apostila analise marginal e taxas relacionadas
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE HUMANIDADES, ARTES E CINCIAS BACHARELADO EM CINCIA E TECNOLOGIA DISCIPLINA: CINCIA E TECNOLOGIA II PROF. ADEMAR NOGUEIRA DO NASCIMENTO
APLICAO ECONMICA DE DERIVADAS: ANLISE MARGINAL
CUSTO MARGINAL
Em Economia a variao de uma quantidade em relao outra pode ser descrita por qualquer dos dois conceitos: o de Mdia ou o de Marginal. O conceito de mdia, expressa a variao de uma quantidade sobre um conjunto especfico de valores de uma segunda quantidade, enquanto que o conceito de marginal, a mudana instantnea na primeira quantidade que resulta de uma mudana em unidades muito pequenas na segunda quantidade.
Suponha que C(q) seja o custo total de produo de q unidades de um certo produto. A
funo C chamada de funo custo total (como j vimos nas aulas anteriores). Em circunstncias normais q e C(q) so positivas.Note que, como q representa o nmero de unidades de um produto, q tem que ser inteiro no negativo, de modo que tenhamos as condies de continuidade para a funo C.
O custo mdio da produo de cada unidade do produto obtido dividindo-se o custo
total pelo nmero de unidades produzidas; isto , , onde CM chamada funo
custo mdio.
Suponhamos que o nmero de unidades de uma determinada produo seja 1q , e que ela
tenha sido alterada por q . Ento a variao no custo total dada por )()( 11 qCqqC , e a
variao mdia no custo total em relao a variao no nmero de unidades produzidas dada por:
)()()( 11 I
q
qCqqC
Os economistas usam o termo Custo Marginal para limite do quociente (I) quando q
tende a zero, desde que o limite exista. Esse limite a derivada de C em 1q ; portanto a definio
de custo marginal ser:
Se C(q) o custo de produo de q unidades de um certo produto, ento o Custo
Marginal dado por )(' qC , caso exista. A funo C chamada Funo Custo Marginal e
freqentemente uma boa aproximao do custo de produo de uma unidade adicional.
Na definio acima, )(' qC pode ser interpretada como a taxa de variao do custo total.
Exemplo:
Suponha que o custo total ao se fabricar q unidades de brinquedos seja de 1053)( 2 qqqC .
a) Deduza a frmula do custo marginal. b) Qual o custo marginal de 50 unidades produzidas? c) Qual o custo real de produo do 51 brinquedo?
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Resoluo:
a) A funo custo marginal C(q)=6q+5
b) O custo marginal para q=50 dado por C(50), e C(50) = 6(50) + 5 =305. Logo, a taxa de variao do custo total, quando 50 brinquedos so fabricados de R$ 305,00/brinquedo.
c) O custo real de fabricao do 51 brinquedo dado por C(51) - C(50), sendo que o seu
clculo, : C(51) - C(50)=8068-7760=308, ento o custo real de fabricao do 51 brinquedo de R$ 308,00.
Note que as respostas dos itens b e c diferem por R$ 3,00, isto , o custo marginal
prximo do custo real de produo de uma unidade adicional. Esta discrepncia ocorre porque o custo marginal a taxa de variao instantnea de C(q) em relao a uma unidade de variao em q. Logo, C(50) o custo aproximado da produo do 51 brinquedo.
Observe que o clculo de C(50), no exemplo, mais simples do que o de C(51) C(50).
Os economistas freqentemente aproximam o custo da produo de uma unidade adicional usando a funo custo marginal. Mais claramente, C(n) o custo aproximado da (n+1) sima unidade depois que as n primeiras unidades tiverem sido produzidas.
As respostas dos itens b e c do exemplo anterior so muito prximas por causa da
proximidade dos pontos (50; C(50)) e (51; C(51)), e porque esses pontos pertencem a uma poro praticamente linear da curva de custo. Para tais pontos, o coeficiente angular da secante uma boa aproximao do coeficiente angular da tangente. Como usualmente se obtm esta aproximao e sendo mais fcil, de maneira geral, calcula-se o custo marginal como aproximao do custo real de produo de uma unidade adicional, como j dissemos acima.
De maneira geral, em Economia, Anlise Marginal se refere ao uso de derivadas de
funes para estimar a variao ocorrida no valor da varivel dependente, quando h um acrscimo de 1 unidade no valor da varivel independente. Exemplo 2:
Suponha que C(q) seja o custo total de produo de q unidades de canetas, e
.82)( 2 qqqCT Ache as funes:
a) Custo total marginal (CMg); b) Custo total mdio; b) Custo mdio marginal ( gCM )
Resoluo:
a) CMg = CT(q), ou seja: CMg = 4q+1; b)q
qq
qqqTC
812
82)(
2
; c)
2
' 8))((q
qCTCMg
Exerccios
1) Suponha que o custo total de fabricao de q unidades de um certo produto seja C(q) = 3q+q+500 a) Use anlise marginal para estimar o custo de fabricao da 41 unidade. b) Calcule o custo real de fabricao da 41 unidade.
2) Suponha que C(q) seja o custo total de fabricao de q livros, e C(q) = 110+4q+0,02q.
a) Deduza a frmula do CMg. b) Estime o custo de fabricao do 101 livro. c) Qual o custo real de fabricao do 101 livro?
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RECEITA MARGINAL
Se R(q) a receita total obtida quando q unidades de um produto so demandadas, ento
a Receita Marginal dada por , caso exista. A funo R(q) chamada Funo Receita
Marginal e frequentemente utilizada para aproximar a receita pela venda da unidade adicional, ou seja,
R(q) pode ser positiva, negativa ou nula, e pode ser interpretada como a taxa de variao
da receita total quando q unidades so demandadas.
Exemplo 3:
O ganho total dirio pela fabricao de refrigerantes de R(q) = 240q+0,05q reais, onde q
o nmero de unidades produzidas diariamente. Atualmente, o fabricante est produzindo 80 unidades por dia e pretende elevar este nmero em 1 unidade.
a) Estime o ganho adicional produzido pela 81 unidade. b) Calcule o ganho adicional real produzido pela 81 unidade.
Resoluo:
a) R(q) = 240+0,10q R(80) = 240+0,10 x 80 R(80) = 248 Estima-se que o ganho adicional produzido pela 81 unidade seja de R$ 248,00.
b) R(81)-R(80) = (19440+328,05) (18200+300) R(81)-R(80) = 19768,05-19520 = 248,05 (ganho obtido pela 81 unidade de R$ 248,05).
Exemplo 4: Seja R(q) = -2q+1800q a funo receita diria, para a fabricao de foges, onde q o nmero de unidades produzidas diariamente. Atualmente, o fabricante est produzindo 400 foges por dia e pretende elevar este nmero pra 401.
a) Use anlise marginal para estimar o ganho adicional produzido pelo 401. b) Qual a diferena entre o ganho real e o aproximado calculado no item (a)?
Resoluo:
a) R(q) = -4q+1800, logo: R(400) = -1600+1800 = 200 (ganho estimado de R$ 200,00).
b) R(401)-R(400) = 400198-400000= 198 (ganho real); a diferena ser de R$ 2,00.
Observe que a derivada da funo Receita assume valores diferentes em outros pontos, o que significa que, so diferentes os acrscimos em R correspondentes acrscimos de 1 unidade em q. Por exemplo: se q = 100, R(100) = 1400, e se Q = 600, R(600) = -600 (decrscimo). Este valor negativo esperado, pois o grfico de R uma parbola com concavidade voltada para baixo, e a partir de q = 450 a curva da Receita comea a decrescer. Exerccio:
3) Suponha que a receita total diria pela fabricao de cintos de couro de R(q) = -q+80q, onde q o nmero de cintos produzidos diariamente. O fabricante est produzindo 20 cintos por dia. a) Faa uma estimativa do ganho adicional produzido pelo 21 cinto. b) Verifique o que ocorrer ao ser produzido o 51 cinto. Use Anlise Marginal.
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PROBLEMAS DE TAXAS RELACIONADAS (Aplicao de Regra da Cadeia e Taxas de Variao)
Em muitas situaes prticas, a quantidade em estudo dada como funo de uma
varivel que, por sua vez, uma funo de uma outra varivel. Assim, suponha que, por exemplo, em uma certa indstria C seja o custo total de produo de q unidades, e C=f(q). Alm disso, suponha que q unidades sejam produzidas durante as t horas desde o incio da produo e q=g(t).
Se conhecemos dt
dq, a taxa de variao do nmero de unidades produzidas em t horas e
dq
dc, a
taxa de variao do custo em relao produo, evidente que poderamos determinar dq
dc a
taxa de variao do custo total de produo naquele intervalo de tempo. Este clculo pode ser feito aplicando-se o seguinte Teorema:
Se y uma funo de u e du
dy existe, e se u uma funo de x e existe
dx
dy, ento y uma
funo de x e dx
dy existe e dada por .
dx
du
du
dy
dx
dy
Exemplo 5: Considerando-se que em uma indstria automobilstica o custo total de s unidades seja dado por
1000.2.4
1)( 2 ssqCT , e que se s carros so produzidos durante t horas desde o incio da
produo, dado por S(t) = 3t+50t, pede-se determinar a taxa de variao do custo total em relao ao tempo, 2 horas aps o incio da produo. Estrutura da soluo:
Nesse caso, deseja-se calcular dt
dc , para t = 2. Deve-se, portanto, aplicar a regra da cadeia
conforme abaixo:
.dt
ds
ds
dc
dt
dc
Pede-se ao aluno complementar a resoluo do problema, realizando os clculos necessrios.
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Exerccios Complementares
1) Suponha que h(x) unidades de fuzis sejam produzidas diariamente quando x mquinas so usadas, e h(x) = 2000x+40x-x. Estime a variao na produo diria se o nmero de mquinas usadas for aumentando 20 para 21.
2) Suponha que seja a Receita total recebida da venda de x mesas.
Determine a receita marginal quando 40 mesas so vendidas. Qual a receita efetiva da venda da 41 mesa?
3) Estima-se que a produo semanal de uma fbrica seja, Q(x) = x+60x+1200x unidades, onde x o nmero de empregados dessa fbrica. Atualmente, 30 operrios trabalham nessa fbrica. Com essas informaes, pede-se: a) A taxa de variao instantnea da produo em relao ao nmero de operrios. b) Estimar a variao semanal da produo resultante do emprego de mais um operrio. c) Calcular o valor exato da variao de produo referida no item b.
4) Numa certa fbrica, o custo total de fabricao de q unidades C(q) = 0,2q+q+900 reais.
Sabe-se que, aproximadamente, q(t) = t+100t unidades produzidas s t primeiras horas de jornada de trabalho. Qual ser a taxa de variao, em relao ao tempo de custo total de fabricao uma hora aps o incio do trabalho dirio?
5) Um importador de caf brasileiro calcula que consumidores locais compraro
aproximadamente quilogramas de caf por semana, quando o preo
brasileiro for de p dlares por quilograma. Estima-se que daqui a t semanas o preo do caf importado ser p(t) = 0,02t+0,1t+6 dlares por quilograma. Qual ser a taxa de variao da demanda semanal de caf daqui a dez semanas?
6) Quando um fabricante de mveis produz x cadeiras por semana, o custo total e a receita
total semanal so C(x) = 3000+40x e , respectivamente. Se a produo
semanal atual 200 cadeiras e ela est aumentando a uma taxa de 10 cadeiras por semana, pede-se calcular a taxa de variao semanal em relao s seguintes variveis econmicas:
a) Custo total; b) Receita total; c) Lucro total.