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FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
Introdução a Lógica Matemática
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Linguagem Formal Matemática
Prof. Cristiano Alvarenga Marques
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O que é a Lógica?
Argumento – Os argumentos permeiam nossa vida. Eles estão presentes no trato com as pessoas
e na resolução de problemas. Através dos argumentos apresentamos razões que acreditamos
justificarem nossas afirmações, defendemos nossas posições e tentamos ganhar aliados. O
argumento é um discurso, em que encadeamos proposições de maneira a chegarmos a uma
conclusão.
• Proposição é todo conjunto de símbolos ou palavras que exprimem um pensamento de
sentido completo.
Ex. 1) Todo cão é mamífero.
2) Todo animal é mineral.
3)
4) tg 45° = 1
Suponhamos o seguinte argumento:
Ex.1
As aves são ovíparas.
Ora, as galinhas são aves.
Logo, as galinhas são ovíparas.
O que está se tentando provar é que as galinhas são ovíparas. O fato que está sendo usado é de
que as aves são ovíparas e que as galinhas sendo aves, são, portanto ovíparas. As palavras que
asseguram a relação entre os fatos são “ora”, que articula as duas primeiras proposições e “logo”
que expressa o caráter conclusivo do argumento.
Leia o argumento a seguir:
Ex 2.
Todo quadrilátero que possui os ângulos opostos congruentes é paralelogramo.
Ora, o retângulo é um quadrilátero que possui os ângulos opostos congruentes.
Logo, o retângulo é paralelogramo.
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• O que se está tentando provar?
• Qual é o fato que está sendo usado?
• Quais as palavras que asseguram os itens acima?
Cada um dos exemplos anteriores é um discurso (argumento) que encadeia proposições de
maneira a chegar a uma conclusão.
No primeiro exemplo as proposições são:
Identifique no segundo exemplo as premissas e a conclusão.
Um argumento pode assumir várias formas na linguagem cotidiana, não existindo regras seguras
que nos permitam localizá-los mecanicamente. O que nos faz ter certeza de que estamos diante de
um argumento é o fato de que uma conseqüência sempre é extraída
Quando dizemos:
“Preste atenção: alguns retângulos não são losangos”, estamos expressando a conclusão de um
fato que poderia ter sido expresso da seguinte maneira:
Os losangos são paralelogramos que possuem os quatro lados congruentes. Os retângulos, exceto
os quadrados, mesmo sendo paralelogramos, não possuem os quatro lados congruentes, Logo,
alguns retângulos não são losangos.
No exemplo, as premissas foram omitidas e apenas a conclusão foi exposta. A passagem das
premissas para a conclusão corresponde à inferência. A inferência (do latim “inferre” que significa
levar para) é portanto, um processo de pensamento através do qual passamos das premissas para
a conclusão.
Quando a relação entre antecedente e conseqüente existe, a inferência é dita válida. Quando a
relação entre antecedente e consequente é apenas aparente, não havendo condução do
antecedente para o consequente, estamos diante de uma inferência inválida.
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As aves são ovíparas.Ora, as galinhas são aves.
Logo, as galinhas são ovíparas.
Premissas ou antecedentes
Conclusão ou conseqüente
Uma inferência, porém, pode ser válida ou inválida e proposições podem ser verdadeiras ou falsas.
Dizemos que uma inferência é válida quando existe uma relação entre a premissa e a conclusão e
esta relação liga, de fato, o antecedente ao consequente. Neste caso dizemos que o argumento é
válido. Se ao contrário, a relação que existe entre premissa e conclusão é apenas aparente e não
conduz o antecedente ao consequente, a inferência é inválida e o argumento não é correto. Neste
último caso estamos diante de uma falácia.
Diante do que foi exposto perguntamos: um argumento que expressa uma inferência válida é
necessariamente verdadeiro, ou não? Vamos estudar alguns exemplos:
1. Todo retângulo é paralelogramo
Todo quadrado é retângulo
Todo quadrado é paralelogramo
2. Todo retângulo é quadrado.
Todo quadrado é losango.
Todo retângulo é losango.
3. Todo losango é retângulo.
Todo losango é quadrado.
Todo retângulo é quadrado.
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Antecedente verdadeiro
Consequente verdadeiro
Inferência válida
Antecedente falso
Inferência válida
Consequente falso
Antecedente falso
Inferência não válida
Consequente falso
4. Todo quadrado é um paralelogramo.
Todo quadrado é um quadrilátero
Todo paralelogramo é um quadrilátero.
Os exemplos mostram que uma inferência válida não pressupõe antecedente e conseqüente
verdadeiros. Logo um argumento válido não é constituído, necessariamente, de proposições
verdadeiras.
Uma proposição é verdadeira quando corresponde ao fato que expressa. Um argumento é válido
quando sua conclusão é conseqüência lógica de suas premissas.
Os exemplos 1 e 2 nos mostram dois argumentos válidos. No segundo apesar de premissas e da
conclusão falsas a inferência é válida, ou seja, existe uma ligação lógica entre antecedente e
consequente. Utilizando o diagrama de Venn podemos ilustrar os exemplos apresentados:
1.
2.
3.
5
Antecedente verdadeiro
Inferência não válida
Consequente verdadeiro
Quadrado Retângulo
Paralelogramo
retângulo quadrado
losango
losango retânguloquadrado
4.
No exemplo 1 toda a classe dos quadrados está incluída na classe dos retângulos, que está
incluída em sua totalidade na classe dos paralelogramos. Por uma inferência lógica toda a classe
dos quadrados está incluída na classe dos paralelogramos. No exemplo 2 toda a classe dos
retângulos está incluída na classe dos quadrados que por sua vez está totalmente incluída na
classe dos losangos. Por uma inferência lógica, a classe dos retângulos está incluída na classe
dos losangos, o que torna o argumento válido. Chamamos a atenção para o fato de
antecedente e consequente serem reconhecidamente falsos.
No exemplo 3 toda a classe dos losangos está incluída na classe dos retângulos e também na
classe dos quadrados. Fica, portanto impossível determinar se a classe dos retângulos está
incluída na classe dos quadrados ou se a classe dos quadrados está incluída na classe dos
retângulos (ver figura a seguir). Assim não é possível estabelecer uma inferência lógica entre a
premissa e a conclusão. Neste caso antecedente e consequente são reconhecidamente
falsos.
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quadrado
quadrilátero
paralelogramo
Losango Quadrado
Retângulo
Losango Retângulo
Quadrado
No exemplo 4 toda a classe dos quadrados está incluída na classe dos paralelogramos e na classe
dos quadriláteros, assim como no exemplo 3 fica impossível decidir se a classe dos
paralelogramos está incluída na classe dos quadriláteros, ou se a classe dos quadriláteros está
incluída na classe dos paralelogramos (ver figura a seguir). Nesse exemplo antecedente e
consequente são reconhecidamente verdadeiros. O que torna o argumento incorreto é o fato da
inferência não ser válida.
A lógica é a ciência que estuda os métodos e princípios da argumentação. Ela pode ser definida
também como a investigação das condições em que a conclusão de um argumento é sustentada
por suas premissas. Lógica, que vem do grego logos, significa “palavra”, “dito”, “argumento”,
“razão”, “justificação”, entre outras coisas. O principal objetivo da lógica é efetuar a análise lógica
dos argumentos, avaliando suas correções. O trabalho do lógico é recorrer às leis de inferência
para saber se um argumento está bem estruturado.
A Lógica Matemática adota como regras os princípios básicos:
I – PRINCÍPIO DA IDENTIDADE – Todo objeto é igual a si mesmo.
II – PRINCÍPIO DA NÂO CONTRADIÇÃO – Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao
mesmo tempo.
III – PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO – Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, uma
das duas condições se verifica e não uma terceira.
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Quadrado Quadrilátero
Paralelogramo
Quadrado Paralelogramo
Quadrilátero
1. Verifique se são possíveis as combinações abaixo e apresente um argumento de cada.
2. Elabore uma tabela com todas as possibilidades de uma inferência válida e mostre um exemplo
de cada uma, utilizando argumentos matemáticos.
A análise de um argumento pode ser realizada seguindo-se os passos:
Troca-se a linguagem do argumento por uma linguagem simbólica, a fim de excluir qualquer
interferência do conhecimento do leitor sobre os conteúdos envolvidos;
Verifica-se a validade da inferência expressa através da linguagem simbólica estabelecida
no item acima;
Decreta-se a validade ou não do argumento.
Procedendo dessa forma estamos fazendo a análise lógica de um argumento e trabalhando no
domínio da lógica simbólica.
Analisemos o argumento:
Todo losango é paralelogramo.
Ora, todo quadrado é losango.
Logo, todo quadrado é paralelogramo.
Trocando-se as palavras losango, paralelogramo e quadrado pelas letras A, B e C
respectivamente, escrevemos o argumento da seguinte maneira:
Todo A é B.
Ora todo C é A.
Logo, todo C é B.
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ANTECEDENTE CONSEQUENTE INFERÊNCIA
1. Falso Verdadeiro Válida
2. Falso Verdadeiro Não válida
3. Verdadeiro Falso Não válida
4. Verdadeiro Falso Válida
De fato, ao escrevermos um argumento através da linguagem simbólica eliminamos qualquer
possibilidade de intervirmos com o conhecimento que temos do assunto na avaliação da inferência.
O argumento acima parte de uma sentença mais geral para uma menos geral. Todo losango é
paralelogramo é mais geral do que todo quadrado é paralelogramo pelo fato dos quadrado estarem
incluídos nos losangos. Esse tipo de argumento demonstrativo que parte de uma sentença mais
geral para uma menos geral é chamado de “argumento dedutivo”.
Outro tipo de argumento demonstrativo é o argumento indutivo. No argumento indutivo a partir de
dados singulares, chegamos a proposições gerais, ou universais. Vejamos os argumentos:
1. 120 é divisível por 5. (A)
Todos os números inteiros que terminam por 0 são divisíveis por 5. (B)
Da proposição particular A obtivemos a proposição geral B, que é verdadeira.
2. 120 é divisível por 5. (A)
Todos os números inteiros formados por três algarismos são divisíveis por 5. (B)
Da proposição particular A obtivemos a proposição geral B, que é falsa.
1. Considere o trinômio x2 + x + 41.
a) Substitua a variável x pelos números 0,1,2,3,.......
b) Esses números possuem alguma(s) característica(s) em comum? Qual(is)?
c) Substitua agora x por 40. O resultado encontrado é um número com a(s) mesma (s)
característica(s) dos números do item b?
d) Tente escrever esse exemplo como um argumento indutivo, mesmo que ele seja
falso.
“A indução é amplamente utilizada na Matemática, mas é preciso ter cuidado na sua aplicação,
pois precipitação pode levar a conclusões falsas” (SOMINSKI,I S)
2. Leia a tirinha a seguir e responda as perguntas:
a) Explique por que a pergunta de Zero pressupunha uma resposta lógica.
b) Explique de que tipo é a resposta do General.
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3. Nos argumentos abaixo:
a) Identifique antecedente e consequente.
b) Verifique a veracidade dos antecedentes e conseqüentes.
c) Verifique em cada caso se a inferência é válida ou não.
d) Classifique os argumentos em dedutivos ou indutivos.
I – Todo paralelogramo que tem dois lados adjacentes congruentes é losango.
Ora, o quadrado tem dois lados adjacentes congruentes.
Logo o quadrado é losango.
II - Todo número inteiro terminado em número ímpar é primo.
O número 59 termina em número ímpar.
Logo o número 59 é primo.
III - As diagonais do paralelogramo ABCD cortam-se ao meio.
Em todo paralelogramo as diagonais se cortam ao meio.
Analogia
A analogia é um caso de indução. Podemos dizer que é um raciocínio por semelhança.
Maria sarou da gripe tomando vitamina C.
Logo Carlos também vai sarar da gripe tomando vitamina C.
A analogia fornece apenas a probabilidade de que algo aconteça. Mesmo não oferecendo certeza,
a analogia é importante para o conhecimento. Uma prova disto é que através dela experimentos
feitos em cobaias servem de apoio nas descobertas de vacinas e doenças dos seres humanos,
uma vez que as reações das cobaias podem ser estendidas para os humanos.
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Extraído de: Filosofando Introdução à Filosofia.
Operações lógicas sobre proposições
conectivos lógicos
As operações lógicas são operações realizadas sobre proposições e obedecem a certas regras de um
cálculo, denominado cálculo proposicional, semelhante ao da aritmética sobre os números. Analisemos
a seguinte sentença:
“Se Pedro chora, então Maria acorda”
Existem dois termos de ligação que articulam as duas sentenças: “se” e “então”, que ligam “Pedro
chora” e “ Maria acorda” . A sentença “Se Pedro chora , então Maria acorda” é formada portanto, por
duas outras e por isso é chamada sentença complexa. Os termos que fazem a ligação entre as duas
sentenças (“Se ... então”) são chamados termos lógicos ou conectivos. Os principais conectivos são:
negação, conjunção, disjunção, condicional, equivalência ou bicondicional. Esses conectivos é que
estabelecem relações lógicas bem definidas entre sentenças. Estudaremos cada uma separadamente.
Negação (~)
Comecemos explorando o seguinte exemplo: Maria não dorme. Partimos da sentença contrária a esta:
Maria dorme.
Esta sentença pode ser escrita também como:
É o caso que Maria dorme.
A negação desta sentença pode ser escrita como:
Não é o caso que Maria dorme.
Que também pode ser:
Não Maria dorme.
Esta última não deixa dúvida quanto a negação do fato de que Maria dorme.
Se a nossa proposição é: Maria dorme, Maria não dorme ou Não Maria dorme tem o valor lógico oposto
da proposição inicial.
Simbolicamente, se p é a proposição, a sua negação é ~ p (não p). Assim, ~ p tem valor lógico
oposto daquele de p.
Podemos obter uma tabela – verdade para o valor lógico da negação de uma proposição, tomando-se
como p a proposição, ~ p a sua negação, V verdadeiro e F falso:
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p ~p
V F
F V
Observe que o operador de negação modifica simetricamente o valor da proposição p. Na verdade,
estamos diante de uma função matemática, que a partir de um valor inicial (entrada ou input), obtém um
valor final (saída ou output).
Na teoria dos Conjuntos a negação corresponde ao complemento. Estabelecendo como U o conjunto
universo e como A um conjunto qualquer, dentro do universo U, todos os elementos que pertencem a U
e não pertencem a A são aqueles que pertencem ao complementar de A . Esta operação pode ser
ilustrada através do diagrama:
Na linguagem dos conjuntos:
Conjunção (^)
Analisemos agora as duas sentenças, Pedro chora e Maria acorda. A primeira sentença pode ser
verdadeira ou falsa e a segunda também. Porém, como as duas estão relacionadas pelo conectivo “e” o
valor lógico da proposição depende do valor de cada sentença, como mostra a tabela a seguir:
Pedro chora Maria acorda Pedro chora e Maria acorda
V V V
F V F
V F F
F F F
O conectivo e é representado pelo símbolo ^. No exemplo acima, chamando a primeira sentença de p
e a segunda de q a tabela verdade para este caso é:
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AU
~A
Aqui também podemos pensar em uma função, partindo dos valores de entrada de p e q obtemos um
valor de saída para p ^ q. No caso da conjunção, o valor de p ^ q só será verdadeiro se as duas
sentenças o forem.
Exemplos:
5. p: O número 2 é par ( V )
q: 5 < 7 ( V )
p ^ q: O número 2 é par e 5 < 7. ( V )
6. p: O número 2 é ímpar ( F)
q: 5 < 7 ( V )
p ^ q: O número 2 é par e 5 < 7. ( F )
7. p: O número 2 é par (V)
q: 5 > 7 (F)
p ^ q: O número 2 é par e 5 > 7. (F)
8. p: O número 2 é ímpar (F)
q: 5 > 7 (F)
p ^ q: O número 2 é par e 5 > 7. (F)
A conjunção corresponde à operação de interseção entre conjuntos. A interseção de dois conjuntos A
e B é o conjunto dos elementos que pertencem a A e a B. Pelo diagrama de Venn temos:
A B
Na linguagem dos conjuntos:
P q P ^ q
V V V
F V F
V F F
F F F
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Pensando nestes dois conjuntos e nas possibilidades de um elemento x pertencer a eles temos:
Dessas possibilidades a única que representa a interseção dos conjuntos é a primeira. Isto equivale a
dizer que quando as duas sentenças são verdadeiras temos a única expressão da interseção.
Disjunção
A disjunção na lógica é indicada pela palavra “ou”. O seu caráter ambíguo é sua característica
principal. “Ou” tem tanto um caráter inclusivo quanto exclusivo.
Disjunção exclusiva (w)
A disjunção exclusiva talvez seja a mais utilizada na Matemática. Na disjunção exclusiva de duas
proposições apenas uma delas é admitida, não podendo ocorrer as duas ao mesmo tempo.
Ex. Mário é mineiro ou paulista.
Não é possível que Mário seja mineiro e paulista ao mesmo tempo, ou ele é mineiro, ou ele é
paulista. Na tabela a seguir podemos ver as possibilidades dos valores para as sentenças e para a
disjunção:
Mário é mineiro Mário é paulista Mário é mineiro ou paulista
V V F
V F V
F V V
F F F
Trocando as sentenças pelas letras p e q, respectivamente:
p q p w q
V V F
V F V
F V V
F F F
Aqui também podemos pensar em uma função P w q que é verdadeira ou falsa de acordo com os
valores de verdade para p e q. Com relação à teoria dos conjuntos a disjunção exclusiva está
relacionada com a operação entre dois conjuntos, como indicada no diagrama:
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A B
Disjunção inclusiva (v)
Na disjunção inclusiva uma possibilidade não exclui a outra. Veja:
1) p: Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais. (V) q: 3>5 (F) Belo Horizonte é a capital de MG ou 3>5 (V)
2) p: Paris é a capital da França (V) q: 3<5 (V) Paris é a capital da França ou 3<5. (V)
3) p: Paris é a capital da Inglaterra. (F) q: 3< 5. (V)
Paris é a capital da Inglaterra ou 3< 5. (V)
4) p: Paris é a capital da Inglaterra. (F) q: 3<2. (F)
Paris é a capital da Inglaterra ou 3 < 2. (F)
A tabela-verdade para a disjunção inclusiva fica assim:
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
Relacionando a disjunção inclusiva com a teoria de conjuntos fica claro que ela significa a união de dois conjuntos. De fato, se um elemento x pertence à união dos conjuntos A e B, então ele pertence ao conjunto A ou ao conjunto B. Veja o diagrama:
A B
Condicional ( )
A condicional relaciona duas sentenças de maneira que se a primeira delas é verdadeira a segunda também o é.
Ex.1) p: A Lua é redonda. (V) q: Marte é um planeta. (V)
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Se a Lua é redonda, então Marte é um planeta. (V)
2) p: A Lua é redonda. (V) q: Marte tem luz própria. (F)
Se a Lua é redonda, então Marte tem luz própria. (F)Observe que mesmo que a Lua não fosse redonda, ainda assim Marte tem luz própria continuaria sendo falsa. Então, o fato da Lua ser redonda não implica em Marte ter luz própria.
3) p: A Lua é quadrada. (F) q: Marte é um planeta. (V)
Se a Lua é quadrada, então Marte é um planeta. (V).
Nesse caso, qualquer que fosse o antecedente o consequente sempre seria verdadeiro, ou seja, qualquer fato poderia implicar no fato de Marte ser um planeta, pois ele já o é, independente de qualquer outra informação. Portanto podemos concluir que se a Lua é quadrada, Marte é um planeta.
4) p: A Lua é quadrada. (F) q: Marte tem luz própria. (F) Se a Lua é quadrada, então Marte em luz própria. (V)
Observe que: “Se a Lua não fosse quadrada, então Marte não teria luz própria.” A implicação nesse caso é verdadeira.Podemos fazer uma tabela-verdade para a condicional:
p q p qV V VV F FF V VF F V
Pense nos seguintes exemplos e efetue as operações lógicas:
4. Se Pedro Álvares Cabral era alemão, então o dia tem 20 horas.5. Se 2 = 3, então é um número irracional.6. Se tg 45° = 1, então 1 = 2.7. Se a galinha é ovípara, então o elefante é mamífero.
Relacionando a condicional com a teoria de conjuntos, se um elemento pertence a um conjunto A, então ele pertence ao conjunto B, significa que o conjunto A está contido no conjunto B. Veja o diagrama.
B
Equivalência ou bicondicional ( )
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A
A equivalência ou bicondicional estabelece uma relação de sentido duplo nas sentenças envolvidas, por isso o símbolo utilizado é a seta para os dois lados. Este símbolo também é conhecido como se e somente se.
Ex. A Lua é redonda se e somente se a Terra é redonda.
Analisemos as possibilidades de valor de uma equivalência.
• p: A Lua é redonda. (V)q: A Terra è redonda. (V)A Lua é redonda se e somente se a Terra è redonda. (V)
Essa situação é a mais comum e fácil de avaliar.
• p: A Lua é redonda. (V)q: A Terra è quadrada. (F)
A Lua é redonda se e somente se a Terra é quadrada. (F)
Observemos que a Terra é quadrada será sempre falsa, independente de a Lua é redonda ser
verdadeira ou falsa. A implicação é falsa. Se observarmos que na bicondicional temos duas implicações, se uma delas for falsa, a equivalência (bicondicional) será falsa. Pra ser verdadeira uma bicondicional deve ter as duas implicações verdadeiras.
• p: A Lua é quadrada. (F)q: A Terra è redonda. (V)
A Lua é quadrada se e somente se a Terra é redonda. (F)
Observe que como estamos tratando da equivalência, temos que analisar a implicação , que nesse caso é falsa pela mesma razão do exemplo 2. Logo a equivalência é falsa.
• p: A Lua é quadrada. (F)q: A Terra è quadrada. (F)
A Lua é quadrada se e somente se a Terra é quadrada. (V)
Nesse caso as duas implicações são verdadeiras, logo a equivalência também é.A tabela-verdade para a bicondicional fica assim:
Relacionando a bicondicional com a teoria de conjuntos, pensando que se um elemento pertence a um conjunto A, se e somente se ele pertence ao conjunto B, significa que o conjunto A é igual conjunto B. Veja o diagrama.
Tabela Verdade
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p q p qV V VV F FF V FF F V
A=B
As proposições podem ser combinadas de várias maneiras através dos conectivos lógicos.Se duas proposições são p e q, podemos combiná-las:
; ;
;, etc.
O nosso objetivo nesse momento é estudar os valores lógicos dessas proposições quando combinadas. Esse tipo de proposição é chamado proposição composta,Para a verificação do valor de uma proposição composta utilizamos um recurso chamado tabela-verdade.
Construção de uma tabela-verdade:Vamos avaliar o valor das proposições compostas:
1- .1º) Abrimos uma tabela com as colunas p, q, ~q,
p q ~q p ~ qV V F FV F V VF V F FF F V F
2º) Registramos os valores para as proposições p e q, em seguida para ~q e finalmente avaliamos p ~ q.Os valores lógicos de P (p, q) são os encontrados na última coluna. Como conclusão da avaliação escrevemos P (V V, VF, FV, FF) = (V,F,F,F).
2- P (p, p) = p
pV VF V
P (V, F) = (V,V)
3- P(p,p) p ~~pP(p,p)~~p pP(p,p) = p ~~p
p ~p ~~p p ~~p ~~p p p ~~pV F V V V VF V F V V V
Nas três proposições acima os valores de verdade são V. Essas proposições são chamadas tautologias.Tautologia é toda proposição composta onde o valor lógico é sempre verdadeiro.As tautologias são ditas também proposições logicamente verdadeiras.4- De acordo com a definição de tautologia, p ~p é uma tautologia, veja:
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p q ~p p q p ~p p ~pV V F V F VV F F F F VF V V F F VF F V F F V
Proposições como p q, que apresentam valores verdadeiros e valores falsos são chamadas contingências.Proposições que apresentam somente valores falsos são chamadas contradições. No exemplo p ~p é uma contradição.Das três expressões as mais significativas são os tautologias, pois se aplicam a todos os casos possíveis. Sua validade é universal. A contradição também é importante por indicar o que uma expressão válida não pode ser. Podemos observar que a negação de uma contradição é uma tautologia. A proposição que apresenta um interesse menor é a contingência, por oscilar em verdadeira e valsa.Podemos estabelecer uma relação entre as tabelas verdade e a idéia de função, tomando como conjunto universo os valores das proposições simples e fazendo-os corresponder aos valores V OU F do conjunto de chegada.No exemplo 1 temos:
No exemplo 4 temos:
Nesse exemplo observamos que os valores de p e ~~p são equivalentes. Isso é, negar uma negação significa afirmar. Se dissermos “João não estudou nada” significa que “João estudou tudo”. Como os valores de verdade de p ~~p; ~~p p e p ~~ p são todos verdadeiros, dizemos que essas expressões são “tautologias”.
5- Faça você mesmo a tabela-verdade para P (p,q) (p q) p .
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VV
VF
FV
FF
V
F
VV
VF
FV
FF
V
6- Verifique se as proposições são contradições, tautologias ou contingências:
a) (p q) ~(~p q) (tautologia)
p q ~p p q ~p q ~(~p q)V V F V V F FV F F F F V FF V V V V F FF F V V V F F
b) (p q) (~q ~p)
c) (p q) (p q)
Faça um diagrama de cada proposição acima.
Implicação LógicaA partir de agora faremos uma distinção entre os sinais (se ... então) e (implicação lógica). A condicional se refere a uma operação entre proposições e a implicação a uma relação lógica entre proposições tautológicas.
Definição:Diz-se que uma proposição P implica logicamente uma proposição Q, ou simplesmente implica uma proposição Q se Q é verdadeira toda vez que P é verdadeira.
P Q
1) P P2) P Q Q R P R
Exemplos:1) Vamos construir a tabela-verdade para as seguintes proposições:p q; p q; p q
p q p q p q p qV V V V VV F F V FF V F V FF F F F V
Observamos que p q é verdadeira somente na primeira linha, na qual as demais proposições são verdadeiras. Portanto, podemos escrever:
p q p q p q p q
p q p; p q q (Regra da simplificação)p p q; q p q (Regra da adição)
Como o próprio nome já diz podemos simplificar a conjunção ficando com uma das expressões.
2) Vamos construir a tabela verdade para: p q, p q, q p.
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p q p q
q p p q
V V V V VV F F V FF V V F FF F V V V
p q é verdadeira na primeira e quarta linhas, e também.Logo: P: João lêQ: Maria dorme
Exemplo: João lê se somente se Maria dorme implica que Maria dorme se João lê. João lê se somente se Maria dorme implica que João lê se Maria dorme.
3) Construir a tabela para a proposição (p q) ~p
p q ~p p q (p q) ~pV V F V FV F F V FF V V V VF F V F F
(p q) ~p é verdadeira na terceira linha, na qual q também é. Logo podemos escrever:
(p q) ~p q p: João lê q: Maria ri
João lê ou Maria ri e João não lê, implica Maria ri.
Esta regra de inferência é chamada silogismo disjuntivo.
4) A tabela verdade da proposição (p q) p
p q p q (p q) pV V V VV F F FF V V FF F V F
Observe que (p q) p é verdadeira apenas na primeira linha, na qual é verdadeira também a proposição q. Logo podemos escrever:
(p q) p qEsta regra é chamada Modus ponens.
Exemplo:1) Se p então q
p logo q.
2) Se José chora estão Maria ri
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José chora.Então Maria ri.
4) Sejam as proposições (p q) ~q e~p. A tabela-verdade dessas proposições são: p q p q ~q (p q) ~q ~pV V V F F FV F F V F FF V V F F VF F V V V V
Na quarta linha a proposição (p q) ~q é verdadeira e ~p também é verdadeira. Logo podemos escrever:
(p q) ~q ~p
Esta regra é chamada Modus Tollens.
Exemplos:
1) Se P então Q Não Q Então não P.
2) p: José chora q: Maria ri
Se José chora Maria ri.Maria não ri.Então José não chora.
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Relação entre tautologia e implicação lógica
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Uma proposição P implica logicamente uma proposição Q se e somente se é uma tautologia.
Verifique que .
Equivalência lógica
Definição: Uma proposição P é logicamente equivalente a uma proposição Q, ou equivalente a Q, se as tabelas verdades dessas proposições são idênticas.
Propriedades da equivalência
Reflexiva -
Simétrica –
Transitiva -
1- Verifique a equivalência lógica de cada uma das proposições a seguir:
2- Uma proposição P é equivalente a uma proposição P se e somente se é tautológica. Mostre as equivalências abaixo usando esta propriedade:
3- Mostre que as proposições: não são equivalentes.
Proposições associadas a uma condicional
Dada uma proposição , chamam-se proposições associadas a as três proposições associadas que contêm p e q:
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a) Proposição recíproca de : b) Proposição contrária de : c) Proposição contrapositiva de :
4- Construa uma tabela verdade para as proposições acima e verifique quais são equivalentes.
5- Considere as seguintes condicionais:a) p: quatro é maior que três. q: cinco é maior que três.b) p: o quadrado é retângulo. q: o quadrado é paralelogramo.
Determine: A contrapositiva de A contrapositiva da recíproca de
Negação conjunta de duas proposições
A negação conjunta de duas proposições p e q é a negação de p e de q.A negação conjunta de duas proposições p e q também se indica como .
6- Quando é que a negação disjunta será sempre verdadeira? Negação disjunta de duas proposições
A negação disjunta de duas proposições p e q é a negação de p ou de q.A negação disjunta de duas proposições p e q também se indica como .
Os símbolos são chamados conectivos de Scheffer.
7- Quando é que a negação conjunta será sempre verdadeira?8- Demonstrar por tabelas verdade que os três conectivos: exprimem-se em função do
conectivo de Scheffer do seguinte modo:
9- Mostre que as proposições p e q são equivalentes em cada um dos casos:
Álgebra das proposições
Propriedades da conjunção
1. Idempotente Seja p uma proposição simples qualquer. Vale a seguinte propriedade:
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É fácil verificar a equivalência acima, pois a bicondicional é é tautológica. (verifique)
Ex.
2. ComutativaSejam p e q proposições simples quaisquer. Vale a seguinte propriedade:
A bicondicional é tautológica, logo a equivalência acima é lógica. (verifique)
Ex.
3. Identidade
Dentro da identidade temos o elemento neutro e o elemento absorvente da conjunção.
Sejam p, q e r, proposições simples em que q é sempre V e r é sempre F. Valem as seguintes propriedades:
. Aqui a proposição q funciona como elemento neutro. Ex.
Aqui a proposição r funciona como elemento absorvente. Ex.
Propriedades da disjunção
1. Idempotente Seja p uma proposição simples. Vale a seguinte propriedade:
Ex. A bicondicional é tautológica. (verifique)
2. Comutativa
Sejam p e q duas proposições simples quaisquer. Vale a propriedade:
Ex.
3. Associativa
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer. Vale a propriedade:
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Utilizando a tabela verdade mostramos que é tautológica, portanto a equivalência é lógica. (verifique)
Ex.
4. Identidade
Sejam p, q e r proposições simples em que q é sempre V e r é sempre F. Valem as seguintes propriedades:
. Aqui a proposição q funciona como elemento absorvente. Ex.
Aqui a proposição r funciona como elemento neutro. Ex.
Propriedades da conjunção e da disjunção
1. Distributiva Sejam p, q e r proposições quaisquer.
Você pode verificar as implicações lógicas utilizando tabelas verdade.
Ex. Ana estuda e Paulo dorme ou lê, é equivalente a: Ana estuda e Paulo dorme ou Ana estuda e Paulo lê.
2. Absorção
Sejam p e q proposições simples quaisquer. Valem as propriedades:
Mostre que as equivalências acima são lógicas e que não são
equivalentes.
Ex. Maria estuda e Maria estuda ou brinca, é equivalente a Maria estuda. Maria estuda ou Maria estuda e brinca, é equivalente a Maria estuda.
3. Regras de Morgan.
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Você pode verificar a equivalência através das tabelas verdade de cada bicondicional acima.As regras de Morgan são interpretadas da seguinte maneira:
Negar que duas proposições dadas são ao mesmo tempo verdadeiras é equivalente a dizer que pelo menos um delas é falsa.
Negar que pelo menos uma proposição de duas é verdadeira é equivalente a dizer que as duas são falsas.
Ex. a) Ana é inteligente e estuda. Negando a proposição temos:
Ana não é inteligente ou não estuda.
b) Ana é médica ou advogada. Negando a proposição temos:
Ana não é médica e não é advogada.
Negação da condicional
Para encontrarmos a negação de uma condicional partiremos de uma equivalência conhecida: .
Ex. Se você estuda eu brinco. Negando a condicional:
Você estuda e eu não brinco.
Negação da bicondicional
Para encontrarmos a negação de uma bicondicional partiremos de uma equivalência conhecida: . Negando a bicondicional:
Ex. Maria estuda se e somente se João lê. Negando a bicondicional:
Maria estuda e João não lê ou Maria não estuda e João lê.
Exercícios
1. Dê cada uma das negações em linguagem corrente:
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a) É falso que não está frio ou que está chovendo.b) Não é verdade que o pai de Marcos é pernambucano ou que a mãe é gaúcha.c) Não é verdade que as vendas estão diminuindo e que os preços estão aumentando.d) Não é verdade que Jorge estuda Física, mas não Química.
2. Decida quem roubou o livro.
Desapareceu um livro de Lógica em japonês da estante do professor Ciro Gismo Tanakara. Após exaustivas investigações, 5 suspeitos são detidos para interrogatório (Aristóteles, Sócrates, Platão, Descartes e Euclides). Cada um deles faz 3 declarações, sendo 2 verdadeiras e 1 falsa. Seus depoimentos são:
Aristóteles: Não fui eu. Nunca me interessei por lógica. Quem roubou o livro foi Descares.
Sócrates: Não fui eu. Não entendo japonês. Todos os envolvidos alegam inocência. Platão: Sou inocente. Descartes é o culpado. Nunca vi o Euclides antes de hoje.
Descartes: Sou inocente. Euclides é o ladrão. Aristóteles mentiu, ao me acusar.
Euclides: Não fui eu. Sócrates é o culpado. Platão e eu somos velhos amigos.
Machado & Cunha- Lógica e linguagem cotidiana. Ed. Autêntica, 2005
Método Dedutivo
Consiste em demonstrar ou deduzir a conclusão B a partir das premissas A1 , A2 , A3 , A4... , An , aplicando as EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS e as REGRAS DE INFERÊNCIA .
Exemplo : Demonstrar a validade do argumento p, q r , ~ r , ~ qDemonstração :1. p premissa2. q r premissa3. ~r premissa4. ~q Modus Tollens
Exemplo :Demonstrar a validade do argumento ~p q , q ~ r , r s , ~ s pDemonstração :
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1. ~p q premissa2. q ~ r premissa3. r s premissa4. ~p ~r Silogismo Hipotético5. ~r s Def. de implicação6. ~p s Silogismo Hipotético7. ~s ~~p Contraposição8. ~s p Negação
Demonstre: a) . b) c)
As regras de inferência são muito úteis na dedução de conclusões a partir de premissas dadas.
Exemplos.
1. Regra da adição
A partir de uma proposição p pode-se deduzir a sua disjunção com qualquer uma outra proposição.
a) Premissa p c) Premissa Conclusão Conclusão
b) Premissa ~p d) Premissa Conclusão Conclusão x=2
2. Regra da simplificação
A partir da conjunção se pode deduzir qualquer uma das duas proposições, p ou q.
a) Premissa c) Premissa Conclusão Conclusão
b) Premissa d) Premissa
Conclusão Conclusão
3. Regra da conjunção
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A partir de duas proposições é possível deduzir a conjunção de ambas.
a) Premissa c) Premissa Premissa ~ r Premissa Conclusão r~ Conclusão
b) Premissa qp d) Premissa
Premissa Premissa Conclusão Conclusão
4. Regra da absorção
A partir da condicional é possível deduzir a) Premissa
b) Premissa
Conclusão Conclusão
5. Regra Modus Ponens
a) Premissa
c) Premissa
Premissa p PremissaConclusão q Conclusão
b) Premissa
d) Premissa
Premissa Premissa Conclusão r Conclusão
6. Regra Modus Tollens
a) Premissa
c) Premissa
Premissa ~q PremissaConclusão ~p Conclusão
b) Premissa
d) Premissa
Premissa ~ r Premissa Conclusão Conclusão
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7. Regra do silogismo disjuntivo
a) Premissa
c) Premissa
Premissa ~ r PremissaConclusão Conclusão
b) Premissa
d) Premissa
Premissa ~ ~p Premissa Conclusão ~ q Conclusão
8. Regra do silogismo hipotético (transitividade)
a) Premissa
c) Premissa
Premissa PremissaConclusão Conclusão
b) Premissa
d) Premissa
Premissa Premissa Conclusão Conclusão
9. Regra do dilema construtivo
a) Premissa
c) Premissa
Premissa Premissa Premissa PremissaConclusão Conclusão
10.Regra do dilema destrutivo
a) Premissa
b) Premissa
Premissa Premissa Premissa PremissaConclusão Conclusão
Exercícios
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1. Construir o argumento (premissas e conclusão) correspondente a cada uma das seguintes condicionais:
a) b) c)
Exercícios do livro Iniciação à lógica matemática: Páginas 97 e 98, exercícios 4 ao 9.
LISTA FINAL DE FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
Contra-exemplo
Para mostrar que uma proposição do tipo é falsa, basta mostrar que a sua negação é verdadeira, ou seja, é verdadeira. Isto significa mostrar que existe pelo menos um elemento x0 de A de maneira que p(x0) é uma proposição falsa.
Exemplos:
a) A proposição xxx 2 é falsa, pois, para . Portanto,
é um contra-exemplo.
b) Sendo , é falsa, pois, para . Portanto, x = 3 é um contra-exemplo.
Exercícios
1. Sendo dar um contra-exemplo para cada uma das seguintes proposições:
2. Conclua cada argumento abaixo, de acordo com as premissas apresentadas, justificando:
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3. Construa três argumentos e demonstre-os através das regras de inferências estudadas.
Bibliografia
PINTO, Paulo Roberto Margutti – Introdução à Lógica Simbólica. Editora UFMG – 2006ARANHA Mara Lúcia de Almeida, MARTINS Maria Helena Pires. Filosofando – Introdução àFilosofia. Editora Moderna. ed. 2003FILHO, Edgard de Alencar. Iniciação à Lógica Matemática. Editora Nobel, 1986SOMINSKI, I. S. Método de indução Matemática. (tradução de Gelson Iezzi) Atual editora. 1996
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