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Aplicações de Álgebra Linear

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 2

8 de janeiro de 2009

1/40 Aula 2 Aplicações de Álgebra Linear 1/1

Transformações Lineares


Transformações lineares

Sejam U e V espaços vetoriais sobre K. Uma função T : U → V éuma transformação linear se

(1) ∀u1,u2 ∈ U,T(u1 + v2) = T(u1) + T(u2).

(2) ∀α ∈ K , ∀u ∈ U,T(α · u) = α · T(u).

Definição


Propriedades

Sejam U e V espaços vetoriais sobre K e T : U → V umatransformação linear.

(1) T(0U) = 0V .

(2) T(−u) = −T(u).

(3) ∀α1, . . . , αk ∈ K, ∀u1, . . . ,uk ∈ U,

T

(k∑

i=1

αi · ui

)=

k∑i=1

αi · T(ui).

Prova de (1): T(0U) = T(0 · 0U) = 0 · T(0U) = 0V .


Exemplos

(1) T : U → Vu 7→ T(u) = 0V

(função nula)

(2) Id : U → Uu 7→ T(u) = u

(função identidade em U)

(3) T : Mn×1(K) → Mm×1(K) x1...

xn

7→

y1...

ym

=

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

x1

...xn

(4) T : C∞(R,R) → C∞(R,R)

f 7→ T (f ) = f ′(derivada)

(5) T : C([a,b],R) → R

f 7→ T (f ) =

∫ b

af (x) dx

(integral)


Exemplos

(1) T : U → Vu 7→ T(u) = 0V

(função nula)

(2) Id : U → Uu 7→ T(u) = u


(3) T : Mn×1(K) → Mm×1(K) x1...

xn

7→

y1...

ym

=

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

x1

...xn

(4) T : C∞(R,R) → C∞(R,R)


(5) T : C([a,b],R) → R

f 7→ T (f ) =

∫ b

af (x) dx

(integral)


Exemplo: rotações em torno da origem


Teorema

Seja B = {u1, . . . ,un} base de U. Se {v1, . . . ,vn} ⊆ V(não necessariamente uma base de V ), então existe uma únicatransformação linear T : U → V tal que

T(u1) = v1, . . . , T(un) = vn.

Teorema

Demonstração.

(Existência) Seja u ∈ V . Como B é base de V , existem únicos α1, . . . , αn ∈ Ktais que u =

∑ni=1 αi · ui . Defina T(u) =

∑ni=1 αi · vi . Exercício: mostre que T é

linear e que T(ui) = vi , ∀i = 1, . . . ,n.

(Unicidade) Considere agora S : U → V outra transformação linear tal queS(ui) = vi , ∀i = 1, . . . ,n. Então , ∀u ∈ U,

S(u) = S(∑n

i=1 αi · ui)

=n∑

i=1

αi ·S(ui) =n∑

i=1

αi ·vi =n∑

i=1

αi ·T(ui) = T(n∑

i=1

αi ·ui) = T(u).


Teorema


T(u1) = v1, . . . , T(un) = vn.

Teorema

Demonstração.






S(u) = S(∑n

i=1 αi · ui)

=n∑

i=1

αi ·S(ui) =n∑

i=1

αi ·vi =n∑

i=1


i=1

αi ·ui) = T(u).


Exercício

Seja T : R2 → R2 uma transformação linear tal que

T(1,0) = (1,2) e T(0,1) = (3,4).

Calcule T(2,3).



Rθ(1,0) = (+ cos(θ),+ sen(θ), Rθ(0,1) = (− sen(θ),+ cos(θ)).

Rθ(x , y) = Rθ

(x · (1,0) + y · (0,1)

)= x · Rθ(1,0) + y · Rθ(0,1)

= x ·(

+ cos(θ),+ sen(θ))

+ y ·(− sen(θ),+ cos(θ)

)=

(cos(θ) · x − sen(θ) · y , sen(θ) · x + cos(θ) · y

).

Matricialmente:

Rθ

([xy

])=

[cos(θ) − sen(θ)sen(θ) cos(θ)

]·[

xy

].




Rθ(x , y) = Rθ

(x · (1,0) + y · (0,1)

)= x · Rθ(1,0) + y · Rθ(0,1)

= x ·(


+ y ·(− sen(θ),+ cos(θ)

)=


).

Matricialmente:

Rθ

([xy

])=


]·[

xy

].


Teorema

Sejam U e V espaços vetoriais sobre K. Então

(1) Se S : U → V e T : U → V são duas transformações lineares,então

S + T : U → V

também é uma transformação linear.

(2) Se α ∈ K e T : U → V é uma transformação linear, então

α · T : U → V


(3) Corolário:L (U,V ) = {T : U → V | T é linear}

é um espaço vetorial.

Teorema


Teorema

Sejam U e V espaços vetoriais sobre K. Então

(1) Se S : U → V e T : U → V são duas transformações lineares,então

S + T : U → V


(2) Se α ∈ K e T : U → V é uma transformação linear, então

α · T : U → V


(3) Corolário:L (U,V ) = {T : U → V | T é linear}

é um espaço vetorial.

Teorema


Teorema

Sejam U, V e W espaços vetoriais sobre K.

(1) Se T : U → V e S : V →W são transformações lineares, então

S ◦ T : U →W

também é uma transformação linear. Em outras palavras,composição de transformações lineares também é umatransformação linear.

(2) Se T : U → V é uma transformação linear inversível, então suainversa

T−1 : V → U


Teorema


Teorema



S ◦ T : U →W



T−1 : V → U


Teorema


Núcleo e Imagem


Núcleo e Imagem

Seja T : U → V uma transformação linear.

(1) O núcleo de T é o conjunto

Ker(T) = {u ∈ U | T(u) = 0}.

(2) A imagem de T é o conjunto

Im(T) = {v ∈ V | ∃u ∈ U com T(u) = v}.

Definição

(1) Ker(T) é subespaço vetorial de U.

(2) Im(T) é subespaço vetorial de V .

Proposição


Núcleo e Imagem



Ker(T) = {u ∈ U | T(u) = 0}.


Im(T) = {v ∈ V | ∃u ∈ U com T(u) = v}.

Definição



Proposição


Núcleo e Imagem

Seja T : U → V uma transformação linear. Se B = {u1, . . . ,un} é umabase de U, então {T(u1), . . . ,T(un)} gera Im(T).

Lema

Demonstração. Seja v = T(u) ∈ Im(T). Como B é base de U,

u = α1 · u1 + · · ·+ αn · un.

Então:

v = T(u) = T(α1 · u + · · ·+ αn · un) = α1 · T(u1) + · · ·+ αn · T(un).

Assim, v ∈ [T(u1), . . . ,T(un)].


Núcleo e Imagem


Lema


u = α1 · u1 + · · ·+ αn · un.

Então:


Assim, v ∈ [T(u1), . . . ,T(un)].


Núcleo e Imagem

Seja T : U → V uma transformação linear entre espaços vetoriais dedimensão finita. Então

dimK(U) = dimK(Ker(T)) + dimK(Im(T)).

Teorema

Demonstração. Suponha Ker(T) 6= {0} e seja {u1, . . . ,uk} base de Ker(T).

Passo 1. Se k = dimK(U), o resultado é imediato.

Passo 2. Se k < dimK(U), complete {u1, . . . ,uk} para obter uma base de U:{u1, . . . ,uk , u1, . . . , un−k}.

Passo 3. {T(u1), . . . ,T(un−k )} gera Im(T) pois, pelo lema,

[T(u1), . . . ,T(uk ),T(u1), . . . ,T(un−k )] = [T(u1), . . . ,T(un−k )] = Im(T).


Núcleo e Imagem



Teorema







Núcleo e Imagem

Passo 4. {T(u1), . . . ,T(un−k )} é LI. De fato:

α1 · T(u1) + · · ·+ αn−k · T(un−k ) = 0⇓

T(α1 · u1 + · · ·+ αn−k · un−k ) = 0⇓

α1 · u1 + · · ·+ αn−k un−k ∈ Ker(T)

⇓α1 · u1 + · · ·+ αn−k un−k = α1 · u1 + · · ·+ αk · uk

⇓− α1 · u1 − · · · − αk · uk + α1 · u1 + · · ·+ αn−k un−k = 0

⇓α1 = 0, . . . , αk = 0, α1 = 0, . . . , αn−k = 0.

Passo 5. Logo dimK(Im(T)) = n − k , o que estabelece o resultado.

O caso Ker(T) = {0} é análogo e ficará como exercício.


Núcleo e Imagem


α1 · T(u1) + · · ·+ αn−k · T(un−k ) = 0⇓

T(α1 · u1 + · · ·+ αn−k · un−k ) = 0⇓

α1 · u1 + · · ·+ αn−k un−k ∈ Ker(T)

⇓α1 · u1 + · · ·+ αn−k un−k = α1 · u1 + · · ·+ αk · uk

⇓− α1 · u1 − · · · − αk · uk + α1 · u1 + · · ·+ αn−k un−k = 0

⇓α1 = 0, . . . , αk = 0, α1 = 0, . . . , αn−k = 0.




Isomorfismos


Isomorfismos

Dizemos que uma transformação linear T : U → V é um isomorfismose T é inversível, isto é, se existe T−1 : V → U tal que

T ◦ T−1 = IdV e T−1 ◦ T = IdU .

Lembramos que T : U → V é inversível se, e somente se, T é bijetiva,isto é, T é injetiva e sobrejetiva.

Definição

Exemplo: se A é uma matriz inversível, então

T : Mn×1(K) → Mn×1(K) x1...

xn

7→

y1...

yn

=

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · ann

︸︷︷︸

A

x1...

xn

é um isomorfismo.


Isomorfismos


T ◦ T−1 = IdV e T−1 ◦ T = IdU .


Definição


T : Mn×1(K) → Mn×1(K) x1...

xn

7→

y1...

yn

=

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · ann

︸︷︷︸

A

x1...

xn

é um isomorfismo.


Propriedades

Seja T : U → V uma transformação linear. Então

T é injetiva ⇔ Ker(T) = {0}.

Proposição

Seja T : U → V uma transformação linear entre espaços de dimensãofinita, com dimK(U) = dimK(V ). Então

T é injetiva ⇔ T é sobrejetiva ⇔ T é um isomorfismo.

Proposição


Propriedades



Proposição



Proposição


Teorema

Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita. Se dimK(U) =dimK(V ), então U e V são isomorfos.

Em particular, todo espaço vetorial de dimensão n é isomorfo a Kn.

Proposição

Demonstração. Se B = {u1, . . . ,un} é base de U e C = {v1, . . . ,vn}, então aaplicação definida por

T(u) = T(α1 · u1 + · · ·+ αn · un) = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn

é um isomorfismo entre U e V .


Teorema



Proposição





A Matriz de uma Transformação Linear


Coordenadas

Seja B = {v1, . . . ,vn} uma base de V . Fixando-se a ordem doselementos desta base, pela proposição anterior, cada elemento vde V fica determinado de maneira unívoca pelos coeficientesα1, . . . , αn da combinação linear

v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn.

A n-upla ordenada[v]B = (α1, . . . , αn)B

será denominada coordenadas do vetor v com relação à base B.

Definição


A matriz de uma transformação linear

Sejam T : U → V uma transformação linear, U = {u1, . . . ,un} umabase ordenada de U e V = {v1, . . . ,vm} uma base ordenada de V .Existem escalares aij ∈ K, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, tais que

T(u1) = a11 · v1 + a21 · v2 + · · ·+ am1 · vm,T(u2) = a12 · v1 + a22 · v2 + · · ·+ am2 · vm,

...T(un) = a1n · v1 + a2n · v2 + · · ·+ amn · vm.

A matriz de T com relação às bases U e V é

[T]VU

=

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

m×n

.

Definição





...T(un) = a1n · v1 + a2n · v2 + · · ·+ amn · vm.


[T]VU

=

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....


m×n

.

Definição


Exemplo

Seja T : R3 → R2 definida por T(x , y , z) = (x + y , x + z).

Se U = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e V = {(1,0), (0,1)}, então

T(1,0,0)

= (1,1) = 1 · (1,0) + 1 · (0,1),T(0,1,0) = (1,0) = 1 · (1,0) + 0 · (0,1),T(0,0,1) = (0,1) = 0 · (1,0) + 1 · (0,1).

Logo: [T]VU

=

[1 1 01 0 1

].


Exemplo


Se U = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e V = {(1,0), (0,1)}, então

T(1,0,0)

= (1,1) = 1 · (1,0) + 1 · (0,1),T(0,1,0) = (1,0) = 1 · (1,0) + 0 · (0,1),T(0,0,1) = (0,1) = 0 · (1,0) + 1 · (0,1).

Logo: [T]VU

=

[1 1 01 0 1

].


Exemplo


Se U = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e V = {(1,0), (0,1)}, então

T(1,0,0) =

(1,1) = 1 · (1,0) + 1 · (0,1),T(0,1,0) = (1,0) = 1 · (1,0) + 0 · (0,1),T(0,0,1) = (0,1) = 0 · (1,0) + 1 · (0,1).

Logo: [T]VU

=

[1 1 01 0 1

].


Exemplo


Se U = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e V = {(1,0), (0,1)}, então

T(1,0,0) = (1,1)

= 1 · (1,0) + 1 · (0,1),T(0,1,0) = (1,0) = 1 · (1,0) + 0 · (0,1),T(0,0,1) = (0,1) = 0 · (1,0) + 1 · (0,1).

Logo: [T]VU

=

[1 1 01 0 1

].


Exemplo


Se U = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e V = {(1,0), (0,1)}, então

T(1,0,0) = (1,1) = 1 · (1,0) + 1 · (0,1)

,T(0,1,0) = (1,0) = 1 · (1,0) + 0 · (0,1),T(0,0,1) = (0,1) = 0 · (1,0) + 1 · (0,1).

Logo: [T]VU

=

[1 1 01 0 1

].


Exemplo


Se U = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e V = {(1,0), (0,1)}, então

T(1,0,0) = (1,1) = 1 · (1,0) + 1 · (0,1),T(0,1,0) = (1,0) = 1 · (1,0) + 0 · (0,1)

,T(0,0,1) = (0,1) = 0 · (1,0) + 1 · (0,1).

Logo: [T]VU

=

[1 1 01 0 1

].


Exemplo


Se U = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e V = {(1,0), (0,1)}, então

T(1,0,0) = (1,1) = 1 · (1,0) + 1 · (0,1),T(0,1,0) = (1,0) = 1 · (1,0) + 0 · (0,1),T(0,0,1) = (0,1) = 0 · (1,0) + 1 · (0,1).

Logo: [T]VU

=

[1 1 01 0 1

].


Exemplo


Se U = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e V = {(1,0), (1,1)}

, então

T(1,0,0) = (1,1) = 0 · (1,0) + 1 · (1,1),T(0,1,0) = (1,0) = 1 · (1,0) + 0 · (1,1),T(0,0,1) = (0,1) = −1 · (1,0) + 1 · (1,1).

Logo: [T]VU

=

[0 1 −11 0 1

].


Exemplo


Se U = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e V = {(1,0), (1,1)}, então

T(1,0,0) = (1,1) =

0 ·

(1,0) +

1 ·

(1,1)

,

T(0,1,0) = (1,0) =

1 ·

(1,0) +

0 ·

(1,1)

,

T(0,0,1) = (0,1) =

−1 ·

(1,0) +

1 ·

(1,1)

.

Logo: [T]VU

=

[0 1 −11 0 1

].


Exemplo


Se U = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e V = {(1,0), (1,1)}, então

T(1,0,0) = (1,1) = 0 · (1,0) + 1 · (1,1)

,

T(0,1,0) = (1,0) =

1 ·

(1,0) +

0 ·

(1,1)

,

T(0,0,1) = (0,1) =

−1 ·

(1,0) +

1 ·

(1,1)

.

Logo: [T]VU

=

[0 1 −11 0 1

].


Exemplo


Se U = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e V = {(1,0), (1,1)}, então

T(1,0,0) = (1,1) = 0 · (1,0) + 1 · (1,1),T(0,1,0) = (1,0) = 1 · (1,0) + 0 · (1,1)

,

T(0,0,1) = (0,1) =

−1 ·

(1,0) +

1 ·

(1,1)

.

Logo: [T]VU

=

[0 1 −11 0 1

].


Exemplo


Se U = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e V = {(1,0), (1,1)}, então

T(1,0,0) = (1,1) = 0 · (1,0) + 1 · (1,1),T(0,1,0) = (1,0) = 1 · (1,0) + 0 · (1,1),T(0,0,1) = (0,1) = −1 · (1,0) + 1 · (1,1).

Logo: [T]VU

=

[0 1 −11 0 1

].


Dicionário

Transformação Matriz

T

[T]VU

T(u)

[T]VU·[u]U

S + α · T

[S]VU

+ α ·[T]VU

S ◦ T

[S]WV·[T]VU

T−1

([T]VU

)−1

u ∈ Ker(T)

[T]VU·[u]U

=[0]

v ∈ Im(T)

O sistema[T]VU· x =

[v]V

tem solução.


Dicionário


T[T]VU

T(u)

[T]VU·[u]U

S + α · T

[S]VU

+ α ·[T]VU

S ◦ T

[S]WV·[T]VU

T−1

([T]VU

)−1

u ∈ Ker(T)

[T]VU·[u]U

=[0]

v ∈ Im(T)


[v]V

tem solução.


Dicionário


T[T]VU

T(u)[T]VU·[u]U

S + α · T

[S]VU

+ α ·[T]VU

S ◦ T

[S]WV·[T]VU

T−1

([T]VU

)−1

u ∈ Ker(T)

[T]VU·[u]U

=[0]

v ∈ Im(T)


[v]V

tem solução.


Dicionário


T[T]VU

T(u)[T]VU·[u]U

S + α · T[S]VU

+ α ·[T]VU

S ◦ T

[S]WV·[T]VU

T−1

([T]VU

)−1

u ∈ Ker(T)

[T]VU·[u]U

=[0]

v ∈ Im(T)


[v]V

tem solução.


Dicionário


T[T]VU

T(u)[T]VU·[u]U

S + α · T[S]VU

+ α ·[T]VU

S ◦ T[S]WV·[T]VU

T−1

([T]VU

)−1

u ∈ Ker(T)

[T]VU·[u]U

=[0]

v ∈ Im(T)


[v]V

tem solução.


Dicionário


T[T]VU

T(u)[T]VU·[u]U

S + α · T[S]VU

+ α ·[T]VU

S ◦ T[S]WV·[T]VU

T−1([

T]VU

)−1

u ∈ Ker(T)

[T]VU·[u]U

=[0]

v ∈ Im(T)


[v]V

tem solução.


Dicionário


T[T]VU

T(u)[T]VU·[u]U

S + α · T[S]VU

+ α ·[T]VU

S ◦ T[S]WV·[T]VU

T−1([

T]VU

)−1

u ∈ Ker(T)[T]VU·[u]U

=[0]

v ∈ Im(T)


[v]V

tem solução.


Dicionário


T[T]VU

T(u)[T]VU·[u]U

S + α · T[S]VU

+ α ·[T]VU

S ◦ T[S]WV·[T]VU

T−1([

T]VU

)−1

u ∈ Ker(T)[T]VU·[u]U

=[0]

v ∈ Im(T) O sistema[T]VU· x =

[v]V

tem solução.


Mudança de bases

Sejam U e U bases de U e sejam V e V bases de V . Então[T]VU

=

[IdV

]VV·

[T]VU

·[

IdU

]UU.

Se U = V , então[T]UU

=

([IdV

]UU

)−1

·[

T]UU·[

IdU

]UU.

Teorema


Mudança de bases


=

[IdV

]VV·

[T]VU

·[

IdU

]UU.


=

([IdV

]UU

)−1

·[

T]UU·[

IdU

]UU.

Teorema


Mudança de bases


=[

IdV

]VV·[

T]VU·[

IdU

]UU.


=

([IdV

]UU

)−1

·[

T]UU·[

IdU

]UU.

Teorema


Posto


Posto de uma transformação linear

Seja T : U → V uma transformação linear entre espaços vetoriais dedimensão finita. O posto de T é a dimensão da imagem de T:

rank(T) = dimK(Im(T)).

Definição


Observação

v ∈ Im(T)

m


[v]V

tem solução.

m

O sistema

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

V

U

·

x1...

xn

=[v]V

tem solução.

m

O sistema x1 ·

a11...

am1

+ · · ·+ xn ·

a1n...

amn

=[v]V

tem solução.

m

[v]V

pertence ao espaço gerado pelas colunas

a11

...am1

, . . . , a1n

...amn

.

Moral: rank(T) = número máximo de colunas LI de[T]VU

.


Observação

v ∈ Im(T)

m


[v]V

tem solução.

m

O sistema

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

V

U

·

x1...

xn

=[v]V

tem solução.

m

O sistema x1 ·

a11...

am1

+ · · ·+ xn ·

a1n...

amn

=[v]V

tem solução.

m

[v]V


a11

...am1

, . . . , a1n

...amn

.


.


Posto de uma matriz

(1) O posto segundo colunas de uma matriz A ∈ Mm×n(K) é onúmero máximo de colunas linearmente independentes.

(2) O posto segundo linhas de uma matriz A ∈ Mm×n(K) é onúmero máximo de linhas linearmente independentes.

Definição

Para toda matriz A ∈ Mm×n(K), o posto segundo linhas e oposto segundo colunas são iguais.

Teorema


Posto de uma matriz



Definição


Teorema


Posto de uma matriz

Demonstração. Sejam A uma matriz com posto segundo colunas igual a r ,C(A) o espaço gerado pelas colunas de A e R(A) o espaço gerado pelascolunas de A.

Passo 1. Como dimK(C(A)) = r , existem colunas b1, . . . , br de A queformam uma base para C(A). Seja B a matriz m × r definida por[b1, . . . ,br ].

Passo 2. Como toda coluna de A é uma combinação linear de b1, . . . , br ,podemos escrever que A = B · C para algumas matriz Cr×n.

Passo 3. Então AT = CT · BT . Então as linhas de A (colunas de AT ) sãocombinações lineares das linhas de C (colunas de CT ). Portanto,R(A) ⊆ R(C). Assim,

dimK(R(A)) ≤ dimK (R(C)) ≤ r = dimK(C(A)).

Trocando-se A por AT acima, segue-se que dimK(C(A)) ≤ dimK(R(A)). LogodimK(C(A)) = dimK(R(A)).


Posto de uma matriz








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