aplicaÇÕes de derivada - unesp · aplicaÇÕes de derivada – 1ª derivada para determinar os...
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Parte 1
•Aplicações de Derivada • Primeira Derivada
• Segunda Derivada
Parte 2 •Formas Indeterminadas
APLICAÇÕES DE DERIVADA
1ª DERIVADA
APLICAÇÕES DE DERIVADA
Discutiremos informações referentes a uma
função ou curva que pode ser obtida a partir das
suas derivadas.
• Tais informações são úteis para se traçar
gráficos.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
A primeira derivada de uma função pode ser usada
para:
• determinar os intervalos em que a função é
crescente;
• determinar os intervalos em que a função é
decrescente;
• localizar os valores máximos e mínimos de uma
função (pontos estacionários).
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
Seja a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 no ponto 𝑥 = 𝑎.
• A primeira derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 ,
𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 é a declividade no ponto 𝑥 da
curva que representa a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
• Em particular, 𝑓′ 𝑎 é a declividade da
curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 no ponto 𝑥 = 𝑎.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
Se a primeira derivada 𝑓′ 𝑎 é
positiva, 𝑦 = 𝑓 𝑥 é uma função
crescente de 𝑥 em 𝑥 = 𝑎.
• 𝑦 = 𝑓 𝑥 cresce, a medida
que 𝑥 cresce, passando por
𝑥 = 𝑎.
Se a primeira derivada 𝑓′ 𝑎 é negativa, 𝑦 = 𝑓 𝑥 é uma
função decrescente de 𝑥 em 𝑥 = 𝑎.
• 𝑦 = 𝑓 𝑥 decresce, a medida que 𝑥 cresce, passando
por 𝑥 = 𝑎.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
Considere a função 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 10.
• Note que 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥.
Uma vez que 𝑓′ 𝑥 > 0, para 𝑥 > 0< 0, para 𝑥 < 0
:
𝑓 𝑥 é uma função crescente de
𝑥, para 𝑥 > 0.
𝑓 𝑥 é uma função decrescente
de 𝑥, para 𝑥 < 0.
Observe que 𝑓′ 𝑥 = 0, para 𝑥 = 0.
𝑦
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑓′(𝑥)
𝑦
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
Considere a função 𝑓 𝑥 = 3𝑥3 − 2.
• Note que 𝑓′ 𝑥 = 9𝑥2.
𝑦
𝑥
𝑓(𝑥)
Uma vez que 𝑓′ 𝑥 > 0 para todo 𝑥
temos que:
𝑓 𝑥 é uma função crescente de 𝑥,
para todo 𝑥.
Observe que 𝑓′ 𝑥 = 0, para 𝑥 = 0. 𝑥
𝑓′(𝑥)
𝑦
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
Uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 tem
• máximo relativo ou máximo local em 𝑥 = 𝑎 se
𝑓 𝑎 é maior do que qualquer valor de 𝑓 𝑥 para 𝑥,
dentro de um intervalo em torno de 𝑎.
• mínimo relativo ou mínimo local em 𝑥 = 𝑎 se 𝑓 𝑎
é menor do que qualquer valor de 𝑓 𝑥 para 𝑥, dentro
de um intervalo em torno de 𝑎.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
• O máximo ou mínimo (absolutos) de uma função em um
intervalo maior pode ocorrer em um ponto extremo do
intervalo, ao invés de ocorrer em qualquer máximo ou
mínimo relativo.
• É possível que um valor máximo relativo de uma função
ser menor do que um valor mínimo relativo da função.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
ADVERTÊNCIAS
1.) Um máximo ou mínimo relativo em 𝑥 = 𝑎 implica que
𝑓′ 𝑎 = 0, somente se 𝑓 𝑥 e 𝑓′ 𝑥 são contínuas em 𝑥 = 𝑎.
Exemplo. Se 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 12
3 + 1, então 𝑓′ 𝑥 =2
3 𝑥−113
.
• Note que 𝑓′ 𝑥 é descontínua em
𝑥 = 1.
• Portanto, embora a função tenha
um mínimo relativo em 𝑥 = 1 ,
∄𝑓′ 1 .
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
ADVERTÊNCIAS
2.) 𝑓′ 𝑎 = 0 não implica em um máximo ou mínimo relativo em
𝑥 = 𝑎, mesmo que 𝑓(𝑥) e 𝑓′(𝑥) sejam contínuas em 𝑥 = 𝑎.
• 𝑓(𝑥) e 𝑓′(𝑥) são contínuas em 𝑥 = 𝑎 , 𝑓′ 𝑎 = 0 é uma
condição necessária mas não suficiente para a existência de
um máximo ou mínimo relativo em 𝑥 = 𝑎.
Exemplo. Se 𝑓 𝑥 = 𝑥3, então 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 e 𝑓′ 𝑥 = 0 para 𝑥 = 0.
• Note que a função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 não
tem um máximo ou mínimo
relativo em 𝑥 = 0.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
Considere a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 em 𝑥 = 𝑎 para o qual 𝑓 𝑥 e 𝑓′ 𝑥
são contínuas.
• Se 𝑓 𝑎 é um máximo relativo de 𝑓 𝑥 , então a declividade
𝑓′ 𝑥 de 𝑓 𝑥 muda de positiva para negativa, quando 𝑥
passa pelo ponto 𝑥 = 𝑎.
• Se 𝑓 𝑎 é um mínimo relativo
de 𝑓 𝑥 , então a declividade
𝑓′ 𝑥 de 𝑓 𝑥 muda de
negativa para positiva,
quando 𝑥 passa pelo ponto
𝑥 = 𝑎.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
Para determinar os máximos e mínimos relativos (locais):
1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas raízes (ou valores
críticos)
2. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda de sinal, à medida
que 𝑥 cresce, passando pelo ponto 𝑥 = 𝑎.
𝒇′ 𝒙 𝒎𝒖𝒅𝒂 𝒅𝒆 + 𝒑𝒂𝒓𝒂 − 𝒆𝒎 𝒙 = 𝒂 ⇒ 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒎 𝒙 = 𝒂
𝒇′ 𝒙 𝒎𝒖𝒅𝒂 𝒅𝒆 − 𝒑𝒂𝒓𝒂 + 𝒆𝒎 𝒙 = 𝒂 ⇒ 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒎 𝒙 = 𝒂
𝒇′ 𝒙 𝒏ã𝒐 𝒎𝒖𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒆𝒎 𝒙 = 𝒂 ⇒ 𝒏ã𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒐𝒖 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒎 𝒙 = 𝒂
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
Exemplo. Determine os máximos e mínimos
relativos (caso haja) da função
𝑦 = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 12𝑥 + 13
Solução. Para determinar os máximos e mínimos
relativos (locais):
1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas
raízes (ou valores críticos)
• Note que 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 − 6𝑥 − 12, então:
6𝑥2 − 6𝑥 − 12 = 0 ⇒ 𝑥 − 2 𝑥 + 1 = 0
⇒ 𝑥 = 2 e 𝑥 = −1
𝑦
𝑥
𝑓(𝑥)
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
2. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda
de sinal, à medida que 𝑥 cresce, passando
pelo ponto 𝑥 = 𝑎.
• se 𝑥 < −1, 𝑓′ 𝑥 > 0
• se 𝑥 ∈ −1, 2 , 𝑓′ 𝑥 < 0
• se 𝑥 ∈ −1, 2 , 𝑓′ 𝑥 < 0
• se 𝑥 > 2, 𝑓′ 𝑥 > 0
𝑥
𝑓′(𝑥)
𝑦
+ +
− Portanto, temos um
máximo local em 𝑥 = −1
Portanto, temos um
mínimo local em 𝑥 = 2
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
Exemplo. Determine os máximos e mínimos relativos (caso haja) da
função 𝑦 = 3𝑥4 − 4𝑥3
Solução. Para determinar os máximos e mínimos relativos (locais):
1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas raízes (ou valores
críticos)
• Note que 𝑓′ 𝑥 = 12𝑥3 − 12𝑥2, então:
12𝑥3 − 12𝑥2 = 0 ⇒ 12𝑥2 𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1
2. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda de sinal, à medida que 𝑥
cresce, passando pelo ponto 𝑥 = 𝑎.
• se 𝑥 < 0, 𝑓′ 𝑥 < 0
• se 𝑥 ∈ 0, 1 , 𝑓′ 𝑥 < 0
• se 𝑥 ∈ 0, 1 , 𝑓′ 𝑥 < 0
• se 𝑥 > 1, 𝑓′ 𝑥 > 0
Portanto, não temos máximo
ou mínimo em 𝑥 = 0
Portanto, temos um mínimo em 𝑥 = 1
𝑦
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑓′(𝑥)
𝑦
−
+
−
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA
Solução. Para determinar os máximos e mínimos relativos (locais):
1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas raízes (ou valores
críticos)
• Note que 𝑦 =𝑔 𝑥
(𝑥), onde 𝑔 𝑥 = 𝑥 e 𝑥 = 𝑥2 + 1
1
2, então:
𝑓′ 𝑥 =𝑥2+1
12 𝑥 ′−𝑥 𝑥2+1
12
′
𝑥2+12 =
𝑥2+112 −𝑥
1
2𝑥2+1
−12 𝑥2+1
′
𝑥2+1
𝑓′ 𝑥 =𝑥2+1
12 −𝑥
1
2𝑥2+1
−12 2𝑥
𝑥2+1=
𝑥2+1 𝑥2+1−12−𝑥2 𝑥2+1
−12
𝑥2+1=
𝑥2+1−12 𝑥2+1−𝑥2
𝑥2+1
𝑓′ 𝑥 =1
𝑥2+132
≠ 0
• Para todos os valores de 𝑥, 𝑓′ 𝑥 ≠ 0. Portanto a função 𝑦 não possui máximo e nem mínimo.
Determine os máximos e mínimos relativos
(caso haja) da função 𝑦 =𝑥
𝑥2+1
𝑦
𝑥
𝑓(𝑥)
APLICAÇÕES DE DERIVADA
2ª DERIVADA
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
• A segunda derivada de uma função pode ser
usada para:
• determinar onde a função é côncava para cima;
• determinar onde a função é côncava para baixo;
• localizar os pontos de inflexão de uma função (se
existirem).
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Seja a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 no ponto 𝑥 = 𝑎.
• A segunda derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 ,
𝑦′′ = 𝑓′′ 𝑥 , é a declividade no ponto 𝑥 da curva
que representa a primeira derivada 𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 da
função 𝑓(𝑥).
• Em particular, 𝑓′′ 𝑎 é a declividade da curva
𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 no ponto 𝑥 = 𝑎.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Se a segunda derivada 𝑓′′ 𝑎
de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é
positiva, 𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 é uma
função crescente de 𝑥 em
𝑥 = 𝑎.
• Neste caso a curva que
representa 𝑦 = 𝑓 𝑥 é
côncava para cima , onde
𝑓′′(𝑥) é positiva.
Se a segunda derivada 𝑓′′ 𝑎 de
uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é
negativa, 𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 é uma
função decrescente de 𝑥 em
𝑥 = 𝑎.
• Neste caso a curva que
representa 𝑦 = 𝑓 𝑥 é
côncava para baixo , onde
𝑓′′(𝑥) é negativa.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Advertência
O teste da segunda é somente uma condição suficiente, mas não
necessária, para um máximo ou mínimo relativo.
• 𝑓(𝑥) pode ser côncava para cima ou para baixo em
𝑥 = 𝑎 se 𝑓′′(𝑎) = 0.
Se 𝑓′(𝑎) = 0, então:
• 𝑓′′ 𝑎 > 0 ⇒ 𝑓(𝑥) ser côncava para cima em 𝑥 = 𝑎
• 𝑓(𝑥) ser côncava para cima em 𝑥 = 𝑎 ⇏ 𝑓′′ 𝑎 > 0
• 𝑓′′ 𝑎 < 0 ⇒ 𝑓(𝑥) ser côncava para baixo em 𝑥 = 𝑎
• 𝑓(𝑥) ser côncava para baixo em 𝑥 = 𝑎 ⇏ 𝑓′′ 𝑎 < 0
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Solução. Para determinar os máximos e mínimos
relativos (locais):
1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas
raízes (ou valores críticos)
• Note que 𝑓′ 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3, então:
𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 ⇒ 𝑥 − 3 𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3
Exemplo. Determine os máximos e
mínimos relativos (caso haja) da função
𝑓 𝑥 =1
3𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑦
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑓′(𝑥)
𝑦
−
+ +
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Solução. Para determinar os máximos e mínimos relativos (locais):
2. Para cada raiz 𝑎, determine 𝑓′′ 𝑥 .
• Note que 𝑓′′ 𝑥 = 2𝑥 − 4, então:
• se 𝑥 = 1, 𝑓′′ 1 = 2 1 − 4 = −2 < 0
• Portanto, temos um máximo local em 𝑥 = 1
• se 𝑥 = 3, 𝑓′′ 3 = 2 3 − 4 = 2 > 0
• Portanto, temos um mínimo local em 𝑥 = 3
Exemplo. Determine os máximos e
mínimos relativos (caso haja) da função
𝑓 𝑥 =1
3𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑦
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑦
𝑥
𝑓′′(𝑥)
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Exemplo. Determine os máximos e mínimos relativos (caso haja) da
função 𝑓 𝑥 = 𝑥4.
Solução. Para determinar os máximos e mínimos relativos (locais):
1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas raízes (ou valores
críticos)
• Note que 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥3, então: 4𝑥3 = 0 ⇒ 𝑥 = 0
2. Para cada raiz 𝑎, determine 𝑓′′ 𝑥 .
• Note que 𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥2, então:
• se 𝑥 = 0, 𝑓′′ 0 = 12 0 2 = 0
• Portanto, pode ou não existir um máximo ou mínimo em 𝑥 = 0.
3. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda de sinal, à medida que 𝑥 cresce,
passando pelo ponto 𝑥 = 𝑎.
• se 𝑥 < 0, 𝑓′ 𝑥 < 0
• se 𝑥 > 0, 𝑓′ 𝑥 > 0 Portanto, temos um mínimo em 𝑥 = 0
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Exercício. Determine os máximos e mínimos relativos
(caso haja) da função
𝑓 𝑥 = 𝑥3
Dicas para Solução.
1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas raízes
(ou valores críticos)
2. Para cada raiz 𝑎, determine 𝑓′′ 𝑥 .
3. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda de sinal,
à medida que 𝑥 cresce, passando pelo ponto 𝑥 = 𝑎.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Solução do Exercício. Para determinar os máximos e mínimos relativos
(locais):
1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas raízes (ou valores
críticos)
• Note que 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2, então: 3𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥 = 0
2. Para cada raiz 𝑎, determine 𝑓′′ 𝑥 .
• Note que 𝑓′′ 𝑥 = 6𝑥, então:
• se 𝑥 = 0, 𝑓′′ 0 = 6 0 = 0
• Portanto, pode ou não existir um máximo ou mínimo em 𝑥 = 0.
3. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda de sinal, à medida que 𝑥 cresce,
passando pelo ponto 𝑥 = 𝑎.
• se 𝑥 < 0, 𝑓′ 𝑥 > 0
• se 𝑥 > 0, 𝑓′ 𝑥 > 0
• Portanto, não temos máximo nem mínimo em 𝑥 = 0.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Pontos de Inflexão
Se uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 tem um ponto de inflexão em
𝑥 = 𝑎 para o qual sua segunda derivada é contínua, então
𝑓′′ 𝑎 = 0.
• Os valores de 𝑥 para os quais 𝑓′′ 𝑥 é descontínua
devem ser considerados separadamente.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Advertências
1. Um ponto de inflexão em 𝒙 = 𝒂 implica em
𝒇′′(𝒙) = 𝟎, somente se 𝒇(𝒙) e 𝒇′′(𝒙) são contínuas em
𝒙 = 𝒂.
2. 𝒇′′ 𝒂 = 𝟎 não implica em um ponto de inflexão em
𝒙 = 𝒂, mesmo que 𝒇(𝒙) e 𝒇′′(𝒙) sejam contínuas em
𝒙 = 𝒂.
• Se 𝒇(𝒙) e 𝒇′′(𝒙) são contínuas em 𝒙 = 𝒂, 𝒇′′ 𝒂 = 𝟎 é
condição necessária, mas não suficiente para a
existência de um ponto de inflexão em 𝒙 = 𝒂.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Como determinar os Pontos de Inflexão
• Para determinar os pontos de inflexão (caso haja) de
uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥):
1. Encontre os valores de 𝑥 para os quais 𝑓′′ 𝑥 é igual
a zero (ou descontínua) e 𝑓 𝑥 é contínua.
2. Para cada valor 𝑎 tal que 𝑓 𝑥 é contínua em 𝑥 = 𝑎 e
𝑓′′ 𝑥 é igual a zero (ou descontínua) em 𝑥 = 𝑎 ,
determine se 𝑓′′ 𝑥 muda de sinal, quando 𝑥 cresce
passando por 𝑎.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Observação
Se 𝑓 𝑥 e 𝑓′′ 𝑥 são contínuas em 𝑥 = 𝑎 e 𝑓′′ 𝑎 = 0, então
𝑓′′′ 𝑎 ≠ 0 implica em um ponto de inflexão em 𝑥 = 𝑎.
• Pode-se utilizar esse procedimento para testar a mudança
de sinal da segunda derivada em 𝑥 = 𝑎.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Solução. Para determinar os máximos e mínimos relativos
(locais):
1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas raízes (ou
valores críticos)
𝑥
𝑓′(𝑥)
𝑦
Exemplo. Determine os máximos e
mínimos relativos e os pontos de inflexão
(se houver) da função 𝑦 = 𝑥1
3. 𝑥
𝑓(𝑥)
𝑦
• Note que 𝑓′ 𝑥 =1
3𝑥−
2
3 ,
que é uma função não
nula para todo 𝑥 e
descontínua em 𝑥 = 0.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Solução. Para determinar os máximos e mínimos relativos
(locais):
2. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda de sinal, à
medida que 𝑥 cresce, passa pelo ponto 𝑥 = 𝑎.
𝑥
𝑓′(𝑥)
𝑦
Exemplo. Determine os máximos e
mínimos relativos e os pontos de inflexão
(se houver) da função 𝑦 = 𝑥1
3. 𝑥
𝑓(𝑥)
𝑦
• se 𝑥 < 0, 𝑓′ 𝑥 > 0
• se 𝑥 > 0, 𝑓′ 𝑥 > 0
Portanto, não existe
máximo e nem mínimo
relativo em 𝑥 = 0
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Para determinar os pontos de inflexão:
1. Encontre os valores de 𝑥 para os quais 𝑓′′ 𝑥 é igual a zero (ou
descontínua) e 𝑓 𝑥 é contínua.
• Note que 𝑓′′ 𝑥 = −2
9𝑥−
5
3, que é uma função não nula para todo 𝑥 e
descontínua em 𝑥 = 0.
𝑦
𝑥
𝑓′′(𝑥)
2. Para cada valor 𝑎 tal que 𝑓 𝑥 é contínua em
𝑥 = 𝑎 e 𝑓′′ 𝑥 é igual a zero (ou descontínua)
em 𝑥 = 𝑎, determine se 𝑓′′ 𝑥 muda de sinal,
quando 𝑥 cresce passando por 𝑎.
• se 𝑥 < 0, 𝑓′′ 𝑥 > 0
• se 𝑥 > 0, 𝑓′′ 𝑥 < 0
Portanto, temos um
ponto de inflexão em 𝑥 = 0
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Exemplo. Determine os máximos e mínimos relativos e os pontos de
inflexão (se houver) da função 𝑦 = 𝑥 +1
𝑥. Note que 𝑦 = 𝑥 + 𝑥−1
Solução. Para determinar os máximos e mínimos relativos (locais):
1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas raízes (ou valores
críticos)
• Note que 𝑓′ 𝑥 = 1 − 1𝑥−2 =𝑥2−1
𝑥2 , então:
𝑓′ 𝑥 = 0 ⇒𝑥2 − 1
𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥 = −1 e 𝑥 = 1
• Observe que 𝑓′ 𝑥 é descontínua em 𝑥 = 0
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Determine os máximos e mínimos relativos e os pontos de inflexão (se
houver) da função 𝑦 = 𝑥 +1
𝑥. Note que 𝑦 = 𝑥 + 𝑥−1
Solução. Para determinar os máximos e mínimos relativos (locais):
2. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda de sinal, à medida que 𝑥
cresce, passando pelo ponto 𝑥 = 𝑎.
• se 𝑥 < −1, 𝑓′ 𝑥 > 0
• se 𝑥 ∈ −1, 0 , 𝑓′ 𝑥 < 0
• se 𝑥 ∈ −1, 0 , 𝑓′ 𝑥 < 0
• se 𝑥 ∈ 0, 1 , 𝑓′ 𝑥 < 0
• se 𝑥 ∈ 0, 1 , 𝑓′ 𝑥 < 0
• se 𝑥 > 1, 𝑓′ 𝑥 > 0
Portanto, não existe máximo e
nem mínimo em 𝑥 = 0.
Portanto, existe um ponto de
máximo relativo em 𝑥 = −1.
Portanto, existe um ponto de
mínimo relativo em 𝑥 = 1.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Para determinar os pontos de inflexão:
Encontre os valores de 𝑥 para os quais 𝑓′′ 𝑥 é igual a zero (ou
descontínua) e 𝑓 𝑥 é contínua.
• Note que 𝑓′′ 𝑥 = 1 − 1𝑥−2 ′ = 0 + 2𝑥−3 =2
𝑥3, que é uma função não
nula para todo 𝑥, exceto para 𝑥 = 0.
• Observe que 𝑓′ 𝑥 e 𝑓′′ 𝑥 são descontínuas em 𝑥 = 0, portanto não
existe ponto de inflexão em 𝑥 = 0.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Exercício. Esboce a curva representada pela função:
𝑦 = 4 + 3𝑥 − 𝑥3
DICAS PARA SOLUÇÃO:
1. Obtenha 𝑑𝑦
𝑑𝑥 e
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
2. Determine as faixas de valores de 𝑥 para as quais 𝑑𝑦
𝑑𝑥 é
positiva e para as quais ela é negativa.
3. Observe a natureza da curva para valores de 𝑥 muito
pequenos e muito grandes.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Esboce a curva representada pela função 𝑦 = 4 + 3𝑥 − 𝑥3.
Solução.
1) Obtenha 𝒅𝒚
𝒅𝒙 e
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥4 + 3𝑥 − 𝑥3 = 0 + 3 − 3𝑥2 = 3 − 3𝑥2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 =𝑑
𝑑𝑥3 − 3𝑥2 = 0 − 6𝑥 = −6𝑥
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Esboce a curva representada pela função 𝑦 = 4 + 3𝑥 − 𝑥3.
Solução.
2) Determine as faixas de valores de 𝒙 para as quais 𝒅𝒚
𝒅𝒙
é positiva e para as quais ela é negativa.
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0 ⇔ 3 − 3𝑥2 = 0 ⇔ 3 = 3𝑥2 ⇔ 𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = 1
• se 𝑥 < −1, 𝑑𝑦
𝑑𝑥< 0 (decrescente)
• se 𝑥 ∈ −1, 1 , 𝑑𝑦
𝑑𝑥> 0 (crescente)
• se 𝑥 ∈ −1, 1 , 𝑑𝑦
𝑑𝑥> 0 (crescente)
• se 𝑥 > 1,𝑑𝑦
𝑑𝑥< 0 (decrescente)
Portanto, existe um ponto de
mínimo relativo em 𝑥 = −1 e 𝑦 = 2.
Portanto, existe um ponto de
máximo relativo em 𝑥 = 1 e 𝑦 = 6.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Esboce a curva representada pela função 𝑦 = 4 + 3𝑥 − 𝑥3.
Solução.
3) Determine as faixas de valores de 𝒙 para as quais 𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
é positiva e para as quais ela é negativa.
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = 0 ⇔ −6𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0
• se 𝑥 < 0, 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 > 0 (côncava para cima)
• se 𝑥 > 0,𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 < 0 (côncava para baixo)
Portanto, existe um ponto de
inflexão em 𝑥 = 0 e 𝑦 = 4.
APLICAÇÕES DE DERIVADA – 2ª DERIVADA
Esboce a curva representada pela função 𝑦 = 4 + 3𝑥 − 𝑥3.
Solução.
4) Observe a natureza da curva para valores de 𝒙
muito pequenos e muito grandes.
lim𝑥→−∞
4 + 3𝑥 − 𝑥3 = lim𝑥→−∞
4
𝑥3 +3𝑥
𝑥3 − 1 𝑥3 = ∞
lim𝑥→∞
4 + 3𝑥 − 𝑥3 = lim𝑥→∞
4
𝑥3 +3𝑥
𝑥3 − 1 𝑥3 = −∞
Parte 1
•Diferenciabilidade
•Aplicações de Derivada • Primeira Derivada
• Segunda Derivada
Parte 2 •Formas Indeterminadas
FORMAS INDETERMINADAS
FORMAS INDETERMINADAS
Vamos finalizar o curso discutindo, para certos
tipos particulares de 𝑓 𝑥 , como determinar
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
quando 𝑓 𝑎 =0
0 ou 𝑓 𝑎 =
∞
∞.
FORMAS INDETERMINADAS
Regra de L’Hôpital: Se lim𝑥→𝑎
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥 existe e
• 𝑓 𝑎 = 𝑔 𝑎 = 0 então:
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥= lim
𝑥→𝑎
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥
• 𝑓 𝑎 = 𝑔 𝑎 = ∞ então:
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥= lim
𝑥→𝑎
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥
FORMAS INDETERMINADAS
Observações
• A Regra de L’Hôpital é válida para 𝑎 finito ou
infinito.
• Se lim𝑥→𝑎
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥 é uma forma indeterminada
0
0 ou
∞
∞,
então aplica-se novamente a Regra de L’Hôpital e
lim𝑥→𝑎
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥= lim
𝑥→𝑎
𝑓′′ 𝑥
𝑔′′ 𝑥
e assim por diante.
FORMAS INDETERMINADAS
Advertências
1) lim𝑥→𝑎
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥≠ lim
𝑥→𝑎
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥, isto é, o quociente das
derivadas não é, em geral, igual à derivada do
quociente.
2) lim𝑥→𝑎
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥= lim
𝑥→𝑎
𝑓′′ 𝑥
𝑔′′ 𝑥 se, e somente se, lim
𝑥→𝑎
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥 é a
forma indeterminada 0
0 ou
∞
∞, pois a Regra de
L’Hôpital aplica-se apenas às formas
indeterminadas.
FORMAS INDETERMINADAS
Exemplo. Calcule lim→0
4+−2
Solução.
1. Note que temos uma indeterminação do tipo 0
0, assim
consideramos 𝑓 = 4 + − 2 e 𝑔 = , então
𝑓′ =𝑑𝑓
𝑑=
𝑑
𝑑4 +
1
2 − 2 =1
24 + −
1
2 ∙ 1 =1
24 + −
1
2 =1
2 4+12
𝑔′ =𝑑𝑔
𝑑=
𝑑
𝑑 = 1
2. Utilizando a Regra de L’Hôpital, temos que.
lim→0
𝑓
𝑔 = lim
→0
𝑓′
𝑔′ = lim
→0
1
2 4 + 12
1= lim
→0
1
2 4 + =
1
2 4=
1
4
Portanto lim→0
4+−2
=
1
4.
FORMAS INDETERMINADAS
Exemplo. Calcule lim𝑥→0
𝑒𝑥− 1+𝑥
𝑥2
Solução.
1. Note que temos uma indeterminação do tipo 0
0, assim
consideramos 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 − 1 + 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2, então
𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑥 − 1 + 𝑥 = 𝑒𝑥 − 1 = 𝑒𝑥 − 1
𝑔′ 𝑥 =𝑑𝑔 𝑥
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑥2 = 2𝑥
2. Utilizando a Regra de L’Hôpital, temos que.
lim𝑥→0
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥= lim
𝑥→0
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥= lim
𝑥→0
𝑒𝑥 − 1
2𝑥
que também é uma indeterminação do tipo 0
0
FORMAS INDETERMINADAS
3. Note que temos outra indeterminação do tipo 0
0, assim
𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 − 1 e 𝑔′ 𝑥 = 2𝑥, então
𝑓′′ 𝑥 =𝑑2𝑓 𝑥
𝑑𝑥2 =𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑥 − 1 = 𝑒𝑥 − 0 = 𝑒𝑥
𝑔′′ 𝑥 =𝑑2𝑔 𝑥
𝑑𝑥2 =𝑑
𝑑𝑥2𝑥 = 2
4. Utilizando a Regra de L’Hôpital, temos que.
lim𝑥→0
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥= lim
𝑥→0
𝑓′′ 𝑥
𝑔′′ 𝑥= lim
𝑥→0
𝑒𝑥
2=
1
2
Portanto lim𝑥→0
𝑒𝑥− 1+𝑥
𝑥2 =1
2
FORMAS INDETERMINADAS
Exercício. Calcule lim𝑥→∞
ln 𝑥
𝑥
Solução.
1. Note que temos uma indeterminação do tipo ∞
∞, assim
consideramos 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 , então
𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥ln 𝑥 =
1
𝑥
𝑔′ 𝑥 =𝑑𝑔 𝑥
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑥 = 1
2. Utilizando a Regra de L’Hôpital, temos que.
lim𝑥→∞
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥= lim
𝑥→∞
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥= lim
𝑥→∞
1𝑥1
= lim𝑥→∞
1
𝑥= 0
Portanto lim𝑥→∞
ln 𝑥
𝑥= 0
FORMAS INDETERMINADAS
A Regra de L’Hôpital também pode ser
aplicada a outros tipos de formas de
indeterminação, se elas forem colocadas
antes na forma 0
0 ou
∞
∞ .
FORMAS INDETERMINADAS
• Indeterminação Tipo 1. Se lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 = ∞ ∙ 0
• Onde lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ∞ e lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 0, então:
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥1
𝑔 𝑥
é do Tipo ∞
∞ ou lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥1
𝑓 𝑥
é do Tipo 0
0
Exemplo: Calcule lim𝑥→∞
𝑥 𝑒1
𝑥 − 1
Note que temos uma indeterminação do tipo ∞ ∙ 0, assim
lim𝑥→∞
𝑥 𝑒1𝑥 − 1 = lim
𝑥→∞
𝑒1𝑥 − 1
1𝑥
= lim𝑥→∞
𝑒1𝑥 − 1
′
1𝑥
′ = lim𝑥→∞
−𝑒
1𝑥
𝑥2
−1𝑥2
= 1
FORMAS INDETERMINADAS
• Indeterminação Tipo 2. Se lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 00
• onde lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 0 e lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 0, então:
lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥1
ln 𝑓 𝑥
é do Tipo 0
0 ou lim
𝑥→𝑎
ln 𝑓 𝑥1
𝑔 𝑥
é do Tipo ∞
∞
Exemplo. Calcule lim
𝑥→11 − 𝑥 tg 𝜋𝑥
Note que temos uma indeterminação do tipo 00, assim
lim𝑥→1
1 − 𝑥 tg 𝜋𝑥 =𝑒lim𝑥→1
ln 1−𝑥
cotg 𝜋𝑥 = 𝑒lim𝑥→1
−11−𝑥
cossec2 𝜋𝑥 = 𝑒lim𝑥→1
sen2 𝜋𝑥
𝑥−1
lim𝑥→1
1 − 𝑥 tg 𝜋𝑥 =𝑒lim𝑥→1
−11−𝑥
cossec2 𝜋𝑥 = 𝑒lim𝑥→1
2 sen 𝜋𝑥 cos 𝜋𝑥= 𝑒0 = 1
FORMAS INDETERMINADAS
• Indeterminação Tipo 3. Se lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = ∞0
• onde lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ∞ e lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 0, então:
lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥1
ln 𝑓 𝑥
é do Tipo 0
0 ou lim
𝑥→𝑎
ln 𝑓 𝑥1
𝑔 𝑥
é do Tipo ∞
∞
Exemplo. Calcule lim
𝑥→∞𝑥
1
𝑥
Note que temos uma indeterminação do tipo ∞0, assim
lim𝑥→∞
𝑥1𝑥 =𝑒
lim𝑥→∞
𝑥1𝑥= 𝑒
lim𝑥→∞
ln 𝑥𝑥 = 𝑒
lim𝑥→∞
1𝑥1 = 𝑒
lim𝑥→∞
1𝑥 = 𝑒0 = 1
FORMAS INDETERMINADAS
Exercício. Calcule
lim𝑥→0+
𝑥𝑥
Solução. Note que temos uma
indeterminação do tipo 00, assim
lim𝑥→0+
𝑥𝑥 =𝑒lim
𝑥→0+ ln 𝑥
1𝑥 = 𝑒
lim𝑥→0+
1𝑥
−1𝑥2 = 𝑒0 = 1