aplicaciones en la administracion y la economia carlos midence francis vasquez

8/18/2019 Aplicaciones en La Administracion y La Economia Carlos Midence Francis Vasquez

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APLICACIONES EN LA

ADMINISTRACION Y LAECONOMIAUniversidad Politécnica De Honduras

CARLOS MIDENCE !RANCIS "ELAS#UE$Calculo II


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Introducción

Por lo general, en las clases de Cálculo que se imparten, con respecto a la carrera de,

administración, se tiene que, los cursos se basan en los conceptos puramente matemáticos ofísicos, lo que da como resultado que los alumnos de dichas carreras tengan un alto índice de

reprobación en las materias de cálculo. El índice de reprobación en los cursos de cálculo de los

estudiantes de las carreras antes mencionadas es muy alto ya que se debe a diversas causas, que

considerando sólo el lado del estudiante pueden ser la mala preparación en el nivel medio

superior, la falta de estudio de la materia, la falta de inter!s, el poco tiempo que le dedican a su

estudio y la falta de asistencia a las clases. "l considerar que los cursos de cálculo tradicionales

influyen de manera importante en el alto índice de reprobación de la materia, y dado que el

enfoque com#n se da a trav!s de temas de la física o de las matemáticas $ lo que es muy natural

ya que fueron los problemas físicos, principalmente, los que dieron origen al cálculo%, dicha

motivación no es suficiente para los estudiantes de dichas carreras, pues consideran que el

cálculo tiene poca aplicación a su disciplina. Es cierto que algunos profesores incluyen en sue&posición algunos problemas adecuados para motivar a los estudiantes de las carreras socio'

económicas pero, generalmente, no es suficiente ya que la inclusión de tales problemas a veces

no es natural o resulta ser tardía y cuando se llega a estos problemas, el inter!s en los

estudiantes por los cursos de cálculo ha decaído.


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(b)etivo

El %resente tra&a'o tiene %or o&'eto (ue los estudiantes de las carrerassocioecon)*icas encuentren una *otivaci)n *+s ,enuina- con &ase en%ro&le*as si*ilares a los de la ./sica (ue dieron ori,en al c+lculo- %ero conotro ti%o de len,ua'e- 0 a e'ercicios (ue les a0uden a desarrollar 0 rea1r*arlos conce%tos &+sicos del c+lculo 0- ade*+s- (ue los estudiantes de ./sica 0*ate*+ticas ta*&ién %uedan tener un %anora*a *+s a*%lio en cuanto ala a%licaci)n (ue se le %uede dar al c+lculo2 En este tra&a'o se %resenta unae3%osici)n de c)*o se %ueden enri(uecer al,unos te*as del c+lculo- sin%retender (ue se i*%artan cursos diri,idos s)lo a estas es%ecialidades- conlo (ue se es%era (ue los estudiantes de dic4as carreras- (ue llevan un cursocl+sico de c+lculo en la UNAM- cuenten con un *aterial %ro%io e3tra clase

(ue le a0ude a entender conce%tos vistos en el aula- %uedan *e'orar surendi*iento


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"plicaciones a la administración y la economía

Función de oferta una empresa que fabrica y vende un determinado producto utili*a esta función para relacionar la cantidad de productos que estádispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender

esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, e&iste una

cantidad correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a

ofrecer en el mercado en alg#n período específico.

Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la

empresa está dispuesta a ofrecer. "l reducirse el precio, se reduce la cantidad

ofrecida. Esto nos permite asegurar que la función de oferta es una función

creciente. +i p representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecidacorrespondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la denomina función

de oferta y a su gráfica se la conoce como gráfica de oferta.

" esta función la denominamos p-$q%

onde p es el precio de costo y q la cantidad de productos

Función de demanda: /a empresa utili*a esta función para relacionar la

cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitarioal que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general,

si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada

del artículo porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un

precio mayor por adquirirlo. /a demanda disminuye al aumentar el precio por

eso esta es una función decreciente como lo observamos en los e)emplos

gráficos. Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto

e&iste una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores

demandan en determinado período. +i el precio por unidad de un producto

está dado por p y la cantidad correspondiente en unidades está dada por q laley que los relaciona se denomina función de demanda. " su gráfica se la

llama gráfica de demanda.

" esta función la simboli*amos p d$q% donde sabemos que p es el precio

unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el

mercado.


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SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES

El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de

intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un

producto da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los

consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes

quieren vender. +in embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en

un artículo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el

precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas esas personas

aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el

superávit de los consumidores.

El área ba)o la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores

están dispuestos a pagar por q- artículos. El área sombreada ba)o la recta

y p- muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el

precio p- de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de losconsumidores.

El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p

d$q% y p p- entonces su valor puede encontrarse con una integral definida deesta forma

Pro!ema "

/a curva de demanda está dada por la ley d$&% 0- ' -,-1&2. Encuentre elsuperávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte

unidades.

Como la cantidad de unidades es 2-, su precio asciende a p d$2-% 0- ' -,-1

2-2 21.

3esolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta

∫0

20

[50−0.06 x2−26 ] dx=∫0

20

[24−0.06 x2 ]dx=(24 x−0.02 x3)∫0

20

¿320


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/a ganancia de los consumidores asciende a 4 52- si el nivel de venta

asciende a veinte unidades.

e la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a

proporcionar un producto a un menor precio que el precio p- de equilibrio, eltotal de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios más ba)os a los que losfabricantes venderían el producto se considera como una entrada adicional para los

fabricantes y se llama el superávit de los productores.

El área total ba)o la curva de oferta entre q - y q q- es la cantidad mínima total

que los fabricantes están dispuestos a obtener por la venta de q- artículos. El área total

ba)o la recta p p- es la cantidad realmente obtenida. /a diferencia entre esas dos áreas,

el superávit de los productores, tambi!n está dada por una integral definida.

+i s$q% es una función de oferta con precio p- de equilibrio y oferta q- de equilibrio,

entonces superávit de los productores

Pro!ema #

+e conoce que la curva de la oferta para un producto es s$&% . Encuentre

la ganancia de los productores si la producción asciende a die* artículos.

+i la producción asciende a 6- artículos el precio es s$6-% 62 pesos.

/a ganancia o superávit de los productores se calculo resolviendo


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7anancia de las productores 20

/a ganancia de los productores asciende a 420 si la producción es de die*

artículos.

AN$%ISIS MAR&INA%

/a derivada y, en consecuencia, la integral, tienen aplicaciones enadministración y economía en la construcción de las tasas marginales.

Es importante para los economistas este traba)o con el análisis marginal porque permite calcular el punto de ma&imi*ación de utilidades.

En el análisis marginal se e&aminan los efectos incrementales en larentabilidad. +i una firma está produciendo determinado n#mero de unidadesal a8o, el análisis marginal se ocupa del efecto que se refle)a en la utilidad si

se produce y se vende una unidad más.

Para que este m!todo pueda aplicarse a la ma&imi*ación de utilidades sedeben cumplir las siguientes condiciones

• eberá ser posible identificar por separado las funciones de ingreso

total y de costo total.

• /as funciones de ingreso y costo deben formularse en t!rminos del

nivel de producción o del n#mero de unidades producidas y vendidas.

amos algunas definiciones importantes para nuestro traba)o

Co'to mar(ina! es el costo adicional que se obtiene al producir y vender unaunidad más de un producto o servicio.

9ambi!n se puede definir como el valor límite del costo promedio por artículoe&tra cuando este n#mero de artículos e&tra tiende a cero.

Podemos pensar el costo marginal como el costo promedio por artículo e&tra

cuando se efect#a un cambio muy peque8o en la cantidad producida.


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ebemos tener en cuenta que si c$&% es la función costo, el costo promedio de producir & artículos es el costo total dividido por el n#mero de artículos producidos.

Costo promedio por artículo

Costo marginal

Costo marginal c:$&%

El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al

incremento de la cantidad producida.

In(re'o mar(ina! es el ingreso adicional que se consigue al vender unaunidad más de un producto o servicio.

Para una función de ingreso total r$&%, la derivada r;$&% representa la tasainstantánea de cambio en el ingreso total con un cambio del n#mero deunidades vendidas. Podemos decir que el ingreso marginal representa lasentradas adicionales de una empresa por artículo adicional vendido cuandoocurre un incremento muy peque8o en el n#mero de artículos vendidos.

3epresenta la tasa con que crece el ingreso con respecto al incremento delvolumen de ventas.

Uti!idad mar(ina! que obtiene una empresa está dada por la diferencia entresus ingresos y sus costos. +i la función de ingreso es r$&% cuando se venden &artículos y si la función de costo es c$&% al producirse esos mismos artículos,la utilidad p$&% obtenida por producir y vender & artículos está dada por

p$&% r$&% < c$&%.

/a derivada p;$&% se denomina utilidad marginal y representa la utilidad por

artículo si la producción sufre un peque8o incremento.

3esuelva los siguientes problemas y verifique las respuestas.

Pro!ema "

=na función de costo marginal está definida por c:$&% 5&2 > ?& > @ y el costofi)o es de 41. etermine la función costo total correspondiente.

Respuesta: c(x) = x3 + 4x2 +4x + 6

Pro!ema #


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Para un artículo particular, la función de ingreso marginal es i:$&% 60 ' @&. +i &unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de p pesos

a) etermine la función ingreso total.

) etermine la ecuación de demanda.

Respuestas: a) i(x) = 15x - 2x2 b) p(x) = 15 - 2x

ConclusionesEn este traba)o se reali*an )ustificaciones matemáticas de algunos conceptos que se

estudian en Aingeniería industrial dando un punto de vista mas amplio acerca del uso

de cálculo en las empresas, se conoce que es una parte fundamental para el desarrollo

profesional y con este hacemos ver de que manera se puede usar y aplicar pensando

siempre en que sea una manera mas fácil de comprender al combinar conceptos

matemáticos con temas reales que se tratan en el ámbito laboral

/os conceptos principales del cálculo, como la derivada, puede tener similitud con

algunos conceptos económicos, demográficos o de seguros. /as gráficas obtenidas porlos m!todos matemáticos tienen diversas interpretaciones dependiendo de la disciplina

en la que se est! considerando. El dominio de los conceptos principales del cálculo

ayuda a comprender de manera más eAca* los modelos de la economía. Con base en el

buen mane)o de los conceptos principales del cálculo se pueden generali*ar a n

variables algunas aplicaciones a la economía

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