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APONTAMENTOS DE VIBRAESMECNICAS
Anlise de Estruturas 2Mestrado Integrado em Engenharia Civil
&Mestrado em Engenharia Civil (Reabilitao de Edifcios)
Ano lectivo 2009/2010

Estes apontamentos foram retirados dos textos de apoio da disciplina deMecnicaAplicada II, do antigo curso de Licenciatura em Engenharia Civil, da autoria doProf. Corneliu Cismasiu.
i

Contedo
1 Vibraes mecnicas 11.1 Vibraes no amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Vibraes livres. Movimento harmnico simples . . . . .21.1.2 Vibraes foradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Vibraes amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.1 Vibraes livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2.2 Vibraes foradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
iii

Captulo 1
Vibraes mecnicas
Uma vibrao mecnica o movimento de uma partcula ou de um corpo queoscila em torno de uma posio de equilbrio.
O estudo que se segue ser limitado a sistemas com apenas um grau de liberdade.
Uma vibrao mecnica surge geralmente quando um sistema deslocado da suaposio de equilbrio estvel. Em geral, quando o sistema tende voltar sob a ac-o de foras de restituio, ultrapassa esta posio. A repetio deste processo chamado movimento oscilatrio. O intervalo de tempo necessrio para o sis-tema completar um ciclo de movimento chama-se perodo de vibrao. O nmerode ciclos por unidade de tempo define a frequncia, e o deslocamento mximodo sistema medido a partir da sua posio de equilbrio chama-se amplitude devibrao.
Vibraes:
livres: movimento mantido apenas por foras de restituio;
foradas: quando uma fora peridica aplicada ao sistema;
no amortecidas: quando se pode desprezar o atrito - o movimentocontinua indefinidamente;
amortecidas: a amplitude decresce lentamente at que, passado umcerto tempo, o movimento cessa.
1

CAPTULO 1. VIBRAES MECNICAS
1.1 Vibraes no amortecidas
1.1.1 Vibraes livres. Movimento harmnico simples
Considere-se uma partcula de massam ligada a uma mola de constante de rigi-dezk.
molaindeformada
equilbrioesttico
est
Fe
P
(a) (b) (c)
P
Fe
x
Quando a partcula se encontra na posio de equilbrio esttico (b),
Fx = 0 P Fe = 0
Mas, nesta posio, a fora elstica Fe = kest, ondeest representa a deforma-o esttica da mola, resultando
P = kest
Numa posio arbitrria (c),
Fx = max P Fe = mx
mx = P k (est + x) = P kest
0
kx
mx + kx = 0
ou, dividindo pela massa,
x + 2x = 0 com2 km
(1.1)
O movimento definido pela equao (1.1) e um movimento harmnico simples. Asoluo desta equao diferencial homognea de tipoet,
x = et x = et x = 2et
p.2 Captulo 1

1.1. VIBRAES NO AMORTECIDAS
(2 + 2
)et = 0 t 2 + 2 = 0 . . . eq. caracterstica
Como soluo da equao caracterstica
1,2 = i
a soluo da equao diferencial uma combinao linear de funes de tipoet,
x(t) = C1e1t + C2e
2t = C1eit + C2e
it
ondeC1 e C2 so constantes arbitrrias que podem ser obtidas da imposio dascondies iniciais do movimento (deslocamento e velocidade inicial).
Usando a bem conhecida frmula de Euler, que liga o nmero irracionale dasfunes trigonomtricas,
eix = cos x i sin x
a soluo da equao diferencial pode ser escrita,
x(t) = C1 (cos t i sin t) + C2 (cos t + i sin t)
x(t) = (C1 + C2) cos t + i(C2 C1) sin t = A cos t + B sin t
ondeA e B so constantes arbitrrias que podem ser obtidas da imposio dascondies iniciais.
A forma acima equivalente a
x(t) = Xm sin(t )
ondeXm e so a amplitude e o desfazamento do movimento oscilatrio, gran-dezas estas que devem ser determinadas das condies iniciais.Para mostrar que as duas formas so equivalentes, usa-se a frmula trigonom-trica,
sin(a b) = sin a cos b sin b cos a
Ento,
A cos t + B sin t = Xm sin(t ) = Xm (sin t cos sin cos t)
A cos t + B sin t = Xm sin cos t + Xm cos sint t
{
A = Xm sin B = Xm cos
Xm =
A2 + B2 =
{ + arctanA
B, seB < 0
arctanAB
, seB 0
p.3 Captulo 1

Resumindo, o movimento harmnico simples definido pela equao diferencial
x + 2x = 0
cuja soluo geral pode ter uma das seguintes formas,
x(t) = C1eit + C2e
it
x(t) = A cos t + B sin t
x(t) = Xm sin(t )Nestas equaes,
=
k
mrad/s
denomina-se por frequncia (circular) do movimento oscilatrio. O tempo neces-srio para a partcula descrever um ciclo completo chama-seperodo,
T =2
s
enquanto o nmero de ciclos descritos na unidade de tempo, denomina-se porfrequncia natural,
=1
T=
2Hz
-XM
XM
t
T
A velocidade e a acelerao da partcula resulta pela definio,
x(t) = Xm sin(t ) xmx = Xm
x(t) = Xm cos(t ) xmx = Xmx(t) = 2Xm sin(t ) = 2x(t) xmx =
2Xm
Qualquer seja a forma sob a qual apresentada a soluo da equao diferencial,esta envolve duas constantes a determinar pela imposio das condies iniciais,ou seja, o deslocamento e a velocidade inicial da partcula.
p.4 Captulo 1

Admitindo a soluo e as condies iniciais,
x(t) = Xm sin(t ) x(0) = x0 e x(0) = v0resulta, {
x(0) = x0x(0) = v0
{
Xm sin = x0Xm cos = v0
Xm =
x20+(v0
)2
= arctan x0
v0
Pndulo simples (soluo aproximada)
Seja um pndulo simples formado por uma esfera demassam ligada a uma corda de comprimentol, quepode oscilar num plano vertical. Pede-se para deter-minar o perodo das pequenas oscilaes (ngulo in-ferior 10).
Ft = mat
mg sin = ml + gl
sin = 0~P
~T
l
m
Para pequenas oscilaes,
sin + gl
= 0
(t) = m sin(t ) com =
g
lT =
2
= 2
l
g
Exerccio(Beer 19.15)Um cursor com5 kg repousa sobre uma mola, no estando ligado a ela. Ob-
serva-se que, se o cursor for empurrado para baixo180 mm ou mais, perde ocontacto com a mola depois de libertado. Determine (a) a constante de rigidez damola e (b) a posio, a velocidade e a acelerao do cursor,0.16 s aps ter sidoempurrado para baixo180 mm e , depois, libertado.
m
kmg
Fex
x0equilbrio esttico
mola indeformada
p.5 Captulo 1

Numa posio qualquerx,
mx = mg Fe = mg k(x + x0) = kx + (mg kx0)
mas tomando em conta que na posio de equilbrio esttico
mg kx0 = 0
resulta
mx + kx = 0 x + 2x = 0
k
m
A soluo da equao diferencial pose ser escrita
x(t) = C1 sin t + C2 cos t
ondeC1 e C2 so constantes arbitrrias a determinar aplicando as condies ini-ciais:
x(0) = Xm C2 = Xm
x(0) = 0 C1 = 0 x(t) = Xm cos t
A velocidade a a acelerao sero dadas por,
x(t) = Xm sin t x(t) = 2Xm cos t
(a) Sabe-se que, quando o cursor perde o contacto com a mola a sua velocidade nula e a sua acelerao a acelerao gravitacional,
x(t1) = 0 sin t = 0 t1 =
x(t1) = g 2Xm cos = 2Xm = g
2 =g
Xm=
k
m k = mg
Xm
k =5 9.81
0.18= 272.5 N/m
(b)
=
g
Xm=
9.81
0.18 7.38 rad/s
x(0.16) = 0.18 cos(7.38 0.16) 0.068 mx(0.16) = 7.38 0.18 sin(7.38 0.16) 1.23 m/s
x(0.16) = 7.382 0.18 cos(7.38 0.16) 3.73 m/s2
p.6 Captulo 1

Exerccio(Beer 19.17)
Um bloco com35 kg est apoiado pelo conjunto de molasmostrado na figura. O bloco deslocado verticalmente parabaixo e em seguida libertado. Sabendo que a amplitude domovimento resultante de45 mm, determine (a) o perodo efrequncia do movimento e (b) a velocidade e a aceleraomxima do bloco. Considerek1 = 16 kN/m,k2 = k3 =8 kN/m.
m
k1
k3k2
Determinar a constante de rigidez equivalente
posio de equilbrio (molas indeformadas)
F1
F2 F3P P
Fe
P = F1 + F2 + F3 = Fe (k1 + k2 + k3) = ke
ke = k1 + k2 + k3 = 16 + 8 + 8 = 32 kN/m
ou seja, o movimento do sistema dado equivalente ao movimento osci-latrio de um bloco de massam = 35 kg ligado auma mola de rigidezke = 32 kN/m.
(a)
=
kem
=
32000
35 30.237 rad/s
T =2
0.208 s = 1
T 4.81 Hz
(b)
x(t) = Xm sin(t )
xmx = Xm
xmx = 2Xm
xmx = 30.237 0.045 1.36 m/s
xmx = 30.2372 0.045 41.14 m/s2
p.7 Captulo 1

Exerccio(Beer 19.28)Sabe-se da mecnica dos materiais que quando uma carga esttica P aplicadana extremidadeB de uma viga encastrada com seco transversal uniforme, pro-voca uma flechaB = PL3/(3EI), em queL o comprimento da viga,E omdulo de elasticidade do material eI o momento de inrcia da seco transver-sal. Sabendo queL = 3.05 m, E = 200 GPa eI = 4.84 106 m4, determine(a) a constante de rigidez equivalente da viga e (b) a frequncia das vibraesverticais de um bloco com2313 N ligado extremidadeB da mesma viga.(Nota: 1 Pa = 1 N/m2, 1 GPa = 109 Pa)
L, EI B
A
P
B
P
ke
(a)
P = Fe = kB ke =P 3EI
PL3=
3EI
L3
ke =3 200 109 4.84 106
3.053 102.352 kN/m
(b)
=1
T=
2=
1
2
k
m=
1
2
kg
P
=1
2
102352 9.812313
3.316 Hz
Vibraes de corpos rgidos
No caso

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