aplicações de teoria quântica de campos ísica da …joras/escola/marino.pdf · w. heisenberg w....
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1)1) IntroduçãoIntrodução
2)2) O que é uma TQC?O que é uma TQC?
3) Poliacetileno3) Poliacetileno
4) Elétrons “Relativísticos” em Sistemas de 4) Elétrons “Relativísticos” em Sistemas de Matéria Condensada em 2DMatéria Condensada em 2D
( 4a) Mais coisas se houver tempo....)( 4a) Mais coisas se houver tempo....)
5) Conclusão5) Conclusão
SUMÁRIOSUMÁRIO
M.Born, W.Heisenberg and P.Jordan, M.Born, W.Heisenberg and P.Jordan, Z. f. Phys. Z. f. Phys. 36 36 (1926) 336(1926) 336
W. HeisenbergW. Heisenberg M. BornM. Born P. JordanP. Jordan
1) Introdução1) Introdução
Primeira aplicação da MQ ao campo de radiação livre 1926Primeira aplicação da MQ ao campo de radiação livre 1926
1.1) Nasce a Teoria Quântica de Campos 1.1) Nasce a Teoria Quântica de Campos
W. HeisenbergW. Heisenberg W. PauliW. Pauli
Teoria Geral de Campos Quânticos 19291930Teoria Geral de Campos Quânticos 19291930
W.Heisenberg and W.Pauli, Z. f. Phys. 5Z. f. Phys. 56 6 (1929) 1(1929) 1
W.Heisenberg and W.Pauli, Z. f. Phys. 59Z. f. Phys. 59 (1930) 168(1930) 168
1.2) Amadurecimneto e Evolução1.2) Amadurecimneto e Evolução
1930 a 1950 – A infância da TQC 1930 a 1950 – A infância da TQC
Esquema para conciliar a MQ com a TRR, Esquema para conciliar a MQ com a TRR, reinterpretação da MQ relativística de reinterpretação da MQ relativística de Dirac, problemas com os infinitos.......Dirac, problemas com os infinitos.......
Heisenberg, Dirac, Born, Pauli, Jordan, Weisskopf, Heisenberg, Dirac, Born, Pauli, Jordan, Weisskopf, Lamb... Lamb...
1950 a 1960 – Maturidade da TQC1950 a 1960 – Maturidade da TQC
Eletrodinâmica Quântica, Renormalização...Eletrodinâmica Quântica, Renormalização...
(Feynman, Schwinger, Dyson,Tomonaga, Bogoliubov...)(Feynman, Schwinger, Dyson,Tomonaga, Bogoliubov...)
Fator giromagnético do elétron , Fator giromagnético do elétron , gg::
12( 2) 1159 652 156,4(22,9) 10Tg -- =
12( 2) 1159 652 188,4(4,3) 10Expg -- =
Esta á melhor previsão teórica feita até hoje Esta á melhor previsão teórica feita até hoje
em qualquer área do conhecimento!!! em qualquer área do conhecimento!!!
1960 a 1980 – Sucesso glorioso da TQC1960 a 1980 – Sucesso glorioso da TQC
Teorias de calibre, teoria eletrofraca, cromodinâmica Teorias de calibre, teoria eletrofraca, cromodinâmica quântica, liberdade assintótica, confinamento, quarks, quântica, liberdade assintótica, confinamento, quarks, modelo padrão das interações fundamentais....modelo padrão das interações fundamentais....
Yang, Gell’Mann, Salam, Weinberg, Glashow, ‘t Hooft, Yang, Gell’Mann, Salam, Weinberg, Glashow, ‘t Hooft, Veltman, Gross, Wilczek...Veltman, Gross, Wilczek...
1980 – 1990 Três paradigmas da Matéria Condensada caíram1980 – 1990 Três paradigmas da Matéria Condensada caíram
1 A aproximação de elétrons independentes1 A aproximação de elétrons independentes
2 A teoria do líquido de Fermi de Landau2 A teoria do líquido de Fermi de Landau
3 A teoria BCS da supercondutividade3 A teoria BCS da supercondutividade
1.3) A Queda dos Paradigmas da Matéria Condensada1.3) A Queda dos Paradigmas da Matéria Condensada
1980 – 1990 Duas descobertas fundamentais1980 – 1990 Duas descobertas fundamentais
1 O Efeito Hall Quântico1 O Efeito Hall Quântico
2 A Supercondutividade de Alta Temperatura2 A Supercondutividade de Alta Temperatura
Von Klitzing, Laughlin, Bednorz, Müller...Von Klitzing, Laughlin, Bednorz, Müller...
Na mesma época, os esforços para obter uma teoria Na mesma época, os esforços para obter uma teoria grãunificada das interações fundamentais da natureza, grãunificada das interações fundamentais da natureza, baseada na TQC, falharambaseada na TQC, falharam
Um campo novo e frutífero de aplicações da Um campo novo e frutífero de aplicações da TQC, abriuse na física da Matéria CondensadaTQC, abriuse na física da Matéria Condensada
A TQC é um método para descrever a dinâmica quântica A TQC é um método para descrever a dinâmica quântica de sistemas de muitas partículas cujo número total não é de sistemas de muitas partículas cujo número total não é necessariamente fixo!!!necessariamente fixo!!!
2) O que é uma TQC?2) O que é uma TQC?
CampoCampo ( ),x tj
Deslocamento de moléculas em um meio elástico, Deslocamento de moléculas em um meio elástico, potencial escalar EM, componente de campos elétricos potencial escalar EM, componente de campos elétricos ou magnéticos,... ou magnéticos,...
Classicamente pode assumir a forma de ondas, .....Classicamente pode assumir a forma de ondas, .....
( ) ( ), i kx tx t e wj -= por exemplopor exemplo
Modelo microscópicoModelo microscópico
aa
uunnuun1n1 uun+1n+1
HamiltonianoHamiltoniano
massa massa mm
( )nu t Deslocamento da Deslocamento da nnésima massaésima massa
( )2
21
12 2
nn n
n
pH k u um += + -
( )np t Momento da Momento da nnésima massaésima massa
Equações de movimentoEquações de movimento
( ) ( )1 1n n n n nmu k u u u u+ -= - - -gg
nnp mu=g
nn
Hup
=g
nn
Hpu
= -g
HamiltonHamilton
Limite contínuo: Campo!Limite contínuo: Campo!
0a
na x( ) ( ),nu t x tj ( ),nu x tj
g g
10
n na
u ua x
j+ -
( ) ( )2
1 12 0 21
n n n n au u u ua x
j+ -- - -
( ),x tj
A equação de movimento A equação de movimento
2 2
2 2 0m kaa t x
j j- =FazendoFazendo 0a
ma
r Densidade Densidade
TensãoTensão
2 2
2 2 0m kaa t x
j j- =
2 2
2 2 21 0
x v tj j
- =Equação de Equação de ondasondas
VelocidadeVelocidade
( ) ( )1 1n n n n nmu k u u u u+ -= - - -gg
0aka T
Tvr
=
ficafica
Soluções clássicasSoluções clássicas ( ) ( ), i kx tx t e wj -=
( )k vkw =Relação de dispersãoRelação de dispersão
QuantizaçãoQuantização
( ),x tjOperadores no espaço de HilbertOperadores no espaço de Hilbert
( )nu t ( )np t
( ),x tjg
DefinindoDefinindo
( ) 1( ) ( ) ( )2 2 ( )
ikx m ka k dx e x i xm k
wj j
w= +
g
h h
( )†( ), ( )a k a q k qd= -
HamiltonianoHamiltoniano † 1( ) ( ) ( )2
H dk k a k a kw= +h
( )( ) ( )†
( ) 0( )!
n ka k
n kn k
=Estados de Estados de n n fônons fônons
( )kwh
† ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a k a k n k n k n k=
Autovetores de energiaAutovetores de energia
Energia do fônonEnergia do fônon
p k= hMomento do fônonMomento do fônon
( )k vkw =
O número de fônons O número de fônons n(k) n(k) é arbitrário!!!é arbitrário!!!
( ) 0 0a k =
( ) 0,1, 2...n k =
O campo de vibrações elásticas O campo de vibrações elásticas quantizado é equivalente a um sistema quantizado é equivalente a um sistema de muitos fônons (excitações quânticas)de muitos fônons (excitações quânticas)
HH descreve a dinâmica quântica dos fônons. descreve a dinâmica quântica dos fônons. Na aproximação harmônica: fônons livresNa aproximação harmônica: fônons livres
Indo além da aproximação harmônica teremos Indo além da aproximação harmônica teremos interação entre os fônonsinteração entre os fônons
A utilização de fônons no cálculo do calor A utilização de fônons no cálculo do calor específico de redes cristalinas foi um dos específico de redes cristalinas foi um dos primeiros grandes sucessos da Teoria Quântica!primeiros grandes sucessos da Teoria Quântica!
O mesmo princípio aplicado a outros camposO mesmo princípio aplicado a outros campos
Campo Eletromagnético Campo Eletromagnético ⇒⇒ Fótons Fótons
Campo satisfazendo a equação de Dirac Campo satisfazendo a equação de Dirac ⇒⇒ Elétrons Elétrons
Campo de calibre nãoabelianos Campo de calibre nãoabelianos ⇒⇒ Glúons Glúons
Campo satisfazendo a equação de Dirac com graus de Campo satisfazendo a equação de Dirac com graus de liberdade de cor liberdade de cor ⇒⇒ Quarks Quarks
Outubro de 2000 Shirakawa, Heeger e McDiarmid ganham o Prêmio Nobel de Química por suas pesquisas com polímeros condutores.
The Nobel Prize in Chemistry 2000
"for the discovery and development of conductive polymers"
Hideki Shirakawa
Alan G. MacDiarmid
Alan J. Heeger
Polímero puro – isolantePolímero puro – isolante
Polímero dopado com halogênios/alcalinos – condutor !!!Polímero dopado com halogênios/alcalinos – condutor !!!
Aumento Aumento dramático na dramático na condutividade condutividade elétrica por elétrica por dopagemdopagem
Corrente elétrica
Corrente elétrica
Corrente elétrica
Movimento
Luz
Ácido/base
Gases
Mudança de cor
Reação química reversível
movimento
Corrente elétrica
Corrente elétrica
Mudança de cor
Mudança de condutividade
Janelas inteligentes,displays
Baterias secundárias
Músculos artificiais
Sensor de pressão
fotocélulas
Sensores de pH
Sensor de gás
estímulo resposta aplicação
Inúmeras aplicações...Inúmeras aplicações...
Modelo Teórico para o transpoliacetileno Modelo Teórico para o transpoliacetileno
Hamiltoniano de elétrons em uma rede estática perfeita Hamiltoniano de elétrons em uma rede estática perfeita
com espaçamento com espaçamento aa
Autovalores de Autovalores de energiaenergia
02 cosk t kae = -
†,n sc Cria eCria e c/ spin c/ spin ,s =
no sítio no sítio nn
02 cosk t kae = -
Forma diagonalForma diagonal
†
,k ks ks
k sH c cp e=
†,k sc Cria elétron com momentoCria elétron com momento
e spin e spin ,s =
p k= h
Hamiltoniano da redeHamiltoniano da rede
MM : Massa do radical CH : Massa do radical CH
n np M u=g
MomentoMomento
nu Deslocamento do radical CH do ponto Deslocamento do radical CH do ponto na na da rede ideal da rede ideal
Hamiltoniano de interação elétronsredeHamiltoniano de interação elétronsrede
Este termo descreve como o salto de elétrons Este termo descreve como o salto de elétrons entre sítios vizinhos é alterado pela dinâmica entre sítios vizinhos é alterado pela dinâmica da rededa rede
Numa rede idealNuma rede ideal 0nu =
Uma TQC para o poliacetilenoUma TQC para o poliacetileno
No hamiltoniano dos elétrons No hamiltoniano dos elétrons ⇒⇒ Linearização em Linearização em torno do nível de Fermi torno do nível de Fermi
Elétrons tipo 1Elétrons tipo 1
Elétrons tipo 2Elétrons tipo 2
Forma diagonal da energia dos elétronsForma diagonal da energia dos elétrons
†
,k ks ks
k sH c cp e=
02 cosk t kae = -comcom
Após linearizar em torno do nível de FermiApós linearizar em torno do nível de Fermi
†,i ksc Cria um elétron do tipo Cria um elétron do tipo i i =1,2 com momento =1,2 com momento p k= h
,s = e spine spin
† †1, 1, 2, 2,
,[ ]F ks ks ks ks
k sH v k c c c cp = -h
No hamiltoniano da redeNo hamiltoniano da rede
Definimos o “parâmetro de Definimos o “parâmetro de dimerização”dimerização” ( 1)n
n nuD -
nD ⇒⇒ Deformação da rede com extensãoDeformação da rede com extensão a:
Momento envolvidoMomento envolvido 2 Fpa a
p=
h h: ;
A interação com a rede mistura elétrons 1 e 2A interação com a rede mistura elétrons 1 e 2
“ “rightmovers” e “leftmovers”rightmovers” e “leftmovers”
Hamiltoniano de interaçãoHamiltoniano de interação
† †1, 1, 2, 2, , 1, 1,
,[ ]el ph n n s ns n s n s
n sH c c c ca- + += D +
Hamiltoniano da redeHamiltoniano da rede
2
2
0
nph n
nH l
D= + D
W
gEm termos do parâmetro Em termos do parâmetro
de dimerização de dimerização ⇒⇒
† †1, 1, 2, 2, , 1, 1,
,[ ]el ph n n s ns n s n s
n sH c c c ca- + += D +
2
2
0
nph n
nH l
D= + D
W
g
† †1, 1, 2, 2,
,[ ]F ks ks ks ks
k sH v k c c c cp = -h
Hamiltoniano que descreve a dinâmica perto doHamiltoniano que descreve a dinâmica perto do
nível de Ferminível de Fermi
( 1)nn nuD - ondeonde
O limite contínuo : TQCO limite contínuo : TQC
Introduzindo os campos:Introduzindo os campos:
( ) ( )( )
†1,††2,
, lim ss
na x s
c nax t
c naY =
( ) ( ), limna x
x t naD = DRedeRede
ElétronsElétrons
Hamilltoniano para os campos Hamilltoniano para os campos sY Dee
† † 2 1 23 1 0( )F s x s sH dx i v s s l -= - Y Y + DY Y + D +W D
g
h
TQC para o poliacetilenoTQC para o poliacetileno
O primeiro termo é o O primeiro termo é o hamiltoniano de Dirac para hamiltoniano de Dirac para férmions de massa nula férmions de massa nula ⇒⇒
( ) Fk v ke = h
Energia Energia
Integrando sobre os férmions Integrando sobre os férmions ⇒⇒ Teoria efetiva para Teoria efetiva para D
DDD
( )V D
0D0- D
Potencial Potencial efetivo para o efetivo para o campo de campo de dimerizaçãodimerização
2 1 2 20
0
( ) ln 3effH dx gl - D= D +W D + D -
D
g
0D
0- D
Dois mínimos Dois mínimos degeneradosdegenerados
Temos que expandir Temos que expandir os campos em torno os campos em torno dos mínimos !dos mínimos ! 0 jD= D +
† † 2 1 23 1 0( )F s x s sH dx i v s s l -= - Y Y + DY Y + D +W D
g
h
Geração dinâmica de um gap isolanteGeração dinâmica de um gap isolante
0 † †3 0 1F s x s sH dx i v
ps s= - Y Y + D Y Yh
Hamilitoniano Hamilitoniano dos elétrons dos elétrons
EnergiaEnergia ( ) ( ) 2 20Fk v ke = + Dh
Energia “relativística” de uma partícula com energia de Energia “relativística” de uma partícula com energia de repouso (massa) e momento repouso (massa) e momento 0D p k= h
Abrese um gap Abrese um gap perto do nível perto do nível de Fermide Fermi
O material O material é isolanteé isolante
Análogo à geração dinâmica de massa na Análogo à geração dinâmica de massa na
Teoria Eletrofraca!!! Teoria Eletrofraca!!!
Excitações tipo sólitonExcitações tipo sóliton
Defeitos topológicos Defeitos topológicos conectando os dois conectando os dois tipos de cadeiatipos de cadeia
ClassicamenteClassicamente ( ) 00 tanh x xx
x-
D = D
Os sólitons criam um estado na metade do gap Os sólitons criam um estado na metade do gap
Espaçamento uniforme Espaçamento uniforme aa como na rede ideal como na rede ideal
Conexão matemática profundaConexão matemática profunda
Teorema de AtiyahSingerTeorema de AtiyahSinger
““O operadorO operador possui um númeropossui um número
de autovalores nulos que é igual à carga topológica da de autovalores nulos que é igual à carga topológica da configuração de campo configuração de campo ( )xD ””
Carga Carga TopológicaTopológica
Para o sólitonPara o sóliton 1TQ = ⇒⇒ Estado no meio do gap!!!Estado no meio do gap!!!
( ) ( )0 0
1 1( )2 2TQ dx x
x-
= D = D + - D -D D
3 1( )F xi v xs s- + Dh
Ao dopar o sistema com Ao dopar o sistema com doadores/receptores de carga (doadores/receptores de carga (Na Na ou ou II))
É energeticamente favorável criar É energeticamente favorável criar sólitons carregados!!!sólitons carregados!!!
Os sólitons estão intimamente ligados ao mecanismo Os sólitons estão intimamente ligados ao mecanismo de condução elétrica no poliacetileno!!!de condução elétrica no poliacetileno!!!
Regime metálicoRegime metálico
Sólitons clássicosSólitons clássicos
Sólitons quânticosSólitons quânticos
O mecanismo de condução elétrica no O mecanismo de condução elétrica no poliacetileno ainda não é completamente poliacetileno ainda não é completamente entendido, especialmente na região de entendido, especialmente na região de dopagem intermediária onde o tratamento dos dopagem intermediária onde o tratamento dos sólitons deve ser puramente quântico!!!sólitons deve ser puramente quântico!!!
4) Elétrons “relativísticos” (Dirac) em 4) Elétrons “relativísticos” (Dirac) em sistemas de matéria condensada em 2Dsistemas de matéria condensada em 2D
Grafeno Grafeno
GrafenoGrafeno
O Grafeno é uma únca folha de grafiteO Grafeno é uma únca folha de grafite
CarbonoCarbono
Utilizamos uma TQC “relativística” para Utilizamos uma TQC “relativística” para descrever os elétrons ativos de materias como o descrever os elétrons ativos de materias como o grafeno, supercondutores highTc, .....grafeno, supercondutores highTc, .....
Ponto de Dirac Ponto de Dirac
PlanoPlano
SpinSpin
Lagrangeana dos elétrons com Lagrangeana dos elétrons com interação supercondutorainteração supercondutora
5) Conclusão5) Conclusão
A TQC é um método extremamente poderoso e eficiente A TQC é um método extremamente poderoso e eficiente para descrever sistemas de Matéria Condensadapara descrever sistemas de Matéria Condensada
É especialmente útil para sistemas de baixa É especialmente útil para sistemas de baixa dimensionalidade e fortemente correlacionados onde os dimensionalidade e fortemente correlacionados onde os métodos tradicionais falhammétodos tradicionais falham
Existe aberto um vasto campo de aplicações incluindo Existe aberto um vasto campo de aplicações incluindo alguns problemas fundamentais tais como a alguns problemas fundamentais tais como a supercondutividade de alta temperaturasupercondutividade de alta temperatura
2) Quantum Magnetic Chains2) Quantum Magnetic Chains
2.1) Isotropic Heisenberg AF2.1) Isotropic Heisenberg AF
1i ii
H J S S +=ur ur
Best realization!Best realization!
JordanWigner TransformationJordanWigner Transformation
† 1zi i iS y y= -
1† †exp
i
i i j jj
S ìy p y y-
+ =
1 1 1{ }x x y y z zi i i i i i
iH J S S S S S Sd+ + += + + HeisenbergHeisenberg
Continuum limit and BosonizationContinuum limit and Bosonization
( 1) cos2
izi xS b
f bfp b
-= +
2
[cos ( 1) ]i
iiS e
pq
b bf-
+ = + -
Dual Bosonic FieldsDual Bosonic Fields
Coupling and VelocityCoupling and Velocity1
212 [1 arccos ]b p dp
-= -
HamiltonianHamiltonian
Static Susceptibility Static Susceptibility
(T=0)(T=0)
( , ) (0,0)z zdx d S x Sc t t=
2 21[ ( ) ]2 xvH dx KK Kφ φ= Π + ∂∫
2 21[ ( ) ]2 xvH dx KK Kθ θ= Π + ∂∫
x tKv
θ φ∂ = ∂ x tKv
φ θ∂ = − ∂2
4K β
π=
2v Jp
=
0 7.7T J
Finite T: conformal Finite T: conformal perturbation techniquesperturbation techniques
20
1 1( ) 12 ln( / )
[ ]TJ T T
χπ
= +
[N.Motoyama et al. PRL 76, 3212 (1996)][N.Motoyama et al. PRL 76, 3212 (1996)]
[Eggert, Affleck, Takahashi,[Eggert, Affleck, Takahashi,
PRL 73, 332 (1994)]PRL 73, 332 (1994)]
2.1) Heisenberg AF in Anisotropic Field 2.1) Heisenberg AF in Anisotropic Field
Copper BenzoateCopper Benzoate
Cu(CCu(C66HH55COO)COO)22 • 3 H• 3 H22OO
1[ ( 1) ]z i xi i i i
i
H JS S H S h S+= - - -r r
Effective HamiltonianEffective Hamiltonian
Staggered Transverse FieldStaggered Transverse Field
Induced by Induced by HH h H h H=
0.65 0.03( )H HD
Field Induced Gap Field Induced Gap ∆∆
((HHzz – Field) – Field) Specific HeatSpecific Heat
[D.C.Dender et al. PRL 79, 1750 (1997)][D.C.Dender et al. PRL 79, 1750 (1997)]
BosonizationBosonization
SineGordon Gap (Scaling argument)SineGordon Gap (Scaling argument)
2 2b p= 2/ 3hD 2/ 3 0.67 ⇒⇒
7 / 4
222 (1/ 6) (3 / 4) 1/[2 / ] 1/[2 / ]2 (1/ 4)(2 / 3)
[ ] ( )hJ J
π β π βπ
∆ Γ Γ − −=ΓΓ
Isotropic case – Weak fieldIsotropic case – Weak field
[I.Affleck, M.Oshikawa, Phys. Rev. B60, 1038 (1999)][I.Affleck, M.Oshikawa, Phys. Rev. B60, 1038 (1999)]
2 21 2[ ( ) ] cos2
{ ( )}xvH dx K h CK Kθ
πθ θβ
= Π + ∂ −∫
Thermal Bethe Ansatz Thermal Bethe Ansatz ⇒⇒ Free Energy Free Energy ⇒⇒ Specific Heat Specific Heat
11
1 1 11
22 ( 1)( ) ( / ) ( / )n
n
TMTf T K n T K M Tnπ π
+∞
=
∆ −= − ∆ −∑
Mass of the first breatherMass of the first breather
Specific HeatSpecific Heat2
2( )f TC T
T∂=
∂
(small T)(small T)
1 2 sin( / 2}M πξ= ∆
2
28βξ
π β=
−
[F.Essler, Phys. Rev. B59, 14376 (1999)][F.Essler, Phys. Rev. B59, 14376 (1999)]
BreatherBreather
0.17 meV0.17 meV
SolitonSoliton
0.22 meV0.22 meV
Neutron ScatteringNeutron Scattering
2
( 7 ) 0.822
H Tβπ
= =
Bethe AnsatzBethe Ansatz
1 0,170,780, 22
M = ≈∆
Breather/SolitonBreather/Soliton
Mass ratio (7T)Mass ratio (7T)[D.C.Dender et al. PRL 79, 1750 (1997)][D.C.Dender et al. PRL 79, 1750 (1997)]
3) Strongly Correlated Organic Conductors 3) Strongly Correlated Organic Conductors
Bechgaard SaltsBechgaard Salts
(TMTSF)(TMTSF)2 2 XX
: : 3000 : 300 : 20a b ct t t =
TMTSFTMTSF
PFPF66
Top ViewTop View
X = PFX = PF6 6 , ClO, ClO44, AsF, AsF44
HubbardHubbard
HamiltonianHamiltonian
Continuum limit and Bosonization (1/2n filling Continuum limit and Bosonization (1/2n filling umklap term) umklap term)
Dynamic ConductivityDynamic Conductivity
Current correlatorCurrent correlator
†, , , ,
,( . )s s
s
= - + +i i i iij i
H t c c h c U n n
( , ) [ ( , ), (0,0)]ww -P = - i t iqxretq i dxdt e e j x t j
2f
p= tj Bosonized CurrentBosonized Current
0
2( ) lim ( , )[ ]s w ww p
= P +q
i vKq
2 21/ 2
1 ( ) cos[ 8 ]2
}{Fx n
vH dx K g nK Kφ φ πφ= Π + ∂ +∫
Dynamic ConductivityDynamic ConductivityFor For
ω ∆?
24 5( ) n Kσ ω ω −≈
Adjusted toAdjusted to
24 5 1.3n K − ≈ −
0.23K ≈For n=2For n=2
[A.Schwartz et al. Phys. Rev. B58, 1261 (1998)][A.Schwartz et al. Phys. Rev. B58, 1261 (1998)]
4) Carbon Nanotubes4) Carbon Nanotubes
Folded graphene (graphite) sheetsFolded graphene (graphite) sheets
2 22 2( ) ln(1/ ) ln( / )effe eV k kR L Rκ κ
= ≈ 1.4κ ≈
Dielectric constant (experimentally determined)Dielectric constant (experimentally determined)
† †, , , , , , , ,[ ]F R a x R a L a x L aH dx v i iσ σ σ σψ ψ ψ ψ= ∂ − ∂∫
1 ´ ( ) ( )́ ( )́2 effdx dx x V x x xρ ρ+ −∫
HamiltonianHamiltonian
BosonizationBosonization
21/ 281 ln( / )[ ]
F
eK L Rvπ κ
−= + 0.28K ≈
Strong interaction!Strong interaction!
(a=1,2 bands)(a=1,2 bands)
2 21 ( )2
[ ]Fx
vH dxK K
K φ φ= + ∂Π∫
Effective Effective Coulomb Coulomb InteractionInteraction
58 10 /Fv m s
Conductance MeasurementConductance Measurement
Carbon nanotube between electrodesCarbon nanotube between electrodes 50 nm50 nm
Density of StatesDensity of States
( ) αρ ε ε=
Tunneling into BulkTunneling into Bulk
Tunneling into EdgeTunneling into Edge
Tunneling CurrentTunneling Current
1( 2) / 8K Kα −= + −1 1edge Kα −= −
Current densityCurrent density
2t
ej φπ
= ∂
1 2cosh2 2 4
( )| |B B
dI eV eVT idV k T k T
α απ
+∝ Γ +
1dIdV T α
Scaled Scaled ConductanceConductance
BulkBulk EdgeEdge
[Bockrath et al., Nature (1999)][Bockrath et al., Nature (1999)]
5) HighTc Superconductors5) HighTc Superconductors
LaLa2x2xSrSrxxCuOCuO44
Crystal StructureCrystal Structure
CuOCuO2 2 planesplanes1 electron /site1 electron /site
holesholes
Doping with SrDoping with Sr
(LSCO)(LSCO)
2D Relevant Physics!!!2D Relevant Physics!!!
Field Theory Model Field Theory Model
( ) ( )22,,
1,2 ,00
12 i z
iS d d x iA z i q A
g
bm m
m m m a la la l
t y g s y=
= - + -h
†iji jS z zs=
ur ur † 1i iz z =CuCu++++ spin spin CPCP11 fields fields
† † †, .i i ic fa am=Hole creation operatorHole creation operator
†im
†.if a
,,
,
e
o
ffa l
a la l
y = Dirac field Dirac field e,o : even/odd sitese,o : even/odd sites
λ: Fermi surface branch: Fermi surface branch
Quantum Skyrmion OperatorQuantum Skyrmion Operator
Spinon Creation Operator Spinon Creation Operator
HOLE CHARGEHOLE CHARGE
HOLE SPINHOLE SPIN
Néel TransitionNéel Transition
Superconducting TransitionSuperconducting Transition
Quantum Quantum Skyrmion Skyrmion CorrelatorCorrelator
( ) ( )( )
( )
2
2
2 ,†
2
M T x y
q
ex yx y
π δ
δµ µ
− −
=−
( , )M Tδ
Sublattice Sublattice
MagnetizationMagnetization
Effective Effective Quantum Quantum Skyrmion Skyrmion InteractionInteraction
( ; , )V r Tδr
,z ψ fluctuationsfluctuations
AttractiveAttractive
( )cT δ
T=0 MagnetizationT=0 Magnetization Doping Doping
YBCOYBCO LSCOLSCO
[E.M.,M.B.Silva Neto, PRB 64, 092511 (2001)][E.M.,M.B.Silva Neto, PRB 64, 092511 (2001)]
( ,0)M d
Néel TransitionNéel Transition
YBCOYBCO LSCOLSCO[E.M.,M.B.Silva Neto, PRB 64, 092511 (2001)][E.M.,M.B.Silva Neto, PRB 64, 092511 (2001)]
( , ) 0M Td = ( )NT d ⇒⇒
YBCOYBCO
LSCOLSCO
Superconducting TransitionSuperconducting Transition
[E.M, M.B.Silva Neto, Phys. Rev. B66, 224512 (2002)][E.M, M.B.Silva Neto, Phys. Rev. B66, 224512 (2002)]
( ; , )V r Tδr
attractiveattractive
( )cT d
6) Conclusion6) Conclusion
QFT is an extremely powerful and efficient method to QFT is an extremely powerful and efficient method to describe Condensed Matter systems.describe Condensed Matter systems.
Especially useful for lowdimensional and strongly Especially useful for lowdimensional and strongly correlated systems where traditional methods fail.correlated systems where traditional methods fail.
A vast field of applications is open including some A vast field of applications is open including some fundamental problems like HighTc superconductivityfundamental problems like HighTc superconductivity