CAPITULO 1

EVENTOS ALEATORIOS Y ESPACIO MUESTRAL

En la teora de probabilidades se habla a menudo de experimentos aleatorios y de fenmenos aleatorios. La palabra aleatorio proviene del vocablo latino alea, el cual significa suerte o azar. Un fenmeno aleatorio, son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cul de stos va a ser observado en la realizacin del experimento. Un experimento: es un proceso que se observa con el fin de establecer una relacin entre condiciones en que se realizan y los resultados que se obtienen. Se clasifican en experimento determinstico y experimento aleatorio. Un experimento determinstico es aquel que al ser realizado con las mismas condiciones iniciales produce los mismos resultados. Ejemplo: Una operacin de adicin. 1 manzana + una manzana = dos manzanas Un experimento aleatorio es aquel que puede producir resultados diferentes, aun cuando se repita siempre de la misma manera, Ejemplo: El lanzamiento de un dado.Espacio muestral: se le llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. El espacio muestral se denota como S. Ejemplo: Los resultados posibles del lanzamiento de un dado. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Los espacios mustrales se clasifican en: 1. Espacio muestral discreto, son espacios maestrales cuyos elementos resultan de hacer conteos, siendo por lo general subconjuntos de los nmeros enteros. . 2. Espacio muestral continuo, son espacios mustrales cuyos elementos resultan de hacer mediciones, siendo por lo general intervalos en el conjunto de los nmeros reales.Evento: Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Los eventos normalmente se denotan con las letras maysculas A, B, C; y tienen la caracterstica de ser subconjuntos de S ((A, B, C) S). Los eventos pueden ser: Evento seguro, Eventos compatibles, Evento incompatibles, Eventos independientes, Eventos dependientes, Evento contrario.Operaciones con sucesos o eventos: Como son subconjuntos del espacio muestral S, se pueden aplicar las operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unin, la interseccin y la diferencia de eventos.Diagramas de Venn: Los Diagramas de Venn, suelen emplearse para Representar un espacio muestral y sus eventosDiagramas de rbol. Un diagrama de rbol: es una representacin grfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nmero finito de maneras de ser llevado a cabo.

CAPITULO 2TECNICAS DE CONTEOLas tcnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difciles de cuantificar.Se les denomina tcnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de rbol, las que a continuacin se explicarn y hay que destacar que stas nos proporcionan la informacin detodas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.Principio fundamental del conteo: En la teora fundamental del Conteo se tienen dos principios bsicos, que son la base para desarrollar otros conceptos como permutaciones y combinaciones.El principio bsico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando hay dos o ms caractersticas que pueden variar.Principio de multiplicacin o multiplicativo: Algunos problemas de probabilidad pueden resolverse aplicando este principio.Suponga que una persona desea preparar un almuerzo para sus amigos y tiene dos recetas para la sopa, tres para el plato principal y dos para el postre.Principio aditivo: Este principio tiene las mismas premisas del principio multiplicativo, pero con la condicin no de que los eventos sean independientes sino de que sean mutuamente excluyentes, es decir que cada uno ocurra sin la necesidad de que otro lo haga. El nmero total de maneras en las que pueden realizarse los eventos es la adicin: n1 + n2 + n3 ...Factorial de un nmero: El factorial de un nmero es la multiplicacin de los nmero que van del 1 a dicho nmero. Para expresar el factorial se suele utilizar la notacin n!. As la definicin es la siguiente: n! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ... x (n-1) x n.Permutaciones y variaciones: Enmatemticas, dado unconjuntofinito, llamamospermutacina cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto.Por ejemplo, en el conjunto {1, 2,3}, cada ordenacin posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutacin. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".Combinacin: Unacombinacines un modo de seleccionar objetos de un conjunto, en donde (al contrario de unapermutacin) el orden en el cual se disponen los elementos no es importante. Informalmente, una combinacin es un ordenamiento denelementos tomados dekenk, con o sin repeticin, llamada sucintamente combinaciones de n en k.Regla del exponente: Se trata de un tipo de combinacin o arreglo ordenado en donde siempre hay reemplazo del elemento que se toma.Exponentes: Sea la expresin exponencial an, se dice que a es la base y n es el exponente. El exponente n indica las veces que se debe multiplicar la base a.

CAPITULO 3AXIOMAS DE PROBABILIDADReglas de multiplicacin: Cuando se presentan dos eventos, el resultado del primero puede tener un efecto en el resultado del segundo, o puede no tenerlo. Esto quiere decir que los eventos pueden ser dependientes o independientes. Probabilidades marginales bajo independencia estadsticaUna probabilidad marginal o incondicional, es aquella probabilidad simple de un evento, es decir brinda la probabilidad de un determinado evento por separado sin que est condicionada por al factor.Ejemplo: P(A), P (B). La probabilidad de dos o ms eventos independientes que se presentan juntos o en sucesin es el producto de sus probabilidades marginales, esto es: Probabilidad bajo condiciones de dependencia estadsticaLa dependencia estadstica existe cuando la probabilidad de que se presente algn suceso, depende o se ve afectada por la presentacin de algn otro evento.Las probabilidades conjuntas bajo condiciones de dependencia estadstica se obtendran as:

MISCELANEAS DE EJERCICIOSEJERCICIOS CAPITULO 1

1. Luego de una semana de parciales exitosa, tu mejor amiga y tu deciden ir a ver una pelcula a un multicine de 13 salas. Decida si cada una de las siguientes situaciones es aleatoria o no lo es:

a) .A que numero de sala irn?b) .Cuanto tiempo tardaran en la fila de la boletera para adquirir las entradas?c) .Que pelcula vern?Solucin:a) Aleatoriob) Aleatorioc) No aleatorio

3. Michael y Robert son dos turistas ingleses que han venido al Per a conocer una de las siete maravillas del mundo. Despus de visitar Macchu Picchu, ellos deciden ir a disfrutar de las comidas tpicas que se ofrecen en el restaurante El ltimo Inca. A Carlos, el sobrino del dueo, se le ha encomendado la tarea de observar que platos tpicos comern los dos turistas. La lista de platos es la siguiente:Trucha con papas fritas Milanesa de alpaca Cuy con papas Guiso de alpaca Suponiendo que cada turista pedir solo un plato, responda a las siguientes preguntas acerca de lo observado por Carlos.a. La situacin descrita es aleatoria?b. Cul es el espacio muestral del experimento?c. Describa por extensin y comprensin dos eventos.

Solucin:a. La situacin es aleatoria, pues Carlos, que es el observador, no sabe que plato pedirn.b. = {(T; T),(T; M),(T; C),(T; G), (M; M),(M;C),(M; G),(C;C),(C; G),(G; G)} Donde T: trucha, M: milanesa, C: cuy, G: guiso.c. 1 = {M, M)}. Los dos turistas comen milanesa de alpaca.

4. Silvia decide ir a comprar dos cajas (distintas) de discos compactos de msica clsica. En el catalogo de msica se tienen a cantantes como: Enrico Caruso, Franco Corelli, Luciano Pavarotti, Placido Domingo y Juan Flrez. En cada caja vienen 2 discos compactos de diferentes tenores, distribuidos de la siguiente manera:

Caja 1: Caruso y CorelliCaja 2: Pavarotti y DomingoCaja 3: Flores y CarusoCaja 4: Corelli y DomingoCaja 5: Pavarotti y FlrezCaja 6: Caruso y Domingo

Si el experimento consiste en anotar que cajas comprara Silvia, responda a las siguientes preguntas.a) .Cual es el espacio muestral del experimento?b) .En qu consiste el evento:

Silvia decide comprar msica de Caruso? Silvia decide comprar msica de Juan Flrez? Silvia decide comprar msica de Caruso y Juan Flrez? Silvia decide comprar msica de Caruso o Juan Flrez?

Solucin:Sean C1: caja 1, C2: caja 2, C3: caja 3, C4: caja 4, C5: caja 5, C6: caja 6.a) Espacio muestral = {(C1; C2), (C1; C3), (C1; C4), (C1; C5), (C1; C6), (C2; C3), (C2; C4), (C2; C5), (C2; C6), (C3; C4), (C3; C5), (C3; C6), (C4; C5), (C4; C6), (C5; C6)}b) E1 = {(C1; C2), (C1; C3), (C1; C4), (C1; C5), (C1; C6), (C2; C3), (C2; C6), (C3; C4), (C3; C5), (C3; C6), (C4; C6), (C5; C6)} E2 = {(C1; C3), (C1; C5), (C2; C3), (C2; C5), (C3; C4), (C3; C5), (C3; C6), (C4; C5), (C5; C6)} E3 = {(C1; C3), (C1; C5), (C2; C3), (C3; C4), (C3; C5), (C3; C6), (C5; C6)}E4 = {(C1; C2), (C1; C3), (C1; C4), (C1; C5), (C1; C6), (C2; C3), (C2; C5), (C2; C6), (C3; C4), (C3; C5), (C3; C6), (C4; C5), (C4; C6), (C5; C6)}6. A una reunin llegan Carmen, Lola, Mercedes, Juan, Fernando y Luis. Se eligen dos personas al azar sin importar el orden, Describa el espacio muestral de este experimento.C= CarmenLO= LolaM= MercedesJ= JuanF= FernandoLU= Luis

Solucin:

N 6! = --------- = 15 R 4! 2!S={ (C,LO);(C,M);(C,J);(C,F);(C,LU);(LO,M);(LO,J);(LO,F);(LO,LU);(M,J);(M,F);(M,LU);(J,F);(J,LU);(F,LU)}

EJERCICIOS CAPITULO 21.- Cuatro matrimonios compraron 8 lugares para un concierto. De cuantas maneras pueden sentarse: a) sin restricciones, b) si las cuatro parejas quieren sentarse juntas 8x7x6x5x4x3x2x1= 40320

Solucin:

Si las 4 parejas se quieren sentar sin restricciones lo pueden hacer de 40320 maneras.8C4 = 8 = 8! = 8x7x6x5 = 704 4!x4! 4x3x2x15 5!x4! 5x4x3x2x1

3.- El jefe de cocina de un restaurante quiere usar algunas carnes y vegetales que sobraron el da anterior para Preparar un platillo de tres clases de carne y cuatro vegetales. Si hay 5 clases de carne y siete vegetales disponibles, Cuntos platillos pueden preparar el cocinero?Solucin:De los 7 vegetales puedo seleccionar 4 es es:7C4 = =35 formas de seleccionar 4 vegetales5C3 = =10 formas de seleccionar 3 carnesPor consiguiente 35 * 10 = 350 formas de preparar platillos

6. En un grupo de teatro hay 10 hombres y 6 mujeres. Cuatro de los hombres pueden actuar como actores masculinos principales y los otros actuarn en papeles secundarios, tres de las mujeres pueden actuar en papeles femeninos principales y las otras en papeles secundarios. De cuntas maneras pueden elegirse los actores para una obra de teatro que exige un actor principal, una actriz principal, dos actores secundarios y tres actrices secundarias?Solucin:4C1 = 43C1 = 36C2 = 153C3 = 14X3X15X1 = 180 maneras de elegirse los actores para la obra.

10. A partir de 5 matemticos y 7 fsicos hay que constituir una comisin de 2 matemticos y 3 fsicos. De cuntas formas podr hacerse si:

1. todos son elegibles;2. un fsico particular ha de estar en esa comisin;3. dos matemticos concretos no pueden estar juntos?

Solucin:

1. Puesto que todos son elegibles, existen C5;2 = 10 grupos de 2 matemticos, y C7;3 = 35 grupos de 3 fsicos. Luego hay un total de 10 35 = 350 comisiones posibles.

2. Se fija uno de los fsicos, luego existen C5;2 = 10 grupos de 2 matemticos, y C6;2 = 15 grupos de 3 fsicos. As, se pueden formar 10 15 = 150 comisiones.

3. Se excluye la nica posibilidad de que el subgrupo de dos matemticos lo constituyan los dos que no pueden estar juntos, por lo que hay C5;2 1 = 9 grupos de 2 matemticos cumpliendo la condicin. Adems hay C7;3 = 7 6 5= (3 2) = 35 grupos de 3 fsicos, por lo que el total de comisiones que pueden formarse es 9 35 = 315

EJERCICIOS CAPITULO 32.- Un primer futbolista tiene una probabilidad de 0,60 de hacer gol en un tiro libre, mientras que la probabilidad de un segundo futbolista es de 0,40. Si cada uno de ellos hace un solo tiro libre, encuentre la probabilidad de que a) ambos hagan gol b) uno de ellos haga gol. SOLUCION:El que uno meta o no meta gol no influye nada en la probabilidad de meter gol del otro, por lo tanto son sucesos independientes y la probabilidad de la interseccin es el producto de las probabilidadesSea A el suceso de meter gol el primer jugadorB el suceso de meter gol el segundoa) P(A n B) = P(A)P(B) = 0.6 0.4 = 0.24b) Esta pregunta podra ser ms concreta diciendo una de estas dos frasesa) Uno de ellos por lo menos meta golb) Uno y solo uno de los dos meta golPero diciendo uno de ellos haga gol no queda claro cul de las dos opciones es. Voy a resolverlo de las dos formasa) Uno de ellos por lo menos meta golSi lo mete el primero ya est, eso es P(A) = 0.6Si no lo mete el primero puede meterlo el segundo, eso serP[(no A) n B] = (1-0.6)(0.4) = 0.16LuegoP(un gol por lo menos)= 0.6+0.16 = 0.76b) Uno y solo uno de los dos meta golEsto suceder de dos formas, si acierta el primero y falla el segundo. P[A n (no B)] = 0.6 0.6 = 0.36O si falla el primero y acierta el segundoP[(no A) n B] = 0.4 04 = 0.16LuegoP(un gol solamente) = 0.36 + 0.16 = 0.5

7. Una seora tiene dos nios pequeos: Luis y Too. Ella sabe que cuando hacen una travesura y son reprendidos. Luis dice la verdad tres de cada cuatro veces y Too cinco de cada seis. Cul es la probabilidad de que los dos se contradigan al establecer el mismo hecho?Luis dice la verdad (Lv)=3/4Luis dice mentira (Lm)=1/4Too dice la verdad (Tv)=5/6Too dice mentira (Tm)=1/6P (Tv) = (Tv y Lm) = 5/6*1/4=5/24P (Lv) = (Lv y Tm) = 3/4*1/6=3/24P (c) = (Tv y Lm)+ (Lv y Tm)=5/24+3/4=8/24=0,333=33,3%.

10.- A un sospechoso se le aplica un suero de la verdad que se sabe que es confiable en 90% cuando la persona es culpable y en 99% cuando la persona es inocente. En otras palabras el 10% de los culpables se consideran inocentes cuando se usa el suero y el 1% de los inocentes se juzgan culpables. Si el sospechoso se escogi de un grupo del cual solo 5% han cometido alguna vez un crimen y el suero indica que la persona es culpable, cual es la probabilidad de que sea inocente?

SOLUCIN:

Sea SI={Suero lo encuentra Inocente}SC=SIC={Suero lo encuentra Culpable}I={El sujeto es Inocente}C=IC={ El sujeto es Culpable}P(SC/C)=0.9 P(SI/I)=0.99 P(SC/I)=0.01 P(I)=0.95 P(C)=0.05P(I/SC)= P(SC/I) * P(I) + P(SC/C) * P(C)P(SC/I) * P(I) = 0.01 * 0.95 + 0.9 * 0.050.01 * 0.95 =0.1743

11. En un centro mdico, los fumadores que se sospecha tenan cncer pulmonar, el 90% lo tena, mientras que el 5% de los no fumadores lo padeca. Si la proporcin de fumadores es del 45% a) Cual es la probabilidad de que un paciente con cncer seleccionado al azar sea fumador?b) Cual es la probabilidad de que la persona tenga cncer?Solucin:La probabilidad de que un doctor diagnostique en forma correcta una determinada enfermedad es de 0.7. Dado que el doctor hace un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que un paciente presenta una demanda es de 0.9. Cul es la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente presente una demanda?En este ejercicio vemos que existe una dependencia estadstica, es decir en este caso B depende de A pues si el doctor diagnostica correctamente la enfermedad, el paciente no realizara ninguna demanda, pero si el doctor diagnostica mal, el paciente si realizara la demanda pertinente, por tanto se aplica la solucin para condiciones de dependencia estadstica.A= doctor diagnostica en forma correcta una enfermedad = 0.7B=Un paciente presenta una demanda = 0.9

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

Probabilidad ADRIANA MORALES ROBAYO UNAD http://tsu-estadistica.blogspot.com/2013/02/eventos-aleatorios-y-espacio-muestral.html