apostila de cálculo - prof. daniel viais neto

8/12/2019 Apostila de Clculo - Prof. Daniel Viais Neto

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Apostila de ClculoApostila de ClculoApostila de ClculoApostila de Clculo

Professor Daniel Viais NetoProfessor Daniel Viais NetoProfessor Daniel Viais NetoProfessor Daniel Viais Neto1. PR-CLCULO

Conjuntos Numricos

Os primeiros nmeros conhecidos pela humanidade so os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos ento oconjunto

,...}4,3,2,1,0{=N .Os nmeros -1, -2, -3,...so chamados inteiros negativos. A unio do conjunto dos nmeros naturais com os inteirosnegativos define o conjunto dos nmeros inteiros que denotamos por

,...}3,2,1,0,1,2,3{..., =Z .

Os nmeros da forma Znmnnm ,,0, , so chamados de fraes e formam o conjunto dos nmeros racionais.Denotamos:

}0e,,com,;{ == nnmn

mxxQ Z .

Finalmente encontramos nmeros que no podem ser representados na forma Znmnnm ,,0, , tais como

...414,12 = , ...14159,3= , ...71,2=e . Estes nmeros formam o conjunto dos nmeros irracionais quedenotaremos por Q'. Da unio do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto dos nmeros irracionais resulta oconjunto dos nmeros reais, que denotamos por 'QQR = .

Valor absoluto

Definio. O valor absoluto de x, denotado por x , e definido como


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2

Potenciao

Seja aum nmero real e me nnmeros inteiros positivos, ento:

aaaaana ......= (nvezes) 10 =a , aa =1 0,1 = aa

na

nma

ma

na

+= 0, = aaaa nmmn ( ) nmnm aa =

0, =

b

nb

na

n

b

a nn aa

1= n

ma

n ma =

Produtos notveis

222 2)( bababa ++=+ 222 2)( bababa += ( ) 22)( bababa =+

Frmula de Bhaskara

Exerccios

1. Calcule o valor das expresses numricas:

a)

++ 11

3

114131213 b)

39

2

13

7

5

4

c) ( ) 53 42 + d)2)53(

27)2(0

32

+

2. Calcule o valor de y substituindo o valor de x dado.

a) ( ) ( ) 1;111 23 =++= xxxy b) 4;1221

=++= xxx

y

3.Desenvolva os seguintes produtos notveis:

a) ( ) ( )222 122 + xxx b) ( ) ( ) ( )111 2 + mmm

4.Resolva as equaes:

a) 55

824

2=

++

xx b)

xxx

x

x

x

+

=+

+

217

121

c) ( ) ( ) 041512 2 =+++ xx


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Respostas

1. a) -414 b) -0,38 c) 0,124 d) 7 2. a) 13 b) 17/2 3. a) 2 b) -2m+3 4.a) 6 b) 4 c) 0; 1/4

Exponenciais

Exemplos:

a) 642 =x Soluo: 6622642 === xxx .

b)32

18 =x Soluo:

3

55322

2

1)2(

32

18 53

53

===== xxxxx .

c) ( ) 3 813 =x Soluo: ( )3

8

3

4

23333813 3

4

23 42

13

====

= x

xx

x

x

.

Logaritmos

Definio. Chamaremos de logaritmo do nmero x na base a ao expoente y que devemos colocar em a para dar o

nmero x ( 1,0, > aax ). Em smbolos:

.log xayx ya ==

Dois casos especiais so os logaritmos decimais (base 10) que podem ser indicados por xlog e os logaritmos naturais(base 718,2e ) que podem ser indicados por xln .

Exemplos:

a) .162pois,416log4

2 == b) .15pois,01log 05 ==

c) .27

13pois,3

27

1log 3-3 ==

d) .10010pois,2100log 2 ==

e) eee == 1pois,1ln .

Exerccios

Resolva as seguintes equaes:

a) xx 51 927 2 =+ b) 175.2 += xx c)1

33

4328

=x

xx

d) { } 3)]15(log.41[log.32log 432 =+++ x e) 100log5=x f)9281

9

3 +=

xx

g) { } 2])3(log1[log.2log 432 =++ x h)1356.4 = xx

Respostas

1. a) 3; 1/3 b) -3,72 c) 3/14 d) 3 e) 2,86 f) -38/7 g) 13 h) 0,988

Propriedades dos logaritmos:

(P1) .loglog.log yxyx aaa +=

(P2) .logloglog yxy

xaaa =

(P3) .log.log xyx ay

a =

(P4)a

xx

b

ba log

loglog = (mudana de base).


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Problemas

1. A soma de um nmero com o seu quadrado 90. Calcule esse nmero.

2.Um pai tinha 24 anos ao nascer o seu filho. O produto das atuais idades de ambos o triplo do quadrado da idade dofilho. Quais as duas idades?

3.A diferena entre os permetros de dois quadrados de 32 m e a diferena entre as reas de 176 m2. Achar os lados.

4. A despesa de R$ 3.000,00 feita durante uma excurso deve ser dividida por um grupo de estudantes. Como, porm,os rapazes no permitiram que as 5 moas da turma entrassem no rateio, a contribuio de cada um ficou aumentada emR$ 50,00. Quantos rapazes participavam desse grupo?

5.Eu tenho R$ 20,00 a mais que Paulo e Mrio R$ 14,00 a menos que Paulo. Ao todo temos R$ 156,00. Quantos reaistm Paulo e Mrio?

6. (CEFET-MG) A soma do preo de duas mercadorias R$ 50,00. A mais cara ter um desconto de 10% e a maisbarata sofrer aumento de 15%, mantendo a soma dos preos no mesmo valor. A diferena entre os dois preosdiminuir em:

a) 25% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60%

7. (UEL) Um grupo de jovens participava de uma festa. s 23h retiraram-se 12 garotas do grupo e o numero de rapazesficou sendo o dobro do de garotas. Em seguida, retiraram-se 15 rapazes e o numero de garotas ficou sendo o dobro dode rapazes. Inicialmente, o numero de jovens do grupo era:

a) 50 b) 48 c) 45 d) 44 e) 42

8. Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em trs lojas. Em cada uma gastou 1 real a mais do que a metade do quetinha ao entrar. Quanto o homem tinha ao entrar na primeira loja?

9. Se um comerciante misturar 2 kg de caf em p do tipo I com 3 kg de caf em p do tipo II, ele obtm um tipo decaf cujo preo de R$ 4,80 o quilograma. Mas se misturar 3 kg de caf em p do tipo I com 2 kg de caf em p dotipo II, a nova mistura custar R$ 5,20 o quilograma. Os preos do quilograma do caf do tipo I e do caf do tipo II sorespectivamente:

a) R$ 5,00 e R$ 3,00 b) R$ 6,40 e R$ 4,30 c) R$ 5,50 e R$ 4,00 d) R$ 5,30 e R$ 4,50 e) R$ 6,00 e R$ 4,00

10.Um pequeno avio a jato gasta sete horas a menos do que um avio a hlice para ir de So Paulo at Boa Vista. Oavio a jato voa a uma velocidade mdia de 660 km/h, enquanto o avio a hlice voa em mdia a 275 km/h. Qual adistancia entre So Paulo e Boa Vista?

11. Uma casa tem 3 salas. O cho de uma delas um quadrado e o das outras so retngulos com a mesma largura doquadrado e comprimentos iguais a 5 m e 4 m. Se as 3 salas juntas tm 36 m2, qual a rea da sala quadrada?

12. Um feirante separou um nmero inteiro de mangas e mames. Observou que para cada mamo havia 3 mangas. Fezlotes com 6 mangas e lotes com 4 mames. Vendeu cada lote por R$ 0,50, arrecadando na venda de todos os lotes ovalor de R$ 135,00. Qual o nmero de mames vendidos?

Respostas

1.9 ou -10 2. 36 e 12 3.7m e 15m 4.155.50,00 e 36,00 6. c 7. e 8. 149. e 10. 3300 km 11. 9 m2 12.360


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2. FUNES

Definio. Sejam A e B subconjuntos de R . Uma funo BAf : uma lei ou regra que a cada elemento de A

faz corresponder um nico elemento de B .O conjunto A chamado domnio de f e denotado por )(fD . B chamado contradomnio ou campo de valores de f . Escrevemos:

)(

:

xfx

BAf

Exemplo: Sejam }4,3,2,1{=A , }5,4,3,2{=B e BAf : dada pelo diagrama abaixo. Neste caso, f umafuno de A em B .

Contraexemplos: Sejam }5,4,3{=A e }2,1{=B .

a) BAf : dada pelo diagrama a seguir, no uma funo de A em B , pois o elemento A4 tem doiscorrespondentes em B .

b) BAg : , 3xx no e uma funo de A em B , pois o elemento A3 no tem correspondente em B .

Definio. Seja BAf : .(i) Dado Ax , o elemento Bxf )( chamado o valor da funo f no ponto x ou imagem de x por f .(ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela funo chamado conjunto imagem de f e denotado por

)Im(f .

Definio. Seja f uma funo. O grfico de f o conjunto de todos os pontos ))(,( xfx de um plano coordenado,onde x pertence ao domnio de f .


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Exemplo: O grfico da funo 2)( xxf = consiste em todos os pares 2),( Ryx tais que 2xy = .

Exerccio: Esboce os grficos das funesx

xfxxfxxf1

)(,)(,)( 3 === e 3)( xxf = .

Definio. Dadas duas funes f e g, a funo composta de g com f, denotada por fg o , definida por

))(())(( xfgxfg =o .O domnio de fg o o conjunto de todos os pontos x no domnio de f tais que )(xf esta no domnio de g . Emdiagrama,

Exerccios

1. Dada funo RRf: , dada por 1)( 2 =xxf , determine a imagem do nmero real 2 pela funo.Determine os valores de x tais que 0)( =xf e o valor de x tal que .1)( =xf

2.Seja a funo RRf: e sua lei 49)( += xxf . Determine o nmero real x de modo que5

3)( =xf .

3.Dada a funo 104)( 2 += xxxf , obtenha os valores de x cuja imagem seja 7.

4. Sendo xxf 5)( = e 3)( xxg = , obter )2)(( fg o e ))(( xfg o .

5. Sendo 23)( += xxf e 16)( = xxg , obter )5)(( gf o e ))(( xgf o .

6. Dadas 123)( 2 += xxxf e 12)( += xxg , calcular ))(( xgf .

Respostas

1.1; 1=x e 1=x ; 0=x 2.17/45 3. 1 e 3

4. a) 1000 , 3125x 5. 31, 118 x 6. 41612 2 ++ xx


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3. TIPOS DE FUNES

A seguir vamos relacionar alguns tipos de funes:

Funo Constante. toda funo do tipo kxf =)( , que associa a qualquer nmero real x um mesmo nmero realk. A representao grfica ser sempre uma reta paralela ao eixo x , passando por ky = .

Exemplo: 2)( =xf .

Funo do 1 Grau. toda funo que associa a cada nmero real x, o numero real 0, + abax . Os nmerosreais a e b so chamados, respectivamente, de coeficiente angular e linear. Quando 0>a , a funo baxxf +=)( crescente, isto , medida que x cresce, )(xf tambm cresce. Quando 0


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4.A populao da Carolina do Sul (em milhares) era de 4.024 em 2000 e 4.255 em 2005. Suponha que a populao y

entre o ano tseja linear. Suponha que 0=t represente o ano 2000 (Fonte: U.S. Census Bureau).

a) Escreva um modelo linear para os dados. b) Faa uma estimativa da populao em 2002.

5. Em um determinado pas, o imposto de renda igual a 10% da renda, para ganhos at $ 900,00. Para rendas acima deR$ 900,00, o imposto de $ 90,00 (10% de $ 900,00) mais 20% da parte da renda que excede $ 900,00.

a) Qual o imposto para uma renda de $ 600,00?b) Qual o imposto para uma renda de $ 1.200,00?c) Chamando x a renda e y o imposto de renda, obtenha a expresso de y em funo de x .

6. Um supermercado est fazendo uma promoo na venda da alcatra da seguinte forma: um desconto de 15% dado dado nas compras de 3 quilos ou mais. Sabendo que o preo do quilo da alcatra de R$ 18,00, pede-se:

a) O grfico do total pago em funo da quantidade comprada;

b) A determinao de quais consumidores poderiam ter comprado mais alcatra pagando o mesmo preo.

7. Uma copiadora publicou a seguinte tabela de preos:

Nmero de cpias Preo por cpia

De 1 a 19 R$ 0,10De 20 a 49 R$ 0,0850 ou mais R$ 0,06

a) Esboce o grfico da funo que associa a cada natural n o custo de n cpias.b) O uso da tabela acima provoca distores. Aponte-as e sugira uma tabela de preos mais razovel.

Respostas

1. a) 10 b) 77 2.a) 12 = xy b) xy 5,15,0 = 3. a) 37 b) 26,4 cm

4.a) 40242,46 += ty b) 4116,4 milhares 5. a) $ 60 b) $ 150

Funo Quadrtica. A funo RRf: definida por 0,)( 2 ++= acbxaxxf chamada funo do 2grauou funo quadrtica. A representao grfica da funo do 2 grau uma curva denominada parbola, cujos principaisaspectos so:

Concavidade: dada pelo sinal de a .

0>a : concavidade voltada para cima.0


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Exerccios

1. Dada funo do 2 grau 2)( 2 = xxxf , verifique se as afirmativas abaixo so verdadeiras ou falsas.

a) f tem concavidade para cima; b) As razes de f so 1 e 2; c)

=

49,

21V ;

d) f intercepta o eixo y no ponto )2,0( ; e) 2)1( =f ; f) 2)1( =f .

2. Uma bala de canho lanada para cima na vertical est a uma altura xxxh 80-16)( 2 += metros aps x segundos.

a) Faa o grfico da altura h em funo do tempo x . b) Qual a altura da bala aps 3 segundos?c) Em quais valores do tempo, a altura da bala ser de 64 metros? d) Para qual valor do tempo bala ir atingir o solo?e) Quando a bala atingir a altura mxima? Qual essa altura?

3. O dono de um restaurante verificou que, quando o preo da dose de vodca era R$ 10,00, o nmero de doses vendidas

era de 200 por semana. Verificou tambm que, quando o preo caa para R$ 7,00, o nmero de doses passava para 400por semana.

a) Obtenha a funo de demanda admitindo seu grfico linear.b) Encontre o preo da dose de vodca que maximiza o lucro semanal, considerando seu custo igual a R$ 4,00.

4. O consumo de energia eltrica para uma residncia no decorrer dos meses dado por 21082 += ttE , onde oconsumo E dado em kWh e ao tempo associa-se 0=t a janeiro, 1=t a fevereiro, e assim sucessivamente.

a) Determine os meses em que o consumo de 195 kWh.b)Qual o consumo de energia no ms de agosto?

Respostas

1. a) V b)V c) V d) V e) F f) F2. b) 96 m c) 1 e 4 segundos d) 5 segundos e) 2,5 segundos; 100 m3. a) 67,86667,66 += pq b) R$ 8,50 4. a) abril e junho b) 203 kWh

Funo Exponencial. Chamamos de funo exponencial de base a, a funo g de R em R que associa a cada x

real o nmero real xa , sendo a um nmero real, 10 < a .

Funo Logartmica. Dado um nmero real a )10( < a , chamamos funo logartmica de base a a funo de*+

R em R que associa a cada x o nmero xalog .


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Funo Seno. Definimos a funo seno como a funo f de R em R que a cada Rx faz corresponder o nmero

real senxy = . O domnio da funo seno R e o conjunto imagem o intervalo ]1,1[ .

Funo Cosseno. Definimos a funo cosseno como a funo f de R em R que a cada Rx faz corresponder o

nmero real xy cos= . O domnio da funo cosseno R e o conjunto imagem e o intervalo ]1,1[ .

Funes: Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante.

Tabela de valores.

Funo\Arco 0 (0)30

6

45

4

60

3

90

2

180 ( ) 270

2

3

Seno 0 21

22 2

3 1 0 -1

Cosseno 12

3 22 2

1 0 -1 0

Tangente 03

3 1 3 No existe

0No existe


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4. LIMITES

Noo intuitiva.

Exemplo: Seja xy 11= .

Esta funo tende para 1 quando x tende para o infinito. Basta observar as tabelas e o grfico para constatar que:

1

y quando

x .Denota-se 1)11(lim =

x

x

Expresses indeterminadas.

Propriedades dos Limites Infinitos.


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5. CONTINUIDADE

Definio. Dizemos que uma funo f contnua no ponto a se as seguintes condies forem satisfeitas:

(i) f definida no ponto a ; (ii) )(lim xfax

existe; (iii) )()(lim afxfax

=

.

Alguns esboos de grficos de funes que no so contnuas em a :

Exerccios:

Calcule os limites abaixo:

1.3

92

3lim

+

x

x

x

2.xxx

xxx

x 526

43223

23

1lim

+

++

3.2012

652

2

2lim

+

+

xx

xx

x

4. )143( 23lim ++

xxx

5.1

102

1lim

xx 6.

65

22

2lim

+

xx

x

x

7.1

102

1lim

xx 8.

9

142

3lim

+

x

x

x

9.

+ 31lim

x

x

10.15

32lim

+

+ x

x

x

11.92

642lim

+

+ xx

x

x

12.1310

142

3

lim++

xx

x

x

13.3

1lim

3 xx

14. )143( 35lim ++

xxx

15.x

x

x

16)4( 2

0lim

16.

+

+

2

412lim

xxx

17.)241)(273(

4323322

45

limxxxxx

xxx

x +++

++

+

18.422

2233

)12)(27(

)4)(25)(12(lim

xxxx

xxxxxx

x ++

+++

Respostas:

1. -6 2.10 3. 1/8 4. + 5.- 6.-1 7. no existe 8. - 9. -

10. 0,4 11. 0 12. - 13. + 14. + 15. 8 16. 2 17. 1/2 18. 2/7


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6. A RETA TANGENTE

Vamos definir a inclinao de uma curva )(xfy = para depois encontrar a equao

da reta tangente curva num ponto dado. Seja )(xfy = uma curva definida no

intervalo ),( ba . Sejam ),( 11 yxP = e ),( 22 yxQ = dois pontos distintos sobre

da curva.

Seja s a reta secante que passa por P e Q . Considerando o triangulo retngulo

PMQ ,temos que a inclinao da reta s (coeficiente angular) x

ytg

= . Dessa

forma, quandoQ

move-se sob a curva em direo aP

haver uma variao do

coeficiente angular da reta s e quando o ponto Q estiver cada vez mais prximo de

P , o coeficiente angular varia cada vez menos, tendendo para um valor limite

constante.

Este valor limite o coeficiente angular da reta tangente, dado por:

12

12

01 limlim

12

)(xx

yy

x

yxm

xxx

=

=

, quando o limite existe.

Ou ainda, tomando xxx += 12 temos:

x

xfxxfxm

x

+=

)()()( 11

01 lim , quando o limite existe.

Sendo assim, temos que a equao da reta tangente curva )(xfy = no ponto ),( 11 yxP = dada por:

))(( 111 xxxmyy = .

7. DERIVADA

Definio. A derivada de uma funo)(xfy

= a funo denotada por)(' xf

, tal que seu valor em qualquer

)(fDx dado por

x

xfxxfxf

x

+=

)()()(' lim

0, se esse limite existir.

Dizemos que uma funo derivvel (ou diferencivel) quando existe a derivada em todos os pontos de seu domnio.

Notaes: )(' xf (l-se f linha de x ) oudx

dy(L-se derivada de y em relao x ).


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Tabela de Derivadas.

Exerccios

1. Encontre a reta tangente e a reta normal curva 1032 ++= xxy no ponto 1=x . Esboce o grfico.

2. Encontre a reta tangente e a reta normal curva 1= xy no ponto 4=x . Esboce o grfico.

3. Encontre a reta tangente e a reta normal curva 5xy 2 += no ponto 3=x . Esboce o grfico.


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17

4. Encontre 'y .

a)

1

153 2

+=

x

xxy b)

3 2 263 += xxy c)2

2 1)(x

xxf +=

Respostas

1.t: 115 += xy , n:5

29

5

1+= xy 2. t: xy

4

1= , n: 174 += xy

3. t: 146 += xy , n:29

61

+= xy 4.a)2

2

)1(

463'

=

x

xxy

b) ( ) ( )662633

1' 3

22

++=

xxxy c)3

22)('

xxxf =

8. DERIVADAS SUCESSIVAS

Definio. Seja f uma funo derivvel. Se 'f tambm for derivvel, ento a sua derivada chamada derivada

segunda de f e representada por )(" xf (l-se f duas linhas de x ).

Se "f uma funo derivvel, sua derivada, representada por )(''' xf , chamada derivada terceira de )(xf . A

derivada de ordem n ou n-sima derivada de f , representada por )()( xf n , obtida derivando-se a derivada de

ordem 1n de f .

Exemplo: Se 25 83)( xxxf += , ento xxxf 1615)(' 4 += , 1660)('' 3 += xxf , 2180)(''' xxf = ,

xxf 360)()4( = , 360)()5( =xf , 0)()6( =xf ,..., 6,0)()( = nxf n .

Exerccios

1. Determine )1(''f sabendo que +++= xxxxxxf 22130100)( 2345 .

2. Seja 1

42

)( 3

=

x

x

xf . Encontre )1("

f .

3. Encontre a derivada de ordem n das seguintes funes:

a) senxxf =)( b)2)1(

1)(

xxf

= c)33

1)(

xxf =

Respostas

1.450 3. 1,5 3. b)2

)(

)1(

)!1()(

+

+=

n

n

x

nxf c)

3)(

6

)!2()1()(

+

+=

n

nn

x

nxf


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9. DIFERENCIAL

Seja )(xfy = uma funo.

Acrscimo de x. 12 xxx =

Variao de y. )()( 12 xfxfy =

Definio. Sejam )(xfy = uma funo derivvel e x um acrscimo de x .Definimos:

a) a diferencial da varivel independente x,denotada por dx , como xdx = ;

b) a diferencial da varivel dependente y , denotada por dy , como xxfdy = )(' .

Interpretao geomtrica.Consideremos o grfico da funo )(xfy = derivvel. Observamos que, quando

x torna-se muito pequeno, o mesmo ocorre com a diferena dyy , ou seja,

dyy , desde que o valor de x considerado seja pequeno.

Exerccios

1. Calcule o valor aproximado dos itens abaixo usando diferenciais.

a) 3 5,65 b) 6)97,1( c) 50 d) 4 92,17 e) 28,49 f) 4)02,3(

2. Avalie o erro em mdulo decorrente do uso de diferenciais para calcular os valores acima.

3. Ao usarmos diferenciais para estimar o valor de 3)98,1( cometemos um erro de 310.92,23 ?

4.Uma caixa em forma de cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 0,25 centmetros. Se o lado dacaixa de 2 metros, usando diferencial, encontrar a quantidade de revestimento necessria.

Respostas

1. a) 4,03125 b) 58,24 c) 7,071 d) 2,06 e) 7,02 f) 83,16 3. No 4.60.000 cm

10. TAXA DE VARIAO

Seja )(xfy = uma funo derivvel.

Taxa mdia de variao de y em relao x :x

xfxxf

x

y

+=

)()(.

Taxa instantnea de variao de y em relao x :x

xfxxfxf

x

+=

)()()(' lim

0.


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19

Exerccios

1. O deslocamento (em metros) de um objeto movendo-se ao longo de uma reta dado por ttts 75,4 23 = ,

0t onde t medido em segundos.

a) Encontre a velocidade mdia no perodo de tempo ]4,2[ .b) Quando o objeto atinge a velocidade de sm/5 ?c) Qual a acelerao no instante st 5,1= ?

2. distncia percorrida (em m) por um mvel em linha reta dada por 44)( 2 ++= tttS onde 0t dado emsegundos. Determine: a) a velocidade mdia entre t = 1 s e t = 3 s. b) a velocidade em t = 3 s. c) em que instante avelocidade de 12 m/s.

3. Um ponto em movimento tem equao ttttS ++=23

32)( , onde t o tempo em segundos e So espao emmetros. Determinea acelerao quando t = 3 s e em que instante a acelerao de 30 m/s2.

4. O produto interno bruto (PIB) de certo pas (em milhes de dlares) descrito pela funo

)110(,600020452)( 23 +++= tttttf , onde 0=t corresponde ao incio de 1990 .

a) Qual a taxa de variao do PIB no incio de 1995? E no comeo de 1997 ? E no comeo de 2000 ?b) Qual a taxa mdia de variao do PIB no perodo 20001995 ?

Respostas

1. a) -6m/s b) 4s c) 0m/s2 2. a) 8 m/s b) 10 m/s c) 4 s

3. a) 42 m/s2 b) 2 s 6. a) 320, 356 e 320 milhes de dlares/ano b) 345 milhes de dlares/ano

11. ESBOO DE GRFICOS

Exerccios: Faa um estudo completo e esboce o grfico das funes abaixo.

1. 1)( 23 += xxxf 2. 2016)( 23 = xxxxf 3. 34 4)( xxxf += 4. 35 53)( xxxf =


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20

12. PROBLEMAS DE MAXIMIZAO E MINIMIZAO

Exerccios

1. Uma rede de gua potvel ligar uma central de abastecimento situada margem de um rio de 500 metros de larguraa um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 metros abaixo da central. O custo da obra atravs dorio de R$ 640,00 por metro, enquanto, em terra, custa R$ 312,00. Qual a forma mais econmica de se instalar a redede gua potvel?

2. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimenses a e b , com um lado comum a . Se cada pastodeve medir 400 m2de rea, determinar as dimenses a e b ,de forma que o comprimento da cerca seja mnimo.

3. A direo da Trappee, fabricante do famoso molho picante Texas, estima que seu lucro (em dlares) pela produo evenda diria de x caixas (cada caixa contendo 24 garrafas) de molho picante dado por

4006000002,0)( 3 += xxxP . Qual o maior lucro possvel que a Trappee pode obter em 1 dia?

4. Suponha que a funo receita seja xxR 60)( = e a funo custo seja 4050122)( 23 ++= xxxxC . Obtenhaa quantidade x que deve ser vendida para maximizar o lucro. Qual o lucro mximo?

5. Um terreno retangular deve ser cercado de 2 formas. Dois lados opostos devem receber cercas reforadas que custaR$ 4,50 o metro, enquanto os outros dois lados restantes recebem uma cerca padro de R$ 3,00 o metro. Qual a maiorrea que pode ser cercada com R$ 1.800,00?

Respostas

1. 279,17 m 2. mm 310;3

340 3. 3600 4. 4,38; 65,96 5. 15.000 m2

13. INTEGRAL INDEFINIDA

Definio. Uma funo )(xF chamada uma primitiva da funo )(xf em um intervalo I (ou simplesmente umaprimitiva de )(xf ), se para todo Ix , temos )()(' xfxF = .

Exemplos:

1.3

2)(;1

3)(;

3)()(

3332 +

=+===x

xFx

xFx

xFxxf so primitivas de f .

2. cxsen

xFxxf +==2

2)(2cos)( uma primitivas de f para todo Rc .


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21

Proposio. Seja )(xF uma primitiva da funo )(xf . Ento, se c uma constante qualquer, a funocxFxG += )()( tambm primitiva de )(xf .

Definio. Se )(xF uma primitiva de )(xf , a expresso cxF +)( chamada integral indefinida da funo

)(xf e denotada por += cxFdxxf )()( .

De acordo com esta notao o smbolo chamado sinal de integrao, )(xf funo integrando e dxxf )( integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma funo chamado integrao. O smbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a varivel de integrao. Alm disso, da definio da integralindefinida decorre que:

a) =+= )()(')()( xfxFcxFdxxf ;

b) dxxf )( representa uma famlia de funes (a famlia de todas as primitivas da funo integrando).

Proposio. Sejam RIgf :, e Kuma constante, ento:

a) = dxxfKdxxfK )()( ;

b) +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( .

Tabela de integral.

Exerccios

Resolva as integrais abaixo:

1. ++ dxxx )53(2 2. + dttt )2)(1(

2 3. dtt

t )19(3

2 + 4. dx

xx

x)

3

1( +


22/24

22

5. dxxx3 6. dt

tt

et)1

2( ++ 7. dtte

tt )2cos22( + 8. 3xdx

9. A secretaria da Universidade Kellogg estima que o nmero total de estudantes matriculados na diviso de Educao

Continuada crescer taxa de 2/3)2,01(2000)(' += ttN estudantes/ano daqui a t anos. Se o nmero atual dematrculas 1000 , encontre uma expresso que fornea o nmero total de matrculas daqui a t anos. Qual ser onmero de matrculas daqui a 5 anos?

10. Estima-se que as vendas anuais (em milhes de unidades) de notebooks cresam de acordo com a funo

64,216,018,0)( 2 ++= tttf )60( t onde t medido em anos, com t=0 correspondendo a 1997. Quantosnotebookssero vendidos durante o perodo de 6 anos, que vai do incio de 1997 ao final de 2002?

Respostas

1. cxxx +++ 2

3

3325 2. ctttt ++

432 432 3. c

tt + 23 3 4. cxx ++

1522 2

5

5. cx +29

9

2 6. cttet +++ ln

3

2

2

1 23

7. ctsen

ett

++2

22

2ln

2 8. c

x+

22

1

9. 6.858 matrculas 10. 31,68 milhes de unidade

14. INTEGRAL DEFINIDA

Definio. Seja f uma funo definida no intervalo ],[ ba . A integral definida da funo f de a at b denotada

por

b

adxxf )( , onde os nmeros a e b so chamados limites de integrao ( a inferior e b superior).

Quando a funo f contnua e no negativa em ],[ ba , a definio da integral definida coincide com a definio darea. Sempre que utilizamos um intervalo ],[ ba , supomos ba < . Assim, em nossa definio no levamos em contaos casos em que o limite inferior maior que o limite superior.

Definio.

(a) Se ba > , ento =a

b

b

a

dxxfdxxf )()( , se a integral direita existir.

(b) Se ba = e )(af existe, ento 0)( =b

a

dxxf .

Teorema. Se f contnua sobre ],[ ba , ento f integrvel em ],[ ba .

Proposio. Se bca


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23

15. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CLCULO

Teorema. Se f contnua sobre ],[ ba e se F e uma primitiva de f neste intervalo, ento

)()()( aFbFdxxfb

a

= .

Exerccios

Calcular as integrais definidas.

1.

+

2

1

3)1( dxxx 2.

+

0

3

2 )74( dxxx 3. 2

16x

dx 4.

9

4

2 dttt 5. 2

052 )1( dxxx

Respostas

1. 81/10 2.48 3.31/160 4. 844/5 5. -0,571

16. CLCULO DE REAS

O clculo de rea de figuras planas pode ser feito por integrao. Vejamos as situaes que comumente ocorrem.

Caso I. ],[,0)( baxxf .

Exemplo:Encontre a rea limitada pela curva 24 xy = e o eixo dos x .

..3

32)4(2

2

2 audxxA ==

Caso II. ],[,0)( baxxf .

Exemplo:Encontre a rea limitada pela curva 42 =xy e o eixo dos x .

..3

32

3

32)4(

2

2

2 audxxA ===


24/24

24

Caso III. ],[),()( baxxgxf .

Exemplo:Encontre a rea da regio Slimitada pelas curvas 3,6 xyxy =+= e 2xy = .

Devemos dividir a regio em duas subregies 1S e 2S .

=+=

0

41 ..12)]2()6[( audx

xxA

=+=2

0

32 ..10])6[( audxxxA

..22 auATotal =

Exerccios

Encontrar a rea da regio limitada pelas curvas dadas. Esboce a regio.

1. 22 18, xyxy == 2. 3,4 22 +== xyxy 3. 862,76 22 ++== xxyxxy

4. xyxxy =+= 3,2 5. 52,562 =+= xyxxy 6. 14,4 22 == xyxy

Respostas

1. 72 2. 4 3.108 4.32/3 5. 32/3 6. 72

17. BIBLIOGRAFIA

- FLEMING, D. M.; GONALVES, M. B. Clculo A - 6 ed. Pearson Education do Brasil, So Paulo, 2007.

- MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Clculo funes de uma e vrias variveis. Saraiva, So Paulo,2003.

- SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Clculo Bsico para Cursos Superiores. Atlas, So Paulo, 2004.

- STEWART, J. Clculo Vol. 1 - 5 ed. Pioneira Thomson Learning, So Paulo, 2006.

Jamais considere seus estudos como uma obrigao, mas como uma oportunidade invejvel para

aprender a conhecer a influncia libertadora da beleza do reino do esprito, para seu prprio prazer pessoal

e para proveito da comunidade qual seu futuro trabalho pertencer. Albert Einstein.Albert Einstein.Albert Einstein.Albert Einstein.

apostila de cálculo - prof. daniel viais neto

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