apontamentos logica v02 2011 cangussu[1]

ROGÉRIO CANGUSSU DANTAS CACHICHI 4º ano - Filosofia

AAPPOONNTTAAMMEENNTTOOSS DDEE LLÓÓGGIICCAA MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA AANNOOTTAAÇÇÕÕEESS DDEE AAUULLAA EE

RREESSOOLLUUÇÇÃÃOO CCOOMMEENNTTAADDAA DDEE EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS

De Aluno para Aluno

(versão 2011)

Londrina/2011

2

A

Henrique Castelo Perez

3

ÍNDICE

Apresentação (versão 2011).................................................................................................6

Apresentação ........................................................................................................................7

Cap. 1 Cálculo Proposicional ..........................................................................................8

1.1 Introdução ..............................................................................................................8

1.2 Sintaxe I..................................................................................................................8 1.2.1 Alfabeto ...........................................................................................................9 1.2.2 Definições: expressão, fórmula atômica, fórmula .........................................10

1.2.2.1 Expressão ...............................................................................................10 1.2.2.1.1 Exercícios dados em sala no ano de 2009 ......................................11

1.2.2.1.1.1 Resposta comentada ...............................................................12 1.2.2.2 Fórmula..................................................................................................12

1.2.2.2.1 Árvore de Formação.......................................................................14 1.2.2.2.2 Exercícios dados em sala no ano de 2009 ......................................14

1.2.2.2.2.1 Resposta comentada ...............................................................15

1.3 Semântica .............................................................................................................22 1.3.1 Introdução......................................................................................................22 1.3.2 Definição de valoração ..................................................................................23 1.3.3 Tabelas de verdade ........................................................................................28 1.3.4 Noção de modelo, consistência, consequência lógica e de validade..............33

1.3.4.1 Noção de valoração modelo...................................................................34 1.3.4.2 Noção de conjunto consistente...............................................................36 1.3.4.3 Noção de consequência lógica ...............................................................37 1.3.4.4 Noção de tautologia, contradição e contingência...................................38 1.3.4.5 Exercícios dados em sala no ano de 2009..............................................40

1.3.4.5.1 Resposta comentada ao exercício 1................................................44 1.3.4.5.2 Resposta comentada ao exercício 2................................................55 1.3.4.5.3 Resposta comentada ao exercício 3................................................66 1.3.4.5.4 Resposta comentada ao exercício 4................................................71

Cap. 2 Cálculo de Predicados de 1ª ordem...................................................................82

2.1 Introdução ............................................................................................................82

2.2 Sintaxe I................................................................................................................83 2.2.1 Alfabeto .........................................................................................................83 2.2.2 Definições: expressão, fórmula atômica, fórmula .........................................84

2.2.2.1 Exercícios dados em sala no ano de 2009..............................................86 2.2.2.1.1 Resposta comentada .......................................................................87

2.3 Semântica .............................................................................................................90 2.3.1 Definição de estrutura....................................................................................90

2.3.1.1 Par ordenado ..........................................................................................90

4

2.3.1.2 Tipos de relação .....................................................................................90 2.3.1.3 Estrutura.................................................................................................91

2.3.2 Noção de atribuição, verdade, valoração, modelo, consistência, consequência lógica e de validade de argumento....................................................................................................95

2.3.3 Árvore de refutação .....................................................................................100 2.3.3.1 Regras da árvore de refutação..............................................................100

2.3.3.1.1 Uma tentativa de compreensão das regras....................................100 2.3.3.1.2 Regras para quantificadores .........................................................103 2.3.3.1.3 Síntese para memorização das regras...........................................106

2.3.3.2 Procedimento de verificação por árvore de refutação..........................107 2.3.3.2.1 Para verificar o status semântico de fórmulas ..............................107 2.3.3.2.2 Para verificar consistência de conjuntos de fórmulas...................108 2.3.3.2.3 Para descobrir consequências lógicas...........................................108 2.3.3.2.4 Vejamos passo a passo do procedimento .....................................109 2.3.3.2.5 Outros exemplos comentados.......................................................112

2.3.4 Exercícios dados em sala no ano de 2009....................................................124 2.3.4.1 Resposta comentada ao exercício 1......................................................127 2.3.4.2 Resposta comentada ao exercício 2......................................................140 2.3.4.3 Resposta comentada ao exercício 3......................................................146 2.3.4.4 Resposta comentada ao exercício 4......................................................156

Cap. 3 Sintaxe II em cálculo proposiconal e cálculo de predicados.........................183

3.1 Introdução ..........................................................................................................183

3.2 Regras primitivas de dedução natural – DN......................................................185 3.2.1 Inclusão do operador & ...............................................................................186 3.2.2 Exclusão do operador & ..............................................................................186 3.2.3 Inclusão do operador v.................................................................................186 3.2.4 Exclusão do operador v ...............................................................................187 3.2.5 Inclusão do operador →...............................................................................187 3.2.6 Exclusão do operador →..............................................................................189 3.2.7 Inclusão do operador ↔ ..............................................................................189 3.2.8 Exclusão do operador ↔ .............................................................................189 3.2.9 Inclusão do operador ~ ................................................................................190 3.2.10 Exclusão do operador ~ .............................................................................190 3.2.11 Inclusão do quantificador ∀.......................................................................190 3.2.12 Exclusão do quantificador ∀......................................................................192 3.2.13 Inclusão do quantificador ∃ .......................................................................193 3.2.14 Exclusão do quantificador ∃ ......................................................................193 3.2.15 Algumas dicas sobre as regras primitivas..................................................195

3.2.15.1 Regras que abrem hipóteses...............................................................195

3.3 Regras derivadas de dedução natural – DN ......................................................196 3.3.1 Silogismo disjuntivo – SD...........................................................................196 3.3.2 Modus Tollens – MT ...................................................................................197 3.3.3 Silogismo hipotético – SH...........................................................................197

5

3.3.4 Dilema Construtivo – DC ............................................................................198 3.3.5 Leis de De Morgan – DM............................................................................199 3.3.6 Implicação material – IM.............................................................................201 3.3.7 Dupla negação – DN....................................................................................202 3.3.8 Contradição – CT.........................................................................................203 3.3.9 Algumas dicas na DN ..................................................................................203

3.3.9.1 Dicas do prof. Mortari..........................................................................204 3.3.9.2 Outras dicas..........................................................................................205

3.4 Resolução comentada de exercícios na dedução natural (sintaxe II) ................208

Referências bibliográficas ...............................................................................................236

Índice Remissivo...............................................................................................................237

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Apresentação (versão 2011)

Depois da versão inicial deste material1, como já antecipado em seu bojo mesmo, alguns aprimoramentos foram levados a efeito, especialmente quanto à semântica do cálculo de predicados (cf. item 2.3).

Outrossim, incluíram-se na parte de sintaxe II algumas sugestões, que chamamos de dicas, para melhor desenvolvimento no trato com as regras de dedução natural (cf. item 3.3.9). Foram corrigidos alguns equívocos presentes na primeira versão (cf. item 2.3.1.3).

Ademais, a versão atual traz a resolução comentada de vários exercícios apenas mencionados na versão passada, além de novas observações e comentários a respeito de exercícios já resolvidos anteriormente e outros exercícios mais. Essa a razão pela qual a segunda versão ficou bem mais extensa, o que espero não desestimular os colegas.

Afora isso, o texto agora vem acompanhado ao final de índice remissivo elaborado com o escopo de facilitar ainda mais o manejo deste material.

Uma vez mais agradecemos enfaticamente a gentileza e dedicação do Prof. Carlos Manholi. O mesmo agradecimento direcionamos ao Prof. Joaquim José de Moraes Neto, que disponibilizou esse material na página do Projeto Acrópolis, de sua coordenação: http://www.uel.br/projetos/acropolis, simplificando o acesso ao material.

Cuido que agora se tenha uma versão, se ainda não livre de imperfeições, ao menos mais completa e melhorada que, é certo, trará maior benefício aos colegas aos quais me dirijo com o respeito e a estima de sempre.

Rogério Cangussu Janeiro/2011

1 ATENÇÃO : Não deixe de ler a apresentação à primeira versão. Lá

constam apontamentos importantes, quiçá capitais, acerca da f inal idade últ ima deste material( i ) , de seus l imites(i i ) e sobre o modo de melhor manejá-lo durante o semestre/ano let ivo ( i i i ) .

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Apresentação

Da aridez do conteúdo da matéria de lógica matemática (lógica II) adveio-me a ideia de compilar minhas anotações de aula, simplificando-as ao máximo, além de expor com comentários a resolução da maior gama possível de exercícios.

O objetivo desse texto é facilitar a compreensão dos temas nele tratados, servindo como instrumento, ou melhor, complemento em relação às aulas expositivas e às resoluções de exercícios em aula e fora dela.

Procurou-se ser o mais claro possível, optou-se por pecar pelo excesso, não pela falta. Muitas vezes seremos prolixos e repetitivos. De outro lado, o texto contém (ou procurou conter) exclusivamente o conteúdo que foi objeto das avaliações no ano de 2009, deixou-se de lado, assim, o conteúdo teórico introdutório2. Lembremos: o escopo único destas anotações é auxiliá-lo a passar na matéria de lógica II. Só isso, nada mais!

Note que ninguém quer que você aprenda lógica com esse texto, pois isso só assistindo às aulas, anotando tudo e, principalmente, praticando... Nosso objetivo é modesto!

Advirto, ainda, que do conteúdo cá apresentado aquilo que estiver de acordo e escorreito decorreu das aulas de lógica II do ano de 2009, eventuais equívocos atribuo exclusivamente à minha má compreensão do tema. É claro que, a se tratar de uma primeira versão, muitas imperfeições estão presentes. Não objetivei providenciar - nem teria razão para fazê-lo - um texto livre delas. Entretanto, com o tempo e com a ajuda de todos, espero eliminá-las paulatinamente.

Por fim, agradeço ao Prof. Carlos Manholi, o qual, gentilmente, não poupou esforços em dissipar não poucas dúvidas sempre que dele me socorri.

Aos estimados colegas,

Boa sorte! Bons estudos!

Rogério Cangussu Julho/2010

2 Há r isco de cair na prova, mas nunca caiu efet ivamente.

8

Cap. 1 Cálculo Proposicional

1.1 Introdução

Casa. Assim lançada, a palavra “casa” poderia significar muitas coisas. Veja algumas:

1. Edifício de um ou poucos andares, destinado, geralmente, a habitação; morada, vivenda, moradia, residência.

2. Lar; família. 3. Conjunto de auxiliares adjuntos a um chefe de Estado

(Casa Civil) 4. Cada uma das subdivisões duma caixa, prateleira,

colmeia, etc. 5. Espaço separado por linhas nas tabelas, tabuadas,

mapas, tabuleiros, formulários, etc. 6. Abertura por onde passa o botão; botoeira.

7. Casa decimal (sentido na matemática). (AURÉLIO, Dicionário Eletrônico, verbete “casa”.)

A linguagem natural é ambígua; diferente da formal, unívoca. Na primeira muitas dificuldades, inexistentes na segunda, decorrem da plurissignificação das palavras3. Por isso, o estudante de filosofia, por meio da linguagem formal da lógica, poderá traduzir a linguagem natural para a formal (frases→fórmulas) e, nela, livre de ambiguidades, mostrar a validade ou invalidade de determinado argumento a partir da análise das fórmulas resultantes.

1.2 Sintaxe I

A sintaxe de qualquer língua, seja natural ou formal, é constituída pelo léxico (alfabeto) e pelas regras segundo as quais esse léxico é combinado para representar as ideias, as coisas etc.

3 “A vantagem do uso de l inguagens art i f iciais, claro, é que elas têm

gramáticas precisas, e evitam as ambigüidades tão comuns nas l ínguas naturais” (MORTARI, 2001, p.350).

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1.2.1 Alfabeto

O léxico do cálculo proposicional é o seguinte:

A={P, Q, R, S, ..., &, v, →→→→, ↔↔↔↔, ~, (, )}

“A” é o conjunto dos símbolos (equivalente às letras na linguagem natural) do cálculo proposicional. Assim, designamos E(A), o conjunto de todas as expressões do cálculo proposicional.

São elementos do léxico do cálculo proposicional:

P, Q, R, S, ...: o conjunto infinito (frisem-se as reticências) de letras maiúsculas do alfabeto latino. Elas denotarão as fórmulas atômicas, base de todas as outras.

( ): sinal de pontuação. Extremamente relevantes, sobretudo para indicar a influência/eficácia (delimitar quais as fórmulas a ele submetidas) de cada operador. Os parênteses servem para distinguir os operadores principais dos secundários (como que numa hierarquia entre eles). Exemplo:

(P & Q) v R

& irradia efeitos apenas sobre P eQ

P & (Q v R)

& irradia efeitos sobre toda a fórmula

&: operador da conjunção.

v: operador da disjunção.

→: operador da implicação.

↔: operador da bi-implicação.

~: operador da negação.

Observação importante: esses (e só esses) são os símbolos linguísticos do cálculo proposicional. As vírgulas (,) por exemplo, que você viu acima, não participam do léxico do cálculo proposicional, mas são usadas para falar sobre ele, são elementos metalinguísticos.

O P E R A D O R E S

L Ó G I C O S

S Í

M B O L O S

N Ã O

L Ó G I C O S

ATENÇÃO : Note que usamos “símbolos não-lógicos” e “operadores lógicos”. Trata-se de ponto terminológico importante. Segundo ensinamento do prof. Manholi, podemos falar em “símbolos lógicos” e “símbolos não-lógicos”, mas não em “operadores não-lógicos”, pois o termo “operadores” é reservado normalmente apenas para as funções de verdade, isto é, conjunção, negação, disjunção, etc.

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Pode-se em decorrência disso dizer que o cálculo proposicional é a teoria desses cinco operadores lógicos.

1.2.2 Definições: expressão, fórmula atômica, fórmula

Aqui não serão incluídas as definições em linguagem matemática. Estas deverão ser devidamente anotadas no seu caderno a partir das aulas do prof. Manholi. Como já explicado na apresentação desse texto, tentaremos expor tudo na linguagem mais acessível possível, incluindo, por óbvio, as definições. Por isso, talvez o título mais adequado para esse item fosse “Significações (ou noções): expressão, fórmula atômica, fórmula, linguagem formal”.

Passemos ao exame de cada uma delas, então.

1.2.2.1 Expressão

Expressão do cálculo proposicional é qualquer sequência finita de elementos de A. Lembremos: A={P, Q, R, S, ..., &, v, →→→→, ↔↔↔↔, ~, (, )}.

Noutras palavras, se aparecer um elemento que não pertença a A não será uma expressão do cálculo proposicional, p.ex., algo como “[P&Q]” não é expressão, pois “[ ]” não faz parte do léxico; da mesma forma: “(P&q)” também não é, pois letras minúsculas do alfabeto latino não fazem parte do léxico; “∀xFx” igualmente não é expressão, pois nem “∀” nem “x” pertencem a A4. Agora, algo como: “(P→Q&& ↔T(HYv)()” é expressão, pois todos os elementos pertencem ao léxico, o mesmo se diga de “P→F R E G U E”5.

De outro lado, como você pôde perceber, sequências infinitas não são expressões, o que excluiria de pronto isto: “((QRS...)→(QRS...))”.

4 Você verá, adiante, que “∀xFx” não só é uma expressão, como uma

fórmula, porém do cálculo de predicados, não do cálculo proposicional. 5 Na primeira prova do ano de 2010 caiu essa expressão. A resposta correta

era que consti tui expressão do cálculo proposicional, mas não fórmula pelos motivos que veremos na sequência.

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1.2.2.1.1 Exercícios dados em sala no ano de 2009

A seguir, faço consignar o exercício apresentado em sala de aula no ano de 2009.

Determine quais das seguintes sequências simbólicas são expressões do cálculo proposicional:

a) P

b) PQ

c) ~P

d) ~PQ

e) (~pvr)

f) ((~ααααvββββ)→→→→γγγγ)

g) 3+7=10

h) HCl+NaOH→→→→NaCl+H2O

i) AUB = A

j) (Pv~Q)

k) ~(Pv~Q)

l) Pv~Q

m) P→→→→(~Rv~Q)

n) ~(~PvQ)→→→→~(~(~(Pv~R)&)→→→→S))

o) (Rv~(S↔↔↔↔~P)→→→→(~Qv~~~R)

p) ((~QvR)→→→→~P)v(P&((Q&R)))

q) x2+3y=-3z-2x

r) (~Pv~~R)→→→→(R&~S))

s) ~PQ( )~→→→→R&~↔↔↔↔

t) P~QvS

u) →→→→Q

v) P&Q→→→→

w) →→→→Q→→→→R

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x) P→→→→((Qv~R)&T →→→→(R&S))

y) ~P→→→→~~((R&~S)v~T)

z) (Q)

Para fazer o exercício basta verificar todos os símbolos, independente da ordem em que dispostos. Havendo algum fora do léxico, não é expressão.

A resposta segue abaixo:

1.2.2.1.1.1 Resposta comentada a) P E (expressão) b) PQ E (expressão) c) ~P E (expressão) d) ~PQ E (expressão) e) (~pvr) ~E (não é expressão) f) ((~ααααvββββ)→→→→γγγγ) ~E (não é expressão) g) 3+7=10 ~E (não é expressão) h) HCl+NaOH →→→→NaCl+H2O ~E (não é expressão) i) AUB = A ~E (não é expressão) j) (Pv~Q) E (expressão) k) ~(Pv~Q) E (expressão) l) Pv~Q E (expressão) m) P→→→→(~Rv~Q) E (expressão) n) ~(~PvQ) →→→→~(~(~(Pv~R)&) →→→→S)) E (expressão) o) (Rv~(S↔↔↔↔~P)→→→→(~Qv~~~R) E (expressão) p) ((~QvR) →→→→~P)v(P&((Q&R))) E (expressão) q) x 2+3y=-3z-2x ~E (não é expressão) r) (~Pv~~R) →→→→(R&~S)) E (expressão) s) ~PQ( )~→→→→R&~↔↔↔↔ E (expressão) t) P~QvS E (expressão) u) →→→→Q E (expressão) v) P&Q →→→→ E (expressão) w) →→→→Q→→→→R E (expressão) x) P→→→→((Qv~R)&T →→→→(R&S)) E (expressão) y) ~P→→→→~~((R&~S)v~T) E (expressão) z) (Q) E (expressão)

Note-se na letra h que “HCl+NaOH→NaCl+H2O” só não é expressão por conta dos seguintes elementos: l, +, a, 2, inexistentes no léxico. O que significa que algo como “HCNOH→NCHO” deve ser tido como expressão do cálculo proposicional!

1.2.2.2 Fórmula

Visto o conceito de expressão, vejamos o de fórmula.

O prof. Manholi apresentou uma definição recursiva a partir do

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conceito de fórmula atômica, isto é, apresentado o que é uma fórmula atômica, a definição dá critérios para se chegar a todas as outras fórmulas. Será importante tê-la presente aqui, pois ela trará cláusulas importantes, que deverão ser mencionadas na resolução dos exercícios pela árvore de formação da qual a explicação será dada na sequência.

Na definição do prof. Manholi:

Cláusula 1 : fórmula atômica do cálculo proposicional é qualquer expressão α que tenha a forma: P, Q, R, S, ...;

Cláusula 2 : se α é fórmula, então ~α também é. Diz-se apenas que a negação de uma fórmula é uma fórmula;

Cláusula 3 : se α e β são fórmulas então (α&β), (αvβ), (α→β), (α↔β) também são. Ou seja: dadas duas fórmulas, podemos obter outras (fórmulas moleculares) por meio de operadores lógicos.

Assim, “PQ” é expressão do cálculo proposicional, mas não é fórmula atômica, pois contém duas letras maiúsculas sem conector lógico, o que infringe as disposições das cl. 1 e 3. Algo como “P~” é expressão, porém não é fórmula, pois o modelo da cl.2 exige que o operador da negação venha antes “~P”. Da mesma forma, “P(&Q)” é expressão, mas não fórmula por dois motivos: a)falta operador entre “P” e “(&Q)” – viola cl.3; b) “(&Q)” não é fórmula porque falta a atômica “(?&Q)” – viola cl.3.

Outros exemplos:

(i)se α=P e β=Q, serão fórmulas: P, Q, ~P, ~Q, P&Q, PvQ, P→Q, P↔↔↔↔Q;

(ii)se α=(P&R) e β=Q, serão fórmulas: P&R, Q, ~(P&R), ~Q, (P&R)&Q, (P&R)vQ, (P&R)→Q, (P&R)↔↔↔↔Q;

(iii)se α=P e β=(Q→S), serão fórmulas: P, (Q→S), ~P, ~(Q→S), P&(Q→S), Pv(Q→S), P→(Q→S), P↔↔↔↔(Q→S);

Em “(P&R)&Q”, temos a fórmula atômica “Q” e sub-fórmula molecular “(P&R)” , que por sua vez é composta de duas outras fórmulas atômicas: P e R.

Com efeito, será fórmula algo assim:

((T&R)→S)→((H&Q)v(P→(Q&((((P→Q)&T)↔↔↔↔H)vR))))

Para cada parêntese aberto, haverá um fechado!

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1.2.2.2.1 Árvore de Formação

Trata-se de procedimento para provar que as expressões do cálculo proposicional são fórmulas. A ideia é ir decompondo a fórmula até chegar nas atômicas e depois demonstrar em cada etapa que ela obedece à definição de fórmula. Vejamos:

(P↔↔↔↔~Q)

Árvore de formação:

(P↔↔↔↔~Q)

P ~Q

Q

Prova de que P↔~Q que é fórmula:

1)Q é fórmula, cl.1;

2)P é fórmula, cl.1;

3)~Q é fórmula, cl.2, l.1.

4)P↔~Q é fórmula, cl.3, ll.2,3.

1.2.2.2.2 Exercícios dados em sala no ano de 2009

Utilizando a mesma lista do item 1.2.2.1.1 supra, determine quais das expressões ali constantes são fórmulas do cálculo proposicional.

Para fazer o exercício basta:

a)separar todas as expressões do cálculo proposicional encontradas;

b)analisar cada uma delas à vista das cláusulas 1-3 da definição de fórmula, indicando, em caso de não atendimento, qual a cláusula violada, procedendo, quando possível, a árvore de formação.

A resposta segue na próxima página.

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1.2.2.2.2.1 Resposta comentada

P F (fórmula) PQ ~F (não é fórmula) ~P F (fórmula) ~PQ ~F (não é fórmula) (Pv~Q) F (fórmula) ~(Pv~Q) F (fórmula) Pv~Q F (fórmula) P→→→→(~Rv~Q) F (fórmula) ~(~PvQ)→→→→~(~(~(Pv~R)&) →→→→S)) ~F (não é fórmula) (Rv~(S↔↔↔↔~P)→→→→(~Qv~~~R) ~F (não é fórmula) ((~QvR)→→→→~P)v(P&((Q&R))) ~F (não é fórmula) (~Pv~~R)→→→→(R&~S)) ~F (não é fórmula) ~PQ( )~→→→→R&~↔↔↔↔ ~F (não é fórmula) P~QvS ~F (não é fórmula) →→→→Q ~F (não é fórmula) P&Q→→→→ ~F (não é fórmula) →→→→Q→→→→R ~F (não é fórmula) P→→→→((Qv~R)&T →→→→(R&S)) ~F (não é fórmula) ~P→→→→~~((R&~S)v~T) F (fórmula) (Q) ~F (não é fórmula)

JUSTIFICATIVAS PARA AS EXPRESSÕES QUE NÃO SÃO FÓRMULAS:

PQ não é fórmula, por falta de operador, viola cl.3. P&Q é fórmula. ~PQ não é fórmula, por falta de operador, viola cl.3. ~P→Q é fórmula. ~(~PvQ)→→→→~(~(~(Pv~R)&)→→→→S)) não é fórmula, por excesso de operador e de parênteses, viola cl3. ~(~PvQ)→~(~(~(Pv~R)→S)) e ~(~PvQ)→~(~(~(Pv~R)&S)) são fórmulas. (Rv~(S↔↔↔↔~P)→→→→(~Qv~~~R) não é fórmula, por falta de parênteses, viola cl.3. (Rv~(S↔~P))→(~Qv~~~R) é fórmula. ((~QvR)→→→→~P)v(P&((Q&R))) não é fórmula, por excesso de parênteses, viola cl.3. ((~QvR)→~P)v(P&(Q&R)) é fórmula. (~Pv~~R)→→→→(R&~S)) não é fórmula, por falta de parênteses, viola cl.3. ((~Pv~~R)→(R&~S)) é fórmula.

Note-se que também, por concessão convencional, (~Pv~~R)→(R&~S) também seria fórmula. É que os parênteses externos podem ser dispensados. Assim: P→Q

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e (P→Q) são fórmulas. Em conclusão, a justificativa para a expressão (~Pv~~R)→→→→(R&~S)) não ser fórmula poderia ser também excesso de parênteses.

~PQ( )~→→→→R&~↔↔↔↔ não é fórmula, por excesso de operador, uso indevido de parênteses e de operadores, viola cl.1 e 3. Note alguns problemas na expressão que a impedem de ser fórmula: ~PQ, viola cl.3; ( ) viola cl.3; ~→ viola cl. 3; →R& viola cl.3, ~↔ viola cl. 3. P~QvS não é fórmula, por falta de parênteses e de operador, viola cl.3. Observe que entre P~Q falta um operador (p.ex. &), bem como parênteses que poderiam estar entre (P&~Q)vS ou entre P&(~QvS). →→→→Q não é fórmula, por excesso de operadores, viola cl.3. Q seria fórmula atômica. P&Q→→→→ não é fórmula, por excesso de operadores, viola cl.3. P&Q seria fórmula. →→→→Q→→→→R não é fórmula, por excesso de operadores, viola cl.3. Q→R é fórmula. P→→→→((Qv~R)&T→→→→(R&S)) não é fórmula, por falta de parênteses, viola cl.3. Verifique P→((Qv~R)&(T→(R&S))) é fórmula. (Q) não é fórmula, por excesso de parênteses, viola cl. 1 e 3. Q é fórmula.

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JUSTIFICATIVA PARA AS EXPRESSÕES QUE SÃO FÓRMULAS:

P

Árvore de formação

P

Prova:

1)P é fórmula, cl.1.

~P


~P

P

Prova:


2)~P é fórmula, cl.2, l.1.

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(Pv~Q)


(Pv~Q)

P ~Q

Q

Prova:



3)~Q é fórmula, cl.2, l.1;

4)Pv~Q é fórmula, cl.3, ll.2,3.

~(Pv~Q)


~(Pv~Q)

(Pv~Q)

P ~Q

Q

Prova:




4)Pv~Q é fórmula, cl.3, ll.2,3;

5)~(Pv~Q) é fórmula, cl.2, l.4.

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Pv~Q


Pv~Q

P ~Q

Q

Prova:




4)Pv~Q é fórmula, cl.3, ll.2,3.

P→→→→(~Rv~Q)


P→(~Rv~Q)

P (~Rv~Q)

~R ~Q

R Q

Prova:

1)R é fórmula, cl.1;



20

4)~R é fórmula, cl.2, l.1;

5)(~Rv~Q) é fórmula, cl.3, ll.3,4;


7)P→(~Rv~Q) é fórmula, cl.3, ll.5,6.

~P→→→→~~((R&~S)v~T)


~P→~~((R&~S)v~T)

~P ~~((R&~S)v~T)

P ~((R&~S)v~T)

(R&~S)v~T

(R&~S) ~T

R ~S T

S

Prova:

1)S é fórmula, cl.1;

2)R é fórmula, cl.1;

3)T é fórmula, cl.1;

4)~S é fórmula, cl.2, l.1;

5)(R&~S) é fórmula, cl.3, ll.2,4;

6)~T é fórmula, cl.2, l.3;

7)(R&~S)v~T é fórmula, cl.3, ll.5,6;

8)~((R&~S)v~T) é fórmula, cl.2, l.7;

21


10)~~((R&~S)v~T) é fórmula, cl.2, l.8;

11)~P é fórmula, cl.2, l.9;

12)~P→~~((R&~S)v~T) é fórmula, cl.3, ll.10,11.

22

1.3 Semântica

1.3.1 Introdução

Vista a sintática do cálculo proposicional, a semântica refere-se ao significado das fórmulas. Todavia, por significado não se entenda nada mais que o valor de verdade da fórmula ou do argumento, isto é sua valoração. Três princípios informam-na: o da extensionalidade, o da bivalência, o da composicionalidade.

Quando se fala em “significado das fórmulas”, em virtude do princípio da extensionalidade, nada mais se quer designar senão seu valor de verdade: verdadeiro ou falso. Exclui-se, pois, qualquer relação com o mundo real. “P v ~P” será sempre verdadeiro, como veremos abaixo, ainda que “P” denote “cavalo-de-três-pés ama mula-sem-cabeça”. E preste atenção: o verdadeiro não quer dizer verdadeiro no sentido de corresponder ao mundo real, mas apenas um de dois, ou um ou outro, 1 ou 0... Na linguagem formal da lógica clássica há dois valores, que podemos (ou poderíamos) “apelidar” verdadeiro/falso; 1/0; batatinha/cenourinha. O importante é que só haja dois e apenas dois e que a cada fórmula seja atribuída um (e apenas um) desses valores.

Ora, se uma fórmula ou é verdadeira ou falsa, sem que possa haver outra alternativa, temos uma bivalência. Pois é: trata-se do princípio da bivalência, só há duas valências, exclui-se uma terceira (verdadeira e falsa, quase verdadeira).

Para saber o significado de uma frase, precisamos saber, primeiro, o das palavras6, porque é com base no significado delas que construímos o significado da frase, depois do discurso. Esse é o sentido do princípio da composicionalidade, por meio do qual o valor de verdade (significado) de uma fórmula é aferido a partir do valor de verdade de suas subfórmulas.

Mas como, possuindo a valoração da fórmula atômica, podemos saber a daquela na qual ela está inserida? Um exemplo: se P é verdadeiro (valoração 1), então ~P será falso (valoração 0). Para que P&Q seja verdadeiro, é preciso que ambos P e Q também o sejam. Para que PvQ seja verdadeira, basta que um deles P ou Q seja também... Essa intuitiva noção é precisada na definição de valoração, que vamos mencionar pois sem ela não podemos prosseguir.

6 E lembre-se: as palavras são formadas de sí labas; as sí labas, de letras.

23

1.3.2 Definição de valoração

Não registraremos a definição dada pelo prof. Manholi em sala, pois você deverá anotar durante as aulas. Aqui, para nosso objetivo, vamos apenas consigná-la informalmente.

Valoração é uma FUNÇÃO.

Mas...que é uma função?7 Nada mais que uma especial relação entre conjuntos. Especial porque se dá entre dois conjuntos, um deles é o domínio e o outro o contradomínio. Para cada elemento do domínio é atribuído (e essa é uma palavra chave!) um elemento do conjunto do contradomínio. Sendo que: i)nenhum elemento do domínio pode ficar sem o correspondente no conjunto do contradomínio; ii)nenhum elemento do domínio pode ter mais de um único correspondente (embora algum elemento do contradomínio possa corresponder a mais de um do domínio).

Assim, se o conjunto domínio é {eu, você} e o contradomínio {minha namorada, sua(seu) namorada(o)}, então teríamos a seguinte função:

domínio contradomínio

eu sua(seu) namorada(o)

você minha namorada

7 Desculpe-me se est iver sendo muito elementar. É que isso não me pareceu

evidente no ano de 2009.

24

Note duas coisas: a)ninguém ficou solteiro; b)minha namorada poderia ficar com você, desde que você não ficasse com a sua(seu) namorada(o):




O que segue não seria uma função, porque um elemento do domínio teria duas imagens (obs: dizemos imagem o elemento do contradomínio ao qual corresponde ao menos um elemento do domínio).




Da mesma forma que você não pode ficar com sua(seu) namorada(o) e, também, com a minha namorada ao mesmo tempo; uma fórmula também não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo (“ter dois namorados”) - p. da bivalência.

Mas, deixando de lado o assunto relacionamentos, é oportuno explicitar o que objetivamos dizer com a afirmação de que valoração é uma função e, sendo, destacar entre quais conjuntos essa relação se estabelece.

N

Ã

O

É

F

U

N

Ç

Ã

O

25

Com essa explicação, queremos dizer-lhe que estabelecer a valoração é relacionar os elementos do conjunto das fórmulas (conjunto domínio) com o conjunto das valências (que são só duas: verdadeiro ou falso. Insistimos no princípio da bivalência!).

Assim temos:

conj. das fórmulas conj. das valências

(domínio) (contradomínio)

α

β 1 (verdadeiro)

δ

γ 0 (falso)

...

Isso (e nada mais que isso) é estabelecer a valoração de uma fórmula. É atribuir-lhe uma (e única) valência dentre duas possíveis (1 ou 0).

A definição de valoração fornecerá, ainda, as cláusulas (os critérios) segundo os quais a relação entre as fórmulas e as valências (a função que é a valoração) será estabelecida. Essas cláusulas são os seguintes:

1ª cláusula: se α possui valoração 0, então ~α possuirá valoração 1. Veja no esquema:



α 1 (verdadeiro)

∼ α 0 (falso)

26

É como se a função dissesse-lhe: se a fórmula α está ligada a 1; então ligue a fórmula ~α ao 0.

2ª cláusula: se α e β possuem valoração 1, então α&β possuirá valoração 1. No esquema:



α

1 (verdadeiro)

α&β

0 (falso)

β

3ª cláusula: se α e β possuem valoração 0, então αvβ possuirá valoração 0. No esquema:



α

1 (verdadeiro)

αvβ

0 (falso)

β

27

4ª cláusula: se α possui valoração 1 e β possui valoração 0, então α →β possuirá valoração 0. No esquema:



α

1 (verdadeiro)

α→β

0 (falso)

β

5ª cláusula: se α possuir a mesma valoração de β (ou seja: ambos 1 ou ambos 0), então α↔β possuirá valoração 1. No esquema:



α

1 (verdadeiro)

α↔β

0 (falso)

β

OU

α

1 (verdadeiro)

α↔β

0 (falso)

β

28

Em síntese:

1ª cláusula: v(~αααα)=1 sse v(αααα)=0

Leia-se: a valência de ~α será 1 se e somente se (apenas) a valência de α for 0.

2ª cláusula: v(α&βα&βα&βα&β)=1 sse v(αααα)=v(ββββ)=1

Leia-se: a valência de α&β será 1 se e somente se (apenas) tanto a valência de α quanto de β for 1.

3ª cláusula: v(ααααvββββ)=0 sse v(αααα)=v(ββββ)=0

Leia-se: a valência de αvβ será 0 se e somente se (apenas) tanto a valência de α quanto de β for 0.

4ª cláusula: v(αααα→→→→ββββ)=0 sse v(αααα)=1 e v(ββββ)=0

Leia-se: a valência de (α→β) será 0 se e somente se (apenas) a valência de α for 1 e de β for 0.

5ª cláusula: v(αααα↔↔↔↔ββββ)=1 sse v(αααα)=v(ββββ)

Leia-se: a valência de (α↔β) será 1 se e somente se (apenas) a valência de α for igual à de β.

1.3.3 Tabelas de verdade

Tabela de verdade genérica:

Γ ∆

αααα ββββ α&βα&βα&βα&β ααααvββββ αααα→→→→ββββ αααα↔↔↔↔ββββ

a) 1 1 1 1 1 1

b) 1 0 0 1 0 0

c) 0 1 0 1 1 0

d) 0 0 0 0 1 1

Observe, por oportuno, que nas colunas à esquerda (Γ e ∆) devem constar apenas (frise-se: apenas) fórmulas atômicas e, abaixo, todas as combinações possíveis. Isso porque, nas colunas à direita, teremos as fórmulas das quais vamos descobrir a valência (1 ou 0; verdadeira ou falsa) em todas as

29

combinações possíveis das atômicas. Isso ficará mais claro com os exemplos. Mas antes deles, notemos o seguinte:

A tabela indica na linha “a” que, se as atômicas α e β possuem valor de verdade (chamamos de valor 1), então, pelo princípio da composicionalidade, teremos que as moleculares α&β, αα&β, αα&β, αα&β, αvβ, αβ, αβ, αβ, α→→→→β, αβ, αβ, αβ, α↔↔↔↔ββββ, possuem valor de verdade (1).

Na linha “b”, que, se α for valor 1 e β valor 0, então αααα& ββββ possui valor 0; ααααvββββ, valor 1; α α α α→→→→ββββ, valor 0000; e αααα↔↔↔↔ββββ, valor 0.

Na linha “c”, que, se α for valor 0 e β valor 1, então αααα& ββββ possui valor 0; ααααvββββ, valor 1; α α α α→→→→ββββ, valor 1; e αααα↔↔↔↔ββββ, valor 0.

Na linha “d”, que, se α for valor 0 e β valor 0, então αααα& ββββ possui valor 0; ααααvββββ, valor 0; α α α α→→→→ββββ, valor 1; e αααα↔↔↔↔ββββ, valor 1.

Tabela com o operador da negação (~):

É mais simples:

Γ

αααα ∼α∼α∼α∼α

a) 1 0

b) 0 1

Na linha “a”, que, se α for valor 1, então ~αααα possui valor 0; ao passo que na linha “b”, que, se α for valor 0, então ~αααα possui valor 1.

Repare que, ao calcularmos a valência das fórmulas moleculares de acordo com todas as valências possíveis das atômicas, teremos todas as valências possíveis das moleculares. Observe então: se α for P e β for Q, teríamos:

P Q P&Q PvQ P→→→→Q P↔↔↔↔Q

1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1

30

Mas e se tivéssemos: α como P&Q e β como Q? Bom, como agora a pouco dissemos, à esquerda só fórmulas atômicas; à direita aquelas cuja valência descobriremos com base nelas.

P Q (P&Q)&Q (P&Q)vQ (P&Q)→→→→Q (P&Q)↔↔↔↔Q

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0

0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

A leitura da tabela acima é fácil. Veremos passo-a-passo. Dela se pode extrair em primeiro lugar, que são 4 (quatro) as combinações possíveis entre as valências de P e Q:

P Q

1 1

1 0

0 1

0 0

Depois, para daí deduzirmos a valência da fórmula molecular (P&Q)&Q , precisamos: primeiro, estabelecer a valência de P e de Q, para depois estabelecermos a valência de P&Q, e, em seguida, da fórmula toda. Foi o que fizemos. Vejamos as etapas:

1º passo: estabelecer a valência de P e de Q:


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Observe que até aqui simplesmente transpomos todas as valências possíveis de P e de Q, distribuindo-as na tabela para cálculo da primeira parte da

Para obter o nº de combinações possíveis, eleve 2 ao n.º de fórmulas atômicas: P, Q: 22=4; P, Q, S: 23=8; P, Q, S, R: 24=16; P, Q, S, R, H: 25=32...

31

fórmula: (P&Q).

2º passo: estabelecer a valência de P&Q:

Com a valência de P e de Q, podemos estabelecer a de P&Q (princípio da composicionalidade), logo:

P Q (P& Q)&Q (P& Q)vQ (P& Q)→→→→Q (P& Q)↔↔↔↔Q

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lembre-se que, de acordo com a definição de valoração (cf. item 1.3.2 supra)8, no operador da conjunção (&), o valor de α&β=1 se e somente se (apenas) se a valoração de α=1 e a de β também (v(α)=v(β)=1). Isso quer dizer que P&Q só será verdadeiro na hipótese de a valoração de P=Q=1, em todas as outras será falso. Visualize, recordando:

P Q P&Q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Foi o que fizemos acima. Encontramos em todas as fórmulas a valência da sub-fórmula (P&Q).

8 O texto está repleto de referências cruzadas. Elas têm por f inal idade

favorecer uma lei tura sistemática do materia l . Portanto, não deixe de conferir todas elas, sem exceção, na medida em que aparecem no material . Para tanto, a part ir do i tem indicado, veja no índice a página, consultando (ou recordando) o ponto pert inente, depois volte à origem para prosseguir na lei tura. Dá trabalho, mas vale a pena.

32

3º passo: falta, agora, calcular a valência da fórmula inteira, mas para isso precisamos incluir na tabela as valências da atômica Q sozinha:


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

É trabalho mecânico, mas precisamos prestar muita atenção para não trocar o sinal.

4º passo: agora é só calcular a valência da fórmula total com base na valência das subfórmulas:


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(P&Q)&Q

1 1 1

0 0 0

0 0 1

0 0 0

O operador principal, como você pode ver é a & (conjunção), logo só será verdadeira se a valência de (P&Q)=Q=1; nas demais será falsa.

Para uma visão global, desta última etapa:

Note em negro as valências possíveis da fórmula inteira “(P&Q)&Q” com base na valências das sub-fórmulas “(P&Q)” e “Q”.

33


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

Veja, também, que, conforme o operador, a valência, por óbvio, acaba por variar. Assim, na valência de P=1 e de Q=0, teríamos:

v((P&Q)&Q)= 0 (falso)

v((P&Q)vQ)= 0 (falso)

v((P&Q)→Q)= 1 (verdadeiro)

v((P&Q)↔Q)= 1(verdadeiro)

Comprovando:

P Q (P&Q)& Q (P&Q)vQ (P&Q)→→→→Q (P&Q)↔↔↔↔Q

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

1.3.4 Noção de modelo, consistência, consequência lógica e de validade

Pode ocorrer de na prova o exercício pedir para o aluno indicar:

a)se determinada valoração é modelo de um certo conjunto de fórmulas;

b)se determinado conjunto de fórmulas é consistente;

c)se certa fórmula é consequência lógica de algum conjunto de fórmulas;

d)a respeito do status semântico de alguma fórmula.

Para resolver tais indagações, precisaremos expor ainda que superficialmente alguma noção de valoração modelo, conjunto consistente, consequência lógica e de tautologia, contradição e contingência. É o que

Leia-se “v((P&Q)&Q)=0” assim: valoração de (P&Q)&Q é igual a zero.

34

faremos a seguir, porém uma ressalva se faz necessária: como o próprio título já diz, queremos consignar uma mera noção, a compreensão cabal das definições e melhores explicações apenas serão alcançadas por meio das aulas do prof. Manholi.

1.3.4.1 Noção de valoração modelo

Cumpre-nos recordar que valoração é função entre o conjunto das fórmulas (domínio) e o das valências (contradomínio).

Podemos representar uma valoração modelo da seguinte forma:

conj. das fórmulas Γ conj. das valências


α

β 1 (verdadeiro)

δ

γ 0 (falso)

Notem que a característica da valoração modelo é que todas as fórmulas de Γ alcançam nela valoração 1.

Vejamos o seguinte agora:

35



P

PvQ 1 (verdadeiro)

P→(PvQ)

QvP 0 (falso)

Do esquema acima, precisamos achar uma valoração tal que todas as fórmulas de Γ sejam verdadeiras: P, PvQ, P→(PvQ), QvP. Como?

Vejamos primeiro as valorações possíveis:

P Q

v1 1 1

v2 1 0

v3 0 1

v4 0 0

No conjunto Γ acima são possíveis apenas quatro valorações: v1, v2, v3 e v4. Mas qual delas é modelo de Γ?

Analisemos cada uma delas:

P Q P PvQ P→(PvQ) QvP

v1 1 1 1 1 1 1

v2 1 0 1 1 1 1

v3 0 1 0 1 1 1

v4 0 0 0 0 1 0

Como já dito (cf. item 1.3.3), para saber o nº de valorações possíveis eleve a 2 o n.º de fórmulas atômicas do conjunto Γ. No caso: P e Q, logo 22= 4.

Utilize o procedimento das tabelas de verdade que acabamos de ver.

36

Observe, então, que são valorações modelo do conjunto Γ acima as seguintes valorações: v1 e v2. De outra parte, não são valorações modelo as v3 e v4. A primeira (v3) porque v(P)=0; a segunda (v4) porque v(P)=0, v(PvQ)=0 e v(QvP)=0. Podemos indicar assim: v1,v2╞Γ

1.3.4.2 Noção de conjunto consistente

Por sua vez, conjunto consistente é aquele no qual existe pelo menos uma valoração modelo.

Logo, o conjunto Γ acima {P, PvQ, P→(PvQ), QvP} é consistente, pois possui duas valorações modelo (v1 e v2), isto é, valorações em que todas as fórmulas obtiveram valência 1. Podemos indicar assim: v1,v2╞Γ

Como exemplo de conjunto não consistente poderíamos citar o conjunto ∆{~P, PvQ, P→(PvQ), ~QvP}, pois nenhuma das valorações possíveis constituem modelo dele:

P Q ~P PvQ P→(PvQ) ~QvP

v1 1 1 0 1 1 1

v2 1 0 0 1 1 1

v3 0 1 1 1 1 0

v4 0 0 1 0 1 1

ATENÇÃO : Vamos admitir que na prova caísse o seguinte exercício:

Verifique se os conjuntos de fórmulas abaixo são consistentes:

a)P, PvQ, P→(PvQ), QvP

b)~P, PvQ, P→(PvQ), ~QvP

A resposta é: O conjunto “a” é consistente nas valorações v1 e v2. O conjunto “b” é inconsistente.

37

1.3.4.3 Noção de consequência lógica

Uma fórmula α será consequência lógica de um argumento (conjunto de fórmulas Γ) quando obtiver valoração 1 em todas as valorações modelo do conjunto Γ. Nesse caso diz-se: Γ╞α (α é consequência lógica de Γ; ou Γ implica α). Como bem diz Motari: “Isso corresponde à ideia informal de ‘sempre que as fórmulas Γ são veradeiras, α é verdadeira’” (2001, p.149).

Retomemos o exemplo anterior: Γ{P, PvQ, P→(PvQ), QvP}.

P, PvQ, P→(PvQ), QvP╞Q&P?

Essa pergunta pode ser dita de várias maneiras:

i)Q&P é consequência lógica do conjunto Γ ?

ii)Sempre que as fórmulas do conjunto Γ forem verdadeiras, Q&P também será?

iii)Q&P obtém valoração 1 em todas as valorações modelo do conjunto Γ?

P Q P PvQ P→(PvQ) QvP Q&P

v1 1 1 1 1 1 1 1

v2 1 0 1 1 1 1 0

Note que na v1 Q&P tem valor 1, mas na v2 a valoração é 0, logo Q&P não é consequência lógica de Γ, ou Γ╞ Q&P.

P, PvQ, P→(PvQ), QvP╞Q→P?

P Q P PvQ P→(PvQ) QvP Q→P

v1 1 1 1 1 1 1 1

v2 1 0 1 1 1 1 1

Agora em ambas as valorações modelo de Γ (v1 e v2) o valor de Q→P é 1, logo Γ╞Q→P.

38

Uma observação: apenas uma tautologia pode ser consequência lógica de um conjunto Γ vazio {Ø}, assim: Ø╞P, mas Ø╞Pv~P (tautologia, cf. próx. item).

1.3.4.4 Noção de tautologia, contradição e contingência

Tautologia é atribuo de qualquer fórmula que obtenha valor 1 em qualquer valoração possível. Ex: (P v ~P).

P ~P Pv~P

v1 1 0 1

v2 0 1 1

Nas duas valorações possíveis, Pv~P obtém valor 1, o que significa que qualquer que seja o P no mundo real, Pv~P será sempre verdadeiro. É uma tautologia.

Contradição é o oposto. Trata-se de uma fórmula cujo valor é 0 em qualquer valoração possível. Ex: (P & ~P)

P P&~P

v1 1 0

v2 0 0

Ou seja, em qualquer situação do mundo real, sempre P&~P será falso.

Perceba que tautologia é não contradição ~(P&~P); contradição é não tautologia ~(Pv~P). Eis a prova:

P ~(P&~P) ~(Pv~P)

v1 1 1 0

v2 0 1 0

39

Seguindo essa linha de raciocínio, contingente será a fórmula que dependendo da valoração poderá ser 1 ou 0. Ex: P→Q

P Q P→Q

v1 1 1 1

v2 1 0 0

v3 0 1 1

v4 0 0 1

Nas valorações v1, v3 e v4 P→Q é 1; na v2, 0.

40

1.3.4.5 Exercícios dados em sala no ano de 2009

EXERCÍCIO 1: Considere os seguintes conjuntos de fórmulas:

A={P→→→→~Q, R↔↔↔↔~Q, ~Rv~S, S}

B={(PvQ)→→→→~R, ((RvS)v~P)→→→→Q, ~R}

D={~TvH, P}

Considere as seguintes valorações:

P Q R S T H

v(1) 1 0 0 1 0 0

v(2) 1 1 1 0 1 0

EXERCÍCIO 1: Determine quais dessas afirmações são corretas:

a)v1╞A

b)v1╞B

c)v1╞D

d)v2╞A

e)v2╞B

f)v2╞D

g)v1╞AUB

h)v1╞AUD

i)v1╞BUD

j)v1╞AUBUD

k)v2╞AUB

l)v2╞AUD

m)v2╞BUD

n)v2╞AUBUD

o)v1╞A∩B

Para compreender bem os enunciados, é mister consignar a seguinte noção de algumas operações entre conjuntos:

União (U): conjunto dos elementos de dois ou mais conjuntos. AUB={x/ x∈A ou x∈B};

Intersecção (∩):conjunto dos elementos que pertencem a ambos os conjuntos. A∩B={x/ x∈A e x∈B};

Diferença (-):conjunto dos elementos que pertencem a um conjunto, mas não pertencem ao outro. A-B={x/ x∈A e x∉B}.

41

p)v2╞B∩D

q)v1╞A-B

r)v2╞B-A

EXERCÍCIO 2: Verifique se os conjuntos abaixo de fórmulas são consistentes:

a)A

b)B

c)D

d)AUB

e)AUD

f)BUD

g)AUBUD

h)A∩B

i)B-D

EXERCÍCIO 3: Determine quais as seguintes afirmações são corretas:

a)A╞P

b)A╞~P

c)B╞~R&~((PVQ)&R)

d)D╞J→→→→P

e)AUD╞~Kv(M ↔↔↔↔~N)

f)A∩D╞~P

g)A∩D╞Pv~P

h)A╞Pv~P

i)B╞Pv~P

j)D╞Pv~P

42

EXERCÍCIO 4: Determine o status semântico das seguintes fórmulas9:

1) P

2) PvP

3) P↔↔↔↔~~P

4) (P&P)&P

5) (PvP)→→→→P

6) (PvP)↔↔↔↔P

7) (P&P)↔↔↔↔P

8) (((Pv~P)&P)→→→→P)↔↔↔↔~P

9) (Pv~Q)→→→→~R

10) (PvQ)→→→→(QvP)

11) (P→→→→Q)→→→→(P&~Q)

12) Pv~P

13) P→→→→P

14) ~(P&~P)

15) ((P→→→→Q)&(Q →→→→R))→→→→(P→→→→R)

16) (P&Q)↔↔↔↔(Q&P

17) (PvQ)↔↔↔↔(QvP)

18) (P↔↔↔↔Q)↔↔↔↔(Q↔↔↔↔P)

19) (P&(QvR))↔↔↔↔((P&Q)v(P&R))

20) (Pv(Q&R))↔↔↔↔((PvQ)&(PvR))

21) (P&(Q&R)) ↔↔↔↔((P&Q)&R)

22) ((P→→→→Q)→→→→R)→→→→(P→→→→(Q→→→→R))

23) (P↔↔↔↔(Q↔↔↔↔R))↔↔↔↔((P↔↔↔↔Q)↔↔↔↔R)

24) (Pv(QvR))↔↔↔↔((PvQ)vR)

25) ((PvQ)&(P→→→→R))→→→→((Q→→→→S)→→→→(RvS))

9 Além dos exercícios formulados pelo prof. Manhol i em 2009,

acrescentamos algumas tautologias indicadas em Mortari , 2001, p.146.

43

26) ((P→→→→Q)&P)→→→→Q

27) ((P→→→→Q)&~Q)→→→→~P

28) ~(P&Q)↔↔↔↔(~Pv~Q)

29) ~(PvQ)↔↔↔↔(~P&~Q)

30) ((PvQ)&~P)→→→→Q

31) (P→→→→Q)↔↔↔↔(~Q→→→→~P)

32) ((PvQ)&~P)→→→→Q

33) ((P→→→→Q)→→→→P)→→→→P

34) ~P→→→→(P→→→→Q)

35) P→→→→(Q→→→→P)

36) ((P&Q)→→→→R)↔↔↔↔((P&~R)→→→→~Q)

37) ((P&Q)→→→→R)↔↔↔↔(P→→→→(Q→→→→R))

44

RESPOSTAS AOS EXERCÍCIOS 1 A 4:

1.3.4.5.1 Resposta comentada ao exercício 1

a)v1╞A

A assertiva acima (v1╞A) significa que a valoração 1 é modelo do conjunto A. Abaixo recordemos a valoração 1 e o conjunto A:

P Q R S T H

v(1) 1 0 0 1 0 0

A={P→→→→~Q, R↔↔↔↔~Q, ~Rv~S, S}

Para descobrirmos se a afirmação está correta ou não, montaremos uma tabela na qual cada fórmula do conjunto A será submetida à valoração 1:

P Q R S T H P→→→→~Q R↔↔↔↔~Q

1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1

P Q R S T H ~Rv~S S

1 0 0 1 0 0 1 1 0 1

Valoração das fórmulas de A em v1

P→→→→~Q 1

R↔↔↔↔~Q 0

~Rv~S 1

S 1

Visualize o seguinte:

45



P→→→→~Q

R↔↔↔↔~Q 1 (verdadeiro)

~Rv~S

S 0 (falso)

Para que v1╞A, todas as setas deveriam apontar para 1 (verdadeiro).

O resultado, como se pressente, é que a valoração 1 não é modelo do conjunto A, justamente porque, segundo v1, a valoração da fórmula R↔~Q é zero.

Logo, podemos responder: a)v1╞A

Interessante destacar que se tivéssemos a negação de R↔↔↔↔~Q, então teríamos uma valoração modelo. Noutros dizeres, v1 é valoração deste conjunto:

A’={P→~Q, ~(R↔~Q), ~Rv~S, S}, ou seja, v1╞A’.

46

b)v1╞B

Seguiremos o mesmo procedimento de resolução:

P Q R S T H

v(1) 1 0 0 1 0 0

B={(PvQ)→→→→~R, ((RvS)v~P)→→→→Q, ~R}

P Q R S T H (PvQ)→→→→~R ((RvS)v~P)→→→→Q ~R

1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1

Resposta: b)v1╞B

c)v1╞D

P Q R S T H

v(1) 1 0 0 1 0 0

D={~TvH, P}

P Q R S T H ~TvH P

1 0 0 1 0 0 1 1 0 1

Agora sim! V1 é valoração de D: c)v1╞D, pois v1(~TvH)=v1(P)=1.

47

d)v2╞A

P Q R S T H

v(2) 1 1 1 0 1 0

A={P→→→→~Q, R↔↔↔↔~Q, ~Rv~S, S}

P Q R S T H P→→→→~Q R↔↔↔↔~Q

1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0

P Q R S T H ~Rv~S S

1 1 1 0 1 0 0 1 1 0

Resposta: d)v2╞A.

e)v2╞B

P Q R S T H

v(2) 1 1 1 0 1 0

B={(PvQ)→→→→~R, ((RvS)v~P)→→→→Q, ~R}


1 1 1 0 1 0 (irrelevante) (irrelevante) 0

Se v2(R)=1; então v2(~R)=0 e, quaisquer que forem as valorações das demais fórmulas, a resposta será: e)v2╞B

48

f)v2╞D

P Q R S T H

v(2) 1 1 1 0 1 0

D={~TvH, P}

P Q R S T H ~TvH P

1 1 1 0 1 0 0 0 0 1

Resposta: f)v2╞D.

g)v1╞AUB

P Q R S T H

v(1) 1 0 0 1 0 0

AUB={P→→→→~Q, R↔↔↔↔~Q, ~Rv~S, S, (PvQ)→→→→~R, ((RvS)v~P)→→→→Q, ~R}10

P Q R S T H P→→→→~Q R↔↔↔↔~Q

1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1

P Q R S T H ~Rv~S S

1 0 0 1 0 0 1 1 0 1


1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1

10 Relembrando: União (U): conjunto dos elementos de dois ou mais

conjuntos. AUB ={x/ x ∈A ou x∈B}.

49

Veja-se, a partir do exposto acima, que se v1 não é modelo de A, tampouco de B, fica fácil inferir que não o será de AUB, logo podemos responder: g)v1╞AUB

h)v1╞AUD

P Q R S T H

v(1) 1 0 0 1 0 0

AUD={P→→→→~Q, R↔↔↔↔~Q, ~Rv~S, S, ~TvH, P}

Se v1 não é valoração modelo de A, mesmo que seja de D, não será de AUD, logo:

Resposta: h)v1╞AUD.

i)v1╞BUD

P Q R S T H

v(1) 1 0 0 1 0 0

BUD={(PvQ)→→→→~R, ((RvS)v~P)→→→→Q, ~R, ~TvH, P}

A mesma coisa: se v1 não é valoração modelo de B, também não será de BUD, logo:

Resposta: i)v1╞BUD.

50

j)v1╞AUBUD

P Q R S T H

v(1) 1 0 0 1 0 0

AUBUD={P→→→→~Q, R↔↔↔↔~Q, ~Rv~S, S, (PvQ)→→→→~R, ((RvS)v~P)→→→→Q, ~R, ~TvH, P }

É isso mesmo! Se v1 não é modelo nem de A, tampouco de B, então não será modelo de AUBUD, assim podemos dizer:

Resposta: j)v1╞AUBUD.

k)v2╞AUB

P Q R S T H

v(2) 1 1 1 0 1 0

AUB={P→→→→~Q, R↔↔↔↔~Q, ~Rv~S, S, (PvQ)→→→→~R, ((RvS)v~P)→→→→Q, ~R}

Pelos mesmos motivos. Se v2 não é valoração modelo ...

Resposta: k)v2╞AUB.

51

l)v2╞AUD

P Q R S T H

v(2) 1 1 1 0 1 0

AUD={P→→→→~Q, R↔↔↔↔~Q, ~Rv~S, S, ~TvH, P}

Pelos mesmos motivos:

Resposta: l)v2╞AUD.

m)v2╞BUD

P Q R S T H

v(2) 1 1 1 0 1 0

BUD={(PvQ)→→→→~R, ((RvS)v~P)→→→→Q, ~R, ~TvH, P}

Pelos mesmos motivos:

Resposta: m)v2╞BUD.

52

n)v2╞AUBUD

P Q R S T H

v(2) 1 1 1 0 1 0

AUBUD={P→→→→~Q, R↔↔↔↔~Q, ~Rv~S, S, (PvQ)→→→→~R, ((RvS)v~P)→→→→Q, ~R, ~TvH, P}

Resposta: n)v2╞AUBUD.

o)v1╞A∩B

P Q R S T H

v(1) 1 0 0 1 0 0

A∩B={Ø}11

Aqui uma particularidade apareceu. A interseção entre os conjuntos A e B dá conjunto vazio{Ø}.

Compare os conjuntos A e B:

A={P→~Q, R↔~Q, ~Rv~S, S}

B={(PvQ)→~R, ((RvS)v~P)→Q, ~R}

Não há fórmulas comuns. Observe que “S” é fórmula só no conj.A, no conj.B é subfórmula: ((RvS)v~P)→Q.

A propósito, consigne-se que todas as valorações são modelo do conjunto vazio {Ø}, pois não há nenhuma fórmula cuja valoração que possa ser

11 Relembrando: Intersecção (∩): conjunto dos elementos que pertencem a

ambos os conjuntos. A∩B={x/ x ∈A e x∈B}.

53

falsa. No caso do conjunto vazio, como não há fórmulas, então qualquer valoração é modelo deste conjunto, logo:

Resposta: o)v1╞A∩B.

p)v2╞B∩D

P Q R S T H

v(2) 1 1 1 0 1 0

B∩D={Ø}

Pelos motivos acima (vide item “o”)

Resposta: p)v2╞B∩D.

54

q)v1╞A-B

P Q R S T H

v(1) 1 0 0 1 0 0

A-B={P→→→→~Q, R↔↔↔↔~Q, ~Rv~S, S}12

Só uma observação: o conjunto A-B é igual ao A, pois não existem elementos em B que possam ser eliminados do A.

Fossem dois conjuntos assim:

A={P, R, S}

B={S, Q, T}, então

A-B={P, R}, pois A-B={x/ x∈A e x∉B} e, também,

B-A={Q,T}, pois B-A={x/ x∈B e x∉A} !

A conclusão, então, já foi referida na letra “a”, pois, se sabemos que, v1 não é modelo de A, também não será de A-B, logo:

Resposta: q)v1╞A-B.

r)v2╞B-A

P Q R S T H

v(2) 1 1 1 0 1 0

B-A={(PvQ)→→→→~R, ((RvS)v~P)→→→→Q, ~R}

Porque B-A é igual a B, então vide letra “e” deste exercício.

Resposta: r)v2╞B-A.

12 Relembrando: Diferença (-):conjunto dos elementos que pertencem a um

conjunto, mas não pertencem ao outro. A-B ={x/ x ∈A e x∉B}.

55


Esse exercício solicitava ao aluno que verificasse a (in)consistência de conjuntos. Rememoremos, pois, os indicados no enunciado:

A={P→→→→~Q, R↔↔↔↔~Q, ~Rv~S, S}

B={(PvQ)→→→→~R, ((RvS)v~P)→→→→Q, ~R}

D={~TvH, P}

a)A

Bom, se conjunto consistente é aquele no qual existe pelo menos uma valoração modelo, precisamos verificar todas as possíveis valorações do conjunto A. Havendo alguma delas modelo, podemos parar e concluir pela consistência; caso contrário, isto é, não havendo nenhuma valoração modelo, então opinaremos pela inconsitência.

O procedimento para verificação da consistência/inconsistência será destacado passo a passo na página seguinte.

56

P Q R S P→→→→~Q R↔↔↔↔~Q ~Rv~S S v1 1 1 1 1 1 0 0 1 X v2 1 1 1 0 0 X v3 1 1 0 1 1 0 0 1 X v4 1 1 0 0 0 X v5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 X v6 1 0 1 0 0 X v7 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 X v8 1 0 0 0 0 X v9 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 X v10 0 1 1 0 0 X v11 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 v12 0 1 0 0 0 X v13 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 X v14 0 0 1 0 0 X v15 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 X v16 0 0 0 0 0 X

CONCLUSÃO: sobrou a v11, o que significa que é uma valoração modelo do conjunto A, logo ele é consistente. Há três formas de responder a questão, a critério do aluno:

OPÇÃO DE RESPOSTA 01:

v11╞A, logo A é consistente.

1º PASSO: Todas as valorações nas quais v(S)=0 já estão descartadas, pois não podem ser modelo. Logo, de início, já excluímos as valorações v2, v4, v6,v 8, v10, v12, v14, v16.

2º PASSO: Calculadas as valorações restantes para a fórmula P→~Q, outras duas foram descartadas, a saber, v1 e v3.

3º PASSO: Calculadas as valorações restantes para a fórmula R↔~Q, outras três foram descartadas, a saber, v7, v9 e v15.

4º PASSO: Calculadas as valorações restantes para a derradeira fórmula ~Rv~S, outras duas foram descartadas, a saber, v5 e v13.

57

OPÇÃO DE RESPOSTA 02: P Q R S v 0 1 0 1 é modelo. O Conj. A é consistente.

OPÇÃO DE RESPOSTA 03:

v(P)=0

v(Q)=1

v(R)=0

v(S)=1

b)B

P Q R S (PvQ)→→→→~R ((RvS)v~P)→→→→Q ~R v1 1 1 1 1 0 X v2 1 1 1 0 0 X v3 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 v4 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 v5 1 0 1 1 0 X v6 1 0 1 0 0 X v7 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 X v8 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 v9 0 1 1 1 0 X v10 0 1 1 0 0 X v11 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 v12 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 v13 0 0 1 1 0 X v14 0 0 1 0 0 X v15 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 X v16 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 X

Resposta:

v3, v4, v8, v11, v12╞B logo B é consistente.

Essa valoração é modelo de A, logo A é consistente.

58

c)D

T H P ~TvH P v1 1 1 1 0 1 1 1 v2 1 1 0 0 X v3 1 0 1 0 0 0 1 X v4 1 0 0 0 X v5 0 1 1 1 1 1 1 v6 0 1 0 0 X v7 0 0 1 1 1 0 1 v8 0 0 0 0 X

Resposta:

v1, v5, v7╞D logo D é consistente.

d)AUB

P Q R S P→→→→~Q R↔↔↔↔~Q ~Rv~S S (PvQ)→→→→~R ((RvS)v~P)→→→→Q ~R v1 1 1 1 1 0 X v2 1 1 1 0 0 X v3 1 1 0 1 1 0 0 1 X v4 1 1 0 0 0 1 X v5 1 0 1 1 0 X v6 1 0 1 0 0 X v7 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 X v8 1 0 0 0 0 1 X v9 0 1 1 1 0 X v10 0 1 1 0 0 X v11 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 v12 0 1 0 0 0 1 X v13 0 0 1 1 0 X v14 0 0 1 0 0 X v15 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 X v16 0 0 0 0 0 1 X

Neste exercício, para demonstração da consistência do conjunto AUB,

59

devemos alinhar todas as fórmulas de ambos os conjuntos e todas as fórmulas atômicas. Como são as mesmas, são as idênticas as valorações possíveis para ambos os conjuntos A e B, logo se a v11 é modelo de ambos os conjuntos, então também o será do conjunto AUB, como demonstramos acima.

Resposta:

v11╞AUB, logo AUB é consistente.

e)AUD

Com 6 fórmulas atômicas, teremos 64 valorações possíveis (26).

P Q R S T H P→→→→~Q R↔↔↔↔~Q ~Rv~S S ~TvH P v1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 X v2 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 X v3 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 X v4 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 X v5 1 1 1 0 1 1 0 1 X v6 1 1 1 0 1 0 0 1 X v7 1 1 1 0 0 1 0 1 X v8 1 1 1 0 0 0 0 1 X v9 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 X v10 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 X v11 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 X v12 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 X v13 1 1 0 0 1 1 0 1 X v14 1 1 0 0 1 0 0 1 X v15 1 1 0 0 0 1 0 1 X v16 1 1 0 0 0 0 0 1 X v17 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 X v18 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 X v19 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 X v20 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 X v21 1 0 1 0 1 1 0 1 X v22 1 0 1 0 1 0 0 1 X v23 1 0 1 0 0 1 0 1 X v24 1 0 1 0 0 0 0 1 X v25 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 v26 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 X v27 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 v28 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 v29 1 0 0 0 1 1 0 1 X v30 1 0 0 0 1 0 0 1 X

60

v31 1 0 0 0 0 1 0 1 X v32 1 0 0 0 0 0 0 1 X v33 0 1 1 1 1 1 0 X v34 0 1 1 1 1 0 0 X v35 0 1 1 1 0 1 0 X v36 0 1 1 1 0 0 0 X v37 0 1 1 0 1 1 0 X v38 0 1 1 0 1 0 0 X v39 0 1 1 0 0 1 0 X v40 0 1 1 0 0 0 0 X v41 0 1 0 1 1 1 0 X v42 0 1 0 1 1 0 0 X v43 0 1 0 1 0 1 0 X v44 0 1 0 1 0 0 0 X v45 0 1 0 0 1 1 0 X v46 0 1 0 0 1 0 0 X v47 0 1 0 0 0 1 0 X v48 0 1 0 0 0 0 0 X v49 0 0 1 1 1 1 0 X v50 0 0 1 1 1 0 0 X v51 0 0 1 1 0 1 0 X v52 0 0 1 1 0 0 0 X v53 0 0 1 0 1 1 0 X v54 0 0 1 0 1 0 0 X v55 0 0 1 0 0 1 0 X v56 0 0 1 0 0 0 0 X v57 0 0 0 1 1 1 0 X v58 0 0 0 1 1 0 0 X v59 0 0 0 1 0 1 0 X v60 0 0 0 1 0 0 0 X v61 0 0 0 0 1 1 0 X v62 0 0 0 0 1 0 0 X v63 0 0 0 0 0 1 0 X v64 0 0 0 0 0 0 0 X

Resposta:

v25, v27, v28╞AUD, logo AUD é consistente.

61

f)BUD

P Q R S T H (PvQ)→→→→~R ((RvS)v~P)→→→→Q ~R ~TvH P v1 1 1 1 1 1 1 0 1 X v2 1 1 1 1 1 0 0 1 X v3 1 1 1 1 0 1 0 1 X v4 1 1 1 1 0 0 0 1 X v5 1 1 1 0 1 1 0 1 X v6 1 1 1 0 1 0 0 1 X v7 1 1 1 0 0 1 0 1 X v8 1 1 1 0 0 0 0 1 X v9 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 v10 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 X v11 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 v12 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 v13 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 v14 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 v15 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 v16 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 v17 1 0 1 1 1 1 0 1 X v18 1 0 1 1 1 0 0 1 X v19 1 0 1 1 0 1 0 1 X v20 1 0 1 1 0 0 0 1 X v21 1 0 1 0 1 1 0 1 X v22 1 0 1 0 1 0 0 1 X v23 1 0 1 0 0 1 0 1 X v24 1 0 1 0 0 0 0 1 X v25 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 X v26 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 X v27 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 X v28 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 X v29 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 v30 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 X v31 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 v32 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 v33 0 1 1 1 1 1 0 X v34 0 1 1 1 1 0 0 X v35 0 1 1 1 0 1 0 X v36 0 1 1 1 0 0 0 X v37 0 1 1 0 1 1 0 X

62

v38 0 1 1 0 1 0 0 X v39 0 1 1 0 0 1 0 X v40 0 1 1 0 0 0 0 X v41 0 1 0 1 1 1 0 X v42 0 1 0 1 1 0 0 X v43 0 1 0 1 0 1 0 X v44 0 1 0 1 0 0 0 X v45 0 1 0 0 1 1 0 X v46 0 1 0 0 1 0 0 X v47 0 1 0 0 0 1 0 X v48 0 1 0 0 0 0 0 X v49 0 0 1 1 1 1 0 X v50 0 0 1 1 1 0 0 X v51 0 0 1 1 0 1 0 X v52 0 0 1 1 0 0 0 X v53 0 0 1 0 1 1 0 X v54 0 0 1 0 1 0 0 X v55 0 0 1 0 0 1 0 X v56 0 0 1 0 0 0 0 X v57 0 0 0 1 1 1 0 X v58 0 0 0 1 1 0 0 X v59 0 0 0 1 0 1 0 X v60 0 0 0 1 0 0 0 X v61 0 0 0 0 1 1 0 X v62 0 0 0 0 1 0 0 X v63 0 0 0 0 0 1 0 X v64 0 0 0 0 0 0 0 X

Resposta:

v9, v11, v12, v13, v14, v15, v16, v29, v31, v32╞BUD, logo BUD é consistente.

g)AUBUD

P Q R S T H (PvQ)→→→→~R ((RvS)v~P)→→→→Q ~R ~TvH P v1 1 1 1 1 1 1 0 1 X v2 1 1 1 1 1 0 0 1 X v3 1 1 1 1 0 1 0 1 X

63

v4 1 1 1 1 0 0 0 1 X v5 1 1 1 0 1 1 0 1 X v6 1 1 1 0 1 0 0 1 X v7 1 1 1 0 0 1 0 1 X v8 1 1 1 0 0 0 0 1 X v9 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 v10 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 X v11 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 v12 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 v13 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 v14 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 v15 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 v16 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 v17 1 0 1 1 1 1 0 1 X v18 1 0 1 1 1 0 0 1 X v19 1 0 1 1 0 1 0 1 X v20 1 0 1 1 0 0 0 1 X v21 1 0 1 0 1 1 0 1 X v22 1 0 1 0 1 0 0 1 X v23 1 0 1 0 0 1 0 1 X v24 1 0 1 0 0 0 0 1 X v25 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 X v26 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 X v27 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 X v28 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 X v29 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 v30 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 X v31 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 v32 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 v33 0 1 1 1 1 1 0 X v34 0 1 1 1 1 0 0 X v35 0 1 1 1 0 1 0 X v36 0 1 1 1 0 0 0 X v37 0 1 1 0 1 1 0 X v38 0 1 1 0 1 0 0 X v39 0 1 1 0 0 1 0 X v40 0 1 1 0 0 0 0 X v41 0 1 0 1 1 1 0 X v42 0 1 0 1 1 0 0 X v43 0 1 0 1 0 1 0 X v44 0 1 0 1 0 0 0 X v45 0 1 0 0 1 1 0 X

64

v46 0 1 0 0 1 0 0 X v47 0 1 0 0 0 1 0 X v48 0 1 0 0 0 0 0 X v49 0 0 1 1 1 1 0 X v50 0 0 1 1 1 0 0 X v51 0 0 1 1 0 1 0 X v52 0 0 1 1 0 0 0 X v53 0 0 1 0 1 1 0 X v54 0 0 1 0 1 0 0 X v55 0 0 1 0 0 1 0 X v56 0 0 1 0 0 0 0 X v57 0 0 0 1 1 1 0 X v58 0 0 0 1 1 0 0 X v59 0 0 0 1 0 1 0 X v60 0 0 0 1 0 0 0 X v61 0 0 0 0 1 1 0 X v62 0 0 0 0 1 0 0 X v63 0 0 0 0 0 1 0 X v64 0 0 0 0 0 0 0 X

Já fizemos BUD, acima. Vamos fazer, agora, o conjunto A para as valorações modelo de BUD:

P Q R S T H P→→→→~Q R↔↔↔↔~Q ~Rv~S S

v9 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 X v11 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 X v12 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 X v13 1 1 0 0 1 1 0 X v14 1 1 0 0 1 0 0 X v15 1 1 0 0 0 1 0 X v16 1 1 0 0 0 0 0 X v29 1 0 0 0 1 1 0 X v31 1 0 0 0 0 1 0 X v32 1 0 0 0 0 0 0 X

Observe que todas as valorações modelo de BUD não são valorações modelo de A, logo o conjunto AUBUD é INCONSISTENTE , pois nenhuma valoração possível é modelo desse conjunto.

65

h)A∩B

Novamente temos o conjunto vazio. Lembremos que A∩B={Ø} (cf. resposta ao do exercício 1 item “o”). Nesta ocasião destacou-se que todas as valorações são modelo do conjunto vazio, logo ele é CONSISTENTE.

i)B-D

O conjunto B-D={(PvQ)→~R, ((RvS)v~P)→Q, ~R}, que é igual ao conjunto B, pois todas as fórmulas deste conjunto não pertencem ao conjunto D. Se assim é, então basta a releitura da resposta ao item “b” para deduzir-se que são valorações modelo do conjunto B-D:

P Q R S v3 1 1 0 1 v4 1 1 0 0 v8 1 0 0 0 v11 0 1 0 1 v12 0 1 0 0

Se v3, v4, v8, v11, v12╞B-D, então B-D é consistente.

66


O exercício 3 traz assertivas sobre consequência lógica. Para resolvermo-lo precisamos verificar se a fórmula que se aponta como consequência é verdadeira em todas as valorações modelo do conjunto indicado. Dois pontos, entretanto, merecem destaque desde logo:

[a]diante de um conjunto vazio {Ø}, apenas uma tautologia seria consequência lógica. Explico: dizer que Ø╞a significa que a é verdadeira na dependência de nada; que a é verdadeira independente de qualquer coisa, logo só uma tautologia pode ser consequência lógica do conjunto vazio;

[b]diante de um conjunto inconsistente, qualquer fórmula é consequência lógica, porque, a não existir nenhuma valoração modelo, então qualquer que seja a fórmula a não haverá uma hipótese em que a é falsa e as premissas sejam verdadeiras [por premissas entenda-se as fórmulas pertencentes ao conjunto inconsistente].

a)A╞P

Lembremos a valoração modelo do conjunto A que apuramos no item 1.3.4.5.2 em resposta ao exercício anterior: v(P)=0, v(Q)=1, v(R)=0, v(S)=1.

Logo, P não é consequência lógica do conjunto A, pois assume valoração 0 na valoração modelo deste conjunto, logo:

A╞P

b)A╞~P

À vista do item anterior, fica fácil deduzir que ~P é consequência lógica do conjunto A, visto que na única valoração modelo deste conjunto a fórmula obtém valoração 1, logo:

A╞~P

I M P O R T A N T E

67

c)B╞~R&~((PvQ)&R)

Valorações modelo do conjunto B segundo exercício anterior:

P Q R S ~R&~((PvQ)&R) v3 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 v4 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 v8 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 v11 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 v12 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0

Note, como indicado em amarelinho, que em todas as valorações modelo do conjunto B a fórmula ~R&~((PvQ)&R) obém valoração 1, de modo que se trata de consequência lógica:

B╞~R&~((PvQ)&R)

d)D╞J→→→→P

T H P J J→→→→P v1 1 1 1 1 1 1 1 v5 0 1 1 1 1 1 1 v7 0 0 1 1 1 1 1 v1 1 1 1 0 0 1 1 v5 0 1 1 0 0 1 1 v7 0 0 1 0 0 1 1

Neste exercício sucedeu uma peculiaridade. Veja que a subfórmula J não aparecia no conjunto D, logo para cada valoração modelo deste conjunto J pode ser 1 ou 0, razão pela qual tivemos, além de incluir a fórmula à esquerda, dobrar o número de linhas para comportar as duas novas possibilidades em cada uma das valorações modelo.

Se eventualmente a explicação acima ficou complicada, há uma outra opção talvez mais simples, porém trabalhosa. Há dois passos importantes para tanto: devemos elaborar uma nova tabela de verdade incluindo a fórmula atômica que não aparece no conjunto, isto é, J (1º passo); depois checaríamos se a fórmula J→P é verdadeira em todas as valorações modelo obtidas (2º passo).

68

1º passo: T H P J ~TvH P v1 1 1 1 1 0 1 1 1 v2 1 1 1 0 0 1 1 1 v3 1 1 0 1 0 1 1 0 X v4 1 1 0 0 0 1 1 0 X v5 1 0 1 1 0 0 0 X v6 1 0 1 0 0 0 0 X v7 1 0 0 1 0 0 0 X v8 1 0 0 0 0 0 0 X v9 0 1 1 1 1 1 1 1 v10 0 1 1 0 1 1 1 1 v11 0 1 0 1 1 1 1 0 X v12 0 1 0 0 1 1 1 0 X v13 0 0 1 1 1 1 0 1 v14 0 0 1 0 1 1 0 1 v15 0 0 0 1 1 1 0 0 X v16 0 0 0 0 1 1 0 0 X

2º passo:

T H P J J→→→→P v1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 1 1 0 0 1 1 v9 0 1 1 1 1 1 1 v10 0 1 1 0 0 1 1 v13 0 0 1 1 1 1 1 v14 0 0 1 0 0 1 1

Como visto, o resultado é o mesmo:

D╞J→→→→P

69

e)AUD╞~Kv(M ↔↔↔↔~N)

As valorações modelo do conjunto AUD, como verificado anteriormente, são as seguintes:

P Q R S T H v25 1 0 0 1 1 1 v27 1 0 0 1 0 1 v28 1 0 0 1 0 0

A afirmação acima diz que a fórmula ~Kv(M↔~N) é consequência lógica desse conjunto, porém é fácil notar que nenhuma das fórmulas atômicas da suposta consequência lógica estão presentes no conjunto, o que significa que as valoraões modelo do conjunto AUD não interferirão na verdade/falsidade da consequência lógica apontada pelo enunciado do exercício.

Diante disso, cabe-nos verificar se dentre as valorações possíveis da fórmula ~Kv(M↔~N) ela é verdadeira em todas, logo a afirmação apenas será correta se a fórmula ~Kv(M↔~N) for uma tautologia.

Vejamos:

K M N ~Kv(M ↔↔↔↔~N) v1 1 1 1 0 0 1 0 0 v2 1 1 0 0 1 1 1 1 v3 1 0 1 0 1 0 1 0 v4 1 0 0 0 0 0 0 1 v5 0 1 1 1 1 1 0 0 v6 0 1 0 1 1 1 1 1 v7 0 0 1 1 1 0 1 0 v8 0 0 0 1 1 0 0 1

Da tabela acima, verifica-se que a fórmula ~Kv(M↔~N) não é uma tautologia, logo não é consequência lógica de AUD.Assim:

AUD╞~Kv(M ↔↔↔↔~N)

Sintetizando: toda vez que na fórmula a tida por consequência lógica não houver nenhuma fórmula atômica presente num conjunto G, então a só será consequência lógica deste conjunto se for uma tautologia.

E note-se: tautologia no cálculo proposicional; verdade lógica no cálculo de predicados. Leiamos a explicação do nosso prof. Manholi: “no cálculo proposicional, se a é consequência lógica de G, e não ocorre em a nenhuma variável proposicional que ocorre em alguma das fórmulas em G, então a é uma tautologia; no cálculo de predicados, se a é consequência lógica de G, e não ocorre em a nenhuma constante predicativa que ocorre em alguma das fórmulas em G, então a é uma verdade lógica.”

70

f)A∩D╞~P

Recordando os conjuntos do enunciado, temos:

A={P→~Q, R↔~Q, ~Rv~S, S}

D={~TvH, P}

Como se pressente, o conjunto A∩D é vazio, logo apenas uma tautologia poderia ser uma consequência lógica deste conjunto (para recordar, vide anotações importantes no item 1.3.4.5.3).

~P é contingente:

P ~P v1 1 0

v2 0 1

Logo:

A∩D ╞~P

g)A∩D╞Pv~P

h)A╞Pv~P

i)B╞Pv~P

j)D╞Pv~P

ATENÇÃO: Pv~P é uma tautologia, logo é conseqüência lógica de qualquer conjunto, verdadeira que é em qualquer valoração possível. Assim, todas as assertivas de “g” a “j” estão corretas.

71


Para determinar o status semântico de qualquer fórmula do cálculo proposicional, devemos montar uma tabela de verdade. Resultando a valoração 1 em todas as valorações possíveis, será uma tautologia; resultando 0, uma contradição; ocorrendo 1 em algumas e 0 em outras, então será uma contingência.

1) P

P possui duas valorações possíveis, logo é contingente. P v1 1 v2 0

2) PvP P PvP v1 1 1 1 1 v2 0 0 0 0

PvP, a exemplo de P, assume duas valorações possíveis. Na v1 PvP é 1; na v2, 0, logo a fórmula é contingente.

3) P↔↔↔↔~~P P P↔↔↔↔~~P v1 1 1 1 1 0 1 v2 0 0 1 0 1 0

Qualquer que seja a valoração de P, a fórmula P↔↔↔↔~~P possui valoração 1, logo se trata de uma tautologia. É o princípio da dupla negação.

4) (P&P)&P P (P&P)&P v1 1 1 1 1 1 1 v2 0 0 0 0 0 0

Em v1, a valoração de (P&P)&P é 1; em v2, 0. Assim, pelos motivos acima, trata-se de contingência.

72

5) (PvP)→→→→P P (PvP)→→→→P v1 1 1 1 1 1 1 v2 0 0 0 0 1 0

Intuitiva tautologia: PvP sempre implicará P.

6) (PvP)↔↔↔↔P P (PvP)↔↔↔↔P v1 1 1 1 1 1 1 v2 0 0 0 0 1 0

Tautologia. Cuida-se do princípio da “idempotência do v”, segundo Motari.

7) (P&P)↔↔↔↔P P (P&P)↔↔↔↔P v1 1 1 1 1 1 1 v2 0 0 0 0 1 0

Tautologia da “idempotência do &”.

8) (((Pv~P)&P)→→→→P)↔↔↔↔~P P (((Pv~P)&P)→→→→P)↔↔↔↔~P v1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 v2 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1

Contingência.

73

9) (Pv~Q)→→→→~R P Q R (Pv~Q)→→→→~R v1 1 1 1 1 1 0 0 0 v2 1 1 0 1 1 0 1 1 v3 1 0 1 1 1 1 0 0 v4 1 0 0 1 1 1 1 1 v5 0 1 1 0 0 0 1 0 v6 0 1 0 0 0 0 1 1 v7 0 0 1 0 1 1 0 0 v8 0 0 0 0 1 1 1 1

Contingente.

10) (PvQ)→→→→(QvP) P Q (PvQ)→→→→(QvP) v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 0 1 1 0 1 0 1 1 v3 0 1 0 1 1 1 1 1 0 v4 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Tautologia.

11) (P→→→→Q)→→→→(P&~Q) P Q (P→→→→Q)→→→→(P&~Q) v1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 v2 1 0 1 0 0 1 1 1 1 v3 0 1 0 1 1 0 0 0 0 v4 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Contingente.

12) Pv~P P Pv~P v1 1 1 1 0 v2 0 0 1 1

Tautologia. Princípio do terceiro excluído.

74

13) P→→→→P P P→→→→P v1 1 1 1 1 v2 0 0 1 0

Tautologia. Princípio da identidade.

14) ~(P&~P) P ~(P&~P) v1 1 1 1 0 0 v2 0 1 0 0 1

Tautologia. Princípio da não contradição.

15) ((P→→→→Q)&(Q →→→→R))→→→→(P→→→→R) P Q R ((P→→→→Q)&(Q →→→→R))→→→→(P→→→→R) v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 v3 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 v4 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 v5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 v6 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 v7 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 v8 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Tautologia. Silogismo hipotético.

16) (P&Q)↔↔↔↔(Q&P) P Q (P&Q)↔↔↔↔(Q&P) v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 0 1 0 0 1 0 0 1 v3 0 1 0 0 1 1 1 0 0 v4 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Tautologia. Comutatividade do &.

75

17) (PvQ)↔↔↔↔(QvP) P Q (PvQ)↔↔↔↔(QvP) v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 0 1 1 0 1 0 1 1 v3 0 1 0 1 1 1 1 1 0 v4 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Tautologia. Comutatividade do v.

18) (P↔↔↔↔Q)↔↔↔↔(Q↔↔↔↔P) P Q (P↔↔↔↔Q)↔↔↔↔(Q↔↔↔↔P) v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 0 1 0 0 1 0 0 1 v3 0 1 0 0 1 1 1 0 0 v4 0 0 0 1 0 1 0 1 0

Tautologia. Comutatividade da ↔.

19) (P&(QvR))↔↔↔↔((P&Q)v(P&R)) P Q R (P&(QvR))↔↔↔↔((P&Q)v(P&R)) v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 v3 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 v4 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 v5 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 v6 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 v7 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 v8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Tautologia. Princípio distributivo do &/v.

76

20) (Pv(Q&R))↔↔↔↔((PvQ)&(PvR)) P Q R (Pv(Q&R))↔↔↔↔((PvQ)&(PvR)) v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 v3 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 v4 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 v5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 v6 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 v7 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 v8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Tautologia. Também princípio distributivo do &/v.

21) (P&(Q&R)) ↔↔↔↔((P&Q)&R) P Q R (P&(Q&R)) ↔↔↔↔((P&Q)&R) v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 v3 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 v4 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 v5 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 v6 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 v7 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 v8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Tautologia. Princípio da associatividade do &.

22) ((P→→→→Q)→→→→R)→→→→(P→→→→(Q→→→→R)) P Q R ((P→→→→Q)→→→→R)→→→→(P→→→→(Q→→→→R)) v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 v3 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 v4 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 v5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 v6 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 v7 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 v8 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0

Tautologia. Princípio da associatividade da →.

77

23) (P↔↔↔↔(Q↔↔↔↔R))↔↔↔↔((P↔↔↔↔Q)↔↔↔↔R) P Q R (P↔↔↔↔(Q↔↔↔↔R))↔↔↔↔((P↔↔↔↔Q)↔↔↔↔R) v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 v3 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 v4 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 v5 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 v6 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 v7 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 v8 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0

Tautologia. Princípio da associatividade da ↔.

24) (Pv(QvR))↔↔↔↔((PvQ)vR) P Q R (Pv(QvR))↔↔↔↔((PvQ)vR) v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 v3 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 v4 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 v5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 v6 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 v7 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 v8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Tautologia. Princípio da associatividade do v.

78

25) ((PvQ)&(P→→→→R))→→→→((Q→→→→S)→→→→(RvS)) P Q R S ((PvQ)&(P→→→→R))→→→→((Q→→→→S)→→→→(RvS)) v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 v3 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 v4 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 v5 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 v6 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 v7 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 v8 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 v9 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v10 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 v11 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 v12 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 v13 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 v14 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 v15 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 v16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0

Tautologia. Dilema Construtivo.

26) ((P→→→→Q)&P)→→→→Q P Q ((P→→→→Q)&P)→→→→Q v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 v3 0 1 0 1 1 0 0 1 1 v4 0 0 0 1 0 0 0 1 0

Tautologia. Modus ponens.

27) ((P→→→→Q)&~Q)→→→→~P P Q ((P→→→→Q)&~Q)→→→→~P v1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 v2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 v3 0 1 0 1 1 0 0 1 1 v4 0 0 0 1 0 1 1 1 1

Tautologia. Modus tollens.

79

28) ~(P&Q)↔↔↔↔(~Pv~Q) P Q ~(P&Q)↔↔↔↔(~Pv~Q) v1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 v2 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 v3 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 v4 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1

Tautologia. Lei de De Morgan.

29) ~(PvQ)↔↔↔↔(~P&~Q) P Q ~(PvQ)↔↔↔↔(~P&~Q) v1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 v2 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 v3 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 v4 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1

Tautologia. Lei de De Morgan.

30) ((PvQ)&~P)→→→→Q P Q ((PvQ)&~P)→→→→Q v1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 v2 1 0 1 1 0 0 0 1 0 v3 0 1 0 1 1 1 1 1 1 v4 0 0 0 0 0 0 1 1 0

Tautologia.

31) (P→→→→Q)↔↔↔↔(~Q→→→→~P) P Q (P→→→→Q)↔↔↔↔(~Q→→→→~P) v1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 v2 1 0 1 0 0 1 1 0 0 v3 0 1 0 1 1 1 0 1 1 v4 0 0 0 1 0 1 1 1 1

Tautologia. Contraposição.

Essa coluna é o oposto da terceira, porque nega as valências de P&Q, em ~(P&Q).

Vide observação acima.

80

32) ((PvQ)&~P)→→→→Q P Q ((PvQ)&~P)→→→→Q v1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 v2 1 0 1 1 0 0 0 1 0 v3 0 1 0 1 1 1 1 1 1 v4 0 0 0 0 0 0 1 1 0

Tautologia. Silogismo disjuntivo.

33) ((P→→→→Q)→→→→P)→→→→P P Q ((P→→→→Q)→→→→P)→→→→P v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 0 1 0 0 1 1 1 1 v3 0 1 0 1 1 0 0 1 0 v4 0 0 0 1 0 0 0 1 0

Tautologia. Lei de Peirce.

34) ~P→→→→(P→→→→Q) P Q ~P→→→→(P→→→→Q) v1 1 1 0 1 1 1 1 v2 1 0 0 1 1 0 0 v3 0 1 1 1 0 1 1 v4 0 0 1 1 0 1 0

Tautologia. Lei de Duns Scot.

35) P→→→→(Q→→→→P) P Q P→→→→(Q→→→→P) v1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 0 1 1 0 1 1 v3 0 1 0 1 1 0 0 v4 0 0 0 1 0 1 0

Tautologia. Prefixação.

81

36) ((P&Q)→→→→R)↔↔↔↔((P&~R)→→→→~Q)

P Q R ((P&Q)→→→→R)↔↔↔↔((P&~R)→→→→~Q) v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 v2 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 v3 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 v4 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 v5 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 v6 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 v7 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 v8 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Tautologia. Antilogismo.

37) ((P&Q)→→→→R)↔↔↔↔(P→→→→(Q→→→→R))

P Q R ((P&Q)→→→→R)↔↔↔↔(P→→→→(Q→→→→R)) v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v2 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 v3 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 v4 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 v5 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 v6 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 v7 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 v8 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Tautologia. Importação/exportação.

82

Cap. 2 Cálculo de Predicados de 1ª ordem

2.1 Introdução

Em comparação com o cálculo proposicional, o cálculo de predicados de 1ªordem detém um poder muito maior de formalização da linguagem natural. Se dizemos “Sócrates é homem”, no cálculo proposicional a formalização se dá com uma simples fórmula atômica “H”; no cálculo de predicados, entretanto, usaríamos “Hs”. Note que já apareceu algo novo: um “s” minúsculo depois do “H”; trata-se de uma constante individual, que significa “Sócrates”. É que no cálculo proposicional não há espaço para formalização do interior das fórmulas atômicas, o que é possível no cálculo de predicados.

Melhor esclarecendo: no cálculo proposicional as frases “João vai à festa”, “Maria vai à festa”, “Maria é irmã de João” todas elas são formalizáveis pela a fórmula atômica “P”. Já no cálculo de predicados há maior precisão na formalização: para “João vai à festa”, usa-se “Fj”; para “Maria vai à festa”, “Fm”; e, por fim, “Maria é irmã de João”, “Imj”. Percebe-se, com isso, o maior poder de detalhamento da linguagem formal no cálculo de predicados. Objetivando as linguagens formais expressar tudo aquilo que com a linguagem natural se pode dizer, quanto maior a aptidão na tradução, tanto melhor será a linguagem formal; e nisso o cálculo de predicados sobrepõe-se ao proposicional.

Outro ponto que ressalta essa maior potencialidade do cálculo de predicados é a inexistência no cálculo proposicional de símbolos para quantidade, os chamados quantificadores. Destarte, no cálculo proposicional não há diferença na formalização quando se diz “todos os homens são mortais”, “alguns homens são mortais”. Tudo se traduz por “M”. No cálculo de predicados, além dos cinco operadores já vistos (&, v, →, ↔, ~), há mais dois justamente para exprimir a ideia de quantidade. São eles o quantificador existencial (∃) e o quantificador universal (∀).

Para dizer “alguns homens são mortais”, escreve-se: ∃x(Hx&Mx), como significado: existe ao menos um x que é homem e é mortal. De outra parte, a frase “todos os homens são mortais” seria formalizada assim: ∀x(Hx→Mx), que significa literalmente: para todo x, se x for homem, então x é mortal. Essa forma meio esquisita de dizer “todos os homens são mortais” decorre da exatidão da linguagem formal. Como já destacado (cf. 1.1), a linguagem natural é ambígua, ao passo que a formal unívoca. Observe que “∀x(Hx&Mx)” significa: tudo é homem e é mortal, o que não é verdade.

83

2.2 Sintaxe I

2.2.1 Alfabeto

O léxico do cálculo de predicados é o seguinte:

B={P, Q, R, S, ..., &, v, →→→→, ↔↔↔↔, ~, (, ), a, b, c, d, ..., x, y, w, z, ..., ∀∀∀∀, ∃∃∃∃}

Você pode notar que o léxico de que tratamos é composto de todos os símbolos do cálculo proposicional (conj. A) mais aqueles destacados em vermelho (a, b, c, d, ..., x, y, w, z, ..., ∀, ∃).

“B” será, em oposição ao “A”(v. 1.2.1 supra), o conjunto dos símbolos (equivalente às letras na linguagem natural) do cálculo de predicados. Assim, designamos E(B) o conjunto de todas as expressões do cálculo de predicados.

São elementos do léxico do cálculo de predicados todos os símbolos do cálculo proposicional, mais os seguintes:

a, b, c, d, ...: o conjunto infinito (frisem-se as reticências) de letras minúsculas do alfabeto latino até a letra v13. Elas denotarão as constantes individuais, que se referem a algo individualmente considerado (a um único indivíduo).

x, y, w, z, ...: o conjunto infinito de letras minúsculas do alfabeto latino a partir da letra x. São as variáveis individuais, que denotarão qualquer indivíduo.

∀: quantificador universal.

∃: quantificador existencial.

Ocorre que, a respeito da afirmação de que no léxico do cálculo de predicados estão presentes os símbolos do cálculo proposicional, é importante observar explicitamente que, embora os símbolos coincidam, não necessariamente todos significam o mesmo. Façamos, pois, um quadro comparativo abaixo:

13 Letra v, não operador v.

O P E R A D O R E S

L Ó G I C O S

S Í

M B O L O S

N Ã O

L Ó G I C O S

84

SÍMBOLOS C. PROPOSICIONAL C.PREDICADOS

P, Q, R, S, ... fórmulas atômicas constantes predicativas

a, b, c, d, ... não há constantes individuais

x, y, w, z, ... não há variáveis individuais

( ) sinais de pontuação idem

& operador da conjunção idem

v operador da disjunção idem

→→→→ operador da implicação idem

↔↔↔↔ operador da bi-implicação idem

~ operador da negação idem

∀∀∀∀ não há quantificador universal

∃∃∃∃ não há quantificador existencial

Mais uma vez, vale repisar: esses (e só esses) são os símbolos linguísticos do cálculo de predicados.

Também não é ocioso comentar que fórmula do tipo “P” ou “P&Q” pertencem tanto ao cálculo proposicional quanto ao cálculo de predicados, porque mesmo neste é possível a existência de constantes predicativas de grau zero, próprias para designar estados expressos por verbos impessoais14: chove, neva, troveja, amanhecer, relampaguear etc.

Pode-se em decorrência disso dizer, como fizemos no cálculo proposicional, que o cálculo de predicados é a teoria desses sete operadores lógicos (incluindo no conceito de operador os dois quantificadores).

2.2.2 Definições: expressão, fórmula atômica, fórmula

Antes de mais nada, convém passarmos novamente os olhos no item 1.2.2, pois lá tratamos do mesmo assunto por ocasião do cálculo proposicional.

14 Para relembrar: são verbos que não atr ibuem a ação a ninguém, não há

relação com uma fonte produtora, com uma causa.

Símbolos lógicos

85

Com efeito, a mesma noção de expressão do cálculo proposicional vale aqui também para o cálculo de predicados, com a diferença - intuitiva até - de neste expressão é qualquer sequência finita de elementos de B, não de A. Lembremos ambos os conjuntos para que dúvida não remanesça:

A={P, Q, R, S, ..., &, v, →→→→, ↔↔↔↔, ~, (, )}

B={P, Q, R, S, ..., &, v, →→→→, ↔↔↔↔, ~, (, ), a, b, c, d, ..., x, y, w, z, ..., ∀∀∀∀, ∃∃∃∃}

Então para uma noção de fórmula do cálculo de predicados nos valeremos da mesma ideia que expusemos no cálculo proposicional. Uma definição recursiva.

Assim é que:

Cláusula 1 : fórmula atômica do cálculo de predicados é qualquer expressão α que tenha a forma: Pa, Qb, Rc, Sd, ...;

Cláusula 2 : se α é fórmula, então ~α também é. Diz-se apenas que a negação de uma fórmula é uma fórmula;

Cláusula 3 : se α e β são fórmulas então (α&β), (αvβ), (α→β), (α↔β) também são. Ou seja: dadas duas fórmulas, podemos obter outras (fórmulas moleculares) por meio de operadores lógicos.

Por conta dos quantificadores, entretanto, mais uma cláusula deveremos inserir:

O prof. Manholi apresentou uma definição recursiva a partir do conceito de fórmula atômica, isto é, apresentado o que é uma fórmula atômica, a definição dá critérios para se chegar a todas as outras fórmulas. Será importante tê-la presente aqui, pois ela trará cláusulas importantes, que deverão ser mencionadas na resolução dos exercícios pela árvore de formação da qual a explicação será dada na sequência.

Na definição do prof. Manholi:

Cláusula 4 : se α é fórmula, então a inclusão de um quantificador ∃ ou ∀ seguido de uma variável individual que substituirá ao menos uma constante individual é fórmula.

86

Explicando: se temos Fa, então ∃xFx e ∀xFx são fórmulas. Vejam outros exemplos:

se é fórmula: então também é fórmula pela cl.4:

Pa→Qa ∃x(Px→Qx)

Pa→Qa ∃x(Px→Qa)

Pa→Qb ∀x(Px→∃yQy)

Rab&Sba ∃x∀y(Rxy&Syx)

Rab&Sba ∃x(Rxb&Sbx)

2.2.2.1 Exercícios dados em sala no ano de 2009

EXERCÍCIO 1: Determine quais das seguintes expressões de E(B) são fórmulas de L(B):

a)Fa

b)Fx

c)~~~~Fa

d)(Fa)

e)~(Fa)

f)(~Fa)

g)~Fa

h)Fa→→→→~Fa

i)Fa→→→→Fb

j)Fa→→→→Ga

k)Fa→→→→Gx

l)Rab

m)Rba

n)Fa→→→→~Rba

o)(Fa→→→→~Rba)

p)∀∀∀∀xFx

q)∀∀∀∀xFa

Lembre-se: basta a substituição de uma variável.

87

r)∀∀∀∀aFx

s)∀∀∀∀aFa

t)∀∀∀∀x(Fx→→→→~Gx)

u)∀∀∀∀x(Fx→→→→Hy)

v)∀∀∀∀x~Gz

w)∀∀∀∀x∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔~Ryx)

x)∀∀∀∀x(FxvGx)

y)∀∀∀∀xFxv∀∀∀∀xGx

z)∀∀∀∀x∃∃∃∃x(Fx→→→→(Gx v ~Hx))

aa)∀∀∀∀x(Fx→→→→~∃∃∃∃y(GxvRyx))

ab)∀∀∀∀x(~Rxa v ∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔~Gx))

ac)∀∀∀∀xRxx

ad)∀∀∀∀x∀∀∀∀yRyx15

ae)∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx)

af)∀∀∀∀x∀∀∀∀y∀∀∀∀z((Rxy&Ryz)→→→→Rxz)16

2.2.2.1.1 Resposta comentada

a)Fa F (fórmula) b)Fx ~F (não é fórmula)

Variável livre (viola cl.4ª) c)~~~~Fa F (fórmula) d)(Fa) ~F (não é fórmula)

Excesso de parênteses (viola cl.1ª) e)~(Fa) ~F (não é fórmula)

Excesso de parênteses (viola cl.2ª) f)(~Fa) ~F (não é fórmula)

Excesso de parênteses (viola cl.2ª)

15 Note a lei tura: para quaisquer dois indivíduos, um terá a relação R com o

outro. 16 Leitura: para quaisquer três indivíduos, se um tem uma relação R com o

outro e esse outro com um terceiro, então o primeiro tem a mesma relação R com o terceiro.

88

g)~Fa F (fórmula) h)Fa→→→→~Fa F (fórmula)

Faltou parênteses, por concessão dispensam-se o primeiro e o último

i)Fa→→→→Fb F (fórmula) j)Fa→→→→Ga F (fórmula) k)Fa→→→→Gx ~F (não é fórmula)

Variável livre (viola cl.4ª) l)Rab F (fórmula) m)Rba F (fórmula) n)Fa→→→→~Rba F (fórmula) o)(Fa→→→→~Rba) F (fórmula) p)∀∀∀∀xFx F (fórmula) q)∀∀∀∀xFa ~F (não é fórmula)

Quantificador não quantifica nenhuma variável (viola cl.4ª)

r)∀∀∀∀aFx ~F (não é fórmula) Irregularidade na quantificação (viola cl.4ª)

s)∀∀∀∀aFa ~F (não é fórmula) Irregularidade na quantificação (viola cl.4ª)

t)∀∀∀∀x(Fx→→→→~Gx) F (fórmula) u)∀∀∀∀x(Fx→→→→Hy) ~F (não é fórmula)

Variável livre (viola cl.4ª) v)∀∀∀∀x~Gz ~F (não é fórmula)

Quantificador não quantifica nenhuma variável (viola cl.4ª) Variável livre (viola cl.4ª)

w)∀∀∀∀x∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔~Ryx) ~F (não é fórmula) Quantificação dobrada ou duplicada (viola cl.4ª) Variável livre (viola cl.4ª)

x)∀∀∀∀x(FxvGx) F (fórmula) y)∀∀∀∀xFxv∀∀∀∀xGx F (fórmula) z)∀∀∀∀x∃∃∃∃x(Fx→→→→(Gx v ~Hx)) F (fórmula) aa)∀∀∀∀x(Fx→→→→~∃∃∃∃y(GxvRyx)) F (fórmula) ab)∀∀∀∀x(~Rxa v ∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔~Gx)) ~F (não é fórmula)

Quantificação dobrada ou duplicada (viola cl.4ª)

ac)∀∀∀∀xRxx F (fórmula) ad)∀∀∀∀x∀∀∀∀yRyx F (fórmula)

89

ae)∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx) F (fórmula) af)∀∀∀∀x∀∀∀∀y∀∀∀∀z((Rxy&Ryz)→→→→Rxz) F (fórmula)

90

2.3 Semântica

2.3.1 Definição de estrutura

Para entendermos a noção de estrutura, vamos recordar duas ideias: a de par ordenado (i) e a de tipos relações (ii).

2.3.1.1 Par ordenado

Lembremos, por oportuno, a noção de par ordenado. A ideia de conjunto não traz a ideia de ordem. Logo se A={1, 3} e B={3, 1}, então A=B. Porém, a ordem pode ser incluída, donde a noção de par ordenado, que indicamos assim: A=<1,3>, que é diferente de B=<3,1>, agora A≠B. Poderíamos ter também triplas ordenadas: <1,3,4> ≠ <3,4,1> ≠ <1,4,3>; quádruplas ordenadas <1,8,4,3> e assim avante17.

2.3.1.2 Tipos de relação

Outro dado importante a saber são os tipos de relações. Por quê? Porque será necessário compreendê-los para atribuirmos estruturas em conjuntos de fórmulas consistentes.

Pois bem. Por ora, basta-nos citar três que julgo as mais úteis: relações simétricas, relações reflexivas e relações transitivas, comentando um pouco abaixo sobre cada uma delas.

a)relações simétricas: relação de x com y que y tem com x. Ex: “ser irmão de”; “ser da mesma altura que”.

b)relações reflexivas: relação consigo mesmo. Ex: “ser igual a”.

c)relações transitivas: relação que, se x tem com y e y tem com z, então x tem com z. Ex: “ser sócio de”.

17 Cf. Mortari , 2001, p.51.

91

2.3.1.3 Estrutura

Estrutura é um par ordenado (sobre par ordenado, vide item 2.3.1.1) assim: <D,I>, onde D um conjunto qualquer e I uma função que liga algum elemento do conjunto D a constantes predicativas (ex: F) e individuais (ex: a).

Explico: a estrutura tem a finalidade de servir de critério para aferirmos o valor das fórmulas do cálculo de predicados. Pode-se dizer que é uma “valoração mais sofisticada” (cf. noção de valoração no item 1.3.2). Uma fórmula α é verdadeira ou falsa na estrutura E (E╞α).18

Prosseguindo, diga-se que o conjunto D (domínio) pode ser finito ou infinito, excluindo o conjunto vazio Ø19. A representação do conjunto D pode se dar de duas formas:

a)enumeração: arrolam-se os elementos do conjunto. O rol pode ser exaustivo quando enumeramos todos os elementos ou exemplificativo quando arrolamos alguns de modo a tornar clara a lei de geração. Exemplo de rol exaustivo: D={Rogério, Paula, Zilda}; de rol exemplificativo: D={2,4,6,8,...} (fica evidente a lei de geração: os nºs pares).

b)descrição: indica-se uma ou mais propriedades comuns a todos os elementos do conjunto, mas que também são exclusivas deles, isto é, todos e somente eles possuem-na(s)20. Exemplo: A={x∈A/x é homem ou x é par}, que significaria um conjunto composto pelos seres humanos do sexo masculino e pelos números pares A={Rogério, Lucas, ..., 2,4,8...}.

Exemplos de conjunto D mencionados pelo prof. Mortari:

“o conjunto dos seres humanos;

o conjunto dos gatos, gambás e quatis;

o conjunto dos números naturais;

18 Com clareza escreve o prof. Mortari : “O papel das estruturas (.. .) é o de

especif icar os valores semânticos desejados e, dessa maneira, nos permit ir determinar se as fórmulas são verdadeiras ou falsas na estrutura” (2001, p.157, negri tei) .

19 O prof. Mortari , além do conjunto vazio, exclui também os conjuntos inf ini tos não-enumeráveis (Mortari , 2001, p.158). O mesmo prof. Mortari denomina não-enumeráveis aqueles conjuntos que não podem ser colocados em correspondência biunívoca com o conjunto N (conjunto dos números naturais) e, portanto, não comportariam uma l ista de enumeração. Exemplo seria o conjunto R, conj . dos nºs reais (cf. Mortari , 2001, p.58-60).

20 Possuir uma propriedade comum e exclusiva não é requisi to para formação de um conjunto, mas penas para representar alguns deles, logo o conjunto A={Lucas, Rogério, gato, 22, cueca, churrasco} é vál ido.

92

o conjunto dos números racionais maiores que 32;

{Immanuel Kant, Moreira da Silva, √3, Mr. Bean};

{Salma Hayek}.” (2001, p.158).

DICAS PARA A PROVA :

1)é mais fácil, pois mais controlável, trabalhar com conjuntos finitos representados por enumeração exaustiva, como se verá a seguir.

Observe que o domínio pode ser composto de um único elemento , ex: D={Chacal}. Cumpre esclarecer, contudo, que nesse caso não se admitem constantes predicativas binárias a não ser que estabeleçam relação de identidade.

2)Comece atribuído a intepretação das constantes predicativas presentes a partir das fórmulas não moleculares (atômicas e negação das atômicas).

Agora, imaginemos o conjunto D={Lucas, Rogério, Sérgio, Bruno}. A função I associará os elementos do conjunto D a uma constante individual:

I(a)=Lucas;

I(b)=Rogério;

I(c)=Sérgio;

I(d)=Bruno;

Pode também ligar a alguma constante predicativa, como:

I(F)={x/x é estudante de filosofia na UEL}, assim: Fa significa que Lucas é estudante de filosofia na UEL. Outro exemplo:

I(C)={x,y/x é colega de sala de y}, logo Cab significa: Lucas é colega de sala do Rogério.

Note, pois, que criar uma estrutura nada mais é que estabelecer um domínio e uma interpretação para as constantes individuais e predicativas.

93

Na segunda prova do ano de 2009 caiu um exercício para dizer se o conjunto de fórmulas { ∀x(Rax→Gx); ~Fa; ∃x~Gx} era consistente ou inconsistente. Caso fosse consistente, deveria o aluno dar-lhe uma estrutura. O conjunto é consistente, um exemplo de estrutura poderia ser este:

E=<D,I>

D={Mariana, Carla, Ricardo}

I(R)={x,y/x é do mesmo sexo que y}

I(F)={x/x é do sexo masculino}

I(G)={x/x é do sexo feminino}

I(a)=Mariana

MUITA ATENÇÃO!!! : Na primeira versão deste material, foi equivocadamente indicada a intepretação para constantes individuais assim: I(a)={Mariana} . Porém, segundo os ensinamentos do professor Manholi: para as constantes individuais é necessário que a função de interpretação associe-as diretamente aos elementos do domínio. Assim, se o domínio contém Sérgio e Paulo – D={Sérgio, Paulo}; pode-se ter I(a) = Paulo, mas não I(a)={Paulo}. Isso porque {Paulo} é um objeto diferente de Paulo; {Paulo} é um conjunto cujo elemento único é Paulo; Paulo é esse elemento! Pode-se dizer então que, se D={Paulo, Sérgio}, então {Paulo} ∉∉∉∉ D

e Paulo ∈∈∈∈ D. Enfim, Paulo pode ser uma determinada pessoa, mas {Paulo} é outra coisa, a saber: uma abstração matemática, adequadamente especificada como “o conjunto que tem Paulo como seu único elemento”.

Um último exemplo: imagine um conjunto D formado por outros subconjuntos: D={{N}21, {Paulo}, {R}22}. Ora, nesse caso, poderíamos ter a interpretação de uma constante individual assim: I(a)={Paulo}, justamente porque o elemento do conjunto D não é Paulo, mas {Paulo}.

Em síntese: para indicar a interpretação de constantes individuais descreva diretamente os elementos.

À vista desta estrutura, observe-se então: para qualquer elemento do domínio (Mariana, Carla ou Ricardo), se esse tiver o mesmo sexo que a Mariana, então ele é do sexo feminino {∀x(Rax→Gx)}. Podemos dizer também que Mariana não é do sexo masculino {~Fa}, bem como existe ao menos um elemento de D que não é do sexo feminino {∃x~Gx}. Sim! O Ricardo.

Note que, nessa estrutura, a relação R é do tipo simétrica, se x tem o mesmo sexo que y, então y tem o mesmo sexo que x.

De sua parte, na segunda prova do ano de 2010, um dos exercícios exigia a apresentação de estrutura para o conjunto seguinte, caso fosse

21 Conjunto dos números naturais. 22 Conjunto dos números reais.

94

consistente: {( ∀xFxv∀xGx); ∀x(Rxa→~Gx); Rab; Fa}. Poderíamos sugerir a seguinte:

E=<D,I>

D={x/x é humano}

I(F)={x/x é do sexo masculino}


I(R)={x,y/x é do mesmo sexo que y}

I(a)=Rogério

I(b)=Sérgio

Note-se: para qualquer elemento do domínio (seres humanos) ou ele é do sexo masculino ou do feminino {(∀xFx v ∀xGx)}; também para qualquer ser humano, se ele tiver o mesmo sexo que Rogério, então ele não é do sexo feminino {∀x(Rxa→~Gx)}; além disso, Sérgio é do mesmo sexo que Rogério {Rba}; e, por fim, Rogério é do sexo masculino {Fa}.

Um último exemplo de estrutura. Dado o conjunto A={∃∃∃∃x(Fx→→→→Hb), ~Hb, ∀∀∀∀y(Hb→→→→Fy), ~Fa}, segue estrutura possível:

E=<D,I>

D={Paulo, Sérgio}

I(F)={x/x é do sexo feminino}

I(H)={x/x é nascido em Londrina/PR}

I(a)=Paulo

I(b)=Sérgio

Agora, estaria incorreta uma estrutura assim:

E=<D,I>

D={x/x é humano}

I(R)={x/x é um rato } X1

I(F)= {x,y/x é mais alto que y} X2

I(G)={x/x é quadrúpede} X3

I(a)=República Federativa do Brasil X4

Vejamos os equívocos:

X1: (i)se o domínio é dos seres humanos, não é possível uma

95

constante predicativa que contemple uma propriedade impossível aos elementos de D. Seres humanos não podem ser ratos. (ii)Além disso outro problema é que R é uma constante de grau 2 (binária), ou seja, deve necessariamente estabelecer uma relação entre dois indivíduos.

X2:F é uma constante predicativa de grau 1 (unária), isto é, atribui uma qualidade a um indivíduo. Dizer que F significa “ser mais alto que” é atribuir-lhe grau 2, algo que deve ser reservado para constantes que designam relações entre dois indivíduos como é o caso de R.

X3: seres humanos são bípedes, não quadrúpedes (vide item X1 i).

X4: a constante “a” não pode ser nada além de um elemento de D, logo um ser humano, coisa que, sabemos, a República Federativa do Brasil não é.

Por fim uma última observação: o número de estruturas possíveis para um conjunto de fórmulas consistente ou mesmo de uma fórmula é infinito .

Aproveite agora para dar um pulino no item 2.3.4.2, letra “a”, e acompanhar os passos da indicação de uma estrutura modelo.

2.3.2 Noção de atribuição, verdade, valoração, modelo, consistência, consequência lógica e de validade de argumento

A questão da atribuição, da verdade e da valoração no cálculo de predicados é bem similar à do cálculo proposicional. Portanto, remetemos os colegas ao reexame dos itens 1.3.2 e ss. deste texto. Não deixemos de fazê-lo!

De qualquer forma, aqui chegados, basta-nos destacar que, tal como no cálculo proposicional, também no de predicados precisamos atribuir valores de verdade (valorar) as fórmulas. Também como estipulamos cláusulas para valoração no cálculo proposicional, faremos o mesmo no de predicados, porém gostaria de expor algo adicional sobre a cláusula 1ª antes de deitar um quadro comparativo cuja leitura, cuido eu, aclarará o tema e eliminará dúvidas.

Segundo a cláusula 1ª que veremos a seguir, qualquer fórmula atômica α do cálculo de predicados - digamos Fa - será atribuída um valor de verdade 1 se “a” tiver a propriedade “F” segundo a interpretação de “F” na estrutura E.

Calma!

Veja: retomando aquele exemplo que demos acima, que caiu na segunda prova de 2009, podemos dizer que dada a estrutura E=<D,I>, Fa obtém valor 0, já que Mariana não é do sexo masculino; ao passo que Raa possui valor

96

1 (pois Mariana tem o mesmo sexo que ela)23.

Agora, vamos fazer um quadro comparativo com base nas regras para atribuir valoração:

CÁLCULO PROPOSICIONAL CÁLCULO DE PREDICADOS

1ª cláusula: v(Fa)=1 sse I(a)∈∈∈∈I(F).24 Leia-se: a valência de uma fórmula atômica do cálculo de predicados (ex:Fa) só será 1 se e somente se (apenas) a interpretação da constante individual (a) pertencer à interpretação da constante predicativa (F). Noutros termos: se a interpretação de “a” for Aristóteles e a interpretação de “F” for ser filósofo, então v(Fa)=1. Se a interpretação de “a” for Rogério, então v(Fa)=0!

1ª cláusula: v(~αααα)=1 sse v(αααα)=0 Leia-se: a valência de ~α será 1 se e somente se (apenas) a valência de α for 0.

igual 2ª cláusula: v(~αααα)=1 sse v(αααα)=0 Leia-se: a valência de ~α será 1 se e somente se (apenas) a valência de α for 0.

2ª cláusula: v(α&βα&βα&βα&β)=1 sse v(αααα)=v(ββββ)=1 Leia-se: a valência de α&β será 1 se e somente se (apenas) tanto a valência de α quanto de β for 1.

igual 3ª cláusula: v(α&βα&βα&βα&β)=1 sse v(αααα)=v(ββββ)=1 Leia-se: a valência de α&β será 1 se e somente se (apenas) tanto a valência de α quanto de β for 1.

3ª cláusula: v(ααααvββββ)=0 sse v(αααα)=v(ββββ)=0 Leia-se: a valência de αvβ será 0 se e somente se (apenas) tanto a valência de α quanto de β for 0.

igual 4ª cláusula: v(ααααvββββ)=0 sse v(αααα)=v(ββββ)=0 Leia-se: a valência de αvβ será 0 se e somente se (apenas) tanto a valência de α quanto de β for 0.

4ª cláusula: v(αααα→→→→ββββ)=0 sse v(αααα)=1 e v(ββββ)=0 Leia-se: a valência de (α→β) será 0 se e somente se (apenas) a valência de α for 1 e de β for 0.

igual 5ª cláusula: v(αααα→→→→ββββ)=0 sse v(αααα)=1 e v(ββββ)=0 Leia-se: a valência de (α→β) será 0 se e somente se (apenas) a valência de α for 1 e de β for 0.

5ª cláusula: v(αααα↔↔↔↔ββββ)=1 sse v(αααα)=v(ββββ) Leia-se: a valência de (α↔β) será 1 se e somente se (apenas) a valência de α for igual à de β.

igual 6ª cláusula: v(αααα↔↔↔↔ββββ)=1 sse v(αααα)=v(ββββ) Leia-se: a valência de (α↔β) será 1 se e somente se (apenas) a valência de α for igual à de β.

7ª cláusula: v(∀∀∀∀xFx)=1 sse v(Fx)=1 para toda atribuição de x Leia-se: a valência de uma fórmula do tipo ∀xFx só será 1 se e somente se (apenas) se todas as constantes individuais (a, b, c, d...)

23 A constante predicat iva R também pode caracterizar uma relação

ref lexiva. 24 Nas cláusulas 1ª, 7ª e 8ª l imitamo-nos a exempli f icar. Tal como f iz na

exposição das regras primit ivas com quanti f icadores, a enunciação, que não me arr isco fazer, será certamente muito bem feita durante as aulas.

97

tiverem a propriedade (F). No caso dos seres humanos, se a interpretação de M é ser mortal [I(M)={x ∈D/x é mortal}], então v(∀xFx)=1, pois para qualquer indivíduo “x” ele é mortal.

8ª cláusula: v(∃∃∃∃xFx)=1 sse v(Fx)=1 para ao menos uma atribuição de x Leia-se: a valência de uma fórmula do tipo ∃xFx só será 1 se e somente se (apenas) se ao menos uma constante individual (a ou b ou c ou d...) tiver a propriedade (F). No caso dos seres humanos, se a interpretação de C é ser calvo [I(C)={x ∈D/x é calvo}], então v(∃xFx)=1, pois posso garantir-lhes que existe ao menos um indivíduo “x” que é calvo, eu.

Com efeito, atribuímos - e de novo essa palavra importante (cf. 1.3.2) – valor de verdade ou falsidade para as fórmulas no cálculo de predicados segundo essas 8 (oito) cláusulas, o que nada mais é que a aplicação do princípio da composicionalidade: determinamos o valor semântico da fórmula (1 ou 0; V ou F) a partir de seus componentes (cf. 1.3.1).

Grosso modo, se “F” é ser par; “a” é 1; então Fa é falso (cl.1); pode-se dizer também que ~Fa é verdadeiro (cl.2), bem como que qualquer que seja b, Fa&Fb é falso (cl.3) etc.

De outro lado, verdade lógica será a fórmula verdadeira em toda e qualquer estrutura.

Equipara-se à tautologia do cálculo proposicional.

Noutras palavras, em qualquer estrutura, a fórmula (Fav~Fa) será verdadeira, porque, ainda que, p.ex., “a” seja Rogério e “F” seja ser filósofo (vale dizer, v(Fa)=0), a fórmula será verdadeira com base na cláusula 4ª.

Outros exemplos de verdade lógica dados pelo Prof. Manholi em 2009:

~∃∃∃∃x (Fx&~Fx) : não é o caso que exista algum x que tem e não tem a propriedade F. Seria a versão do princípio da não-contradição no cálculo de predicados, é o ~(P&~P) do cálculo proposicional.

∀∀∀∀x(Fxv~Fx): para todo x, ou x tem F ou não tem F.

∀∀∀∀xIxx : todo x é igual a x. Princípio da identidade no cálculo de

98

predicados.

∀∀∀∀xFx↔↔↔↔~∃∃∃∃x~Fx: todo x tem a propriedade F se e somente se não for o caso de existir algum x que não tem a propriedade F.

Há, por outro lado, aquelas fórmulas que, independente da estrutura, serão falsas, como é o caso da Fa&~Fa. São as falsidades lógicas.

Equiparadas às contradições do cálculo proposicional.

E aquelas que, dependendo da estrutura, são verdadeiras ou falsas (Fa→Ga), são contingências.

Podemos falar, ainda, em estrutura modelo sempre que, em vista de certa estrutura, todas as fórmulas de conjunto Γ obtêm valor 1 (E╞Γ). Fica claríssima a semelhança entre estrutura modelo e valoração modelo.

Observação:

E╞Γ significa: a estrutura E é modelo de Γ.

E╞α significa: α tem valor 1 na estrutura E.

Ademais, um conjunto de fórmulas Γ é consistente se houver pelo menos uma estrutura que lhe seja modelo. Caso contrário, Γ é inconsistente. Noutros dizeres, para que um conjunto Γ seja consistente deve haver ao menos uma estrutura em que todas as fórmulas de Γ obtenham valoração 1.

A propósito, tomando por hipótese o conjunto A={Rba, Rab, ∀x∀y(Rxy→~Ryx)}, concluo que ele é inconsistente, porque a relação entre Rba e Rab é contrária à relação ∀x∀y(Rxy→~Ryx). Explico: se é verdade que para quaisquer dois indivíduos, se x tem uma relação R com y, então y não tem essa relação com x, não poderia ocorrer Rba e Rab, mas Rba e ~Rab. Da mesma forma, posso dizer também que, se ocorre Rba e Rab, então ao menos nesse caso ~(Rba→~Rab), o que torna a fórmula ∀x∀y(Rxy→~Ryx) falsa (cl.7ª25).

25 Retomando: a cl .7ª exige que a fórmula geral do t ipo ∀xFx só será 1 se e

somente se (apenas) se TODAS as constantes individuais (a, b, c, d...) t iverem a propriedade (F).

99

Destarte, é impossível atribuir uma estrutura modelo do conjunto A.

Finalmente, por consequência lógica entenda-se uma relação entre uma fórmula α (conclusão) e um conjunto de fórmulas Γ (premissas). Aquela fórmula que for verdadeira em todas as estruturas modelo de Γ, é consequência lógica. Donde extraímos a noção de validade de argumento: um argumento será válido quando a conclusão for uma consequência lógica.

ATENÇÃO 1:

Na prática, o discernimento efetivo dos conceitos expostos acima será obtido a partir da interpretação das árvores de refutação, das quais o procedimento será exposto a seguir (v. especialmente anotações sobre a interpretação em 2.3.3.2.4).

ATENÇÃO 2:

Observe uma pequena alteração na terminologia:

CÁLCULO PROPOSICIONAL CÁLCULO DE PREDICADOS

valoração modelo estrutura modelo

tautologia verdade lógica/teorema*

contradição falsidade lógica

contingente contingente

*Verdade lógica na semântica; teorema na sintática (cf. item 3.1).

100

2.3.3 Árvore de refutação

No cálculo de predicados, por conta dos quantificadores ∀ e ∃, não há como usar tabela de verdade, como sucede no cálculo proposicional. A árvore de refutação constitui, ao lado das tabelas, mais um procedimento pelo qual se pode identificar o status semântico de fórmulas, a consistência de conjuntos e a validade de argumentos no cálculo de predicados (valendo também, é claro, para o cálculo proposicional).

2.3.3.1 Regras da árvore de refutação

Nosso objetivo, como já dito, é pragmático: auxiliá-lo a passar na prova. Para isso, deveremos saber construir e interpretar a árvore de refutação.

Se você apenas decorar as regras, é possível resolver os exercícios, pois exigem mera aplicação delas, porém a boa compreensão, além de nos ajudar a memorizá-las, também nos será útil quando tratarmos da dedução natural (cf. 3.3.5).

2.3.3.1.1 Uma tentativa de compreensão das regras

Recordemos aqui a boa e velha tabela de verdade para fórmulas moleculares (cf. supra 2.2.2):

Γ ∆

αααα ββββ α&βα&βα&βα&β ααααvββββ αααα→→→→ββββ αααα↔↔↔↔ββββ

a) 1 1 1 1 1 1

b) 1 0 0 1 0 0

c) 0 1 0 1 1 0

d) 0 0 0 0 1 1

Note, agora, que a fórmula molecular α&β terá valoração 1 em um caso e 0 em todos os outros. Isso significa que, ocorrendo α e β, a valoração de α&β será 1; caso contrário será 0.

101

Observe ainda a tabela da negação das fórmulas. Nela inverte-se a valoração:

Γ ∆

αααα ββββ ∼(α&β)∼(α&β)∼(α&β)∼(α&β) ∼(α∼(α∼(α∼(αvβ)β)β)β) ∼(α∼(α∼(α∼(α→→→→β)β)β)β) ∼(α∼(α∼(α∼(α↔↔↔↔β)β)β)β)

a) 1 1 0 0 0 0

b) 1 0 1 0 1 1

c) 0 1 1 0 0 1

d) 0 0 1 1 0 0

Porque:

(α&β)(α&β)(α&β)(α&β) ∼∼∼∼(α(α(α(αvβ)β)β)β)

1 0

0 1

Toda vez que (α(α(α(αvβ)β)β)β) for verdadeiro, ~(α(α(α(αvβ) β) β) β) será falso; e vice-versa.

αααα ββββ (α&β)(α&β)(α&β)(α&β) ∼(α&β)∼(α&β)∼(α&β)∼(α&β)

1 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 1 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0

Força é convir que, se tivéssemos ~(α & β), então, ocorrendo α e β, a valoração de ~(α&β) será 0; caso contrário será 1.

Valor de verdade de ~(α α α α & ββββ)

Valor de verdade das atômicas α e β.

Valor de verdade de (α & β)

102

Vejamos comparativamente:

αααα ββββ α&βα&βα&βα&β ∼(α&β)∼(α&β)∼(α&β)∼(α&β)

a) 1 1 1 0

b) 1 0 0 1

c) 0 1 0 1

d) 0 0 0 1

Concluamos: para que α&β seja verdadeiro26, deve ocorrer α e β; ao passo que ~(α&β) será verdadeiro quando não ocorrer nenhum, ocorrer só α ou só β.

Na tabela a seguir teríamos todas as possibilidades que utilizaremos nas regras de derivação da árvore de refutação:

fórmulas para que seja verdadeira (valoração 1) n.º possibilidades

α&β ocorre α + β 1

∼(α&β) ocorre α

ocorre β não ocorre nenhum

3

αvβ ocorre α

ocorre β não ocorre nenhum

3

∼(αvβ) ocorre α + β 1

α→β ocorre α + β

não ocorre α, mas ocorre β não ocorre nenhum

3

∼(α→β) ocorre α + não ocorre β 1

α↔β ocorre α e β não ocorre nenhum

2

∼(α↔β) ocorre α e não ocorre β não ocorre α e ocorre β

2

26 Lembre-se: tenha valoração 1 - v(α& β)=1, sse v(α)=v(β)=1.

103

IMPORTANTE: Todas as vezes que houver mais de uma possibilidade, deveremos abrir ramos na árvore de refutação.

Abriremos ramos nas seguintes fórmulas:

∼(α&β) αvβ

α→β

α↔β

∼(α↔β)

É importante anotar que na árvore de refutação são indecomponíveis as fórmulas atômicas e a negação delas: P, ~P.

2.3.3.1.2 Regras para quantificadores

Para o quantificador universal ∀∀∀∀: devemos substituir a variável ocorrente por todas as constantes individuais que aparecem no ramo; devendo repetir a operação caso apareçam novas constantes.

Um exemplo segue na próxima página:

104

((∀x(Fx→Gx)&Fa)&Fb)&~Gb√

~Gb

(∀x(Fx→Gx)&Fa)&Fb√

Fb

∀x(Fx→Gx)&Fa√

Fa

∀x(Fx→Gx)a,b

Fa→Ga√

Fb→Gb√

~Fa Ga

x

~Fb Gb

x x

Para o quantificador existencial ∃∃∃∃: devemos substituir a variável ocorrente por uma constante individual que não apareça no ramo.

Exemplo na próxima página:

105

(∀xFx & Ga) & ∃x~Fx√

∀xFx & Ga√

∃x~Fx√

∀xFx a,b

Ga

~Fb

Fa

Fb

x

Observe que ∃x~Fx não pode ser decomposta em ~Fa, porque a contante “a” já aparecia no ramo na subfórmula Ga. Com efeito, utilizamos ~Fb.

106

2.3.3.1.3 Síntese para memorização das regras

O prof. Manholi não exige a memorização, pois ele geralmente disponibiliza as regras na prova, mas essa memorização ajuda muito na resolução dos exercícios. Eis, portanto, as regras sistematizadas:

fórmulas regra exemplo

α&β empilha α&β α β

∼(α&β) abre ramos ∼(α&β)

~α ~β

αvβ abre ramos αvβ

α β

∼(αvβ) empilha ∼(αvβ) ∼α ∼β

α→β abre ramos α→β

∼α β

∼(α→β) empilha ∼(α→β) α ∼β

α↔β empilha abre ramos

α↔β

α ∼α β ∼β

∼(α↔β) empilha abre ramos

∼(α↔β)

∼α α β ∼β

107

∀∀∀∀ξα(ξ)ξα(ξ)ξα(ξ)ξα(ξ) subst. a variável por todas nas const. individuais no ramo, presentes e futuras

Ga & Hb

∀xFxa,b Fa Fb

∃∃∃∃ξα(ξ)ξα(ξ)ξα(ξ)ξα(ξ) subst. a variável por uma const. individual nova no ramo

Ga & Hb

∃xFx√ Fc

2.3.3.2 Procedimento de verificação por árvore de refutação

2.3.3.2.1 Para verificar o status semântico de fórmulas

Verificar o status semântico significar constatar se a fórmula é uma verdade lógica, uma falsidade lógica ou uma contingência. Para tanto, deve-se negar a fórmula e proceder à árvore de refutação. Daí, duas possibilidades:

a)fecham todos os ramos: então é uma verdade lógica, porque a negação da fórmula gerou uma falsidade lógica;

b)não fecham todos os ramos: sabemos que não é verdade lógica, mas ainda restam duas possibilidades: ou é falsidade lógica ou contingente. Então devemos fazer a árvore sem negá-la (na positiva). Daí, duas possibilidades:

b1)se fechar todos os ramos da árvore na positiva, então é uma falsidade lógica;

b2)se não fechar todos os ramos da árvore na positiva, então é contingente.

108

2.3.3.2.2 Para verificar consistência de conjuntos de fórmulas

A árvore de refutação é útil também para verificação de consistência/inconsistência de conjuntos de fórmulas.

Assim, para verificação da consistência do conjunto A={ ∀xFx, ∃x~Gx, Rab, ∀y∀x(Rxy→~Ryx)}, vamos empilhar todas as fórmulas e fazer a árvore. Resultando ao menos um ramo aberto, então o conjunto é consistente. Daí podemos criar uma estrutura modelo para ele (cf. item 2.3.4.2, resolução de exercícios).

∀xFx

∃x~Gx

∀y∀x(Rxy→~Ryx)

...

(faz-se a árvore)

2.3.3.2.3 Para descobrir consequências lógicas

Por meio da árvore de refutação, ainda, pode-se descobrir se determinada fórmula é consequência lógica de certo conjunto de premissas Γ (argumento). Por exemplo: {∀xFx, ∀x(Fx→Gx)}╞Ga. Nesse caso devemos empilhar as premissas e negar a conclusão, se fecharem todos os ramos, então é consequência lógica, caso contrário não. Vejam:

∀xFx

∀x(Fx→Gx)

~Ga

...

(faz-se a árvore)

109

2.3.3.2.4 Vejamos passo a passo do procedimento

1ºpasso: negar a fórmula que se submete à verificação do status semântico. Repise-se: a árvore é de refutação!

Fórmula: ∀∀∀∀xFx ↔↔↔↔ ~∃∃∃∃x~Fx

~(∀∀∀∀xFx ↔↔↔↔ ~∃∃∃∃x~Fx)

ATENÇÃO IMPORTANTE: O PRIMEIRO PASSO:

i)para verificar o status semântico: é negar a fórmula;

ii)para verificar consistência: é empilhar as fórmulas;

iii)para verificar consequência lógica, empilhar as fórmulas (premissas e conclusão), negando só a conclusão.

ATENÇÃO IMPORTANTE: SISTEMATIZAÇÃO DA INTERPRETAÇÃO DA ÁRVORE:

i)para verificar o status semântico: três possibilidades:

a)na árvore da negativa da fórmula, todos os ramos fecharam: verdade lógica ;

b)na árvore da positiva da fórmula, todos os ramos fecharam: falsidade lógica ;

c)na árvore da positiva da fórmula, ao menos um ramo ficou aberto: contingência ;

Obs: nas alíneas “b” e “c” apenas faremos a árvore da positiva depois de descartarmos a hipótese da alínea “a”!

ii)para verificar consistência: duas possibilidades:

a)na árvore todos os ramos fecharam: inconsistente ;

b)na árvore ao menos um ramo ficou aberto: consistente .

iii)para verificar consequência lógica: duas possibilidades:

a)na árvore todos os ramos fecharam: consequência lógica ;

b)na árvore ao menos um ramo ficou aberto: não é consequência lógica .

2ºpasso: identificar o operador principal.

~(∀∀∀∀xFx ↔↔↔↔ ~∃∃∃∃x~Fx) Para efeito da árvore de refutação, como operador principal, consideraremos a negação da bi-implicação:~(a ↔ b).

110

3ºpasso: proceder às derivações da fórmula principal até chegar às atômicas (ex.: Fa), incluindo a negação delas (ex.: ~Fa)

~(∀∀∀∀xFx ↔↔↔↔ ~∃∃∃∃x~Fx)√

~∀∀∀∀xFxª ∀∀∀∀xFxª

~∃∃∃∃x~Fx√ ∃∃∃∃x~Fx√

∃∃∃∃x~Fx √ ~Fa

∀∀∀∀xFx√ Fa

x

~Fa

Fa

x

Regra usada no desmembramento: ~(α↔↔↔↔β)├(~α& β) v (α&~β)

O sinal “√” indicará que a fórmula já foi processada.

Dedução da fórmula ∃x~Fx.

Dedução da fórmula ∀xFx.

O “x” indica que o ramo fechou em virtude da contradição entre ~Fa e Fa.

Como ambos os ramos fecharam, então trata-se de uma verdade lógica, pois a negação da fórmula chegou a uma contradição.

Destaquei em vermelho esse ramo para explicar uma coisa: observe que na ordem de dedução a primeira fórmula a ser deduzida foi a existencial ∃x~Fx, pois para fazê-lo precisamos incluir no ramo uma constante individual nova. Com efeito, se deduzíssemos primeiro a ∀xFx, já teríamos de incluir uma constante (pois nenhuma existe ainda); daí na seqüência, quando fôssemos deduzir a existencial teríamos de incluir uma nova “b”, e, portanto, derivar novamente ∀xFx para a constante “b”. Na próxima página veremos como ficaria o exercício deduzindo primeiro a fórmula universal.

Vale registrar que nas universais, quando eliminado o quantificador, não utilizamos “√”, mas indicamos a constante individual que utilizamos, porque pode acontecer de termos de fazê-lo novamente se alguma constante nova surgir no ramo.

Indecomponível.

111

Demonstração da consequência da eliminação do universal antes do existencial:

~(∀∀∀∀xFx ↔↔↔↔ ~∃∃∃∃x~Fx)√

~∀∀∀∀xFxª ∀∀∀∀xFxª,b

~∃∃∃∃x~Fx√ ∃∃∃∃x~Fx√

∃∃∃∃x~Fx √ Fa

∀∀∀∀xFx√ ~Fb

~Fa Fb

x

Fa

x

Veja que o procedimento não está incorreto, porém é mais longo.

Por conta da inclusão da constante “b”, deve-se eliminar o universal também com essa constante. Daí a indicação em sobrescrito “a,b”.

112

2.3.3.2.5 Outros exemplos comentados

1) ∃∃∃∃xFx↔↔↔↔~∀∀∀∀x~Fx

~(∃∃∃∃xFx↔↔↔↔~∀∀∀∀x~Fx)√

~∃∃∃∃xFx√ ∃∃∃∃xFx√

~∀∀∀∀x~Fx√ ∀∀∀∀x~Fxª

∀∀∀∀x~Fxª Fa

∃∃∃∃xFx√ ~Fa

x

Fa

~Fa

x

∼(α↔β) empilha abre ramos

∼(α↔β)

∼α α β ∼β

Se fecharam todos os ramos, é verdade lógica.

É importante desde logo excluir os quantificadores negativos: ~∃x; ~∀x.

Primeiro extraia o existencial, depois o universal.

Lembremos da regra da negação da bi-implicação:

113

2) ∀∀∀∀xFx ↔↔↔↔ ~∃∃∃∃x~Fx

~(∀∀∀∀xFx ↔↔↔↔ ~∃∃∃∃x~Fx)√

∀∀∀∀xFxª ~∀∀∀∀xFx√

∃∃∃∃x~Fx√ ~∃∃∃∃x~Fx√

~Fa ∃x~Fx√

Fa ∀xFxª

x ~Fa

Fa

x

Fecharam todos os ramos, logo é verdade lógica.

114

3) ~∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∃∃∃∃x~Fx

~(~∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∃∃∃∃x~Fx)√

~∀∀∀∀xFx√ ∀∀∀∀xFxª

~∃∃∃∃x~Fx√ ∃∃∃∃x~Fx√

∃x~Fx√ ~Fa

∀xFxª Fa

x

~Fa

Fa

x

Verdade lógica.

115

4) ∃∃∃∃x(Fx→→→→Ga)↔↔↔↔∀∀∀∀y(∀∀∀∀xFx&Hy)

~(∃∃∃∃x(Fx→→→→Ga)↔↔↔↔∀∀∀∀y(∀∀∀∀xFx&Hy)) √

∃∃∃∃x(Fx→→→→Ga)√ ~∃∃∃∃x(Fx→→→→Ga)√

~∀∀∀∀y(∀∀∀∀xFx&Hy) √ ∀∀∀∀y(∀∀∀∀xFx&Hy)ª

∃y~(∀xFx&Hy)√ ∀x~(Fx→Ga)ª

Fb→Ga√ ∀xFx&Ha√

~(∀xFx&Hc)√ ∀xFxª

Ha

~∀xFx√ ~Hc

Fa

∃x~Fx √ ~Fb Ga

~(Fa→Ga)√

~Fd

Fa

~Fb Ga ~Ga

Note que na árvore acima nenhum ramo fechou. É necessário, então, fazer a árvore na positiva.

Veja o resultado da exclusão do operador∃y em ∃y~(∀xFx&Hy).

Note também que foi necessária a utilização da constante c, pois já havia as constantes a e b no ramo.

A constante é bporque já existe ano ramo: ∃x(Fx→Ga).

116

∃∃∃∃x(Fx→→→→Ga)↔↔↔↔∀∀∀∀y(∀∀∀∀xFx&Hy) √

∃∃∃∃x(Fx→→→→Ga)√ ~∃∃∃∃x(Fx→→→→Ga)

∀∀∀∀y(∀∀∀∀xFx&Hy) a,b ~∀∀∀∀y(∀∀∀∀xFx&Hy)

Fb→Ga√

∀xFx&Haa,b

∀xFx&Hba,b

Fa&Ha√

Fb&Ha√

Fa&Hb√

Fb&Hb√

Fa

Ha

Fb

Ha

Fa

Hb

Fb

Hb

~Fb Ga

x

Observe que um ramo já não fechou, logo não precisamos fazer o

117

outro ramo para concluirmos que se trata de uma fórmula contingente.

5) ~∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∀∀∀∀x~Fx

~(~∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∀∀∀∀x~Fx)√

~∃∃∃∃xFx√ ∃∃∃∃xFx√

~∀∀∀∀x~Fx√ ∀∀∀∀x~Fxª

∀x~Fxª Fa

∃xFx√ ~Fa

x

Fa

~Fa

x

Fecharam os ramos, é verdade lógica.

118

6) (∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx) →→→→ ∀∀∀∀x(Fx v Gx)

~((∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx) →→→→ ∀∀∀∀x(Fx v Gx))√

∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx√

~∀∀∀∀x(Fx v Gx)√

∃x~(Fx v Gx)√

~(Fa v Ga)√

~Fa

~Ga

∀xFxª ∀xGxª

Fa Ga

x x

Verdade lógica, pois todos os ramos fecharam.

119

7) ∃∃∃∃x(Fx v Gx) ↔↔↔↔ (∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx)

~(∃∃∃∃x(Fx v Gx) ↔↔↔↔ (∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx))√

∃∃∃∃x(Fx v Gx)√ ~∃∃∃∃x(Fx v Gx)√

~(∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx)√ ∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx√

Fa v Ga√ ∀∀∀∀x~(Fx v Gx)ª

∃∃∃∃xFx√ ∃∃∃∃xGx√

~∃∃∃∃xFx√

~∃∃∃∃xGx√ Fa Ga

∀∀∀∀x~Fxª ~(FavGa)√ ~(FavGa)√

~Fa ~Fa

∀∀∀∀x~Gxª x ~Ga

x

~Fa

~Ga

Fa Ga

x x

Verdade lógica.

120

8) ∀∀∀∀x(Fx v ~Fx)

~∀∀∀∀x(Fx v ~Fx)√

∃x~(Fx v ~Fx)√

~(Fa v ~Fa)√

~Fa

Fa

x

Verdade lógica, o que era mesmo intuitivo da leitura da fórmula: para todo x ou x tem ou não tem F.

IMPORTANTE : Para se negar ∀x(Fx v ~Fx), usa-se diretamente o sinal ~ no quantificador: ~∀x(Fx v ~Fx). Por favor, não faça ~(∀x(Fx v ~Fx)) ! O quantificador não é molecular.

121

9) ∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)→→→→(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)

~(∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)→→→→(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx))√

∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)ª

~(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)√

∀∀∀∀xFxª ~∀∀∀∀xFx√

~∀∀∀∀xGx√ ∀∀∀∀xGxª

∃∃∃∃x~Gx√ ∃∃∃∃x~Fx√

~Ga ~Fa

Fa↔Ga√ Fa↔Ga√

Fa ~Fa Fa ~Fa

Ga ~Ga Ga ~Ga

x x

Fa Ga

x x

Verdade lógica. O exercício demonstra como a abertura de ramos e a eliminação dos operadores pode ser seletiva a fim de proporcionar fechamento de ramos o mais rápido possível.

Agora já é o caso de incluir o ~ entre parênteses, pois o operador principal não é o quantificador, mas o operador da implicação →.

122

10) ∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)→→→→∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)

~(∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)→→→→∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx))√

∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)√

~∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)√

∀∀∀∀x~(Fx↔↔↔↔Gx)ª

Fa↔Ga√

~(Fa↔Ga)√

Fa ~Fa

~Ga Ga

Fa ~Fa Fa ~Fa

Ga ~Ga Ga ~Ga

x x x x

Verdade lógica. Acompanhem as setas para verificar a sequência (que pode variar sem problema nenhum) utilizada.

Vale a pena repetir: cuidado para não fazer isto: ~(∃x(Fx↔Gx)) !

123

11) ∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx)

~∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx)√

∃∃∃∃x~∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx)√

~∀∀∀∀y(Ray→→→→~Rya)√

∃∃∃∃y~(Ray→→→→~Rya)√

~(Rab→→→→~Rba)√

Rab

Rba

Não é verdade lógica, vejamos se é falsidade lógica:

∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx)ª

∀∀∀∀y(Ray→→→→~Rya)ª

Raa→→→→~Raa√

~Raa ~Raa

Feita a árvore da positiva, não fechando os ramos, então a fórmula é contingente.

124

2.3.4 Exercícios dados em sala no ano de 2009

EXERCÍCIO 1: Determine quais das seguintes afirmações é correta, considerando as seguintes estruturas:

E1=<{x/x é humano}, I1>

E2=<N, I2>

E3=<{x/x é planeta do sistema solar}, I3>

I1 I2 I3 a I 1(a)=Platão I2(a)=5 I3(a)=Marte b I 1(b)=Newton I2(b)=22 I3(b)=Saturno c I 1(c)=Lula I 2(c)=45 I3(c)=Vênus F I 1(F)=filósofo I2(F)=pares I3(F)=gasosos27 G I 1(G)=físicos I2(G)=primos I3(G)=internos28 R I 1(R)=ser anterior

a I 2(R)=ser menor que

I 3(R)=ser maior que

a)E1╞Fa

b)E2╞Fa

c)E3╞Fa

d)E1╞Gb

e)E2╞Gb

f)E3╞Gb

g)E1╞Rac

h)E2╞Rca

i)E3╞~Rbc

27 São gasosos: Júpiter, Saturno, Urano e Netuno; rochosos: Mercúrio,

Vênus, Terra e Marte. 28 São internos: Mercúrio, Vênus, Terra e Marte; externos: Júpiter, Saturno,

Urano, Netuno e Plutão.

125

j)E 1╞Fa→→→→~Gb

k)E2╞~Rca↔↔↔↔Fc

l)E3╞Rab v Rba

m)E1╞∃∃∃∃xFx

n)E2╞∀∀∀∀xGx

o)E3╞∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)

p)E1╞∃∃∃∃x(Fx&Gx)

q)E2╞∀∀∀∀x∃∃∃∃y(Fx→→→→Rxy)

r)E 2╞∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→Ryx)

s)E2╞∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx)

t)E2╞∀∀∀∀xRxx

u)E2╞∀∀∀∀x~Rxx

v)E2╞∀∀∀∀x∀∀∀∀y∀∀∀∀z((Rxy&Ryz)→→→→Rxz)

w)E2╞∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃yRxy)

x)E2╞~∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃yRxy)

z)E2╞∃∃∃∃x∀∀∀∀y(Fx↔↔↔↔(Rxy v Ryx))

EXERCÍCIO 2: Determine quais dos seguintes conjuntos de fórmulas são consistentes e prove nos casos positivos, apresentando uma estrutura que seja modelo do conjunto.

A={∀∀∀∀xFx, ∃∃∃∃x~Gx, Rab, ∀∀∀∀y∀∀∀∀x(Rxy→→→→~Ryx)}

B={Fa, ~Gb, Rba, ∃∃∃∃xGx}

a)A

b)B

c)AUB

EXERCÍCIO 3: Verifique (prove) quais das seguintes formas de argumentos são válidas:

a){∀∀∀∀xFx, ∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)}╞ Ga

126

b){∃∃∃∃xFx, ~∀∀∀∀x~Fx→→→→~∃∃∃∃xHx29}╞ ~Hb

c){∃∃∃∃xFx→→→→∀∀∀∀xHx, Fa}╞ Hb

d){∀∀∀∀x(Fx v Gx), ∃∃∃∃xHx→→→→~Fb, Hc}╞ Gb

e){∀∀∀∀x(Hx→→→→Cx), ∃∃∃∃x(Hx&Mx)} ╞ ∃∃∃∃x(Cx&Mx)

f){ ∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃y(Fy&~Gy)), ∀∀∀∀xGx}╞ ∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃x(Fx&Gx)

g){∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx), ∀∀∀∀x~Rxx, Rab}╞ ~Rba

h){∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx), ∀∀∀∀x∀∀∀∀y∀∀∀∀z((Rxy&Ryz)→→→→Rxz), Rab}╞ ~Rac→→→→(~Raa&~Rbc)

i){ ∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃x(Fx&Gx), ∀∀∀∀x~Gx}╞ ∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃y(Fy&~Gy))

j){a=b, b=c}╞ a=c

EXERCÍCIO 4: Determine o status semântico das seguintes fórmulas:

a)∀∀∀∀xFx↔↔↔↔~∃∃∃∃x~Fx

b)∃∃∃∃xFx↔↔↔↔~∀∀∀∀x~Fx

c)~∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∃∃∃∃x~Fx

d)~∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∀∀∀∀x~Fx

e)∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃yHy)

f)~∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃yHy)

g)∀∀∀∀x(Fx&Gx) ↔↔↔↔(∀∀∀∀xFx& ∀∀∀∀xGx)

h)∃∃∃∃x(Fx&Gx) ↔↔↔↔(∃∃∃∃xFx& ∃∃∃∃xGx)

i)∀∀∀∀x(Fx v Gx)↔↔↔↔(∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx)

j)∀∀∀∀x(Fx v Gx)→→→→ (∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx)

k)(∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx)→→→→∀∀∀∀x(Fx v Gx)

l)∃∃∃∃x(Fx v Gx)↔↔↔↔(∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx)

m)∃∃∃∃x(Fx v Gx)→→→→(∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx)

29 Por ~∀x~Fx→~∃xHx, leia-se: se não for verdade que todos não tem F,

então alguém não tem a propriedade H.

127

n)(∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx)→→→→∃∃∃∃x(Fx v Gx)

o)∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)↔↔↔↔(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx)

p)∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)→→→→(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx)

q)(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx)→→→→∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)

r)∃∃∃∃x(Fx→→→→Gx)↔↔↔↔(∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃xGx)

s)(∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃xGx)→→→→∃∃∃∃x(Fx→→→→Gx)

t)∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)↔↔↔↔(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)

u)∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)→→→→(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)

v)(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)→→→→∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)

w)∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)↔↔↔↔(∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∃∃∃∃xGx)

y)∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)→→→→∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)

z)(∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∃∃∃∃xGx)→→→→∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)

aa)a=a

ab)a=b→→→→(Fa→→→→Fb)

2.3.4.1 Resposta comentada ao exercício 1

A fim de responder ao exercício 1, faz-se necessário verificar se a fórmula aaaa proposta obtém valoração 1 na estrutura E indicada. Para relembrar, v. item 2.3.1.3 supra.

a)E1╞Fa

Qual seria a valoração de Fa na estrutura E1? A estrutura, naquilo que nos interessa para resolução do exercício, é a seguinte:

E1=<{x/x é humano}, I1> I1 a I 1(a)=Platão F I 1(F)=filósofo

Como “a” tem a propriedade “F” segundo a interpretação de “F” na estrutura E1, então é o caso que E1╞Fa (Fa tem valor 1 em E1).

Noutras palavras, como Platão (a) é filósofo (F), então Fa obtém valor

128

1 na estrutura E1, logo E1╞Fa30. A propósito, vale a pena retomar item 2.3.2.

b)E2╞Fa

Lembremos que nos diz a estrutura E2 sobre Fa:

E2=<N, I2> I2 a I 2(a)=5 F I 2(F)=pares

Observe-se que “a” não tem a propriedade “F” na interpretação de “F” na estrutura E2, então é o caso que E2╞Fa (Fa tem valor 0 em E2).

Noutras palavras, como 5 (a) não é par (F), então Fa obtém valor 0 na estrutura E2.

c)E3╞Fa

Agora, na estrutura E3:

E3=<{x/x é planeta do sistema solar}, I3> I3 a I 3(a)=Marte F I 3(F)=gasosos

Marte não é planeta gasoso (é rochoso), logo E3╞Fa.

d)E1╞Gb

Em E1:

E1=<{x/x é humano}, I1> I1

b I 1(b)=Newton G I 1(G)=físicos

O indivíduo “b” tem a propriedade “G” na E1? Em outras palavras: Newton é físico? Sim! Logo, E1╞Gb.

30 Desculpe-me se insisto em algo que lhe parece tr ivial , porém o assunto

não me pareceu óbvio em 2009, daí a razão de meus cansativos registros.

129

e)E2╞Gb

E2=<N, I2> I2

b I 2(b)=22 G I 2(G)=primos

O indivíduo “b” tem a propriedade “G” na E2? O número 22 é primo? Não! Logo, E2╞Gb.

f)E3╞Gb

E3=<{x/x é planeta do sistema solar}, I3> I3

b I 3(b)=Saturno G I 3(G)=internos

Saturno não é planeta interno, logo E3╞Gb.

g)E1╞Rac

Aqui entrou um predicado binário, contudo o método para resolução é o mesmo. Vejamos:

E1=<{x/x é humano}, I1> I1 a I 1(a)=Platão c I 1(c)=Lula R I 1(R)=ser anterior

a

Platão é anterior a Lula? Sim! E muito! Logo, E1╞Rac.

130

h)E2╞Rca

E2=<N, I2> I2 a I 2(a)=5 c I 2(c)=45 R I 2(R)=ser menor

que

45 é menor que 5? Não! Logo, E2╞Rca.

i)E3╞~Rbc

Nesse exercício a fórmula contém o operador da negação (~). Nenhuma dificuldade:

E3=<{x/x é planeta do sistema solar}, I3> I3

b I 3(b)=Saturno c I 3(c)=Vênus R I 3(R)=ser maior que

Não é o caso que Saturno é maior do que Vênus (~Rbc)? Errado! Vênus é um planeta pequeno, Saturno um planeta gigante, donde Saturno é maior que Vênus (Rbc).

Se assim é, então E3╞~Rbc.

131

j)E 1╞Fa→→→→~Gb

Não muda muito a forma de resolução com uma fórmula molecular como essa. Cumpre-nos, a título de primeiro passo, observar a estrutura E1 naquilo que nos interessa. Ei-la:

E1=<{x/x é humano}, I1> I1 a I 1(a)=Platão b I 1(b)=Newton F I 1(F)=filósofo G I 1(G)=físicos

Diante disso, precisamos saber se Fa→~Gb obtém valor 1 em E1. Para tanto, vejamos o valor de cada uma das fórmulas atômicas na mesma estrutura:

v(Fa)=1, porque Platão é filósofo (Fa);

v(~Gb)=0, porque Newton é físico (Gb).

Lembremos agora das regras para atribuir valoração (v. todas elas em 2.3.2):

5ª cláusula: v( αααα→→→→ββββ)=0 sse v( αααα)=1 e v(ββββ)=0 Leia-se: a valência de (α→β) será 0 se e somente se (apenas) a valência de α for 1 e de β for 0.

É o que sucede no caso, pois em Fa→~Gb, o antecedente (Fa) é verdadeiro, o consequente (~Gb) falso, logo a fórmula molecular Fa→~Gb, segundo a cláusula 5ª, possui valoração 0.

Logo: E1╞Fa→~Gb, ou seja, na estrutura E1 a valoração de Fa→~Gb é zero, v(Fa→~Gb)=0.

132

k)E2╞~Rca↔↔↔↔Fc

E2=<N, I2> I2 a I 2(a)=5 c I 2(c)=45 F I 2(F)=pares R I 2(R)=ser menor

que

Vejamos as partes da fórmula ~Rca↔Fc:

v(~Rca)= em E2 não é o caso que 45 tem a relação R com 5, porque 45 não é menor que 5, logo v(~Rca)=1.

v(Fc)= em E2 c não tem a propriedade F, porque 45 não é par, logo v(Fc)=0.

Agora, com base na cláusula 6ª abaixo podemos concluir o exercício:

6ª cláusula: v( αααα↔↔↔↔ββββ)=1 sse v( αααα)=v(ββββ) Leia-se: a valência de (α↔β) será 1 se e somente se (apenas) a valência de α for igual à de β.

No caso, v(~Rca)≠≠≠≠v(Fc), com efeito: v(~Rca↔↔↔↔Fc)=0.

Logo: E2╞~Rca↔Fc, ou seja, na estrutura E2 a valoração de ~Rca↔Fc é zero.

133

l)E3╞Rab v Rba

E3=<{x/x é planeta do sistema solar}, I3> I3 a I 3(a)=Marte b I 3(b)=Saturno R I 3(R)=ser maior que

Agora mais sinteticamente:

v(Rab)=031

v(Rba)=1

Portanto:

v(Rab v Rba)=1, pois:

4ª cláusula: v( ααααvββββ)=0 sse v( αααα)=v(ββββ)=0 Leia-se: a valência de αvβ será 0 se e somente se (apenas) tanto a valência de α quanto de β for 0.

Sendo assim: E3╞Rab v Rba.

m)E1╞∃∃∃∃xFx

E1=<{x/x é humano}, I1> I1 a I 1(a)=Platão b I 1(b)=Newton c I 1(c)=Lula F I 1(F)=filósofo

Temos um quantificador existencial. A fórmula ∃xFx indica que existe ao menos uma constante individual na estrutura E1 que detém a propriedade F. Confiro.

É o caso, pois ao menos o indivíduo Platão (a) tem a propriedade de ser filósofo (F), logo E1╞∃∃∃∃xFx.

31 Sabemos que Saturno é maior que Marte. Faça uma pesquisa no google.

134

n)E2╞∀∀∀∀xGx

E2=<N, I2> I2 a I 2(a)=5 b I 2(b)=22 c I 2(c)=45 G I 2(G)=primos

Será que para qualquer indivíduo da estrutura E2, ele tem a propriedade de ser primo (G)?

Não, pois, p.ex., o indivíduo “b” não é primo, logo ~Gb, daí que não podemos dizer que para qualquer indivíduo x, x tem a propriedade G na estrutura E2.

Logo, E2╞∀∀∀∀xGx. ATENÇÃO IMPORTANTE: Quando o exercício apresenta na fórmula um quantificador universal ∀, devemos ter em mente todos os indivíduos do domínio, no caso de E2, todos os números naturais N. Logo, ainda que o enunciado do exercício fosse assim:

E2=<N, I2>

I2(a)=3

I2(b)=5

I2(c)=7

I2(G)=primos

Mesmo nesse caso, a resposta correta seria que ∀xGx obtém valoração 0 na estrutura E2, pois, embora os indivíduos a, b e c sejam primos (G), não podemos deixar de considerar a existência de outros não mencionados explicitamente mas constantes no domínio da estrutura como é o caso de 4, 6, 8, 10 etc. que não detêm a propriedade de ser primo.

135

o)E3╞∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)

E3=<{x/x é planeta do sistema solar}, I3> I3 a I 3(a)=Marte b I 3(b)=Saturno c I 3(c)=Vênus F I 3(F)=gasosos G I 3(G)=internos

A fórmula ∀x(Fx→Gx) significa que para qualquer indivíduo x, se x tem F, então x tem G ou, já considerando as propriedades da estrutura E3, para qualquer indivíduo se ele for gasoso, então ele é interno.

Para conferir, perscrutaremos quais são planetas do sistema solar que são gasosos (F), para depois saber que todos eles são intermos (G). Havendo algum planeta que é gasoso, mas não interno, então E3╞∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx).

Vejamos:

São gasosos: Júpiter, Saturno, Urano e Netuno; são internos: Mercúrio, Vênus, Terra e Marte(cf. item 2.3.4 supra). Júpiter, Saturno, Urano, assim como Netuno e Plutão, são externos. Logo, não é o caso que, na estrutura E3 para qualquer indivíduo x, se x tiver F, então x tem G. Sendo assim, nossa impressão inicial estava correta.

p)E1╞∃∃∃∃x(Fx&Gx)

E1=<{x/x é humano}, I1> I1 a I 1(a)=Platão b I 1(b)=Newton c I 1(c)=Lula F I 1(F)=filósofo G I 1(G)=físicos

Existe ao menos um x, tal que x tem a propriedade F e a propriedade G é o quer dizer a fórmula ∃x(Fx&Gx). Parece que é o caso, exemplo disso seria o indivíduo Newton (b).

Logo E1╞∃∃∃∃x(Fx&Gx) .

136

q)E2╞∀∀∀∀x∃∃∃∃y(Fx→→→→Rxy)

E2=<N, I2> I2 a I 2(a)=5 b I 2(b)=22 c I 2(c)=45 F I 2(F)=pares R I 2(R)=ser menor

que

Segundo ∀x∃y(Fx→Rxy), para qualquer indivíduo x, existe ao menos um y, sendo que, se x tem a propriedade de ser par (F), então x é menor que y (R). Será o caso? Sim! Sempre que tivermos um número par, haverá um outro do qual ele é menor.

Logo, E2╞∀∀∀∀x∃∃∃∃y(Fx→→→→Rxy).

r)E 2╞∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→Ryx)

E2=<N, I2> I2 a I 2(a)=5 b I 2(b)=22 R I 2(R)=ser menor

que

O exercício exige que na estrutura E2 verifiquemos se é o caso que para quaisquer dois indivíduos x/y, se x é menor que y, então y é menor que x: ∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→Ryx). O contrasenso é evidente.

Peguemos os indivíduos “a” e “b” na estrutura E2:

v(Rab)=1, pois 5 é menor que 22;

v(Rba)=0, pois 22 não é menor que 5.

Logo, na estrutura E2 v(Rab→Rba)=0, o que implica diretamente que v(∀x∀y(Rxy→Ryx))=0, pois se trata de uma fórmula universal.

Logo, E2╞∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→Ryx).

137

s)E2╞∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx)

E2=<N, I2> I2 a I 2(a)=5 b I 2(b)=22 c I 2(c)=45 R I 2(R)=ser menor

que

A resolução fica mais fácil se compreendermos que a fórmula ∀x∀y(Rxy→~Ryx) quer dizer para quaisquer dois indivíduos x/y, se x for menor que y, então y não é menor que x, o que nos parece óbvio agora. Se 5 é menor que 22, então 22 não é menor que 5.

Assim, E2╞∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx).

t)E2╞∀∀∀∀xRxx


que

Em E2, ∀xRxx diz que para qualquer x, x é menor que ele mesmo. Ora, é fácil perceber e provar que não: ~Raa, pois 5 não é menor que 5.

Logo: E2╞∀∀∀∀xRxx.

138

u)E2╞∀∀∀∀x~Rxx


que

Primeiro relembre o exercício anterior (t). Neste a fórmula diz que para qualquer x, x não é menor que si próprio, o que é verdadeiro na estrutura E2.

Resposta: E2╞∀∀∀∀x~Rxx

v)E2╞∀∀∀∀x∀∀∀∀y∀∀∀∀z((Rxy&Ryz)→→→→Rxz)


que

Veja: para quaisquer três indivíduos x/y/z, se x é menor que y e y é menor que z, então x é menor que z [∀x∀y∀z((Rxy&Ryz)→Rxz)]. Alguém duvida? Se 5 é menor que 22 e 22 é menor que 45, então 5 é menor que 45!

Ora, E2╞∀∀∀∀x∀∀∀∀y∀∀∀∀z((Rxy&Ryz)→→→→Rxz).

139

w)E2╞∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃yRxy)


que

Será que na E2 para qualquer indivíduo x, se x for par, então há ao menos um y tal que x é menor que y [∀x(Fx→∃yRxy)]? Sim, pois, sendo 2 o menor número par, ainda teremos o nº 1 menor que ele.

Reposta: E2╞∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃yRxy).

x)E2╞~∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃yRxy)


que

Farei a resolução aqui de modo diferente. Relembre que no exercício precedente (w), concluímos que E2╞∀x(Fx→∃yRxy). Bom, se assim é, então a negação disso [~∀x(Fx→∃yRxy)] obtém valoração 0 em E2. Lembremos a cláusula seguinte:

2ª cláusula: v(~ αααα)=1 sse v( αααα)=0 Leia-se: a valência de ~α será 1 se e somente se (apenas) a valência de α for 0.

Logo, E2╞ ~∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃yRxy).

140

z)E2╞∃∃∃∃x∀∀∀∀y(Fx↔↔↔↔(Rxy v Ryx))


que

Precisamos perscrutar se em E2 existe ao menos um x que, para qualquer y, x é par se e somente se x é menor que y ou y é menor que x [∃x∀y(Fx↔(Rxy v Ryx))]. Parece complicado, mas não é. Pensemos no número 2, que é par e, para qualquer número que se considere (com exceção do 2), ou 2 é menor ou esse número é menor que 2 (seria nesse caso o número 1). Ocorre que a exceção é uma hipótese em que a valoração de ∃∃∃∃x∀∀∀∀y(Fx↔↔↔↔(Rxy v Ryx)) será 0(falsa), assim, por conta da cláusula abaixo a valoração desta fórmula será 0 na E2.

Logo, E2╞ ∃∃∃∃x∀∀∀∀y(Fx↔↔↔↔(Rxy v Ryx))


Para verificar consistência dois métodos poderão ser usados: árvore de refutação(i) e indicação de uma estrutura modelo do conjunto de fórmulas(ii). Para resolução do exercício, verificaremos a consistência do conjunto pelo método da árvore de refutação e, depois, caso consistente, indicaremos uma estutura modelo como exigido pelo enunciado (cf. item 2.3.3.2.2).

Interessante notar que, sendo possível desde logo identificar uma estrutura modelo, então se dispensa a árvore de refutação, pois a estrutura modelo, por si só, já comprova a consistência do modelo.

Eis os conjuntos:

A={∀∀∀∀xFx, ∃∃∃∃x~Gx, Rab, ∀∀∀∀y∀∀∀∀x(Rxy→→→→~Ryx)}

B={Fa, ~Gb, Rba, ∃∃∃∃xGx}

141

a)A

Para fazer a árvore do conjunto empilharemos as fórmulas. Ficando ao menos um ramo aberto, o conjunto é consistente.

DICA: o ramo aberto ajudará na escolha da estrutura modelo.

∀∀∀∀xFx

∃∃∃∃x~Gx

Rab

∀∀∀∀y∀∀∀∀x(Rxy→→→→~Ryx) a,b

∀∀∀∀x(Rxa→→→→~Rax)a,b

∀∀∀∀x(Rxb→→→→~Rbx)a,b

Raa→→→→~Raa

Rba→→→→~Rab√

Rab→→→→~Rba√

Rbb→→→→~Rbb

~Rab Rba

x

~Rba Rab

x

Agora, vamos em busca da estrutura modelo, tendo sempre em mente que não há um procedimento mecânico com o fim de encontrar estruturas modelo. Pretendemos, aqui, esboçar, sem compromisso, como orientamos nosso pensamento para tal finalidade (para relembrar a noção de estrutura, cf. item 2.3.1.3):

Embora a árvore pudesse ser mais desenvolvida, intuitivamente à vista das fórmulas que ainda restam a decompor, pode-se concluir que ramos ficariam abertos. Não precisamos prosseguir na árvore. Seria esforço desperdiçado, até porque, encontrando uma estrutura modelo, nossa suspeita seria confirmada. É o que faremos a seguir.

142

O primeiro passo é compreender intuitivamente o conjunto.

No caso específico deste exercício, não utilizaremos o recurso de buscar inspiração na árvore, pois ela não restou finalizada, isto é, muitas fórmulas ainda poderiam ser decompostas, o que nos tira esse auxílio.

O conjunto A={∀xFx, ∃x~Gx, Rab, ∀y∀x(Rxy→~Ryx)} diz o seguinte: para qualquer indivíduo x, x é tem a propriedade F; existe ao menos um x, tal que x não tem a propriedade G; o indivíduo “a” possui a relação R com o indivíduo “b”; para quaisquer dois indivíduos x/y, se x tem a relação R com y, então y não tem a relação R com x.

Depois de ler isso, imagine um contexto no qual as proposições acima poderiam ocorrer (você está refletindo acerca do domínio da estrutura). Por exemplo, ao imaginarmos que “F” é a propriedade de “ser filósofo”, então será que poderíamos pensar nos números naturais (N)? Creio que não32, pois a propriedade “ser filósofo” é algo próprio dos seres humanos. Assim, vamos delimitar nossa estrutura com o domínio “seres humanos”:

EA=<D,I>

D={seres humanos}

Em seguida, resta-nos interpretar as constantes predicativas e individuais. Quanto às primeiras, é relevante verificar se são unárias, binárias, ternárias...

No conjunto A temos duas unárias “F” e “G”, além de uma binária “R”. Sabemos também que todos os indivíduos do nosso domínio, seres humanos, tem a propriedade F, existe ao menos um que não tem a G. Podemos arriscar então a seguinte interpretação:

I(F)={x/x é racional}


Quanto à predicativa binária “R”, precisamos pensar em algo que um ser humano tem com outro, mas este outro não tem com o primeiro. Trata-se, pois, de uma relação antissimétrica (cf. item 2.3.1.2 supra):

I(R)={x,y/x é anterior a y}

Quanto às constantes individuais, vale lembrar que o indivíduo “a”,

32 Nada impede, entretanto, de interpretarmos a propriedade “F” como sendo

“ser número primo”. Daí, considerando que é uma constante predicat iva unária, seria apropriado o D={N}, já que a propriedade “ser número primo” apl ica-se aos números naturais.

143

segundo nossa interpretação de “R”, é anterior ao “b”. Logo, na prova, seria temerário interpretar:

I(a)=Frege

I(b)=Aristóteles Temerário, mas não incorreto. Explico. À míngua de formalização do contexto, Frege poderia ser um indivíduo nascido em 2009 e Aristóteles em 2010. Não dissemos de qual Frege e de qual Aristóteles falamos.

De qualquer forma, sugiro considerar o conhecimento geral da história da filosofia e interpretar:

I(a)=Aristóteles

I(b)=Frege

Nossa estrutura está completa:

EA=<D,I>

D={seres humanos}

I(F)={x/x é racional}


I(R)={x,y/x é anterior a y}

I(a)=Aristóteles

I(b)=Frege

Leiamo-la: para qualquer ser humano, ele tem a propriedade de ser racional (∀∀∀∀xFx); existe ao menos um ser humano que não é do sexo feminino (∃∃∃∃x~Gx); Aristóteles é anterior a Frege (Rab); para quaisquer dois seres humanos, se um é anterior ao outro, então este não é anterior ao primeiro ( ∀∀∀∀y∀∀∀∀x(Rxy→→→→~Ryx).

Como se pode ver, na EA todas as fórmulas do conjunto A obtém valoração 1, logo EA╞A (Leia-se: EA é a estrutura modelo do conj. A).

144

b)B

Para lembrar:

B={Fa, ~Gb, Rba, ∃xGx}

Vamos empilhar e fazer a árvore:

Fa

~Gb

Rba

∃∃∃∃xGx√

Gc

Vimos, pois, que é consistente. Vejamos agora a estrutura:

O conjunto B nos diz: que o indivíduo “a” possui a propriedade F; o indivíduo “b” não possui a propriedade G; o indivíduo “b” possui uma relação R com o indivíduo “a”; existe ao menos algum x que possui a propriedade G.

Como já havia destacado (cf. item 2.3.1.3 supra), o domínio pode ser bem restrito. Imaginemos um domínio assim: D={5,6}, agora as interpretações:

EB=<D,I>

D={5,6}

I(F)={x/x é ímpar}

I(G)={x/x é primo}

I(R)={x,y/x é maior que y}

I(a)=5

I(b)=6

Para conferir: 5 é ímpar (Fa); 6 não é primo (~Gb); 6 é maior que 5 (Rba); existe ao menos um indivíduo que é primo (∃∃∃∃xGx).

Como se pode ver, na EB todas as fórmulas do conjunto B obtém valoração 1, logo EB╞B.

A árvore é muito simples, pois só possui uma fórmula a decompor.

145

c)AUB

O conjunto AUB é formado por todas as fórmulas de ambos os conjuntos, logo AUB={∀∀∀∀xFx, ∃∃∃∃x~Gx, Rab, ∀∀∀∀y∀∀∀∀x(Rxy→→→→~Ryx), Fa, ~Gb, Rba, ∃∃∃∃xGx}.

Da simples leitura do conjunto AUB verificamos sua inconsistência. Note a contradição entre as fómulas ∀∀∀∀y∀∀∀∀x(Rxy →→→→~Ryx), Rab, Rba. Mas vale comprová-lo pela árvore de refutação.

Segue árvore:

∀∀∀∀xFx

∃∃∃∃x~Gx

Rab

∀∀∀∀y∀∀∀∀x(Rxy→→→→~Ryx) a

Fa

~Gb

Rba

∃∃∃∃xGx

∀∀∀∀x(Rxa→→→→~Rax) b

Rba→→→→~Rab√

~Rba ~Rab

x x

Sendo inconsistente, não há como atribuir uma estrutura modelo ao conjunto AUB.

146


Para verificar e provar quais das formas de argumentos são válidas, seguiremos o seguinte procedimento: faremos a árvore de refutação com todas as fórmulas do conjunto, negando a conclusão. Fechando todos os ramos, o argumento é válido.

Para relembrar a noção de consequência lógica, v. item 2.3.2 supra; para relembrar o procedimento, v. item 2.3.3.2.3 supra.

a){∀∀∀∀xFx, ∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)}╞ Ga

∀∀∀∀xFx a

∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx) a

~Ga

Fa

Fa→Ga√

~Fa Ga

x x

Observe que, fechados os ramos, Ga é consequência lógica de {∀xFx, ∀x(Fx→Gx)}, logo o argumento é válido.

147

b){∃∃∃∃xFx, ~∀∀∀∀x~Fx→→→→~∃∃∃∃xHx}╞ ~Hb

∃∃∃∃xFx√

~∀∀∀∀x~Fx→→→→~∃∃∃∃xHx√

Hb

Fa

∀∀∀∀x~Fx a ~∃∃∃∃xHx√

~Fa ∀∀∀∀x~Hx b

x

~Hb

x

O argumento é válido!

c){∃∃∃∃xFx→→→→∀∀∀∀xHx, Fa}╞ Hb

∃∃∃∃xFx→→→→∀∀∀∀xHx√

Fa

~Hb

~∃∃∃∃xFx√ ∀∀∀∀xHx b

∀∀∀∀x~Fx a Hb

x

~Fa

x

Argumento válido.

148

d){∀∀∀∀x(Fx v Gx), ∃∃∃∃xHx→→→→~Fb, Hc}╞ Gb

∀∀∀∀x(Fx v Gx) b

∃∃∃∃xHx→→→→~Fb√

Hc

~Gb

~∃∃∃∃xHx√ ~Fb

∀∀∀∀x~Hx c

~Hc

x

Fb v Gb√

Fb Gb

x x

Válido!

149

e){∀∀∀∀x(Hx→→→→Cx), ∃∃∃∃x(Hx&Mx)} ╞ ∃∃∃∃x(Cx&Mx)

∀∀∀∀x(Hx→→→→Cx) a

∃∃∃∃x(Hx&Mx) √

~∃∃∃∃x(Cx&Mx) √

Ha&Ma √

∀∀∀∀x~(Cx&Mx) a

Ha

Ma

Ha→→→→Ca√

~Ha Ca

x

~(Ca&Ma)√

~Ca ~Ma

x x

Válido!

150

f){ ∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃y(Fy&~Gy)), ∀∀∀∀xGx}╞ ∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃x(Fx&Gx)

∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃y(Fy&~Gy))

∀∀∀∀xGx a

~(∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃x(Fx&Gx)) √

∃∃∃∃xFx√

~∃∃∃∃x(Fx&Gx) √

∀∀∀∀x~(Fx&Gx) a

Fa

~(Fa&Ga)√

~Fa ~Ga

x Ga

x

Válido!

Cuidado para não incidir no erro de negar a conclusão assim: ~∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃x(Fx&Gx)

Observe que esta fórmula mostrou-se irrelevante para a validade do argumento.

151

g){∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx), ∀∀∀∀x~Rxx, Rab}╞ ~Rba

∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx) a

∀∀∀∀x~Rxx

Rab

Rba

∀∀∀∀y(Ray→→→→~Rya) b

Rab→→→→~Rba√

~Rab ~Rba

x x

Válido!

152

h){∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx), ∀∀∀∀x∀∀∀∀y∀∀∀∀z((Rxy&Ryz)→→→→Rxz), Rab}╞ ~Rac→→→→(~Raa&~Rbc)

∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx) a

∀∀∀∀x∀∀∀∀y∀∀∀∀z((Rxy&Ryz)→→→→Rxz) a Rab

~(~Rac→→→→(~Raa&~Rbc))√

~Rac ~Raa&~Rbc√

∀∀∀∀y(Ray→→→→~Rya) a

Raa→→→→~Raa√

~Raa ~Rbc

~Raa ~Raa ~Raa ~Raa

x x

~Raa ~Raa

∀∀∀∀y∀∀∀∀z((Ray&Ryz)→→→→Raz) b ∀∀∀∀y∀∀∀∀z((Ray&Ryz)→→→→Raz) b

∀∀∀∀z((Rab&Rbz)→→→→Raz) c ∀∀∀∀z((Rab&Rbz)→→→→Raz) c

(Rab&Rbc)→→→→Rac√ (Rab&Rbc)→→→→Rac√

~(Rab&Rbc)√ Rac ~(Rab&Rbc)√ Rac x x

Rab Rbc Rab Rbc

x x x x

Argumento válido!

Só transpomos o ramo, repetindo as fórmulas anteriores, para possibilitar a exposição.

153

i){ ∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃x(Fx&Gx), ∀∀∀∀x~Gx}╞ ∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃y(Fy&~Gy))

∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃x(Fx&Gx)

∀∀∀∀x~Gx a

~∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃y(Fy&~Gy))√

∃∃∃∃x~(Fx→→→→∃∃∃∃y(Fy&~Gy))√

~(Fa→→→→∃∃∃∃y(Fy&~Gy))√

Fa

~∃∃∃∃y(Fy&~Gy)√

∀∀∀∀y~(Fy&~Gy) a

~Ga

~(Fa&~Ga)√

~Fa Ga

x x

Válido!

Só para sinalizar de onde veio esse ~Ga.

Não tem nenhum problema decompor ∀x e ∀y com “a”. São fórmulas universais!

154

j){a=b, b=c}╞ a=c

A igualdade é uma constante predicativa binária que significa: o indivíduo “a” pode ser denominado de indivíduo “b”, ou seja, um mesmo indivíduo possui dois nomes (cf. MORTARI, 2001, p.290). Por convenção, acrescentamos ao léxico do cálculo de predicados o símbolo “=” que denota a constante predicativa binária “é idêntico a” ou “é a mesma coisa que”.

Por hipótese, é-nos lícito formalizar a relação de igualdade entre os termos “Diana” e “Ártemis” das seguintes formas:

i)Ida I(I)= {x,y/x é idêntico a y}

I(d)= Diana

I(a)= Ártemis

ii)=da I(=)= {x,y/x é idêntico a y}

I(d)= Diana

I(a)= Ártemis

iii)d=a I(d)= Diana

I(=)= {x,y/x é idêntico a y}

I(a)= Ártemis

Na árvore de refutação, para a igualdade, duas novas regras deverão ser consideradas:

Regra da igualdade positiva: se a=b, então podemos substituir uma ou mais ocorrências de “a” por “b”;

Regra da igualdade negativa: a aparição de ~a=a (a≠≠≠≠a) fecha o ramo, pois “afirmar, sobre um certo t, que t≠t seria contraditório” (MORTARI, 2001, p.312).

Ou seja, são equivalentes: a=b ↔↔↔↔ =ab ↔↔↔↔ Iab.

155

Passemos à árvore:

a=b

b=c

~a=c

a=c

x

Válido!

Aplicação da regra da igualdade positiva: se b=c, então posso substituir b por c em “a=b”, obtendo a contradição entre ~a=c e a=c, fechando o ramo.

156


Para determinar o status semântico de fórmulas, adotaremos o seguinte procedimento: faremos a árvore de refutação da negativa da fórmula. Se fecharem todos os ramos, será uma verdade lógica(i); permanecendo algum ramo aberto, faremos a árvore da fórmula, fechando todos os ramos, será uma falsidade lógica(ii); caso contrário, será uma contingência (iii).

Para relembrar a noção de status semântico, v. item 2.3.2 supra; para relembrar o procedimento, v. item 2.3.3.2.1 supra.

Do rol de exercícios, alguns deles já constaram como exemplos comentados acima. A fim de evitar repetição, constará na sequência a referência ao item no qual a resolução se encontra.

a)∀∀∀∀xFx↔↔↔↔~∃∃∃∃x~Fx

É o caso deste exercício, do qual nos valemos para exemplificar a árvore de refutação (cf. item 2.3.3.2.4 supra).

b)∃∃∃∃xFx↔↔↔↔~∀∀∀∀x~Fx

Exercício já resolvido (cf. item 2.3.3.2.5, nº1).

c)~∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∃∃∃∃x~Fx

Exercício já resolvido (cf. item2.3.3.2.5, nº3).

d)~∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∀∀∀∀x~Fx


157

e)∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃yHy)

~∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃yHy)√

∃∃∃∃x~(Fx→→→→∃∃∃∃yHy)√

~(Fa→→→→∃∃∃∃yHy)√

Fa

~∃∃∃∃yHy√

∀∀∀∀y~Hy a

~Ha

Como a árvore da negação da fórmula não fechou, faremos a seguir a árvore da fórmula propriamente dita:

∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃yHy) a

Fa→→→→∃∃∃∃yHy√

~Fa ∃∃∃∃yHy√

Hb

IMPORTANTÍSSIMO!!! : esse ramo da árvore é INFINITO , porque toda vez que se decompuser a fórmula ∃∃∃∃yHy teremos mais uma constante diferente na árvore (no caso “b”), daí teremos de fazer para ela a fórmula inicial, a saber, ∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃yHy) e assim sucessivamente ao infinito.

158

Abaixo a demonstração da infinitude do ramo:

∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃yHy) a, b, c

Fa→→→→∃∃∃∃yHy√

~Fa ∃∃∃∃yHy√

Hb

Fb→→→→∃∃∃∃yHy√

~Fb ∃∃∃∃yHy√

Hc

Fc→→→→∃∃∃∃yHy

…

E agora?

Bom, sabemos que não se trata de verdade lógica, porque não fecharam todos os ramos da negativa da fórmula. A despeito do ramo infinito, sabemos também que não é falsidade lógica, porque um ramo ficou aberto, logo é fórmula contingente.

Noutras palavras, pouco importa o ramo infinito, pois ao menos um ramo sabemos que ficou aberto. É o que nos basta!

159

f)~∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃yHy)

No exercício anterior, vimos que ∀x(Fx→∃yHy) é contingente, logo ~∀x(Fx→∃yHy) também o será.

Resposta: contingente!

g)∀∀∀∀x(Fx&Gx) ↔↔↔↔(∀∀∀∀xFx& ∀∀∀∀xGx)

~(∀∀∀∀x(Fx&Gx) ↔↔↔↔(∀∀∀∀xFx& ∀∀∀∀xGx))√

~∀∀∀∀x(Fx&Gx) √ ∀∀∀∀x(Fx&Gx) a

∀∀∀∀xFx& ∀∀∀∀xGx√ ~(∀∀∀∀xFx& ∀∀∀∀xGx)√

∃∃∃∃x~(Fx&Gx)√ ~∀∀∀∀xFx√ ~∀∀∀∀xGx√

~(Fa&Ga)√ ∃∃∃∃x~Fx√ ∃∃∃∃x~Gx√

∀∀∀∀xFx a ~Fa ~Ga

∀∀∀∀xGx a

Fa&Ga√ Fa&Ga√

Fa

Fa Fa

Ga Ga Ga

x x

~Fa ~Ga

x x

Verdade lógica! Todos os ramos da negativa da árvore fecharam.

160

h)∃∃∃∃x(Fx&Gx) ↔↔↔↔(∃∃∃∃xFx& ∃∃∃∃xGx)

~(∃∃∃∃x(Fx&Gx) ↔↔↔↔(∃∃∃∃xFx& ∃∃∃∃xGx))√

~∃∃∃∃x(Fx&Gx) √ ∃∃∃∃x(Fx&Gx)

∃∃∃∃xFx& ∃∃∃∃xGx√ ~(∃∃∃∃xFx& ∃∃∃∃xGx)

∀∀∀∀x~(Fx&Gx) a, b

∃∃∃∃xFx√

∃∃∃∃xGx√

Fa

Gb

~(Fa&Ga)√

~Fa ~Ga

x

~(Fb&Gb)√

~Fb ~Gb

x

Precisamos, entretanto, fazer a árvore da fórmula, para saber se se trata de uma falsidade lógica ou de uma contingência. Vejamo-la na sequência:

Sempre por uma constante NOVA!

Note que esse ramo ficou aberto, logo não precisamos fazer o ramo direito, pois desde logo podemos concluir que não se trata de verdade lógica.

161

∃∃∃∃x(Fx&Gx) ↔↔↔↔(∃∃∃∃xFx& ∃∃∃∃xGx)√

∃∃∃∃x(Fx&Gx) √ ~∃∃∃∃x(Fx&Gx)

∃∃∃∃xFx& ∃∃∃∃xGx√ ~(∃∃∃∃xFx& ∃∃∃∃xGx)

Fa&Ga√

∃∃∃∃xFx√

∃∃∃∃xGx√

Fb

Gc

Fa

Ga

A mesma coisa: se não fechou o ramo esquerdo, sequer precisamos fazer o direito, já que, à evidência, trata-se de fórmula contingente.

162

i)∀∀∀∀x(Fx v Gx)↔↔↔↔(∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx)

~(∀∀∀∀x(Fx v Gx)↔↔↔↔(∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx))√

~∀∀∀∀x(Fx v Gx)√ ∀∀∀∀x(Fx v Gx) a

(∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx)√ ~(∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx)√

∃∃∃∃x~(Fx v Gx)√

~∀∀∀∀xFx√

~∀∀∀∀xGx√

~(Fa v Ga)√

∃∃∃∃x~Fx√

∃∃∃∃x~Gx√

~Fa

~Ga

~Fa

~Ga

∀∀∀∀xFx a ∀∀∀∀xGx a

Fa v Ga√

Fa Ga

x x

Fa Ga

x x

Verdade lógica!

163

j)∀∀∀∀x(Fx v Gx)→→→→ (∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx)

~(∀∀∀∀x(Fx v Gx)→→→→ (∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx))√

~∀∀∀∀x(Fx v Gx)√

(∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx)√

∃∃∃∃x~(Fx v Gx)√

~(Fa v Ga)√

~Fa

~Ga

∀∀∀∀xFx a ∀∀∀∀xGx a

Fa Ga

x x

Verdade lógica!

k)(∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx)→→→→∀∀∀∀x(Fx v Gx)


l)∃∃∃∃x(Fx v Gx)↔↔↔↔(∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx)


164

m)∃∃∃∃x(Fx v Gx)→→→→(∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx)

~(∃∃∃∃x(Fx v Gx)→→→→(∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx))√

∃∃∃∃x(Fx v Gx)√

~(∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx)√

~∃∃∃∃xFx√

~∃∃∃∃xGx√

∀∀∀∀x~Fx a

∀∀∀∀x~Gx a

Fa v Ga√

~Fa

~Ga

Fa Ga

x x

Verdade lógica!

165

n)(∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx)→→→→∃∃∃∃x(Fx v Gx)

~((∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx)→→→→∃∃∃∃x(Fx v Gx))√

∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx√

~∃∃∃∃x(Fx v Gx)√

∀∀∀∀x~(Fx v Gx) a

∃∃∃∃xFx√ ∃∃∃∃xGx√

Fa Ga

~(Fa v Ga)√ ~(Fa v Ga)√

~Fa ~Fa

~Ga ~Ga

x x

Verdade lógica!

ATENÇÃO : observe, ainda, que, se ∃x(Fx v Gx)→(∃xFx v ∃xGx) – exercício “m” – e (∃xFx v ∃xGx)→∃x(Fx v Gx) – exercício “n” -, são verdades lógicas, também o é a fórmula bi-implicacional: ∃∃∃∃x(Fx v Gx) ↔↔↔↔ (∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx) .

166

o)∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)↔↔↔↔(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx)

~(∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)↔↔↔↔(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx))√

~∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)√ ∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)

∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx√ ~(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx)

∃∃∃∃x~(Fx→→→→Gx)√

~∀∀∀∀xFx√ ∀∀∀∀xGx

∃∃∃∃x~Fx√

~(Fa→→→→Ga)√

~(Fa→→→→Ga)√

Fa Fa

~Ga ~Ga

x

~Fb

Veja que não fechou um dos ramos, por isso não precisamos fazer o ramo principal direito. Não se trata de consequência lógica. Vejamos a árvore da fórmula.

167

∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)↔↔↔↔(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx)√

∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx) a ~∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)

∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx√ ~(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx)

~∀∀∀∀xFx√ ∀∀∀∀xGx a

∃∃∃∃x~Fx√

Fa→→→→Ga√

~Fa

Ga

Fa→→→→Ga√

~Fa Ga

~Fa Ga

Ramos não fechados, trata-se de contingência.

Ramo não precisa ser concluído à vista do resultado ao lado.

168

p)∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)→→→→(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx)

~(∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)→→→→(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx))√

∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx) a

~(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx)√

∀∀∀∀xFx a

~∀∀∀∀xGx√

∃∃∃∃x~Gx√

~Ga

Fa→→→→Ga√

Fa

~Fa Ga

x x

Verdade lógica!

169

q)(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx)→→→→∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)

~((∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx)→→→→∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx))√

(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx)√

~∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)√

∃∃∃∃x~(Fx→→→→Gx)√

~∀∀∀∀xFx√ ∀∀∀∀xGx a

∃∃∃∃x~Fx√

~(Fa→→→→Ga)√ ~(Fa→→→→Ga)√

Fa Fa

~Ga ~Ga

~Fb Ga

x

Não sendo verdade lógica, segue a árvore da fórmula:

170

(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx)→→→→∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)√

~(∀∀∀∀xFx→→→→∀∀∀∀xGx)√ ∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx) a

∀∀∀∀xFx a

~∀∀∀∀xGx√

(Fa→→→→Ga)√

∃∃∃∃x~Gx√

~Fa Ga

~Ga

Fa

Como se vê, a contingência é patente.

171

r)∃∃∃∃x(Fx→→→→Gx)↔↔↔↔(∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃xGx)

~(∃∃∃∃x(Fx→→→→Gx)↔↔↔↔(∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃xGx))√

~∃∃∃∃x(Fx→→→→Gx)√ ∃∃∃∃x(Fx→→→→Gx)√

∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃xGx√ ~(∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃xGx)√

∀∀∀∀x~(Fx→→→→Gx) a

∃∃∃∃xFx√

~∃∃∃∃xGx√

~∃∃∃∃xFx√ ∃∃∃∃xGx√

∀∀∀∀x~Gx a,b

∀∀∀∀x~Fx a

Ga

Fa→→→→Ga√

~(Fa→→→→Ga)√

~(Fa→→→→Ga)√

Fb

~Fa

Fa

~Ga ~Ga

x ~Gb

Fa

~Ga

x ~Fa Ga

x

Não se trata de verdade lógica. Faremos a árvore da fórmula.

172

∃∃∃∃x(Fx→→→→Gx)↔↔↔↔(∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃xGx)√

∃∃∃∃x(Fx→→→→Gx)√ ~∃∃∃∃x(Fx→→→→Gx)√

∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃xGx√ ~(∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃xGx)√

Fa→→→→Ga√

~∃∃∃∃xFx √ ∃∃∃∃xGx√

∀∀∀∀x~Fx a Gb

~Fa

~Fa Ga

~Fa Ga

À evidência, a fórmula é contingente.

Ramo irrelevante para resolução do exercício.

173

s)(∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃xGx)→→→→∃∃∃∃x(Fx→→→→Gx)

~((∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃xGx)→→→→∃∃∃∃x(Fx→→→→Gx))√

∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃xGx√

~∃∃∃∃x(Fx→→→→Gx)√

∀∀∀∀x~(Fx→→→→Gx) a

~∃∃∃∃xFx√ ∃∃∃∃xGx√

∀∀∀∀x~Fx a

Ga

~(Fa→→→→Ga)√

~(Fa→→→→Ga)√

~Fa

Fa

~Ga

Fa x

~Ga

x

Verdade lógica!

174

t)∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)↔↔↔↔(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)

~(∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)↔↔↔↔(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx))√

~∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)√ ∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)

(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)√ ~(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)

∃∃∃∃x~(Fx↔↔↔↔Gx)√

∀∀∀∀xFx a ~∀∀∀∀xFx√

∀∀∀∀xGx a ~∀∀∀∀xGx√

∃∃∃∃x~Fx√

∃∃∃∃x~Gx√

~(Fa↔↔↔↔Ga)√

~(Fa↔↔↔↔Ga)√

~Fa Fa

Ga ~Ga Fb

Fa Fa Gc

x

Ga ~Fa Fa

x Ga ~Ga

Diante do resultado acima, faz necessária a elaboração da árvore da fórmula.


175

∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)↔↔↔↔(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)√

∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx) a,b ~∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)

(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)√ ~(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)

∀∀∀∀xFx a ~∀∀∀∀xFx√

∀∀∀∀xGx a ~∀∀∀∀xGx√

∃∃∃∃x~Fx√

Fa↔↔↔↔Ga√

∃∃∃∃x~Gx√

Fa ~Fa

Ga ~Ga

~Fa

Fa Fa

x ~Gb

Ga

Fa↔↔↔↔Ga√

Fb↔↔↔↔Gb√

Fa ~Fa

Ga ~Ga

x

Fb ~Fb

Gb ~Gb

x

Não se tratando de falsidade lógica, cuida-se de contingência!


176

u)∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)→→→→(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)

Exercício já resolvido (cf. item 2.3.3.2.5, nº9).

v)(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)→→→→∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)

~((∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)→→→→∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx))√

∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx√

~∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)√

∃∃∃∃x~(Fx↔↔↔↔Gx)√

~(Fa↔↔↔↔Ga)√

∀∀∀∀xFx a ~∀∀∀∀xFx√

∀∀∀∀xGx a ~∀∀∀∀xGx√

∃∃∃∃x~Fx√

~Fa Fa

Ga ~Ga

∃∃∃∃x~Gx√

Fa Fa

x ~Fb

Ga ~Gc

x

~Fa Fa

Ga ~Ga

Não é verdade lógica. Segue verificação da fórmula.

177

(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)→→→→∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)

~(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)√ ∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)

~∀∀∀∀xFx√ ∀∀∀∀xFx

∀∀∀∀xGx ~∀∀∀∀xGx

∃∃∃∃x~Fx√

~Fa

Ga

Contingência.

Como se pressente, esses dois ramos não precisam ser desenvolvidos, já que um já permanecerá aberto, indicando que se trata de uma contingência.

178

w)∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)↔↔↔↔(∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∃∃∃∃xGx)

~(∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)↔↔↔↔(∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∃∃∃∃xGx))√

~∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)√ ∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)

∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∃∃∃∃xGx√ ~(∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∃∃∃∃xGx)

∀∀∀∀x~(Fx↔↔↔↔Gx) a,b

∃∃∃∃xFx√ ~∃∃∃∃xFx

∃∃∃∃xGx√ ~∃∃∃∃xGx

Fa

Gb

~(Fa↔↔↔↔Ga)√

~(Fb↔↔↔↔Gb)√

~Fa Fa

Ga ~Ga

x

~Fb Fb

Gb ~Gb

x

Não sendo verdade lógica, cumpre fazer a árvore da fórmula.

Ramos não desenvolvidos por irrelevantes.

179

∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)↔↔↔↔(∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∃∃∃∃xGx)√

∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)√ ~∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)

∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∃∃∃∃xGx√ ~(∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∃∃∃∃xGx)

Fa↔↔↔↔Ga√

~∃∃∃∃xFx√ ∃∃∃∃xGx

∀∀∀∀x~Fx a

~Fa

Fa ~Fa

Ga ~Ga

x

Contingência!

y)∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)→→→→∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)


Ramos irrelevantes!

180

z)(∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∃∃∃∃xGx)→→→→∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)

~((∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∃∃∃∃xGx)→→→→∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx))√

∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∃∃∃∃xGx√

~∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)√

∀∀∀∀x~(Fx↔↔↔↔Gx) a,b

∃∃∃∃xFx√ ~∃∃∃∃xFx

∃∃∃∃xGx√ ~∃∃∃∃xGx

Fa

Gb

~(Fa↔↔↔↔Ga)√

~(Fb↔↔↔↔Gb)√

~Fa Fa

Ga ~Ga

x

~Fb Fb

Gb ~Gb

x

Vejamos a árvore da fórmula na próxima página.

Ramo irrelevante!

181

(∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∃∃∃∃xGx)→→→→∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)√

~(∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∃∃∃∃xGx) ∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)

~∃∃∃∃xFx√ ∃∃∃∃xFx√

∃∃∃∃xGx√ ~∃∃∃∃xGx√

∀∀∀∀x~Fx a ∀∀∀∀x~Gx a

Ga Fa

~Fa ~Ga

A fórmula é contingente.

Ramo irrelevante!

182

aa)a=a

Para relembrar as regras quanto à identidade, cf. item 2.3.4.3, letra “j”.

~a=a

x

Verdade lógica!

ab)a=b→→→→(Fa→→→→Fb)

~(a=b→→→→(Fa→→→→Fb))√

a=b

~(Fa→→→→Fb)√

Fa

~Fb

Fb

x

Verdade lógica!

Consoante a regra da igualidade negativa, aparecendo ~a=a, o ramo fecha-se imediatamente.

Aplicação da regra da igualdade positiva: se a=b, então o “a” em “Fa” pode ser substituído por “b”.

183

Cap. 3 Sintaxe II em cálculo proposiconal e cálculo de predicados

3.1 Introdução

A dedução natural constitui procedimento de obtenção de fórmulas a partir da aplicação das regras de dedução natural quer sobre premissas quer sobre hipóteses. Vale dizer, o argumento está provado se a partir de suas premissas pode-se chegar à conclusão a partir exclusivamente da utilização das regras de inferência (regras da dedução natural que veremos a seguir). Veremos também que um teorema33, de sua parte, não possui premissas. Logo será deduzido exclusivamente a partir de hipóteses que estão para o teorema assim como as premissas para o argumento34.

Imaginemos o argumento α, β, χα, β, χα, β, χα, β, χ├δδδδ

αααα regras εεεε regras

ββββ de de δδδδ χχχχ DN γγγγ DN

conclusões intermediárias

“novas premissas”

P R O V A

ATENÇÃO: Essa demonstração (prova) será organizada da seguinte forma:

33 Na sintát ica usamos teorema para designar aquelas fórmulas que

consti tuem verdades lógicas na semântica. 34 “ . . .uma proposição é provada em um sistema axiomático se ela puder ser

derivada a part ir dos axiomas usando-se as regras da lógica; uma fórmula é derivada em um sistema formal se puder se obtida por apl icações das regras de produção” (Mortari , 2001, p.234). Note-se que a derivação se dá sem recurso à signif icação, trata-se de procedimento puramente sintát ico.

PREMISSAS CONCLUSÃO

184

FASE INICIAL

I) Em caso de argumento, o primeiro passo é arrolar as premissas (só elas!, exclui-se por óbvio a conclusão (δδδδ), já que é justamente ela que queremos deduzir), empilhando-as:

α

β

χ

II)enumeramos um tanto de linhas:

1)α

2)β

3)χ

4)

5)

...

III)indicamos à direita que as linhas que contêm premissas!

1)α P

2)β P

3)χ P

4)

5)

...

FASE DE DESENVOLVIMENTO

IV)Aplicando as regras da dedução natural, completaremos as novas linhas com “conclusões intermediárias”, indicando à direita a linha e a regra que utilizamos:

1)α P

2)β P

3)χ P

4)ε 1,2 MP

“MP” é a abreviação de modus ponens. Uma das regras de dedução (cf. item 3.2.6). Não é nosso objetivo agora estudar a regra, mas só ilustrar como devemos organizar a demonstração na qual ela e outras regras serão aplicadas.

185

5)γ 3 E&

...

FASE FINAL

V)Quando a conclusão a que desejamos chegar ocorrer numa das linhas, então a prova está feita:

1)α P

2)β P

3)χ P

4)ε 1,2 MP

5)γ 3 E&

6)δ 4,5 Ι&

A seguir, na demonstração das regras de dedução natural utilizaremos α, β, χ e δ para indicar quais quer fórmulas, p.ex, αααα poderia ser:

P

P&Q

R→(P&Q)

Pa

Pa&Qa

Ra→(Pa&Qa)

∃xRx→(Pa&Qa)

∀xFx ↔ ~∃x~Fx

3.2 Regras primitivas de dedução natural – DN

Cada operador possuirá duas regras primitivas. Uma para incluí-lo, outra para excluí-lo. Isso para que seja possível extrairmos ao máximo as deduções. Faltasse-nos alguma fórmula para inclusão do operador &, p.ex., então nunca conseguiríamos demonstrar por dedução natural a validade óbvia do seguinte argumento: αααα& ββββ├ββββ& αααα, já que, para tanto, teríamos de excluir o & que une as fórmulas da premissa para juntá-las (incluindo o &) invertidas na

no cálculo proposicional

no cálculo de predicados

186

conclusão.

Considerando que o cálculo de proposicional possui cinco operadores &, v, →, ↔, ~, aos quais o cálculo de predicados inseriu mais dois ∀ e ∃, teremos 14 regras primitivas no total.

Sem mais delongas, passemos às regras então:

3.2.1 Inclusão do operador &

Se temos α e β, então podemos deduzir α&β ou β&α, logo a regra primitiva da inclusão do & pode ser esquematizada da seguinte forma:

α

β

α&β Notem, pois, que para incluir o operador & preciso de duas fórmulas

(α e β), para daí deduzir α&β.

3.2.2 Exclusão do operador &

Para excluir o &, a regra é a seguinte:

α&β α&β

α β

Noutros termos, se tenho α&β, então posso deduzir α e β. Trata-se de regra com duas versões, conforme observa o prof. Mortari:

Note ainda que algumas regras têm duas versões, como a regra de separação: dada uma conjunção α&β, você pode tanto concluir α, como β. (Mortari, 2001, p.241)

3.2.3 Inclusão do operador v

A regra da inclusão do operador v é interessante. Tendo uma fórmula

Premissas da regra

Conclusão da regra

187

qualquer, digamos α, então posso incluir qualquer outra fórmula (β) pelo operador da disjunção (v), pois não importa se β é verdadeira ou não, pois na disjunção exclusiva basta uma delas ocorrer, no caso α.

Vejamos a regra:

α

αvβ

3.2.4 Exclusão do operador v

A exclusão do operador da disjunção v também é, pode-se dizer, atípica. Ao se excluir o operador, pode-se chegar a fórmula diversa daquelas unidas pela disjunção. Eis a regra, com três premissas e uma conclusão:

αvβ

α→γ

β→γ

γ

A explicação é a seguinte: se α ou β ocorre, se a implica γ e β também implica γ, então γ certamente ocorre.

É importante destacar desde logo que γ é uma fórmula qualquer (!), logo nada impede que γ seja α ou β, logo poderíamos ter:

αvβ

α→α

β→α

α

Basta para tanto que α implique α (o que é óbvio, pois qualquer coisa implica a si mesmo) e β implique α.

3.2.5 Inclusão do operador →

A inclusão da implicação → tem um peculiaridade. Faz-se mediante a abertura de uma hipótese de prova condicional H(PC). Veremos que o mesmo acontece com a inclusão da negação ~. Em síntese temos:

188

Regras primitivas de DN que geram abertura de hipóteses*:

a) Inclusão do operador →

b) Inclusão do operador ~

*Existe mais uma que oportunamente explicitaremos.

Observem que o operador da implicação só é falso quando ocorrido o antecedente, não há o consequente (se v(α)=1, v(β)=0, então v(α→β)=0). Por isso, ao supormos ocorrido o antecedente (e, ao supor, nada mais fazemos que formular uma hipótese), se conseguirmos deduzir o consequente, então a implicação é verdadeira, pois, mesmo que falso seja o antecedente, ao deduzir dele e das demais premissas o consequente, a implicação é válida: se v(α)=0, v(β)=1, então v(α→β)=1 !

Daí que na dedução natural, quando na conclusão houver alguma implicação, pode-se lançar mão da regra da prova condicional RPC, supondo um antecedente qualquer como hipótese de prova condicional H(PC).

De qualquer forma, a suposição é sempre temporária e se desfaz sempre que alcançamos a consequência da implicação cujo antecedente admitiu-se por hipótese.

O prof. Manholi explicou a regra da seguinte forma:

Γn

α

...

β

α→β

O símbolo Γn significa que durante uma dedução natural podem existir n fórmulas antes da hipótese, ou seja, pode-se lançar hipótese de I→ em qualquer fase da demonstração.

Esse traço indica a existência de uma hipótese aberta. Não fazê-lo constitui falha na demonstração.

Deduzida a fórmula que comporá o conseqüente da implicação, fecha-se a hipótese, incluindo a implicação fora dela.

189

3.2.6 Exclusão do operador →

A exclusão do operador da implicação é simples. Constitui uma regra batizada de modus ponens (MP). Temos aqui duas premissas e uma conclusão:

α→β

α

β

Ora, se α→β, ocorrendo α, ocorre β.

3.2.7 Inclusão do operador ↔

A regra de inclusão do operador da bi-implicação ↔ também é simples. Contém duas premissas e uma conclusão:

α→β

β→α

α↔β ou β↔α

Se α→β e β→α, então α↔β ou, por óbvio, β↔α.

3.2.8 Exclusão do operador ↔

Também é simples. O raciocínio é praticamente o mesmo da I↔, mas invertido e com uma única premissa:

α↔β

α→β ou β→α

190

3.2.9 Inclusão do operador ~

Como já adiantado, a inclusão do operador da negação ~ exige a formulação de hipótese. Trata-se da chamada redução ao absurdo (RAA). A ideia é a seguinte, toda vez que a inclusão de uma fórmula qualquer gerar uma contradição, posso deduzir a negação dela.

O prof. Manholi explicou a regra da seguinte forma:

Γn

α

...

β&∼β

∼α

É importante frisar que, eventualmente, se a hipótese já for uma negação, p.ex. ~α, a conclusão da RAA será a negação da negação, logo ~~α. Não é possível deduzir diretamente α, pois a E~ (exclusão da negação) possui regra específica a ser demonstrada. Vejamo-la abaixo.

3.2.10 Exclusão do operador ~

Regra extremamente simples. A negação da negação anula-se por si só:

∼∼α

α

3.2.11 Inclusão do quantificador ∀

Lembre-se agora que falamos das regras de inclusão e exclusão dos quantificadores universal ∀ e existencial ∃.

Vide observação acima (item 3.2.5)

Chegando-se a uma contradição, pode-se fechar a hipótese de RAA e deduzir a negação da hipótese. No caso, ~α (negação de α).

191

No que tange à inclusão do quantificador ∀, a regra é simples, porém comporta duas restrições que veremos a seguir. Por meio da I∀, a partir de uma fórmula atômica - por exemplo Fa (Aristóteles é filósofo) - teríamos uma fórmula universal ∀xFx (todos são filósofos), o que por si só já justificaria as restrições.

Vamos à regra35:

Fa

∀xFx

Explicação da regra: para qualquer fórmula α, posso incluir o quantificador universal ∀ mediante a substituição de ao menos uma constante individual qualquer (no exemplo “a”) por alguma variável individual qualquer (no caso “x”).

Ocorre que, para se concluir que todos são filósofos (∀xFx) a partir de Aristóteles é filósofo (Fa), algumas restrições devem ser observadas:

Restrições:

i) A constante individual (ex: “a”) não pode ocorrer nas premissas;

ii) A constante individual não pode ocorrer em hipóteses vigentes (ainda não descartadas).

A obediência às restrições demonstram que a inclusão não foi tendenciosa. Como acentua o prof. Mortari: A ideia é que nós não fizemos nenhuma suposição especial a respeito do indivíduo “a”, mas a inclusão do ∀ deve ter caráter geral, isto é, válido para qualquer indivíduo (“x”) (Mortari, 2001, p.271).

ATENÇÃO : Há uma distinção relevante entre hipótese H(PC) e derivação hipotética. Hipótese é apenas a fórmula que foi lançada como hipótese, no caso α; derivação hipotética constitui todo o procedimento a partir da hipótese até a conclusão (α→β). A restrição incide sobre hipóteses abertas, não derivações hipotéticas abertas!!!!

35 Rigorosamente essa não é a regra, mas uma exempli ficação dela. O

objet ivo aqui não é expô-la, mas faci l i tar-lhe a apl icação, o que pode ser mais faci lmente alcançado por meio de um exemplo. A enunciação da regra é fei ta pelo prof. Manhol i em aula e na obra Lógica Elementar da qual ele é o autor (Cf. Manhol i , Lógica Elementar, pp.64 e ss.).

192

Prossegue o prof. Mortari, dizendo que, não fosse a restrição “i”, o argumento abaixo seria válido:

1. Fa P Premissa: Aristóteles é filósofo.

2. ∀xFx 1, I∀ Conclusão: Todos são filósofos. (INVÁLIDO)36

Vou ficar devendo por ora aos colegas uma demonstração de uma hipótese na qual a afronta à restrição “ii” geraria um problema intuitivamente perceptível.

3.2.12 Exclusão do quantificador ∀

De sua parte, a exclusão do quantificador é intuitivamente mais simples, pois, se tudo é mortal (∀xMx), então é fácil dizer que um indivíduo qualquer é mortal (Ma). A regra, portanto, é a seguinte:

∀xFx

Fa

Ou seja: basta substituirmos a variável individual por uma constante individual qualquer.

Note-se: não há restrições à regra . Observe-se ainda:

a)podemos escolher qualquer constante individual esteja ou não na dedução;

b)não precisamos repetir a dedução para todas as constantes presentes, como ocorre na árvore de refutação.

36 cf. Mortari , 2001, p.271.

Se todo mundo é filósofo; Aristóteles é filósofo.

193

3.2.13 Inclusão do quantificador ∃

A inclusão do quantificador ∃ também não comporta restrições, porquanto é fácil entender que se Aristóteles é filósofo (Fa), então existe alguém que é filósofo (∃xFx). A regra é, pois, assim:

Fa

∃xFx

Em outros termos: Fa├∃xFx. Se “a” tem a propriedade F, então existe ao menos um x que tem a propriedade F!

Importante: Imaginemos uma fórmula Fa&~Gb. A inserção do quantificador fica assim: ∃x(Fx&~Gb) ou ∃x(Fa&~Gx), mas não ∃x(Fx&Gx). Poderá haver duas inserções como ∃x∃y(Fx&~Gy).

A mesma coisa pode ser dita da regra da inclusão do ∀. Tomando a mesma fórmula Fa&~Gb, a inserção do quantificador fica assim: ∀x(Fx&~Gb) ou ∀x(Fa&~Gx), mas não ∀x(Fx&Gx), podendo haver duas inserções como ∀x∀y(Fx&~Gy).

3.2.14 Exclusão do quantificador ∃

A regra da exclusão do quantificador existencial ∃ é, na minha opinião, a mais complexa. Primeiro porque exige a formação de uma hipótese, segundo porque comporta quatro restrições. Vamos à regra, depois às explicações.

∃xFx

Fa Η(E∃)

...

β

β

É a hipótese de exclusão do ∃. Exclui-se o quantificador ∃ e substitui a variável individual por uma constante individual.

A fórmula deduzida será o produto da exclusão do ∃.

194

Ocorre que para se concluir que Aristóteles é filósofo (Fa), a partir da proposição existe ao menos um filósofo (∃xFx) quatro restrições deverão ser obedecidas:

Restrições:

A primeiras duas são as mesmas da inclusão do quantificador ∀ (i e ii):

i) A constante individual (no exemplo “a”) não pode ocorrer nas premissas;

ii) A constante individual não pode ocorrer em hipóteses vigentes (ainda não descartadas);

iii) A constante individual não pode ocorrer na fórmula da qual se extraiu o quantificador ∃∃∃∃, ex: ∃∃∃∃x(Fx →→→→Ga);

iv) A constante individual não pode estar em ββββ, ex: β= β= β= β=Ga.

Importante : respeitadas as restrições acima, podemos incluir qualquer constante individual ainda que ela já esteja presente na dedução, diferentemente do que sucede na árvore de refutação, na qual precisamos de uma constante inédita no ramo.

Novamente, importa considerar que as restrições existem para garantir que o procedimento de indicar um indivíduo específico para ocupar a propriedade existente em ao menos um indivíduo não foi tendencioso. Vejam o que nos diz o prof. Mortari:

O ponto de partida, por exemplo, é que existe algum indivíduo com alguma propriedade. Digamos, alguém é filósofo: ∃xFx. Então deveríamos poder concluir, de um indivíduo particular, que ele é um filósofo. Mas que indivíduo escolher? Platão? Einstein? Yoda? Como sabe a quem a propriedade se aplica? (Mortari, 2001, p.276)

Pergunta-se: Por que a exclusão do ∃ não é tão simples quanto a exclusão do ∀?

Ora, se dizemos que todo o mundo tem a propriedade de F, então é óbvio que um o Sérgio tem essa propriedade F (∀xFx→Fa). Porém, se ao menos um (ou algum) indivíduo tem a propriedade F, como podemos garantir que é o Sérgio que tem a propriedade F (∃xFx→Fa)?

Exemplo : Se todo o ser humano é mamífero [∀x(Hx→Mx)], então Sérgio é mamífero (Hs→Ms). Agora, se algum ser humano é estudante de filosofia [∃x(Hx & Fx)], como podemos garantir que Sérgio é um dos estudantes de filosofia [Hs & Fs]?

As restrições, portanto, visam garantir que a indicação de Sérgio não é especialmente interessada , mas decorrente de uma hipótese de exclusão do ∃, que não leva em consideração as particulares do indivíduo.

195

3.2.15 Algumas dicas sobre as regras primitivas

3.2.15.1 Regras que abrem hipóteses

Das 14 regras, apenas 3 exigem hipóteses:

a)regra da inclusão da →

b)regra da inclusão da ~

c)regra da exclusão do ∃

Note que o resultado das regras é diferente para cada uma delas:

Vejamos para Fa→Ga, ~Fa, ∃xFx:

I→ (PC) I~ (RAA) E∃

Fa Fa Fa

... ... ...

Ga Pa&~Pa Hb

Fa→Ga ~Fa Hb

Observe-se, pois, que, fechada a hipótese, temos:

a)Em I→: uma implicação entre a fórmula da H(PC) e a fórmula deduzida;

b)Em I~: uma negação da fórmula da H(RAA);

c)Em E∃: a repetição da fórmula deduzida.

196

3.3 Regras derivadas de dedução natural – DN

3.3.1 Silogismo disjuntivo – SD

O silogismo disjuntivo é uma regra derivada com duas premissas, a saber α v β, ∼α. Daí conclui-se β: α α α α v β, ∼αβ, ∼αβ, ∼αβ, ∼α├ β. β. β. β.

É intuitivo que, se ou α ocorre ou β ocorre, sabendo que α não ocorre, então β ocorre. Na demonstração por dedução natural, a regra central da nossa estratégia é a regra da Ev:

α v β α → γ β → γ_ γ

Como visto no item precedente, nada impede que γ seja igual a α ou a β. Logo, basta deduzirmos α → β e β → β, para obtermos β, pela regra da Ev.

1) α v β P 2) ∼α P 3) α H(PC) 4) ~β H(RAA) 5) α & ∼α 2,3 I& 6) ~~β 4−5 RAA 7) β 6 E~ 8) α → β 3-7 PC 9) β H(PC) 10) β → β 9-9 PC 11) β 1,8,10 Ev

Aqui, preciso deduzir de α, β. Porém, só por RAA isso seria possível. Assim, para obter β, lancei a hipótese contrária ~β, para depois obter ~~β e, na seqüência, β. Não importa que a contradição α e ~α já estivesse presente: de uma contradição podemos deduzir qualquer coisa.

Como você pode perceber, deduzi β de αvβ, α→βe de β→β, que é exatamente a regra da Ev.

Note que, lançando β como H(PC), você não precisará deduzir nada para obter β→β, pois ββββ já está na hipótese. Isso nada mais significa senão que qualquer coisa implica a si mesmo.

197

3.3.2 Modus Tollens – MT

Trata-se de regra com duas premissas, a saber α→β, ∼β. Daí conclui-se ~α: α α α α→→→→β, ∼ββ, ∼ββ, ∼ββ, ∼β├ ∼α. ∼α. ∼α. ∼α. É bom entender intuitivamente: se α ocorre, então β ocorre; mas eu sei que β não ocorre, logo α não ocorreu.

Observe a dedução natural:

1)α→β P 2)~β P 3) α H(RAA) 4) β 1,3 MP 5) β&~β 2,4 I& 6)~α 3-5 RAA

3.3.3 Silogismo hipotético – SH

O silogismo hipotético (SH) pode ser expressado da seguinte forma: αααα→→→→β, ββ, ββ, ββ, β→→→→γ γ γ γ ├ αααα→→→→γ. γ. γ. γ. Ou seja, se α implica β (premissa 1) e β implica γ (premissa 2), então α implica γ (conclusão).

A demonstração por dedução natural é a seguinte: 1)α→β P 2)β→γ P 3) α H(PC) 4) β 1,3 MP 5) γ 2,4 MP 6)α→γ 3-5 PC

Quero deduzir ~α, então reduzi ao absurdo α. Com isso, por modus ponens obtive β, para conseguir uma contradição β&~β.

198

3.3.4 Dilema Construtivo – DC

Parece tranquilo entender que, se α implica χ e β implica δ, ocorrendo α ou β, tenho também χ ou δ. É o dilema construtivo (DC), representado da seguinte forma: ααααvββββ, αααα→→→→χχχχ, ββββ→→→→δδδδ├χχχχvδδδδ.

α α→χ χ ou + e = ou

β β→δ δ

1)αvβ P 2)α→χ P 3)β→δ P 4) α H(PC) 5) χ 2,4 MP 6) χvδ 5 Iv 7)α→(χvδ) 4-5 PC 8) β H(PC) 9) δ 3,8 MP 10) χvδ 9 Iv 11)β→(χvδ) 8-10 PC 12)χvδ 1,7,11 Ev

199

3.3.5 Leis de De Morgan – DM

Trata-se das leis formuladas no séc. XIX pelo lógico inglês Augustus De Morgan. Lembremos da explicação da regra da árvore de refutação, pois ela nos será útil agora (cf. 2.3.3.1).


∼(α&β) abre ramos ∼(α&β)

~α ~β

∼(αvβ) empilha ∼(αvβ) ∼α ∼β

Observe acima que se temos ∼(α&β), então temos também dois ramos: ~α ou ~β ; o que significa (∼αv∼β) e, considerando que o inverso também ocorre, podemos dizer ├ ~(αααα & ββββ)↔↔↔↔(~αααα v ~ββββ).

Observe outrossim que se temos ∼(αvβ), então temos também empilhados: ~α e ~β ; o que significa (∼α&∼β) e, considerando que o inverso também ocorre, podemos dizer ├ ~(αααα v ββββ)↔↔↔↔(~αααα & ~ββββ).

Não se esqueça que os sinais e operadores mudam:

├~(αααα & ββββ)↔↔↔↔(~αααα v ~ββββ)

├~(αααα v ββββ)↔↔↔↔(~αααα & ~ββββ)

Segue a demonstração de ambas as leis por dedução natural:

Chamaremos de LEI A de DM

Chamaremos de LEI B de DM

200

Lei A

├~(αααα & ββββ)↔↔↔↔(~αααα v ~ββββ)

1) ~(α & β) H(PC) 2) ∼(∼α v ∼β) H(RAA) 3) α H(RAA) 4) β H(RAA) 5) α&β 3,4 I& 6) (α&β) & ∼(α&β) 1,5 I& 7) ~β 4-6 RAA 8) ~α v ~β 7 Iv 9) (~α v ~β) & ∼(~α v ~β) 2,8 I& 10) ~α 3-9 RAA 11) ~α v ~β 10 Iv 12) (~α v ~β) & ∼(~α v ~β) 2,11 I& 13) ~∼(~α v ~β) 2-12 RAA 14) ~α v ~β 13 E~ 15)~(α & β)→ (~α v ~β) 1-14 PC 16) ~αααα v ~ββββ H(PC) 17) α & β H(RAA) 18) αααα 17 E& 19) ~~αααα 18 DN 20) ~β 16,19 SD 21) β 17 E& 22) β & ~β 20,21 I& 23) ~(α&β) 17-22 RAA 24)(~α v ~β) → ~(α&β) 16-23 PC 25) ~(α & β)↔ (~α v ~β) 15,24 I↔

Reparem o que ocorre nas ll. 16 e 18. Temos ~αααα v ~β β β β (linha 16) e α α α α (linha 18). Sabemos intuitivamente que a é o oposto de ~α, porque nos é muito claro que ~~α = α, porém para a aplicação da regra derivada do SD temos de ter duas premissas αvβ,~α├β, ou seja, precisamos na segunda premissa de uma fórmula α que negue uma das duas unidas pelo operador v. Ocorre que a negação de ~α é ~~α, não α. Portanto, não devemos prescindir da l.19, na qual utilizamos outra regra derivada chamada dupla negação (DN), exposta abaixo(cf.3.3.7). A seguir uma demonstração sem utilização desta regra derivada:

(...)

18) α 17 Ε&

19) ~α H(RAA)

20) α&~α 18,19 I&

21) ~~α 19-20RAA

(...)

201

Lei B

├~(αααα v ββββ)↔↔↔↔(~αααα & ~ββββ)

1) ~(α v β) H(PC) 2) αααα H(RAA) 3) α v β 2 Iv 4) (α v β) & ~(α v β) 1,3 I& 5) ~α 2-4 RAA 6) ββββ H(RAA) 7) α v β 6 Iv 8) (α v β) & ~(α v β) 1,7 I& 9) ~β 6-8 RAA 10) ~αααα & ~ββββ 5,9 I& 11) ~(α v β)→(~α & ~β) 1-10 PC 12) ~α & ~β H(PC) 13) α v β H(RAA) 14) ~α 12 E& 15) β 13,14 SD 16) ~β 12 E& 17) β & ∼β 15,16 I& 18) ~(α v β) 13-17 RAA 19) (~α & ~β)→~(α v β) 12-18 PC 20) ~(α v β)↔ (~α & ~β) 11,19 I↔

3.3.6 Implicação material – IM

A implicação material tem algo similar às leis de De Morgan. Segundo essa regra derivada ├~(αααα→→→→ββββ)↔↔↔↔(αααα&~β)β)β)β).

Vejam:


∼(α→β) empilha ∼(α→β) α ∼β

Assim, se temos ∼(α→β), então temos também empilhados: α e ~β ; o que significa (α&∼β) e, considerando que o inverso também ocorre, podemos dizer ├~(αααα & ββββ)↔↔↔↔(αααα & ~ββββ).

Não há necessidade de uma hipótese de RAA ~(~α & ~β), pois através de duas hipótese de RAA (ll.2,6) chegaremos a (~α & ~β) na linha 10.

202

Segue abaixo a demonstração por dedução natural da regra da implicação material:

1) ~(α→β) H(PC) 2) ~(α&~β) H(RAA) 3) ~αvβ 2 DM 4) α H(PC) 5) ~~α 4 DN 6) β 3,5 SD 7) α→β 4-6 PC 8) (α→β)&~(α→β) 1,7 I& 9) ~~(α&~β) 2-8 RAA 10) α&~β 9 E~ 11)~(α→β)→(α&~β) 1-10 PC 12) α&~β H(PC) 13) α→β H(RAA) 14) α 12 E& 15) β 13,14 MP 16) ~β 15 E& 17) β&~β 15,16 I& 18) ~(α→β) 13-17 RAA 19)(α&~β)→~(α→β) 12-18 PC 20)~(α→β)↔(α&~β) 11,19 I↔

ATENÇÃO : para aplicação da regra da IM é necessária a negação da implicação - ~(α→β) -, o que não é o caso da simples negação do antecedente da implicação: ~α→β. Noutros termos: ~(α→β ) ≠ (~α→β).

3.3.7 Dupla negação – DN

α├~~α 1)α P 2) ~α H(RAA) 3) α&~α 1,2 I& 4)~~α 2-3 RAA

Cf. observações sobre SD em 3.3.1 e 3.3.5, lei A.

203

3.3.8 Contradição – CT

De uma contradição, posso extrair qualquer fórmula: α, ~α├β. É a regra derivada da contradição, exposta a seguir:

1)α P 2)~α P 3) ~β H(RAA) 4) α&~α 1,2 I& 5)~~β 3-4 RAA 6)β 5 E~

DICA: ββββ pode ser qualquer fórmula, inclusive uma nova contradição (P&~P).

Um exemplo: P, ~P├(∃xFx→Qb) v (Qb→∃xFx)

1)P P 2)~P P 3)(∃xFx→Qb) v (Qb→∃xFx) 1,2 CT

Demonstração sem utilização da regra da CT:

1)P P 2)~P P 3) ~((∃xFx→Qb) v (Qb→∃xFx)) H(RAA) 4) P&~P 1,2 I& 5)~~((∃xFx→Qb) v (Qb→∃xFx)) 3-4 RAA 6)(∃∃∃∃xFx →→→→Qb) v (Qb →→→→∃∃∃∃xFx) 5 E~

3.3.9 Algumas dicas na DN

Diferentemente da tabela de verdade e da árvore de refutação, a dedução natural não é uma receita de bolo que, uma vez seguida rigorosamente, nos faz chegar ao objetivo esperado. Com efeito, precisamos fazer as escolhas certas se quisermos alcançar algum resultado. Por isso, apresentaremos a seguir algumas dicas para, por assim dizer, nos ajudar a fazer uma “boa escolha”, mesmo que elas não possam garantir que o faremos.

Para deduzir β, introduza uma hipótese contrária ~β.

ATENÇÃO : é desnecessária a explicitação da contradição com P & ~P, justamente porque essa demonstração não faz parte da regra derivada. Noutras palavras, a regra é α, ~α├β, e não α, ~α, α&∼α├β. Inclusive constitui equívoco justificar a regra da contradição (CT) com algo além das duas premissas. Logo, seria equivocada a indicação na linha 4:

1)P P 2)~P P 3)P&~P 1,2I& 4) (∃∃∃∃xFx→→→→Qb) v (Qb→→→→∃∃∃∃xFx) 1,2,3 CT

O certo seria apenas 1,2 CT, o que demonstra que a l.3, mesmo que deduzida corretamente, é desnecessária.

204

3.3.9.1 Dicas do prof. Mortari

I)antes de iniciar as deduções:

a)se o objeto é deduzir das premissas do argumento a respectiva conclusão, nada mais razoável do que procurar nas premissas a própria conclusão. Donde, de duas uma:

a1)a conclusão aparece como subfórmula nas premissas. Exemplo:

{Sabc→→→→(Fa&Fb), Sabc}├ Fa&Fb

Nesse caso devemos empreender uma estratégia para extrair das premissas a conclusão que entre elas já se encontra, procurando a(s) regra(s) de DN que nos permita(m) fazê-lo.

ATENÇÃO : É provável que várias deduções intermediárias sejam necessárias até a dedução da conclusão do argumento. O que se quer sublinhar é o modo de pensar: de trás para frente , ou seja, sempre a partir da conclusão estabelece-se a estratégia para deduzi-la das premissas.

Notem a semelhança entre o jogo de xadrez e a dedução natural. Tal como na dedução natural, no xadrez devemos efetuar um lance apenas depois de identificarmos um objetivo preciso para ele. O objetivo final do xadrez é a captura do rei do adversário; na dedução natural, a obtenção da conclusão.

a2)a conclusão não aparece como subfórmula nas premissas. Exemplo:

{Pa→→→→Qb, Pa&~Rab, Rab v (Qb→→→→Pa)}├ (Pa↔↔↔↔Qb)

Nessas hipóteses, o prof. Mortari sugere37:

i)quando a conclusão é uma conjunção (&) : derive cada elemento individualmente; depois, junte-os usando a regra da I&;

37 Mortari , 2001, p.248.

A conclusão é uma subfórmula de Sabc→→→→(Fa&Fb) .

Observe que Pa↔↔↔↔Qb não aparece nas premissas, porém temos Pa→→→→Qb e Qb →→→→Pa.

205

ii)quando a conclusão é uma bicondicional ( ↔↔↔↔): derive primeiro os condicionais correspondentes e depois aplique a regra da I↔;

iii)quando a conclusão é uma disjunção (v) : derive qualquer uma das fórmulas unidas pela disjunção (v) e depois use a regra de Iv.

3.3.9.2 Outras dicas

Poderíamos, ainda, arriscar outras possibilidades para além das mencionadas pelo prof. Mortari. Ei-las:

iv)quando a conclusão é uma negação (~) : pode funcionar uma RAA da fórmula que é negada;

v)quando a conclusão é uma implicação ( →→→→): normalmente uma hipótese PC; ou uma RAA do contrário da fórmula;

vi)quando a conclusão é um quantificador existencia l (∃∃∃∃) ou universal ( ∀∀∀∀): derive a fórmula atômica ou molecular e depois use a regra da I∃ ou da I∀, conforme o caso. Cuidado com a inclusão do universal, que exige obediência a duas restrições.

Mais dicas:

vii)sempre que houver negação da implicação ~(Pa →→→→Qa), da disjunção ~(PavQa) e da conjunção ~(Pa&Qa) lembre-se das regras derivadas: De Morgan (DM) e Implicação Material (IM)38;

viii)toda vez que tivermos uma contradição , podemos inserir qualquer fórmula por RAA para deduzir o contrário dela;

ix)lembre-se que pela regra da Iv podemos inserir q ualquer fórmula . Ex: se temos Pa, então temos Pavαααα;

x)na regra da exclusão do quantificador existencial (E∃), uma forma de superar a

38 O domínio dessas regras é muito út i l , pois podem ser apl icadas também

para formar negações. Lembremos: (α& β)↔~(~αv~β) por DM; (αvβ)↔~(~α&~β) por DM; (α&∼β)↔~(α→β) por IM.

206

4ª restrição (a constante individual não pode estar na fórmula resultante - cf. todas as restrições acima item 3.2.14) é a utilização da regra da CT (sobre CT v. item 3.3.8; para exemplos disso v. item 3.4).

Dica importante: atente sempre para os operadores principais das fórmulas!!! As regras de dedução incidem apenas sobre esses operadores.

Dica importante2: nunca se esqueça de demonstrar a contradição (αααα&~αααα) antes de fechar uma hipótese de RAA.

Dica importante 3: opte pela demonstração mais econômica, estude as regras derivadas de DN, use-as, abuse delas. Quanto menor o número de linhas, tanto menor a possibilidade de erro (cf. no item 3.4 alguns exercícios resolvidos de mais de uma forma, algumas mais outras menos econômicas).

Dica importante 4: na dedução natural procure ler o argumento, a fórmula ou o conjunto de fórmulas. Isso estimula nossa intuição. Um exemplo: antes de proceder à dedução do argumento a seguir, procure entendê-lo: { ∀x(Hx→Cx), ∃x(Hx&Mx)} ├ ∃x(Cx&Mx). Veja, ele diz: para qualquer x, se x tiver H, então x tem C; existe ao menos um x que tem H e M, logo existe ao menos um x que tem C e M. Note que a 2ª premissa {∃x(Hx&Mx)} nos diz que existe alguém que tem H e M; logo, se tem H, tem C segundo a 1ª premissa { ∀x(Hx→Cx)} e, se assim é, então esse alguém tem C e M {∃x(Cx&Mx)}. Entendendo isso, podemos imaginar que nossa dedução natural partirá do desmembramento da 2ª premissa com parte da qual extrairemos alguma coisa da 1ª e, então, juntando tudo, chegaremos à conclusão. Observe:

1)∀x(Hx→Cx) P 2)∃x(Hx&Mx) P 3) Ha&Ma 2, H(E∃) 4) Ha 3 E& 5) Ma 3 E& 6) Ha→Ca 1 E∀ 7) Ca 4,6 MP 8) Ca&Ma 5,7 I& 9) ∃x(Cx&Mx) 8 I∃ 10)∃x(Cx&Mx) 2, 3-9 E∃

Organizada a dedução, na l.3 iniciou-se o processo de desmembramento da 2ª premissa {∃x(Hx&Mx)}. Como é uma existencial, aplicou-se a regra da E∃ que inaugura uma hipótese, ao cabo da qual tivemos a conclusão (l.10). Dentro da hipótese, investiu-se contra a 1ª premissa (l.6). O “Ha” (l.4) extraído da 2ª premissa serviu-nos para extrair “Ca” por modus ponens (l.7). Daí nos bastou juntar Ca&Ma (l.8), incluir o existencial de novo (l.9) e extrair nossa conclusão na l.10, encerrando a hipótese de E∃. Note, ainda, que a inclusão do ∃ na l.9 teve dupla finalidade: a)superou a 4ª restrição da regra da E∃ e b)nos levou diretamente à conclusão do argumento. Repare, à vista disso, que todas essas etapas foram guiadas pela intuição inicial que tivemos depois da leitura do argumento.

207

Observe, também, estas dicas rapidinhas:

se temos podemos ter pela regra

α α v (qualquer outra fórmula) Iv

~~ α DN

∼∼α α E~

α&~α temos qualquer fórmula CT

α&β α E&

β E&

~(α→~β) IM

~(~αv~β) DM

αvβ ~(~α&~β) DM

α↔β α→β E↔

β→α E↔

Fa ∀xFx I∀

∃xFx I∃

∀xFx Fa E∀

~(αvβ) ~α&~β DM

~(α&β) ~αv~β DM

~(α→β) α&~β IM

E AGORA A MELHOR DICA DE TODAS : quanto mais você praticar tanto mais fácil será a resolução dos novos exercícios por conta da experiência alcançada a partir de exercícios passados!!!

208

3.4 Resolução comentada de exercícios na dedução natural (sintaxe II)

Embora tudo seja dedução natural, anoto que os exercícios resolvidos e comentados abaixo envolvem ora cálculo de predicados ora cálculo proposicional. A sequência foi aleatória39.

1)├∀∀∀∀xFx ↔↔↔↔ ~∃∃∃∃x~Fx

1) ∀xFx H(PC) 2) ∃x~Fx H(RAA) 3) ~Fa 2, H(E∃) 4) Fa 1 E∀ 5) P&~P 3,4 CT 6) P&~P 2,3-5 E∃ 7) ~∃x~Fx 2-6 RAA 8) ∀xFx → ~∃x~Fx 1-7 PC 9) ~∃x~Fx H(PC) 10) ~∀xFx H(RAA) 11) ~Fa H(RAA) 12) ∃x~Fx 11 I∃ 13) ∃x~Fx & ~∃x~Fx 9,12 I& 14) ~~Fa 11-13 RAA 15) Fa 14 E~ 16) ∀xFx 15 I∀ 17) ∀xFx & ~∀xFx 10,16 I& 18) ~~∀xFx 10-17 RAA 19) ∀xFx 18 E~ 20) ~∃x~Fx → ∀xFx 9-19 PC 21) ∀xFx ↔ ~∃x~Fx 8, 20 I↔

39 A bem da verdade, a sequência não é totalmente arbitrária, mas não é

baseada nos exercício, senão na série de comentários que os ladeiam.

Cuida-se de um teorema, logo a dedução começa com uma hipótese de PC.

Observe que extraindo o ~Fa de ∃x~Fx, você conseguirá uma contradição extraindo Fa de ∀xFx. Porém, por conta da 4ª restrição à regra da E∃ (a constante não pode aparecer na fórmula deduzida), tivemos de usar a regra da contradição (CT), também derivada, para extrairmos P&~P e, com ela, a contradição que precisávamos para deduzir ~∃x~Fx na linha 7.

Atente que para E∀ não há restrições!

209

2)├∃∃∃∃xFx↔↔↔↔~∀∀∀∀x~Fx

1) ∃xFx H(PC) 2) ∀x~Fx H(RAA) 3) Fa 1, H(E∃) 4) ~Fa 2 E∀ 5) P&~P 3,4 CT 6) P&~P 1,3-5 E∃ 7) ~∀x~Fx 2-6 RAA 8) ∃xFx→~∀x~Fx 1-7 PC 9) ~∀x~Fx H(PC) 10) ~∃xFx H(RAA) 11) Fa H(RAA) 12) ∃xFx 11 I∃ 13) ∃xFx & ~∃xFx 10,12 I& 14) ~Fa 11-13 RAA 15) ∀x~Fx 14I∀ 16) ∀x~Fx & ~∀x~Fx 9,15I& 17) ~~∃xFx 10-17 RAA 18) ∃xFx 18 E~ 19) ~∀x~Fx→∃xFx 9-19 PC 20)∃xFx↔~∀x~Fx 8, 20 I↔

Lembre-se: para inclusão do ∃ não há limitação.

A regra da RAA é a da inclusão do operador da negação (~), logo se obtém como resultado a negação da fórmula lançada na hipótese. Assim, de α, obtém-se ~α.

Importante : constitui erro inserir direto ∃xFx (!), pressupondo já a eliminação da negação (~~). Esse passo também precisa ser demonstrado.

Em teoremas cujo operador principal for a implicação (→) ou a bi-implicação (↔) sempre inicie com H(PC).

Sendo o operador principal do teorema uma bi-implicação (α↔β), a estratégia de dedução é dividida em três partes: a)dedução da implicação α→β; b)dedução da implicação β→α; c)inclusão o operador ↔ a partir das duas fórmulas deduzidas. Veja, portanto, que na linha 8 deduzimos ∃xFx→~∀x~Fx (etapa “a”), logo, para conseguirmos ~∀x~Fx→∃xFx (etapa “b”), lançamos como H(PC) ~∀x~Fx na linha 9.

210

3)├~∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∃∃∃∃x~Fx

1) ~∀xFx H(PC) 2) ~∃x~Fx H(RAA) 3) ~Fa H(RAA) 4) ∃x~Fx 3 I∃ 5) ∃x~Fx & ~∃x~Fx 2,4 I& 6) ~~Fa 3-5 RAA 7) Fa 6 E~ 8) ∀xFx 7 I∀ 9) ∀xFx & ~∀xFx 1,8 I& 10) ~~∃x~Fx 2-9 RAA 11) ∃x~Fx 10 E~ 12) ~∀xFx → ∃x~Fx 1-11 PC 13) ∃x~Fx H(PC) 14) ∀xFx H(RAA) 15) Fa 14 E∀ 16) ~Fa 13, H(E∃) 17) P&~P 15,16 CT 18) P&~P 13,16-17 E∃ 19) ~∀xFx 14-18 RAA 20) ∃x~Fx→~∀xFx 13-19 PC 21) ~∀xFx ↔ ∃x~Fx 12, 20 I↔

Extraiu-se o Fa pela E∀(l.15) para que, excluído o ~Fa pela E∃ (l.16), obtivéssemos uma contradição (ll.15 e 16) que nos permitisse usar a regra CT e deduzir P&~P (l.17) da ∃x~Fx. Com isso, alcançou-se mais uma contradição para fechamento da hipótese de RAA aberta na l. 14.

Lançou-se ~Fa como hipótese de RAA (l.3) porque com a imediata I∃ sobre ela, obteve-se a contradição na l.5.

Com Fa, ficou fácil conseguir uma nova contradição a partir da I∀, como se vê das ll.8 e 9.

211

4)├~∃∃∃∃xFx↔↔↔↔∀∀∀∀x~Fx

1) ~∃xFx H(PC) 2) ~∀x~Fx H(RAA) 3) Fa H(RAA) 4) ∃xFx 3, I∃ 5) ∃xFx & ~∃xFx 1,4 I& 6) ~Fa 3-5 RAA 7) ∀x~Fx 6 I∀ 8) ∀x~Fx & ~∀x~Fx 2,7 I& 9) ~~∀x~Fx 2-8 RAA 10) ∀x~Fx 9 E~ 11) ~∃xFx → ∀x~Fx 1-10 PC 12) ∀x~Fx H(PC) 13) ∃xFx H(RAA) 14) ~Fa 12E∀ 15) Fa 13, H(E∃) 16) ~(P&~P) H(RAA) 17) Fa & ~Fa 14,15 I& 18) ~~(P&~P) 16-17 RAA 19) P&~P 18 E~ 20) P&~P 13,15-19 E∃ 21) ~∃xFx 13-20 RAA 22) ∀x~Fx → ~∃xFx 12-21 PC 23) ~∃xFx ↔ ∀x~Fx 11,22 I↔

As ll.16-19 demonstram o que seria facilmente economizado pela aplicação da regra derivada da contradição (CT). Ou seja, as ll. referidas poderiam ser substituídas pela seguinte: 16)....P&~P 14,15CT.

212

5) ├(∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx) →→→→ ∀∀∀∀x(Fx v Gx)

A seguir apresentaremos duas formas de resolução:

1) ∀xFx v ∀xGx H(PC) 2) ~∀x(Fx v Gx) H(RAA) 3) ~∀xFx H(RAA) 4) ∀xGx 1,3 SD 5) Ga 4 E∀ 6) Fa v Ga 5 Iv 7) ∀x(Fx v Gx) 6 I∀ 8) ∀x(Fx v Gx) & ~∀x(Fx v Gx) 2,7 I& 9) ~~∀xFx 3-8 RAA 10) ∀xFx 9 E~ 11) Fa 10 E∀ 12) Fa v Ga 11 Iv 13) ∀x(Fx v Gx) 12 I∀ 14) ∀x(Fx v Gx) & ~∀x(Fx v Gx) 2,13 I& 15) ~~∀x(Fx v Gx) 2-14 RAA 16) ∀x(Fx v Gx) 15 E~ 17) (∀xFx v ∀xGx) → ∀x(Fx v Gx) 1-16 PC

Resolução do mesmo exercício de outra forma:

1) ∀xFx v ∀xGx H(PC) 2) ∀xFx H(PC) 3) Fa 2 E∀ 4) Fa v Ga 3Iv 5) ∀x(FxvGx) 4 I∀ 6) ∀xFx→∀x(FxvGx) 2-5 PC 7) ∀xGx H(PC) 8) Ga 7 E∀ 9) Fa v Ga 8 Iv 10) ∀x(FxvGx) 9 I∀ 11) ∀xGx→∀x(FxvGx) 7-10 PC 12) ∀x(FxvGx) 1,6,11 Ev 13) (∀xFx v ∀xGx)→∀x(FxvGx) 1-12 PC

Observe que não é possível aplicar DM, pois a negação ~ incide sobre ∀x, não sobre (Fx v Gx)!

Note: (Fa v Ga), e não (Ga v Fa), pois o objetivo é incluir o ∀para obter contradição com l.2.

Confira sempre as duas restrições: a constante individual “a” não aparece em nenhuma premissa, tampouco hipótese aberta.

Quando o operador da disjunção estiver presente, pense sempre na regra de Ev. Como se pode ver, essa segunda forma de resolução é mais simples, simétrica e econômica.

213

6)├∃∃∃∃x(Fx v Gx) ↔↔↔↔ (∃∃∃∃xFx v ∃∃∃∃xGx)

1) ∃x(Fx v Gx) H(PC) 2) ~(∃xFx v ∃xGx) H(RAA) 3) ~∃xFx & ~∃xGx 2 DM 4) Fa H(RAA) 5) ∃xFx 4 I∃ 6) ~∃xFx 3 E& 7) ∃xFx & ~∃xFx 5,6 I& 8) ~Fa 4-7 RAA 9) Fa v Ga 1 H(E∃) 10) Ga 8,9 SD 11) ∃∃∃∃xGx 10 I ∃∃∃∃ 12) ~∃∃∃∃xGx 3 E& 13) ∃∃∃∃xGx & ~ ∃∃∃∃xGx 11,12 I& 14) ∃∃∃∃xGx & ~ ∃∃∃∃xGx 1,9-13 E ∃∃∃∃ 15) ~~(∃xFx v ∃xGx) 2-14 RAA 16) ∃xFx v ∃xGx 15 E~ 17) ∃x(Fx v Gx) → (∃xFx v ∃xGx) 1-16 PC 18) ∃xFx v ∃xGx H(PC) 19) ~∃x(Fx v Gx) H(RAA) 20) ~∃xFx H(RAA) 21) ∃xGx 18,20 SD 22) Ga 21 H(E∃) 23) Fa v Ga 22 Iv 24) ∃x(FxvGx) 23 I∃ 25) ∃x(FxvGx) 21,22-24 E∃ 26) ∃x(FxvGx) & ~∃x(FxvGx) 19,25 I& 27) ~~∃xFx 20-26 RAA 28) ∃xFx 27 E~ 29) Fa 28 H(E∃) 30) Fa v Ga 29 Iv 31) ∃∃∃∃x(FxvGx) 30 I ∃∃∃∃ 32) ∃∃∃∃x(FxvGx) 28,29-31 E ∃∃∃∃ 33) ∃∃∃∃x(FxvGx) & ~ ∃∃∃∃x(FxvGx) 19,32 I& 34) ~~∃x(FxvGx) 19-33 RAA 35) ∃x(FxvGx) 34 E~ 36) (∃xFx v ∃xGx) → ∃x(Fx v Gx) 18-35 PC 37) ∃x(Fx v Gx) ↔ (∃xFx v ∃xGx) 17,36 I↔

Veja que a constante “a” já foi mencionada antes nas ll.4 e 8, porém a hipótese da l.4 já está fechada, portanto não é vigente; e a fórmula da l.8 não é premissa tampouco hipótese. Logo as restrições foram observadas, já que a constante “a” também não consta na fórmula da l.1, nem da fórmula deduzida (l.13).

Observe ll.11-14 e 31-33 (todas em vermelho). Destaquei-as para que fique claro que na resolução não há diferença entre se deduzir a contradição dentro ou fora da derivação hipotética de exclusão do ∃(regra de E∃).

214

A propósito do exercício anterior, abaixo segue resolução muito mais sintética e elegante elaborada pelo próprio prof. Manholi:

1) ∃x (Fx v Gx) H (PC) 2) Fa v Ga H (E∃) 3) Fa H (PC) 4) ∃xFx 3 I∃ 5) ∃xFx v ∃xGx 4 Iv 6) Fa → (∃xFx v ∃xGx) 3-5 PC 7) Ga H (PC) 8) ∃xGx 7 I∃ 9) ∃xFx v ∃xGx 8 Iv 10) Ga → (∃xFx v ∃xGx) 7-9 PC 11) ∃xFx v ∃xGx 2, 6, 10 Ev 12) ∃xFx v ∃xGx 1, 2-11 E∃ 13) ∃x (Fx v Gx) → (∃xFx v ∃xGx) 1-12 PC 14) ∃xFx v ∃xGx H (PC) 15) ∃xFx H (PC) 16) Fa H (E∃) 17) Fa v Ga 16 Iv 18) ∃x (Fx v Gx) 17 I∃ 19) ∃x (Fx v Gx) 15, 16-18 E∃ 20) ∃xFx → ∃x (Fx v Gx) 15-19 PC 21) ∃xGx H (PC) 22) Ga H (E∃) 23) Fa v Ga 22 Iv 24) ∃x (Fx v Gx) 23 I∃ 25) ∃x (Fx v Gx) 21, 22-24 E∃ 26) ∃xGx → ∃x (Fx v Gx) 21-25 PC 27) ∃x (Fx v Gx) 14, 20, 26 Ev 28) (∃xFx v ∃xGx) → ∃x (Fx v Gx) 14-27 PC 29) ∃x (Fx v Gx) ↔ (∃xFx v ∃xGx) 13-28 I↔

Isso demonstra que um exercício pode ser feito de m ais de uma maneira.

215

7)├∀∀∀∀x(Fx v ~Fx)

1) ~(Fa v ~Fa) H(RAA) 2) ~Fa & ~~Fa 1DM 3)~~(Fav~Fa) 1-2 RAA 4)Fa v ~Fa 3 E~ 5)∀x(Fx v ~Fx) 4 I∀

Note nesse exercício que a inclusão de uma H(RAA) inicial seria expletiva. Veja abaixo a resolução do mesmo exercício:

1) ~∀x(Fx v ~Fx) H(RAA) 2) ~(Fa v ~Fa) H(RAA) 3) ~Fa & ~~Fa 2DM 4) ~~(Fav~Fa) 2-3 RAA 5) Fa v ~Fa 4 E~ 6) ∀∀∀∀x(Fx v ~Fx) 5 I ∀∀∀∀ 7) ∀x(Fx v ~Fx) & ~∀x(Fx v ~Fx) 1,6 I& 8)~~∀x(Fx v ~Fx) 1-7 RAA 9)∀x(Fx v ~Fx) 8 E~

Tudo o que está em vermelho foi incluindo sem necessidade, a saber, ll 1, 7-9. Basta verificar que as ll. 2-6 correspondem exatamente às linhas ll.1-5 da demonstração anterior.

Importa destacar que a contradição já está cabalmente demonstrada. (P & ~P) ↔↔↔↔ (~Fa & ~~Fa)

216

8)├∀∀∀∀x(Fx↔↔↔↔Gx)→→→→(∀∀∀∀xFx↔↔↔↔∀∀∀∀xGx)

1) ∀x(Fx↔Gx) H(PC) 2) Fa↔Ga 1 E∀ 3) ∀xFx H(PC) 4) Fa→Ga 2 E↔ 5) Fa 3 E∀ 6) Ga 4,5 MP 7) ∀xGx 6 I∀ 8) ∀xFx→∀xGx 2-7 PC 9) ∀xGx H(PC) 10) Ga→Fa 2 E↔ 11) Ga 9 E∀ 12) Fa 10,11 MP 13) ∀xFx 12 I∀ 14) ∀xGx→∀xFx 9-13 PC 15) ∀xFx↔∀xGx 8,14 I↔ 16) ∀x(Fx↔Gx)→(∀xFx↔∀xGx) 1-15 PC

A estrutura da estratégia nesse exercício é a seguinte: criar uma hipótese de PC da qual se produzirão duas implicações ∀xFx→∀xGx e ∀xGx→∀xFx, para se chegar a ∀xFx↔∀xGx, donde o passo final: ∀x(Fx↔Gx)→(∀xFx↔∀xGx).

9)├∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)→→→→∃∃∃∃x(Fx↔↔↔↔Gx)

1) ∃x(Fx↔Gx) H(PC) 2)∃x(Fx↔Gx)→∃x(Fx↔Gx) 1-1 PC

Note que da mesma forma que β implica β (β→β), ∃x(Fx↔Gx) implica ∃x(Fx↔Gx). Logo, e porque qualquer coisa implica a si mesma, imediatamente após lançarmos como H(PC) o antecedente da implicação “(∃x(Fx↔Gx)”, podemos fechá-la e deduzir: ∃x(Fx↔Gx)→∃x(Fx↔Gx).

Obs*: já vimos isso no silogismo disjuntivo (v. item 3.3.1).

Veja que “a” não está numa hipótese aberta, mas numa derivação lógica aberta (l.2), daí a ausência de restrições.

É uma boa estratégia desde logo excluir o universal para derivar Fa↔Ga, pois a fórmula será útil em duas outras hipóteses (ll.4 e 10). Evita-se assim excluir o universal duas vezesem cada subhipótese.

217

10)├(P&Q)↔↔↔↔(Q&P)

1) P&Q H(PC) 2) P 1 E& 3) Q 1 E& 4) Q&P 2,3 I& 5)(P&Q)→(Q&P) 1-4 PC 6) Q&P H(PC) 7) Q 6 E& 8) P 6 E& 9) P&Q 7,8 I& 10)(Q&P)→(P&Q) 6-9 PC 11)(P&Q)↔ (Q&P) 5,10 I↔

A estratégia geral é desmembrar as fórmulas moleculares para depois juntar as atômicas de modo invertido. Compare ll.1 e 4; ll.6 e 9.

11)├(PvQ)↔↔↔↔(QvP)

1) PvQ H(PC) 2) P H(PC) 3) QvP 2 Iv 4) P→(QvP) 2-3 PC 5) Q H(PC) 6) QvP 5Iv 7) Q→(QvP) 5-6 PC 8) QvP 1,4,7 Ev 9)(PvQ)→(QvP) 1-8 PC 10) QvP H(PC) 11) Q H(PC) 12) PvQ 11 Iv 13) Q→(PvQ) 11-12 PC 14) P H(PC) 15) PvQ 14 Iv 16) P→(PvQ) 14-15 PC 17) PvQ 1,13,16 Ev 18)(QvP)→(PvQ) 10-17 PC 19)(PvQ)↔(QvP) 9,18 I↔

Excelente modelo para treino da regra da exclusão do v. Fazer com RAA é possível, porém mais longo e complicado.

218

12)├(P v Q)↔↔↔↔(~P→→→→Q)

1) PvQ H(PC) 2) ~P H(PC) 3) Q 1,2 SD 4) ~P→Q 2-3 PC 5)(P v Q)→ (~P→Q) 1-4 PC 6) ~P→Q H(PC) 7) ~(PvQ) H(RAA) 8) ~P&~Q 7 DM 9) ~P 8 E& 10) ~Q 8 E& 11) Q 6,10 MP 12) Q & ~Q 10,11 I& 13) ~~(PvQ) 7-12 RAA 14) PvQ 13 E~ 15)(~P→Q)→(PvQ) 6-14 PC 16) (P v Q)↔(~P→Q) 5,15 I↔

Abaixo, resolução do mesmo exercício também correta, porém mais longa, por meio de RAA na linha 2 (procedimento em vermelho):

1) PvQ H(PC) 2) ~(~P→Q) H(RAA) 3) ~P & ~Q 2 IM 4) ~(PvQ) 3 DM 5) (PvQ) & ~(PvQ) 1,4 I& 6) ~~(~P→Q) 2-5 RAA 7) ~P→Q 6 E~ 8)(P v Q)→(~P→Q) 1-7 PC 9) ~P→Q H(PC) 10) ~(PvQ) H(RAA) 11) ~P & ~Q 10 DM 12) ~P 11 E& 13) ~Q 11 E& 14) Q 9,12 MP 15) Q & ~Q 13,14 I& 16) ~~(PvQ) 10-15 RAA 17) PvQ 16 E~ 18)(~P→Q)→(PvQ) 9-17 PC 19) (P v Q)↔(~P→Q) 8,18 I↔

Na l.1 queremos “fazer a ida”: (PvQ)→ (~P→Q). Na l.2, uma H(RAA) de ~(~P→Q) também daria certo, mas exigiria muito mais esforço (vide abaixo). Uma H(PC) é mais econômica e se justifica porque o operador principal da fórmula conseqüente é também uma implicação.

Em caso de negação do operador & ou do operador v, pense em DM, geralmente ajuda, como foi o caso.

Aqui a RAA me pareceu a única saída mais factível.

219

13)├(Pv(QvR))↔↔↔↔((PvQ)vR)

1) Pv(QvR) H(PC) 2) P H(PC) 3) PvQ 2 Iv 4) (PvQ)vR 3Iv 5) P→((PvQ)vR) 2-4 PC 6) Q H(PC) 7) PvQ 6 Iv 8) (PvQ)vR 7 Iv 9) Q→((PvQ)vR) 6-8 PC 10) (PvQ)vR 1,5,9 Ev 11)(Pv(QvR))→((PvQ)vR) 1-10 PC 12) (PvQ)vR H(PC) 13) ~(Pv(QvR)) H(RAA) 14) PvQ H(PC) 15) ~P H(RAA) 16) Q 14,15 SD 17) QvR 16 Iv 18) Pv(QvR) 17 Iv 19) (Pv(QvR))&~(Pv(QvR)) 13,18 I& 20) ~~P 15-19 RAA 21) P 20 E~ 22) Pv(QvR) 21 Iv 23) (PvQ)→(Pv(QvR)) 14-22 PC 24) R H(PC) 25) QvR 24 Iv 26) Pv(QvR) 25 Iv 27) R→(Pv(QvR)) 24-26 PC 28) Pv(QvR) 12,23,27 Ev 29) (Pv(QvR))& ~(Pv(QvR)) 13,28 I& 30) ~~(Pv(QvR)) 13-29 RAA 31) Pv(QvR) 30E~ 32)((PvQ)vR)→(Pv(QvR)) 12-31 PC 33)(Pv(QvR))↔ ((PvQ)vR) 11,32 I↔

Quando o operador principal de uma H(PC) for um v, pense na regra de exclusão do v, é comum obter-se um bom resultado, como ocorreu no exemplo ao lado.

Também apliquei a regra da exclusão do v, mas dentro de uma H(RAA), que não consegui evitar.

220

14)├(P&(QvR))↔↔↔↔((P&Q)v(P&R)) Intuitivamente: se Sérgio (P) vai à festa com Judith (Q) ou com Laudicéia (R), então na festa encontraremos Sérgio e Judith (P&Q) ou Sérgio e Laudicéia (P&R). De outro lado também podemos dizer se na festa encontraremos Sérgio e Judith (P&Q) ou Sérgio e Laudicéia (P&R), podemos dizer também que na festa Sérgio estará lá ou com Judith ou com Laudicéia (P&(QvR))!40

1) P&(QvR) H(PC) 2) ~((P&Q)v(P&R)) H(RAA) 3) P 1 E& 4) QvR 1 E& 5) ~R H(RAA) 6) Q 4,5 SD 7) P&Q 3,6 I& 8) (P&Q) v (P&R) 7 Iv 9) ((P&Q) v (P&R)) & ~((P&Q) v (P&R)) 2,8 I& 10) ~~R 5-9 RAA 11) R 10 E~ 12) P&R 3,11 I& 13) (P&Q) v (P&R) 12 Iv 14) ((P&Q) v (P&R)) & ~((P&Q) v (P&R)) 2,13 I& 15) ~~((P&Q)v(P&R)) 2-14 RAA 16) (P&Q)v(P&R) 15 E~ 17)(P&(QvR))→((P&Q)v(P&R)) 1-16 PC 18) (P&Q)v(P&R) H(PC) 19) P&Q H(PC) 20) P 19 E& 21) Q 19 E& 22) QvR 21 Iv 23) P&(QvR) 20,22 I& 24) P&Q→(P&(QvR)) 19-23 PC 25) P&R H(PC) 26) P 25 E& 27) R 25 E& 28) QvR 27 Iv 29) P&(QvR) 26,28 i& 30) P&R→(P&(QvR)) 25-29 PC 31) P&(QvR) 18,24,30 Ev 32)((P&Q)v(P&R)→(P&(QvR)) 18-31 PC 33) (P&(QvR))↔ ((P&Q)v(P&R)) 17,32 I↔

40 Baseado em fatos reais.

Para “fazer a volta”, a regra da Ev foi muito útil. Cf. ll.18,24,30,31. Seria possível também por RAA, embora mais longa a demonstração estaria correta (vide na próx. página).

Em azul marquei uma seqüência interessante. Note que para alcançar o contrário de ~((P&Q)v(P&R)), basta conseguir (P&Q) ou (P&R), por conta da regra da inclusão do v. Note que na l.12, obtive (P&R), daí na l.13 consegui (P&Q)v(P&R) para na linha seguinte (l.14) obter a contradição para fechar a H(RAA) com ((P&Q) v (P&R)) & ~((P&Q) v (P&R)).

221

Demonstração por RRA na l.19 da volta - ((P&Q)v(P&R))→(P&(QvR))41: (...) 18) (P&Q)v(P&R) H(PC) 19) ~(P&(QvR) H(RAA) 20) ~(P&R) H(RAA) 21) P&Q 18,20 SD 22) P 21 E& 23) Q 21 E& 24) QvR 23 Iv 25) P&(QvR) 22,25 I& 26) (P&(QvR)) & ~(P&(QvR)) 19,25 I& 27) ~~(P&R) 20-26 RAA 28) P&R 27 E~ 29) P 28 E& 30) R 28 E& 31) QvR 30 Iv 32) P&(QvR) 29,31 I& 33) (P&(QvR)) & ~(P&(QvR)) 19,32 I& 34) ~~(P&(QvR)) 19-33 RAA 35) P&(QvR) 34 E~ 36)((P&Q)v(P&R))→(P&(QvR)) 18-35 PC (...)

ATENÇÃO : essa demonstração foi parcial, devendo ser entendida, mutatis mutandis, como integrante da resolução anterior.

41 Demonstração sugerida pelo colega Sérgio Adriano Ribeiro.

222

15)├(Pv(Q&R))↔↔↔↔((PvQ)&(PvR))

1) Pv(Q&R) H(PC) 2) P H(PC) 3) PvQ 2 v 4) PvR 2 Iv 5) (PvQ)&(PvR) 3,4 I& 6) P→((PvQ)&(PvR)) 2-5 PC 7) Q&R H(PC) 8) Q 7 E& 9) R 7E& 10) PvQ 8 Iv 11) PvR 9Iv 12) (PvQ)&(PvR) 10,11 I& 13) (Q&R)→((PvQ)&(PvR)) 7-12 PC 14) (PvQ)&(PvR) 1,6,13 Ev 15)(Pv(Q&R))→((PvQ)&(PvR)) 1-14 PC 16) (PvQ)&(PvR) H(PC) 17) PvQ 16 E& 18) PvR 16 E& 19) ~(Pv(Q&R)) H(RAA) 20) ~P H(RAA) 21) Q 17,20 SD 22) R 18,20 SD 23) Q&R 21,22 I& 24) Pv(Q&R) 23 Iv 25) (Pv(Q&R))& ~(Pv(Q&R)) 19,24 I& 26) ~~P 20-25 RAA 27) P 26 E~ 28) Pv(Q&R) 27 Iv 29) (Pv(Q&R))& ~(Pv(Q&R)) 19,28 I& 30) ~~(Pv(Q&R)) 19-29 RAA 31) Pv(Q&R) 30 E~ 32)((PvQ)&(PvR))→(Pv(Q&R)) 16-31 PC 33)(Pv(Q&R))↔((PvQ)&(PvR)) 15,32 I↔

Observe: se P ocorre, então (PvR) ocorre; assim como (PvQ) também ocorre. Ou seja (P v α)α)α)α) ocorre. É a fantástica regra da inclusão do v, que nos socorre no exemplo.

Deduzimos tudo isso de P, como se vê das ll.3-5.

Na l.6, fechamos a primeira premissa da regra da exclusão do v que nos permitirá na l.14 deduzir o conseqüente da primeira H(PC) aberta l.1. Na l.15 fechamos a hipótese com a ida pronta, isto é: (Pv(Q&R))→((PvQ)&(PvR)).

223

16)├((P&(Q&R)) ↔↔↔↔((P&Q)&R)

1) P&(Q&R) H(PC) 2) P 1 E& 3) Q&R 1 E& 4) Q 3 E& 5) R 3 E& 6) P&Q 2,4 I& 7) (P&Q)&R 5,6 I& 8)((P&(Q&R))→((P&Q)&R) 1-7 PC 9) (P&Q)&R H(PC) 10) P&Q 9 E& 11) R 9 E& 12) P 10 E& 13) Q 10 E& 14) Q&R 11,13 I& 15) P&(Q&R) 14,15 I& 16)((P&Q)&R)→(P&(Q&R)) 9-15 PC 17)((P&(Q&R))↔((P&Q)&R) 8,16 I↔

O princípio é desmembrar para unir noutra ordem.

17)├(∃∃∃∃xFx→→→→∀∀∀∀x(GxvHx))→→→→(~Hb→→→→(Fa→→→→Gb))

1) ∃xFx→∀x(GxvHx) H(PC) 2) ~Hb H(PC) 3) Fa H(PC) 4) ∃xFx 3 I∃ 5) ∀x(GxvHx) 1,4 MP 6) GbvHb 5 E∀ 7) Gb 2,6 SD 8) Fa→Gb 3-7 PC 9) ~Hb→(Fa→Gb) 2-8 PC 10) (∃xFx→∀x(GxvHx))→(~Hb→(Fa→Gb)) 1-9 PC

3 H(PC) por conta dos três operadores da fórmula:(∃∃∃∃xFx→→→→∀∀∀∀x(GxvHx))→→→→(~Hb→→→→(Fa→→→→Gb))

O ponto mais importante neste exercício é esse passo na l.6. Note-se que a eliminação do ∀ ocorreu com a constantes “b”. Isso porque o objetivo era deduzir Gb, como feito na l. 7 por SD. Relembre que para exclusão do ∀ não há restrições.

224

18){∀∀∀∀x(Hx→→→→Cx), ∃∃∃∃x(Hx&Mx)} ├∃∃∃∃x(Cx&Mx)

Trata-se de um argumento. O procedimento é considerar as premissas { ∀x(Hx→Cx), ∃x(Hx&Mx)} para delas deduzir a conclusão ∃x(Cx&Mx). Mãos à obra:

1)∀x(Hx→Cx) P 2)∃x(Hx&Mx) P 3) Ha&Ma 2, H(E∃) 4) Ha 3 E& 5) Ma 3 E& 6) Ha→Ca 1 E∀ 7) Ca 4,6 MP 8) Ca&Ma 5,7 I& 9) ∃x(Cx&Mx) 8 I∃ 10)∃x(Cx&Mx) 2,3-9 E∃

19){∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx), ∀∀∀∀x~Rxx, Rab}├ ~Rba

1)∀x∀y(Rxy→~Ryx) P 2)∀x~Rxx P 3)Rab P 4)∀y(Ray→~Rya) 1 E∀ 5)Rab→~Rba 4 E∀ 6)~Rba 3,5 MP

Observe que não posso ainda fechar a hipótese de exclusão do ∃, já que incidiria a 4ª restrição. Por isso, incluiu-se o ∃ na l. 9, deduzindo diretamente a conclusão na l. 10, encerrando a hipótese de exclusão do ∃ com a conclusão já devidamente deduzida.

Repare que essa premissa é redundante, pois prescindível na dedução.

É um caso em que a dedução natural é mais simples que a árvore derefutação.

Nesse exercício, o mais relevante é escolher as constantes individuais na exclusão do ∀ nas ll. 4 e 5 de modo que na l.6 seja possível a obtenção da conclusão por modus ponens.

225

20){∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Rxy→→→→~Ryx), ∀∀∀∀x∀∀∀∀y∀∀∀∀z((Rxy&Ryz)→→→→Rxz), Rab}├ ~Rac→→→→(~Raa&~Rbc)

1)∀x∀y(Rxy→~Ryx) P 2)∀x∀y∀z((Rxy&Ryz)→Rxz) P 3)Rab P 4) ~Rac H(PC) 5) ∀y∀z((Ray&Ryz)→Raz) 2 E∀ 6) ∀z((Rab&Rbz)→Raz) 5 E∀ 7) (Rab&Rbc)→Rac 6 E∀ 8) ~(Rab&Rbc) 4,7 MT 9) ~Rab v ~Rbc 8 DM 10) ~~Rab 3 DN 11) ~Rbc 9,10 SD 12) Raa H(RAA) 13) ∀y(Ray→~Rya) 1 E∀ 14) Raa→~Raa 13 E∀ 15) ~Raa 12,14 MP 16) Raa & ~Raa 12,15 I& 17) ~Raa 12-16 RAA 18) ~Raa&~Rbc 11,17 I& 19)~Rac→(~Raa&~Rbc) 4-18 PC

Este é típico exemplo em que a dedução natural, sem ser simples, é menos trabalhosa do que a árvore de refutação (tente fazer a árvore e comprove).

21){∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃x(Fx&Gx), ∀∀∀∀x~Gx}├∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃y(Fy&~Gy))

1)∃xFx→∃x(Fx&Gx) P 2)∀x~Gx P 3) Fa H(PC) 4) ∃xFx 3 I∃ 5) ∃x(Fx&Gx) 1,4 MP 6) Fb&Gb 5 H(E∃) 7) Fb 6 E& 8) ~Gb 2 E∀ 9) Fb & ~Gb 7,8 I& 10) ∃y(Fy & ~Gy) 9 I∃ 11) ∃y(Fy & ~Gy) 5,6-10 E∃ 12)Fa→∃y(Fy & ~Gy) 3-11 PC 13)∀x(Fx→∃y(Fy&~Gy)) 12 I∀

Hipótese com constante individual “b” para superar a 2ª restrição (cf. item 3.2.14), já que “a” encontra-se numa hipótese vigente (l.3)

Exclusão do ∀ por “b”, não por “a”, v. seqüência nas ll.9-11.

IMPORTANTÍSSIMO : a inclusão do ∀ incide sobre toda a fórmula. Seria grande equívoco deduzir ∀xFx→∃y(Fy&~Gy) [incorreto!]. Como dia Mortari: “...o quantificador a ser introduzido deve aplicar-se à fórmula como um todo” (2001, p.275).

226

22){∀∀∀∀x(Gx→→→→Hx), ∀∀∀∀x(Hx→→→→~Ix)}├∀∀∀∀x(Gx→→→→~Ix)

1)∀x(Gx→Hx) P 2)∀x(Hx→~Ix) P 3) Ga H(PC) 4) Ga→Ha 1 E∀ 5) Ha→~Ia 2 E∀ 6) Ha 3,4 MP 7) ~Ia 5,6 MP 8)Ga→~Ia 3-7 PC 9)∀x(Gx→~Ix) 8 I∀

Esse mesmo exercício encontra-se no livro do prof. Mortari em 6 (seis) linhas (2001, p.271):

1)∀x(Gx→Hx) P 2)∀x(Hx→~Ix) P 3)Ga→Ha 1 E∀ 4)Ha→~Ia 2 E∀ 5)Ga→~Ia 3,4 SH 6)∀x(Gx→~Ix) 5 I∀

Aqui a regra derivada do silogismo hipotético (SH) poupou-nos 3 linhas e uma hipótese PC.

227

23){∀∀∀∀xFx, ∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)}├(Ga&(Hc→→→→Fb))

1)∀xFx P 2)∀x(Fx→Gx) P 3)Fa 1 E∀ 4)Fa→Ga 2 E∀ 5)Ga 3,4 MP 6) Hc H(PC) 7) Fb 1 E∀ 8)Hc→Fb 6-7 PC 9)Ga&(Hc→Fb) 5,8 I&

24){∃∃∃∃xFx→→→→∀∀∀∀xHx, Fa}├Hb

1)∃xFx→∀xHx P 2)Fa P 3)∃xFx 2 I∃ 4)∀xHx 1,3 MP 5)Hb 4 E∀

25){∀∀∀∀x(Fx v Gx), ∃∃∃∃xHx→→→→~Fb, Hc}├ Gb

1)∀x(Fx v Gx) P 2)∃xHx→~Fb P 3)Hc P 4)∃xHx 3 I∃ 5)~Fb 2,4 MP 6)Fb v Gb 1 E∀ 7)Gb 5,6 SD

Lembrando que não há limitação para as regras de I∃ e E∀.

Na l.6, extraí o ∀ com “b” para aplicar SD com l.5, deduzindo a conclusão na l.7.

Não tem problema algum eliminar o ∀ mais de uma vez (veja ll.3 e 7). Uma fórmula submete-se à dedução tantas vezes quantas forem necessárias.

228

26){∀∀∀∀x(Fx→→→→∃∃∃∃y(Fy&~Gy)), ∀∀∀∀xGx}├∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃x(Fx&Gx)

1)∀x(Fx→∃y(Fy&~Gy)) P 2)∀xGx P 3)Fa→∃y(Fy&~Gy) 1 E∀ 4) ∃xFx H(PC) 5) Fa 4, H(E∃) 6) ∃y(Fy&~Gy) 3,5 MP 7) Fb&~Gb 6 H(E∃) 8) Gb 2 E∀ 9) Fb 7 E& 10) Fb&Gb 8,9 I& 11) ∃x(Fx&Gx) 10 I∃ 12) ∃x(Fx&Gx) 6, 7-11 E∃ 13) ∃x(Fx&Gx) 4,5-12 E∃ 14)∃xFx→∃x(Fx&Gx) 4-13 PC

O colega Sérgio A. Ribeiro (Daimon) sugeriu essa forma de resolução, mais prática e eficiente:

1)∀x(Fx→∃y(Fy&~Gy)) P 2)∀xGx P 3) ∃xFx H(PC) 4) Fa 3, H(E∃) 5) Ga 2 E∀ 6) Fa & Ga 4,5 I& 7) ∃x(Fx&Gx) 6 I∃ 8) ∃x(Fx&Gx) 3, 4-7 E∃ 9)∃xFx→∃x(Fx&Gx) 3-8 PC

Observe que a segunda resolução é bem mais objetiva. Parte direto ao ponto: a conclusão.

Utilizando a constante “b” por conta da 2ª restrição à regra da E∃ (cf. 3.2.14).

229

27)∀∀∀∀xFx v ∀∀∀∀xGx├ ~Fa→→→→Gb

1)∀xFx v ∀xGx P 2) ∀xFx H(PC) 3) ~Fa H(PC) 4) Fa 2 E∀ 5) ~Gb H(RAA) 6) Fa&~Fa 3,4 I& 7) ~~Gb 5-6 RAA 8) Gb 7 E~ 9) ~Fa→Gb 3-8 PC 10)∀xFx→(~Fa→Gb) 2-9 PC 11) ∀xGx H(PC) 12) ~Fa H(PC) 13) Gb 11 E∀ 14) ~Fa→Gb 12-13 PC 15)∀xGx→(~Fa→Gb) 11-14 PC 16)~Fa→Gb 1,10,15 Ev

Para deduzir Gb na l.8, precisamos lançar uma H(RAA) de ~Gb(l.5) aproveitando a contradição já estabelecida nas ll.3 e 4.

230

28){∃∃∃∃xPbx, ∀∀∀∀x∀∀∀∀y(Pxy→→→→Syx)}├∃∃∃∃xSxb42

1)∃xPbx P 2)∀x∀y(Pxy→Syx) P 3) Pba 1, H(E∃) 4) ∀y(Pby→Syb) 2 E∀ 5) Pba→Sab 4 E∀ 6) Sab 3,5 MP 7) ∃xSxb 6 I∃ 8)∃xSxb 1, 3-7 E∃

29){∀∀∀∀x(Px&~Rxb), ∃∃∃∃x(~Qx v Rxb), ∀∀∀∀x(~Rxb→→→→Qx)}├∃∃∃∃yRyb

1)∀x(Px&~Rxb) P 2)∃x(~Qx v Rxb) P 3)∀x(~Rxb→Qx) P 4)Pa&~Rab 1 E∀ 5)~Rab→Qa 3 E∀ 6)~Rab 4 E& 7)Qa 5,6 MP 8) ~Qa v Rab 2, H(E∃) 9) ~~Qa 7 DN 10) Rab 8,9 SD 11) ∃yRyb 10 I∃ 12)∃yRyb 2, 8-11 E∃

42 Exercícios 28 a 30 em Mortari , 2001, p.222.

Embora não fosse o desejável à vista da conclusão que pretendemos deduzir, seria possível incluir o existencial assim: ∃xSax. Porém, estaria incorreta a inclusão ∃xSxx, porque em Sab temos duas constantes diferentes.

Aliás, estaria correto (não fizemos porque não é de nosso interesse para resolução do exercício ao lado), o seguinte procedimento:

(...) 6) Sab 3,5MP 7) ∃xSxb 6 I∃ 8) ∃y∃xSxy 7 I∃ (...)

Observe que a inclusão do “a” na hipótese de E∃ não viola nenhuma das quatro restrições.

231

30){∀∀∀∀x(Fx→→→→Hx), ∀∀∀∀z(Tz→→→→Fz), ∃∃∃∃y(Ty&Qy)} ├∃∃∃∃x(Hx&Qx)

1)∀x(Fx→Hx) P 2)∀z(Tz→Fz) P 3)∃y(Ty&Qy) P 4)Fa→Ha 1 E∀ 5)Ta→Fa 2 E∀ 6) Ta&Qa 3, H(E∃) 7) Ta 6 E& 8) Fa 5,7 MP 9) Ha 4,8 MP 10) Qa 6 E& 11) Ha&Qa 9-10 I& 12) ∃x(Hx&Qx) 11 I∃ 13)∃x(Hx&Qx) 3, 6-12 E∃

31)├ (∃∃∃∃xFx→→→→∃∃∃∃xGx)→→→→∃∃∃∃x(Fx→→→→Gx)

1) ∃xFx→∃xGx H(PC) 2) ~∃x(Fx→Gx) H(RAA) 3) Fa→Ga H(RAA) 4) ∃x(Fx→Gx) 3, I∃ 5) ∃x(Fx→Gx)& ~∃x(Fx→Gx) 2,4 I& 6) ~(Fa→Ga) 3-5 RAA 7) Fa&~Ga 6 IM 8) Fa 7 E& 9) ∃xFx 8 I∃ 10) ∃xGx 1,9 MP 11) Ga 10, H(E∃) 12) ~Ga 7 E& 13) P&~P 11,12 CT 14) P&~P 10, 11-13 E∃ 15) ~~∃x(Fx→Gx) 2-14 RAA 16) ∃x(Fx→Gx) 15 E~ 17) (∃xFx→∃xGx)→∃x(Fx→Gx) 1-16 PC

Para lembrar da regra derivada da contradição, v. item 3.3.8.

232

32)├ (PvP)↔↔↔↔P

1) PvP H(PC) 2) ~P H(RAA) 3) P 1,2 SD 4) P&~P 2,3 I& 5) ~~P 2-4 RAA 6) P 5 E~ 7)(PvP)→ P 1-6 PC 8) P H(PC) 9) PvP 8 Iv 10)P→(PvP) 8-9 PC 11)(PvP)↔P 7,10 I↔

O teorema acima foi nominado por Mortari como idempotência da disjunção (Mortari, 2001, 146). Logo abaixo teremos a idempotência da conjunção.

33)├ (P&P)↔↔↔↔P

1) P&P H(PC) 2) P 1 E& 3)(P&P)→P 1-2 PC 4) P H(PC) 5) ~P H(RAA) 6) P&~P 4,5 I& 7) ~~P 5-6 RAA 8) P 7 E~ 9) P&P 4,8 I& 10)P→(P&P) 4-9 PC 11)(P&P)↔P 3,10 I↔

233

34)├(P→→→→Q)↔↔↔↔(~Q→→→→~P)

1) P→Q H(PC) 2) ~Q H(PC) 3) ~P 1,2 MT 4) ~Q→~P 2-3 PC 5)(P→Q)→(~Q→~P) 1-4 PC 6) ~Q→~P H(PC) 7) P H(PC) 8) ~~P 7 DN 9) ~~Q 6,8 MT 10) Q 9 E~ 11) P→Q 7-10 PC 12)(~Q→~P)→(P→Q) 6-11 PC 13)(P→Q)↔(~Q→~P) 5,12 I↔

Teorema da contraposição (Mortari, 2001, p.146).

35)├((P→→→→Q)→→→→P)→→→→P

1) (P→Q)→P H(PC) 2) ~P H(RAA) 3) ~(P→Q) 1,2 MT 4) P&~Q 3 IM 5) P 4 E& 6) P&~P 2,5 I& 7) P 2-6 RAA 8)((P→Q)→P)→P 1-7 PC

Lei de Peirce (Mortari, 2001, p.146).

36)├~P→→→→(P→→→→Q)

1) ~P H(PC) 2) P H(PC) 3) ~Q H(RAA) 4) P&~P 1,2 I& 5) ~~Q 3-4 RAA 6) Q 5 E~ 7) P→Q 2-6 PC 8)~P→(P→Q) 1-7 PC

Lei de Duns Scot (Mortari, 2001, p.146).

Observe que não foi possível aplicar diretamente o MT, pois para tanto se exige a negação de b(cf. item 3.3.2); portanto a negação de ~P é ~~P, daí a inclusão na l.8 da dupla negação.

Da mesma forma, o resultado do MT é a negação de a, logo ~~Q, e não Q.

234

37)├P→→→→(Q→→→→P)

1) P H(PC) 2) Q H(PC) 3) ~P H(RAA) 4) P&~P 1,3 I& 5) ~~P 3-4 RAA 6) P 5 E~ 7) Q→P 2-6 PC 8)P→(Q→P) 1-7 PC

Teorema prefixação (Mortari, 2001, p.146).

38)├((P&Q)→→→→R)↔↔↔↔((P&~R)→→→→~Q) (antilogismo)

1) (P&Q)→R H(PC) 2) P&~R H(PC) 3) Q H(RAA) 4) P 2 E& 5) P&Q 3,4 I& 6) R 1,5 MP 7) ~R 2 E& 8) R&~R 6,7 I& 9) ~Q 3-8 RAA 10) (P&~R)→~Q 2-9 PC 11)((P&Q)→R)→((P&~R)→~Q) 1-10 PC 12) (P&~R)→~Q H(PC) 13) P&Q H(PC) 14) ~R H(RAA) 15) P 13 E& 16) P&~R 14,15 I& 17) ~Q 12,16 MP 18) Q 13 E& 19) Q&~Q 17,18 I& 20) ~~R 14-19 RAA 21) R 20 E~ 22) (P&Q)→R 13-21 PC 23)((P&~R)→~Q)→((P&Q)→R) 12-22 PC 24)((P&Q)→R)↔((P&~R)→~Q) 22-23 I↔

235

39)├((P&Q)→→→→R)↔↔↔↔(P→→→→(Q→→→→R)) (importação/exportação)

1) (P&Q)→R H(PC) 2) P H(PC) 3) Q H(PC) 4) P&Q 2,3 I& 5) R 1,4 MP 6) Q→R 3-5 PC 7) P→(Q→R) 2-6 PC 8)((P&Q)→R)→ (P→(Q→R)) 1,7 PC 9) P→(Q→R) H(PC) 10) P&Q H(PC) 11) P 10 E& 12) Q→R 9,11 MP 13) Q 10 E& 14) R 12,13 MP 15) (P&Q)→R 10-14 PC 16)(P→(Q→R))→((P&Q)→R) 9-15 PC 17)((P&Q)→R)↔(P→(Q→R)) 8,16 I↔

40){∀∀∀∀xFx, ∀∀∀∀x(Fx→→→→Gx)}├Ga

Olha que tranquilo:

1)∀xFx P 2)∀x(Fx→Gx) P 3)Fa→Ga 2 E∀ 4)Fa 1 E∀ 5)Ga 3,4 MP

41){∃∃∃∃xFx, ~∀∀∀∀x~Fx→→→→~∃∃∃∃xHx}├ ~Hb

1)∃xFx P 2)~∀x~Fx→~∃xHx P 3) Hb H(RAA) 4) ∃xHx 3 I∃ 5) ~~∃xHx 4 DN 6) ~~∀x~Fx 2,5 MT 7) ∀x~Fx 6 E~ 8) Fa 1, H(E∃) 9) ~Fa 7 E∀ 10) P&~P 8,9 CT 11) P&~P 1, 8-10 E∃ 12)~Hb 3-11 RAA

Aplicação da regra da DN para a correta aplicação do modus tollens (MT) na linha seguinte.

Regra da CT para não incidir nas restrições da E∃.

236

Referências bibliográficas MANHOLI, Carlos Luciano. Lógica elementar. (manual da disciplina de lógica II)

MORTARI, Cezar A. Introdução à lógica. São Paulo: Editora UNESP: Imprensa Oficial do Estado, 2001.

237

Índice Remissivo (Os números referem-se às páginas.)

Árvore de formação, 14

Árvore de refutação, 100 exemplos comentados, 110 interpretação, 109

Atribuição, 95

Cálculo de Predicados de 1ª ordem, 82

Cálculo Proposicional, 8

Conjunto consistente, 36, 98

Conjunto vazio consequência lógica, 66, 70 consistência, 65 estrutura, 91 valoração modelo, 52

Consequência lógica, 37, 99 no conjunto inconsistente, 66 no conjunto vazio, 66

Contingência, 39, 98

Contradição, 38, 203

Dedução natural, 183 dicas sobre, 203 regras derivadas, 196 regras primitivas, 185

dicas sobre, 195 resolução comentada de exercícios,

208 Dilema construtivo, 198

Dupla negação, 202

Estrutura, 90 definição, 91 domínio, 91 exemplos de, 93 interpretação, 92

Estrutura modelo, 98

Falsidade lógica, 98

Fórmula cláusulas (quadro comparativo), 96 definições prof. Manholi (cálc. de

predicados), 85

definições prof. Manholi (cálc. proposicional), 13

do cálculo de predicados, 84 do cálculo proposicional, 12

Igualdade/identidade, 154

Implicação material, 201

Leis de De Morgan, 199

Modus ponens, 189

Modus tollens, 197

Par ordenado, 90

Princípio da bivalência, 22

Princípio da composicionalidade, 22

Princípio da extensionalidade, 22

Quantificador existencial, 83

Quantificador universal, 83

Relação tipos, 90

Semântica do cálculo de predicados, 90 do cálculo proposicional, 22

Silogismo disjuntivo, 196

Silogismo hipotético, 197

Sintaxe do cálculo de predicados, 83 do cálculo proposicional, 8

Tabelas de verdade, 28

Tautologia, 38 antilogismo, 81 associatividade da →, 76, 77 associatividade do &, 76 associatividade do v, 77 comutatividade da ↔, 75 comutatividade do &, 74 comutatividade do v, 75 contraposição, 79 dilema construtivo, 78 dupla negação, 71 idempotência do &, 72

238

idempotência do v, 72 identidade, 74 importação/exportação, 81 lei de De Morgan, 79 lei de Duns Scot, 80 lei de Peirce, 80 modus ponens, 78 modus tollens, 78 não contradição, 74 prefixação, 80 princípio distributivo do &/v, 75, 76 silogismo disjuntivo, 80

silogismo hipotético, 74 terceiro excluído, 73

Terminologia do cálc.proposicional e do cálc.de predicados, 99

Valoração, 23 cláusulas da definição, 25 princípios, 22

Valoração modelo, 34 do conjunto vazio, 53

Verdade lógica, 97

apontamentos logica v02 2011 cangussu[1]

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