ECUACIONES EXACTAS

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDENDecaimiento o Desintegracin Radiactiva.La tasa o rapidez con que los ncleos de una sustancia radiactiva se desintegran, es proporcional a la cantidad de sustancia radiactiva presente en cualquier instante t.

Modelo matemtico:

Sean:

: es la cantidad de sustancia radiactiva presente en el momento t.

: rapidez de desintegracin de la sustancia radiactiva.

Vida media de una sustancia radiactiva:

Definicin: La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo necesario para que la sustancia radiactiva se desintegre en un 50% de la cantidad inicial.

En base a la definicin, se puede demostrar que la vida media est dada por:

EJEMPLOS:

Un reactor de reproduccin convierte al uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un istopo radiactivo. Al cabo de 15 aos se tiene que se ha desintegrado 0.043% de la cantidad inicial de una muestra de plutonio. Calcule la vida media de este istopo, si la rapidez de desintegracin es proporcional a la cantidad restante.

El Pb-209, istopo radiactivo del plomo, se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier tiempo t y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al principio haba 1 gramo de plomo, Cunto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90% de la cantidad original?

Ley de calentamiento / enfriamiento de Newton.

La rapidez con la que vara la temperatura T de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre las temperaturas del cuerpo T y del medio que le rodea Tm, en cualquier instante t.Modelo matemtico:

Sean:

: es la temperatura del cuerpo presente en el momento t.

: rapidez con la que vara la temperatura T del cuerpo.

:temperatura del medio que le rodea al cuerpo.

Ejemplos: Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300F. Despus de tres minutos, la temperatura es de 200F. En cunto tiempo se enfriar el pastel hasta la temperatura ambiente de 70F.

Un termmetro que indica 70F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. A travs de una ventana del vidrio del horno, un observador registra que la temperatura es de 110F despus de minuto y de 145F despus de 1 minuto. A qu temperatura est el horno?

Era el medioda de un fro da de Diciembre en la ciudad de Tampa con una temperatura de 16C. El detective Taylor lleg a la escena de un crimen donde hall al sargento sobre el cadver. El sargento dijo que haban varios sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte podran reducir la lista de sospechosos. El detective Taylor sac el termmetro y tom la temperatura del cuerpo el cual era de 34.5C. Luego sali a comer y al regresar a la 1PM determin que la temperatura del cuerpo era de 33.7C. En qu momento ocurri el asesinato? (Se supone que la temperatura normal del cuerpo vivo es de 37C).

Una taza de caf es preparada, con agua hirviendo, en una cocina que se mantiene a una temperatura de 30C. En la cocina, durante 5 minutos, se deja enfriar la taza de caf, alcanzando una temperatura de 90C; y a los 8 minutos, la taza de caf es llevada al comedor. El ambiente en el comedor permanece a una temperatura constante de 18C, despus de dos minutos se observa que la temperatura de la taza de caf es 65C. A los cuntos minutos de estar la taza de caf en el comedor, puede ser ingerido el caf si la temperatura ptima para tomarlo es de 45C?

Aplicaciones Mecnica: Segunda Ley de Newton.

La rapidez o la razn de cambio con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de un cuerpo es proporcional a la fuerza resultante que acta sobre el cuerpo y est en la direccin de esta fuerza resultante.Modelo matemtico:

Sean:

: es la cantidad de movimiento de una cuerpo de masa m.

: rapidez con la que vara la cantidad de movimiento del cuerpo.

Ejemplos:

Un hombre equipado con un paracadas y otro equipo esencial cae desde el reposo hacia la tierra. El peso total del hombre ms el equipo es de 160 lb. Antes de que el paracadas se abra, la resistencia del aire (en libra) es numricamente igual a v/2, donde v es la velocidad (en pies por segundo). El paracadas se abre 5 segundos despus de que se inicia la cada; despus que se abre la resistencia del aire (en libras) es numricamente igual a 5v2/8, donde v es la velocidad (en pies por segundo). Calcule la velocidad del hombre antes de abrir el paracadas y despus de abrirse el paracadas. Un objeto que pesa 32lb se suelta desde el reposo y de una altura de 50 pies arriba de la superficie de un lago en calma. Antes de que el objeto llegue a la superficie del lago, la resistencia del aire (en libras) est dada por 2v, donde v es la velocidad (en pies por segundo). Despus de que el objeto empieza a hundirse en el agua, la resistencia est dada por 6v; adems sobre el objeto acta una fuerza de empuje hacia arriba de 8lb. Calcule la velocidad del objeto 2 segundos despus que empez a hundirse en el agua.Aplicaciones Elctricas: Circuitos en series

Recordar que:

EMBED Equation.DSMT4

Circuitos RLC

Circuitos RL

Circuitos RC

Ejemplos:

Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie RL con 0.1 henrios de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la intensidad de la corriente para cualquier instante t, si es que su valor inicial es 0. Adems determine su valor cuando t tiende al infinito. Se aplica una fuerza electromotriz de 200V a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5x10-6F. Determine la carga Q(t) en el capacitor si es que la intensidad inicial de la corriente es de 0.4 Amp. Adems calcule la carga en el capacitor y la intensidad de la corriente en el circuito a los 0.005 segundos. Igualmente determine el valor de la carga lmite. INVESTIGACIN:

Trayectorias Ortogonales.

Aplicaciones a la Qumica: problemas de mezclas.

Campos direccionales (mtodo de las isclinas) (escrito a mano)Carpeta Manila:

Nombre del estudiante

Ttulo del trabajo

Fecha de entrega

Indice

Objetivos.

Desarrollo Analtico de cada tema.

Dos problemas desarrollados por cada tema.

Dos problemas propuestos por cada tema.

Bibliografa.

TALLER:

Una taza de caf es preparada, con agua hirviendo, en una cocina que se mantiene a una temperatura de 30C. En la cocina, durante 5 minutos, se deja enfriar la taza de caf, alcanzando una temperatura de 90C; y a los 8 minutos, la taza de caf es llevada al comedor. El ambiente en el comedor permanece a una temperatura constante de 18C, despus de dos minutos se observa que la temperatura de la taza de caf es 65C. A los cuntos minutos de estar la taza de caf en el comedor, puede ser ingerido el caf si la temperatura ptima para tomarlo es de 45C?

Si una barra metlica pequea, cuya temperatura inicial es de 20C, se deja caer en un recipiente con agua hirviente, Cunto tiempo tardar en alcanzar la temperatura de 90C si sabe que su temperatura aument 2C en un segundo? Cunto tiempo tardar en llegar a los 98C? Un paracadas cuya masa es de 100 kg. se deja caer desde un helicptero que se encuentra a 3000m de altura. Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad y que su constante de proporcionalidad es de 20kg/s si el paracadas est cerrado y de 100kg/s cuando el paracadas est abierto, adems el paracadas se abre a los 30s. de iniciarse la cada. Determine en qu momento llegar a la superficie?

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