fortuna mínima que puede tener el cocinero sería785 piezas de oro.
Ejemplo 2.5
Resolvamos las siguientes congruencias lineales.
(1)
2 mód 3)
6 mód 5)
7 mód 7) 10 mód 8)
Cómo x ≡ 2(mód 3), entonces x = 2 + 3a donde a es un entero. Sustituyendo en la segunda
congruencia tenemos,
2 + 3a ≡ 6 (mód 5)
3a ≡ 4(mód 5)
21 a ≡ 28 (mód 5)
a ≡ 3 (mód 5)
Si a ≡ 3(mód 5), entonces a = 3 + 5b y x = 2 + 3a = 2 + 3( 3 + 5b) = 11 + 15b donde b es un
entero. Sustituyendo en la tercera congruencia del sistema tenemos
11 + 15b ≡ 7 (mód 7)
15b ≡ -4 (mód 7)
b ≡ 3(mód 7)
Si b ≡ 3 (mód 7), entonces b= 3 + 7c y x = 11 + 15(3 + 7c) = 56 + 105c, donde c es un
entero. Sustituyendo en la cuarta congruencia del sistema tenemos
56 + 105c ≡ 10(mód 8)
105c ≡ -46 (mód 8)
c ≡ 2 (mód 8)
Si c ≡ 2(mód 8), entonces c = 2 + 8d y x = 56 + 105(2 + 8d) = 266 + 840d, donde d es un
entero.
Por lo tanto la solución del sistema es x ≡ 266(mód 840)
2.2.1 Presentaremos la solución del problema N° 1872 propuesto por Gregor
Olsavsky, Penn State University/the Behrend College, Erie, PA. El mismo es
una aplicación del teorema Chino de los restos.
Ejemplo.2.6
Si m es un entero mayor que 1, señala que cada entero n puede ser escrito como
n ≡ a + b (mód m). Donde a es un entero que es primo relativo para m, y b es un entero
como b2 ≡ b (mód m)
Demostración
Denotaremos por (x, y) el máximo común divisor x, y ℤ. Primero, probaremos el
resultado para , donde p es entero primo y k es un entero positivo.
Si (m, n) =1, tomamos a = h y b = 0. Si ) ) 1, p divide a m, así que p no
divide a n – 1, de aquí que 1 ) 1 ) = 1
En este caso tomamos a = h – 1 y b = 1
Supongamos ahora que
, donde los enteros son primos y de
enteros son positivos.
Para i = 1,2,…, s; con enteros si ó
1 y
ó
. Así tenemos que n es una solución de un sistema de congruencias
simultáneas.
ó i = 1, 2… s
Por El teorema Chino de los restos
) ó )
Donde
y 1 ó
Es claro que n ≡ a + b ( mód m). Probaremos ahora que (a, m) = 1 y b2 ≡ b (mód m). Si
suponemos que (a, m) > 1, así para algún j, 1 tenemos que p; divide a. Para
i ≠ j, pj divide a y también pi
. ero esto no es posible porque
ni son m ltiplos de . Entonces (a, m) = 1.
Finalmente observe que para j = 1,2,…s…
ó
Entonces ó
Así que b y b2 son soluciones del sistema de congruencias simultáneas.
ó
Por el Teorema Chino de los restos ó )
2.3 Congruencias Cuadráticas
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Ecuación de la forma: ax2
+ bx + c ≡ 0(mód.p), con p Primo.
Una congruencia cuadrática es una ecuación de la forma ax2
+ bx + c ≡ 0(mód.p), donde
a ≢ 0(mód p) y p un entero impar primo.
Si p = 2, se tiene que la congruencia ax2
+ bx + c ≡ 0(mód.p), con mcd(a,2) es equivalente
a una de las formas:
x2 ≡ 0 (mód 2), x
2 + 1 ≡ 0(mód 2)
x2 + x ≡ 0(mód 2), x
2 + x + 1 ≡ 0(mód 2)
cuya solución es fácil, ya que el anillo cociente Z/2Z={0,1} tiene sólo dos elementos.
Sea p un entero impar donde mcd(a,p) = 1. Entonces, mcd(4a2, p) = 1 y la congruencia
cuadrática, con módulo impar resulta:
ax2
+ bx + c ≡ 0(mód.p) (1)
que es equivalente a 4a2x
2 + 4abx + 4ac ≡ 0(mód p) y que podemos escribir como
(2ax + b)2
≡ b2 − 4ac(mód.p)
Si tenemos en cuenta que b2
– 4ac = d es el discriminante de la cuadrática y (2ax + b) = z
podemos escribir la ecuación en la forma:
z2 ≡ d(mód p) (2)
Si (1) no tiene solución, entonces (2) tampoco.
Si (2) tiene una solución z1, entonces se tiene que
2ax + b ≡ z1 (mód p) (3)
y como mcd(2a ,p) = 1, esta ecuación tiene solución. Luego, (1) también tiene solución por
tanto, (1) tendrá solución si, y sólo si (2 ) también la tiene.
Si la ecuación (2) tiene una solución z1 entonces una segunda solución z1 será p – z1 , ya
que (p – z1 )2 ≡ z2 (mód.p)
Residuos cuadráticos
Definición:
Si la congruencia
x2 ≡ a(mód m)
Siendo m primo impar y (a,m) = 1, posee solución diremos que a un es residuo cuadrático.
Si no admite solución a no un es residuo cuadrático.
Ejemplo 2.8
La congruencia x2 ≡ 53 (mód 7) tiene solución.
x2 ≡ 53 (mód 7) ↔ x
2 ≡ 4 (mód 7), que tiene una solución evidente: x = 2
Ejemplo 2.9
Resolver la ecuación x2 – 7x + 12 ≡ 0(mód 13).
La ecuación propuesta tiene solución como:
=
=
=
3 4
Esta ecuación tiene dos, y sólo dos raíces primitivas enteras: (3,4 )
Aunque no es imprescindible es conveniente transformar la ecuación, adaptándola al
módulo propuesto, eliminando el coeficiente de a y convirtiendo los monomios negativos
en positivos.
En nuestro caso, x2 – 7x + 12 ≡ 0(mód 13) es equivalente a:
X2 + 6x + 12 ≡ 0(mod.13)
Para z2 ≡ 6
2 − 4 ∙ 1 ∙ 12 (mód13), z
2 ≡ −12(mód 13) es equivalente a:
Z2 ≡ 1 (mód.13)
Si tenemos en cuenta que en la ecuación x2 ≡ a(mód p), cuando a = 1 ó a= a
2, genera
soluciones en la forma
(p – a)2 ≡ a(mod.p)
entonces
(13 – 1)2 ≡ 1(mod.13)
donde
z2= 12 + 13t y z1 ≡ −z2(mód .13) ≡ 1(mód.13)
donde
z1 = 1 + 13t.
Conocidos los valores de z, las raíces primitivas de x vendrán determinadas por:
2x + 6 ≡ 1(mód.13), equivalente a 2x ≡ 8(mód.13), o sea, x ≡ 4(mód. 13).
2x + 6 ≡ 12(mód.13), equivalente a 2x ≡ 6(mód.13), o sea, x ≡ 3(mód.13).
La solución a la ecuación planteada es:
X1= 3 + 13t
X2 = 4 + 13
Esta ecuación tendrá tantas soluciones como valores se le asignen a t, siendo t un entero
arbitrario.
Ecuación de la forma: ax2 bx c 0(mód.m), con m compuesto.
Ejemplo 2.10
Resolver la ecuación 4x2 + 3x − 10 ≡ 0(mód.35).
La ecuación 4x2 +3x−10≡0(mód.35) que es equivalente a
x2 +27x+15 ≡ 0(mód.35)
tendrá solución si, y sólo si a su vez la tienen:
x2 +27x+15≡0(mód.5) y x
2 +27x+15≡ 0(mód.7)
La primera ecuación, equivalente a x2 +2x = 0(mód.5), tiene como soluciones x1 = 0+5t y
x2 =3+5t. En cuanto a la segunda, equivalente a x2 +6x+1≡0(mód.7), x1=3+7t y
x2 =5+7t son sus dos raíces.
Para calcular las raíces de la ecuación planteada, que en este caso serán cuatro, utilizaremos
el Teorema Chino de Restos.
0 + 5t ≡ 3(mód.7) es equivalente a 5t ≡ 3(mód.7), o sea, t ≡ 2(mód.7)
0 + 5t ≡ 3(mód.7) es equivalente a 5t ≡ 5(mód.7), o sea, t ≡ 1(mód.7)
3 + 5t ≡ 3(mód.7) es equivalente a 5t ≡ 0(mód.7), o sea, t ≡ 0(mód o.7)
3 + 5t ≡ 5(mód.7) es equivalente a 5t ≡ 2(mód.7), o sea, t ≡ 6(mód o.7)
Ahora, despejamos los valores de las distintas x como sigue:
x=0+5(2+7t)=10+35t, x=0+5(1+7t)=5+35t
x=3+5(0+7t)=3+35t, x=3+5(6+7t)=33+35t
por tanto las soluciones a la ecuación serán:
x =3,5,10,33(mód.35)
2.4 Criptografía
Es la parte de la criptología, que trata del diseño e implementación de los sistemas secretos.
La otra parte de la criptografía es el criptoanálisis que trata del estudio de descifrar estos
sistemas.
Texto plano se define como el mensaje que el emisor envía a un receptor, y los mensajes
secretos que son enviados se denomina texto cifrado. Ambos se escriben con letras, signos
de puntuación, números o cualquier otro símbolo.
Los textos planos y cifrados se dividen en unidades de mensajes por un elemento del
alfabeto o por bloques de dos o más símbolos.
A la información que permite determinar las funciones de cifrado y descifrado se denomina
clave.
Un sistema criptográfico está compuesto por un alfabeto, conjunto claves, conjunto de
transformaciones de cifrados y desciframientos. Si los algoritmos de cifrados y descifrados
son sencillos de aplicar conocida la clave, pero difícil de descriptar es un buen sistema
criptográfico.
2.4.1 Cifrado Monográfico.
Se basan en la sustitución de cada símbolo del alfabeto por otro símbolo. Los
criptosistemas más elementales están basados en la aritmética módulo n.
El sistema de Julio Cesar : consistía en remplazar cada letra del alfabeto por la letra que se
encontraba tres posiciones adelante.
Usando el alfabeto usual de 27 letras de la A a la Z, donde hemos excluido las letras CH,
LL vamos a describir cómo funciona este sistema.
Se empieza asignando a cada letra un número que denominaremos el equivalente numérico
cómo se observa en la tabla siguiente.
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
T U V W X Y Z
20 21 22 23 24 25 26 Tabla N°1 Equivalente numérico
Representando P el equivalente numérico de una letra en el texto plano y por C el
equivalente numérico de la correspondiente letra en el texto cifrado, para el sistema de
Cesar, tenemos la transformación
C ≡ P + 3(mód 27)
Para mayor facilidad reuniremos los textos plano y los textos cifrados en la tabla siguiente:
Texto
plano A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Texto
cifrado 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T
Texto
plano R S T U V W X Y Z
18 19 20 21 22 23 24 25 26 Texto
cifrado 21 22 23 24 25 26 0 1 2
U V W X Y Z A B C Tabla N°2. Cifrado C ≡ P + 3(mód 27)
Para cifrar un mensaje usando esta transformación, cambiamos la letra por su equivalente
numérico, seguido cambiamos cada uno de estos números sumándole 3 y con módulo 27, y
transformamos nuevamente los números obtenidos a las letras para obtener un mensaje que
será enviado.
Ejemplo 2.11
Cifrando la palabra YACIMIENTO usando la transformación de cesar.
Primero su equivalente numérico.
25 0 2 8 12 8 4 13 20 15
Sumando tres a cada número y tomando el resultado módulo 27. Buscando en la tabla (2)
resulta:
1 3 5 11 15 11 7 16 23 18
El texto cifrado será. BDFLOLHPWR
Ejemplo 2.12
Descifrar un mensaje recibido si sabemos que el cifrado utilizado es el de Julio Cesar.
El mensaje recibido es:
KRBH VHÑG LDHV FRJL GRAA
Convirtiendo las letras en números usando el equivalente numérico. (tabla 2)
10 18 1 7 22 7 14 6 11 3 7 22 5 18 9 11 6 18 0 0
Aplicando a cada uno la transformación Cifrado C ≡ P – 3( mód 27 ) que es la inversa de
la transformación de Cesar, tenemos
7 15 25 4 19 4 11 3 8 0 4 19
2 15 6 8 3 15 24 24
Luego escribimos las letras correspondientes encontrando
HOYE SELD IAES COGI DOXX leído correctamente
dice HOY ES EL DIA ESCOGIDO.
La trasformación C ≡ P + K (mód 27) es un caso particular del cifrado de Julio Cesar
con 0 ≤ k ≤ 26, que no son más que traslaciones. La transformación para descifrar los
mensajes cifrados será: P ≡ C - k (mód 27). Existen 27 probables translaciones.
Las translaciones es un caso especial de las translaciones afines de la forma:
C ≡ aP + b (mód 27), donde 0 ≤ a, b ≤ 26 y (a, 27) = 1
La transformación de desciframiento para una transformación afín es:
P ≡ a-1
( C – b )(mód 27 ).
Donde 0 ≤ P ≤ 26 aa-1
≡ 1 ( mód 27 )
La siguiente tabla muestra los inverso módulo 27 menores que 27 positivos y primos
relativos con 27.
A 1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17 19
a-1
1 14 7 11 4 17 19 5 25 2 22 8 10
a 20 22 23 25 26
a-1
23 16 20 13 26 Tabla.3 Inversos mód 27 de los números positivos < 27 primos relativos.
Ejemplo 2.13
Se quiere descifrar el siguiente texto, usando una transformación a fin.
RPGNR HPGTG NHZGH EJHOD XQRHT IHPJG PDE
E A O L S N D R U I T C
16,78 11,96 8,69 8,37 7,88 7,01 6,87 4,94 4,80 4,15 3,31 2,92
P M Y Q B H G F
2,78 2,12 1,54 1,53 0,92 0,89 0,73 0,52
Tabla 4. Muestra en porcentaje la frecuencia de ocurrencias más usadas en español, en orden decreciente
Las letras de mayor frecuencia son la H que aparece 6 veces y la G que aparece 5 veces.
Por lo tanto pensar en la E se transforma en H y la A se transforma en G. Cómo el
equivalente numérico es 7, tenemos la relación.
7 ≡ 4a +b(mód 27) (1)
Al mismo tiempo, tenemos la relación 6 ≡ 0a +b(mód 27) (2)
Resolviendo las congruencias (1) y (2)
b ≡ 6(mód 27) (3) y 4a ≡ 1(mód 27) (4)
Multiplicando la congruencia (4) por siete, que es el inverso de 4 módulo27, obtenemos
finalmente
a ≡ 7(mód 27) y b ≡ 6(mód 27)
Luego la transformación usada fue C ≡ 7P + 6 (mód 27)
Luego se precede a buscar el mensaje cifrado como en los ejemplos anteriores.
Encontramos el mensaje igual que en los ejemplos anteriores, encontrando que el mensaje
cifrado es:
UNA BUENA CABEZA ES MEJOR QUE CIEN MANOS
Todo el mensaje se puede leer directamente de la tabla de textos plano y
cifrado.
Conclusiones
Luego de realizada la investigación sobre el teorema chino de los restos y algunas
aplicaciones, podemos concluir:
§ El teorema chino de los restos, es conocido y utilizado por los chinos desde la
antigüedad.
§ Es un importante resultado de la teoría número, relacionados con propiedades de
congruencia y linealidad.
§ Las propiedades de congruencia son de gran utilidad en el desarrollo de sistemas de
congruencias lineales utilizando el teorema chino de los restos.
§ El teorema chino de los restos tiene importantes aplicaciones en criptografía.
Referencias Bibliográficas
Las siguientes fuentes originales son dignas de un estudio más minucioso del Teorema
Chino de los Restos de parte de los lectores interesados.
1. Libros
§ Ivan Matveenvich Vinagradov
Fundamentos de la teoría de los
números. Editorial Mir Moscu 1 977
§ Burton W. Jones Teoría de los Números.
Editorial Trillas México 1969
§ Luis R Jiménez, Jorge Gordillo,
Gustavo Rubiano
Teoría de número [para principiantes]
Universidad Nacional de Colombia,
Sede Bogotá 2 004 . Segunda Edición
§ Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman Introducción a la teoría de números.
México 1 969.
§ T.M.Apostol Introducción a la teoría analítica de
números. España 2 002.
§ Hugo Barrantes, Manuel Murillo. Introducción a la Teoría de Números, San
José Costa Rica. 2007
2. Consultas de Internet
§ Htpp:www.enwipedia.org/Niki/linear_congruencia_theorem