aplikovan a matematika i - kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/pdf_soubory/prednasky/... ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/1.jpg)
Determinanty
Aplikovana matematika I
Dana Rıhova
Mendelu Brno
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 1 / 38
![Page 2: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/2.jpg)
Obsah
1 DeterminantyDefinice determinantuSarrusovo a krızove pravidloVlastnosti determinantuLaplaceuv rozvojVypocet determinantu radu n ≥ 4
2 Inverznı matice3 Maticove rovnice
Pierre Simon de Laplace
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 2 / 38
![Page 3: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/3.jpg)
Permutace
Definice (permutace)
Necht’ jsou dana cısla 1, 2, 3, . . . , n. Kazda usporadana n-tice utvorena z techtoprvku se nazyva permutace.
Pocet vsech ruznych permutacı skupiny n prvku je n!.
Prıklad (permutace)
Permutace trı prvku 1, 2, 3 jsou trojice
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
Jejich pocet je 3! = 3 · 2 · 1 = 6.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 3 / 38
![Page 4: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/4.jpg)
Permutace
Definice (permutace)
Necht’ jsou dana cısla 1, 2, 3, . . . , n. Kazda usporadana n-tice utvorena z techtoprvku se nazyva permutace.
Pocet vsech ruznych permutacı skupiny n prvku je n!.
Prıklad (permutace)
Permutace trı prvku 1, 2, 3 jsou trojice
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
Jejich pocet je 3! = 3 · 2 · 1 = 6.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 3 / 38
![Page 5: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/5.jpg)
Permutace
Definice (permutace)
Necht’ jsou dana cısla 1, 2, 3, . . . , n. Kazda usporadana n-tice utvorena z techtoprvku se nazyva permutace.
Pocet vsech ruznych permutacı skupiny n prvku je n!.
Prıklad (permutace)
Permutace trı prvku 1, 2, 3 jsou trojice
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
Jejich pocet je 3! = 3 · 2 · 1 = 6.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 3 / 38
![Page 6: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/6.jpg)
Definice (inverze)
Necht’ (k1, k2, . . . , kn) je nejaka permutace cısel 1, 2, 3, . . . , n. Rıkame, ze dvojice(ki, kj), kde i < j, tvorı v teto permutaci inverzi, je-li ki > kj .
Prıklad (pocet inverzı)
1 V permutaci (2, 4, 1, 3) cısel 1, 2, 3, 4 tvorı kazda z dvojic (2, 1), (4, 1), (4, 3)inverzi. Permutace ma 3 inverze.
2 Permutace (4, 2, 1, 3) cısel 1, 2, 3, 4 ma celkem 4 inverze: (4, 2), (4, 1), (4, 3),(2, 1).
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 4 / 38
![Page 7: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/7.jpg)
Definice (inverze)
Necht’ (k1, k2, . . . , kn) je nejaka permutace cısel 1, 2, 3, . . . , n. Rıkame, ze dvojice(ki, kj), kde i < j, tvorı v teto permutaci inverzi, je-li ki > kj .
Prıklad (pocet inverzı)
1 V permutaci (2, 4, 1, 3) cısel 1, 2, 3, 4 tvorı kazda z dvojic (2, 1), (4, 1), (4, 3)inverzi. Permutace ma 3 inverze.
2 Permutace (4, 2, 1, 3) cısel 1, 2, 3, 4 ma celkem 4 inverze: (4, 2), (4, 1), (4, 3),(2, 1).
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 4 / 38
![Page 8: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/8.jpg)
Definice (inverze)
Necht’ (k1, k2, . . . , kn) je nejaka permutace cısel 1, 2, 3, . . . , n. Rıkame, ze dvojice(ki, kj), kde i < j, tvorı v teto permutaci inverzi, je-li ki > kj .
Prıklad (pocet inverzı)
1 V permutaci (2, 4, 1, 3) cısel 1, 2, 3, 4 tvorı kazda z dvojic (2, 1), (4, 1), (4, 3)inverzi. Permutace ma 3 inverze.
2 Permutace (4, 2, 1, 3) cısel 1, 2, 3, 4 ma celkem 4 inverze: (4, 2), (4, 1), (4, 3),(2, 1).
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 4 / 38
![Page 9: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/9.jpg)
Determinant
Definice (determinant)
Necht’ A je ctvercova matice radu n. Determinantem matice A nazyvame realnecıslo
detA =∑
(−1)pa1k1a2k2
. . . ankn,
kde scıtame pres vsechny permutace (k1, k2, . . . , kn) sloupcovych indexu. Cıslo pudava pocet inverzı prıslusne permutace. Znacıme
detA = |A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 5 / 38
![Page 10: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/10.jpg)
Poznamka (determinant)
Determinant matice je definovan pouze pro ctvercovou matici.
Determinant matice je soucet soucinu prvku matice vybranych tak, zez kazdeho radku a z kazdeho sloupce je vybran prave jeden prvek.Prvky prıslusneho soucinu jsou usporadany tak, aby na prvnım mıste bylprvek z 1. radku, na druhem mıste z 2. radku atd. Souciny jsou opatrenyznamenkem podle permutace sloupcovych indexu.
Poznamka (hlavnı a vedlejsı diagonala)
Prvky a11, a22, · · · , ann tvorı hlavnı diagonalu,prvky an1, an−1,2, · · · , a1n tvorı vedlejsı diagonalu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 6 / 38
![Page 11: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/11.jpg)
Poznamka (determinant)
Determinant matice je definovan pouze pro ctvercovou matici.
Determinant matice je soucet soucinu prvku matice vybranych tak, zez kazdeho radku a z kazdeho sloupce je vybran prave jeden prvek.Prvky prıslusneho soucinu jsou usporadany tak, aby na prvnım mıste bylprvek z 1. radku, na druhem mıste z 2. radku atd. Souciny jsou opatrenyznamenkem podle permutace sloupcovych indexu.
Poznamka (hlavnı a vedlejsı diagonala)
Prvky a11, a22, · · · , ann tvorı hlavnı diagonalu,prvky an1, an−1,2, · · · , a1n tvorı vedlejsı diagonalu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 6 / 38
![Page 12: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/12.jpg)
Poznamka (determinant)
Determinant matice je definovan pouze pro ctvercovou matici.
Determinant matice je soucet soucinu prvku matice vybranych tak, zez kazdeho radku a z kazdeho sloupce je vybran prave jeden prvek.Prvky prıslusneho soucinu jsou usporadany tak, aby na prvnım mıste bylprvek z 1. radku, na druhem mıste z 2. radku atd. Souciny jsou opatrenyznamenkem podle permutace sloupcovych indexu.
Poznamka (hlavnı a vedlejsı diagonala)
Prvky a11, a22, · · · , ann tvorı hlavnı diagonalu,prvky an1, an−1,2, · · · , a1n tvorı vedlejsı diagonalu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 6 / 38
![Page 13: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/13.jpg)
Vypocet determinantu matic radu 1, 21 Determinant matice radu 1:
detA = |a11| = a11
2 Determinant matice radu 2 (krızove pravidlo):
detA =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
Determinant se rovna soucinu prvku hlavnı diagonaly minus soucin prvkuvedlejsı diagonaly.
schema pro zapamatovanı:
+−a21
a11
a22
a12= a11a22 − a12a21
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 7 / 38
![Page 14: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/14.jpg)
Vypocet determinantu matic radu 1, 21 Determinant matice radu 1:
detA = |a11| = a11
2 Determinant matice radu 2 (krızove pravidlo):
detA =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
Determinant se rovna soucinu prvku hlavnı diagonaly minus soucin prvkuvedlejsı diagonaly.
schema pro zapamatovanı:
+−a21
a11
a22
a12= a11a22 − a12a21
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 7 / 38
![Page 15: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/15.jpg)
Vypocet determinantu matic radu 1, 21 Determinant matice radu 1:
detA = |a11| = a11
2 Determinant matice radu 2 (krızove pravidlo):
detA =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
Determinant se rovna soucinu prvku hlavnı diagonaly minus soucin prvkuvedlejsı diagonaly.
schema pro zapamatovanı:
+−a21
a11
a22
a12= a11a22 − a12a21
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 7 / 38
![Page 16: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/16.jpg)
Vypocet determinantu matic radu 1, 21 Determinant matice radu 1:
detA = |a11| = a11
2 Determinant matice radu 2 (krızove pravidlo):
detA =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
Determinant se rovna soucinu prvku hlavnı diagonaly minus soucin prvkuvedlejsı diagonaly.
schema pro zapamatovanı:
+−a21
a11
a22
a12= a11a22
− a12a21
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 7 / 38
![Page 17: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/17.jpg)
Vypocet determinantu matic radu 1, 21 Determinant matice radu 1:
detA = |a11| = a11
2 Determinant matice radu 2 (krızove pravidlo):
detA =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
Determinant se rovna soucinu prvku hlavnı diagonaly minus soucin prvkuvedlejsı diagonaly.
schema pro zapamatovanı:
+−a21
a11
a22
a12= a11a22 − a12a21
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 7 / 38
![Page 18: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/18.jpg)
Vypocet determinantu matic radu 33 Determinant matice radu 3 (Sarrusovo pravidlo):
detA =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33
schema pro zapamatovanı:
+−
+−
+−
a31
a21
a32
a22
a11 a12
a33
a23
a13
a11 a12 a13
a21 a22 a23
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23− a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21
Prvnı dva radky opıseme pod determinant, setrojıme souciny podlenaznacenych spojnic a opatrıme je uvedenymi znamenky.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 8 / 38
![Page 19: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/19.jpg)
Vypocet determinantu matic radu 33 Determinant matice radu 3 (Sarrusovo pravidlo):
detA =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33
schema pro zapamatovanı:
+−
+−
+−
a31
a21
a32
a22
a11 a12
a33
a23
a13
a11 a12 a13
a21 a22 a23
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
− a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21
Prvnı dva radky opıseme pod determinant, setrojıme souciny podlenaznacenych spojnic a opatrıme je uvedenymi znamenky.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 8 / 38
![Page 20: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/20.jpg)
Vypocet determinantu matic radu 33 Determinant matice radu 3 (Sarrusovo pravidlo):
detA =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33
schema pro zapamatovanı:
+−
+−
+−
a31
a21
a32
a22
a11 a12
a33
a23
a13
a11 a12 a13
a21 a22 a23
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23− a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21
Prvnı dva radky opıseme pod determinant, setrojıme souciny podlenaznacenych spojnic a opatrıme je uvedenymi znamenky.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 8 / 38
![Page 21: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/21.jpg)
Vypocet determinantu matic radu 33 Determinant matice radu 3 (Sarrusovo pravidlo):
detA =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33
schema pro zapamatovanı:
+−
+−
+−
a31
a21
a32
a22
a11 a12
a33
a23
a13
a11 a12 a13
a21 a22 a23
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23− a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21
Prvnı dva radky opıseme pod determinant, setrojıme souciny podlenaznacenych spojnic a opatrıme je uvedenymi znamenky.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 8 / 38
![Page 22: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/22.jpg)
Prıklad (krızove a Sarrusovo pravidlo)1 krızove pravidlo:∣∣∣∣ 2 −1
3 1
∣∣∣∣
= 2 · 1− (−1) · 3 = 2 + 3 = 5
2 Sarrusovo pravidlo:∣∣∣∣∣∣−2 3 −11 2 −10 3 4
∣∣∣∣∣∣ =
(−2) · 2 · 4+1 · 3 · (−1)+0 · 3 · (−1)−(−1) · 2 · 0−(−1) · 3 · (−2)−4 · 3 · 1
−2 3 −11 2 −1 = −16− 3 + 0− 0− 6− 12 = −19− 18 = −37
Poznamka (vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)
Pro vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu neexistuje zadne obdobnepravidlo k Sarrusovu a krızovemu pravidlu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 9 / 38
![Page 23: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/23.jpg)
Prıklad (krızove a Sarrusovo pravidlo)1 krızove pravidlo:∣∣∣∣ 2 −1
3 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− (−1) · 3
= 2 + 3 = 5
2 Sarrusovo pravidlo:∣∣∣∣∣∣−2 3 −11 2 −10 3 4
∣∣∣∣∣∣ =
(−2) · 2 · 4+1 · 3 · (−1)+0 · 3 · (−1)−(−1) · 2 · 0−(−1) · 3 · (−2)−4 · 3 · 1
−2 3 −11 2 −1 = −16− 3 + 0− 0− 6− 12 = −19− 18 = −37
Poznamka (vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)
Pro vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu neexistuje zadne obdobnepravidlo k Sarrusovu a krızovemu pravidlu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 9 / 38
![Page 24: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/24.jpg)
Prıklad (krızove a Sarrusovo pravidlo)1 krızove pravidlo:∣∣∣∣ 2 −1
3 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− (−1) · 3 = 2 + 3 = 5
2 Sarrusovo pravidlo:∣∣∣∣∣∣−2 3 −11 2 −10 3 4
∣∣∣∣∣∣ =
(−2) · 2 · 4+1 · 3 · (−1)+0 · 3 · (−1)−(−1) · 2 · 0−(−1) · 3 · (−2)−4 · 3 · 1
−2 3 −11 2 −1 = −16− 3 + 0− 0− 6− 12 = −19− 18 = −37
Poznamka (vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)
Pro vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu neexistuje zadne obdobnepravidlo k Sarrusovu a krızovemu pravidlu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 9 / 38
![Page 25: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/25.jpg)
Prıklad (krızove a Sarrusovo pravidlo)1 krızove pravidlo:∣∣∣∣ 2 −1
3 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− (−1) · 3 = 2 + 3 = 5
2 Sarrusovo pravidlo:∣∣∣∣∣∣−2 3 −11 2 −10 3 4
∣∣∣∣∣∣ =
(−2) · 2 · 4+1 · 3 · (−1)+0 · 3 · (−1)−(−1) · 2 · 0−(−1) · 3 · (−2)−4 · 3 · 1
−2 3 −11 2 −1 = −16− 3 + 0− 0− 6− 12 = −19− 18 = −37
Poznamka (vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)
Pro vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu neexistuje zadne obdobnepravidlo k Sarrusovu a krızovemu pravidlu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 9 / 38
![Page 26: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/26.jpg)
Prıklad (krızove a Sarrusovo pravidlo)1 krızove pravidlo:∣∣∣∣ 2 −1
3 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− (−1) · 3 = 2 + 3 = 5
2 Sarrusovo pravidlo:∣∣∣∣∣∣−2 3 −11 2 −10 3 4
∣∣∣∣∣∣ =
(−2) · 2 · 4+1 · 3 · (−1)+0 · 3 · (−1)−(−1) · 2 · 0−(−1) · 3 · (−2)−4 · 3 · 1
−2 3 −11 2 −1
= −16− 3 + 0− 0− 6− 12 = −19− 18 = −37
Poznamka (vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)
Pro vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu neexistuje zadne obdobnepravidlo k Sarrusovu a krızovemu pravidlu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 9 / 38
![Page 27: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/27.jpg)
Prıklad (krızove a Sarrusovo pravidlo)1 krızove pravidlo:∣∣∣∣ 2 −1
3 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− (−1) · 3 = 2 + 3 = 5
2 Sarrusovo pravidlo:∣∣∣∣∣∣− 2 3 −1
1 2 −10 3 4
∣∣∣∣∣∣ = (−2) · 2 · 4+1 · 3 · (−1)+0 · 3 · (−1)−(−1) · 2 · 0−(−1) · 3 · (−2)−4 · 3 · 1
−2 3 −11 2 −1
= −16− 3 + 0− 0− 6− 12 = −19− 18 = −37
Poznamka (vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)
Pro vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu neexistuje zadne obdobnepravidlo k Sarrusovu a krızovemu pravidlu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 9 / 38
![Page 28: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/28.jpg)
Prıklad (krızove a Sarrusovo pravidlo)1 krızove pravidlo:∣∣∣∣ 2 −1
3 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− (−1) · 3 = 2 + 3 = 5
2 Sarrusovo pravidlo:∣∣∣∣∣∣−2 3 −11 2 −10 3 4
∣∣∣∣∣∣ = (−2) · 2 · 4 + 1 · 3 · (−1)+0 · 3 · (−1)−(−1) · 2 · 0−(−1) · 3 · (−2)−4 · 3 · 1
−2 3 − 11 2 −1
= −16− 3 + 0− 0− 6− 12 = −19− 18 = −37
Poznamka (vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)
Pro vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu neexistuje zadne obdobnepravidlo k Sarrusovu a krızovemu pravidlu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 9 / 38
![Page 29: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/29.jpg)
Prıklad (krızove a Sarrusovo pravidlo)1 krızove pravidlo:∣∣∣∣ 2 −1
3 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− (−1) · 3 = 2 + 3 = 5
2 Sarrusovo pravidlo:∣∣∣∣∣∣−2 3 −11 2 −10 3 4
∣∣∣∣∣∣ = (−2) · 2 · 4+1 · 3 · (−1) + 0 · 3 · (−1)−(−1) · 2 · 0−(−1) · 3 · (−2)−4 · 3 · 1
−2 3 −11 2 − 1
= −16− 3 + 0− 0− 6− 12 = −19− 18 = −37
Poznamka (vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)
Pro vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu neexistuje zadne obdobnepravidlo k Sarrusovu a krızovemu pravidlu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 9 / 38
![Page 30: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/30.jpg)
Prıklad (krızove a Sarrusovo pravidlo)1 krızove pravidlo:∣∣∣∣ 2 −1
3 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− (−1) · 3 = 2 + 3 = 5
2 Sarrusovo pravidlo:∣∣∣∣∣∣−2 3 − 11 2 −10 3 4
∣∣∣∣∣∣ = (−2) · 2 · 4+1 · 3 · (−1)+0 · 3 · (−1)− (−1) · 2 · 0−(−1) · 3 · (−2)−4 · 3 · 1
−2 3 −11 2 −1
= −16− 3 + 0− 0− 6− 12 = −19− 18 = −37
Poznamka (vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)
Pro vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu neexistuje zadne obdobnepravidlo k Sarrusovu a krızovemu pravidlu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 9 / 38
![Page 31: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/31.jpg)
Prıklad (krızove a Sarrusovo pravidlo)1 krızove pravidlo:∣∣∣∣ 2 −1
3 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− (−1) · 3 = 2 + 3 = 5
2 Sarrusovo pravidlo:∣∣∣∣∣∣−2 3 −11 2 − 10 3 4
∣∣∣∣∣∣ = (−2) · 2 · 4+1 · 3 · (−1)+0 · 3 · (−1)−(−1) · 2 · 0− (−1) · 3 · (−2)−4 · 3 · 1
− 2 3 −11 2 −1
= −16− 3 + 0− 0− 6− 12 = −19− 18 = −37
Poznamka (vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)
Pro vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu neexistuje zadne obdobnepravidlo k Sarrusovu a krızovemu pravidlu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 9 / 38
![Page 32: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/32.jpg)
Prıklad (krızove a Sarrusovo pravidlo)1 krızove pravidlo:∣∣∣∣ 2 −1
3 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− (−1) · 3 = 2 + 3 = 5
2 Sarrusovo pravidlo:∣∣∣∣∣∣−2 3 −11 2 −10 3 4
∣∣∣∣∣∣ = (−2) · 2 · 4+1 · 3 · (−1)+0 · 3 · (−1)−(−1) · 2 · 0−(−1) · 3 · (−2)− 4 · 3 · 1
−2 3 −11 2 −1
= −16− 3 + 0− 0− 6− 12 = −19− 18 = −37
Poznamka (vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)
Pro vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu neexistuje zadne obdobnepravidlo k Sarrusovu a krızovemu pravidlu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 9 / 38
![Page 33: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/33.jpg)
Prıklad (krızove a Sarrusovo pravidlo)1 krızove pravidlo:∣∣∣∣ 2 −1
3 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− (−1) · 3 = 2 + 3 = 5
2 Sarrusovo pravidlo:∣∣∣∣∣∣−2 3 −11 2 −10 3 4
∣∣∣∣∣∣ = (−2) · 2 · 4+1 · 3 · (−1)+0 · 3 · (−1)−(−1) · 2 · 0−(−1) · 3 · (−2)−4 · 3 · 1
−2 3 −11 2 −1 = −16− 3 + 0− 0− 6− 12 = −19− 18 = −37
Poznamka (vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)
Pro vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu neexistuje zadne obdobnepravidlo k Sarrusovu a krızovemu pravidlu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 9 / 38
![Page 34: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/34.jpg)
Prıklad (krızove a Sarrusovo pravidlo)1 krızove pravidlo:∣∣∣∣ 2 −1
3 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− (−1) · 3 = 2 + 3 = 5
2 Sarrusovo pravidlo:∣∣∣∣∣∣−2 3 −11 2 −10 3 4
∣∣∣∣∣∣ = (−2) · 2 · 4+1 · 3 · (−1)+0 · 3 · (−1)−(−1) · 2 · 0−(−1) · 3 · (−2)−4 · 3 · 1
−2 3 −11 2 −1 = −16− 3 + 0− 0− 6− 12 = −19− 18 = −37
Poznamka (vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)
Pro vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu neexistuje zadne obdobnepravidlo k Sarrusovu a krızovemu pravidlu.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 9 / 38
![Page 35: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/35.jpg)
Vlastnosti determinantu
Veta (determinant transponovane matice)
Pro libovolnou ctvercovou matici platı
detA = detAT .
Poznamka (determinant transponovane matice)
Transponovanım matice se hodnota determinantu nezmenı, muzeme v nemtedy zamenit radky za sloupce a naopak.
Vsechny vlastnosti determinantu, vyslovene pro radky, platı take pro sloupce.
Prıklad (determinant transponovane matice)∣∣∣∣ 2 −13 0
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 2 3−1 0
∣∣∣∣ = 3,
∣∣∣∣∣∣5 1 0−1 4 32 0 −1
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣5 −1 21 4 00 3 −1
∣∣∣∣∣∣ = −15
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 10 / 38
![Page 36: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/36.jpg)
Vlastnosti determinantu
Veta (determinant transponovane matice)
Pro libovolnou ctvercovou matici platı
detA = detAT .
Poznamka (determinant transponovane matice)
Transponovanım matice se hodnota determinantu nezmenı, muzeme v nemtedy zamenit radky za sloupce a naopak.
Vsechny vlastnosti determinantu, vyslovene pro radky, platı take pro sloupce.
Prıklad (determinant transponovane matice)∣∣∣∣ 2 −13 0
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 2 3−1 0
∣∣∣∣ = 3,
∣∣∣∣∣∣5 1 0−1 4 32 0 −1
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣5 −1 21 4 00 3 −1
∣∣∣∣∣∣ = −15
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 10 / 38
![Page 37: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/37.jpg)
Vlastnosti determinantu
Veta (determinant transponovane matice)
Pro libovolnou ctvercovou matici platı
detA = detAT .
Poznamka (determinant transponovane matice)
Transponovanım matice se hodnota determinantu nezmenı, muzeme v nemtedy zamenit radky za sloupce a naopak.
Vsechny vlastnosti determinantu, vyslovene pro radky, platı take pro sloupce.
Prıklad (determinant transponovane matice)∣∣∣∣ 2 −13 0
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 2 3−1 0
∣∣∣∣ = 3,
∣∣∣∣∣∣5 1 0−1 4 32 0 −1
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣5 −1 21 4 00 3 −1
∣∣∣∣∣∣ = −15
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 10 / 38
![Page 38: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/38.jpg)
Vlastnosti determinantu
Veta (determinant transponovane matice)
Pro libovolnou ctvercovou matici platı
detA = detAT .
Poznamka (determinant transponovane matice)
Transponovanım matice se hodnota determinantu nezmenı, muzeme v nemtedy zamenit radky za sloupce a naopak.
Vsechny vlastnosti determinantu, vyslovene pro radky, platı take pro sloupce.
Prıklad (determinant transponovane matice)∣∣∣∣ 2 −13 0
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 2 3−1 0
∣∣∣∣ = 3,
∣∣∣∣∣∣5 1 0−1 4 32 0 −1
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣5 −1 21 4 00 3 −1
∣∣∣∣∣∣ = −15c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 10 / 38
![Page 39: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/39.jpg)
Vlastnosti determinantu
Veta (vlastnosti determinantu nemenıcı jeho hodnotu)1 Hodnota determinantu matice se nezmenı, pricteme-li k jednomu radku
(sloupci) nasobek jineho radku (sloupce).
Veta (vlastnosti determinantu menıcı jeho hodnotu)
2 Vymenıme-li v determinantu mezi sebou dva radky (sloupce), determinantzmenı znamenko.
3 Vynasobıme-li jeden radek (sloupec) nenulovym cıslem k, zvetsı se hodnotadeterminantu k-krat.
Poznamka (vlastnosti determinantu)
Uvedene vlastnosti se pouzıvajı pri upravach determinantu vyssıch radu, kdypomocı nich vytvorıme v nekterem radku, resp. sloupci co nejvıce nul.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 11 / 38
![Page 40: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/40.jpg)
Vlastnosti determinantu
Veta (vlastnosti determinantu nemenıcı jeho hodnotu)1 Hodnota determinantu matice se nezmenı, pricteme-li k jednomu radku
(sloupci) nasobek jineho radku (sloupce).
Veta (vlastnosti determinantu menıcı jeho hodnotu)
2 Vymenıme-li v determinantu mezi sebou dva radky (sloupce), determinantzmenı znamenko.
3 Vynasobıme-li jeden radek (sloupec) nenulovym cıslem k, zvetsı se hodnotadeterminantu k-krat.
Poznamka (vlastnosti determinantu)
Uvedene vlastnosti se pouzıvajı pri upravach determinantu vyssıch radu, kdypomocı nich vytvorıme v nekterem radku, resp. sloupci co nejvıce nul.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 11 / 38
![Page 41: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/41.jpg)
Vlastnosti determinantu
Veta (vlastnosti determinantu nemenıcı jeho hodnotu)1 Hodnota determinantu matice se nezmenı, pricteme-li k jednomu radku
(sloupci) nasobek jineho radku (sloupce).
Veta (vlastnosti determinantu menıcı jeho hodnotu)
2 Vymenıme-li v determinantu mezi sebou dva radky (sloupce), determinantzmenı znamenko.
3 Vynasobıme-li jeden radek (sloupec) nenulovym cıslem k, zvetsı se hodnotadeterminantu k-krat.
Poznamka (vlastnosti determinantu)
Uvedene vlastnosti se pouzıvajı pri upravach determinantu vyssıch radu, kdypomocı nich vytvorıme v nekterem radku, resp. sloupci co nejvıce nul.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 11 / 38
![Page 42: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/42.jpg)
Prıklad (vlastnosti determinantu)
1
∣∣∣∣ 4 3−1 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 4 33 4
∣∣∣∣ = 7,
∣∣∣∣ 4 3−1 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 0 7−1 1
∣∣∣∣ = 7
prictenı 1. radku k 2. radku prictenı 4-nasobku 2. radku k 1. radku
2
∣∣∣∣ 2 −34 1
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ 4 12 −3
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ 2 −34 1
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ −3 21 4
∣∣∣∣14 = − (−14) 14 = − (−14)zamena radku zamena sloupcu
3
∣∣∣∣ −2 13 2
∣∣∣∣ = 1
4
∣∣∣∣ −8 43 2
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ −2 13 2
∣∣∣∣ = 1
3
∣∣∣∣ −2 33 6
∣∣∣∣−7 =
1
4· (−28) −7 =
1
3· (−21)
vynasobenı 1. radku cıslem 4 vynasobenı 2. sloupce cıslem 3
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 12 / 38
![Page 43: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/43.jpg)
Prıklad (vlastnosti determinantu)
1
∣∣∣∣ 4 3−1 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 4 33 4
∣∣∣∣ = 7,
∣∣∣∣ 4 3−1 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 0 7−1 1
∣∣∣∣ = 7
prictenı 1. radku k 2. radku prictenı 4-nasobku 2. radku k 1. radku
2
∣∣∣∣ 2 −34 1
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ 4 12 −3
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ 2 −34 1
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ −3 21 4
∣∣∣∣14 = − (−14) 14 = − (−14)zamena radku zamena sloupcu
3
∣∣∣∣ −2 13 2
∣∣∣∣ = 1
4
∣∣∣∣ −8 43 2
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ −2 13 2
∣∣∣∣ = 1
3
∣∣∣∣ −2 33 6
∣∣∣∣−7 =
1
4· (−28) −7 =
1
3· (−21)
vynasobenı 1. radku cıslem 4 vynasobenı 2. sloupce cıslem 3
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 12 / 38
![Page 44: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/44.jpg)
Prıklad (vlastnosti determinantu)
1
∣∣∣∣ 4 3−1 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 4 33 4
∣∣∣∣ = 7,
∣∣∣∣ 4 3−1 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 0 7−1 1
∣∣∣∣ = 7
prictenı 1. radku k 2. radku prictenı 4-nasobku 2. radku k 1. radku
2
∣∣∣∣ 2 −34 1
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ 4 12 −3
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ 2 −34 1
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ −3 21 4
∣∣∣∣14 = − (−14) 14 = − (−14)zamena radku zamena sloupcu
3
∣∣∣∣ −2 13 2
∣∣∣∣ = 1
4
∣∣∣∣ −8 43 2
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ −2 13 2
∣∣∣∣ = 1
3
∣∣∣∣ −2 33 6
∣∣∣∣−7 =
1
4· (−28) −7 =
1
3· (−21)
vynasobenı 1. radku cıslem 4 vynasobenı 2. sloupce cıslem 3
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 12 / 38
![Page 45: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/45.jpg)
Poznamka (vytykanı pred determinant)
Z vlastnosti 3 plyne, ze jsou-li prvky nektereho radku (sloupce) nasobkemnejakeho cısla, muzeme toto cıslo vytknout pred determinant.
Prıklad∣∣∣∣∣∣30 15 103 2 624 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3
∣∣∣∣∣∣10 15 101 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 64 5 4
∣∣∣∣∣∣= 3 · 5 · 2 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 11 2 34 5 2
∣∣∣∣∣∣ = 60[8 + 36 + 5− (8 + 30 + 6)] = 60[49− 44] = 60 · 5
= 300
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 13 / 38
![Page 46: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/46.jpg)
Poznamka (vytykanı pred determinant)
Z vlastnosti 3 plyne, ze jsou-li prvky nektereho radku (sloupce) nasobkemnejakeho cısla, muzeme toto cıslo vytknout pred determinant.
Prıklad∣∣∣∣∣∣30 15 103 2 624 10 8
∣∣∣∣∣∣
= 3
∣∣∣∣∣∣10 15 101 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 64 5 4
∣∣∣∣∣∣= 3 · 5 · 2 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 11 2 34 5 2
∣∣∣∣∣∣ = 60[8 + 36 + 5− (8 + 30 + 6)] = 60[49− 44] = 60 · 5
= 300
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 13 / 38
![Page 47: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/47.jpg)
Poznamka (vytykanı pred determinant)
Z vlastnosti 3 plyne, ze jsou-li prvky nektereho radku (sloupce) nasobkemnejakeho cısla, muzeme toto cıslo vytknout pred determinant.
Prıklad∣∣∣∣∣∣30 15 103 2 624 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3
∣∣∣∣∣∣10 15 101 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣
= 3 · 5
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 64 5 4
∣∣∣∣∣∣= 3 · 5 · 2 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 11 2 34 5 2
∣∣∣∣∣∣ = 60[8 + 36 + 5− (8 + 30 + 6)] = 60[49− 44] = 60 · 5
= 300
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 13 / 38
![Page 48: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/48.jpg)
Poznamka (vytykanı pred determinant)
Z vlastnosti 3 plyne, ze jsou-li prvky nektereho radku (sloupce) nasobkemnejakeho cısla, muzeme toto cıslo vytknout pred determinant.
Prıklad∣∣∣∣∣∣30 15 103 2 624 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3
∣∣∣∣∣∣10 15 101 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣
= 3 · 5 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 64 5 4
∣∣∣∣∣∣= 3 · 5 · 2 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 11 2 34 5 2
∣∣∣∣∣∣ = 60[8 + 36 + 5− (8 + 30 + 6)] = 60[49− 44] = 60 · 5
= 300
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 13 / 38
![Page 49: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/49.jpg)
Poznamka (vytykanı pred determinant)
Z vlastnosti 3 plyne, ze jsou-li prvky nektereho radku (sloupce) nasobkemnejakeho cısla, muzeme toto cıslo vytknout pred determinant.
Prıklad∣∣∣∣∣∣30 15 103 2 624 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3
∣∣∣∣∣∣10 15 101 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 64 5 4
∣∣∣∣∣∣
= 3 · 5 · 2 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 11 2 34 5 2
∣∣∣∣∣∣ = 60[8 + 36 + 5− (8 + 30 + 6)] = 60[49− 44] = 60 · 5
= 300
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 13 / 38
![Page 50: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/50.jpg)
Poznamka (vytykanı pred determinant)
Z vlastnosti 3 plyne, ze jsou-li prvky nektereho radku (sloupce) nasobkemnejakeho cısla, muzeme toto cıslo vytknout pred determinant.
Prıklad∣∣∣∣∣∣30 15 103 2 624 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3
∣∣∣∣∣∣10 15 101 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 64 5 4
∣∣∣∣∣∣= 3 · 5 · 2 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 11 2 34 5 2
∣∣∣∣∣∣
= 60[8 + 36 + 5− (8 + 30 + 6)] = 60[49− 44] = 60 · 5
= 300
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 13 / 38
![Page 51: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/51.jpg)
Poznamka (vytykanı pred determinant)
Z vlastnosti 3 plyne, ze jsou-li prvky nektereho radku (sloupce) nasobkemnejakeho cısla, muzeme toto cıslo vytknout pred determinant.
Prıklad∣∣∣∣∣∣30 15 103 2 624 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3
∣∣∣∣∣∣10 15 101 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 64 5 4
∣∣∣∣∣∣= 3 · 5 · 2 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 11 2 34 5 2
∣∣∣∣∣∣ = 60[8 + 36 + 5− (8 + 30 + 6)]
= 60[49− 44] = 60 · 5
= 300
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 13 / 38
![Page 52: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/52.jpg)
Poznamka (vytykanı pred determinant)
Z vlastnosti 3 plyne, ze jsou-li prvky nektereho radku (sloupce) nasobkemnejakeho cısla, muzeme toto cıslo vytknout pred determinant.
Prıklad∣∣∣∣∣∣30 15 103 2 624 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3
∣∣∣∣∣∣10 15 101 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 64 5 4
∣∣∣∣∣∣= 3 · 5 · 2 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 11 2 34 5 2
∣∣∣∣∣∣ = 60[8 + 36 + 5− (8 + 30 + 6)] = 60[49− 44]
= 60 · 5
= 300
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 13 / 38
![Page 53: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/53.jpg)
Poznamka (vytykanı pred determinant)
Z vlastnosti 3 plyne, ze jsou-li prvky nektereho radku (sloupce) nasobkemnejakeho cısla, muzeme toto cıslo vytknout pred determinant.
Prıklad∣∣∣∣∣∣30 15 103 2 624 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3
∣∣∣∣∣∣10 15 101 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 64 5 4
∣∣∣∣∣∣= 3 · 5 · 2 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 11 2 34 5 2
∣∣∣∣∣∣ = 60[8 + 36 + 5− (8 + 30 + 6)] = 60[49− 44] = 60 · 5
= 300
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 13 / 38
![Page 54: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/54.jpg)
Poznamka (vytykanı pred determinant)
Z vlastnosti 3 plyne, ze jsou-li prvky nektereho radku (sloupce) nasobkemnejakeho cısla, muzeme toto cıslo vytknout pred determinant.
Prıklad∣∣∣∣∣∣30 15 103 2 624 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3
∣∣∣∣∣∣10 15 101 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 68 10 8
∣∣∣∣∣∣ = 3 · 5 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 21 2 64 5 4
∣∣∣∣∣∣= 3 · 5 · 2 · 2
∣∣∣∣∣∣2 3 11 2 34 5 2
∣∣∣∣∣∣ = 60[8 + 36 + 5− (8 + 30 + 6)] = 60[49− 44] = 60 · 5
= 300
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 13 / 38
![Page 55: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/55.jpg)
Vlastnosti determinantu
Veta (nulovost determinantu)
Determinant matice se rovna nule, je-li jeden z jeho radku (sloupcu) linearnıkombinacı ostatnıch radku (sloupcu).
Determinant je roven nule, jsou-li jeho radky nebo sloupce linearne zavisle.
Poznamka (nulovost determinantu)
Determinant je nulovy zejmena, jestlize
nektery jeho radek (sloupec) je nulovy,
nektery radek (sloupec) je nasobkem jineho radku (sloupce),
dva radky (sloupce) jsou stejne.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 14 / 38
![Page 56: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/56.jpg)
Vlastnosti determinantu
Veta (nulovost determinantu)
Determinant matice se rovna nule, je-li jeden z jeho radku (sloupcu) linearnıkombinacı ostatnıch radku (sloupcu).
Determinant je roven nule, jsou-li jeho radky nebo sloupce linearne zavisle.
Poznamka (nulovost determinantu)
Determinant je nulovy zejmena, jestlize
nektery jeho radek (sloupec) je nulovy,
nektery radek (sloupec) je nasobkem jineho radku (sloupce),
dva radky (sloupce) jsou stejne.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 14 / 38
![Page 57: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/57.jpg)
Vlastnosti determinantu
Veta (nulovost determinantu)
Determinant matice se rovna nule, je-li jeden z jeho radku (sloupcu) linearnıkombinacı ostatnıch radku (sloupcu).
Determinant je roven nule, jsou-li jeho radky nebo sloupce linearne zavisle.
Poznamka (nulovost determinantu)
Determinant je nulovy zejmena, jestlize
nektery jeho radek (sloupec) je nulovy,
nektery radek (sloupec) je nasobkem jineho radku (sloupce),
dva radky (sloupce) jsou stejne.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 14 / 38
![Page 58: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/58.jpg)
Prıklad (nulovost determinantu)
∣∣∣∣∣∣2 −3 −1−1 0 23 0 −6
∣∣∣∣∣∣ = 0, protoze 3. radek je (-3)-nasobkem 2. radku
∣∣∣∣ −1 −60 0
∣∣∣∣ = 0, protoze 2. radek je nulovy
∣∣∣∣∣∣−2 1 13 −1 −10 2 2
∣∣∣∣∣∣ = 0, protoze 2. a 3. sloupec jsou stejne
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 15 / 38
![Page 59: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/59.jpg)
Prıklad (nulovost determinantu)
∣∣∣∣∣∣2 −3 −1−1 0 23 0 −6
∣∣∣∣∣∣ = 0, protoze 3. radek je (-3)-nasobkem 2. radku
∣∣∣∣ −1 −60 0
∣∣∣∣ = 0, protoze 2. radek je nulovy
∣∣∣∣∣∣−2 1 13 −1 −10 2 2
∣∣∣∣∣∣ = 0, protoze 2. a 3. sloupec jsou stejne
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 15 / 38
![Page 60: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/60.jpg)
Prıklad (nulovost determinantu)
∣∣∣∣∣∣2 −3 −1−1 0 23 0 −6
∣∣∣∣∣∣ = 0, protoze 3. radek je (-3)-nasobkem 2. radku
∣∣∣∣ −1 −60 0
∣∣∣∣ = 0, protoze 2. radek je nulovy
∣∣∣∣∣∣−2 1 13 −1 −10 2 2
∣∣∣∣∣∣ = 0, protoze 2. a 3. sloupec jsou stejne
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 15 / 38
![Page 61: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/61.jpg)
Veta (vypocet determinantu - soucin prvku na hlavnı diagonale)
Determinant matice, ktera ma pod hlavnı diagonalou same nuly, je roven soucinuprvku na jejı hlavnı diagonale.
Prıklad (vypocet determinantu - soucin prvku na hlavnı diagonale)∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 4−1 0 3 4−1 −2 0 4−1 −2 −3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣←−+
←−−−−+
←−−−−−−−+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 2 6 80 0 3 80 0 0 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 · 2 · 3 · 8 = 48
1. radek jsme postupne pricetli k 2., 3. a 4. radku
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 16 / 38
![Page 62: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/62.jpg)
Veta (vypocet determinantu - soucin prvku na hlavnı diagonale)
Determinant matice, ktera ma pod hlavnı diagonalou same nuly, je roven soucinuprvku na jejı hlavnı diagonale.
Prıklad (vypocet determinantu - soucin prvku na hlavnı diagonale)∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 4−1 0 3 4−1 −2 0 4−1 −2 −3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣←−+
←−−−−+
←−−−−−−−+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 2 6 80 0 3 80 0 0 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 · 2 · 3 · 8 = 48
1. radek jsme postupne pricetli k 2., 3. a 4. radku
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 16 / 38
![Page 63: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/63.jpg)
Veta (vypocet determinantu - soucin prvku na hlavnı diagonale)
Determinant matice, ktera ma pod hlavnı diagonalou same nuly, je roven soucinuprvku na jejı hlavnı diagonale.
Prıklad (vypocet determinantu - soucin prvku na hlavnı diagonale)∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 4−1 0 3 4−1 −2 0 4−1 −2 −3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣←−+
←−−−−+
←−−−−−−−+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 2 6 80 0 3 80 0 0 8
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 1 · 2 · 3 · 8 = 48
1. radek jsme postupne pricetli k 2., 3. a 4. radku
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 16 / 38
![Page 64: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/64.jpg)
Veta (vypocet determinantu - soucin prvku na hlavnı diagonale)
Determinant matice, ktera ma pod hlavnı diagonalou same nuly, je roven soucinuprvku na jejı hlavnı diagonale.
Prıklad (vypocet determinantu - soucin prvku na hlavnı diagonale)∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 4−1 0 3 4−1 −2 0 4−1 −2 −3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣←−+
←−−−−+
←−−−−−−−+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 2 6 80 0 3 80 0 0 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 · 2 · 3 · 8 = 48
1. radek jsme postupne pricetli k 2., 3. a 4. radku
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 16 / 38
![Page 65: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/65.jpg)
Vypocet determinantu matic vyssıch radu
Vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu prevadıme na vypocetdeterminantu nizsıch radu pomocı Laplaceova rozvoje.
Definice (subdeterminant, algebraicky doplnek)
Necht’ A je ctvercova matice radu n. Vynechame-li v determinantu matice A i-tyradek a j-ty sloupec, dostaneme determinant Mij matice radu n− 1, kterynazyvame subdeterminant (minor) prıslusny prvku aij .
Algebraickym doplnkem Aij prvku aij v determinantu matice A nazyvame cıslo
Aij = (−1)i+jMij.
Indexy i, j u subdeterminantu Mij vyjadrujı, ze jsme v determinantuvynechali i-ty radek a j-ty sloupec.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 17 / 38
![Page 66: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/66.jpg)
Vypocet determinantu matic vyssıch radu
Vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu prevadıme na vypocetdeterminantu nizsıch radu pomocı Laplaceova rozvoje.
Definice (subdeterminant, algebraicky doplnek)
Necht’ A je ctvercova matice radu n. Vynechame-li v determinantu matice A i-tyradek a j-ty sloupec, dostaneme determinant Mij matice radu n− 1, kterynazyvame subdeterminant (minor) prıslusny prvku aij .
Algebraickym doplnkem Aij prvku aij v determinantu matice A nazyvame cıslo
Aij = (−1)i+jMij.
Indexy i, j u subdeterminantu Mij vyjadrujı, ze jsme v determinantuvynechali i-ty radek a j-ty sloupec.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 17 / 38
![Page 67: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/67.jpg)
Vypocet determinantu matic vyssıch radu
Vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu prevadıme na vypocetdeterminantu nizsıch radu pomocı Laplaceova rozvoje.
Definice (subdeterminant, algebraicky doplnek)
Necht’ A je ctvercova matice radu n. Vynechame-li v determinantu matice A i-tyradek a j-ty sloupec, dostaneme determinant Mij matice radu n− 1, kterynazyvame subdeterminant (minor) prıslusny prvku aij .
Algebraickym doplnkem Aij prvku aij v determinantu matice A nazyvame cıslo
Aij = (−1)i+jMij.
Indexy i, j u subdeterminantu Mij vyjadrujı, ze jsme v determinantuvynechali i-ty radek a j-ty sloupec.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 17 / 38
![Page 68: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/68.jpg)
Vypocet determinantu matic vyssıch radu
Vypocet determinantu matic ctvrteho a vyssıch radu prevadıme na vypocetdeterminantu nizsıch radu pomocı Laplaceova rozvoje.
Definice (subdeterminant, algebraicky doplnek)
Necht’ A je ctvercova matice radu n. Vynechame-li v determinantu matice A i-tyradek a j-ty sloupec, dostaneme determinant Mij matice radu n− 1, kterynazyvame subdeterminant (minor) prıslusny prvku aij .
Algebraickym doplnkem Aij prvku aij v determinantu matice A nazyvame cıslo
Aij = (−1)i+jMij.
Indexy i, j u subdeterminantu Mij vyjadrujı, ze jsme v determinantuvynechali i-ty radek a j-ty sloupec.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 17 / 38
![Page 69: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/69.jpg)
Prıklad (subdeterminant, algebraicky doplnek)
Mejme dan determinant detA =
∣∣∣∣∣∣2 3 2−1 1 10 5 4
∣∣∣∣∣∣ .
subdeterminant a algebraicky doplnek prvku a32 jsou
A =
∣∣∣∣∣∣2 3 2−1 1 1
0 5 4
∣∣∣∣∣∣ ⇒ M32 =
∣∣∣∣ 2 2−1 1
∣∣∣∣ = 2 + 2 = 4,
A32 = (−1)3+2
∣∣∣∣ 2 2−1 1
∣∣∣∣ = (−1) · 4 = −4
subdeterminant a algebraicky doplnek prvku a21 jsou
A =
∣∣∣∣∣∣2 3 2
-1 1 10 5 4
∣∣∣∣∣∣ ⇒ M21 =
∣∣∣∣ 3 25 4
∣∣∣∣ = 12− 10 = 2,
A21 = (−1)2+1
∣∣∣∣ 3 25 4
∣∣∣∣ = (−1) · 2 = −2
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 18 / 38
![Page 70: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/70.jpg)
Prıklad (subdeterminant, algebraicky doplnek)
Mejme dan determinant detA =
∣∣∣∣∣∣2 3 2−1 1 10 5 4
∣∣∣∣∣∣ .subdeterminant a algebraicky doplnek prvku a32 jsou
A =
∣∣∣∣∣∣2 3 2−1 1 1
0 5 4
∣∣∣∣∣∣ ⇒ M32 =
∣∣∣∣ 2 2−1 1
∣∣∣∣ = 2 + 2 = 4,
A32 = (−1)3+2
∣∣∣∣ 2 2−1 1
∣∣∣∣ = (−1) · 4 = −4
subdeterminant a algebraicky doplnek prvku a21 jsou
A =
∣∣∣∣∣∣2 3 2
-1 1 10 5 4
∣∣∣∣∣∣ ⇒ M21 =
∣∣∣∣ 3 25 4
∣∣∣∣ = 12− 10 = 2,
A21 = (−1)2+1
∣∣∣∣ 3 25 4
∣∣∣∣ = (−1) · 2 = −2
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 18 / 38
![Page 71: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/71.jpg)
Prıklad (subdeterminant, algebraicky doplnek)
Mejme dan determinant detA =
∣∣∣∣∣∣2 3 2−1 1 10 5 4
∣∣∣∣∣∣ .subdeterminant a algebraicky doplnek prvku a32 jsou
A =
∣∣∣∣∣∣2 3 2−1 1 1
0 5 4
∣∣∣∣∣∣ ⇒ M32 =
∣∣∣∣ 2 2−1 1
∣∣∣∣ = 2 + 2 = 4,
A32 = (−1)3+2
∣∣∣∣ 2 2−1 1
∣∣∣∣ = (−1) · 4 = −4
subdeterminant a algebraicky doplnek prvku a21 jsou
A =
∣∣∣∣∣∣2 3 2
-1 1 10 5 4
∣∣∣∣∣∣ ⇒ M21 =
∣∣∣∣ 3 25 4
∣∣∣∣ = 12− 10 = 2,
A21 = (−1)2+1
∣∣∣∣ 3 25 4
∣∣∣∣ = (−1) · 2 = −2
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 18 / 38
![Page 72: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/72.jpg)
Prıklad (subdeterminant, algebraicky doplnek)
Mejme dan determinant detA =
∣∣∣∣∣∣2 3 2−1 1 10 5 4
∣∣∣∣∣∣ .subdeterminant a algebraicky doplnek prvku a32 jsou
A =
∣∣∣∣∣∣2 3 2−1 1 1
0 5 4
∣∣∣∣∣∣ ⇒ M32 =
∣∣∣∣ 2 2−1 1
∣∣∣∣ = 2 + 2 = 4,
A32 = (−1)3+2
∣∣∣∣ 2 2−1 1
∣∣∣∣ = (−1) · 4 = −4
subdeterminant a algebraicky doplnek prvku a21 jsou
A =
∣∣∣∣∣∣2 3 2
-1 1 10 5 4
∣∣∣∣∣∣ ⇒ M21 =
∣∣∣∣ 3 25 4
∣∣∣∣ = 12− 10 = 2,
A21 = (−1)2+1
∣∣∣∣ 3 25 4
∣∣∣∣ = (−1) · 2 = −2
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 18 / 38
![Page 73: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/73.jpg)
Prıklad (subdeterminant, algebraicky doplnek)
Mejme dan determinant detA =
∣∣∣∣∣∣2 3 2−1 1 10 5 4
∣∣∣∣∣∣ .subdeterminant a algebraicky doplnek prvku a32 jsou
A =
∣∣∣∣∣∣2 3 2−1 1 1
0 5 4
∣∣∣∣∣∣ ⇒ M32 =
∣∣∣∣ 2 2−1 1
∣∣∣∣ = 2 + 2 = 4,
A32 = (−1)3+2
∣∣∣∣ 2 2−1 1
∣∣∣∣ = (−1) · 4 = −4
subdeterminant a algebraicky doplnek prvku a21 jsou
A =
∣∣∣∣∣∣2 3 2
-1 1 10 5 4
∣∣∣∣∣∣ ⇒ M21 =
∣∣∣∣ 3 25 4
∣∣∣∣ = 12− 10 = 2,
A21 = (−1)2+1
∣∣∣∣ 3 25 4
∣∣∣∣ = (−1) · 2 = −2
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 18 / 38
![Page 74: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/74.jpg)
Veta (Laplaceuv rozvoj)
Pro kazdy determinant matice A radu n ≥ 2 platı
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin pro i = 1, 2, . . . , n,
(Laplaceuv rozvoj determinantu podle i-teho radku),
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj pro j = 1, 2, . . . , n,
(Laplaceuv rozvoj determinantu podle j-teho sloupce)
kde Aij je algebraicky doplnek prvku aij .
Poznamka (Laplaceuv rozvoj)
Determinant se rovna souctu vsech soucinu prvku libovolneho radku(sloupce) a jejich algebraickych doplnku.
Tyto vzorce se pouzıvajı pro vypocet determinantu matic radu 4 a vyssıho.
Radek nebo sloupec, podle ktereho provadıme rozvoj, je vhodne volit tak, abyobsahoval co nejvıce nulovych prvku.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 19 / 38
![Page 75: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/75.jpg)
Veta (Laplaceuv rozvoj)
Pro kazdy determinant matice A radu n ≥ 2 platı
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin pro i = 1, 2, . . . , n,
(Laplaceuv rozvoj determinantu podle i-teho radku),
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj pro j = 1, 2, . . . , n,
(Laplaceuv rozvoj determinantu podle j-teho sloupce)
kde Aij je algebraicky doplnek prvku aij .
Poznamka (Laplaceuv rozvoj)
Determinant se rovna souctu vsech soucinu prvku libovolneho radku(sloupce) a jejich algebraickych doplnku.
Tyto vzorce se pouzıvajı pro vypocet determinantu matic radu 4 a vyssıho.
Radek nebo sloupec, podle ktereho provadıme rozvoj, je vhodne volit tak, abyobsahoval co nejvıce nulovych prvku.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 19 / 38
![Page 76: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/76.jpg)
Veta (Laplaceuv rozvoj)
Pro kazdy determinant matice A radu n ≥ 2 platı
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin pro i = 1, 2, . . . , n,
(Laplaceuv rozvoj determinantu podle i-teho radku),
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj pro j = 1, 2, . . . , n,
(Laplaceuv rozvoj determinantu podle j-teho sloupce)
kde Aij je algebraicky doplnek prvku aij .
Poznamka (Laplaceuv rozvoj)
Determinant se rovna souctu vsech soucinu prvku libovolneho radku(sloupce) a jejich algebraickych doplnku.
Tyto vzorce se pouzıvajı pro vypocet determinantu matic radu 4 a vyssıho.
Radek nebo sloupec, podle ktereho provadıme rozvoj, je vhodne volit tak, abyobsahoval co nejvıce nulovych prvku.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 19 / 38
![Page 77: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/77.jpg)
Veta (Laplaceuv rozvoj)
Pro kazdy determinant matice A radu n ≥ 2 platı
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin pro i = 1, 2, . . . , n,
(Laplaceuv rozvoj determinantu podle i-teho radku),
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj pro j = 1, 2, . . . , n,
(Laplaceuv rozvoj determinantu podle j-teho sloupce)
kde Aij je algebraicky doplnek prvku aij .
Poznamka (Laplaceuv rozvoj)
Determinant se rovna souctu vsech soucinu prvku libovolneho radku(sloupce) a jejich algebraickych doplnku.
Tyto vzorce se pouzıvajı pro vypocet determinantu matic radu 4 a vyssıho.
Radek nebo sloupec, podle ktereho provadıme rozvoj, je vhodne volit tak, abyobsahoval co nejvıce nulovych prvku.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 19 / 38
![Page 78: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/78.jpg)
Veta (Laplaceuv rozvoj)
Pro kazdy determinant matice A radu n ≥ 2 platı
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin pro i = 1, 2, . . . , n,
(Laplaceuv rozvoj determinantu podle i-teho radku),
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj pro j = 1, 2, . . . , n,
(Laplaceuv rozvoj determinantu podle j-teho sloupce)
kde Aij je algebraicky doplnek prvku aij .
Poznamka (Laplaceuv rozvoj)
Determinant se rovna souctu vsech soucinu prvku libovolneho radku(sloupce) a jejich algebraickych doplnku.
Tyto vzorce se pouzıvajı pro vypocet determinantu matic radu 4 a vyssıho.
Radek nebo sloupec, podle ktereho provadıme rozvoj, je vhodne volit tak, abyobsahoval co nejvıce nulovych prvku.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 19 / 38
![Page 79: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/79.jpg)
Prıklad (Laplaceuv rozvoj)
∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1 2 21 0 −1 1−1 3 2 0−1 0 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ =1 · (−1)1+2
∣∣∣∣∣∣1 −1 1−1 2 0−1 5 3
∣∣∣∣∣∣+ 0 · (−1)2+2
∣∣∣∣∣∣−1 2 2−1 2 0−1 5 3
∣∣∣∣∣∣+3 · (−1)3+2
∣∣∣∣∣∣−1 2 21 −1 1−1 5 3
∣∣∣∣∣∣+ 0 · (−1)4+2
∣∣∣∣∣∣−1 2 21 −1 1−1 2 0
∣∣∣∣∣∣
= (−1)[6 + 0− 5− (−2 + 0 + 3)]− 3[3− 2 + 10− (2− 5 + 6)]
= (−1)[1− 1]− 3[11− 3] = −24
Provedli jsme rozvoj podle 2. sloupce, protoze obsahoval nejvıce nul. Vznikledeterminanty tretıho radu jsme vypocetli pomocı Sarrusova pravidla. Pocıtali jsmepouze ty, ktere nebyly nasobeny nulovym prvkem.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 20 / 38
![Page 80: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/80.jpg)
Prıklad (Laplaceuv rozvoj)
∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1 2 21 0 −1 1−1 3 2 0−1 0 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ =1 · (−1)1+2
∣∣∣∣∣∣1 −1 1−1 2 0−1 5 3
∣∣∣∣∣∣+ 0 · (−1)2+2
∣∣∣∣∣∣−1 2 2−1 2 0−1 5 3
∣∣∣∣∣∣+3 · (−1)3+2
∣∣∣∣∣∣−1 2 21 −1 1−1 5 3
∣∣∣∣∣∣+ 0 · (−1)4+2
∣∣∣∣∣∣−1 2 21 −1 1−1 2 0
∣∣∣∣∣∣= (−1)[6 + 0− 5− (−2 + 0 + 3)]− 3[3− 2 + 10− (2− 5 + 6)]
= (−1)[1− 1]− 3[11− 3] = −24
Provedli jsme rozvoj podle 2. sloupce, protoze obsahoval nejvıce nul. Vznikledeterminanty tretıho radu jsme vypocetli pomocı Sarrusova pravidla. Pocıtali jsmepouze ty, ktere nebyly nasobeny nulovym prvkem.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 20 / 38
![Page 81: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/81.jpg)
Prıklad (Laplaceuv rozvoj)
∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1 2 21 0 −1 1−1 3 2 0−1 0 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ =1 · (−1)1+2
∣∣∣∣∣∣1 −1 1−1 2 0−1 5 3
∣∣∣∣∣∣+ 0 · (−1)2+2
∣∣∣∣∣∣−1 2 2−1 2 0−1 5 3
∣∣∣∣∣∣+3 · (−1)3+2
∣∣∣∣∣∣−1 2 21 −1 1−1 5 3
∣∣∣∣∣∣+ 0 · (−1)4+2
∣∣∣∣∣∣−1 2 21 −1 1−1 2 0
∣∣∣∣∣∣= (−1)[6 + 0− 5− (−2 + 0 + 3)]− 3[3− 2 + 10− (2− 5 + 6)]
= (−1)[1− 1]− 3[11− 3] = −24
Provedli jsme rozvoj podle 2. sloupce, protoze obsahoval nejvıce nul. Vznikledeterminanty tretıho radu jsme vypocetli pomocı Sarrusova pravidla. Pocıtali jsmepouze ty, ktere nebyly nasobeny nulovym prvkem.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 20 / 38
![Page 82: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/82.jpg)
Vypocet determinantu matic radu n ≥ 4
Vypocet determinantu matic n-teho radu, kde n ≥ 4, prevadıme pomocıLaplaceova rozvoje na vypocet determinantu radu (n− 1).
Predtım je vsak vyhodne puvodnı determinant upravit pomocı vlastnostıdeterminantu c. 1 a c. 3 tak, aby v nekterem radku nebo sloupci byly vsechnyprvky krome jednoho rovny nule.
Podle tohoto radku nebo sloupce (s jednım nenulovym prvkem) pakdeterminant rozvineme.
Obdrzıme tak pouze jediny determinant radu (n− 1), ktery opet obdobnymzpusobem upravıme a rozvineme.
Takto postupujeme, az dostaneme determinant 3. radu, ktery jiz vycıslımeSarrusovym pravidlem.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 21 / 38
![Page 83: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/83.jpg)
Vypocet determinantu matic radu n ≥ 4
Vypocet determinantu matic n-teho radu, kde n ≥ 4, prevadıme pomocıLaplaceova rozvoje na vypocet determinantu radu (n− 1).
Predtım je vsak vyhodne puvodnı determinant upravit pomocı vlastnostıdeterminantu c. 1 a c. 3 tak, aby v nekterem radku nebo sloupci byly vsechnyprvky krome jednoho rovny nule.
Podle tohoto radku nebo sloupce (s jednım nenulovym prvkem) pakdeterminant rozvineme.
Obdrzıme tak pouze jediny determinant radu (n− 1), ktery opet obdobnymzpusobem upravıme a rozvineme.
Takto postupujeme, az dostaneme determinant 3. radu, ktery jiz vycıslımeSarrusovym pravidlem.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 21 / 38
![Page 84: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/84.jpg)
Vypocet determinantu matic radu n ≥ 4
Vypocet determinantu matic n-teho radu, kde n ≥ 4, prevadıme pomocıLaplaceova rozvoje na vypocet determinantu radu (n− 1).
Predtım je vsak vyhodne puvodnı determinant upravit pomocı vlastnostıdeterminantu c. 1 a c. 3 tak, aby v nekterem radku nebo sloupci byly vsechnyprvky krome jednoho rovny nule.
Podle tohoto radku nebo sloupce (s jednım nenulovym prvkem) pakdeterminant rozvineme.
Obdrzıme tak pouze jediny determinant radu (n− 1), ktery opet obdobnymzpusobem upravıme a rozvineme.
Takto postupujeme, az dostaneme determinant 3. radu, ktery jiz vycıslımeSarrusovym pravidlem.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 21 / 38
![Page 85: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/85.jpg)
Vypocet determinantu matic radu n ≥ 4
Vypocet determinantu matic n-teho radu, kde n ≥ 4, prevadıme pomocıLaplaceova rozvoje na vypocet determinantu radu (n− 1).
Predtım je vsak vyhodne puvodnı determinant upravit pomocı vlastnostıdeterminantu c. 1 a c. 3 tak, aby v nekterem radku nebo sloupci byly vsechnyprvky krome jednoho rovny nule.
Podle tohoto radku nebo sloupce (s jednım nenulovym prvkem) pakdeterminant rozvineme.
Obdrzıme tak pouze jediny determinant radu (n− 1), ktery opet obdobnymzpusobem upravıme a rozvineme.
Takto postupujeme, az dostaneme determinant 3. radu, ktery jiz vycıslımeSarrusovym pravidlem.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 21 / 38
![Page 86: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/86.jpg)
Vypocet determinantu matic radu n ≥ 4
Vypocet determinantu matic n-teho radu, kde n ≥ 4, prevadıme pomocıLaplaceova rozvoje na vypocet determinantu radu (n− 1).
Predtım je vsak vyhodne puvodnı determinant upravit pomocı vlastnostıdeterminantu c. 1 a c. 3 tak, aby v nekterem radku nebo sloupci byly vsechnyprvky krome jednoho rovny nule.
Podle tohoto radku nebo sloupce (s jednım nenulovym prvkem) pakdeterminant rozvineme.
Obdrzıme tak pouze jediny determinant radu (n− 1), ktery opet obdobnymzpusobem upravıme a rozvineme.
Takto postupujeme, az dostaneme determinant 3. radu, ktery jiz vycıslımeSarrusovym pravidlem.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 21 / 38
![Page 87: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/87.jpg)
Prıklad (Vypocet determinantu matice radu 4)∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 −1 23 3 −2 1
−2 -1 3 2−3 1 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣←−+
←−−−−+
←−−−|·3
+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 2 4−3 0 7 7
−2 -1 3 2−5 0 5 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= (−1) · (−1)2+3
∣∣∣∣∣∣0 2 4−3 7 7−5 5 1
∣∣∣∣∣∣ = (+1)[0− 70− 60− (−140 + 0− 6)] = 16
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 22 / 38
![Page 88: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/88.jpg)
Prıklad (Vypocet determinantu matice radu 4)∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 −1 23 3 −2 1
−2 -1 3 2−3 1 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣←−+
←−−−−+
←−−−|·3
+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 2 4−3 0 7 7
−2 -1 3 2−5 0 5 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
= (−1) · (−1)2+3
∣∣∣∣∣∣0 2 4−3 7 7−5 5 1
∣∣∣∣∣∣ = (+1)[0− 70− 60− (−140 + 0− 6)] = 16
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 22 / 38
![Page 89: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/89.jpg)
Prıklad (Vypocet determinantu matice radu 4)∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 −1 23 3 −2 1
−2 -1 3 2−3 1 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣←−+
←−−−−+
←−−−|·3
+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 2 4−3 0 7 7
−2 -1 3 2−5 0 5 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= (−1) · (−1)2+3
∣∣∣∣∣∣0 2 4−3 7 7−5 5 1
∣∣∣∣∣∣
= (+1)[0− 70− 60− (−140 + 0− 6)] = 16
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 22 / 38
![Page 90: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/90.jpg)
Prıklad (Vypocet determinantu matice radu 4)∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 −1 23 3 −2 1
−2 -1 3 2−3 1 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣←−+
←−−−−+
←−−−|·3
+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 2 4−3 0 7 7
−2 -1 3 2−5 0 5 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= (−1) · (−1)2+3
∣∣∣∣∣∣0 2 4−3 7 7−5 5 1
∣∣∣∣∣∣ = (+1)[0− 70− 60− (−140 + 0− 6)] = 16
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 22 / 38
![Page 91: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/91.jpg)
Prıklad (Vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 01 1 1 0 11 1 0 1 11 0 1 1 10 1 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣←−−1+
←−−−−−
−1
+
←−−−−−−−−−
−1
+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 00 0 0 −1 10 0 −1 0 10 −1 0 0 10 1 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
= 1 · (−1)1+1
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 −1 10 −1 0 1−1 0 0 11 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ←−+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 −1 10 −1 0 1
-1 0 0 10 1 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= (−1) · (−1)3+1
∣∣∣∣∣∣0 −1 1−1 0 11 1 2
∣∣∣∣∣∣ = (−1)[0−1−1− (0+0+2)] = (−1)(−4) = 4
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 23 / 38
![Page 92: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/92.jpg)
Prıklad (Vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 01 1 1 0 11 1 0 1 11 0 1 1 10 1 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣←−−1+
←−−−−−
−1
+
←−−−−−−−−−
−1
+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 00 0 0 −1 10 0 −1 0 10 −1 0 0 10 1 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
= 1 · (−1)1+1
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 −1 10 −1 0 1−1 0 0 11 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ←−+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 −1 10 −1 0 1
-1 0 0 10 1 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= (−1) · (−1)3+1
∣∣∣∣∣∣0 −1 1−1 0 11 1 2
∣∣∣∣∣∣ = (−1)[0−1−1− (0+0+2)] = (−1)(−4) = 4
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 23 / 38
![Page 93: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/93.jpg)
Prıklad (Vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 01 1 1 0 11 1 0 1 11 0 1 1 10 1 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣←−−1+
←−−−−−
−1
+
←−−−−−−−−−
−1
+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 00 0 0 −1 10 0 −1 0 10 −1 0 0 10 1 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
= 1 · (−1)1+1
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 −1 10 −1 0 1−1 0 0 11 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ←−+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 −1 10 −1 0 1
-1 0 0 10 1 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= (−1) · (−1)3+1
∣∣∣∣∣∣0 −1 1−1 0 11 1 2
∣∣∣∣∣∣ = (−1)[0−1−1− (0+0+2)] = (−1)(−4) = 4
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 23 / 38
![Page 94: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/94.jpg)
Prıklad (Vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 01 1 1 0 11 1 0 1 11 0 1 1 10 1 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣←−−1+
←−−−−−
−1
+
←−−−−−−−−−
−1
+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 00 0 0 −1 10 0 −1 0 10 −1 0 0 10 1 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
= 1 · (−1)1+1
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 −1 10 −1 0 1−1 0 0 11 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ←−+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 −1 10 −1 0 1
-1 0 0 10 1 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
= (−1) · (−1)3+1
∣∣∣∣∣∣0 −1 1−1 0 11 1 2
∣∣∣∣∣∣ = (−1)[0−1−1− (0+0+2)] = (−1)(−4) = 4
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 23 / 38
![Page 95: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/95.jpg)
Prıklad (Vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 01 1 1 0 11 1 0 1 11 0 1 1 10 1 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣←−−1+
←−−−−−
−1
+
←−−−−−−−−−
−1
+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 00 0 0 −1 10 0 −1 0 10 −1 0 0 10 1 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
= 1 · (−1)1+1
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 −1 10 −1 0 1−1 0 0 11 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ←−+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 −1 10 −1 0 1
-1 0 0 10 1 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= (−1) · (−1)3+1
∣∣∣∣∣∣0 −1 1−1 0 11 1 2
∣∣∣∣∣∣
= (−1)[0−1−1− (0+0+2)] = (−1)(−4) = 4
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 23 / 38
![Page 96: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/96.jpg)
Prıklad (Vypocet determinantu matic radu n ≥ 4)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 01 1 1 0 11 1 0 1 11 0 1 1 10 1 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣←−−1+
←−−−−−
−1
+
←−−−−−−−−−
−1
+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 00 0 0 −1 10 0 −1 0 10 −1 0 0 10 1 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
= 1 · (−1)1+1
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 −1 10 −1 0 1−1 0 0 11 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ←−+
=
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 −1 10 −1 0 1
-1 0 0 10 1 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= (−1) · (−1)3+1
∣∣∣∣∣∣0 −1 1−1 0 11 1 2
∣∣∣∣∣∣ = (−1)[0−1−1− (0+0+2)] = (−1)(−4) = 4
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 23 / 38
![Page 97: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/97.jpg)
Inverznı matice
Definice (regularnı a singularnı matice)
Ctvercova matice A radu n se nazyva regularnı, jestlize determinant teto maticeje ruzny od nuly. V opacnem prıpade mluvıme o singularnı matici.
Poznamka (regularnı a singularnı matice)
Je-li matice A regularnı, potom
h(A) = n,
radky (sloupce) matice A jsou linearne nezavisle.
Je-li matice A singularnı, potom
h(A) < n,
radky (sloupce) matice A jsou linearne zavisle.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 24 / 38
![Page 98: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/98.jpg)
Inverznı matice
Definice (regularnı a singularnı matice)
Ctvercova matice A radu n se nazyva regularnı, jestlize determinant teto maticeje ruzny od nuly. V opacnem prıpade mluvıme o singularnı matici.
Poznamka (regularnı a singularnı matice)
Je-li matice A regularnı, potom
h(A) = n,
radky (sloupce) matice A jsou linearne nezavisle.
Je-li matice A singularnı, potom
h(A) < n,
radky (sloupce) matice A jsou linearne zavisle.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 24 / 38
![Page 99: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/99.jpg)
Inverznı matice
Definice (regularnı a singularnı matice)
Ctvercova matice A radu n se nazyva regularnı, jestlize determinant teto maticeje ruzny od nuly. V opacnem prıpade mluvıme o singularnı matici.
Poznamka (regularnı a singularnı matice)
Je-li matice A regularnı, potom
h(A) = n,
radky (sloupce) matice A jsou linearne nezavisle.
Je-li matice A singularnı, potom
h(A) < n,
radky (sloupce) matice A jsou linearne zavisle.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 24 / 38
![Page 100: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/100.jpg)
Inverznı matice
Definice (inverznı matice)
Necht’ A je ctvercova matice radu n. Jestlize existuje ctvercova matice A−1
stejneho radu takova, ze platı
A ·A−1 = A−1 ·A = I,
nazyvame matici A−1 inverznı maticı k matici A.
Veta (inverznı matice)
K regularnı matici A existuje prave jedna inverznı matice A−1.
Inverznı matici lze nalezt pouze k regularnı matici, tedy ke ctvercove matici,jejız radky jsou linearne nezavisle.
Inverznı matice je urcena jednoznacne.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 25 / 38
![Page 101: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/101.jpg)
Inverznı matice
Definice (inverznı matice)
Necht’ A je ctvercova matice radu n. Jestlize existuje ctvercova matice A−1
stejneho radu takova, ze platı
A ·A−1 = A−1 ·A = I,
nazyvame matici A−1 inverznı maticı k matici A.
Veta (inverznı matice)
K regularnı matici A existuje prave jedna inverznı matice A−1.
Inverznı matici lze nalezt pouze k regularnı matici, tedy ke ctvercove matici,jejız radky jsou linearne nezavisle.
Inverznı matice je urcena jednoznacne.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 25 / 38
![Page 102: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/102.jpg)
Inverznı matice
Definice (inverznı matice)
Necht’ A je ctvercova matice radu n. Jestlize existuje ctvercova matice A−1
stejneho radu takova, ze platı
A ·A−1 = A−1 ·A = I,
nazyvame matici A−1 inverznı maticı k matici A.
Veta (inverznı matice)
K regularnı matici A existuje prave jedna inverznı matice A−1.
Inverznı matici lze nalezt pouze k regularnı matici, tedy ke ctvercove matici,jejız radky jsou linearne nezavisle.
Inverznı matice je urcena jednoznacne.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 25 / 38
![Page 103: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/103.jpg)
Inverznı matice
Definice (inverznı matice)
Necht’ A je ctvercova matice radu n. Jestlize existuje ctvercova matice A−1
stejneho radu takova, ze platı
A ·A−1 = A−1 ·A = I,
nazyvame matici A−1 inverznı maticı k matici A.
Veta (inverznı matice)
K regularnı matici A existuje prave jedna inverznı matice A−1.
Inverznı matici lze nalezt pouze k regularnı matici, tedy ke ctvercove matici,jejız radky jsou linearne nezavisle.
Inverznı matice je urcena jednoznacne.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 25 / 38
![Page 104: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/104.jpg)
Poznamka (vypocet inverznı matice)
1 Transformace rozsırene matice (A|I) na tvar (I|A−1) pomocı ekvivalentnıchradkovych uprav.
2 Pomocı adjungovane matice.
Postup vypoctu prevodem na jednotkovou matici1 Matici A rozsırıme vpravo o jednotkovou matici stejneho radu: (A|I).2 Pomocı ekvivalentnıch radkovych uprav prevedeme matici A na diagonalnı a
pak na jednotkovou matici I. Vsechny upravy provadıme s celymi radkymatice (A|I).
3 Jestlize jsme matici A prevedli na jednotkovou matici I, pak matici I jsmeprevedli na A−1 :
(A|I) ∼ · · · ∼ (I|A−1)4 Pokud matici A na jednotkovou matici nelze prevest (behem vypoctu
dostaneme v leve casti cely radek nulovy), inverznı matice A−1 neexistuje amatice A je singularnı.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 26 / 38
![Page 105: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/105.jpg)
Poznamka (vypocet inverznı matice)
1 Transformace rozsırene matice (A|I) na tvar (I|A−1) pomocı ekvivalentnıchradkovych uprav.
2 Pomocı adjungovane matice.
Postup vypoctu prevodem na jednotkovou matici1 Matici A rozsırıme vpravo o jednotkovou matici stejneho radu: (A|I).2 Pomocı ekvivalentnıch radkovych uprav prevedeme matici A na diagonalnı a
pak na jednotkovou matici I. Vsechny upravy provadıme s celymi radkymatice (A|I).
3 Jestlize jsme matici A prevedli na jednotkovou matici I, pak matici I jsmeprevedli na A−1 :
(A|I) ∼ · · · ∼ (I|A−1)4 Pokud matici A na jednotkovou matici nelze prevest (behem vypoctu
dostaneme v leve casti cely radek nulovy), inverznı matice A−1 neexistuje amatice A je singularnı.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 26 / 38
![Page 106: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/106.jpg)
Poznamka (vypocet inverznı matice)
1 Transformace rozsırene matice (A|I) na tvar (I|A−1) pomocı ekvivalentnıchradkovych uprav.
2 Pomocı adjungovane matice.
Postup vypoctu prevodem na jednotkovou matici1 Matici A rozsırıme vpravo o jednotkovou matici stejneho radu: (A|I).
2 Pomocı ekvivalentnıch radkovych uprav prevedeme matici A na diagonalnı apak na jednotkovou matici I. Vsechny upravy provadıme s celymi radkymatice (A|I).
3 Jestlize jsme matici A prevedli na jednotkovou matici I, pak matici I jsmeprevedli na A−1 :
(A|I) ∼ · · · ∼ (I|A−1)4 Pokud matici A na jednotkovou matici nelze prevest (behem vypoctu
dostaneme v leve casti cely radek nulovy), inverznı matice A−1 neexistuje amatice A je singularnı.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 26 / 38
![Page 107: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/107.jpg)
Poznamka (vypocet inverznı matice)
1 Transformace rozsırene matice (A|I) na tvar (I|A−1) pomocı ekvivalentnıchradkovych uprav.
2 Pomocı adjungovane matice.
Postup vypoctu prevodem na jednotkovou matici1 Matici A rozsırıme vpravo o jednotkovou matici stejneho radu: (A|I).2 Pomocı ekvivalentnıch radkovych uprav prevedeme matici A na diagonalnı a
pak na jednotkovou matici I. Vsechny upravy provadıme s celymi radkymatice (A|I).
3 Jestlize jsme matici A prevedli na jednotkovou matici I, pak matici I jsmeprevedli na A−1 :
(A|I) ∼ · · · ∼ (I|A−1)4 Pokud matici A na jednotkovou matici nelze prevest (behem vypoctu
dostaneme v leve casti cely radek nulovy), inverznı matice A−1 neexistuje amatice A je singularnı.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 26 / 38
![Page 108: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/108.jpg)
Poznamka (vypocet inverznı matice)
1 Transformace rozsırene matice (A|I) na tvar (I|A−1) pomocı ekvivalentnıchradkovych uprav.
2 Pomocı adjungovane matice.
Postup vypoctu prevodem na jednotkovou matici1 Matici A rozsırıme vpravo o jednotkovou matici stejneho radu: (A|I).2 Pomocı ekvivalentnıch radkovych uprav prevedeme matici A na diagonalnı a
pak na jednotkovou matici I. Vsechny upravy provadıme s celymi radkymatice (A|I).
3 Jestlize jsme matici A prevedli na jednotkovou matici I, pak matici I jsmeprevedli na A−1 :
(A|I) ∼ · · · ∼ (I|A−1)
4 Pokud matici A na jednotkovou matici nelze prevest (behem vypoctudostaneme v leve casti cely radek nulovy), inverznı matice A−1 neexistuje amatice A je singularnı.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 26 / 38
![Page 109: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/109.jpg)
Poznamka (vypocet inverznı matice)
1 Transformace rozsırene matice (A|I) na tvar (I|A−1) pomocı ekvivalentnıchradkovych uprav.
2 Pomocı adjungovane matice.
Postup vypoctu prevodem na jednotkovou matici1 Matici A rozsırıme vpravo o jednotkovou matici stejneho radu: (A|I).2 Pomocı ekvivalentnıch radkovych uprav prevedeme matici A na diagonalnı a
pak na jednotkovou matici I. Vsechny upravy provadıme s celymi radkymatice (A|I).
3 Jestlize jsme matici A prevedli na jednotkovou matici I, pak matici I jsmeprevedli na A−1 :
(A|I) ∼ · · · ∼ (I|A−1)4 Pokud matici A na jednotkovou matici nelze prevest (behem vypoctu
dostaneme v leve casti cely radek nulovy), inverznı matice A−1 neexistuje amatice A je singularnı.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 26 / 38
![Page 110: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/110.jpg)
Prıklad (vypocet inverznı matice pr. 1)
Najdete inverznı matici k matici AAA =
(2 71 4
)(
2 7
1 4
∣∣∣∣ 1 00 1
)←−←− ∼
(1 42 7
∣∣∣∣ 0 11 0
)←−−2+∼(1 4
0 -1
∣∣∣∣ 0 11 −2
)←−
4
+
∼(1 00 −1
∣∣∣∣ 4 −71 −2
)| · (−1) ∼
(1 00 1
∣∣∣∣ 4 −7−1 2
)
AAA−1 =
(4 −7−1 2
)
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 27 / 38
![Page 111: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/111.jpg)
Prıklad (vypocet inverznı matice pr. 2)
K matici A =
1 −1 2−1 0 1−2 1 2
urcete inverznı matici.
1 −1 2−1 0 1−2 1 2
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1
←−+
←−−−−
2
+
∼
1 −1 2
0 -1 30 −1 6
∣∣∣∣∣∣1 0 01 1 02 0 1
←−−1+
←−−−−−−1+
∼
1 0 −10 −1 3
0 0 3
∣∣∣∣∣∣0 −1 01 1 01 −1 1
←−−1
+
| · 3 ←−+
∼
3 0 00 −1 00 0 3
∣∣∣∣∣∣1 −4 10 2 −11 −1 1
| · 1/3| · (−1)| · 1/31 0 0
0 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣1/3 −4/3 1/30 −2 11/3 −1/3 1/3
⇒ A−1 =1
3
1 −4 10 −6 31 −1 1
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 28 / 38
![Page 112: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/112.jpg)
Prıklad (vypocet inverznı matice pr. 2)
K matici A =
1 −1 2−1 0 1−2 1 2
urcete inverznı matici.
1 −1 2−1 0 1−2 1 2
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1
←−+
←−−−−
2
+
∼
1 −1 2
0 -1 30 −1 6
∣∣∣∣∣∣1 0 01 1 02 0 1
←−−1+
←−−−−−−1+
∼
1 0 −10 −1 3
0 0 3
∣∣∣∣∣∣0 −1 01 1 01 −1 1
←−−1
+
| · 3 ←−+
∼
3 0 00 −1 00 0 3
∣∣∣∣∣∣1 −4 10 2 −11 −1 1
| · 1/3| · (−1)| · 1/31 0 0
0 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣1/3 −4/3 1/30 −2 11/3 −1/3 1/3
⇒ A−1 =1
3
1 −4 10 −6 31 −1 1
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 28 / 38
![Page 113: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/113.jpg)
Prıklad (vypocet inverznı matice pr. 2)
K matici A =
1 −1 2−1 0 1−2 1 2
urcete inverznı matici.
1 −1 2−1 0 1−2 1 2
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1
←−+
←−−−−
2
+
∼
1 −1 2
0 -1 30 −1 6
∣∣∣∣∣∣1 0 01 1 02 0 1
←−−1+
←−−−−−−1+
∼
1 0 −10 −1 3
0 0 3
∣∣∣∣∣∣0 −1 01 1 01 −1 1
←−−1
+
| · 3 ←−+
∼
3 0 00 −1 00 0 3
∣∣∣∣∣∣1 −4 10 2 −11 −1 1
| · 1/3| · (−1)| · 1/31 0 0
0 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣1/3 −4/3 1/30 −2 11/3 −1/3 1/3
⇒ A−1 =1
3
1 −4 10 −6 31 −1 1
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 28 / 38
![Page 114: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/114.jpg)
Prıklad (vypocet inverznı matice pr. 2)
K matici A =
1 −1 2−1 0 1−2 1 2
urcete inverznı matici.
1 −1 2−1 0 1−2 1 2
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1
←−+
←−−−−
2
+
∼
1 −1 2
0 -1 30 −1 6
∣∣∣∣∣∣1 0 01 1 02 0 1
←−−1+
←−−−−−−1+
∼
1 0 −10 −1 3
0 0 3
∣∣∣∣∣∣0 −1 01 1 01 −1 1
←−−1
+
| · 3 ←−+
∼
3 0 00 −1 00 0 3
∣∣∣∣∣∣1 −4 10 2 −11 −1 1
| · 1/3| · (−1)| · 1/3
1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣1/3 −4/3 1/30 −2 11/3 −1/3 1/3
⇒ A−1 =1
3
1 −4 10 −6 31 −1 1
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 28 / 38
![Page 115: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/115.jpg)
Prıklad (vypocet inverznı matice pr. 2)
K matici A =
1 −1 2−1 0 1−2 1 2
urcete inverznı matici.
1 −1 2−1 0 1−2 1 2
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1
←−+
←−−−−
2
+
∼
1 −1 2
0 -1 30 −1 6
∣∣∣∣∣∣1 0 01 1 02 0 1
←−−1+
←−−−−−−1+
∼
1 0 −10 −1 3
0 0 3
∣∣∣∣∣∣0 −1 01 1 01 −1 1
←−−1
+
| · 3 ←−+
∼
3 0 00 −1 00 0 3
∣∣∣∣∣∣1 −4 10 2 −11 −1 1
| · 1/3| · (−1)| · 1/31 0 0
0 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣1/3 −4/3 1/30 −2 11/3 −1/3 1/3
⇒ A−1 =1
3
1 −4 10 −6 31 −1 1
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 28 / 38
![Page 116: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/116.jpg)
Prıklad (vypocet inverznı matice pr. 2)
K matici A =
1 −1 2−1 0 1−2 1 2
urcete inverznı matici.
1 −1 2−1 0 1−2 1 2
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1
←−+
←−−−−
2
+
∼
1 −1 2
0 -1 30 −1 6
∣∣∣∣∣∣1 0 01 1 02 0 1
←−−1+
←−−−−−−1+
∼
1 0 −10 −1 3
0 0 3
∣∣∣∣∣∣0 −1 01 1 01 −1 1
←−−1
+
| · 3 ←−+
∼
3 0 00 −1 00 0 3
∣∣∣∣∣∣1 −4 10 2 −11 −1 1
| · 1/3| · (−1)| · 1/31 0 0
0 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣1/3 −4/3 1/30 −2 11/3 −1/3 1/3
⇒ A−1 =1
3
1 −4 10 −6 31 −1 1
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 28 / 38
![Page 117: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/117.jpg)
Prıklad (vypocet inverznı matice pr. 3)
K matici B =
1 2 32 −1 13 −1 2
urcete inverznı matici.
1 2 32 −1 13 −1 2
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1
←−−2+
←−−−−−
−3
+
∼
1 2 3
0 -5 −50 −7 −7
∣∣∣∣∣∣1 0 0−2 1 0−3 0 1
| 5 ←−
−7+
∼
1 2 30 −5 −50 0 0
∣∣∣∣∣∣1 0 0−2 1 0−1 −7 5
⇒ h(B) = 2
Matice B je singularnı, proto inverznı matice B−1 neexistuje.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 29 / 38
![Page 118: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/118.jpg)
Prıklad (vypocet inverznı matice pr. 3)
K matici B =
1 2 32 −1 13 −1 2
urcete inverznı matici.
1 2 32 −1 13 −1 2
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1
←−−2+
←−−−−−
−3
+
∼
1 2 3
0 -5 −50 −7 −7
∣∣∣∣∣∣1 0 0−2 1 0−3 0 1
| 5 ←−
−7+
∼
1 2 30 −5 −50 0 0
∣∣∣∣∣∣1 0 0−2 1 0−1 −7 5
⇒ h(B) = 2
Matice B je singularnı, proto inverznı matice B−1 neexistuje.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 29 / 38
![Page 119: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/119.jpg)
Prıklad (vypocet inverznı matice pr. 3)
K matici B =
1 2 32 −1 13 −1 2
urcete inverznı matici.
1 2 32 −1 13 −1 2
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1
←−−2+
←−−−−−
−3
+
∼
1 2 3
0 -5 −50 −7 −7
∣∣∣∣∣∣1 0 0−2 1 0−3 0 1
| 5 ←−
−7+
∼
1 2 30 −5 −50 0 0
∣∣∣∣∣∣1 0 0−2 1 0−1 −7 5
⇒ h(B) = 2
Matice B je singularnı, proto inverznı matice B−1 neexistuje.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 29 / 38
![Page 120: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/120.jpg)
Prıklad (vypocet inverznı matice pr. 3)
K matici B =
1 2 32 −1 13 −1 2
urcete inverznı matici.
1 2 32 −1 13 −1 2
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1
←−−2+
←−−−−−
−3
+
∼
1 2 3
0 -5 −50 −7 −7
∣∣∣∣∣∣1 0 0−2 1 0−3 0 1
| 5 ←−
−7+
∼
1 2 30 −5 −50 0 0
∣∣∣∣∣∣1 0 0−2 1 0−1 −7 5
⇒ h(B) = 2
Matice B je singularnı, proto inverznı matice B−1 neexistuje.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 29 / 38
![Page 121: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/121.jpg)
Adjungovana matice
Definice (adjungovana matice)
Necht’ A je ctvercova matice radu n. Maticı adjungovanou k matici A nazvemematici, jejız prvky se rovnajı algebraickym doplnkum prvku matice AT . Maticiadjungovanou znacıme adjA.
Algebraicke doplnky jsou k prvkum transponovane matice AT .
Poznamka (adjungovana matice)
Adjungovana matice ma tvar
adjA =
AT
11 AT12 · · · AT
1n
AT21 AT
22 · · · AT2n
......
. . ....
ATn1 AT
n2 · · · ATnn
kde AT
ij je algebraicky doplnek k prvku aij matice AT .
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 30 / 38
![Page 122: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/122.jpg)
Adjungovana matice
Definice (adjungovana matice)
Necht’ A je ctvercova matice radu n. Maticı adjungovanou k matici A nazvemematici, jejız prvky se rovnajı algebraickym doplnkum prvku matice AT . Maticiadjungovanou znacıme adjA.
Algebraicke doplnky jsou k prvkum transponovane matice AT .
Poznamka (adjungovana matice)
Adjungovana matice ma tvar
adjA =
AT
11 AT12 · · · AT
1n
AT21 AT
22 · · · AT2n
......
. . ....
ATn1 AT
n2 · · · ATnn
kde AT
ij je algebraicky doplnek k prvku aij matice AT .
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 30 / 38
![Page 123: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/123.jpg)
Adjungovana matice
Definice (adjungovana matice)
Necht’ A je ctvercova matice radu n. Maticı adjungovanou k matici A nazvemematici, jejız prvky se rovnajı algebraickym doplnkum prvku matice AT . Maticiadjungovanou znacıme adjA.
Algebraicke doplnky jsou k prvkum transponovane matice AT .
Poznamka (adjungovana matice)
Adjungovana matice ma tvar
adjA =
AT
11 AT12 · · · AT
1n
AT21 AT
22 · · · AT2n
......
. . ....
ATn1 AT
n2 · · · ATnn
kde AT
ij je algebraicky doplnek k prvku aij matice AT .
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 30 / 38
![Page 124: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/124.jpg)
Prıklad (adjungovana matice)
Urcete adjungovanou matici k matici A =
2 1 −1−1 0 23 −1 −2
.
AT =
2 −1 31 0 −1−1 2 −2
AT
11 = (−1)2∣∣∣∣ 0 −1
2 −2
∣∣∣∣ = 2 AT21 = (−1)3
∣∣∣∣ −1 32 −2
∣∣∣∣ = 4
AT12 = (−1)3
∣∣∣∣ 1 −1−1 −2
∣∣∣∣ = 3 AT22 = (−1)4
∣∣∣∣ 2 3−1 −2
∣∣∣∣ = −1AT
13 = (−1)4∣∣∣∣ 1 0−1 2
∣∣∣∣ = 2 AT23 = (−1)5
∣∣∣∣ 2 −1−1 2
∣∣∣∣ = −3AT
31 = (−1)4∣∣∣∣ −1 3
0 −1
∣∣∣∣ = 1
AT32 = (−1)5
∣∣∣∣ 2 31 −1
∣∣∣∣ = 5
AT33 = (−1)6
∣∣∣∣ 2 −11 0
∣∣∣∣ = 1
adjA =
2 3 24 −1 −31 5 1
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 31 / 38
![Page 125: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/125.jpg)
Prıklad (adjungovana matice)
Urcete adjungovanou matici k matici A =
2 1 −1−1 0 23 −1 −2
.
AT =
2 −1 31 0 −1−1 2 −2
AT11 = (−1)2
∣∣∣∣ 0 −12 −2
∣∣∣∣ = 2 AT21 = (−1)3
∣∣∣∣ −1 32 −2
∣∣∣∣ = 4
AT12 = (−1)3
∣∣∣∣ 1 −1−1 −2
∣∣∣∣ = 3 AT22 = (−1)4
∣∣∣∣ 2 3−1 −2
∣∣∣∣ = −1AT
13 = (−1)4∣∣∣∣ 1 0−1 2
∣∣∣∣ = 2 AT23 = (−1)5
∣∣∣∣ 2 −1−1 2
∣∣∣∣ = −3AT
31 = (−1)4∣∣∣∣ −1 3
0 −1
∣∣∣∣ = 1
AT32 = (−1)5
∣∣∣∣ 2 31 −1
∣∣∣∣ = 5
AT33 = (−1)6
∣∣∣∣ 2 −11 0
∣∣∣∣ = 1
adjA =
2 3 24 −1 −31 5 1
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 31 / 38
![Page 126: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/126.jpg)
Prıklad (adjungovana matice)
Urcete adjungovanou matici k matici A =
2 1 −1−1 0 23 −1 −2
.
AT =
2 −1 31 0 −1−1 2 −2
AT
11 = (−1)2∣∣∣∣ 0 −1
2 −2
∣∣∣∣ = 2 AT21 = (−1)3
∣∣∣∣ −1 32 −2
∣∣∣∣ = 4
AT12 = (−1)3
∣∣∣∣ 1 −1−1 −2
∣∣∣∣ = 3 AT22 = (−1)4
∣∣∣∣ 2 3−1 −2
∣∣∣∣ = −1AT
13 = (−1)4∣∣∣∣ 1 0−1 2
∣∣∣∣ = 2 AT23 = (−1)5
∣∣∣∣ 2 −1−1 2
∣∣∣∣ = −3
AT31 = (−1)4
∣∣∣∣ −1 30 −1
∣∣∣∣ = 1
AT32 = (−1)5
∣∣∣∣ 2 31 −1
∣∣∣∣ = 5
AT33 = (−1)6
∣∣∣∣ 2 −11 0
∣∣∣∣ = 1
adjA =
2 3 24 −1 −31 5 1
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 31 / 38
![Page 127: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/127.jpg)
Prıklad (adjungovana matice)
Urcete adjungovanou matici k matici A =
2 1 −1−1 0 23 −1 −2
.
AT =
2 −1 31 0 −1−1 2 −2
AT
11 = (−1)2∣∣∣∣ 0 −1
2 −2
∣∣∣∣ = 2 AT21 = (−1)3
∣∣∣∣ −1 32 −2
∣∣∣∣ = 4
AT12 = (−1)3
∣∣∣∣ 1 −1−1 −2
∣∣∣∣ = 3 AT22 = (−1)4
∣∣∣∣ 2 3−1 −2
∣∣∣∣ = −1AT
13 = (−1)4∣∣∣∣ 1 0−1 2
∣∣∣∣ = 2 AT23 = (−1)5
∣∣∣∣ 2 −1−1 2
∣∣∣∣ = −3AT
31 = (−1)4∣∣∣∣ −1 3
0 −1
∣∣∣∣ = 1
AT32 = (−1)5
∣∣∣∣ 2 31 −1
∣∣∣∣ = 5
AT33 = (−1)6
∣∣∣∣ 2 −11 0
∣∣∣∣ = 1
adjA =
2 3 24 −1 −31 5 1
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 31 / 38
![Page 128: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/128.jpg)
Prıklad (adjungovana matice)
Urcete adjungovanou matici k matici A =
2 1 −1−1 0 23 −1 −2
.
AT =
2 −1 31 0 −1−1 2 −2
AT
11 = (−1)2∣∣∣∣ 0 −1
2 −2
∣∣∣∣ = 2 AT21 = (−1)3
∣∣∣∣ −1 32 −2
∣∣∣∣ = 4
AT12 = (−1)3
∣∣∣∣ 1 −1−1 −2
∣∣∣∣ = 3 AT22 = (−1)4
∣∣∣∣ 2 3−1 −2
∣∣∣∣ = −1AT
13 = (−1)4∣∣∣∣ 1 0−1 2
∣∣∣∣ = 2 AT23 = (−1)5
∣∣∣∣ 2 −1−1 2
∣∣∣∣ = −3AT
31 = (−1)4∣∣∣∣ −1 3
0 −1
∣∣∣∣ = 1
AT32 = (−1)5
∣∣∣∣ 2 31 −1
∣∣∣∣ = 5
AT33 = (−1)6
∣∣∣∣ 2 −11 0
∣∣∣∣ = 1
adjA =
2 3 24 −1 −31 5 1
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 31 / 38
![Page 129: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/129.jpg)
Poznamka (Vypocet inverznı matice pomocı adjungovane matice)
Inverznı matici k regularnı matici muzeme urcit pomocı adjungovane matice nazaklade vztahu
A−1 =1
detA· adjA
Pro matice radu n > 3 je tento postup zdlouhavy, protoze je potreba spocıtatn determinantu radu (n− 1). Proto je vyhodnejsı pocıtat inverznı matici k temtomaticım transformacı matice jednotkove.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 32 / 38
![Page 130: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/130.jpg)
Poznamka (Vypocet inverznı matice pomocı adjungovane matice)
Inverznı matici k regularnı matici muzeme urcit pomocı adjungovane matice nazaklade vztahu
A−1 =1
detA· adjA
Pro matice radu n > 3 je tento postup zdlouhavy, protoze je potreba spocıtatn determinantu radu (n− 1). Proto je vyhodnejsı pocıtat inverznı matici k temtomaticım transformacı matice jednotkove.
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 32 / 38
![Page 131: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/131.jpg)
Prıklad (Vypocet inverznı matice pomocı adjungovane matice pr. 1)
K matici AAA =
(−2 53 −6
)urcete inverznı matici.
det AAA =
∣∣∣∣−2 53 −6
∣∣∣∣ = 12− 15 = −3 6= 0, AAAT =
(−2 35 −6
)AAAT
11 = (−1)1+1 · (−6) = −6, AAAT12 = (−1)1+2 · 5 = −5
AAAT21 = (−1)2+1 · 3 = −3, AAAT
22 = (−1)2+2 · (−2) = −2
Adjungovana a inverznı matice k matici AAA :
adjAAA =
(−6 −5−3 −2
)
AAA−1 = −1
3
(−6 −5−3 −2
)=
25
3
12
3
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 33 / 38
![Page 132: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/132.jpg)
Prıklad (Vypocet inverznı matice pomocı adjungovane matice pr. 2)
Urcete inverznı matici k matici A =
0 2 1−1 2 −12 −1 1
.
det A =
∣∣∣∣∣∣0 2 1−1 2 −12 −1 1
∣∣∣∣∣∣ = −5 6= 0 AT =
0 −1 22 2 −11 −1 1
AT
11 = (−1)2∣∣∣∣ 2 −1−1 1
∣∣∣∣ = 1 AT21 = (−1)3
∣∣∣∣ −1 2−1 1
∣∣∣∣ = −1AT
12 = (−1)3∣∣∣∣ 2 −1
1 1
∣∣∣∣ = −3 AT22 = (−1)4
∣∣∣∣ 0 21 1
∣∣∣∣ = −2AT
13 = (−1)4∣∣∣∣ 2 2
1 −1
∣∣∣∣ = −4 AT23 = (−1)5
∣∣∣∣ 0 −11 −1
∣∣∣∣ = −1AT
31 = (−1)4∣∣∣∣ −1 2
2 −1
∣∣∣∣ = −3AT
32 = (−1)5∣∣∣∣ 0 2
2 −1
∣∣∣∣ = 4
AT33 = (−1)6
∣∣∣∣ 0 −12 2
∣∣∣∣ = 2
A−1 = −1
5
1 −3 −4−1 −2 −1−3 4 2
=
=1
5
−1 3 41 2 13 −4 −2
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 34 / 38
![Page 133: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/133.jpg)
Prıklad (Vypocet inverznı matice pomocı adjungovane matice pr. 2)
Urcete inverznı matici k matici A =
0 2 1−1 2 −12 −1 1
.
det A =
∣∣∣∣∣∣0 2 1−1 2 −12 −1 1
∣∣∣∣∣∣ = −5 6= 0
AT =
0 −1 22 2 −11 −1 1
AT
11 = (−1)2∣∣∣∣ 2 −1−1 1
∣∣∣∣ = 1 AT21 = (−1)3
∣∣∣∣ −1 2−1 1
∣∣∣∣ = −1AT
12 = (−1)3∣∣∣∣ 2 −1
1 1
∣∣∣∣ = −3 AT22 = (−1)4
∣∣∣∣ 0 21 1
∣∣∣∣ = −2AT
13 = (−1)4∣∣∣∣ 2 2
1 −1
∣∣∣∣ = −4 AT23 = (−1)5
∣∣∣∣ 0 −11 −1
∣∣∣∣ = −1AT
31 = (−1)4∣∣∣∣ −1 2
2 −1
∣∣∣∣ = −3AT
32 = (−1)5∣∣∣∣ 0 2
2 −1
∣∣∣∣ = 4
AT33 = (−1)6
∣∣∣∣ 0 −12 2
∣∣∣∣ = 2
A−1 = −1
5
1 −3 −4−1 −2 −1−3 4 2
=
=1
5
−1 3 41 2 13 −4 −2
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 34 / 38
![Page 134: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/134.jpg)
Prıklad (Vypocet inverznı matice pomocı adjungovane matice pr. 2)
Urcete inverznı matici k matici A =
0 2 1−1 2 −12 −1 1
.
det A =
∣∣∣∣∣∣0 2 1−1 2 −12 −1 1
∣∣∣∣∣∣ = −5 6= 0 AT =
0 −1 22 2 −11 −1 1
AT11 = (−1)2
∣∣∣∣ 2 −1−1 1
∣∣∣∣ = 1 AT21 = (−1)3
∣∣∣∣ −1 2−1 1
∣∣∣∣ = −1AT
12 = (−1)3∣∣∣∣ 2 −1
1 1
∣∣∣∣ = −3 AT22 = (−1)4
∣∣∣∣ 0 21 1
∣∣∣∣ = −2AT
13 = (−1)4∣∣∣∣ 2 2
1 −1
∣∣∣∣ = −4 AT23 = (−1)5
∣∣∣∣ 0 −11 −1
∣∣∣∣ = −1AT
31 = (−1)4∣∣∣∣ −1 2
2 −1
∣∣∣∣ = −3AT
32 = (−1)5∣∣∣∣ 0 2
2 −1
∣∣∣∣ = 4
AT33 = (−1)6
∣∣∣∣ 0 −12 2
∣∣∣∣ = 2
A−1 = −1
5
1 −3 −4−1 −2 −1−3 4 2
=
=1
5
−1 3 41 2 13 −4 −2
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 34 / 38
![Page 135: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/135.jpg)
Prıklad (Vypocet inverznı matice pomocı adjungovane matice pr. 2)
Urcete inverznı matici k matici A =
0 2 1−1 2 −12 −1 1
.
det A =
∣∣∣∣∣∣0 2 1−1 2 −12 −1 1
∣∣∣∣∣∣ = −5 6= 0 AT =
0 −1 22 2 −11 −1 1
AT
11 = (−1)2∣∣∣∣ 2 −1−1 1
∣∣∣∣ = 1 AT21 = (−1)3
∣∣∣∣ −1 2−1 1
∣∣∣∣ = −1AT
12 = (−1)3∣∣∣∣ 2 −1
1 1
∣∣∣∣ = −3 AT22 = (−1)4
∣∣∣∣ 0 21 1
∣∣∣∣ = −2AT
13 = (−1)4∣∣∣∣ 2 2
1 −1
∣∣∣∣ = −4 AT23 = (−1)5
∣∣∣∣ 0 −11 −1
∣∣∣∣ = −1
AT31 = (−1)4
∣∣∣∣ −1 22 −1
∣∣∣∣ = −3AT
32 = (−1)5∣∣∣∣ 0 2
2 −1
∣∣∣∣ = 4
AT33 = (−1)6
∣∣∣∣ 0 −12 2
∣∣∣∣ = 2
A−1 = −1
5
1 −3 −4−1 −2 −1−3 4 2
=
=1
5
−1 3 41 2 13 −4 −2
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 34 / 38
![Page 136: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/136.jpg)
Prıklad (Vypocet inverznı matice pomocı adjungovane matice pr. 2)
Urcete inverznı matici k matici A =
0 2 1−1 2 −12 −1 1
.
det A =
∣∣∣∣∣∣0 2 1−1 2 −12 −1 1
∣∣∣∣∣∣ = −5 6= 0 AT =
0 −1 22 2 −11 −1 1
AT
11 = (−1)2∣∣∣∣ 2 −1−1 1
∣∣∣∣ = 1 AT21 = (−1)3
∣∣∣∣ −1 2−1 1
∣∣∣∣ = −1AT
12 = (−1)3∣∣∣∣ 2 −1
1 1
∣∣∣∣ = −3 AT22 = (−1)4
∣∣∣∣ 0 21 1
∣∣∣∣ = −2AT
13 = (−1)4∣∣∣∣ 2 2
1 −1
∣∣∣∣ = −4 AT23 = (−1)5
∣∣∣∣ 0 −11 −1
∣∣∣∣ = −1AT
31 = (−1)4∣∣∣∣ −1 2
2 −1
∣∣∣∣ = −3AT
32 = (−1)5∣∣∣∣ 0 2
2 −1
∣∣∣∣ = 4
AT33 = (−1)6
∣∣∣∣ 0 −12 2
∣∣∣∣ = 2
A−1 = −1
5
1 −3 −4−1 −2 −1−3 4 2
=
=1
5
−1 3 41 2 13 −4 −2
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 34 / 38
![Page 137: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/137.jpg)
Prıklad (Vypocet inverznı matice pomocı adjungovane matice pr. 2)
Urcete inverznı matici k matici A =
0 2 1−1 2 −12 −1 1
.
det A =
∣∣∣∣∣∣0 2 1−1 2 −12 −1 1
∣∣∣∣∣∣ = −5 6= 0 AT =
0 −1 22 2 −11 −1 1
AT
11 = (−1)2∣∣∣∣ 2 −1−1 1
∣∣∣∣ = 1 AT21 = (−1)3
∣∣∣∣ −1 2−1 1
∣∣∣∣ = −1AT
12 = (−1)3∣∣∣∣ 2 −1
1 1
∣∣∣∣ = −3 AT22 = (−1)4
∣∣∣∣ 0 21 1
∣∣∣∣ = −2AT
13 = (−1)4∣∣∣∣ 2 2
1 −1
∣∣∣∣ = −4 AT23 = (−1)5
∣∣∣∣ 0 −11 −1
∣∣∣∣ = −1AT
31 = (−1)4∣∣∣∣ −1 2
2 −1
∣∣∣∣ = −3AT
32 = (−1)5∣∣∣∣ 0 2
2 −1
∣∣∣∣ = 4
AT33 = (−1)6
∣∣∣∣ 0 −12 2
∣∣∣∣ = 2
A−1 = −1
5
1 −3 −4−1 −2 −1−3 4 2
=
=1
5
−1 3 41 2 13 −4 −2
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 34 / 38
![Page 138: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/138.jpg)
Maticove rovnice
PoznamkaRovnice, ve kterych je neznamou matice, se nazyvajı maticove rovnice.
A+O = A, O +A = A
A · I = A, I ·A = A
nasobenı matic nenı komutativnı (platı i pri vytykanı matic)
mısto delenı matic pouzıvame nasobenı inverznı maticı
A ·A−1 = I, A−1 ·A = I
Poznamka
Necht’ A je regularnı matice. Potom
A ·X = B ⇒ X = A−1 ·B (nasobenı zleva inverznı maticı)
X ·A = B ⇒ X = B ·A−1 (nasobenı zprava inverznı maticı)
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 35 / 38
![Page 139: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/139.jpg)
Maticove rovnice
PoznamkaRovnice, ve kterych je neznamou matice, se nazyvajı maticove rovnice.
A+O = A, O +A = A
A · I = A, I ·A = A
nasobenı matic nenı komutativnı (platı i pri vytykanı matic)
mısto delenı matic pouzıvame nasobenı inverznı maticı
A ·A−1 = I, A−1 ·A = I
Poznamka
Necht’ A je regularnı matice. Potom
A ·X = B ⇒ X = A−1 ·B (nasobenı zleva inverznı maticı)
X ·A = B ⇒ X = B ·A−1 (nasobenı zprava inverznı maticı)
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 35 / 38
![Page 140: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/140.jpg)
Maticove rovnice
PoznamkaRovnice, ve kterych je neznamou matice, se nazyvajı maticove rovnice.
A+O = A, O +A = A
A · I = A, I ·A = A
nasobenı matic nenı komutativnı (platı i pri vytykanı matic)
mısto delenı matic pouzıvame nasobenı inverznı maticı
A ·A−1 = I, A−1 ·A = I
Poznamka
Necht’ A je regularnı matice. Potom
A ·X = B ⇒ X = A−1 ·B (nasobenı zleva inverznı maticı)
X ·A = B ⇒ X = B ·A−1 (nasobenı zprava inverznı maticı)
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 35 / 38
![Page 141: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/141.jpg)
Prıklad (maticove rovnice pr. 1)
Reste maticovou rovnici X · (AT +B) = 2(X + I) ·B − C, je-li
A =
(0 −23 1
), B =
(2 −3−2 0
), C =
(2 8−2 1
).
X ·AT +X ·B = 2X ·B + 2I ·B − C
X ·AT −X ·B = 2B − C
X · (AT −B) = 2B − C
X · (AT −B) · (AT −B)−1 = (2B − C) · (AT −B)−1
X = (2B − C) · (AT −B)−1
(AT −B) =
(−2 60 1
), (AT −B)−1 =
1
−2
(1 −60 −2
)2B − C =
(2 −14−2 −1
), X =
1
2
(−2 −162 −14
)=
(−1 −81 −7
)
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 36 / 38
![Page 142: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/142.jpg)
Prıklad (maticove rovnice pr. 1)
Reste maticovou rovnici X · (AT +B) = 2(X + I) ·B − C, je-li
A =
(0 −23 1
), B =
(2 −3−2 0
), C =
(2 8−2 1
).
X ·AT +X ·B = 2X ·B + 2I ·B − C
X ·AT −X ·B = 2B − C
X · (AT −B) = 2B − C
X · (AT −B) · (AT −B)−1 = (2B − C) · (AT −B)−1
X = (2B − C) · (AT −B)−1
(AT −B) =
(−2 60 1
), (AT −B)−1 =
1
−2
(1 −60 −2
)2B − C =
(2 −14−2 −1
), X =
1
2
(−2 −162 −14
)=
(−1 −81 −7
)
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 36 / 38
![Page 143: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/143.jpg)
Prıklad (maticove rovnice pr. 1)
Reste maticovou rovnici X · (AT +B) = 2(X + I) ·B − C, je-li
A =
(0 −23 1
), B =
(2 −3−2 0
), C =
(2 8−2 1
).
X ·AT +X ·B = 2X ·B + 2I ·B − C
X ·AT −X ·B = 2B − C
X · (AT −B) = 2B − C
X · (AT −B) · (AT −B)−1 = (2B − C) · (AT −B)−1
X = (2B − C) · (AT −B)−1
(AT −B) =
(−2 60 1
), (AT −B)−1 =
1
−2
(1 −60 −2
)
2B − C =
(2 −14−2 −1
), X =
1
2
(−2 −162 −14
)=
(−1 −81 −7
)
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 36 / 38
![Page 144: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/144.jpg)
Prıklad (maticove rovnice pr. 1)
Reste maticovou rovnici X · (AT +B) = 2(X + I) ·B − C, je-li
A =
(0 −23 1
), B =
(2 −3−2 0
), C =
(2 8−2 1
).
X ·AT +X ·B = 2X ·B + 2I ·B − C
X ·AT −X ·B = 2B − C
X · (AT −B) = 2B − C
X · (AT −B) · (AT −B)−1 = (2B − C) · (AT −B)−1
X = (2B − C) · (AT −B)−1
(AT −B) =
(−2 60 1
), (AT −B)−1 =
1
−2
(1 −60 −2
)2B − C =
(2 −14−2 −1
), X =
1
2
(−2 −162 −14
)=
(−1 −81 −7
)
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 36 / 38
![Page 145: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/145.jpg)
Prıklad (maticove rovnice pr. 2)
Reste maticovou rovnici 2A+A ·X −X = AT + 2X, je-li
A =
(4 −25 3
).
2A+A ·X −X = AT + 2X
A ·X − 3X = AT − 2A
(A− 3I) ·X = AT − 2A
(A− 3I)−1 · (A− 3I) ·X = (A− 3I)−1 · (AT − 2A)
X = (A− 3I)−1 · (AT − 2A)
A− 3I =
(1 −25 0
), (A− 3I)−1 =
1
10
(0 2−5 1
)AT − 2A =
(−4 9−12 −3
), X =
1
10
(−24 −6
8 −48
)=
1
5
(−12 −3
4 −24
)
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 37 / 38
![Page 146: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/146.jpg)
Prıklad (maticove rovnice pr. 2)
Reste maticovou rovnici 2A+A ·X −X = AT + 2X, je-li
A =
(4 −25 3
).
2A+A ·X −X = AT + 2X
A ·X − 3X = AT − 2A
(A− 3I) ·X = AT − 2A
(A− 3I)−1 · (A− 3I) ·X = (A− 3I)−1 · (AT − 2A)
X = (A− 3I)−1 · (AT − 2A)
A− 3I =
(1 −25 0
), (A− 3I)−1 =
1
10
(0 2−5 1
)AT − 2A =
(−4 9−12 −3
), X =
1
10
(−24 −6
8 −48
)=
1
5
(−12 −3
4 −24
)
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 37 / 38
![Page 147: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/147.jpg)
Prıklad (maticove rovnice pr. 2)
Reste maticovou rovnici 2A+A ·X −X = AT + 2X, je-li
A =
(4 −25 3
).
2A+A ·X −X = AT + 2X
A ·X − 3X = AT − 2A
(A− 3I) ·X = AT − 2A
(A− 3I)−1 · (A− 3I) ·X = (A− 3I)−1 · (AT − 2A)
X = (A− 3I)−1 · (AT − 2A)
A− 3I =
(1 −25 0
), (A− 3I)−1 =
1
10
(0 2−5 1
)
AT − 2A =
(−4 9−12 −3
), X =
1
10
(−24 −6
8 −48
)=
1
5
(−12 −3
4 −24
)
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 37 / 38
![Page 148: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/148.jpg)
Prıklad (maticove rovnice pr. 2)
Reste maticovou rovnici 2A+A ·X −X = AT + 2X, je-li
A =
(4 −25 3
).
2A+A ·X −X = AT + 2X
A ·X − 3X = AT − 2A
(A− 3I) ·X = AT − 2A
(A− 3I)−1 · (A− 3I) ·X = (A− 3I)−1 · (AT − 2A)
X = (A− 3I)−1 · (AT − 2A)
A− 3I =
(1 −25 0
), (A− 3I)−1 =
1
10
(0 2−5 1
)AT − 2A =
(−4 9−12 −3
), X =
1
10
(−24 −6
8 −48
)=
1
5
(−12 −3
4 −24
)
c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 37 / 38
![Page 149: Aplikovan a matematika I - Kiwi.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/prednasky/... · 2016-11-15 · Aplikovan a matematika I Dana R hov a Mendelu Brno c Dana R hov](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5ccc377e88c9932b558b8b02/html5/thumbnails/149.jpg)
Prıklad (maticove rovnice pr. 3)
Reste maticovou rovnici AAAXXXBBB = CCC, kde
AAA =
(−3 5−2 4
), BBB =
(4 35 4
), CCC =
(−2 4−2 6
)
AAAXXXBBB = CCC
AAA−1AAAXXXBBB = AAA−1CCC
XXXBBB = AAA−1CCC
XXXBBBBBB−1 = AAA−1CCCBBB−1
XXX = AAA−1CCCBBB−1
AAA−1 =1
2
(−4 5−2 3
), BBB−1 =
(4 −3−5 4
)XXX =
1
2
(−4 5−2 3
)(−2 4−2 6
)(4 −3−5 4
)=
1
2
(−2 14−2 10
)(4 −3−5 4
)=
=
(−39 31−29 23
)c©Dana Rıhova (Mendelu Brno) Determinanty 38 / 38