Cmo y dnde se aplican las series de Fourier?

Muchas ecuaciones de la fsica matemtica estudiadas en Anlisis Matemtico se formulan mediante derivadas parciales (respecto de las variables independientes) de la funcin desconocida y se resuelven, en ocasiones, descomponiendo la incgnita en series (sumas infinitas) de las variables independientes. Las series ms interesantes son las de potencias y por supuesto las de Fourier. Dado el carcter peridico de tales sumas, las series de Fourier se aplican all donde surgen procesos oscilantes, como ocurre en las series temporales de naturaleza econmica, en electrnica (se aplican por ejemplo en teora de seales), en acstica o en ptica. Los problemas tericos relacionados con la convergencia de las series de Fourier han impulsado avances fundamentales en distintos mbitos de las matemticas y siguen siendo considerados hoy como problemas muy difciles.Las reas de aplicacin de las series de Fourier las podemos encontrar en reas como:

Anlisis vibratorio Acstica ptica Procesamiento de imgenes y seales Compresin de datos Ecuaciones de calor y de ondas Anlisis de circuitos

APLICACIN EN PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALESLas series de Fourier sirven mucho en el procesamiento digital de seales, la cual es una rea de la ingeniera que se ha desarrollado rpidamente en los ltimos 30 aos Este rpido desarrollo es resultado de avances tecnolgicos tanto en los ordenadores digitales como en la fabricacin de circuitos integrados. Estos circuitos digitales baratos y relativamente rpidos han hecho posible construir sistemas digitales altamente sofisticados, capaces de realizar funciones y tareas del procesado de seales que convencionalmente se realizaban analgicamente, se realicen hoy mediante hardware digital, ms barato y a menudo ms fiable.El nombre de una seal analgica se deriva del hecho de que es una seal anloga a la seal fsica que se representa .La magnitud de una seal analgica pude tomar cualquier valor, esto es, la amplitud de una seal analgica exhibe una variacin continua sobre su campo de actividad. La gran mayora de seales en el mundo que hay a nuestro alrededor son analgicas. Los circuitos que procesan estas seales se conocen como circuitos analgicos. Una forma alternativa de representacin de seal es la de una secuencia de nmeros, cada uno de los cuales representa la magnitud de seal en un instante determinado. La seal resultante se llama seal digital, est a diferencia de la seal analgica es una seal que esta discreteada en el tiempo y cuantificada en magnitud. El procesamiento de seales se correlaciona con las series de Fourier ya que esta nos permite expresar una funcin peridica de tiempo como la suma de un nmero infinito de senoides cuyas frecuencias estn armnicamente relacionadas La importancia de esto radica en que la serie de Fourier nos facilita el arduo trabajo del manejo con seales, ya que para que nosotros podamos procesar estas seales es necesario expresarlas como una combinacin lineal de trminos, lo cual nos lo proporciona la serie de Fourier.

APLICACIONES EN LA MEDICINADiagnstico automtico: La ecografa permite registrar la vibracin de cada una de las membranas del corazn, proporcionando una curva peridica. Un programa de ordenador calcula los primeros trminos de las sucesiones (coeficientes de Fourier). En el caso de la vlvula mitral, son suficientes los dos primeros coeficientes de Fourier para diagnosticar al paciente. Esta forma de diagnstico disminuye costes en el sistema sanitario y, sobre todo, evita al paciente los riesgos y molestias inherentes a las pruebas endoscpicas

Otras de las ms importantes aplicaciones de las series de Fourier son:

El problema isoperimtrico Temperatura de la tierra Evaluacin de series no triviales La desigualdad de Wirtinger Solucin de ecuaciones diferenciales Flujo del calor Ecuacin de ondas Formula de Poisson Identidad de Jacobi

Veamos de forma breva algunas de estas de estas aplicaciones:

El problema isoperimtrico que es de carcter matemtico afirma que si C es una curva cerrada simple con un tipo de clase y de longitud unitaria, entonces el rea A encerrada por la curva satisface cierta desigualdad. La desigualdad se satisface si y solos si C es una circunferencia. En consecuencia entre todas las curvas cerradas simples de longitud unitaria la que encierra mayor rea es la circunferencia.Supongamos que la curva C est parametrisada en la forma (x (t), y (t)), donde el parmetro t representa la longitud de arco. En virtud del teorema de Stokes

Un problema sencillo pero muy interesante es el de calcular la temperatura de la tierra a una profundidad x a partir de la temperatura de la superficie. Describamos la temperatura de la superficie terrestre como una funcin f peridica en el tiempo t y de periodo 1(un ao). La temperatura y la profundidad en un tiempo y longitud respectivamente, mayores o iguales a cero son tambin peridicas. Bajo estas circunstancias la temperatura puede ser expandida mediante una serie de Fourier para cada valor x fijo.

Otra de las aplicaciones de la serie de Fourier es la evaluacin de las series no triviales mediante la identidad de plancherel para calcular algunas sumas infinitas.

La desigualdad de wirtinger es una aplicacin de tipo matemtica de las series de Fourier para una funcin continua definida en un intervalo cerrado.

Tal vez una de las propiedades ms importantes de las series de Fourier y en particular de las integrales de Fourier se presenta en la solucin de ecuaciones diferenciales ya que transforma operadores diferenciales con coeficientes constantes en multiplicacin por polinomios.

Otra de las aplicaciones importantes de la serie de Fourier y en este caso de la transformada de Fourier es el problema del flujo del calor. El planteamiento de este problema es similar al del problema anterior.

Las aplicaciones tanto en la ecuacin de ondas, la frmula de Poisson y la Identidad de Jacobi son de carcter matemtico riguroso por lo que se dejan indicadas.

En resumen, la aplicacin de las series de Fourier es extensa y est dentro de muchos de los equipos electrnicos, mdicos, etc., que ocupamos cada da. Y probablemente las telecomunicaciones no habran avanzado sin estas al nivel que han avanzado en la actualidad. Al igual que los equipos mdicos, no tendran muchas aplicaciones que tienen ahora. Adems de muchos problemas que seran imposibles o complicados de resolver sin estas.